Giáo trình Giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn

Nguyễn Hồng Nam, 2007 1 Giới thiệu Phương pháp phần tử hữu hạn TS. Nguyễn Hồng Nam PLAXIS FINITE ELEMENT CODES Hà Nội, 3-2007 LỚP BỒI DƯỠNG NGẮN HẠN Ketcau.com Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 2 Phân tích bài toán Địa kỹ thuật (Koseki, 1999) Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 3 Lời giải bài toán cơ học vật rắn Lực khối và lực mặt, Fi, Ti Ứng suất σij Biến dạng εij Chuyển vị ui Cân bằng Tương hợp Mô hình vật liệu Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 4 Phân tích bài toán địa kỹ thuật Khi thiết kế các bài toán địa kỹ thuật cần phải xem xét: • Ổn định cục bộ, tổng thể công trình • Nội lực trong kết cấu (lực dọc, lực cắt, mô men) • Chuyển vị của công trình và đất nền xung quanh • Chuyển vị và nội lực kết cấu xuất hiện trong các công trình lân cận Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 5 Các phương pháp giải bài toán địa kỹ thuật • Kinh nghiệm thực tế • Lời giải lý thuyết “closed form” • Phương pháp cân bằng giới hạn LEM (Limit equilibrium method) • Phương pháp số : 9 Sai phân hữu hạn FD (Finite Difference) 9 Phần tử biên BE (Boundary element) 9 Phần tử hữu hạn FE (Finite element) 9 Phần tử rời rạc DE (Distinct element) Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 6 Các bước cơ bản của phương pháp PTHH • Chia lưới phần tử hữu hạn • Chuyển vị tại các nút là các ẩn số • Chuyển vị bên trong phần tử được nội suy từ các giá trị chuyển vị nút • Mô hình vật liệu (quan hệ ứng suất- biến dạng) • Điều kiện biên về chuyển vị, lực • Giải hệ phương trình tổng thể cân bằng lực cho kết quả chuyển vị nút • Tính các đại lượng khác (biến dạng, ứng suất). Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 7 Các phần tử cơ bản Phần tử 6 điểm nút Phần tử 15 điểm nút Lưới phần tử hữu hạn Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 8 Mô hình bài toán Biến dạng phẳng (Plane strain) Đối xứng trục (Axis-symmetry) Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 9 PhÇn tö 6 nót Phần tử 6 điểm nút: Nội suy bậc 2 u(x,y) = a0 + a1x + a2y + a3x2 + a4xy + a5y2 v(x,y) = b0 + b1x + b2y + b3x2 + b4xy + b5y2 Cách viết khác: u = N1u1+N2u2+N3u3+N4u4+N5u5+N6u6=[N]{U} v = N1v1+N2v2+N3v3+N4v4+N5v5+N6v6=[N]{V} [N]: hàm dạng Chuyển vị Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 10 Các phần tử bậc cao 15 nút: Sử dụng các đa thức bậc 4 Biến dạng: Tính từ các chuyển vị. Đối với phần tử 6 điểm nút: ε δδxx u x a a x a y= = + +1 3 42 ε δδyy v x b b x b y= = + +2 4 2 5 γ δδ δ δxy u y v x b a a b x a b y= + = + + + +( )( ) ( )1 2 4 3 5 42 2 Biến dạng u(x,y) = a0 + a1x + ...+ a15y4 v(x,y) = b0 + b1x + ...+ b15y4 Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 11 Quan hệ chuyển vị-biến dạng ε ε ε γ =       xx yy xy U U V U U V e =       1 1 2 6 6 ... ... Ui và Vi là chuyển vị tại nút thứ i Trong đó: B-ma trận quan hệ biến dạng-chuyển vị eBu=ε Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 12 Mô hình vật liệu Quan hệ ứng suất-biến dạng của đất rất phức tạp. Có thể đơn giản hoá chúng về một số dạng sau: • Đàn hồi tuyến tính • Đàn hồi phi tuyến • Đàn hồi-dẻo (Mohr-Coloumb) • Cam-clay • Hardening soil • Soft soil • Chọn mô hình nào ? Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 13 Bản chất của đất • Cấu trúc vi mô của đất là không liên tục, bao gồm các hạt đất có kích thước và hình dạng khác nhau • Sự sắp xếp các hạt đất thiên nhiên không đều nhưng thường có cấu trúc do liên kết vật lý/hoá học giữa các hạt • Sự trượt của các liên kết tạo ra sự biến dạng vĩ mô và thay đổi thể tích. Bản thân hạt đất cũng có thể bị biến dạng. Hạt cát (Goto, 1986) Hạt sét (Sivakugan, 2001) Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 14 σ = Cε C là ma trận độ cứng của vật liệu Đối với vật liệu đàn hồi, đẳng hướng, biến dạng phẳng E = Mô đun đàn hồi [kN/m2] ν = Hệ số Poisson [-] Quan hệ ứng suất-biến dạng ( )( )         −− − +−= 2 2100 01 01 121 ννν νν νν EC Định luật Hooke Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 15 Lực nút Pe do: Lực khối và lực mặt tác dụng lên phần tử P P P P P P P e x y x y x y =       1 1 2 2 6 6 ... ... Quan hệ lực nút và chuyển vị nút Ke*Ue = Pe Trong đó Ke là ma trận độ cứng phần tử Trong đó: C: Ma trận độ cứng vật liệu B : ma trận tương quan biến dạng-chuyển vị Ma trận độ cứng phần tử ∫= CBdvBK Te Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 16 Tổ hợp tất cả các ma trận độ cứng Ke cho toàn bộ lưới KU = P Ma trận dạng băng K Ma trận độ cứng tổng Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 17 Ứng suất ban đầu • Ứng suất ban đầu thể hiện trạng thái cân bằng của khối đất nguyên dạng, bao gồm: - Trọng lượng đất - Lịch sử chất tải • Ứng suất ban đầu được tạo ra bởi: - Phương pháp Ko - Phương pháp trọng lực Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 18 Phương pháp Ko • Ứng suất ban đầu được tính như sau: • Phải biết hệ số áp lực đất Ko • Thuận lợi: Không liên quan đến chuyển vị • Khó khăn: Không cân bằng đối với các mặt nghiêng Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 19 Phương pháp trọng lực • Ứng suất ban đầu do trọng lượng gây ra • Thuận lợi: Cân bằng thoả mãn mọi trường hợp • Khó khăn: Tồn tại chuyển vị không hợp lý • Đối với nén 1 trục: ν νσσ −= 1'' vh v vKo −= 1 Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 20 Phương pháp trọng lực • Bỏ qua Phương pháp Ko, ΣMweight=0 • Phase 1: Chọn Plastic calculation, Total multipliers Đặt ΣMweight=1 • Phase 2: Chọn Reset displacements to zero để loại bỏ các chuyển vị do trọng lực gây ra Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 21 Phương pháp trọng lực Chú ý: • Đối với vật liệu không thoát nước Chọn Ignore undrained behaviour trong Phase 1 để ngăn chặn áp lực lỗ rỗng tăng thêm không hợp lý • Phương pháp Ko đã được tạo từ trước Trong giai đoạn ban đầu, làm lại phương pháp Ko với ΣMweight=0 để đặt lại giá trị ứng suất ban đầu bằng 0 Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 22 Phương pháp trọng lực • Phương pháp trọng lực nên sử dụng trong các trường hợp dưới đây, thay thế phương pháp Ko. Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 23 Biến dạng đàn hồi và biến dạng dẻo εp εe σ ε pe εεε += Trong ®ã, εe: biÕn d¹ng ®µn håi, εp: biÕn d¹ng dÎo, ε: biến dạng tổng. Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 24 Đàn hồi đẳng hướng • Quan hệ ứng suất -biến dạng là tuyến tính hoặc phi tuyến • Khi chất tải rồi dỡ tải, vật liệu trở về nguyên trạng thái ban đầu • Biến dạng phụ thuộc độ tăng ứng suất • Lực tác dụng nhỏ hơn tải trọng giới hạn (giới hạn làm việc) • Lựa chọn E, v ? σ ε σ ε Tuyến tính Phi tuyến Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 25 Mô hình đàn hồi tổng quát { } [ ]{ }σε D= •Ma trận D bao gồm: 36 pt (tổng quát), 21 phần tử (đối xứng),13 phần tử (đối xứng qua 1 mặt phẳng), 9 phần tử (đối xứng qua 3 mặt phẳng), 5 phần tử (đối xứng trục) Đàn hồi đẳng hướng, 2 trong 4 tham số sau là độc lập: E, ν, K, G Định luật Hooke                           =               zx yz xy z y x zx yz xy z y x DDDDDD DDDDDD DDDDDD DDDDDD DDDDDD DDDDDD τ τ τ σ σ σ γ γ γ ε ε ε 666564636261 565554535251 464544434241 363534333231 262524232221 161514131211 Biến dạng ứng suất Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 26 Biến dạng dẻo • Sự đồng hướng (coaxiality): Các trục chính cuả độ tăng ứng suất và độ tăng biến dạng chính cùng phương • Hàm thế năng dẻo g (Plastic potential function) Sự tăng biến dạng dẻo độc lập với tỷ số hoặc độ lớn của độ tăng ứng suất, nhưng phụ thuộc trạng thái ứng suất • Vectơ độ tăng biến dạng dẻo vuông góc mặt cong g ij p ij gd σλε ∂ ∂=& g(σij)=const ij pε& 33,εσ && 11,εσ && Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 27 Hàm chảy (Yield function) • Biến dạng dẻo chỉ xảy ra khi một hàm ứng suất f duy trì lớn nhất và độ tăng df >0 Miền đàn hồi Miền dẻo df > 0 : chất tải df < 0: dỡ tải df = 0: không b/đ tải Mặt chảy Chú ý: f, g là hàm độc lập hệ toạ độÆtham số là các ứng suất chính Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 28 Lý thuyết dẻo Để mô phỏng các đặc tính biến dạng dẻo, một trong hai giả thiết sau được sử dụng: f=g: luật dòng kết hợp (lý thuyết dẻo cổ điển) f≠g: luật dòng không kết hợp (ứng xử thực của đất) Ngoài ra, phải có quy luật về sự thay đổi hàm chảy (Yield function) Isotropic hardening Kinematic hardening σj σi tăng εp σi σj tăng εpi Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 29 Mô hình đàn hồi tuyến tính tương đương • Ứng xử thực của đất không phải đàn hồi, tuyến tính • Mô đun cát tuyến E50 thường được sử dụng trong thiết kế sơ bộ • E50 thường được thực hiện từ thí nghiệm nén nở hông (unconfined compression test) ε1 q=σ1-σ3 E50 σ3=0 qf q50 Cách xác định E50 từ thí nghiệm nén nở hông Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 30 Mô hình Mohr-Coulomb σy σx σz σx= σz Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 31 Mô hình dẻo tuyệt đối Xấp xỉ bậc nhất quan hệ ứng suất-biến dạng σ εo Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 32 Mô phỏng quan hệ US-BD trong thí nghiệm 3 trục (2 đoạn thẳng) Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 33 Hàm chảy (Yield function)     += 2 yxs σσ22 2 xy yxr σσσ +    −=Điều kiện trên áp dụng cho tất cảcác mặt phẳng nghiêng một góc α ϕϕ cossin csrf −−≡ σy Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 34 Hàm chảy (Yield function) Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 35 Góc nở ψ (Dilatancy angle) • Trượt xảy ra trên mặt nghiêng một góc ψ so với phương ngang (không trượt trên mặt phẳng ngang) • Góc ma sát được huy động trên mặt phẳng ngang (ϕ) lớn hơn góc ma sát chống lại sự trượt trên mặt phẳng nghiêng (ϕi) iϕψϕ += Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 36 Cắt đơn giản, thoát nước (Drained simple shear test) Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 37 Cắt 3 trục, thoát nước Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 38 Các tham số của mô hình Mohr-Coulomb • Góc ma sát trong ϕ • Lực dính c • Góc nở ψ • Mô đun đàn hồi E50 • Hệ số Poisson ν Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 39 Nhận xét mô hình M-C • Ưu điểm: đơn giản • Nhược điểm: - Chưa xét ảnh hưởng của σ2 - Chưa xét sự phụ thuộc trạng thái ứng suất của các đặc tính đàn hồi Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com Nguyễn Hồng Nam, 2007 48 Kết luận • Phương pháp phần tử hữu hạn là một công cụ hữu ích trong việc mô phỏng các bài toán địa kỹ thuật. • Mô hình vật liệu có ý nghĩa quan trọng khi mô phỏng ứng xử thực của đất. • Các điều kiện biên cần phải thích hợp đối với các giai đoạn thi công khác nhau. • Có thể xác định được cơ chế phá hoại mà không cần phải xác định trước như đối với các phương pháp số khác. Sim po PDF M erge and Split Unregistered Version - popdf.com