Giáo trình Phương pháp số (Phương pháp phần tử hữu hạn)

[D][B]dv  (II.13) Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 31 u(x) = [N]e . {q}e = x1 L      q1 + x L q2 như vậy hàm dạng của chuyển vị là [N]e = x x1 L L        (II.15) ứng suất chỉ còn một thành phần x xσ E.ε [D].{ε}  => [D] = E Ma trận tính biến dạng : [B] = [ ] [N] = d dx      x x1 L L        = d x d x1 dx L dx L        [B] =  1 1 1 1 1 L L L       , do vậy ma trận cứng phần tử theo (II.13): e L T e V 0 1 1 11 1 E.F[K] [B] [D][B]dv E [ 1 1] .F . dx = 1 1 1L L L                 ma trận cứng của phần tử thanh chịu kéo nén dọc trục: e[K] = 1 1E.F 1 1L      (II.16) ( E – mô đul đàn hồi , F – thiết diện thanh , L – chiều dài thanh ) Véc tơ tải phần tử {P}e được tính theo (II.14) là : * Do lực phân bố dọc trục : {P}eP = e L L T T e e S 0 0 x1 L[N] {p} ds [N] {p(x)} dx p(x)dx x L                , nếu p(x) = p0 hằng số thì {P}eP = 0 1p L 12       (II.17) * Do nhiệt độ thì : {P}ei =   e 0L T 0 0 e V 0 1 11 1 1 E α.T[B] [D] ε dv E α.T dx 1 12 2 L 2                 (II.18) T0 độ biến thiên nhiệt độ 2. Ghép nối các phần tử - Ma trận cứng – Véc tơ tải tổng thể. a) Ghép nối các phần tử: Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 32 Vật thể V được chia thành Ne miền con hay là phần tử ( Ve) bởi R điểm nút. Nếu mỗi nút có s bậc tự do thì số bậc tự do của cả hệ sẽ là : n = R × s . Gọi  q là véc tơ chuyển vị nút tổng thể ( còn gọi là véc tơ chuyển vị nút kết cấu) ,  q có n thành phần và là tập hợp tất cả các bậc tự do của tất cả các nút của hệ. Nếu mỗi phần tử có r nút khi đó số bậc tự do của mỗi phần tử sẽ là : ne = r × s. Véc tơ chuyển vị nút phần tử {q}e có ne thành phần gồm tất cả các bậc tự do của r nút của phần tử. Ta có các thành phần của véc tơ {q}e sẽ nằm trong các thành phần của véc tơ  q , do vậy ta có : {q}e = [L]e .  q (II.19) (ne × 1) (ne × n) (n× 1) trong đó [L]e được gọi là ma trận định vị của phần tử có kích thước (ne × n) Ví dụ 1: Dầm với 4 nút , mỗi nút có 2 bậc tự do như hình vẽ : Véc tơ chuyển vị nút tổng thể  q sẽ là :  q = { q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 q8}T khi đó ta sẽ có : 11 22 1 1 3 84 qq 1 0 0 0 0 0 0 0 qq 0 1 0 0 0 0 0 0 {q} [L] .{q} q 0 0 1 0 0 0 0 0 qq 0 0 0 1 0 0 0 0                                  3 1 4 2 2 2 5 6 8 q q0 0 1 0 0 0 0 0 q q0 0 0 1 0 0 0 0 {q} [L] .{q} q 0 0 0 0 1 0 0 0 q q0 0 0 0 0 1 0 0                                  5 1 6 2 3 3 7 8 8 q q0 0 0 0 1 0 0 0 q q0 0 0 0 0 1 0 0 {q} [L] .{q} q 0 0 0 0 0 0 1 0 q q0 0 0 0 0 0 0 1                                  Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 33 b) Ma trận cứng - véc tơ tải tổng thể. Sử dụng (II.12) ta sẽ có thế năng toàn phần :   e eN N T T e e e e e ee e 1 e 1 1({q} ) {q} [K] q {q} {P} 2             =>   eN T T T T e e e ee e 1 1{q} [L] [K] L {q} {q} [L] {P} 2         (II.20) Áp dụng nguyên lý Lagrange ( nguyên lý thế năng toàn phần dừng) về điều kiện cân bằng của toàn hệ tại các điểm nút : 1 2 n 0 q 0 qδ 0 0 q               hay dạng ma trận :    0 q    Ta có       e eN NT T e e e ee e 1 e 1 [L] [K] L {q} [L] {P} 0 q             dẫn đến phương trình    K q P    (II.21) với : K   là ma trận cứng tổng thể   eN T e e e e 1 K [L] [K] L             (II.22) - và  P là véc tơ tải tổng thể   eN T e e e 1 P [L] {P}    (II.23) Nhận xét 1. Hệ phương trình    K q P {0}     biểu diễn sự cân bằng của vật thể tại các điểm nút. Phần tử ijK của ma trận cứng tổng thể K   biểu thị lực sinh ra ở nút i do chuyển dịch đơn vị ở nút j khi tất cả các nút bị gắn cứng. Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 34 Thành phần iP của véc tơ tải tổng thể  P là ngoại lực tác động lên các phần tử (tính cả biến dạng và ứng suất ban đầu) được quy đổi về tương ứng với bậc tự do thứ i. Trường hợp hệ thanh còn phải kể thêm vào  P các ngoại lực tập trung tại tác động lên các điểm nút theo các bậc tự do tương ứng. 2. Khi thiết lập phương trình (II.21) ta chưa đưa vào các điều kiện biên động học ( liên quan đến dịch chuyển), vật thể lúc này là tự do, do đó ma trận K   là suy biến ( tức là định thức của K   bằng 0) do vậy không tồn tại 1K    . Nhưng sau khi đưa vào các điều kiên biên động học ta sẽ dẫn về phương trình :    * * *K q P    . 3. Việc sử dụng ma trận định vị [L]e để tính ma trận cứng K   và  P thực chất là sắp xếp các phần tử eK   và  eP vào vị trí của nó trong K   và  P . Tuy nhiên trong khi thực hành người ta sử dụng ma trận chỉ số tiện lợi hơn trong quá trình ghép nối. 4. * Do eK   đối xứng nên K   đối xứng. * K   có dạng băng * Bề rộng của băng tùy thuộc theo cách đánh thứ tự số nút Ví dụ Xét khung phẳng 10 tầng ( như hình vẽ), 4 nhịp. Nếu không kể đến 5 nút ngàm cứng thì hệ có 50 nút, mỗi nút có chuyển vị ( 3 bậc tự do) chưa biết => số ẩn của hệ là : 50 × 3 = 150 => ma trận K   có số phần tử = 150 2 = 22500 thành phần. a) Cách đánh nút theo chiều ngắn : B = 18 b) Cách đánh nút theo chiều dài : B = 33 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 35 Nhưng do ý nghĩa cơ học thấy rằng : ijK 0 khi i và j là các bậc tự do thuộc cùng một nút hoặc hai nút kề nhau, còn lại là bằng 0, chẳng hạn : 1,6 1,16 1,18 1,7 1,19K 0 ; K 0 ;K 0 ; K K 0     => chiều rộng của băng B = (S+1) × s , với S sự sai khác lớn nhất của mã số nút kề nhau. Với cách đánh số nút như hình a) có : B = ( 5 + 1). 3 = 18 b) có B = (10 +1) .3 = 33 Như vậy với ví dụ trên cách đánh số nút theo chiều ngắn như hình a) cho bề rộng băng B là nhỏ nhất. Như thể sẽ có lợi cho việc lưu trữ số liệu và việc giải hệ phương trình đại số . 3. Phép chuyển trục tọa độ Trong các phần trên ta đều tính giá trị các đại lượng : chuyển vị, biến dạng , ứng suất, ma trận hàm dạng [N]e , ma trận cứng phần tử [K]e , véc tơ tải phần tử {P}e đều trong hệ tọa độ thích hợp cho mỗi phần tử - là hệ tọa độ địa phương ( local coordinate system), do vậy phương của các bậc tự do cũng lấy theo hệ tọa độ này. Thực tế các kết cấu mà các phần tử khác nhau thì có các hệ tọa độ địa phương khác nhau, do đó các bậc tự do của các phần tử cũng khác nhau về phương. Chính vì lẽ đó cần có một hệ tọa độ chung cho toàn hệ - gọi là hệ tọa độ tổng thể ( global coordinate system). Nếu gọi : * hệ tọa độ địa phương là xyz và hệ tọa độ tổng thể là x’y’z’ * {q}e , {P}e , [K]e là véc tơ chuyển vị, véc tơ tải , ma trận cứng phần tử trong hệ tọa độ địa phương xyz * {q’}e , {P’}e , [K’]e là véc tơ chuyển vị, véc tơ tải , ma trận cứng phần tử trong hệ tọa độ tổng thể x’y’z’ khi đó ta có mối liên hệ giữa chúng : {q}e = [T]e . {q’}e và {P}e = [T]e {P’}e (II.24) Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 36 ma trận {T}e là ma trận biến đổi ( transformation matrix) các thành phần chuyển vị nút từ hệ tọa độ tổng thể x’y’z’ về hệ tọa độ địa phương xyz Chú ý :  Luôn có [T]e .[T]eT = [I] ma trận đơn vị, ( trường hợp nếu [T]e vuông thì nó sẽ là ma trận trực giao, khi đó [T]T = [T]-1)  Số thành phần của {q’}e có thể khác số thành phần của {q}e Do đó thế năng toàn phần của phần tử e sẽ là :   T T e e e e ee 1{q} [K] q {q} {P} 2    =>  T T T Te e e e e e e e ee 1{q'} [T] [K] [T] q ' {q'} [T] .[T] {P '} 2    =>  T T Te e e e e e ee 1{q'} [T] [K] [T] q ' {q'} {P '} 2    , hay là  T Te e e e ee 1{q'} [K'] q ' {q'} {P '} 2    . với Te e e e[K '] [T] [K] [T] (II.25) Do eN e e 1    , áp dụng nguyên lý Lagrange => :  [K'] q ' {P '} (II.26) Trong đó eN e e 1 [K'] [K']    - ma trận cứng tổng thể trong hệ tọa độ tổng thể.  q ' - véc tơ chuyển vị nút tổng thể trong hệ tọa độ tổng thể. {P '} = eN e n e 1 [P'] {P }   véc tơ tải tổng thể trong hệ tọa độ tổng thể. với n{P } - véc tơ tải tập trung tại các nút tác dụng theo các phương tương ứng của các thành phần véc tơ chuyển vị nút kết cấu  q ' - gọi là véc tơ tải trọng nút ( nodal load vector). Ví dụ: Xét phần tử thanh chịu kéo nén dọc trục : Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 37 nếu lấy hệ tọa độ địa phương 0x dọc trục, 0y vuông góc trục thanh, 0x lập với 0’x’ góc α Gọi các véc tơ cơ sở chính tắc của hệ 0xy là E = {e1 , e2} còn cơ sở chính tắc của 0’x’y’ là E’= { e’1 , e’2 } khi đó ma trận chuyển cơ sở từ E’ sang E là P với P = cosα sin α sin α cosα       ( ma trận P có các cột là tọa độ của E biểu diễn qua E’) do đó P-1 là ma trận chuyển cơ sở từ E sang E’, do đó với véc tơ x bất kỳ ta sẽ được: 1E E '[x] P [x]    , có 1 cosα sin αP sin α cosα       , chuyển vị q1 trong hệ tọa độ 0xy có tọa độ là 111 E 2 qq cosα sin α [q ] q0 sin α cosα                     q1 = q’1 . cosα + q’2 . sinα , tương tự chuyển vị q2 biểu diễn qua chuyển vị của hệ tọa độ tổng thể là  q2 = q’3 . cosα + q’4 . sinα Do vậy ta có : 1 1 2 2 3 4 q q qcosα sin α 0 0 q q0 0 cosα sin α q                    do đó : [T]e = cosα sin α 0 0 0 0 cosα sin α       (II.27) Nếu gọi  = cosα , m = sin α khi đó ta có Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 38 [T]e = m 0 0 0 0 m         (II.27)’ Theo (II.16) ta có ma trận cứng trong hệ tọa độ địa phương là : e[K] = 1 1E.F 1 1L      Áp dụng (II.25) thì ma trận cứng của phần tử trong hệ tọa độ tổng thể là T e e e e[K '] [T] [K] [T] = 0 m 0 1 1 m 0 0E.F 0 1 1 0 0 mL 0 m                           => [K’]e = 2 2 2 2 2 2 2 2 m m m m m mE.F L m m m m m m                              (II.28) 4. Xây dựng ma trận cứng tổng thể - Véc tơ tải tổng thể. Sử dụng ở đây hai hệ thống chỉ số để đánh số cho các bậc tự do của các nút : 1. Hệ thống chỉ số tổng thể: Đánh số các bậc tự do của toàn hệ thống tức là thứ tự của các bậc tự do đang xét trong  q hoặc  q , nó được đánh thứ tự là 1 , 2 , 3 ,, n = R× s 2. Hệ thống chỉ số phần tử : Để chỉ thứ tự các bậc tự do trong phần tử , hay là thứ tự các bậc tự do trong {q}e hoặc {q’}e , nó được đánh số 1, 2 , 3 , , ne = r × s trong đó R – số nút của cả hệ , r – số nút của phần tử , s – bậc tự do của một nút. Để xác định tương ứng mỗi thành phần của {q}e trong  q ( hoặc của {q’}e trong  q ) người ta đưa ra khái niệm ma trận chỉ số [b] ( còn gọi là ma trận liên hệ Boolean) mà mỗi giá trị của thành phần bij chính là chỉ số bậc tự do trong hệ thống chỉ số tổng thể tương ứng với bậc tự do thứ j trong hệ thống chỉ số phần tử của phần tử thứ i. Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 39 Ma trận chỉ số [b] có số hàng bằng số phần tử của hệ : Ne , có số cột bằng số bậc tự do của một phần tử. Khi sử dụng ma trận chỉ số [b] để xây dựng ma trận cứng tổng thể [K] và véc tơ tổng thể  P ( hoặc [K ] và  P ) thì cần nhớ rằng : mỗi thành phần eijK của ma trận cứng phần tử [K]e ( của phần tử thứ e ) sẽ được cộng thêm vào thành phần mnK của ma trận cứng tổng thể [K] , Điều này cũng thực hiện cho : mỗi thành phần eijK của ma trận cứng phần tử [K’]e ( của phần tử thứ e ) sẽ được cộng thêm vào thành phần mnK của ma trận cứng tổng thể [K ] , với m = bei ; n = bej ( chú ý bei , bej là giá trị của thành phần hàng e cột i và cột j trong ma trận [b] 5. Áp đặt điều kiện biên Hệ phương trình tổng thể (II.26) :  [K'] q ' {P '} sắp xếp lại dạng như sau:         b 111 12 1 b 2221 22 K ' K ' q ' p ' p 'K ' K ' q '                                      ( II.29) trong đó :  b2q ' là véc tơ chứa tất cả các bậc tự do ( chuyển vị nút) đã biết  1q ' véc tơ chứa các bậc tự do chưa biết ( còn lại trong  q ' )  b1p ' véc tơ tải với các thành phần đã biết  2p ' véc tơ tải chưa biết ( còn lại trong  p ' ) khi đó hệ phương trình (II.29) được viết thành hai hệ như sau :             b b 1 2 111 12 b 1 2 221 22 K ' q ' K ' q ' p ' (a) K ' q ' K ' q ' p ' (b)                 từ hệ (a) ta nhận được :      b b1 1 211 12K ' q ' p ' K ' q '        (II.30) Giải hệ (II.30) ta tìm được  1q ' => véc tơ chuyển vị tổng thể được xác định Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 40 Thay  1q ' vừa tìm được vào (b) ta tính được  2p ' => véc tơ tải tổng thể được xác định Chú ý : Trường hợp các chuyển vị nút bằng 0 thì (II.30) có dạng :    b1 111K ' q ' p '    hệ này nhận được từ hệ  [K'] q ' {P '} bằng cách bỏ đi các hàng , các cột ứng với các bậc tự do trong  q ' bằng 0. Ví dụ: Xét hệ thanh phẳng cùng thiết diện F và mô đul đàn hồi E , với các kích thước và chịu lực tập trung P như hình vẽ. Hãy thiết lập ma trận cứng tổng thể và véc tơ tải tổng thể trong hệ tọa độ tổng thể. Giải Mô hình hóa hệ thanh bởi 4 phần tử hữu hạn, mỗi phần tử có 2 bậc tự do ( là 2 chuyển vị theo các phương trục 0x , 0y . Áp dụng công thức (II.28) cho từng phân tử:  Ở phần tử (1) : α = 300 =>  = cosα = 3 2 , m = sin α = 1 2 1 2 3 4 <= (Vị trí cột trong ma trận cứng tổng thể) Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 41 => 1e 3 3 3 3 1 3 1 3 1 2E.F[K '] 34.L 3 3 3 3 43 1 3 1                   <= Vị trí Hàng trong MT cứng tổng thể  Ở phần tử (2) : α = 1500 =>  = cosα = 3 2  , m = sinα = 1 2 2 e 3 4 5 6 3 3 3 3 3 3 1 3 1 4E.F[K '] 54.L 3 3 3 3 63 1 3 1                    Ở phần tử (3) : α = 150 =>  = cosα = 3 1 2 2  , m = sin α = 3 1 2 2  3 e 5 6 7 8 52 3 1 2 3 1 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 6E.F 2 2 2 2[K '] 4.L 2 3 1 2 3 1 72 2 2 2 1 2 3 1 2 3 82 2 2 2                                      Ở phần tử (4) : α = 600 =>  = cosα = 1 2 , m = sin α = 3 2 4 e 7 8 3 4 1 3 1 3 7 3 3 3 3 8E.F[K '] 34.L 1 3 1 3 43 3 3 3                    Xây dựng ma trận chỉ số [b] : Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 42 Nút i Nút j Chỉ số cục bộ Phần tử 1 2 3 4 (1) 1 2 3 4 (2) 3 4 5 6 (3) 5 6 7 8 (4) 7 8 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 3 3 3 3 0 0 0 0 1 3 1 0 0 0 0 6 0 3 3 1 3 2 3 1 3 3 2 3 1 2 3 13 3E.F 2 2 2 2K ' 4.L 2 3 1 2 31 2 2 2 2 3 11 3 2 2 2 3 3 2                                                        Véc tơ tải tổng thể chỉ do tải trọng nút tạo nên. Thay tại nút 1 và nút 3 bằng các phản lực liên kết : px1 , py1 , px3 , py3 , và do tại các nút 1 và nút 3 : chuyển vị bằng 0 ta được : Đối xứng Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 43 véc tơ tải tổng thể   1 x 1 y 3 x 3 y p p 0 0 P ' p p 0 P                            , véc tơ chuyển vị nút tổng thể :   3 4 7 8 0 0 q q q ' 0 0 q q                         1 2 3 4 5 6 7 8 =>    K' . q ' P '    Do véc tơ chuyển vị nút tổng thể có các thành phần : 1 , 2 , 5 , 6 bằng 0, nên trong ma trận cứng tổng thể ta bỏ đi các hàng và cột thứ 1 , 2 , 5 , 6 và cũng bỏ đi các thành phần 1 , 2 , 5 , 6 trong véc tơ tải tổng thể. Khi đó sẽ dẫn về : 6 0 1 3 0 2 3 3 E.F 2 3 11 3 1 34.L 2 2 1 2 33 3 3 3 2 2                            3 4 7 8 q q q q           = 0 0 0 P             => 3 4 7 8 q q q q           = 0,17 0,894LP 0,12EF 0,52             Sử dụng ma trận chỉ số [b] và  q ' ta xác định được các véc tơ chuyển vị nút của các phần tử : 1 2 3 4 0 0,17 0 0,12 0 0,89 0 0,52EF EF EF EF{q '} ; {q '} ; {q '} ; {q '} 0,17 0 0,12 0,174.L 4.L 4.L 4.L 0,89 0 0,52 0,89                                                    Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 44 Chương III TÍNH TOÁN HỆ THANH BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN III.1 Hệ thanh dàn Dàn là một hệ gồm các thanh chỉ chịu kéo nén đúng tâm ( tức là chỉ chịu biến dạng dọc trục) 1. Phần tử thanh chịu biến dạng dọc trục (bài toán một chiều) : Xét phần tử thanh có hai điểm nút chịu biến dạng dọc trục, chịu tải trọng phân bố dọc trụ p(x). Như vậy phần tử có 2 bậc tự do là 2 chuyển vị của nút tại hai đầu . Do có 2 bậc tự do nên chuyển vị dọc trục u(x) của phần tử chỉ có thể là xấp xỉ tuyến tính: u(x) = a1 + a2x , hay là u(x) = [N]e . {q}e = x1 L      q1 + x L q2 , L độ dài thanh. như vậy hàm dạng của chuyển vị là [N]e = x x1 L L        (III.1) ứng suất chỉ còn một thành phần x xσ E.ε [D].{ε}  => [D] = E Ma trận tính biến dạng : [B] = [ ] [N] = d dx      x x1 L L        = d x d x1 dx L dx L        [B] =  1 1 1 1 1 L L L       (III.2) ma trận cứng phần tử theo (II.13): e L T e V 0 1 1 11 1 E.F[K] [B] [D][B]dv E [ 1 1] .F . dx = 1 1 1L L L                 ma trận cứng của phần tử thanh chịu kéo nén dọc trục: e[K] = 1 1E.F 1 1L      (III.3) ( E – mô đul đàn hồi , F – thiết diện thanh , L – chiều dài thanh ) Véc tơ tải phần tử {P}e được tính theo (II.14) là : Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 45 * Nếu do lực phân bố dọc trục : {P}eP = e L L T T e e S 0 0 x1 L[N] {p} ds [N] {p(x)} dx p(x)dx x L                , nếu p(x) = p0 hằng số thì {P}eP = 0 1p L 12       (III.4) * Nếu do nhiệt độ thì : {P}ei =   e 0L T 0 0 e V 0 1 11 1 1 E α.T[B] [D] ε dv E α.T dx 1 12 2 L 2                 (III.5) T0 độ biến thiên nhiệt độ Ví dụ Giải bài toán thanh dưới đây theo PPPTHH với sơ đồ 2 phần tử. Biết chiều dài thanh là 2a. Diện tích thiết diện F và mô đul đàn hồi E không đổi. Thanh chịu tải phân bố đều dọc trục và có cường độ p0 , chịu tại tập trung đầu dưới là Pt . Các bước giải: 1. Thực hiện việc rời rạc hóa vật thể khảo sát bởi việc xác định các nút, các phần tử và đánh số thứ tự các nút, các phần tử. Trong ví dụ này ta chia thanh thành Ne = 2 phần tử với 3 nút ( hình (b)), Thiết lập ma trận chỉ số [b] . Ma trận [b] = 1 2 2 3       Chỉ số cục bộ Phần tử Nút đầu Nút cuối (1) 1 2 (2) 2 3 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 46 2. Thiết lập ma trận cứng phần tử [K]e rồi thực hiện ghép nối các phần tử để xây dựng ma trận cứng tổng thể K   , ( chú ý rằng với bài toán một chiều thì x’  x ). Trong ví dụ này ta có [K]1 = [K]2 và sẽ có:  1 1 2 1 1 1EFK 1 1 2a        2 2 3 1 1 2EFK 1 1 3a       => 1 2 3 1 1 0 1 EFK 1 1 1 1 2 a 0 1 1 3                2. Thiết lập véc tơ tải phần tử {p}e và thực hiện ghép nối véc tơ tải tổng thể  P Do chịu lực phân bố đều có cường độ không đổi p0 và hai phần tử thanh giống nhau nên theo công thức (III.4) ta có :   01 1 1p .ap 1 22        ;   02 1 2p .ap 1 32        Nút 1 có phản lực liên kết R, nút 3 có tải trọng tập trung pt nên véc tơ tải trọng nút  np sẽ là :  n t R p 0 p            , khi đó véc tơ tải tổng thể sẽ là :   0 0 0 t 0 t p a R1 R 2p aP 1 1 0 p a 2 1 p p a p 2                            => có phương trình    K q P    như sau : Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 47 0 1 2 0 3 0 t p a R1 1 0 q 2EFK 1 2 1 q p a a 0 1 1 q p a p 2                                 (III.6) 4. Áp đặt điều kiên biên : Nhận thấy do kết cấu của bài toán nên 1q = 0, do vậy trong hệ thống phương trình (III.6) ta “tạm bỏ đi” hàng và cột ứng với 1q trong ma trận [K], tức là hàng 1 và cột 1 => dẫn về hệ hai phương trình xác định 2q và 3q : 0 2 0 3 t p aq2 1EF p aq1 1a p 2                  5. Giải hệ phương trình trên dẫn đến 2 2 2 0 t 3 0 t 3a a 2a 2aq p p ; q p p 2EF EF EF EF     do đó véc tơ chuyển vị nút tổng thể sẽ là :   2 0 t 2 0 t 0 3a aq p p 2EF EF 2a 2ap p EF EF                    (III.7) Thay vào (III.6) xác định được phản lực liên kết : R = - 2q - 2 0p a 2EF = 2 0 t p a a2 p EF EF   và các véc tơ chuyển vị nút phần tử sẽ là :   1 21 2 0 t 0 q q 3a aq p p 2EF EF                 ;   2 0 t 2 2 2 3 0 t 3a ap pq 2EF EFq q 2a 2ap p EF EF                  Có hàm dạng của chuyển vị là [N]1 = [N]2 = x x1 a a        do vậy : chuyển vị của mỗi phần tử : u1(x) = [N]1 {q}1 = x x1 a a        2 0 t 0 3a ap p 2EF EF          = 0 t 3a 1p p x 2EF EF      Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 48 u2(x) = [N]2 {q}2 = x x1 a a        2 0 t 2 0 t 3a ap p 2EF EF 2a 2ap p EF EF            = (III.8) => u2(x) = 2 0 t 3a ap p 2EF EF  + 2 0 t x a ap p a 2EF EF       Chú ý : biến x trong biểu thức của u1(x) và u2(x) là biến địa phương : 0 x a  Ma trận tính biến dạng [B] =  1 1 1 1 1 a a a       Lực dọc trên mỗi phần tử Ne = EF. xε = EF.[B].{q}e  N1 = EF.  1 1 1a  2 0 t 0 3a ap p 2EF EF          = 0 t 3a p p 2   N2 = EF.  1 1 1a  2 0 t 2 0 t 3a ap p 2EF EF 2a 2ap p EF EF            = 0 t a p p 2  (III.9) Để nghiên cứu kỹ hơn tính chất của PPPTHH, ta xét lời giải chính xác của bài toán này: Ta có phương trình vi phân : d du(x)EF p(x) 0 dx dx        , trong đó p(x) là cường độ tải trọng phân bố dọc trục thanh, ở bài toán này p(x) = p0 - hằng số , do đó ta nhận được bài toán : 2 02 d u(x)EF p 0 ; 0 x 2a dx     (III.10) và các điều kiện biên : x 0 tx 2a x 2a u(x) 0 du(x)N EF p dx       (III.11) Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 49 Giải phương trình (III.10) cùng các điều kiện biên (III.11) ta nhận được nghiệm chính xác của bài toán : u(x) =   2t 0 0 1 2p 4p a x p x 2EF     và N(x) = t 0 0p 2p a p x  (III.12) (a) – Biểu đồ chuyển vị u(x) (b) - Biểu đồ lực dọc trục N(x) Trên biểu đồ chuyển vị (a): nghiệm theo PPPTHH là đường gấp khúc ABC - đường liền nghiệm chính xác là đường cong ABC – đường nét đứt Trên biểu đồ lực dọc (b): nghiệm theo PPPTHH là đường gấp khúc ABCD - đường liền nghiệm chính xác là đường EF – đường nét đứt Như vậy để tiệm cận đến nghiệm chính xác thì ta cần tăng số nút lên , chẳng hạn số nú là 4 thì ta có biểu đồ chuyển vị và lực dọc như sau : 2. Phần tử thanh (chịu biến dạng dọc trục) trong dàn phẳng : Trong dàn phẳng, xem mỗi mắt dàn là một đỉnh nút và thanh chịu biến dạng dọc trục, do đó ở mỗi nút