Giáo trình Tiên đề liên tục

Tiên ĐỀ liên tỤC Nhóm thực hiện: 1.Trần Thị Thanh 2.Nguyễn Hồng Minh 3.Nguyễn Thị Thúy 4.Nguyễn Thị Thủy 5.Nguyễn Thị Quyết 6.Nguyễn Thùy Dương 7.Nguyễn Thị Hải 8.Lê Thị Tuyết Nga 9.Phạm Lan Phương 1.Tiên đề Đơđơkin hay tiên đề IV 2. Các định lý 3. Giao điểm của đường thẳng và đường tròn 4. Đo đoạn thẳng 5. Tọa độ của một điểm 6. Đo góc Tiên ĐỀ liên tỤC 1.Tiên đề Đơđơkin hay tiên đề IV  Nếu tất cả các điểm của một đường thẳng được chia thành hai lớp không rỗng sao cho: -Mỗi điểm của đường thẳng đều thuộc một lớp và chỉ một mà thôi . -Mỗi điểm của lớp thứ nhất đều đi trước mỗi điểm của lớp thứ hai.  Khi đó có một điểm luôn luôn ở giữa hai điểm bất kì thuộc hai lớp. Có thể coi điểm này là điểm cuối cùng của lớp thứ nhất.Hoặc là điểm đầu tiên của lớp thứ hai. Hình 1 1.Tiên đề Đơđơkin hay tiên đề IV  Định nghĩa 16:Người ta gọi điểm phân chia tập hợp các điểm trên một đường thẳng thành hai lớp trong tiên đề Đơđơkin là một lát cắt Đơđơkin của đường thẳng. Chú ý: Sau khi trên một đường thẳng đã có một lát cắt Đơđơkin ta có thể chọn một trong hai lớp làm lớp thứ nhất và khi đó lớp còn lại là lớp thứ hai. Việc lựa chọn này thực chất là việc xác định hướng cho một đường thẳng. 2. Các định lý 2.1.Định lý 31: Nếu tập hợp các điểm trên một đường thẳng có một lát cắt Đơđơkin thì điểm đó là duy nhất 2. Các định lý 2.1.Định lý 31: Chứng minh: Giả sử trên đường thẳng có hai lát cắt C1 và C2. Lấy một điểm P thuộc đoạn C1C2. Hình 2 P ở giữa C1 và C2 nên P vừa thuộc lớp thứ nhất vừa thuộc lớp thứ hai điều này mâu thuẫn ( vì theo tiên dề đơđơkin điểm P chỉ có thể thuộc một và chỉ một lớp mà thôi vậy suy ra trên một đường thẳng có một lát cắt đơ đơ kin thì điểm đó là duy nhất (đpcm) 2. Các định lý 2.2 Định lí 32 (Tiên đề Căngto) Trên một đường thẳng a bất kì nếu ta có một dãy vô hạn các đoạn thẳng A1B1, A2B2,…,AnBn ,…sao cho mỗi đoạn sau đều nằm trong đoạn trước đó (AiBi Ai-1Bi-1) Cho trước bất kì một đoạn thẳng AB nào ta cũng có một số tự nhiên n để cho đoạn AnBn của dãy bé hơn đoạn AB, thì khi đó có một điểm C duy nhất thuộc tất cả các đoạn AiBi của dãy. 2. Các định lý 2.2 Định lí 32 (Tiên đề Căngto) Chứng minh: Trước hết ta chứng minh sự duy nhất của điểm C. Giả sử có hai điểm C1 và C2 cùng thuộc tất cả các đoạn thẳng của dãy tức là C1C2 AnBn với n bất kì.Điều này trái với giả thiết là bất cứ đoạn thẳng AB nào cho trước( ở đây là C1C2 ) ta cũng có một số tự nhiên n đủ lớn để cho đoạn AnBn của dãy bé hơn đoạn thẳng C1C2 đó. Vậy điểm C là duy nhất. 2. Các định lý 2.2 Định lí 32 (Tiên đề Căngto) Chứng minh: Bây giờ ta giả sử trên đường thẳng a có một dãy vô hạn các đoạn A1B1, A2B2,…thỏa mãn điều kiện của tiên đề Căngto.Ta cần chứng minh có một điểm C thuộc tất cả các đoạn của dãy. Ta chọn một hướng trên đường thẳng a và giả sử các điểm Ai đều đi trước Bi. 2. Các định lý 2.2 Định lí 32 (Tiên đề Căngto) Chứng minh: Ta chia các lớp điểm Ai , Bi với i=1,2,…,n,… đó như sau: Tập hợp các điểm Ai thuộc lớp thứ nhất và tập hợp các điểm Bi thuộc lớp thứ hai. Theo giả thiết với i j ta có đoạn AjBj thuộc đoạn AiBi. Vì Aj ở giữa Ai và Bj nên Ai đi trước Bj. Tương tự vì Bj ở giữa Aj và Bi nên Aj đi trước Bi. Như vậy với i,j bất kì ta có Ai đi trước Bj.Sự phân lớp này thỏa mãn các điều kiện của tiên đề Đơ đơkin nên trên đường thẳng a có một lát cắt C. Điểm C này ở giữa hai điểm bất kì thuộc hai lớp và là điểm thuộc bất cứ đoạn AnBn nào. Thật vậy nếu có một đoạn AnBn nào không chứa điểm C thì hai điểm đó sẽ thuộc cùng một lớp( trái với giả thiết). 2. Các định lý Định lí 33 (Tiên đề Acsimet) Cho hai đoạn thẳng AB và CD bất kì.Khi đó có một số hữu hạn các điểm A1 ,A2 ,….,An thuộc đường thẳng AB sắp xếp sao cho A1 ở giữa A và A2 , A2 ở giữa A1 và A3 , …., An-1 ở giữa An-2 và An, B ở giữa A và An và sao cho các đoạn AA1, A1A2,….,An-1An đều bằng đoạn CD. 2. Các định lý Định lí 33 (Tiên đề Acsimet) Chứng minh: Ta chọn chiêu trên đường thẳng AB sao cho A đi trước B. Giả sử đối với hai đoạn thẳng AB và CD nào đó tiên đề Acsimet không đúng nghĩa là với mọi n ta đều có điểm An đi trước điểm B. 2. Các định lý Ta chia tập hợp các điểm của đường thẳng AB ra hai lớp như sau:Mỗi điểm đi trước một điểm Ai nào đó ( những điểm này cũng đi trước các điểm Ai+1, Ai+2,….), được xếp vào lớp thứ nhất.Tất cả các điểm còn lại của đường thẳng AB đượcxếp vào lớp thứ hai. Mỗi lớp này đều không rỗng vì lớp thứnhất chứa các điểm Ai và lớp thứ hai ít nhất cũng chứa điểmB.Sự phân lớp này thỏa mãn các điều kiện của tiên đề Đơđơkin nên ta có một lát cắt X. Định lí 33 (Tiên đề Acsimet) Chứng minh: 2. Các định lý Theo tiên đề III1 và định lí 18 thì đi trước điểm X có một điểm M sao cho XM trùng CD Định lí 33 (Tiên đề Acsimet) Chứng minh: Vì M đi trước X nên M thuộc lớp thứ nhất và giả sử M đi trước một điểm Ak nào đó ( vì mọi điểm Ak đều đi trước điểm X). Điểm Ak+1 cũng thuộc lớp thứ nhất nên Ak+1 đi trước X. Vậy đoạn XM chứa đoạn AkAk+1 XM mà XM trùng CD nên ta suy ra AkAk+1 trùng CD (vô lý). 2. Các định lý Định lí 33 (Tiên đề Acsimet) Chú ý: Dựa vào các nhóm tiên đề I, II, III cùng với các tiên đề Cangto và Acsimet người ta có thể chứng minh được tiên đề Đơđơkin. Như vậy là tiên đề Căngto và Acsimet tương đương với tiên đề Đơđơkin. 3. Giao điểm của đường thẳng và đường tròn Định nghĩa 17: Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và một đoạn thẳng AB. Đường tròn tâm O bán kính r là tập hợp tất cả các điểm M của mặt phẳng sao cho OM ≡ r. Tập hợp các điểm X của mặt phẳng sao cho OX r gọi là những điểm ngoài đường tròn. 3. Giao điểm của đường thẳng và đường tròn Định lý 34: Cho đường tròn tâm O bán kính r. Nếu một đường thẳng d đi qua một điểm P của đường tròn thì cắt đường tròn đó tại hai điểm và chỉ hai điểm mà thôi Chứng minh: Ta xét hai trường hợp: 3. Giao điểm của đường thẳng và đường tròn Định lý 34: Chứng minh: a/ Trường hợp đường thẳng d đi qua tâm O của đường tròn Vì d đi qua tâm O của đường tròn,O chia D thành 2 tia bù nhau.Ta giả sử là Ox và Oy Theo định lí 18,trên tia Ox ta xác định được duy nhất điểm M sao cho OM≡r Tương tự trên tia Oy ta xác định được duy nhất điểm N sao cho ON≡r Vậy đường thẳng d đi qua 1 điểm P trong đường tròn và cắt đường tròn tại 2 điểm và chỉ 2 điểm mà thôi. 3. Giao điểm của đường thẳng và đường tròn b/ Trường hợp đường thẳng d không đi qua O #) Chứng minh d cắtđườngtròntại 2 điểm Định lý 34: Chứng minh: 3. Giao điểm của đường thẳng và đường tròn Từ O hạ đường vuông góc xuống d ,cắt d tại A.Khi đó A có thể trùng với P(Vì P là điểm bất kì nằm trên đường thẳng d) Theo quan hệ đường xiên và đường cao thì OA ≤ OP. Mà P nằm trong đường tròn. Điểm A nằm trong đường tròn tâm O. Ta lại có điểm A chia đườngthẳng d thành 2 tia bù nhau,ta gọi là Aa’và Aa’’ trong đó Aa’ là tia chứa điểm P. Ta lại chia tập hợp tất cả các điểm của Aa’ ra làm 2 lớp: Lớp 1:gồm những điểm X của tia Aa’ sao cho AX AY(quan hệ đường xiên) =>OY>r =>Điểm Y thuộc lớp 2 =>Lớp 2 khác rỗng =>Vậy cả lớp 1 và lớp 2 đều không rỗng (1) Định lý 34: Chứng minh: Ta cần chứng minh :Mỗi điểm X của lớp 1 đều đi trước mọi điểm Y của lớp 2 Ta có: OX r(chứng minh trên) => OY > OX Mà theo tính chất của đường vuông góc cùng hình xiên và hình chiếu ta có:AY>AX nên suy ra X nằm giữa A và Y => X đi trước Y (2) => Từ (1) và (2) ta suy ra sự phân chia Ax thành 2 lớp đã thoả mãn các tiên đề của Đơđơkin. Khi đó có một điểm C luôn luôn ở giữa 2 điểm bất kì thuộc 2 lớp Ta chứng minh OC ≡ r. Thật vậy,ta tiến hành xét 2 trường hợp 3. Giao điểm của đường thẳng và đường tròn Định lý 34: Chứng minh: 3. Giao điểm của đường thẳng và đường tròn TH1: OCOE ↔ OC + r – OC >OE ↔r >OE E phải thuộc lớp 1 và E đi trước C(trái giả thiết) (3) Định lý 34: Chứng minh: 3. Giao điểm của đường thẳng và đường tròn TH2 :OC>r Trên Ax ta lấy điểm D đi trước C sao cho :DC≡ OC – r Trong ▲OCD ta có : OD >|OC - DC| ↔OD >|OC – OC +r| =|r| =r ↔OD > r D phải thuộc lớp 2,và C phải đi trước D (điều này trái giả thiết) (4) Định lý 34: Chứng minh: 3. Giao điểm của đường thẳng và đường tròn Từ (3) và (4) ta suy ra OC ≡ r, C thuộc đường tròn tâm O bán kính r và C là giao điểm của Aa’ với đường tròn Chứng minh tương tự, ta cũng có : C’ thuộc đường tròn tâm O, bán kính r và C’ là giao điểm của Aa’’ với đường tròn Như vậy ta suy ra d cắt đường tròn tại 2 điểm Định lý 34: Chứng minh: ##)Chứng minh :d cắt đường tròn tại đúng 2 điểm Thật vậy,ta giả sử C’’ là giao điểm của đường thẳng d với đường tròn =>OC = OC’ =OC’’=r =>▲OCC’ và ▲OCC’’ cân tại O Gọi E và F lần lượt là trung điểm của CC’ và CC’’ suy ra OE là đường cao của cân OCC’ và OF là đường cao của tam giác cân OCC’’ (trong tam giác cân đường trung tuyến cũng đồng thời là đường cao) => OE VÀ OF cùng vuông góc với đường thẳng d. Điều này là vô lí Vậy d cắt đường tròn tâm O tại 2 điểm và chỉ 2 điểm mà thôi (đpcm) 3. Giao điểm của đường thẳng và đường tròn Định lý 34: Chứng minh: 4. Đo đoạn thẳng  Định nghĩa 18 : Với một đoạn thẳng AB cho trước tồn tại duy nhất một hàm số f(AB) thỏa mãn các điều kiện sau đây : 1. Với mỗi đoạn thẳng AB ta có f(AB) > 0. 2 . Nếu hai đoạn thẳng AB và A’B’ bằng nhau thì f(AB) = (A’B’). 3 . Nếu có một điểm C ở chính giữa A và B thì : f(AC) + f(CB) = f(AB) 4 . Có một đoạn OE sao cho f(OE) = 1. Hàm số f(AB) gọi là độ dài của đoạn thẳng AB . Đoạn OE gọi là đơn vị dài hay là đoạn thẳng đơn vị . CHÚ Ý : Bốn điều kiện nêu trong định nghĩa trên thực chất là các tiên đề về độ dài đoạn thẳng . Như vậy là ứng với một đoạn thẳng AB ta có một số thực dương xác định gọi là độ dài của đoạn thẳng đó . 4. Đo đoạn thẳng  Định lí 35: Với mỗi đơn vị dài cho trước , mỗi đoạn thẳng có một độ dài duy nhất. Để chứng minh định lí này chúng ta cần hai bổ đề sau : Bổ đề 1: Nếu AB > A’B’ thì f( AB) > f( A’B’). Bổ đề II: Nếu ta chia đoạn thẳng đơn vị OE làm 2n phần bằng nhau (bằng cách chia làm 2 phần , 4 phần , 8 phần ...) thì độ dài mỗi đoạn thẳng ứng với với mỗi phần đó bằng 1/ 2n A 4. Đo đoạn thẳng  Định lí 35: Bổ đề 1 . Nếu AB > A’B’ thì f( AB) > f( A’B’) Chứng minh: Nếu AB > A’B’ thì giữa 2 điểm A và B có một điểm P duy nhất sao cho AP trùng A’B’ . Khi đó ta có : f(AB) = f(AP) +f( PB) theo điều kiện 3 = f(A’B’) + f(PB) vì theo điều kiện 2 ta có f(AP) = f(A’B’) Do đó f(AB) > f (A’B’) vì độ dài đoạn thẳng là một số thực dương 4. Đo đoạn thẳng  Định lí 35: Bổ đề II: Nếu ta chia đoạn thẳng đơn vị OE làm 2n phần bằng nhau (bằng cách chia làm 2 phần , 4 phần , 8 phần ...) thì độ dài mỗi đoạn thẳng ứng với với mỗi phần đó bằng 1/ 2n Chứng minh: Nếu ta chia đôi đoạn OE bằng điểm O1 ta có OO1 = O1E Theo điều kiện 2 của định nghĩa ta có f(OO1) = f(O1E) Nhưng ta lại có f(OO1) + f(O1E) = f (OE) = 1 theo điều kiện 3 và 4  Do đó f(OO1) = f(O1E) = 1/2 4. Đo đoạn thẳng  Định lí 35: Bổ đề II: Chứng minh: Ta lại chia đôi đoạn OO1 bằng điểm O 2 và lí luận tương tự như trên ta có f(OO2) = 1/22 Nếu tiếp tục chia như vậy cho đến điểm On ta có f(OOn) = 1/2n 4. Đo đoạn thẳng  Định lí 35: Chứng minh định lí 35: Với đoạn thẳng AB cho trước ta chứng minh f(AB) được xác định duy nhất. Trên nửa đường thẳng AB gốc O ta lấy các đoạn AA1 , AA2 … đều bằng OE . Ta xét các trường hợp sau đây : 4. Đo đoạn thẳng  Định lí 35: Chứng minh định lí 35: a . Nếu có một điểm Ak trùng với điểm B ta có:f(AB) = f(AA1) + + f(A1A2) + … + f(Ak -1Ak) = k Khi đó ta có f(AB) = k 4. Đo đoạn thẳng  Định lí 35: Chứng minh định lí 35: b . Nếu trong các điểm A1 , A2 ,A3 , … không có điểm nào trùng với điểm B thì theo tiên đề Asimet ta có điểm An – 1 và An sao cho điểm B ở giữa An – 1 và An sao cho điểm B ở giữa An – 1 và An 4. Đo đoạn thẳng  Định lí 35: Chứng minh định lí 35: Khi đó theo bổ đề I ta có : n – 1 0 2/Nếu hai góc (h͡,k) và (h͡’,k’ )bằng nhau thì β (h͡,k) = β (h͡’,k’) 3/Nếu có một tia l ở giữa hai tia h,k của góc (h͡,k) thì β (h͡,l)+ β (l͡,k) =β (h͡,k) 4/Có một góc β (h͡,k) sao cho β (h͡,k) = 1 6. Đo góc Sự tồn tại và duy nhất của số đo của góc hay còn gọi là độ lớn của góc cũng được chứng minh tương tự như là với độ dài của đoạn thẳng. Tuy nhiên ở đây không cần có một tiên đề giống như tiên đề Acsimet với đoạn thẳng vì người ta có thể chứng minh được một mệnh đề như vậy. Người ta thường chọn đơn vị góc sao cho góc vuông có độ lớn là ,và gọi đơn vị góc đó là radiăng(radian) 6. Đo góc Bàitập 12: Với nhóm tiên đề thứ tự ta biết được đường thẳng chứa vô số điểm và mặt phẳng cũng chứa vô số điểm. Với nhóm tiên đề liên tục chúng ta biết thêm điều gì mới nữa đối với các điểm trên đường thẳng và trong mặt phẳng?? 6. Đo góc Trả lời: Với tiên đề liên tục ta biết thêm có một điểm luôn luôn nằm giữa 2 điểm bất kì Tiên đề Đơđơkin tương đương với các tiên đề Địnhlí 32 (tiên đề Căn to) Trên một đường thẳng a bất kì nếu ta có một dãy vô hạn các đoạn thẳng A1B1 , … , AnBn,… sao cho : Mỗi đoạn sau đều nằm trong đoạn trước đó (A1B1CAi-1Bi-1) Cho trước bất cứ đoạn thẳng AB nào ta cũng có một số tự nhiên n để cho AnBn của dãy bé hơn đoạn AB , thì khi đó có một điểm C duy nhất thuộc tất cả các đoạn AiBi của dãy. Địnhlí 33(tiên đề Acsimet) Cho hai đoạn thẳng AB và CD bất kì . Khi đó có một số hữu hạn các điểm A1 , A2 , … ,An thuộc đường thẳng AB sắp xếp sao cho A1 ở giữa A và A2 , A2 ở giữa A1và A3 , … , , B ở giữa A và Anvà sao cho các đoạn AA1 , AA2 , … , An – 1An đều bằng CD. 6. Đo góc Merci de votre attention