Giáo trình Toán Lớp 12 - Nguyên hàm

NGUYÊN HÀM - Kiến thức cơ bản: khái niệm nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm, sự tồn tại của nguyên hàm, bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp, - Kỹ năng: biết cách tính nguyên hàm của một số hàm số đơn giản - Thaùi ñoä: tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv, năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của toán học trong đời sống - Tö duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ. II : Chuẩn bị  GV : Bảng phụ , Phiếu học tập  HS : Kiến thức về đạo hàm II. Phương phaùp: - Thuyết giảng , kết hợp thảo luận nhoùm vaø hỏi ñaùp. III. Nội dung vaø tiến trình leân lớp: 1/ Kieåm tra baøi cuõ : (10 phút) Câu hỏi 1 : Hoàn thành bảng sau : (GV treo bảng phụ lên yêu cầu HS hoàn thành , GV nhắc nhở và chỉnh sửa ) f(x) f/(x) C x  lnx ekx ax (a > 0, a  1) cos kx sin kx tanx cotx Câu hỏi 2 : Nêu ý nghĩa cơ học của đạo hàm 2/ Noäi dung baøi môùi: TG Hoạt động của GV Hoạt động của HS Noäi dung ghi baûng 10/ 10 / HÑI : Giôùi thieäu k/n nguyeân haøm. Bài toán mở đầu (sgk) Hỏi : 1) Nếu gọi s(t) là quãng đường đi được của viên đạn bắn được t giây , v(t) là vận tốc của viên đạn tại thời điểm t thì quan hệ giữa hai đại lượng đó như thế nào ? 2) Theo bài toán ta cần phải tìm gì? Dẫn dắt đến khái niệm nguyên hàm * Cho haøm soá y = f(x) thì baèng caùc quy taéc ta luoân tìm ñöôïc ñaïo haøm cuûa haøm soá ñoù. Vaán ñeà ñaët ra laø :” * HS đọc sgk Trò trả lời 1) v(t) = s/(t) 2) Tính s(t) biết s/(t) 1. Khái niệm nguyên ham Bài toán mở đầu (sgk) a/ Đënh nghéa : * Haìm säú F(x) âæåüc goüi laì nguyãn haìm cuía f(x) trãn K nãúu: x K ta coï: F’(x) = f(x) Chú ý : Haìm F(x) âæåüc goüi laì nguyãn haìm cuía f(x) trãn [a,b] 5/ 10/ Neáu bieát ñöôïc f’(x) thì ta coù theå tìm laïi ñöôïc f(x) hay khoâng ? * Giôùi thieäu ñònh nghóa.Ghi lên bảng * Cho HS đọc chú ý (sgk Tr 136) Cho ví duï : Tìm nguyeân haøm cuûa : a/ f(x) = x2. b/ g(x) = x2cos 1 .với x  ; 2 2       c) h(x) = x trên  ;0 *Gọi HS đứng tại chỗ trả lời ,GV chỉnh sửa và ghi lên bảng Củng cố : Cho HS thực hiện HĐ Trò trả lời a/ F(x) = 3 3x b/G(x) = tanx c)H(x) = xx 3 2 Thực hiện HĐ1 F1(x) = - 2cos2x là nguyên hàm của hàm số f(x) = 4sin2x F2(x) = - 2cos2x + 2 là nguyên hàm của hàm số f(x) = 4sin2x HS trả lời Vä säú, âoï laì : F(x) +C, C laì hàòng säú Đứng tại chỗ trả lời . nãúu F '(x) f (x), x (a, b)   vaìF/(a) = f(a) ; .vaìF/(b) = f(b) Vê duû: a. F(x) = 3 3x laì mäüt nguyãn haìm cuía f(x) = x2 trãn R b. G(x) = tgx laì mäüt nguyãn haìm cuía g(x) = x2cos 1 trãn khoảng        2 ; 2  c) H(x) = xx 3 2 laì mäüt nguyãn haìm cuía h(x) = x trên  ;0 b/ Âënh lyï:1 Nãúu F(x) laì mäüt nguyãn haìm cuía f(x) trãn K thç: a) Våïi moüi haìng säú C, F(x) + C cuîng laì nguyãn haìm T 2 10/ 10/ 2: (SGK)  Gọi HS đứng tại chỗ trả lời * GV nhận xét và chỉnh sủa Hỏi : Neáu bieát F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) thì ta coøn chæ ra ñöôïc bao nhieâu nguyeân haøm cuûa f(x). Từ đó ta có định lý 1 HĐ 3: Định lý 1 * Ghi định lý 1 lên bảng Hỏi 1 : Em hãy dựa vào tính chất F’(x) = f (x) ở hoạt động trên để chứng minh phần a của định lý vừa nêu. Hỏi 2 : Nếu f/(x) = 0 , có nhận xét gì về hàm số f(x) Xét  /)()( xFxG  = G/(x) – F/(x) = f(x) – f(x) = 0 , vậy G(x) – F(x) =C (C là hằng số ) Gv giới thiệu với Hs phần chứng minh SGK, trang 137, để Hs hiểu rõ nội dung định lý vừa nêu. Cho HS làm ví dụ 2 ( Trang 138, f(x) là hàm hằng HS lên bảng trình bày Thảo luận nhóm để hoàn thành bảng nguyên hàm đã cho và làm các ví dụ sau  cuía f(x) trãn K b)Ngược lại với moüi nguyãn haìm G(x) cuía f(x) trãn K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C våïi mọi x thuộc K . Chứng minh: (sgk) Vê duû:Tìm nguyên hàm của hàm số 2f (x) 3x trên R thoả mãn điều kiện F(1) = - 1 F(x) = 2 33x dx x C  F(1) = - 1 nên C = - 2 Vậy F(x) = x2 – 2 Tóm lại, ta có: Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì mọi nguyên hàm của f trên K đều có dạng F(x) + C , C R Vây F(x) + C là họ tất cả các nguyên hàm của f trên K , kí hiệu  f(x)dx. ( ) ( )f x dx F x C  Với f(x)dx là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì 10/ 12 / sgk) * GV nhận xét và chỉnh sửa GV ghi bảng phần nhận xét (sgk) . . . * Giới thiệu cho HS : Sự tồn tại của nguyên hàm: Ta thừa nhận định lý sau: (Gv ghi bảng ) Hoạt động 4 : Hãy hoàn thành bảng sau: (Phiếu học tập 1) * Hoạtđộng nhóm * Gọi đại diện nhóm lên bảng trình bày , gọi đại diện nhóm khác nhận xét , GV chỉnh sửa Từ đó có bảng nguyên hàm * Giåïi tiãûu baíng caïc nguyãn haìm cå baín.(treo bảng phụ lên) HS trình bày Chi a tæí cho maîu x  x xx 23  dx =  dx x xx 2 1 3 1 2 =  ( dxxx )2 2 1 3 2   = 2 1 3 1 4xx  + C = xx 433  + C dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx. “Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K” 2) Bảng các nguyên hàm của một số hàm số thường gặp * Treo bảng các nguyên hàm cơ bản (trang 139) Ví dụ : Tçm nguyãn haìm cuía caïc haìm säú sau 1) 4x4dx = 5 4 x5 + C 2)  x dx = 3 3 2 x + C 3) cosx/2 dx =2sin 2 x + C 3. Caïc tênh cháút cuía nguyãn haìm Nếu f và g là hai hàm số liên tục trên K thì : a) [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx     b) Với mọi số thực k  0 ta có ( ) ( ) ( 0)kf x dx k f x dx k   Cho vê duû aïp duûng Tçm nguyãn haìm cuía caïc haìm säú sau : (GV ghi lên baíng) Gọi HS lên bảng trình bày , GV nhận xét và chỉnh sửa Hoạt động 5 : Tính chất của nguyên hàm * Ghi tính chất của nguyên hàm lên bảng Gv giới thiệu với Hs phần chứng minh SGK, trang 140, để Hs hiểu rõ nội dung tính chất 2 vừa nêu Củng cố : Cho vê duû aïp duûng Tçm nguyãn haìm cuía caïc haìm säú sau : (GV ghi lán baíng) * Gọi HS lên bảng trình bay , GV hướng dẫn , chỉnh sửa * Hướng dẫn HS làm bài Tìm :  x xx 23  dx Thảo luận nhóm Ví dụ : 1)  ( x x 2 2  )dx = dxxdxx    2 1 2 1 2 2 1 = xx 4 3 1 3  + C 2)  (x – 1) (x4 + 3x ) dx= dxxxxx )33( 445  Cxxxx  2 3 56 2 3 56 3)  4sin2xdx =   dxx)2cos1(2 = 2x – sin2x + C *.  x xx 23  dx =  dx x xx 2 1 3 1 2 =  ( dxxx )2 2 1 3 2   = 2 1 3 1 4xx  + C= xx 433  + C Nội dung phiếu học tập Hỏi : Âãø tçm nguyãn haìm cuía haìm säú 3 x 2 xf (x) x   ta laìm nhæ thãú naìo ?(x > 0) HĐ 6 ) : Củng cố bài học  Phát phiếu học tập  Treo bảng phụ ghi nội dung phiếu học tập  Đại diện nhóm lên bảng trình bày , Gv nhận xét , chỉnh sửa IV. Củng cố ( 2/) + Gv nhắc lại các khái niệm và quy tắc trong bài để Hs khắc sâu kiến thức. + Dặn BTVN: Hoàn thành các bài tập 1..4 SGK, trang 141 + Xem trước bài : Một số phương pháp tìm nguyên hàm Nội dung các phiếu học tập : Phiếu học tập 1 : (5 phút ) 1) Hoàn thành bảng : f’(x) f(x) + C 0 x - 1 1 x ekx axlna (a > 0, a  1) coskx sinkx 2 1 osc x 2 1 sin x  Phiếu học tập 2 (10 phút ) : Tính các nguyên hàm : 1) * (5x2 - 7x + 3)dx = 2)    2 4cos1 x dx = 3)  2x xxx  dx = Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp sau: 0dx C (0 1) ln x x aa dx C a a     dx x C  sinkxdx = - k 1 coskx + C 1 ( 1) 1 xx dx C           coskxdx = k 1 sinkx + C ln ( 0)dx x C x x    2os dx tgx C c x    ekxdx = k ekx + C 2 cotsin dx gx C x   