Hệ thống tính toán Trachtenberg là gì

,684 đều là số chẵn. Đây là một trường hợp có các chữ số lẻ. Nhân 365,187 với 4. Bước 1: Lấy 7 trừ từ 10 được 3; sau đó cộng thêm 5 vì 7 là số lẻ Bước 2: Lấy 8 trừ từ 9 cộng với một nửa của 7 Bước 3: Lấy 1 trừ từ 9 cộng với 5 cộng với một nửa của 8 được 7 (nhớ 1) Bước 4, 5 và 6: Chúng ta lặp lại như trên. Nhớ rằng 3 và 5 là các số lẻ, do đó phải cộng với 5 Bước cuối: Lấy một nửa của 3 trừ đi 1 cộng với số nhớ được 1 Để thực hành, chúng ta áp dụng cách thức trên với những ví dụ sau: Đáp số: 1. 10,752 2. 3,441,768 3.991,388 4. 218,472 Chỉ cần một chút thực hành, việc nhân sẽ trở nên đơn giản nếu so sánh với cách thức nhân bảng. Sau một vài giờ, việc thực hiện phép nhân sẽ trở nên tự nhiên hơn. THỰC HIỆN PHÉP NHÂN VỚI NĂM, SÁU VÀ BẢY Các phép nhân tiếp theo, với 5,6 và 7, được thực hiện từ ý tưởng “chia đôi” mỗi chữ số. Chúng ta viết như vật bởi vì chúng dựa trên phép chia đôi đơn giản, bỏ đi phần dư nếu tồn tại. Thực hiện chia đôi 5, ta được kết quả 2. Kết quả chính xác phải là , tuy nhiên chúng ta không cần sử dụng phân số. Tương tự “một nửa” của 3 là 1, và “một nửa” của 1 là 0. Tất nhiên, “một nửa” của 4 là 2, và các số chắn khác cũng tương tự vậy. Các bước được thực hiện một cách tức thời. Chúng ta không nói đến việc quan tâm đến “một nửa” của 4, mà chúng ta sẽ nhìn số 4, để nhận được số 2. Thực hiện như vậy với các chữ số còn lại: 2,6,4,5,8,7,2,9,4,3,0,7,6,8,5,8,3,6,1 Những chữ số lẻ: 1, 3, 5, 7, 9 tạo phần dư trong phép chia và cần xử lý đặc biệt. Các chữ số còn lại, đưa ra kết quả trực tiếp. THỰC HIỆN PHÉP NHÂN VỚI 6 Bây giờ ta sẽ thực hiện phép nhân bằng việc “chia đôi”. Một phần của quy tắc nhân một số với 6 là: Cộng mỗi chữ số với một nửa của số liền kề nó. Chúng ta sẽ giả thiết rằng: tạm thời chúng ta sử dụng quy tắc này là đủ để thực hiện phép nhân với 6, và thực hiện phép tính: Bước 1: 4 là chữ số đầu tiên bên phải của số bị nhân, và nó không có số liền kề bên phải nên không cần thực hiện phép cộng. Bước 2: Chữ số thứ 2 là 8, và số liền kề với nó là 4, do vậy chúng ta cộng 8 với một nửa của 4(2), ta nhận được 10.Bước 3: Số tiếp theo là 0. Ta cộng nó với một nửa của 8, là số liền kề. 0 cộng với 4 là 4, và thêm số nhớ là 1. Lặp lại bước này với các chữ số 2, 2, 6 và 0, ta được: Bạn có thể thấy việc thực hiện dễ dàng của cách tính này. Thử với 2 phép nhân tiếp theo. Kết quả của phép tính thứ nhất là 26,424. Kết quả của phép tính thứ 2 là 172,130,544. Chúng ta đã thực hiện xong các phép tính. Tuy nhiên đó không phải là quy tắc đầy đủ để thực hiện nhân với 6. Quy tắc đầy đủ là: Với mỗi chữ số, cộng nó với “một nửa” số bên cạnh, cộng 5 nếu đó là chữ số lẻ. Nếu chữ số đó là lẻ ta cần cộng thêm 5, nó không tạo sự khác biệt khi tính với số bên cạnh có là chữ số lẻ hay không. Chúng ta sẽ xem xét tất cả các chữ số, và kiểm tra xem nó là số chẵn hoặc số lẻ. Nếu nó là số chẵn, chúng ta chỉ đơn giản cộng nó với một nửa số liền kề. Nếu nó là lẻ, chúng ta cộng nó với 5 và sau đó cộng với một nửa số liền kề, như chúng ta đã làm ở trên. Lấy ví dụ: Ở các chữ số 3 và 5, là các số lẻ. Chúng ta sẽ cần phải cộng chúng với 5, thực hiện như bên dưới: Bước 1: 2 là số chẵn và là chữ số cuối, viết nó xuống Bước 2: 5 là số lẻ, 5 cộng 5, cộng một nửa của 2, được 11 Bước 3: 5 là số lẻ, 5 cộng 5, cộng một nửa của 2, được 11 Bước 4: 3 là số lẻ, 3 cộng 5 là lẻ Bước 5: 4 cộng một nửa của 3 Bước 6: 4 cộng một nửa của 4 Bước cuối: 0 cộng một nửa của 4 Kết quả là 2.658,312. Tất nhiên, mọi giải thích ở đây chỉ dùng để mục đích làm rõ nhất cách thức thực hiện trong lần đầu. Trong thực hành, việc thực hiện sẽ diễn ra nhanh bởi việc cộng một chữ số với một nửa chữ số liền kề là đơn giản. Với điều lưu ý duy nhất số lượng thực hiện các phép tính, việc thực hiện nó trở nên tự động. Bạn sẽ hiểu rõ ràng hơn, nếu bạn thực hiên các bước đối với các phép tính đặt ra: Đáp án đầu tiên là 49,404. Kết quả phép tính thứ 2 là 37,501,128. Các phép tính mà ta đã thực hiện đều với số bị nhân là số có nhiều chữ số. Ta vẫn có thể áp dụng đối với việc nhân với số có một chữ số. Thực hiên 8 nhân 6, với phương pháp trên: Khi số bị nhân là số lẻ, ví dụ 7, chúng ta cộng 5 vào bước đầu tiên. Tất nhiên ta không cần cộng ở bước tiếp theo, với 0 là một số chẵn. 7 cộng 5, ở hàng cuối 0 cộng một nửa của 7, cộng nhớ 1 là 4 Phần lớn mọi người, có thể cảm thấy rằng, họ đã thuộc lòng bảng nhân 6. Hơn một nửa những người bình thường, có thể cảm thấy tự tin với nó để áp dụng phép nhân trong các trường hợp phức tạp hơn. Đó không phải là vấn đề ở đây. Kỹ thuật được trình bày ở trên được sử dụng lặp lại trong các phép tính phức tạp hơn, và họ sẽ cần phải dựa bảo bảng nhớ trên. Cách tốt nhất để thực hiện theo một cách thức mới đó là áp dụng nó một cách tương đối giống với cách truyền thống. Đó là cách chúng ta đang làm. Mặc dù (và đó là điều quan trọng hơn ý nghĩa của nó), đó là bắt đầu thay đổi thói quen tính toán trong đầu óc. Chúng ta đã biết tất cả về các bàn cãi về cách đọc ở những người bình thường, và các phương pháp đã được áp dụng để phát triển khả năng đọc nhanh. Có một ý kiến rằng có nhiều người có thói quen đọc từng chữ một, phát âm bất cứ từ nào họ đọc được. Chúng ta bị thúc đẩy việc phát triển thói quen đọc bằng cách nhận dạng toàn bộ chữ hoặc cụm từ tại một thời điểm. Các vấn đề khác cũng được đem lại. Đó là tất cả vấn đề: Mọi người đọc dở là kết quả của sự thói quen không hiệu quả khi đọc của họ. Điều tương tự cũng xảy ra với số học. Một người đã thất bại trọng việc áp dụng thói quen không tốt khi họ tính toán số học, và kết quả anh ta đã lãng phí thời gian và công sức. Chỉ những người, như những kế toán, những người trải qua phần lớn thời gian để làm việc với các con số, thậm chí tạo thành một thói quen trong công việc. Phần còn lại, thậm chí mặc dù chúng ta có thể không cần những việc tính toán trong công việc hàng hàng, chúng ta vẫn có thể học những phương pháp này với một chút thực hành và rèn luyện, như sẽ nói ở phần sau. Một trong những bước tính nhẩm đơn giản nhất, đã nói ở phần trước, đó là tính giá trị chia đôi của một số liền kề. Chúng ta đã thực hiện một số thực hành với một số chữ số, như 2 và 8, và đọc kết quả thành 1 và 4, mà không cần phải thực hiện các bước nhỏ trung gian nào. Kết quả sẽ hiện ngay trong đầu chúng ta ngay sau khi ta thấy chữ số 2 và 8, và bây giờ nó trở thành một phản xạ trực tiếp. Bạn có thể quay lại phần trên để xem chi tiết. Một cách rèn luyện tính nhẩm khác là đọc với chính mình chỉ kết quả của phép cộng với số liền kề, hoặc với một nửa của nó, giống như: Số 8 là kết quả của 6, cộng với một nửa của 4. Nhưng ta không đọc kiểu: “một nửa của 4 là 2, cộng với 6 là 8”. Thay vì vậy, chúng ta nhìn vào số 6 và 4, nhìn thấy một nửa của 4 là 2, và đọc thành “6, 8”. Lần đầu tiên bạn sẽ cảm thấy khó khăn, vậy nên bạn có thể cải thiện bằng cách đọc “6,2,8”. Một điểm khác cần thực hành là bước cộng thêm 5 vào chữ số khi nó là số lẻ (không phải số liền kề). Hãy xem trường hợp này: Số 0 là hàng đơn vị của 10, với dấu (.) ở trên, và 10 là kết quả của 3 cộng 5 (3 là số lẻ), và cộng thêm với 2 (là một nửa của 4). Cách làm chính xác là, đầu tiên là đọc “5,8,2,10”. Sau vài lần thực hành theo cách này, bạn có thể rút gọn lại thành “8, 10”.. Số 5 được tính đến vì 3 là số lẻ cần được cộng trước tiên, nếu không ta có thể bỏ qua nó. Theo cách tương tự, khi có một dấu chấm (.) để biểu diễn cho nhớ 1, nó cần được cộng trước khi ta cộng với số liền kề (phép nhân 11), hoặc một nửa của số liền kề (phép nhân với 6). Nếu chúng ta để lại số nhớ 1 cho đến khi chúng ta cộng với số liền kề, có thể chúng ta sẽ quên nó. Ở ví dụ sau, các chữ số được sắp xếp gọn lại theo cách: Chúng ta nhìn vị trí số 6, đọc “7”, sau khi tính với dấu (.), sau đó chúng ta đọc “8”, sau khi cộng với một nửa của 3. Lần đầu tốt nhất chúng ta nhìn vào vị trí số 6 và đọc “7”(nhớ), sau đó đọc “1” cho một nửa của 3, sau đó đọc “8”, và chúng ta viết 8. Khi chúng ta có nhớ 1 và đồng thời phải cộng thêm 5 (với số lẻ), đọc “6” thay vì “5”, sau đó cộng với chữ số đang xét. Nó sẽ cắt giảm một bước, và dễ dàng tạo thành thói quen. Lấy một cái bút chì và thử làm lại với các phép tính sử dụng duy nhất một bước tính nhẩm, như bạn đã thấy ở trên, đáp án ở phía sau: Phép nhân với 7 (cộng với số liền kề) Phép nhân với 12 (gấp đôi rồi cộng với số liền kề) Phép nhân với 6 (cộng 5, nếu nó lẻ, và cộng với một nửa số liền kề) Kết quả là: THỰC HIỆN PHÉP NHÂN VỚI 7: Quy tắc thực hiện phép nhân 7 rất giống cách thực hiện phép nhân với 6. Gấp đôi chữ số rồi cộng nó với một nửa chữ số liền kề, cộng thêm 5 nếu nó là số lẻ Giả sử chúng ta muốn thực hiện phép nhân 4,242 với 7. Do số bị nhân không có chữ số lẻ nào, do đó ta không cần thiết phải cộng thêm 5. Trong ví dụ này, ta thực hiện các bước giống như đã làm với phép nhân 6, ngoại trừ phải gấp đôi các chữ số. Bước 1: gấp đôi hàng đơn vị 2 Bước 2: gấp đôi 4 và cộng một nửa số liền kề Bước 3: gấp đôi 2 và cộng một nửa số liền kề Bước 4: gấp đôi 4 và cộng một nửa số liền kề Bước cuối: gấp đôi 0, được 0 và cộng một nửa số liền kề Sau đây là một ví dụ với số bị nhân có chứa chữ số lẻ. Cả 3 và 1 đều là các số lẻ: Bước 1: gấp đôi hàng đơn vị 2 Bước 2: gấp đôi 1, cộng với 5 (vì 1 là số lẻ) được 7, và cộng thêm nửa của 2 Bước 3: không có số lẻ: gấp đôi 4 và cộng một nửa của 1 Bước 4: Bước cuối: gấp đôi 0, được 0, nhưng cộng một nửa của 3, cộng thêm số nhớ 1 Các bước tính nhẩm trong đầu như sau: Đánh dấu 1 bởi dấu (.), nếu phép tính có nhớ 1. Xem hàng sẽ làm việc tiếp theo và quan sát nó có phải là số lẻ. Nếu có, cộng 5 vào phần nhớ 1, được 6 hoặc chỉ là 5 nếu không có dấu chấm (.) Quan sát hàng hiện thời, gấp đôi nó. Ta tính nhẩm tổng 5 và giá trị gấp đôi này. Nếu hàng hiện thời là 3, ta được 5, và sau đó được 11 là tổng của 5 và giá trị gấp đôi của 3 trong một bước tính. Quan sát hàng tiếp theo, ví dụ là số 6. Chúng ta cộng một nửa giá trị của nó vào giá trị ta đang tính. Được 14 Chúng ta hãy thực hiện các bước này trong một thời gian ngắn. Việc này rất cần thiết để rèn luyện khả năng tính nhẩm, vì nò phát triển khả năng tập trung, mà khả năng tập trung là toàn bộ bí mật của thành công của phương pháp này. Việc này không thể thực hiện ngay một lúc, tuy nhiên chúng ta có thể tự cải thiện bằng cách chia thành một số pha như sau: Đầu tiên: Quan sát toàn bộ các chữ số sau và làm trực tiếp, không ngắt quãng, đọc nhẩm giá trị gấp đôi của số đó (quan sát số 3, đọc thành 6 chứ không cần đọc qua 3). Bước 2:Với mỗi cặp số sau, nhìn vào chữ số bên trái và đọc nhẩm giá trị gấp đôi của nó (nhìn vào số 3, đọc nhẩm số 6) và cộng với số bên cạnh nó (ví dụ với cặp (3,4) chúng ta đọc thành “6 10”). Đó là một cách làm nhanh chóng để thực hiện phép nhân với 12. Bước 3:Với mỗi cặp số sau, nhìn vào chữ số bên trái và đọc nhẩm giá trị gấp đôi của nó, sau đó cộng nó với một nửa của số bên cạnh (nhìn 2 6, đọc thành “4 7”). Đó là cách tính nhanh trong phép nhân với 7 với các chữ số chẵn. Bước 4:Với mỗi số sau, nhìn vào từng số, sau đó đọc 5 và đọc giá trị của 5 cộng với gấp đôi giá trị của chúng (nhìn vào 3, đọc “5 11”). 7, 5, 3, 1, 9, 3, 7, 5, 1 Bây giờ bạn hãy lặp lại lần nữa. Bước 5:Với các cặp số sau, nhìn vào chữ số bên trái, đọc “5”, sau đó đọc giá trị tổng của 5 và gấp đôi giá trị vừa rồi, sau đó lập tức cộng nó với một nửa giá trị số liền kề, đọc kết quả này (ví dụ với 3,4 đọc “5 11 13”). Đó là phép nhân 7 đối với các chữ số lẻ. Bây giờ hãy xem bạn có thể thực hiên phép nhân với 7 nhanh như thế nào. Đầu tiên hãy thử với những số sau, đều là các số chẵn và bạn không cần thiết phải cộng với 5, bạn chỉ cần gấp đôi giá trị số bên trái và cộng nó với mộtnửa của số liền cạnh. Sau đó ta kết thúc với các số có chữ số lẻ, phải cộng thêm 5 vào kết quả THỰC HIỆN PHÉP NHÂN VỚI 5: Quy tắc thực hiện phép nhân với 5 cũng tương tự như thực hiện phép nhân với 6 hoặc 7 nhưng đơn giản hơn. Thay vì phải cộng vào từng chữ số như chúng ta đã thực hiện phép 6, hoặc gấp đôi nó rồi cộng như đã làm với 7, chúng ta chỉ cần nhìn vào chính số đó. Quan sát xem nó là số chẵn hay số lẻ. Nếu là số lẻ, ta cộng thêm 5 như trước. Đối với mỗi chữ số, chia đôi số liền kề, sau đó cộng với 5 nếu chữ số đó lẻ. Giả sử chúng ta muốn nhân 426 với 5. số 6 là một số chẵn, không có số liền kề; không cộng thêm với 5; số 2 là một số chắn, lấy một nửa của 6 số 4 là một số chắn, lấy một nửa của 2 số 0 là một số chắn, lấy một nửa của 4 Bây giờ nếu chúng ta có một chữ số lẻ trong số bị nhân, ta cộng nó với 5. giống như ở trên số 3 là một số lẻ, lấy 5 cộng với 3 Rất dễ dàng để thực hiện. Có một số điều ta cần làm rõ. Chúng ta quan tâm đến các chữ số lẻ trước, bởi vì có một chút lưu ý khi ta làm việc tại một hàng, ta phải sử dụng kết quả ở hàng bên phải nó.Đó là một cách thực hành tốt để tập thói quen lưu trữ vị trí các chữ số. Ở các phần sau của cuốn sách, khi thực hiện phép nhân hai số có nhiều chữ số, ta sẽ thấy rằng cần phải dành một sự tập trung nhất định để nhận biết vị trí những hàng chúng ta đang làm việc. Cách thực hiện phép nhân với 5 là một rèn luyện nhỏ. Bạn hãy thực hiện cấc phép tính nhân 5 theo cách đã mô tả ở trên: Kết quả là: Phép nhân với ba Thực hiện phép nhân 3 tương tự như cách làm đối với phép nhân 8 nhưng có một số thay đổi. Thay vì phải cộng với một nửa chữ số liền kề, như chúng ta đã làm với 8, bây giờ chúng ta cộng với một nửa của nó. Tất nhiên, ta cũng cộng thêm 5 nếu đó là chữ số lẻ. Quy tắc: Chữ số đầu tiên: trừ nó từ 10 sau đó gấp đôi. Cộng thêm 5 nếu nó là số lẻ. Các hàng ở giữa: trừ nó từ 9, gấp đôi kết quả bạn nhận được, sau đó cộng với một nửa số liền kề. Cộng thêm 5 nếu đó là chữ số lẻ. Chữ số ở hàng bên trái nhất: chia đôi chữ số hàng bên trái nhất của số bị nhân, sau đó trừ đi 2. Ví dụ, 2,588 nhân 3 Bước 1: Vì số 8 ở hàng đơn vị, không có số liền kề, lấy 8 trừ từ 10, sau đó nhân đôi được 4 Bước 2: Lấy 8 trừ từ 9, sau đó nhân đôi; cộng với một nửa của 8 được 6 Bước 3: Lấy 5 trừ từ 9, sau đó nhân đôi; cộng với 5, cộng với một nửa của 8 được 7 (nhớ 1) Bước 4: Lấy 2 trừ từ 9, sau đó nhân đôi; cộng với một nửa của 5, cộng với số nhớ 1 được 7 (nhớ 2) Bước cuối: Lấy một nửa của 2 cộng với số nhớ 1, sau đó trừ 2 được 0 Ở bước cuối ta nhận được chữ số hàng đầu tiên bên trái của kết quả từ vị trí bên trái nhất của số bị nhân như các phép tính khác. Trong phép nhân 8 ta nhận được nó bằng cách trừ chữ số cùng vị trí của số bị nhân cho 2. Bây giờ khi nhân 3 chúng ta trừ một nửa của nó cho 2. Một vài trường hợp, như ở ví dụ trên, một nửa của chữ số hàng bên trái nhất chỉ là 1, hoặc là 0. Trong những trường hợp như vậy, luôn luôn có nhớ 1 hoặc nhớ 2, do đó khi trừ đi 2 ta có số 0. Phép nhân với hai Thực hiện phép nhân 2 là một vấn đề nhỏ bé, không đáng bàn đến. Trong thực hành, chúng ta nhân mỗi chữ số của số bị nhân với 2, và không cần dùng đến số liền kề (chúng ta có thể gấp đôi một số bằng cách cộng với chính nó, do đó bảng nhân 2 cũng không cần thiết nhớ đến). Phép nhân với một Thực hiện phép nhân 1 không làm thay đổi kết quả. Một số bất kỳ, với độ lớn bất khi khi nhân với 1 giữ nguyên kết quả chính nó. Do đó, quy tắc trở thành: copy xuống dưới kết quả toàn bộ các chữ số của số bị nhân. Một số nguyên tắc cuối cùng, cho việc nhân với các số nhỏ, đã được tổng kết ở đây để tạo sự hoàn chỉnh về cách thức tính toán. Một điều quan trọng cần để ý, cho mọi trường hợp nhân một số với một chữ số, quá trình thực hiện chỉ theo vài bước và đều đơn giản. Trừ đi từ 9, gấp đôi, chia đôi, cộng với số liền kề - đó là tất cả những gì chúng ta cần. Thực hành trong vòng một, hai giờ bạn sẽ đạt được sựu nhuần nhuyễn. Đó là lý do tại sao giáo sư Trachtenberg tin rằng các phương pháp ở chương này sẽ thực sự giúp ích cho trẻ em. Thay vì phải nhớ mọi bảng nhân như trước kia, chúng có thể áp dụng các phương pháp dễ dàng này. Tất nhiên, nó cũng giúp các em thực hiện được các phép tính lớn hơn. Mỗi một phép nhân một chữ số, thực hiện theo các phương pháp trên, đưa đến một thiế lập bộ phận cho phép tính, và kết quả tổng hợp thu được bằng cách cộng các cột như thông thường. Do đó, một đứa trẻ chỉ mới học các phép cộng và phép trừ đơn giản nhất cũng có thể gần như lập tức thực hiện được các phép tính dài. Chú ý: Với người lớn, cũng nên dành thời gian đọc các phương pháp trong chương này. Mục tiêu đạt được là khác biệt. Họ đã trải qua hàng trăm giờ trong cuộc sống, để nhớ các bảng nhân và thực hành áp dụng và sử dụng phần lớn chúng mộtcách hiệu quả. Đây là những cách thức giúp họ điền nốt phần còn thiếu. Tác dụng tâm lý khi quan sát vấn đề từ một góc nhìn khác sẽ giúp giải quyết vấn đề một cách chắc chắn hơn. Hơn nữa, như chúng ta đã nói, áp dụng các phương pháp mới sẽ đánh thức sự quan tâm của bạn với vấn đề. Các kinh nghiệm thu được từ viện Trachtenberg với những đứa trẻ mười ba tuổi đã chứng minh điều trên. Việc ghi nhớ các quy tắc sẽ trở nên không cần thiết sau khi bạn dành một thời gian đáng kể dành cho thực hành. Việc thực hiện các ví dụ đề ra sẽ làm cho quá trình thực hiện trở nên tự động, và đó là cách tốt nhất để học nó. Để tổng kết, chúng ta sẽ nhắc lại về các khái niệm sử dụng trong chương này. “Một hàng” là chữ số của số bị nhân ở ngay phía trên vị trí kết quả hàng dưới sẽ xuất hiện, và “số liền kề” là chữ số ở ngay bên phải “hàng” đang xét. Khi một hàng không có số liền kề (ở vị trí ngoài cùng bên phải), số liền kề sẽ là 0. Đồng thời, số 0 được viết ở ngay trước số bị nhân để nhắc chúng ta rằng một hàng của kết quả có thể sẽ xuất hiện ở đây. Để thực hiện phép nhân với Quá trình thực hiện 11 Cộng với số liền kề 12 Gấp đôi chữ số rồi cộng với số liền kề 6 Cộng 5 vào chữ số, nếu nó là số lẻ. Cộng với “một nửa” số liền kề (thực hiện làm tròn, nếu cần thiết) 7 Gấp đôi chữ số, cộng 5 nếu nó là số lẻ, sau đó cộng với một nửa số liền kề 5 Tính một nửa của số liền kề, cộng với 5 nếu chữ số đó lẻ 9 Bước 1: Trừ hàng từ 10. Bước 2: Trừ mỗi hàng trung gian từ 9 và cộng với số liền kề Bước 3: Giảm hàng đầu của số bị nhân cho 1 8 Bước 1: Trừ hàng từ 10 rồi gấp đôi. Bước 2: Trừ mỗi hàng trung gian từ 9, gấp đôi và cộng với số liền kề Bước 3: Giảm hàng đầu của số bị nhân cho 2 4 Bước 1: Trừ hàng từ 10 rồi cộng 5 nếu nó là số lẻ. Bước 2: Trừ mỗi hàng trung gian từ 9, cộng với một nửa số liền kề, cộng thêm 5 nếu nó là số lẻ Bước 3: Chia đôi hàng đầu của số bị nhân rồi trừ đi 1 3 Bước 1: Trừ hàng từ 10 rồi gấp đôi, cộng 5 nếu nó là số lẻ. Bước 2: Trừ mỗi hàng trung gian từ 9, gấp đôi, cộng thêm 5 nếu nó là số lẻ, rồi cộng với một nửa số liền kề Bước 3: Chia đôi hàng đầu của số bị nhân rồi trừ đi 2 2 Gấp đôi mỗi chữ số của số bị nhân, không sử dụng đến số liền kề 1 Copy nguyên các chữ số của số bị nhân xuống 0 Phép nhân với 0 luôn ra kết quả là 0 Chương 2: Thực hiện phép nhân nhanh bằng phương pháp trực tiếp (Phép nhân các số có độ dài ngắn) Ở chương 1 chúng ta đã thấy các phép nhân cơ sở được thực hiện mà không cần dùng đến các bảng nhân. Theo ý nghĩa mới này chúng ta có thể giải phóng sự hiểu biết của chúng ta về các bảng nhân và hoàn thiện các phần mà ta không chắc chắn. Bây giờ chúng ta có thêm tự tin về khả năng dùng các bảng nhân nhanh chóng và chính xác bất cứ khi nào cần thiết. Với hướng tiếp cận mới này đối với các phép nhân cơ sở, chúng ta có thể đạt được cách sử dụng cặp chữ số trong số bị nhân để tính được mỗi hàng kết quả. Mỗi hàng, bạn nhớ lại rằng, đó là chữ số ở ngay trước khoảng trống ở vị trí kết quả sẽ xuất hiện, còn số liền kề là chữ số của số bị nhân nằm ngay bên phải của hàng hiện thời. Khái niệm cặp: chữ số - số liền kề, ở vị trí cần xét, sẽ được sử dụng lại ở chương này nhưng với một ý nghĩa khác. Chúng ta đã sẵn sàng để thực hiện bước tiếp theo của phép nhân. Chúng ta sẽ học cách nhân bất kỳ số nào với nhau mà không quan tâm đến độ dài của chúng, và đạt được kết quả tức thời mà không phải qua bước gián tiếp nào. Mẫu tổng quát của phép nhân,ví dụ 625 và 346, được viết dưới dạng: Chúng ta sẽ học cách thực hiện phép nhân theo mẫu mới này. Không cần viết thêm các chitiết nào ở đây. Có ba hàng được viết mà không được sử dụng. Chúng ta sẽ viết vấn đề theo mẫu trên, tính toán các vị trí của nó, và sau đó ta sẽ lập tức viết kết quả. Chúng ta có hai cách để đạt được nó. Mỗi cách có một tiện lợi trong các hoàn cảnh nhất định, và cả hai cách đều đưa ra kết quả chính xác. Tuyệt vời hơn, chúng đều có tính tổng quan để dễ dàng học cách sử dụng. Trong phần giới thiệu chương chúng ta đã xem xét cách thức được gọi là phương pháp trực tiếp thực hiện phép nhân. Đó là phương pháp tương đối thích hợp khi ta nhân các số bao gồm các chữ số nhỏ, như 1,2,3. Trong chương tiếp theo sẽ sử dụng một phương pháp khác, được gọi là “cách tính nhanh”. Nó bao gồm sự kết hợp giữa phương pháp trực tiếp và bổ xung thêm các chi tiết khác. Phương pháp này quan tâm đến các trường hợp khó hơn với các số có chữ số lớn, như 987 nhân 688. Cả hai phương pháp đều có thể áp dụng trong mỗi trường hợp. Cả hai đều đưa ra kết quả chính xác. Bấy giờ chúng ta sẽ đề cập đến lý do áp dụng chúng cho thích hợp, để tiện lợi cho việc tính toán, trong mỗi trường hợp cụ thể chúng ta sẽ gặp. Theo quan sát, dường như phương pháp tính toán trực tiếp đã được những người tham gia các cuộc thi tính nhanh áp dụng trước khi hệ thống Trachtenberg được giới thiệu. Những “thầy phù thủy toán học”, những người thuyết phục người xem bởi năng lực tính toán đặc biệt của họ, đã thường giấu bí mật về các kỹ thuật tính toán của họ vì nhưng dường như họ đã dử dụng một phương pháp tương tự như cách tính trực tiếp – có thể khác biệt đôi chút. Bây giờ chúng ta sẽ bắt đầu với một ví dụ đơn giản của cách tính trực tiếp với tích của hai số tương đối nhỏ và sau đó sử dụng chúng với những trường hợp phức tạp hơn. PHÉP NHÂN VỚI CÁC SỐ CÓ ĐỘ DÀI NGẮN: TÍCH CỦA HAI SỐ CÓ HAI CHỮ SỐ. Giả sử chúng ta muốn nhân 23 với 14. Chúng ta viết lại chúng theo mẫu: Khi nhân với số nhân có hai chữ số, chúng ta luôn đặt hai chữ số 0 ở bắt đầu của số bị nhân, như cách viết trên. Kết quả được viết dưới số 0023, từng chữ số một tại một thời điểm, bắt đầu ở vị trí bên phải. Cụ thể hơn, chúng ta sẽ viết chữ số cuối cùng của kết quả dưới chữ số 3, và điền các chữ số kết quả còn lại từng chữ số một theo hướng dịch bên trái. Bước đầu tiên: Nhân chữ số hàng bên phải của số bị nhân, số 3 của 23, với chữ số hàng bên phải của số nhân, số 4 của 14. Trong kết quả ta viết số 2 của 12 và nhớ 1 (sử dụng dấu chấm .): Bước hai: Chúng ta nhận các hàng tiếp theo của kết quả, ở dưới vị trí 2 của 23, bằng cách tính hai số (hai kết quả thành phần) rồi cộng chúng với nhau. Số thứ nhất là 8, từ kết quả của 2 nhân 4: Phần thứ 2 được tính từ phép nhân hai hàng khác, 3 với 1. Bây giờ chúng ta cộng hai kết quả với nhau: 8 cộng 3 là 11. Đó là những điều mà chúng ta muốn. Nhưng chúng ta vẫn còn phải nhớ 1, do đó kết quả ở hàng tiếp theo là 12, do đó ta viết số 2 và nhớ 1. Bước cuối cùng: Nhân hàng bên trái nhất của số bị nhân, 2 của 23 với hàng bên trái nhất của số nhân, 1 của 14: Trong trường hợp này chúng ta không cần sử dụng đến các số 0 ở phần đầu số bị nhân. Đó là nơi dùng để cho số nhớ trong các trường hợp tạo kết quả là 10 hoặc lớn hơn. Trong ví dụ này chúng ta chỉ có số 3. Bước thứ hai là một cách thức tính toán mới. Chúng ta sử dụng hai chữ số của số bị nhân để tính được một hàng kết quả. Chúng ta cộng các thành phần, 8 và 3 và được 11 sử dụng trong kết quả. 8 và 3 đến từ việc nhân hai cặp chữ số mà chúng ta gọi là “phần ngoài” và “phần bên trong”. Quy tắc cho việc tìm các chữ số trong cặp là: chữ số của số bị nhân chúng ta đang làm việc (hay nói cách khác, là chữ số ngay ở vị trí phía trên chữ số của kết quả sẽ được tính) là một phần của “cặp ngoài”; trong ví dụ trên là số 2 của 23. Chữ số còn lại của “cặp ngoài” là chữ số hàng bên phải của số nhân, bởi vì đó là vị trí ngoài, số 4 của 14. Cặp số còn lại, gồmphần “cặp trong” 3 và 1, được lấy từ hai chữ số trực tiếp nằm bên trong hai cặp số bạn đã tìm bước trước. Cặp số ngoài và cặp số trong sẽ được sử dụng thường xuyên, do đó chúng ta cần nhanh chóng xác định bằng các thực hành. Xem 3 ví dụ sau: Trong trường hợp 38 nhân 14 Bước thứ nhất: Việc đầu tiên ta làm là thực hiện phép nhân 8 với 4 và nhận được 32. Chúng ta viết 2 và nhớ 3. Bước thứ 2: Để tìm chữ số tiếp theo chúng ta sẽ sử dụng cặp số ngoài và cặp số trong. Với s