Giáo trình Hàm phức và phép biến đổi Laplace Đại học

= (1 + ị)2 + ỉ = 3«. z—»14-»' ...... , . . 1 1 X . . —y b) Hàm phức f(z) = -= = +i y z x + iy X +y X +y liên tục ưên c \ {0}. » Chuông 2. Hàm biền phức §2. HÀM GIẢI TÍCH Đạo hàm của hàm biến phức a) Định nghĩa Cho hàm w = f(z') xác định trong miền D chứa điểm z = x + iy. Cho z một số gia Az = As + íAy. Gọi Aw — Ị(z + Az) — /(z) là số gia tương ứng của /(z). Nếu tỉ số dần tới một giới hạn xác định khi Az —> 0 (theo mọi cách) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của w = f(z) tại điểm z. Ký hiệu fXz'). ™ Aw y(z + Az) —/(z) Ta có: y'(z) = lim —- = Ịim 7 Az Az—>0 X Az—>0 > Chưong 2. Hàm biền phức > Chuông 2. Hàm biền phức Chú V y(z) có đạo hàm tại điểm z thì khả vi tại điểm z. y(z) có đạo hàm tại điểm z thì liên tực tại điểm z. Đạo hàm của hàm biến phức có các tính chất và quy tắc tính tương tự hàm biến so thực. VD 1. Xét hàm y(z) = z2, ta có: A/(z) = /(z + Az) - /(z) = 2z.Az + (Az)2 => lim = Ịim(2z + Az) = 2z => y'(z) = ‘íz- A.Z Az-iov VD2, Xét hàm /(z) = Z, ta có: A/(z) =_/(z + Az) - y(z) = z + Az - Z = ỉ±z = As + iAj/ = As — iỉ±y. ’ Nếu Az —► 0 theo trục thực thì A 2/ = 0, Az = As Af(z) As => Ẹm 7 = Ịim —— = 1. Az—>0 Az—»0 ► Nếu Az —> 0 theo trục ảo thì As = 0, Az = ỉỉxy .. A/(z) —iỉ±y . => lira .J = lira \ y = -1. Az—>0 Az Az—»0 i^y Nậy hàm /(z) = Z không khả vi tại mọi điểm z € c. > Chirtmg 2. Hàm biến phức > Chuông 2. Hàm biến phức b) Điều kiện khả vi Cauchy - Riemann (C - R) Định lý Neu hàm /(z) = u(s, ỳ) + w(s, ỳ) khả vi tại z = s + iy thì các hàm hai biến thực u(s,2/) và v(x,y) có các đạo hàm riêng tại (s, y) và thỏa điều kiện c - R: = v' và u = —V. X ỵ ỵ X Ngược lại, nếu các hàm hai biến thực tí(s,y) và v(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục tại (s,y) và thỏa điều kiện c - R thì hàm y(z) = tí(s, ỳ) + iv(x,y) khả vi tại z = x + iy N3i. f'(z) = u' + iv'. •ty/ X X Nhận xét z -ỉ- z z z Do s = —-—, y = ——— nên ta có: 2 2i 2 x 2i y [(u' +iv') + i(ur + w')l LX X X' ' y 1 2 Nậy điều kiện c - R tương đương với: ẩ = ^'=0- dz ‘ Do u' =2x = v' = z2 khả vi trên c. X u' = -2y = y ơ y . nên w = = — v' X VD 4, Xét hăm f(z\ f(z) = X2 = z.~Rjẽz, ta có: + ixy => u = X2, V = xy. u' = v[ 2x = X X = 0 Điêu kiện c - R: u' = —V. V X ữ = -y^ y = 0’ Vậy /(z) = z.Re z khả vi tại z = 0 và /'(0) = u'(0,0) + w'(0,0) = 0. VI) 5. Xét tính khả vi của hàm w = 3 Re z — z » Chuông 2. Hàm biền phức VI) 3. Xét hàm w = z2, ta có: u = x2 — y2, V = 2xy. » Chuông 2. Hàm biền phức Hàm giải tích Định nghĩa • Hàm w = f(z'j khả vi trong một lân cận của z được gọi là giải tích (còn gọi là chỉnh hình) tại z. Điểm z mà tại đó hàm w = f(z') không giải tích được gọi là dĩản bất thường của ỉ(z). ■ Hàm w = f(z) khả vi tại mọi điểm z thuộc miền D thì được gọi là giải tích trong miền D. Chú ý ■ Hàm w = f(z) giải tích tại điểm z0 thì khả vi tại za, ngược lại nói chung là không đúng. > Chuông 2. Hàm biền phức > Chưong 2. Hàm biền phức Chẳng hạn, hàm f(z) = Z.Z khả vi tại 2 = 0 nhưng không giải tích tại điểm đó. ■ Hàm w = f(z) giải tích trên miền mở D khi và chỉ khi /(z) khả vi trên D. VI) 6. a) Hàm w = z không giải tích tại Vz € c. Hàm w = zn khả vi tại Vz Ễ c nên giải tích trong c. Hàm w = — giải tích tại Vz € c \ {±í}. 2^+1 Hai điểm z = ±'Z là điểm bất thường cùa hàm w. §3. QUAN HỆ GIỮA HÀM GIẢI TÍCH VÀ HÀM ĐIỀU HÒA Hàm điều hòa * Định nghĩa Hàm hai biến thực u(x, y) được gọi là hàm điều hòa trong miền D nếu u(x, y) thỏa phương trình Laplace: Au = u" + u" = 0. VD 1. a) Hàm u = X2 —y2 lầ hàm điều hòa vì: u"+u" =2-2 = 0. I p2 b) Hàm u = ln(x2 + ý2) là hàm điều hòa trong toàn mặt phẳng trừ gốc tọa độ. > Chirtmg 2. Hàm biến phức * Định lý Neu hàm /(z) = u(x, y) + iy(x, y) là hàm giải tích trong mien D thì u(x,ỳ) và y(x,ỳ) là các hàm điều hòa trong miền D. VD 2. Hàm w = ex (cos y + i sin y) giải tích trong c. Ta có: u = e1 cosy, V = ex siny => u1^ = ex cosy, u"2 = —ex cosy, Vj = ex sin y, v"2 = —ex sin y => u"2 + u"2 = 0; v"2 + u"2 = 0. Nậy u = ex cos y, V = ex sin y là các hàm điều hòa.  > Chuông 2. Hàm biến phức Điều kiện để hàm biến phức giải tích • Neu u(x,ỳ) và v(x,y) là hai hàm điều hòa liên hợp (nghĩa là thỏa điều kiện Cauchy - Riemann) trong D thì hàm Ị(z) = u(x, ỳ) + iv(x, y) giải tích trong D. Nhận xét ■ Cho trước một hàm điều hòa, ta có thể tìm được hàm điều hòa liên hợp với nó (sai khác 1 hằng số). Vì vậy, khi cho trước phần thực hoặc phần ảo của một hàm giải tích, ta có thể tìm được hàm giải tích đó (sai khác 1 hằng số). VD 3. Tìm hàm giải tích Ị(z). Cho biết phần thực u = X2 — y2 + 2x và /(0) = 0. » Chưong 2. Hàm biền phức §4. CÁC HÀM SỐ Sơ CẤP Hàm hữu tỉ = <ự,+a/~1+...+đ b^+^z-1+■■■+&/ Các trường hợp riêng của hàm hữu tỉ Hàm tuyến tính: /(z) = az + b, D = c. Hàm lũy thừa: /(z) = zn, n e z, D = c. Hàm đa thức: f(z) = a.zn + a.z"-1 +... + a , D = C. Hàm phân tuyến tính: /(z) = + D = c\ —— . cz + d c  » Chưcng 2. Hàm biền phức Hàm mũ và Logarit a) Hàm mũ ez = ex+iy = ex(cosy + isiny). * Tính chất Nếu z = X thì ez = ex. ị ez I = I e I > 0, Vz € c. = e1+\ Hàm w = ez tuần hoàn với chu kỳ 2iĩi. Hàm w = ez khả vi với mọi z E Cvà (ez)z = ez. > Chưưng 2. Hàm biền phức > Chưcmg 2. Hàm biền phức b) Hàm logarit w = Lnz Định nghĩa Với z = r(cos ip + i sin 9?) = r.e^, ta có: lnz = Inr + ì(ịp + k2iĩ), (0 < 2tt). Chọn k = 0 và ký hiệu Lnz, ta được: Lnz = lnr + úp. (0 < íp < 2tt). Tính chất Hàm Lnz là hàm đơn trị xác định trên c \ {0}. Ln^ZyZ^) = Lnz1 + Lnz2. Hàm w = Lnz khả vi Vz € c \ {0} và (Lnz)' = —. Các hàm lượng giác và hyperbol Hàm cosin: cosz = ^-(eiz + e_iz). 2 Hàm sin: sinz = ^-(e“ — e~iz). 2i ez +e~z Hàm cosin hyperbolic: chz = —7 = cos(jz). gz —€~z Hàm sin hyperbolic: shz = -—-— = —isin(iz). • Tất cả các tính chất và công thức lượng giác đã biết cũng đúng với các hàm lượng giác phức. Các hàm hyperbol xác định và liên tục trên c. ữC §1. Tích phân đường của hàm phức. §2. Định lý Cauchy. §3. Tích phân bất định. Công thức Newton — Leibnitz. §4. Công thức tích phân Cauchy. §1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CỦA HÀM PHỨC Định nghĩa • Cho đường cong định hướng Jordan c, trơn tùng khúc, có phương trình: z(í) = xịt) + iy(t), t: a —> b và hàm phức f(z) xác định liên tực trên c. Chia c thành n điểm chia liên tiếp: z(a) = z0, zp..., zn = z(b).  Trên mỗi cung z^Zfc ta chọn tùy ý điểm tk (k = 1, n) và lập tổng sn = ị,f(tk)(zk - zkl). Nếu khi |Azt I = |zfc — Zfc J —> 0, tổng Sn dần đến giới hạn là I € c (không phụ thuộc vào cách chia và chọn điểm tk), thì I được gọi là tích phân của /(z) dọc theo c hướng từ z0 đến zn. Ký hiệu J" f(z)dz. c Vậy //(Ạte = lim ► Nếu đường cong có điểm đầu và cuối lần lượt là A, B thì ta ký hiệu J f(z')dz. AB • Nếu đường cong c có điểm đầu và cuối trùng nhau thì ta ký hiệu $ f(z')dz với chiều của c là chiều dương. c Tính chất Tích phân đường hàm phức dọc theo c có cấc tính chất như tích phân đường loại 2: ■ [a/(a) + bg(z)]dz = af f(z)dz + b f g(z)dz. c c c  Nếu c = cỵ u ơ2 và cỵ n c2 = 0 thì: J~ f(z)dz = Ị f(z)dz + J* f(z)dz. c c, c2 f f(z)dz = f(z)dz. AB BA Gọi L là độ dài của đường c và M = max |/(z)|, ta có công thức ước lượng tích phân: Ịf(z)dz < J*|/(z)||ífe| < ML. c c thì: 11’ .-iTiT.r MI w mj -1 ■■ irn ill ì: Phương pháp tính Đưa về tích phân xác định Nếu phương trinh của c : z(t) = xít) + iy(t), t: a —>■ b & J f(z)dz = Ị Ị{zự)).z'(t)dt. c a  ..-in- I Biểu diễn tích phân theo phần thực và ảo của/(z) Thay /(Q = u(£J + và Azfc = Azt + íAj/t vào tổng Sn, ta được: sn = iỉ^k^zk = È [«(Q + MQ](Azt + íAy.) fc=l fc=l fc=l k=l Qua giới hạn, ta có: VD 1. Tính tích phân I = (zỴdz, trong đó c là đoạn thẳng nối từ gốc tọa độ 0 đến điểm 1 + ỉ. VD 2. Tính tích phân I = J"(zỴdz, trong đó c là nửa c dưới của đường ttòn đơn vị nối từ z = — 1 đến z = 1. ữC VD 3. Tính tích phân I = zdz, trong đó c là đoạn thẳng nối từ điểm z = 2 + ỉ đến điểm z = 0. VD 4. Tính tích phân I = + i — 2z)dz, trong đó c c là cung parapol y = X2 nối z = 0 với z = 1 + i.  §2. ĐỊNH LÝ CAUCHY 2.1. Định lý Cauchy cho miền đơn liên a) Định lý Neu hàm y(z) giải tích trên miền đơn liên D và liên tục trên biên c = dD thì: (Ị) f(z)dz = 0. .£ VD1. Hàm y(z) = — giải tích ttong D : I z I < 1 và liên tục ttên biên dD nên = 0. VD 5. Tính tích phân I = <£ dz , trong đó cZ~a c là đường tròn tâm a, bán kính r. b) Hệ quả • Neu hàm y(z) giải tích trong miền đơn liên D và c là đường cong kín nằm trong D thì (ị) f(z')dz = 0. , ,c ‘ Nêu hàm y(z) giải tích trong miên đơn liên D, thì tích phân ý) f(z)dz vói mọi đường cong c nằm trong D có cùng điểm đầu và điểm cuối nhận giá trị như nhau. VD 2, Tính tích phân I = J*2z dz, trong đó c c là cung y = X3 — 3:r2 nối z = 0 với z = 1 — 2i. Giải. Đoạn thằng OA nối z = 0 với z = 1 — 2i có phương trinh: z(t) = t — 2it, t: 0 —> 1. Do /(z) = 2z giải tích trong c nên: 1 I = y 2zdz = J" 2(t — 2it) (1 — 2i)dt = — 3 — 4í 0A 0 Định lý Cauchy cho miền đa liên a) Định lý 1 Cho miền D — n liên (n > 1) có biên dD gồm CpCjj—jCTp trong đó Cr bao các chu tuyến khác và các chu tuyến c nằm ngoài nhau. Neu /(z) giải tích trong D và liên tục trong B u dD thì: $ f(z')dz = $ f(z')dz +... + f(z')dz. ịi C*c„ <FF»-Hir)rinlNl||';if,' b) Định lý 2 Với giả thiết như trong định lý 1, ta có: (Ị) f(z)dz = 0. 9D TTiirin-ir !m. VD 3. Khảo sát tích phân I = ® , trong đố c ~à) c là đường cong kín không đi qua điểm a và n € z. Giải > Trường hợp 1: điểm a nằm ngoài c. $ f(z)dz = $ f(z)dz. 0, Hệ quả {tính bắt biến khi biến dạng chu tuyển) Neu chu tuyến Cỵ có thể biến dạng liên tực mà không vượt qua bất kỳ điểm kỳ dị nào của Ị(z) để trở thành chu tuyến C2 thì: Do hàm Ị(z) = -—- giải tích trong miền đóng D u - a)n có biên c nên I = 0 (định lý 2). Trường hựp 2: điểm a nằm trong c. Ta chọn r đù bé để đường tròn Cr tâm a, bán kính r nằm trong c. 0 c. Với n = 1 thì I1 = i J dip = 0 i(l-n)p Với n 1 thì / = n 2;r = 0. 0 Vậy C (z~6 Phtrinh tham số của Crỉầ: z = a + re^ (ip e [0;2tt] ). Áp dụng hệ quả, ta được: r _c dz Pire^dip = i f 51-^ . { (re^r 2tt 2ttĩ. r^Xl-n) 2tĩì, n = lvà a nằm trong c 0, các trường hợp còn lại. §3. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CÔNG THỨC NEWTON - LEIBNITZ Tích phân bất định Hàm giải tích F(z) được gọi là nguyên hàm của hàm giải tích f(z) trong miền D nếu F\z) = /(z). Khi đó, F(z) + c (với c là hằng số phức) cũng là nguyên hàm của Ị(z). Tập tất cả nguyên hàm của /(z) có dạng F(z) + c và được gọi là tích phân bất định của Ị(z). Ký hiệu là f f(z)dz. Công thức Newton - Leibnitz Neu hàm /(z) giải tích trong miền đơn liên D và F(z) là một nguyên hàm của /(z) trong D thì: f ỉ(z)dz = F(z)^ = F(z2) - F(z2), Vzvz2 e D. h Chú V Tích phân hàm /(z) dọc theo đường cong c chỉ được áp dụng công thức Newton - Leibnitz nếu c nằm trong miền đơn liên D và hàm /(z) giải tích trong D. Các phương pháp tính tích phân đổi biến và từng phần đã biết vẫn đúng cho tích phân phức. VD 1. Tính tích phân I = J 3z2dz, trong đó ' c c là đường cong nối điểm z = i và z = 2. 1+ị VD 2. Tính tích phân I = J z(z — l)100 dz. 1 VD3. Tính tích phân I = J ze‘dz. 0 -r~. §4. CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY Định lý {công thức tích phân Cauchy) Giả sử hàm f(z) giải tích trong miền giới nội D và liên tục trong mien D = D u ỠD. Khi đó, giá trị f(za) tại điểm bất kỳ ZQ € D được biễu diễn qua giá trị trên biên dD theo công thức tích phân Cauchy: VD 1. Tính tích phân I = <£ . I 1 z d“ 1 |z-i|=i  p Fzdz VD 2. Tính tích phân I = (Ị) — , trong đó: Jc 4z — lĩ a) c: I Z -11 = 1; b) c : I z - i I = 3. 4.2. Hệ quả 1 (công thức Cauchy cho đạo hàm của hàm giải tích) VD4. Tính tích phân I = Giải. Do f(ữ) = 0, f Giả sử hàm f(z) giải tích trong miền giới nội D và liên tục trong miên D = D\J dD. Khi đó, hàm f(z) có đạo hàm mọi cấp tại điểm zữ bất kỳ trong mien D và được biễu diễn qua công thức tích phân Cauchy: ■wTTk . -í , > 1 < r c sin. 7r£ _ VD 3. Tính tích phân I = ® 2 dz. \z-l\=l(Z ~ 1)  4.3. Hệ quă 2 (Định lý Liouville) Neu hàm f(z) giải tích và bị chặn trên toàn mặt phẳng phức c thì f(z) là hàm hằng. VD 5. Chứng minh hàm f(z) = sin z không bị chặn. = 1 nên f(z) = sin z không là hàm hằng. Vậy hàm f(z) = sin z không bị chặn. > Chưưng 4. Chuỗi và Thặng dư §1. Chuỗi hàm phức. §2. Thặng dư. §3. ứng dụng của thặng dư. §1. CHUỖI HÀM PHỨC Khái niệm chung a) Các định nghĩa • Cho dãy hàm phức fr(z), f2(z),..., fn(z),... cùng xác định trên miền D c C. Tổng hình thức: oo /lơ) + /2Ơ) + - + /„ơ) + - = Ĩ3/»ơ) ơ) ~ n=l được gọi là chuỗi hàm phức.  > Chưcng 4. ChuSI và Thặng dư oo ► Nếu tại z = ZQ, chuỗi số y~)/,ơn) hội tụ (phân kỷ) thì n=l zữ được gọi là đỄẳn hội tạ (phân kỳ) cùa chuỗi (1). Tập họp các điểm hội tụ ZQ của chuỗi (1) được gọi là miền hội tụ của chuỗi (1). Tổng riêng thứ n cùa chuỗi (1), ký hiệu s (z), là: s„ơ) = /lơ) + /2Ơ) + - + /„ơ)- Trong miền hội tụ của chuỗi (1), 3 lim Sn(z) = f(z). Ịựưng 4. Hàm f(z) xác định ttong miền hội tụ của chuỗi (1) oo được gọi là tổng của chuỗi (1), ta viết ^2/jơ) = /ơ)- n=l Khi đó, Rn(z) = ỉ(z) — Sa(z) được gọi iÀphần dư càn chuỗi (1). Tại mọi z thuộc miền hội tụ thì lim R = 0. n—»oo n Chuỗi (1) được gọi là hội tạ đều trong miền D nếu: Ve > 0,37V = 7V(e): Vn > N, Vz e D => I Rn(z) I < e. Chuỗi (1) được gọi là hội tụ tuyệt đối ưong miền D nếu chuỗi $2|/„ơ)| hội tụ.  b*) Tính chất của chuỗi hội tụ đều Định lý 1 (tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi (1) hội tụ đều trong miền D khi và chỉ khi: Ve > 0,37V = 7V(e):Vn > N, Vz e D,Vp € N => \fn+í^ + /„+2 ơ) + - + /^pơ)| < e. Định lý 2 (tiêu chuẩn Weierstrass) Neu If (z)| < a , a € R+,Vz € D và chuỗi số V'a hội tụ thì chuỗi (1) hội tụ đều ttong mien D. > Định lý 3 Nếu tất cả các số hạng fn(z) của chuỗi (1) liên tục ttong miền D và chuỗi (1) hội tụ đều thì tong f(z) cũng là hàm liên tục trong D. > Chưưng 4. Chuỗi và TI > Chưưng 4. Chuỗi và Thì ‘ Định lý 4 Neu tất cả các số hạng /n(z) của chuỗi (1) liên tục trong miền D và chuỗi (1) hội tụ đều thì với mọi đường cong c nằm trong D, ta có: Ị f(z)dz = J f1(z)dz + ...+ Ị fn(z)dz + ... c c c ■ Định lý 5 Nếu tất cả các số hạng fn(z) của chuỗi (1) giải tích ưong miền D và chuỗi (1) hội tụ đều thì tổng f(z) giải tích trong D và: /wơ) = fỉkXz) + ff\z) +... + f?Xz) +...  Chuỗi lũy thừa Định nghĩa Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm phức có dạng: oo EXơ - «r=c0+C1Ơ - a)+-+c„ơ - «r+-(2) 7t=0 trong đó a và cn là các số phức. Định lý Abel Neu chuỗi (2) hội tụ tại điểm z0 a thì chuỗi hội tụ tuyệt đối tại mọi điểm thỏa I z — a I < I zữ — a I và hội tụ đều ttong I z — a I < r, với 0 < r < I za — a I. Neu chuỗi (2) phân kỳ tại điểm z thì chuỗi phân kỳ mọi điểm thỏa \ z — a I > I — a ị. > Chương 4. Chuỗi và Thặng dư Bán kính hội tụ Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa (2) luôn là hình tròn I z — a I < R với 0 <R< +oo. Số thực R được gọi là bán kính hội tạ của chuỗi (2). ‘ Tại điểm 2 thỏa I z — a I = R, chuỗi (2) có thể hội tụ hoặc phân kỳ. Công thức tính bán kính hội tụ Ta sử dụng các tiêu chuẩn d’Alembert hoặc Cauchy để tìm bán kính hội tụ của chuỗi với Cn 0, Vn > N. ■ Trong trường hợp 3n > N, Cn = 0 thì ta sử dụng trực tiếp tiêu chuẩn hội tụ d’Alembert hoặc Cauchy.  > Chương 4. ChuSI và Thặng dư Nhắc lại oo Tiêu chuẩn hội tụ đối với chuỗi Un (*). U Nếu lim n+1 = D thì n—»oo U 71 Tiêu chuẩn hội tụ d’Alembert: D > 1 => (*) phân kỳ. Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy: c (*) hội tụ, Nếu lim c > 1 => (*) phân kỳ. lương 4. > Chương 4. ChuSI và Thặng dư R = lim C n n—»00 cn+l Tiêu chuẩn d’Alembert: . X . 1 Tiêu chuan Cauchy: R = lim r—- 1.3. Chuỗi Taylor a) Định lý ■ Neu hàm f(z) giải tích tìong hình tròn I z — a I < R thì với mọi z ưong hình ưòn đó, /(2) được khai ưiển thành oo chuỗi lũy thừa /(z) = Cn(z — à)n. Trong đó: VD 1. Tìm bán kính hội tụ và hình ttòn hội tụ cùa: 71=1 VD 2. lìm miền hội tụ của: oo — I * “ qn n=0 c 1 X ỈWdz n! 27rj^r(z-fl)'‘+1’ 0<r < R (*). oo ► Chuỗi y~^cji(2 — a)" với cn xác định theo (*) được gọi n=0 là chuỗi khai triển Taylor của f(z) quanh điểm a. ,2 nỉ 1! 2! 2n+l I" z„ ~ . (2n + l)! z2n , 4)cos2 = y'(-l)" ẻế (2n)! > Chương 4. Chuỗi và Thặng dư Khai triển Taylor của các hàm cơ bản quanh z = 0 »rh=Ệ n=ữ oo „71 nỉ z* , 25 27 z — 3! 5! 7! 2 J 77 + T7_77 + " 2! 4! 6!  > Chương 4. Chuỗi và TI Chú V Hàm /(z) giải tích tại điểm a nếu f(z) có thể khai hiển OQ thành chuỗi lũy thừa Cn(z — à)n quanh điểm a. 71—0 Hàm /(z) xác định tìong lân cận vô cùng I 2 I > R được gọi là giải tích tại oo nếu /(2) có thể khai triển b) Phương pháp khai triển Taylor Áp dụng công thức (*) để tìm hệ số c . Dựa vào tính chất của /(2) để thực hiện các phép biến đổi đồng nhất và áp dụng các khai ưiển đã biết. > Chưưng 4. Chuỗi và Thặng dư > Chưcng 4. ChuSI và Thặng dư VD 3. Khai triển Taylor của hàm ĩ(z) = —-— quanh: 2 — z a) điểm a = i; b) điểm a = oo. Giải a) Đặt t = z — i, ta có: _ 1 1 J(z) = -—:—- 2 — ỉ — t t 2-i' Vậy f(z) = Y' ——— w JU _ An+1 1 2 — i t 2 — i 1. iỴ, với I z — b) Đặt t = —, ta có: z f(z) = i = —t. 1 2t —1 1-2t n=0 oo Vậy /(*) = với I z I > 2- VD 4, Khai triển Taylor của ỉ(z) = 2s quanh z = 1. Giải. Đặt t = z — 1, ta có: nỉ nỉ irong VD 6. Khai triển Taylor /(z) = -—í—- quanh z = 1. Giải. Ta có: 11 z-3~ 2 1 l-^1 2 ỉ—í Qíl+l n=0 z 2. Đạo hàm từng số hạng cùa chuỗi, ta được: f(z) = - 1 Z-3 n=ũ n(z — 1)’ 2„+i 2. > Chưưng 4. Chuỗi và Thi > Chưưng 4. Chuỗi và TI 1.4. Chuỗi Laurent a) Định lý • Neu hàm phức f(z) giải tích trong hình vành khăn G:0<r<\z — a I <R<OO thì với mọi z thuộc G, ta có khai triển y(z) thành chuỗi Laurent: Chuỗi Laurent cn(z — a)" được chia thành 2 phần: Phần đềuỉ hội tụ trong miền I z — a I < R. Phần chính'. Trong đó: C-2 >2 f (,<,<«,„ez). " 2m A Az - a)n+1 n z — a {z — aị hội tụ trong miền I z — a I > r. > Chưưng 4. Chuỗi và Thặng dư > Chưcng 4. ChuSI và Thặng dư Chú V ► Chuỗi Taylor là trường hợp riêng của chuỗi Laurent, trong đố phần chính bị triệt tiêu. Khai triển Laurent của /(z) trong hình vành khăn cho trước là duy nhất. Tuy nhiên ttong các hình vành khăn khác nhau thì khai triển Laurent có thể khác nhau. b) Phương pháp khai triển chuỗi Laurent Cách 1. Tìm hệ số Cn từ công thức ttong định lý ưên. Tuy nhiên, cách này dẫn đến tính toán phức tạp. Cách 2. Đưa về khai triển Taylor để áp dụng các khai triển của các hàm sơ cấp đã biết. Giả sử hàm f(z) giải tích trong r <\z — a\<Rvà. = fSz) +'/2(z) hoặc ỉ(z) = ỈAz)-f2(z)- Trong đó, và f2(z) lần lượt giải tích trong I z — a I < R và I z — a I > r thì ta khai triển: 4(a) thành chuỗi lũy thừa của (z — a); f (z) thành chuôi lũy thừa của —-—. --z-a Ịựưng 4. iwng VD 7. Khai triển /(z) = - — — tíong các miền: (z-l)(z —2) Giải. Ta có: /(z) = —í— í—. z —2 z —1 a) Trong miền I z I < 1, hàm /(z) giải tích. Do I z I I <1 nên ta có khai triển Taylor: 1 1 1-í 2 > Chưưng 4. Chuỗi và Thi —oo +oo n Vậy/(3) = -£/■-£4, 2. oo 1 oo W/«=£i--ir*-=£ 2”+1 _ x 2”+1 2n+l b) Hàm f (z) = —giải tích trong I z I < 2 nên: z — 2 1 44 1-ế -- 2 Hàm Ị (z) = —— giải tích trong I z I > 1 nên: z — 1 1 1^1 1_1_ zị^zn z í«=4 /2w = -t z > Chưưng 4. Chuỗi và 1. 1. n=—1 ĩỉ=o ~ _ 2 c) Trong miên I z I > 2, ta có — z 1 và — z 1 nên: í(z) = ’4ĩ 1 VD 8. Khai triển f(z) = ————— trong các miền: z2 — z — 2 a)03. 1 VD 9. Khai triển f(z) = ez trong miền 0 < I a I < 4 Nhận xét , .Ậ . „ . , C , 1 Từ khai triên trên, ta có: —1 = —— z V.Z 1 r Ị , = 1. Vậy ỉ(z) = z Mặt khác, c = —— (b ez dz (0 < q < +oo). 2m i/ |z|=ự Vậy $ ez dz = 2iĩi, NỈn. mọi c bao quanh gốc o. > Chưcng 4. ChuSI và Thặng dư > Chưưng 4. Chuỗi và Thặng dư §2. THẶNG DƯ Điểm bất thường cô lập của hàm giải tích Định nghĩa Điểm z = a oo được gọi là dĩểm bắt thường cô lập của hàm Ị(z) nếu tồn tại một lân cận của a trong đó chỉ có z = aỉà điểm bất thường. VD 1 Hàm f(z) = có z = 0 là điểm bất thường cô lập. Hàm Ị(z) = — có hai điểm bất thường cô lập là z = ±í. Phân loại các điểm bất thường cô lập Giả sử z = a ca là điểm bất thường cô lập của y(z). Khi đó, hàm y(z) có khai triển Laurent trong hình vành khăn 0 < I 2 — fl I < -R là ỉ(z) = cn(z — a)n (*). n=—oo Neu trong khai triển (*) không chứa lũy thừa âm nào của (z —á), nghĩa là: f(z) = co + C! (* - «) + 5 (z - a)2 +... thì z = a được gọi là điểm bất thường bỏ được. Neu trong khai triển (*) có chứa hữu hạn các lũy thừa âm của (z — à), nghĩa là: Ịựưng 4. iwng 0 f(zì =— ~m ' (z-a)m ' (z-a)”1-1 “° ' thì z = a được gọi là cực điểm của /(z). Nếu (z — á)~m, m G N*, là lũy thừa âm cao nhất của (*) thì z = a được gọi là cực điểm cấp m của f{z). ■ Neu trong khai triển (*) có chứa vô số lũy thừa âm của (z — a) thì z = a được gọi là điểm bat thường cốt yếu của y(z). Chú ý Điểm bất thường bỏ được còn được gọi là cực điểm cấp 0 hay không điểm. Cực điểm cấp 1 (m = 1) còn được gọi là cục điểm đơn. c-m+l sin z ’ VD 2. Hàm /(^) = có khai triên Laurent: z 2 > 3! 5! 3! 5! Vậy z = 0 là không điểm của f(z). VD 3. Hàm f(z) = -- có khai triên Laurent: z2 z2 L + z + tt 2! JL Vậy z = 0 là cực điểm cấp 2. Nếu > Chưưng 4. Chuỗi và Thi VD 4. Hàm f(z) = ez có khai triển Laurent: _+°° 1 (1Y* 1 1 1 =1+ị+ĩb+ìb+- Vậy z = 0 là điểm bất thường cốt yếu. Cách tìm cực điểm cấp m Cho z = a oe là điểm bất thường cô lập cùa Ị(z). ■ Neu lim y(z) = L oo thì z = a là cực điểm cấp 0. lim/(z) = oe lim[(z — a)m/(z)] = L e c \ {0} . z—>a thì z = ạ là cực điểm cắp m.  > Chưưng 4. Chuỗi và ■ Neu lỉm y(z) không tồn tại thì z = a là điểm bất z—*a thường cốt yếu. VD 5. Tìm và phân loại điểm bất thường cô lập cùa: \ sin2 z VD 6, Xác định điểm bất thường cô lập của: /(z) = cos—. z — i Điểm bất thường cô lập tại vô cùng • Giả sử hàm /(z) giải tích trong mien r 0 và không giải tích tại z = oo. > Chưưng 4. Chuỗi và Thặng dư Đặt t = — thì f(z) = f y z t Khi đó g(t'j giải tích trong miền 0 < I z I < — nên có r khai triển Laurent. • Trong khai triển Laurent của p(t), tùy theo t = 0 là cực điểm bỏ được, cực điểm cấp m hay điểm bất thường cốt yếu ta có z = oo là cực điểm tương ứng của y(z). VD 7. Xác định điểm bất thường cô lập z = oo của: a) /(z) = cos -; b) g(z) = e?; z C)PJZ) = a^+a^-1  > Chưcng 4. ChuSI và Thặng dư THẶNG DƯ Định nghĩa • Hệ số c của —-— trong khai triển Laurent hàm f(z) 'Z — a quanh điểm bất thường cô lập z = a oo được gọi là thặng dư của Ị(z) tại điểm z = a. Ký hiệu là Res[f(z), a]. Vậy ta có: Res[f(z), = f(z)dz. 2iĩi Jc Trong đó, c : I z — a I = r. ưo>ng4. iwng ‘ Neu hàm y(z) giải tích trong miền I z I > r và z = (X) là điểm bất thường cô lập thì thặng dư tại vô cùng được định nghĩa là: Res[f(z), 00] = ố f(z)dz. 2tĩì jc Trong đó, c là đường tròn I z I = R > r. Phương pháp tính thặng dư > Cách 1. Dùng định nghĩa, ta có: ■ Res[f(z), a] = c_! (hệ số của —-— trong khai triển —— Ị— z — a f(z) quanh điểm z = a).  Res[f(z), oo] = —c_x (hệ số của - trong khai triển ————; z Ị(z) quanh điểm z = oo). > Cách 2. Dùng cực điểm. Nếu a oo là cực điểm đơn thì: Res[f(z), a] = lim[(z -a)/(z)]. z—tg Neu a oe là cực điểm cấp m (m > 2) thì: lỉes[f(z), a] = —lim[(z-a)mf(z)]c” — 1)! z^a > Chưưng 4. Chuỗi và > Chưưng 4. Chuỗi và Thì 2 a)/(z) = ez; b)^=Mĩ' e2 7+1 tại các điểm Chú ý Nếu a oc là cực điểm đơn và /(z) = ^7 với g(à) = 0, h(à) 0, gr(à) 0 thì: 7ỉes[/(z), a] = -^. g(g)| Khi tính giới hạn có dạng ta có thể dùng quy tắc L’Hospital. Z2 — 2z 4- 3 VI) 8. Tính Res[f(z), 2] của y(z) = —. z — 2  VD9. Tính Res[f(z), 1] của f(z) = 1 z(z-l) VD 10. Tính Res[f(z), 00] của các hàm: VD 11. Tìm thặng dư của /(z) = bất thường cô lập hữu hạn. VD 12. Tìm thặng dư của f(z) = SU1Z +1 tại các điểm z bất thường cô lập hữu hạn. > Chương 4. Chuỗi và Thặng dư §3. ÚNG DỤNG CỦA THẶNG DƯ Tính tích phân dọc theo đường cong kín ■ Định lý 1 Nếu hàm /(z) giải tích trong miền đóng D giới hạn bởi đường cong Jordan kín c trừ một số hữu hạn điểm av a2,an bất thường cô lập nằm trong D thì: £Ị(z)dz = 2mị^Res[f(z), ak]. c *=1 VD 1. Tính tích phân I = $ -Ệ-— dz. 14=2 z + 1 VD 2. Tính tích phân I = <£ z+ 2 -dz. — ^z ự(z + 1)  >Chương4.Chu Thặng dư 2E ■ Định lý 2 Neu f(z) giải tích ttong toàn mặt phang phức trừ một số hữu hạn điểm íĩp a2 ,..., an bất thường cô lập thì: ^2-Res[/ơ), + Reslf(z)> °°] = 0. VD 3. Tính tích phân I = (£ dz ' lị2*4+l VD 4. Tính tích phân I = ® dz. |z|=i 2 2 1 3.2. Tính tích phân hàm lượng giác ■ Dạng tích phân; 2tt 7T I = j" JZ(cosi,sin.í)dí hoặc I = j" R(cos t, sin i)dt. 0 —7T 2 2eữ 2z ’ eứ—e~ứ ?-l sin t = — = -— = 2i 2ie‘*2iz iwng > Chương 4. Trong đó, R(cost, sin t) là hàm hữu tỉ theo sin và cosin. ■ Phương pháp giải »Đặt z = ea, ta có: dz = ie'*d