Giáo trình Nhập môn đại số tuyến tính

⎤⎢ ⎥⎣ ⎦T = T ⇒ T – 1 = 1 1.1 0.1− 1 1 0 1 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ = 1 1 0 1 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ Theo công thức (3.3.8) B f = T – 1A f T = 1 1 0 1 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 1 1 0 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 1 0 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ = 0 1 1 0 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 1 0 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ = 0 1 1 1 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ * Cuối cùng ta tìm được B f + B g = 0 1 1 1 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ + 1 2 0 1− ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ = 1 1 1 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 2) * Tìm ma trận A g tương ứng với g trong cơ sở E1 , E2 . Theo công thức (3.3.8) A g = TB g T – 1 = 1 1 0 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 2 0 1− ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 1 0 1 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ = 1 1 0 1− ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 1 0 1 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ = 1 0 0 1− ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ * Cuối cùng ta tìm được A f A g = 1 1 1 0 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 0 0 1− ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦= 1 1 1 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 3) Trước tiên ta tìm toạ độ vectơ V trong cơ sở V1 , V2 từ đẳng thức α1V1 + α2V2 = V ⇔ 1 2 2 1 3 α α α + = = ⎧⎨⎩ ⇔ 1 2 2 1 3 α α α + = = ⎧⎨⎩ ⇒ Y = 2 3 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ Như vậy trong cơ sở V1 , V2 : ( f + g )(V) = (B f + B g)Y = 1 1 1 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 3 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ = 1 2− ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ IV- KHÔNG GIAN VECTƠ 1- Khái niệm Tập hợp T được gọi là không gian vectơ (còn gọi là không gian tuyến tính) nếu trên T xác định 2 phép tính Phép cộng 2 phần tử của T : ∀ V , U ∈ T ⇒ V + U ∈ T với các tính chất 77 1* Giao hoán: V + U = U + V ; ∀ V , U ∈ T 2* Kết hợp: (V + U) + W = V + (U + W) = V + U + W ; ∀ V , U , W ∈ T 3* Tồn tại “ phần tử không “ , ký hiệu là O ∈ T , thoả mãn điều kiện: V + O = O + V = V ; ∀ V ∈ T 4* Tồn tại “ phần tử đối “ của V ∈ T , ký hiệu là - V ∈ T , thoả mãn điều kiện: V + (– V ) = (– V ) + V = O ; ∀ V ∈ T Phép nhân phần tử của T với một số : ∀V ∈ T, ∀ α ∈ Χ ⇒ αV , Vα ∈ T với các tính chất 1* Giao hoán: αV = Vα ; ∀ V ∈ T , ∀ α ∈ Χ 2* Kết hợp với phép nhân 2 số: (αβ)V = α(βV) = αβV ; ∀ V ∈ T , ∀ α , β ∈ Χ 3* Phân phối với phép cộng 2 phần tử của T: α (V + U) = αV + αU ; ∀ V , U ∈ T , ∀ α ∈ Χ 4* Phân phối với phép cộng 2 số: (α + β)V = αV + βV ; ∀ V ∈ T , ∀ α , β ∈ Χ 5* V.1 = 1.V = V ; ∀ V ∈ T Ví dụ 12 1) T = Ρn với phép cộng 2 vectơ có toạ độ thực và phép nhân vectơ có toạ độ thực với số thực là Không gian vectơ . Ở đây “ phần tử không “ là vectơ không n- chiều , “ phần tử đối “ của vectơ thực n- chiều V là vectơ thực – V. 2) T = Χn với phép cộng 2 vectơ có toạ độ phức và phép nhân vectơ có toạ độ phức với số phức là Không gian vectơ . Ở đây “ phần tử không “ là vectơ không n- chiều , “ phần tử đối “ của vectơ phức n- chiều V là vectơ phức – V. 3) Tập hợp các ma trận cùng cấp m.n với phép cộng 2 ma trận và phép nhân ma trận với một số, ký hiệu MTm.n , là một Không gian vectơ . Ở đây “ phần tử không “ là ma trận không cấp m.n, còn “ phần tử đối “ của ma trận A là ma trận – A . 4) Tập hợp các các đa thức P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + akxk , k ≤ n với phép cộng 2 đa thức và phép nhân đa thức với một số, ký hiệu ΔΤn , là Không gian vectơ. Ở đây “ phần tử không “ là đa thức P(x) = 0 , “ phần tử đối “ của đa thức P(x) là đa thức – P(x) = – a0 – a1x – a2x2 – . . . – akxk , k ≤ n. 5) Tập hợp các các đa thức cùng bậc n : Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn với phép cộng 2 đa thức và phép nhân đa thức với một số , ký hiệu là ΚΤ , không phải là một không gian vectơ . Thật vậy với Pn(x) = 1 + xn ∈ KT , Qn(x) = – xn ∈ KT , n > 0 ta có Pn(x) + Qn(x) = 1 ∉ ΚΤ (1 là đa thức bậc không, không phải là đa thức bậc n) 78 6) Tập hợp các các hàm thực liên tục trên [a ; b] với phép cộng 2 hàm và phép nhân hàm với một số thực, ký hiệu C[a ; b] , là Không gian vectơ . Ở đây “ phần tử không “ là hàm f(x) = 0 “ phần tử đối “ của hàm f(x) là hàm – f(x) . 7) Tập hợp các hàm thực xác định và bị chặn bởi cùng hằng số 1 (có nghĩa là ⎢f(x) ⎢≤ 1 ) với phép cộng 2 hàm và phép nhân hàm với một số thực, ký hiệu là KT , không phải là một không gian vectơ. Thật vậy vì ⎢sinx ⎢≤ 1 cho nên sinx ∈ KT, nhưng với x = 2 π + 2kπ ta có ⎢2sinx ⎢= 2 > 1 , cho nên 2sinx ∉ KT . Chú ý Các khái niệm độc lập tuyến tính, cơ sở . . . đối với không gian vectơ n- chiều được áp dụng tương tự cho không gian vectơ . Ví dụ 13 Chứng tỏ A1 = 1 0 0 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ , A2 = 0 1 0 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ , A3 = 0 0 1 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ , A4 = 0 0 0 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ là cơ sở của Không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2.2, ký hiệu là MT2.2 (là cơ sở tự nhiên của MT2.2 ) . Giải * Mọi ma trận vuông A cấp 2.2 đều là tổ hợp tuyến tính của A1 , A2 , A3 , A4 vì A = a b c d ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ = aA1 + bA2 + cA3 + dA4 * A1 , A2 , A3 , A4 độc lập tuyến tính. Thật vậy α1A1 + α2A2 + α3A3 + α4A4 = O ⇔ 1 2 3 4 α α α α ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ = 0 0 0 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ ⇔ α1 = α2 = α3 = α4 = 0 2- Không gian con Tập con T1 của không gian vectơ T là không gian con của T nếu T1 là không gian vectơ với 2 phép tính cùng các tính chất như đã xác định trên T . Để kiểm tra tập con T1 của không gian vectơ T là không gian con của T với 2 phép tính cùng các tính chất như đã xác định trên T ta chứng tỏ những điểm cơ bản sau đây * ∀ V , U ∈ T1 ⇒ V + U ∈ T1 * ∀ V ∈ T1 , α ∈ Χ ⇒ αV ∈ T1 Ví dụ 14 1) Xét T1 = { V = [x y z]C∈Χ3 : x + y + z = 0 } . Ta có các kết qủa sau đây : a) T1 là không gian con của T = Χ3 . Thật vậy Xét V = [x y z]C ∈ T1 : x + y + z = 0 , U = [s t w]C ∈ T1 : s + t + w = 0 và α ∈ Χ . * V + U = [x + s y + t z + w]C ∈ T1 vì (x + s) + (y + t) + (z + w) = 0 * αV = [αx αy αz]C ∈ T vì αx + αy + αz = 0 b) Tìm cơ sở cuả T . Xét V = [x y z]C ∈ T1 : x + y + z = 0 ⇔ x = – y – z . 79 Ta có V = x y z ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = x 1 0 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ + y 0 1 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ + z 0 0 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = (– y – z) 1 0 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ + y 0 1 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ + z 0 0 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = y 1 1 0 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ + z 1 0 1 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ * Như vậy V là tổ hợp tuyến tính của V1 = [ ]1 1 0 C− , V2 = [ ]1 0 1 C− . * Các vectơ V1 , V2 ∈ T . Thật vậy : – 1 + 1 + 0 = 0 và – 1 + 0 + 1 = 0 * Bây giờ ta chứng tỏ V1 , V2 độc lập tuyến tính. Thật vậy α1V1 + α2V2 = O ⇔ α1 1 1 0 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ + α2 1 0 1 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = 0 0 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⇔ 1 2 1 2 0 0 0 α α α α − − = = = ⎧⎪⎨⎪⎩ ⇔ α1 = α2 = 0 Như vậy V1 , V2 là cơ sở của T . 2) T1 = { V = [x y]∈Χ2 : x + y = 1 } không phải là không gian con của T = Χ 2 vì O = [ ]0 0 C : 0 + 0 = 0 ≠ 1 ⇒ O ∉ T1 Chú ý DimΤ1 ≡ Số vectơ cơ sở của không gian con T1 ≤ Số vectơ cơ sở của không gian T ≡ Di Bài tập 1) Tìm hạng r của hệ vectơ đã cho. Chỉ ra r vectơ độc lập tuyến tính của hệ . Biểu diễn các vectơ còn lại thành tổ hợp tuyến tính các vectơ độc lập tuyến tính này . a) V1 = 1 1 1 0 − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , V2 = 2 1 0 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , V3 = 3 0 1 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , V4 = 4 1 2 1 − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , V5 = 5 1 1 2 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ b) W1 = [1 2 3] , W2 = [2 3 4] , W3 = [3 2 3] , W4 = [4 3 4] , W5 = [1 1 1] c) U1 = 1 1 3 2 − − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , U2 = 8 2 6 4 − − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , U3 = 3 1 4 2 − − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , U4 = 6 2 8 4 − − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 2) a) Tìm a để A=[ 1 0 a ] là tổ hợp tuyến tính của các vectơ A1 = [ 1 1 0 ], A2 = [ 0 1 0 ], A3 = [ 1 0 1 ] 80 b)Tìm b để B = 7 2 b − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ B1 = 2 3 5 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , B2 = 3 7 8 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , B3 = 1 6 1 − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ c) Tìm x để X=[ 5 9 x ] là tổ hợp tuyến tính của các vectơ X1 = [ 4 4 3 ] , X2 = [ 7 2 1 ] , X3 = [ 4 1 6 ] d) Tìm d để D=[ 5 6 d ]C là tổ hợp tuyến tính của các vectơ D1 =[ 3 2 5 ]C ,D2 =[ 1 3 5 ]C ,D3 =[ 2 4 7 ]C e) Tìm y∈ R để Y = [ 1 – i 2 ] là tổ hợp tuyến tính của các vectơ Y1 = [ 1 2 1 ] , Y2 = [– 1 1 2 ] , Y3 = [ 2 1 y ] 3) Hệ vectơ sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính : a) V1 = [ 1 0 0 . . . 0 a 1 k+1 . . . a 1 n] V2 = [ 1 2 0 . . . 0 a 2 k+1 . . . a 2 n] V3 = [ 1 2 3 . . . 0 a 3 k+1 . . . a 2 n] . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vk = [ 1 2 3 . . . k a k k+1 . . . a k n] . b) a1 = [1 2 3 4]C , a2 = [1 0 1 2]C , a3 = [3 – 1 – 1 0]C , a4 = [1 2 0 – 5]C 4) Cho hệ vectơ V1 = [1 1 1]C , V2 = [1 2 1]C , V3 = [1 0 a]C a) Chứng tỏ rằng khi a = – 1 thì hệ các vectơ V1 , V2 , V3 là cơ sở của Χ 3 b) Với giá trị nào cuả a thì hệ các vectơ V1 , V2 , V3 phụ thuộc tuyến tính c) Trong cơ sở tự nhiên vectơ Z có toạ độ X = [1 0 4]C . Tìm toạ độ của Z trong cơ sở V1 , V2 , V3 với a = – 1 d) Cho ma trận chuyển từ cơ sở V1 , V2 , V3 với a = – 1 sang cơ sở U1 , U2 , U3 là A = 1 1 1 0 2 2 0 0 3 − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . Tìm cơ sở U1 , U2 , U3 5) a) Cho 2 hệ vectơ V1 , V2 , V3 và U1 , U2 , U3 trong Χ 3 : V1 = 1 2 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , V2 = 2 3 3 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , V3 = 3 7 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; U1 = 1 1 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , U2 = 5 2 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , U3 = 1 1 6− ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . a1) Chứng tỏ cả 2 hệ vectơ đều là cơ sở của Χ3 a2) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở V1 , V2 , V3 sang cơ sở U1 , U2 , U3 a3) Giả sử vectơ V có toạ độ trong cơ sở U1 , U2 , U3 là Y , YC = [ 1 0 3 ] . Tìm toạ độ của V trong cơ sở V1 , V2 , V3 b) Cho 2 hệ vectơ V1 , V2 , V3 , V4 và U1 , U2 , U3 , U4 trong Χ 4 81 V1 = 1 0 0 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , V2 = 0 0 1 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , V3 = 1 1 0 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , V4 = 1 0 0 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ U1 = 1 1 0 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , U2 = 1 0 0 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , U3 = 1 1 1 0 − − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , U4 = 1 1 1 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ b1) Chứng tỏ cả 2 hệ vectơ đều là cơ sở của Χ4 . b2) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở U1 , U2 , U3 , U4 sang cơ sở V1 , V2 , V3 , V4 . b3) Giả sử vectơ V có toạ độ trong cơ sở V1 , V2 , V3 , V4 là X = [ 1 2 – 1 0 ]C . Tìm toạ độ của V trong cơ sở U1 , U2 , U3 , U4 c) Chứng tỏ A ≡ Anxn không suy biến ; V1 , V2 , . . . , Vn ∈ Χn và độc lập tuyến tính thì AV1 , AV2 , . . . , AVn ∈ Χn cũng độc lập tuyến tính 6) Ánh xạ f : Χ 3 → Χ 3 sau đây có tuyến tính hay không ? Vì sao ? ∀ V = 1 2 3 x x x ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∈ Χ 3 : a) f(V) = 1 2 3 1 3 2x x x x x − + − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ b) f(V) = 2 1 2 3 1 x x x x + − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 7) a) Tìm m để ánh xạ f : Χ 3 → Χ 3 sau đây là tuyến tính và tìm A tương ứng ∀ V = [x1 x2 x3]C ∈ Χ 3 : f(V) = [x1 2x2 + x3 m x1x3]C b) Tìm p , q để ánh xạ f : Χ 3 → Χ 3 sau đây là tuyến tính và tìm A tương ứng ∀ V = [x y z]C ∈ Χ 3 : f(V) = [pxy + z y – z xq]C c) Cho ánh xạ f : Χ 3 → Χ 3 ∀ V = x y z ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∈ Χ 3 : f(V) = 2 2 2 x ay z x y az ax y z + + + + + + ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ c1) Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính . c2) Tìm a để f không có ánh xạ ngược . c3) Tìm cơ sở của Kerf theo a ∈ Ρ . c4) Tìm cơ sở của Imf theo a ∈ Ρ . c5) Tìm f(E1) , f(E2) , f(E3) . d) Cho ánh xạ f : Χ 3 → Χ 3 với f(E1)=[1 – 1 2]C,f(E2) = [– 1 2 1]C, f(E3) =.[2 1 – a]C d1) Tìm f(V) , V = [x y z]C ∈ Χ 3 . d2) Tìm a để f không có ánh xạ ngược . d3) Tìm cơ sở của Kerf theo a . d4) Tìm ma trận ứng với f trong cơ sở V1 = [1 0 2]C , V2 = [0 1 1]C , V2 = [0 0 1]C , a = 0 . e) Cho ánh xạ f : V = [x y]C∈ Χ 2 , f(V) = [2x – y 4x – 2y 12x – 6y]C ∈ Χ 3. e1) Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính . e2) Xác định một cơ sở của Kerf . f) Cho ánh xạ f : Χ → Χ f(a + ib) = 2b – ia(a – 3ib) ; a , b ∈ Ρ . f1) f có phải là ánh xạ tuyến tính hay không ? f2) Tính f – 1(1 – 2i). 8) Trong các tập hợp sau đây , tập hợp nào là không gian con tuyến tính của Τ = Χ n ( với n tương ứng ) : a) Τa : Tập hợp các vectơ n- chiều mà tất cả các toạ độ đều nguyên . b) Τb : Tập hợp các vectơ 2- chiều mà ít nhất một toạ độ bằng không . c) Τc = { V = [x y]C ∈ Χ 2 : ax + by + c = 0 ; a , b , c ∈ Χ} . 82 d) Τd = [ ]CV x y z⎧ = ∈⎨⎩ Χ 3 : 0 0 ax by cz d ex fy gz h + + + = + + + = ⎧⎨⎩ ; a , b , c , d , e , f , g , h ∈ Χ ⎫⎬⎭ . e) Τe : Tập hợp các vectơ n- chiều mà tất cả các toạ độ đều không âm . f) Τf : Tập hợp các vectơ n- chiều mà tổng tất cả các toạ độ bằng không . g) Τg : Tập hợp các vectơ n- chiều mà tổng tất cả các toạ độ bằng một . h) Τh : Tập hợp các vectơ n- chiều mà mỗi vectơ là tổ hợp tuyến tính của k ( 1 ≤ k ≤ n ) vectơ n- chiều cho trước . i) Τi = Kerf , trong đó f : Χm → Χn là ánh xạ tuyến tính (Τ = Χ m ) . j) Τj = Imf , trong đó f : Χm → Χn là ánh xạ tuyến tính (Τ = Χ n ). 9) Tìm cơ sở các không gian con tuyến tính của Χ n : a) Τa = { V = [x y]C ∈ Χ 2 : ax + by = 0 ; a , b ∈ Χ} ( với n = 2 ) . b) Τb : Tập hợp các vectơ n- chiều mà tổng tất cả các toạ độ bằng không . c) Τc : Tập hợp các vectơ n- chiều mà toạ độ thứ nhất và thứ hai bằng nhau . d) Τd : Tập hợp các vectơ n- chiều mà các toạ độ với chỉ số lẻ bằng nhau và các toạ độ với chỉ số chẳn bằng nhau. 10) a) Trong cơ sở tự nhiên E 1 , E 2 , E 3 , E 4 ánh xạ tuyến tính f : Χ 4 → Χ 4 có ma trận A = 1 2 0 1 3 0 1 2 2 5 3 1 1 2 1 3 − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Tìm ma trận B của f trong các cơ sở : a1) E 1 , E 3 , E 2 , E 4 . a2) E 1 , E 1 + E 2 , E 1 + E 2 + E 3 , E 1 + E 2 + E 3 + E 4 . b) Ánh xạ tuyến tính f : Χ 3 → Χ 3 có ma trận A = 15 11 5 20 15 8 8 7 6 − − − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ trong cơ sở tự nhiên E 1 , E 2 , E 3 . Tìm ma trận B của f trong cơ sở : F1= 2E 1 + 3E 2 + E 3 F2 = 3E 1 + 4E 2 + E 3 F3 = E 1 + 2E 2 + 2E 3 c) Trong cơ sở a = [8 – 6 7]C , b = [– 16 7 – 13]C , c = [9 – 3 7]C ánh xạ tuyến tính f : Χ 3 → Χ 3 có ma trận A = 1 18 15 1 22 15 1 25 22 − − − − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . Tìm ma trận B của f trong cơ sở : m = [1 – 2 1]C , n = [2 1 2]C , c = [1 2 3]C d) Tìm Imf nếu ánh xạ tuyến tính f : Χ 3 → Χ 3 có ma trận d1) A = 1 2 2 2 1 3 8 1 5 − − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ d2) A = 1 2 2 2 4 4 3 6 6 − − − − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 11) Cho ánh xạ tuyến tính f : Χ 2 → Χ 2 trong cơ sở V1 = 1 2 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ , V2 = 2 3 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ có ma trận A f = 3 5 4 3 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ và 83 ánh xạ tuyến tính g : Χ 2 → Χ 2 trong cơ sở U1 = 3 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ , U 2 = 4 2 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ có ma trận B g = 4 6 6 9 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ a) Tìm ma trận tương ứng với f + g trong cơ sở U1 , U 2 . b) Tìm ma trận tương ứng với gf trong cơ sở V1 , V 2 . c) Cho vectơ V co toạ độ trong cơ sở U1 , U 2 là Y=[1 + i 2 – i ]C. Tìm (gf )(V) trong cơ sở V1, V 2 12) Cho ánh xạ tuyến tính ϕ : Χ 2 → Χ 2trong cơ sở a1 = 3 7 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ , a 2 = 1 2− ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ có ma trận A ϕ = 2 1 5 3 − − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ và ánh xạ tuyến tính ψ : Χ 2 → Χ 2 trong cơ sở b1 = 6 7− ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ , b 2 = 5 6 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ có ma trận B ψ = 1 3 2 7 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ a) Tìm ma trận tương ứng với ϕ – ψ trong cơ sở a1 , a2 . b) Tìm ma trận tương ứng với ϕψ trong cơ sở tự nhiên . 13) Cho 2 ánh xạ tuyến tính f , g : Χ 2 → Χ 2. Trong cơ sở V1 ,V2 ánh xạ tuyến tính f tương ứng với ma trận Af = 1 2 0 i ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ còn trong cơ sở U1 = V1 + 2V2 , U2 = 3V1 ánh xạ tuyến tính g tương ứng với ma trận Bg = 1 0 1 i ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ . a) Tìm ma trận tương ứng với f + 2g trong cơ sở V1 , V2 . b) Tìm toạ độ của g(U1 – 2U2) trong cơ sở U1 , U2 . 14) Giả sử Τ 1 , Τ 2 là 2 không gian con của không gian vectơ Τ . a) Chứng minh Τ 1 ∩ Τ 2 là không gian con của Τ . b) Cho ví dụ chứng tỏ Τ 1 ∪ Τ 2 không phải là không gian con của Τ . 15) Tập hợp S (V1 , V2 , . . . , Vm ) ≡ { V : V = 1α V1 + . . . + mα Vm ; 1α , . . . , mα ∈Χ} được gọi là tập sinh bởi các vectơ V1 , V2 , . . . , Vm . a)Với V1 = 3 4 2 − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , V2 = 2 3 1− ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; U1 = 11 9 5 − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , U2 = 0 17 7 − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ chứng tỏ S (V1 , V2 ) = S (U1 , U2 ) b) Với V1 = 1 0 0 1− ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , V2 = 2 1 1 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , V3 = 1 1 1 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , V 4 = 1 2 3 4 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , V 4 = 0 1 2 3 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ tìm cơ sở của S (V1 , V2 , V3 , V4 , V5 ) 84 16)a) Xét Τ 1 = x V y z = ∈ ⎧ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥⎨ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩ Ρ3 : x – y + z = 0 ⎫⎪⎬⎪⎭ , Τ 2 = x V y z = ∈ ⎧ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥⎨ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩ Ρ3 : 2x + y – 2z = 0 ⎫⎪⎬⎪⎭ a1) Chứng tỏ Τ 1 , Τ 2 là 2 không gian con của Τ = Ρ 3 . a2) Nêu ý nghĩa hình học của Τ 1 ∩ Τ 2 . a3) Chứng tỏ ∀ V ∈ Τ : V = V 1 + V 2 , V 1 ∈ Τ 1 , V 2 ∈ Τ 2 . Cách phân tích này có duy nhất hay không ? b) Tìm cơ sở của Τ 3 = C 4 2 0V : V = [x y z t] C : 2 0 x y z t x y z t − + + =∈ + − + = ⎧ ⎫⎫⎧⎨ ⎨ ⎬ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭ c) Xét Τ 4 = x V y z = ∈ ⎧ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥⎨ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩ Χ3 : 1 2 0 0 2 1 1 x y z = ⎫⎪⎬⎪⎭ c1) Chứng tỏ Τ 4 là không gian con của Τ = Χ3 . c2) Tìm cơ sở và suy ra số chiều của Τ 4 ( ≡ DimΤ 4 ) . d) Xét Τ 5 = x V y z = ∈ ⎧ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥⎨ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩ Χ3 : 2 3 0 2 0 3 2 0 x y z x y z x y z − + = + − = − + = ⎫⎧⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ d1) Chứng tỏ Τ 5 là không gian con của Τ = Χ3 . d2) Tìm cơ sở và suy ra số chiều của Τ 5 ( ≡ DimΤ 5 ) . 17) a) Trong ΜΤ2x2 - là tập hợp các ma trận vuông cấp 2x2 , tìm ma trận chuyển từ cơ sở tự nhiên sang cơ sở V1 = 1 0 0 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ , V2 = 1 1 0 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ , V3 = 1 1 1 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ , V4 = 1 1 1 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ b) Cho ΜΤ2 b gồm các ma trận vuông cấp 2 có dạng a b b d ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ ; a , b , d ∈ Χ . b1) Chứng tỏ ΜΤ2 b là không gian con của MΤ2x2 . b2) Tìm cơ sở của ΜΤ2 b . b3) Chứng tỏ f : ΜΤ2 b → ΜΤ2 b , f a b b d ⎛ ⎞⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠= 2 3 2 a b d b b a d + − − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ là ánh xạ tuyến tính và tìm Kerf . c) Cho ΜΤ2 c gồm các ma trận vuông cấp 2 có dạng a b b d ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ ; a , b , c ∈ Χ . c1) Chứng tỏ ΜΤ2 c là các không gian con của ΜΤ2x2 . c2) Tìm cơ sở của ΜΤ2 c . c3) Chứng tỏ f : ΜΤ2 c → ΜΤ2 c f a b c a ⎛ ⎞⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠= 2a c b c b c a c − + − + − + ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ là ánh xạ tuyến tính và tìm Kerf . 85 d) Cho ánh xạ f : ΜΤ2x2 → ΜΤ2x2 , f(X) = 1 2 3 4 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦X ; ∀ X∈ ΜΤ2x2 . d1) Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính d2) Tìm ma trận ứng với f trong cơ sở tự nhiên . d3) Tính f - 1(X) với X = 1 2 1 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ . e) Cho ánh xạ f : ΜΤ2x2 → ΜΤ3x2 , f(X) = 0 1 1 0 1 1− ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ X ; ∀ X∈ ΜΤ2x2 , trong đó ΜΤ3x2 là tập hợp các ma trận cấp 3x2 . e1) Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính e2) Tìm ma trận ứng với f trong cơ sở tự nhiên của ΜΤ2x2 . f) Cho ΜΤ2x3 f là tập hợp các ma trận cấp 2x3 có dạng a b c c a b ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ f1) Chứng tỏ ΜΤ2x3 f là không gian con của ΜΤ2x3 - tập hợp các ma trận cấp 2x3 . f2) Tìm cơ sở của ΜΤ2x3 f . g) Cho Γ = ⎧⎨⎩ X : X ∈ΜΤ2x2 3 2 0 0 ; 3 2 0 0 X − = − ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎭ . g1) Chứng tỏ Γ là không gian con của ΜΤ2x2. g2) Tìm cơ sở của Γ . 18) Cho ΔΤn là tập hợp các các đa thức : Pk(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + akxk , 0 ≤ k ≤ n a) Chứng tỏ hệ Χn các vectơ 1 , x , x2 , . . . , xn là cơ sở của ΔΤn ( cơ sở tự nhiên ) . b) Cho ánh xạ Tp : ΔΤn → ΔΤn+1 , Tp(Pk(x)) = 0 ( ) x kp x dx∫ b1) Chứng tỏ tp là ánh xạ tuyến tính . b2) Tìm ma trận tương ứng với Tp . b3) Tìm KerTp . c) Cho ánh xạ Dh : ΔΤn → ΔΤn - 1 Dh(Pk(x)) = [Pk(x)]’ c1) Chứng tỏ dh là ánh xạ tuyến tính . c2) Tìm ma trận tương ứng với Dh . c3) Tìm KerDh . d) Cho f1(x) = x2 – 1 , f2(x) = x2 + x +1 , f3(x) = x2 – ax – 3 . d1) Tìm a để f1(x) , f2(x) , f3(x) là cơ sở của ΔΤ2 . d2) Khi a = 2 hãy biểu diễn f(x) = 3x2 + x +1 qua f1(x) , f2(x) , f3(x) . d3) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở f1(x) , f2(x) , f3(x) với a = 0 sang cơ sở p1(x) = 1 , p2(x) = 1 + x , p3(x) = (1 + x)2 . d4) Biểu diễn f(x) = f1(x) – 2f2(x) + 3f3(x) với a = 0 trong cơ sở p1(x) , p2(x) , p3(x) . e) Cho ánh xạ tuyến tính f : ΔΤ3 → ΔΤ3 được xác định như sau f[p(x)] = (2x – 1)p’(x) + 3p(x) ; ∀ p(x) ∈ ΔΤ3 . e1) Tìm ma trân ứng với f trong cơ sở C3 : 1 , x , x2 , x3 . e2) Tìm Kerf . 86 e3) Chứng tỏ Δ ≡ { f(x) : f(x) = (2x – 1)p’(x) + 3p(x) ; p(x) ∈ΔΤ3 } là không gian con của ΔΤ3 và tìm DimΔ ( ≡ Số chiều của Δ ) . f) Chứng tỏ Φ ≡ { f(x) : f(x) = (2x – 1)(ax2 + bx + b) ; a , b ∈Χ } là không gian con của ΔΤ3 và tìm DimΦ ( ≡ Số chiều của Φ ) g) Chứng tỏ Γ ≡ { f(x) : f(x) = a + bx + cx2 + dx3 ∈ΔΤ3 , f(1) = 0 } là không gian con của ΔΤ3 và tìm DimΓ ( ≡ Số chiều của Γ ) h) Tìm a , b , c sao cho 4 vectơ : V1 = 1 , V2 = x + U2 , V3 = x2 + U2 , V4 = x3 + U2 , trong đó U2 = a + bx + cx2 , là cơ sở của ΔΤ3 i) Chứng tỏ 4 vectơ V1 = 1 , V2 = x + U2 , V3 = x2 + U3 , V4 = x3 + U4 , trong đó U2 = a , U3 = b + cx , U4 = d + ex + fx2 là cơ sở của ΔΤ3 . k) Chứng tỏ V1 = 1 , V2 = x – 1 , V3 = (x – 1)2 , V4 = (x – 1)3 là cơ sở của ΔΤ3 . l) Cho Λ ≡ { f(x) : f(x) = a + bx + cx2 : a – 2b + c = 0 } . l1) Chứng tỏ Λ là không gian con của ΔΤ2 . l2) Chứng tỏ f1(x) = 2 + x , f2(x) = x2 – 1 là cơ sở của L . m) Ánh xạ tuyến tính f : ΔΤ2 → ΔΤ1 được cho bởi ma trận A = 1 2 0 2 0 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ . m1) Tính f(1 – x2) . m2) Tìm a , c thoả mãn f(a + x + cx2) = 2 – x . 19) a) Cho Τa ={ f : Χ3 → Χ3 } là tập hợp các ánh xạ tuyến tính f : Χ3 → Χ3 . Trên Τ a xét 2 phép tính : cộng 2 ánh xạ tuyến tính và phép nhân ánh xạ tuyến tính với một số . a1) Chứng tỏ Τa là một không gian vectơ . a2) Tìm số chiều của Τa. b) Cho Τb = { f : Ρ → Ρ ; f(x) = acos2x + bsinx , a , b ∈Ρ }. Trên Τ b xét 2 phép tính : cộng 2 hàm số thực và phép nhân hàm số với một số thực . b1) Chứng tỏ Τb là một không gian vectơ . b2) Tìm số chiều của Τb. c) Tìm ánh xạ tuyến tính f : C3 → C3 sao cho f(Vk) = Uk , k = 1 , 2 , 3 với V1 = [ 0 1 1]C, V2 = [ 0 1 2]C, V3 = [ 1 1 0]C , U1 = [ 1 0 2]C, U2 = [ 1 1 1]C, U3 = [ Đáp số 1) a) * r(V1, . . . , V5) = 2 * 2 vectơ độc lập tuyến tính của hệ : V1 , V2 . * V3 = V1 + V2 V4 = 2V1 + V2 V5 = V1 + 2V2 b) * r(W1, . . . , W5) = 3 * 3 vectơ độc lập tuyến tính của hệ : W2 , W4 , W5. * W1 = W2 – W5 c) * r(U1, . . . , U4) = 3 * 3 vectơ độc lập tuyến tính của hệ : U1 , U2 , U3 . * U4 = 2U3 2) a) ∀ a ∈ Χ : V = (1 – a)V1 + (a – 1)V1 + aV3 . 87 b) * b = 15 : B = 1 3 (15 – 5α2)B1 + α2B2 + 1 3 ( – 9 + α2)B3 ; ∀ α2 ∈ Χ * b ≠ 15 : B không thể là tổ hợp tuyến tinh của B1 , B2 , B3 . c) ∀ x : 287 111 x + X1 + 3 12 111 x− X2 + 20 155 111 x − X3 = X d) ∀ d ∈ Χ : (2d – 23)D1 + (8d – 96)D2 + (85 – 7d )D3 = D e) * y = – 1 : Y không thể là tổ hợp tuyến tính của Y1 , Y2 , Y3 . * y ≠ – 1 , y ∈ Ρ : 8 (4 ) 3( 1) y i y y − + − + + Y1 + 7 2 (2 ) 3( 1) y i y y − + − + Y2 + 3 1 i y + + Y3 = Y 3) a) r(V1 , V2 , . . . , Vk) = k ⇒ Hệ vectơ V1 , V2 , . . . , Vk độc lập tuyến tính . b) r(a1 , a2 , a3 , a4) = 4 ⇒ Hệ vectơ a1 , a2 , a3 , a4 độc lập tuyến tính . 4) b) a = 1 c) Y = 5 35 2 2 C − −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ d) U1 = [1 1 1] C , U2 = [3 5 3]C , U3 = [2 – 3 – 4]C 5) a2) A = 6 71 41 2 20 9 1 12 8 − − −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ a3) X = 129 29 25 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ b2) B = 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ b3) Y = 1 1 2 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 6) a) Tuyến tính b) Không tuyến tính 7) a) m = 0 b) p = 0 , q = 1 c2) f không có ánh xạ ngược ⇔ a = – 3 , a = 3 3 2 i± . c3) * a = – 3 : Kerf có cơ sở là vectơ [ ]1 1 1 C . * a ≠ – 3 , a ∈ Ρ : Kerf = O . c4) * a ≠ – 3 : Cơ sở của Imf là cơ sở của Χ 3 . * a = – 3 : Cơ sở cuả Imf là U1 = [1 0 – 1]C , U2 = [0 1 – 1]C . c5) f(E1) = [1 2 a]C , f(E2) = [a 1 2]C , f(E3) = [2 a 1]C . d1) f(V) = 2 2 2 x y z x y z x y az − + − + + + − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ d2) f không có ánh xạ ngược khi a = – 13 d3) * a ≠ 4 : Kerf có cơ sở là vectơ [1 1 0]C. * a = 4 : Kerf có cơ sở là 2 vectơ [1 1 0]C , [2 0 1]C . 88 d4) 1 4 0 0 2 1 2 3 1 − − − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ e2) [ 1 2]C f2) 12 2 3 2 i± + m 8) a) Τ a không phải là không gian con tuyến tính của Τ = Χ n . b) Τ b không phải là không gian con tuyến tính của Τ = Χ 2 c) Τ c là không gian con tuyến tính của Τ = Χ 2 ⇔ c = 0 . d) Τ d là không gian con tuyến tính của Τ = Χ 3 ⇔ d = 0 , h = 0 . e) Τ e không phải là không gian con tuyến tính của Τ = Χ n . f) Τ f là không gian con tuyến tính của Τ = Χ n . g) Τ g không phải là không gian con tuyến tính của Τ = Χ n . h) Τ h là không gian con tuyến tính của Τ = Χ n . i) Τ i là không gian con tuyến tính của Τ = Χ m . j) Τ j , khi f có ánh xạ ngược , là không gian con tuyến tính của Τ = Χ n . 9) a) Khi a ≠ 0 : vectơ [– b a]C là cơ sở của Τ a . Khi b ≠ 0 : vectơ [ b – a]C là cơ sở của Τ a . Khi a = 0 , b = 0 : Τ a ≡ Χ 2 ⇒ 2 vectơ E1 , E2 là cơ sở của Τ a . b) n – 1 vectơ E2 – E1 , E3 – E1 , . . . , En – E1 là cơ sở của Τ b . c) n – 1 vectơ E1 + E2 , E3 , . . . , En là cơ sở của Τ c . d) Hai vectơ E1 + E3 + E5 + . . . E2 + E4 + E6 + . . . là cơ sở của Τ d . 10) a1) 1 0 2 1 2 3 5 1 3 1 0 2 1 1 2 3 − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ a2) 2 0 1 0 1 4 8 7 1 4 6 4 1 3 4 7 − − − − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ b) 34 44 22 0 2 0 0 0 3 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ c) 507630 2146590 3735990 1 47916 208103 350578 4050 57510 270830 421330 − − − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ d) d1) – 2y1 – 3y2 + y3 = 0 : Mặt phẳng qua gốc toạ độ . d2) 2 1 3 1 2 0 3 0 y y y y + = − = ⎧⎨⎩ ⇔ 321 2 3 yy y = = − : Đường thẳng qua gốc toạ độ . . 11) a) Bf + Bg = 44 44 41, 5 25− ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ b) Ag Af = 1 1161 1484 3 588 672− − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ c) 1 2475 323 3 2100 84 i i − − + ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 12) a) Aϕ – Aψ = 326 7