Giáo trình Xác suất thống kê (Phần 2)

trình hồi quy tuyến tính mẫu của chiều cao đối với đường kính cây. d) Giả sử trước đó chiều cao trung bình của loại cây này ở cùng độ tuổi là 5,1m. Số liệu trên được lấy ở những cây đã được áp dụng một biện pháp chăm bón mới. Với mức ý nghĩa 5%, hãy nhận xét về tác dụng của việc chăm bón đó. Giải a) Đây là bài toán ước lượng tỉ lệ tổng thể. Ta xem tổng thể là loại cây trồng đang được nghiên cứu. Gọi p là tỉ lệ cây loại một của tổng thể. Ta cần ước lượng p với độ tin cậy  = 80%. Ta có kích thước mẫu định tính n = 3 + 5 + 2 + 10 + ... + 8 + 5 = 100. Số cây loại một trong mẫu k = 5 + 7 + 8 + 5 = 25. Do đó tỉ lệ mẫu là f = 100 25 n k  = 0,25. Tra bảng hàm số Laplace, ta thấy (1,6) = 2 89,0 = 0,445 nên Z = 1,6. Độ chính xác  = Z 100 75,0.25,0 6,1 n )f1(f   = 0,0693. Vậy, tỉ lệ cây loại một của tổng thể là p = f   = 0,25  0,0693 ; hay 18,07%  p  31,93%. b) Đây là bài toán ước lượng kì vọng của tổng thể. 88 Ta xem tổng thể là cây loại một. Gọi  là đường kính trung bình của tổng thể. Ta cần ước lượng  với độ tin cậy  = 98%. Mẫu định lượng có kích thước n = 5 + 7 + 8 + 5 = 25. Ta có 64,26 25 )58(287.265.24 X    ; 16,712 25 )58(287.265.24 X 222 2    ;  2 XS = 2,4704 ; S 2 = 2,5733 ; S = 1,6042. Vì n = 25 < 30 nên tra bảng phân phối Student dòng 24 cột 0,02 ta được T = 2,492. Tính độ chính xác  = T 25 604,1 .492,2 n S = 0,8045. Vậy, đường kính trung bình của cây loại một là  = 26,64  0,8045 (cm). c) Đây là bài toán tìm phương trình hồi quy tuyến tính mẫu. Ta tính được các đặc trưng mẫu sau đây. X = 24,5 ; Y = 4,65 ;  2 XS = 4,67 ; XY = 115,92. Do đó a = 67,4 65,4.5,2492,115  = 0,0915 ; b = Y - a X = 2,40825. Vậy, phương trình hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X là y = 0,0915x + 2,40825. Trong phương trình này x tính bằng cm, y tính bằng m. d) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về giá trị trung bình của tổng thể. Ta lại xem tổng thể là toàn bộ cây trồng đang nghiên cứu. Gọi  là chiều cao trung bình của tổng thể. Sau khi có chế độ chăm bón mới thì  chưa biết. Còn trước khi có chế độ này thì chiều cao đó là 5,1m. Ta giả thiết H : “ = 5,1”. Nếu giả thiết đúng thì chế độ chăm bón mới không có tác dụng. Nếu giả thiết sai thì chế độ này đã làm thay đổi chiều cao trung bình của cây. Ta tiến hành kiểm định H với n = 100, Y = 4,65. Ta cần tính thêm phương sai mẫu hiệu chỉnh. Theo mẫu ở câu c) ta có 2Y = 23,03 nên  2 YS = 23,03 – 4,65 2 = 1,4075 ; S2 = 99 100 .1,4075 = 1,4217. Suy ra S = 4217,1 = 1,1924. Vì n > 30 nên tra bảng hàm số Laplace ta tìm được Z = Z0,05 = 1,96. 89 Tính thống kê Zo = 8,3100 1924,1 5,1 - 4,65 n S Y o   . Suy ra Zo > Z nên H bị bác bỏ, tức là chế độ chăm bón mới đã làm thay đổi chiều cao của cây. Mặt khác, chiều cao trung bình của mẫu hiện nay là Y = 4,54m nhỏ hơn chiều cao trung bình của tổng thể trước kia. Vậy chế độ chăm bón mới đã làm giảm chiều cao trung bình của cây. C. BÀI TẬP 1. Theo kết quả thử nghiệm độ bền của các loại dây điện có đường kính khác nhau, người ta có bảng số liệu sau đây. Đường kính (X) 0,6 2 2,2 2,45 2,6 Lực tối đa (Y) 500 560 690 760 850 a) Hãy xác định hệ số tương quan mẫu giữa X và Y. b) Tìm phương trình hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X. 2. Điểm kiểm tra hai môn Toán và Lí của một nhóm sinh viên được cho trong bảng sau Điểm Toán (X) 7 6 7 10 4 5 7 8 8 9 Điểm Lý (Y) 8 7 7 9 5 3 8 9 6 7 a) Hãy ước lượng hệ số tương quan giữa khả năng học Toán và khả năng học Lí của sinh viên. b) Tìm phương trình hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X và X theo Y. 3. Bảng dưới đây cho ta kết quả thu hoạch Y (tấn/ha) theo lượng phân bón X (tạ/ha) trên 100 ha ruộng. 1 2 3 4 5 14 10 8 15 12 7 16 28 6 17 8 9 18 12 4. Nghiên cứu mối liên hệ giữa X (ngàn đồng) là số tiền đầu tư cho việc phòng bệnh tính trên đầu người và Y (%) là tỉ lệ người mắc bệnh ở 50 địa phương, ta thu được bảng số liệu sau đây. Y X 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 100 200 300 400 500 - - - 1 6 - - 4 6 3 - 3 6 4 - 2 6 3 1 - 3 2 - - - a) Tìm hệ số tương quan mẫu. b) Tìm phương trình hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X. 90 a) Tính hệ số tương quan mẫu. b) Tìm phương trình hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X. 5. Đo chiều cao Y (m) và đường kính X (cm) của một loại cây, ta được kết quả cho trong bảng sau đây. 6. Quan sát X và Y ta có bảng sau. 7. Cho X (%) và Y (g) là hai chỉ tiêu của một loại sản phẩm. Điều tra ở một số sản phẩm ta được kết quả sau. c) Hãy dự đoán chỉ tiêu Y của sản phẩm với điều kiện X = 7%. d) Để ước lượng trung bình của chỉ tiêu X với độ tin cậy 90% thì đảm bảo độ chính xác là bao nhiêu ? 8. Khảo sát về thu nhập và tỉ lệ thu nhập chi cho giáo dục ở 400 hộ gia đình, ta thu được bảng các số liệu sau. Y X 6 8 10 12 14 30 2 17 9 3 35 10 17 9 40 3 24 16 13 45 6 24 12 50 2 11 22 Y X 4 8 12 16 1 – 5 16 7 5 –10 18 21 30 3 10 –15 4 5 17 X Y 2 4 8 10 21,2 18 4 22,5 5 30 9 23,7 7 16 15 6 30 1 a) Xác định hệ số tương quan mẫu. b) Tìm các phương trình hồi quy tuyến tính mẫu. c) Hãy ước lượng tỉ lệ cây cao trên 10m với độ tin cậy 95%. Giả sử X và Y phụ thuộc tương quan tuyến tính. a) Tìm phương trình tương quan tuyến tính Y theo X. b) Ước lượng trung bình của Y khi X = 4 với độ tin cậy 95%. a) Tìm phương trình hồi quy tuyến tính mẫu X theo Y. b) Giả sử trước khi điều tra, giá trị trung bình của chỉ tiêu Y là 21,5kg. Số liệu trên được lấy sau một cải tiến kỹ thuật. Cho nhận xét về ảnh hưởng của việc cải tiến đó đối với chỉ tiêu Y của sản phẩm với mức ý nghĩa 0,05. 91 a) Ước lượng tỉ lệ thu nhập chi cho giáo dục trung bình của một gia đình với độ tin cậy 95%. b) Những gia đình có thu nhập bình quân một người trên 850 ngàn đồng/tháng là hộ có thu nhập khá cao. Nếu nói rằng : tỉ lệ hộ có thu nhập khá cao trong toàn vùng là 17,5% thì có chấp nhận được không với mức ý nghĩa  = 5% ? c) Để ước lượng tỉ lệ thu nhập chi cho giáo dục với độ chính xác  = 0,8% (với số liệu của bảng trên) thì đảm bảo độ tin cậy là bao nhiêu ? d) Giả thiết X, Y có sự phụ thuộc tương quan tuyến tính. Tìm phương trình hồi quy tuyến tính mẫu X theo Y. 9. Đo độ bền và tỉ lệ cácbon một số mẫu thép của một nhà máy luyện thép, ta có bảng sau đây. trong đó : . X là tỉ lệ cácbon (đơn vị tính : %) , . Y là độ bền của thép (đơn vị tính : kg/cm2). a) Hãy ước lượng độ bền trung bình của thép do nhà máy sản xuất với độ tin cậy 99%. b) Theo báo cáo của nhà máy thì với tỉ lệ cácbon trong khoảng 15 – 20% thì thép có độ bền trung bình là 150 kg/cm2. Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho kết luận về báo cáo đó. (Giả thiết Y có phân phối chuẩn). c) Tìm các phương trình hồi quy tuyến tính mẫu. 10. Quan sát một mẫu, ta có bảng thống kê lượng phân bón X (kg/ha) và năng suất lúa Y(tấn/ha) sau đây. X Y 10 20 30 40 50 550 – 650 650 – 750 750 – 850 850 – 950 10 40 40 20 20 60 80 30 20 40 30 10 X Y 3 – 5 5 – 9 9 – 15 15 – 20 80 – 100 100 –120 120 – 140 140 – 160 160 – 200 5 8 2 3 17 7 8 20 15 10 7 11 5 3 Trong bảng này : . X là tỉ lệ thu nhập chi cho giáo dục (đơn vị tính :%), . Y là thu nhập bình quân mỗi người/tháng (đơn vị tính : ngàn đồng). 92 a) Lập phương trình hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X. b) Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình của vùng đó với độ tin cậy 95%. c) Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình của những thửa ruộng đã dùng lượng phân bón 180kg/ha với độ tin cậy 99%. d) Để ước lượng năng suất lúa trung bình của cả vùng với độ tin cậy 99% và độ chính xác 0,05 tấn thì cần điều tra bao nhiêu ha ruộng nữa ? X Y 120 140 160 180 200 2,0 – 2,4 2,4 – 2,8 2,8 – 3,2 3,2 – 3,6 3,6 – 4,0 4,0 – 4,4 2 5 3 14 8 15 10 4 17 6 7 12 93 MỘT SỐ ĐỀ THI THAM KHẢO Thời gian làm bài : 90 phút ĐỀ SỐ 1 Câu I.(3 điểm) Phần thi trắc nghiệm của mỗi thí sinh có 3 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 cách trả lời, trong đó chỉ có 1 cách trả lời đúng. Một thí sinh không thuộc câu nào chọn ngẫu nhiên 1 trong 4 câu trả lời của mỗi câu hỏi. Gọi X là số câu thí sinh đó trả lời đúng. a) Lập bảng phân phối xác suất của X, tính kì vọng và phương sai của X. b) Tính P(X  2). Câu II.(3 điểm) Có 2 hộp, mỗi hộp đựng 5 viên bi cùng cỡ, trong đó bao gồm 3 bi đỏ và 2 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp thứ nhất ra 2 bi bỏ vào hộp thứ hai, sau đó lại lấy ngẫu nhiên từ hộp thứ hai ra 2 bi. a) Tính xác suất để 2 bi lấy từ hộp thứ hai đều là bi đỏ. b) Bỏ 2 bi vừa lấy được từ hộp thứ hai vào hộp thứ nhất. Tính xác suất để sau khi bỏ 2 bi lấy từ hộp thứ hai vào hộp thứ nhất thì số bi đỏ ở hộp thứ nhất nhiều hơn số bi đỏ còn lại trong hộp thứ hai. Câu III. (4 điểm) Để nghiên cứu sự phát triển của một loại cây ở một lâm trường, người ta đo đường kính X(cm) và chiều cao Y(m) của một số cây cùng độ tuổi và có được bảng số liệu sau. X Y 3 4 5 6 7 20 22 24 26 5 19 5 25 17 10 8 7 4 a) Tìm phương trình hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X. b) Ước lượng đường kính trung bình của loại cây này với độ tin cậy 95%. 94 ĐỀ SỐ 2 (Ngày thi 06/01/2004) Câu I (Xác suất – 6 điểm) Có hai cái hộp đựng sản phẩm. Hộp thứ nhất có 10 sản phẩm gồm 8 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm ; Hộp thứ hai có 10 sản phẩm gồm 7 sản phẩm tốt và 3 phế phẩm ; 1) Từ hộp thứ nhất lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm, từ hộp thứ hai lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Sau đó bỏ 5 sản phẩm đã lấy vào hộp thứ ba đang rỗng. Tính xác suất để trong 5 sản phẩm đã bỏ vào hộp thứ ba có a) đúng một phế phẩm ; b) ít nhất một phế phẩm. 2) Một xạ thủ được phép bắn không quá 4 viên đạn và bắn từng viên cho đến khi trúng mục tiêu thì ngừng bắn. Xác suất bắn trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn của xạ thủ đó đều là 0,7. Gọi X là số viên đạn mà xạ thủ đó đã bắn. a) Hãy lập bảng phân phối xác suất và hàm phân phối xác suất của X. b) Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X. Câu II (Thống kê – 4 điểm) Để ước lượng số cá trong hồ ở một trại nuôi cá, người ta đánh bắt 400 con cá ngẫu nhiên đủ các loại, đánh dấu rồi thả lại xuống hồ. Một thời gian sau đánh bắt lại ngẫu nhiên một số con cá. Cân và ghi khối lượng X(kg) của từng con cá, số con cá bị đánh dấu (mi) và số con cá không bị đánh dấu (ni) có khối lượng X(kg), ta được bảng số liệu dưới đây. X 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,4 (mi) 4 7 5 2 1 1 (nj) 20 36 40 32 30 22 1) Hãy ước lượng khối lượng trung bình của mỗi con cá trong hồ với độ tin cậy 95%. 2) Ước lượng toàn thể số cá có trong hồ và ước lượng doanh thu tối thiểu khi bán hết số cá trong hồ với độ tin cậy 95%, biết rằng mỗi kg cá trị giá 15000 đồng. * Cho biết  (1,96) = 0,475 ( là hàm Laplace) hoặc F(1,96) = 0,975 (F là hàm phân phối chuẩn). 95 ĐỀ SỐ 3 (Ngày thi 15/01/2004) Câu I (Xác suất – 6 điểm) Có 3 thùng hàng. Thùng thứ nhất có 10 sản phẩm gồm : 8 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm ; Thùng thứ hai có 10 sản phẩm gồm : 7 sản phẩm tốt và 3 phế phẩm ; Thùng thứ ba có 10 sản phẩm gồm : 6 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm. 1) Từ mỗi thùng lấy ra ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Gọi X là số phế phẩm trong 3 sản phẩm đã lấy. a) Lập bảng phân phối xác suất của X ; b) Tìm hàm phân phối xác suất của X ; c) Tính kì vọng và phương sai của X ; d) Tính xác suất để X  2. 2) Gieo đồng thời 2 đồng xu hai mặt sấp – ngửa cân đối đồng chất. Nếu được cả hai mặt sấp thì chọn thùng thứ nhất ; nếu được cả hai mặt ngửa thì chọn thùng thứ hai ; các trường hợp còn lại chọn thùng thứ ba. Từ thùng đã chọn lấy ra ngẫu nhiên 3 sản phẩm. a) Tính xác suất để trong 3 sản phẩm đã lấy có ít nhất một sản phẩm tốt. b) Biết rằng cả 3 sản phẩm đã lấy đều là phế phẩm, tính xác suất để 3 phế phẩm đó được lấy ra từ thùng thứ ba. Câu II (Thống kê – 4 điểm) Nghiên cứu mối quan hệ giữa điểm tuyển sinh X và điểm môn Toán cao cấp Y của sinh viên trường ĐH KTCN, chọn ngẫu nhiên một nhóm sinh viên của trường ta ghi được bảng số liệu sau * Cho biết  (1,96) = 0,475 ( là hàm Laplace) hoặc F(1,96) = 0,975 (F là hàm phân phối chuẩn). X Y 10 12 13 15 4 5 6 7 8 5 - - 5 10 16 11 4 3 8 16 - - 6 8 1) Tính hệ số tương quan tuyến tính mẫu và lập phương trình hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X. 2) Ước lượng điểm trung bình môn Toán cao cấp của sinh viên toàn trường với độ tin cậy 95%. 96 ĐỀ SỐ 4 (Ngày thi 23/06/2004) Câu I (3 điểm) Một hội chợ có 3 gian hàng tặng quà khuyến mãi. Để vào các gian hàng đó phải tung 1 súc sắc. Nếu xuất hiện mặt chẵn thì được vào gian hàng thứ nhất, mặt chia hết cho 5 thì vào gian thứ hai, các trường hợp còn lại vào gian thứ ba. Cho biết tỉ lệ khách hàng được quà khuyến mãi khi vào 3 gian hàng đó lần lượt là 20%, 40%, 30%. Giả sử bạn đi dự hội chợ. Tính xác suất để bạn tặng được quà khuyến mãi. Nếu bạn không được tặng quà thì xác suất bạn đã vào gian thứ ba là bao nhiêu ? Câu II (3 điểm) Một xạ thủ bắn 2 viên đạn vào 1 tấm bia gồm 2 vòng tròn. Bắn trúng vòng thứ nhất được 10 điểm, trúng vòng thứ hai được 6 điểm. Còn bắn trượt thì bị điểm 0. Gọi X là điểm trung bình của xạ thủ đó sau 2 lần bắn độc lập, mỗi lần 1 viên đạn. Hãy lập bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất và tính kì vọng, phương sai của X. Cho biết xác suất bắn trúng vòng thứ nhất là 0,5 ; vòng thứ hai là 0,3 ; còn xác suất bắn trượt là 0,2. Câu III (4 điểm) Cho X(kg) và Y(m) là hai đại lượng có mối quan hệ tuyến tính với bảng giá trị sau đây. X Y 20 25 30 35 10 16 10 12 15 21 30 12 15 14 15 17 1) Hãy tìm hệ số tương quan và lập phương trình hồi quy X theo Y. Nếu Y đo bằng cm thì phương trình này thay đổi như thế nào (không tính lại mẫu). 2) Giả sử số liệu trên được đo sau khi thực hiện một công nghệ sản xuất mới, còn trước đó tỷ lệ X  30kg là 40%. Hãy đánh giá hiệu quả của công nghệ đó với mức ý nghĩa 5%. 97 ĐỀ SỐ 5 (Ngày thi 07/08/2004) Câu I (3 điểm) Một hộp đựng 15 quả bóng bàn, trong đó có 9 quả chưa sử dụng lần nào. Lần đầu người ta lấy ngẫu nhiên 3 quả để thi đấu, sau đó trả lại vào hộp. Lần thứ hai lấy ngẫu nhiên 3 quả. Tìm xác suất để cả 3 quả lấy ra lần sau đều chưa sử dụng lần nào. Câu II (3 điểm) Trong một lô hàng có 20 sản phẩm, trong đó có 4 sản phẩm xấu, 16 sản phẩm tốt. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 10 sản phẩm để kiểm tra. a) Tìm xác suất lấy được toàn sản phẩm tốt. b) Gọi X là số sản phẩm tốt lấy được trong 10 sản phẩm đó. Hãy lập bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất và tính kì vọng, phương sai, độ lệch của X. Câu III (4 điểm) Kiểm tra các gói đường loại 1kg trong một siêu thị, ta có kết quả sau Khối lượng (kg) 0,95 0,96 0,97 0,99 1,00 1,01 1,03 Số gói 19 30 32 8 2 3 6 a) Với mức ý nghĩa  = 0,05 có thể kết luận việc đóng gói đảm bảo yêu cầu hay không? b) Hãy ước lượng tỉ lệ số gói đường có khối lượng dưới mức qui định với độ tin cậy 95,44%. Cho biết giá trị của hàm số Laplace  (1,96) = 0,475 ;  (2,00) = 0,4772. 98 1) Tìm hệ số tương quan tuyến tính mẫu và lập phương trình hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X; 2) Ước lượng lãi ròng trung bình mỗi tháng của công ty đó với độ tin cậy 95%. 3) Có báo cáo cho rằng tỷ lệ tháng có lãi ròng cao trên 65 triệu của công ty đó là 70%. Hãy kiểm định báo cáo đó với mức ý nghĩa 1%. ĐỀ SỐ 6 (Ngày thi 16/03/2005) Câu I (Xác suất – 6 điểm) Có 3 kiện hàng. Kiện thứ nhất có 10 sản phẩm gồm : 6 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm ; Kiện thứ hai có 10 sản phẩm gồm : 7 sản phẩm tốt và 3 phế phẩm ; Kiện thứ ba có 7 sản phẩm gồm : 4 sản phẩm tốt và 3 phế phẩm. 1) Cùng một lúc tung hai đồng xu hai mặt sấp – ngửa cân đối đồng chất trên một mặt phẳng nằm ngang. Nếu cả hai mặt đều sấp thì từ kiện thứ nhất lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm, từ kiện thứ hai lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Nếu trái lại thì từ kiện thứ nhất lấy ngẫu nhiên 2 sản phảm, từ kiện thứ hai lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Gọi T là số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm đã lấy ra. a) Lập bảng phân phối xác suất của T ; b) Tìm hàm phân phối xác suất của T ; c) Tính kỳ vọng của T ; d) Tính phương sai của T. 2) Bỏ ba sản phẩm vừa lấy vào kiện thứ ba. Sau đó từ kiện thứ ba lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm. a) Tính xác suất để cả 3 sản phẩm đã lấy sau cùng đều tốt ; b) Biết rằng không phải cả 3 sản phẩm lấy ra sau cùng đều tốt, tính xác suất để cả 3 sản phẩm đã lấy ra từ hai kiện đầu đều là phế phẩm. Câu II (Thống kê – 4 điểm) Nghiên cứu mối quan hệ giữa vốn đầu tư X(triệu đồùng) và lãi ròng Y(triệu đồng) hàng tháng ở một công ty kinh doanh, ghi chép trong một số tháng ngẫu nhiên ta được bảng số liệu dưới đây. Cho biết  (1,96) = 0,475 ;  (2,58) = 0,495 ( là hàm tích phân Laplace). X Y 50 100 150 200 20 10 5 2 - 40 5 10 3 - 60 - 15 10 5 80 - 5 10 20 99 ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ SỐ 1 Câu I (3 điểm) a) (2,5 điểm) * Trước hết ta tìm bảng phân phối xác suất của X (1,5 đ). Ta có X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị 0, 1, 2, 3. Ta tính P(X = k), k = 3,0 . Xem phép thử là trả lời 1 câu hỏi, ta có dãy 3 phép thử Bernoulli. Gọi Đ là biến cố sinh viên trả lời đúng câu hỏi đó thì P(Đ) = p = 4 1 . Áp dụng công thức Bernoulli ta được P(X = 0) = P3(0 ; 4 1 ) = 64 27 4 1 1 4 1 30 0 3             C ; P(X = 1) = P3(1 ; 4 1 ) = 64 27 4 3 4 1 C 21 1 3             ; P(X = 2) = P3(2 ; 4 1 ) = 64 9 4 3 4 1 C 12 2 3             ; P(X = 3) = P3(3 ; 4 1 ) = 64 1 4 3 4 1 C 03 3 3             ; Vậy bảng phân phối xác suất của X là X 0 1 2 3 P 64 27 64 27 64 9 64 1 * Tính kì vọng (0,5 đ) E(X) = 0. 64 27 + 1. 64 27 + 2. 64 9 + 3. 64 1 = 64 48 = 0,75. * Tính phương sai (0,5 đ) E(X2) = 02. 64 27 + 12. 64 27 + 22. 64 9 + 32. 64 1 = 64 72 = 1,125. D(X) = E(X2) – E2(X) = 0,5625. b) (0,5 điểm) Tính P(X  2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 64 9 + 64 1 = 64 10 . 100 Câu II (3 điểm) a) (1,5 điểm) Gọi Đ là biến cố lấy được 2 bi đỏ từ hộp thứ hai (sau khi có thêm bi của hộp thứ nhất). Rõ ràng Đ phụ thuộc số lượng bi đỏ được bỏ thêm vào hộp thứ hai. Do đó, ta gọi Đk là biến cố hộp thứ hai có thêm k bi đỏ của hộp thứ nhất, k = 2,0 . Khi đó, ba biến cố Đo, Đ1, Đ2 là một nhóm đầy đủ nên P(Đ) = P(Đo)P(Đ/Đo) + ... + P(Đ2)P(Đ/Đ2). Ta tính các xác suất ở vế phải bằng định nghĩa. Dễ thấy P(Đ0) = 2 5 2 2 C C , P(Đ1) = 2 5 1 3 1 2 C CC , P(Đ2) = 2 5 2 3 C C ; P(Đ/Đ0) = 2 7 2 3 C C , P(Đ/Đ1) = 2 7 2 4 C C , P(Đ/Đ2) = 2 7 2 5 C C . Vậy P(Đ) = 70 23 210 69 21 10 . 10 3 21 6 . 10 6 21 3 . 10 1  . b) (1,5 điểm) Gọi A là biến cố cần tìm xác suất, Bi là biến cố hộp thứ nhất có i bi đỏ sau 2 lần chuyển bi. Ta phân tích mối quan hệ giữa A với Bi. Theo đề bài, 2 bi vừa lấy ở hộp thứ hai (ta không biết chúng có màu gì) lại được bỏ vào hộp thứ nhất. Tuy nhiên, sau 2 lần chuyển bi thì số lượng bi ở mỗi hộp và tổng số bi đỏ ở cả hai hộp không thay đổi. (Mỗi hộp vẫn có 5 bi và tổng số bi đỏ vẫn là 6). Do đó, muốn A xảy ra, tức là số bi đỏ ở hộp thứ nhất phải nhiều hơn số bi đỏ còn lại ở hộp thứ hai thì B4 hoặc B5 phải xảy ra. Ta có phép toán A = B4 + B5, mà hai biến cố này xung khắc nên P(A) = P(B4) + P(B5). * Ta đi tìm P(B4), P(B5). Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có P(B4) = P(Đ0)P(B4/Đ0) + ... + P(Đ2)P(B4/Đ2). - Để tìm P(B4/Đ0) cần lưu ý rằng : Khi Đ0 xảy ra thì hộp thứ nhất còn lại 3 bi đỏ (hộp thứ hai có 3 bi đỏ, 4 bi xanh), nên muốn B4 xảy ra thì phải lấy thêm 1 bi đỏ và 1 bi xanh từ hộp thứ hai. Suy ra P(B4/Đ0) = 21 12 C CC 2 7 1 4 1 3  . - Nếu Đ1 xảy ra thì hộp thứ nhất còn lại 2 bi đỏ, 1 bi xanh (hộp thứ hai có 4 bi đỏ, 1 bi xanh) nên cần có thêm 2 bi đỏ của hộp thứ hai. Suy ra P(B4/Đ1) = 21 6 C C 2 7 2 4  . 101 Dễ thấy P(B4/Đ2) = P( ) = 0. Vậy P(B4) = 210 48 0. 10 3 21 6 . 10 6 21 12 . 10 1  . . Tương tự, P(B5) = P(Đo)P(B5/Đo) + ... + P(Đ2)P(B5/Đ2) = 210 3 0. 10 3 0. 10 6 C C . 10 1 2 7 2 3  . Vậy P(A) = 70 17 210 348   . Câu III (4 điểm) a) (2 điểm) Từ mẫu ta tính được : 94,22X  ; 52,528X2  ;  2 XS = 2,2764 ; 99,4Y  ; 34,115XY  . Do đó a = 0,3819 ; b = - 3,7708. Vậy phương trình hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X có dạng y = 0,3819x – 0,37708. b) (2 điểm) Đây là bài toán ước lượng giá trị trung bình của tổng thể. Xem tổng thể là toàn bộ loại cây đó ở lâm trường. Gọi đường kính trung bình của tổng thể là . Ta cần ước lượng  với  = 95%. Ta tính thêm phương sai mẫu hiệu chỉnh của mẫu định lượng (theo X). Ta có  2 XS = 2,2764 nên S 2 = 99 100 .2,2764 = 2,2993 và S = 1,5164. Tra bảng ta được Z = 1,96 ; độ chính xác :  = 1,96. 10 5164,1 = 0,2972. Vậy  = 22,94  0,2972 (cm). ĐỀ SỐ 2 Câu I (6 điểm) 1) (3 điểm) a) (1,5 điểm) Gọi A là biến cố cần tìm xác suất. 102 Gọi Tk là biến cố lấy được k phế phẩm (và 3 – k sản phẩm tốt) từ hộp thứ nhất, k= 3,0 . Gọi Ti’ là biến cố lấy được i phế phẩm ( và 2 – i sản phẩm tốt) từ hộp thứ hai, i = 2,0 . Ta có phép toán A = T1To’ + ToT1’ , trong đó các biến cố tham gia vào tích thì độc lập, các biến cố tham vào tổng thì xung khắc. Do đó P(A) = P(T1)P(To’) + P(To)P(T1’). Bằng định nghĩa ta tính được các xác suất ở vế phải. Vậy P(A) = 675 294 5400 2352 C CC . C C C C . C CC 2 10 1 7 1 3 3 10 3 8 2 10 2 7 3 10 2 8 1 2  . b) (1,5 điểm) Gọi B là biến cố có ít nhất 1 phế phẩm trong hộp thứ ba. Ta có B là biến cố trong hộp thứ ba không có phế phẩm nào, tức là toàn sản phẩm tốt. Khi đó P( B ) = 675 147 5400 1176 C C . C C 2 10 2 7 3 10 3 8  . Suy ra P(B) = 1 - 675 528 675 147  . 2) (3 điểm) a) (2 điểm). Ta có X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, X nhận các giá trị 1, 2, 3, 4. Để tính P(X = k), k = 4,1 , ta gọi Vi là biến cố viên đạn thứ i bắn trúng