Hiện tượng ngưng tụ bose - Einstein của khí nguyên tử trong các bẫy

hiệu ứng Zeeman sẽ bù trừ hiệu ứng Doppler. Sau đó, từ buồng 4 làm chậm Zeeman thì nguyên tử đƣợc đƣa vào bẫy từ quang (MOT) để làm lạnh tiếp tới 100µK do tƣơng tác với ánh sáng laser. Sau khi một số lớn nguyên tử bị bẫy vào MOT ( ) ngƣời ta tắt chùm laser và chỉ dùng từ trƣờng để bẫy. Cuối cùng ngƣời ta tiếp tục làm lạnh tới nK bằng cách cho khí nguyên tử bốc hơi để nghiên cứu hiệu ứng BEC. Nhƣ vậy về cơ bản sẽ có hai dạng bẫy:bẫy bằng từ trƣờng và bẫy quang học và hai kĩ thuật làm lạnh:làm lạnh bằng laser và làm lạnh bằng bốc hơi. 1.2.NHIỆT ĐỘ VÀ NHIỆT ĐỘNG HỌC TRONG LÀM LẠNH BẰNG LASER[6, 7] Trong nhiệt động học, khái niệm nhiệt độ đƣợc định nghĩa nhƣ là một tham số của một hệ kín cân bằng nhiệt với môi trƣờng. Điều này mặc định là có một tiếp xúc nhiệt để thực hiện trao đổi nhiệt. Khi bị bẫy và làm lạnh bằng laser thì hệ nguyên tử thƣờng xuyên hấp thụ và tán xạ ánh sáng và về cơ bản không có trao đổi nhiệt (ánh sáng không đƣợc coi là nhiệt, cho dù nó có năng lƣợng). Nhƣ vậy hệ nguyên tử trong bẫy có thể coi là trạng thái dừng (steady state) nhƣng không phải là ở trạng thái cân bằng nhiệt. Thông thƣờng, ngƣời ta liên hệ giữa nhiệt độ và động năng trung bình , thí dụ cho chuyển động một chiều; (1.1) Tuy nhiên cần rất cẩn thận trong khi áp dụng công thức trên vì trong hệ nguyên tử trong trƣờng laser có nhiều cấp độ năng lƣợng với hàm phân bố năng lƣợng khác hẳn nhau nhƣng có thể cho cùng một giá trị trung bình (3.1). Vì vậy khái niệm nhiệt độ ở đây xác định cho từng cấp độ năng lƣợng. Cấp độ năng lƣợng cao nhất là gắn với năng lƣợng dịch chuyển Doppler. Nếu độ rộng vạch tự nhiên của nguyên tử là . Khối lƣợng của nguyên tử là M thì năng lƣợng gắn với hiệu ứng Doppler [6] 5 (1.2) Với k là số bƣớc sóng photon . Độ lớn của nhiệt độ này cỡ vài mK. Cấp độ tiếp theo của nhiệt độ liên quan tới năng lƣợng gắn với độ rộng vạch Tức là: (1.3) độ lớn quãng và đƣợc coi là giới hạn thấp nhất của quá trình làm lạnh laser và còn đƣợc gọi là giới hạn Doppler . Cấp độ thứ ba là gắn với năng lƣợng do “giật” (recoil) tức là năng lƣợng nguyên tử nhận đƣợc từ mỗi photon do photon va chạm với nguyên tử và bị “giật lại”: , năng lƣợng này cỡ một vài µK. Bài toán đặt ra cho công nghệ làm lạnh là phải làm sao vƣợt qua các giới hạn này và ta không đi sâu vào các phƣơngpháp cụ thể. Trong hình 1.2 là một thang nhiệt độ tƣơng ứng với các kĩ thuật làm lạnh: 6 k mk µK nk 3 300 30 3 300 30 3 300 30 3 300 30 3 Bề mặt mặt trời Phòng TN Va chạm He lỏng Lạnh quang học Giới hạn Doppler Giới hạn giật Quá trình Độ rộng vùng Va chạm Bức xạ Làm lạnh bằng laser Làm lạnh bằng bốc hơi Hình 1.2:Thang nhiệt độ 1.3.BẪY TỪ[6] Bẫy từ dựa trên hiệu ứng Zeman do tƣơng tác giữa từ trƣờng ngoài ⃗ với momen từ của nguyên tử đƣợc hợp thành từ tổng các spin của electron trong nguyên tử momen quỹ đạo toàn phần ⃗⃗⃗ của các electron và I là spin của hạt nhân. Hamiltonian Zeeman có dạng: 7 = ( ⃗ ⃗ , (1.5) trong đó là các thông số Lander . Tƣơng tác giữa các spin của electron với từ trƣờng hiệu dụng của hạt nhân dẫn tới số hạng tƣơng tác spin-quỹ đạo để tạo thành momen góc toàn phần ⃗ . Lúc đó là một số lƣợng tử tốt của hệ điện tử trong nguyên tử nên (1.5) viết thành : = ( ⃗ , (1.6) trong đó biểu diễn tƣờng minhqua . Ngoài ra do tƣơng tác của spin hạt nhân với từ trƣờng hiệu dụng của electron nên còn thêm số hạng siêu tinh tế tỉ lệ . Vì vậy Hamitonian tƣơng tác của nguyên tử đặt trong từ trƣờng sẽ là: H = A. ( . (1.7) Trong đó A là hằng số cấu trúc siêu tinh tế của hạt nhân, thí dụ cho nguyên tử 87 Rb dùng trong các thí nghiêm BEC:A = h. 3, 417 GHz. Để tính năng lƣợng của nguyên tử trong từ trƣờng ta vẫn giải phƣơng trình Schordinger với Hamitonie (3.7). Ta phân ra hai trƣờng hợp: a) Từ trƣờng nhỏ:Là khi mức tách do từ trƣờng ⃗ nhỏ hơn so với do tƣơng tác siêu tinh tế. Khi đó, liên kết là mạnh hơn với từ 8 trƣờng và ta có với độ lớn của và hình chiếu là các số lƣợng tử tốt. Năng lƣợng lúc đó có dạng (giả thiết ⃗ // oz ): = A[F(F + 1) – I(I + 1) – J(J + 1)] + . (1.8) b)Từ trƣờng cao:ở giới hạn ngƣợc lại thì và liên kết mạnh hơn với từ trƣờng so với giữa chúng với nhau. Vì vậy, các số lƣợng tử sẽ là và . Ta có: = A + . (1.9) Trong trƣờng hợp từ trƣờng trung gian ta phải chéo hóa (1.7) và không có các công thức giải tích tổng quát. Trong các thí nghiệm BEC thƣờng là giới hạn từ trƣờng nhỏ. Để tạo lực từ tác dụng lên nguyên tử để bẫy nguyên tử ngƣời ta dùng từ trƣờng phụ thuộc tọa độ. Lúc đó thế năng tƣơng tác với từ trƣờng phụ thuộc tọa độ: = . (1.10) Từ lực tác dụng lên nguyên tử sẽ là: . (1.11) 9 Từ (1.10) suy ra khi > 0 thì nguyên tử bị bẫy vào nơi từ trƣờng thấp (low –field seeking states). Cho87 Rb ở trạng thái cơ bản = và = nên từ trƣờng bẫy đƣợc các nguyên tử ở trạng thái với:| 〉= | 〉; | 〉 | 〉 Sau khi nguyên tử bị bẫy thì ngƣời ta có thể làm lạnh bằng cách sử dụng sóng điện từ để đƣợc các nguyên tử năng lƣợng cao sang các trạng thái không bị bắt giữ. Bẫy từ thì có ba ƣu điểm chính. Một là, có thể là một bẫy sâu(thành bẫy cao) cỡ 100µK do sử dụng từ trƣờng cao(nhƣng vẫn thỏa mãn là nhỏ so với tƣơng tác siêu tinh tế). Hai là, thời gian sống của bẫy lớn (vì tác nhân bẫy là từ trƣờng giữ không đổi theo thời gian, nên thời gian sống chỉ phụ thuộc vào va chạm nội tại trong khí nguyên tử). Ba là, do bẫy sâu nên có thể làm lạnh tiếp bằng bốc hơi một cách chọn lọc với các trạng thái với F và khác nhau. 1.4. BẪY QUANG HỌC [8] Bẫy quang học dựa vào tƣơng tác lƣỡng cực điện của nguyên tử với điện trƣờng của sóng điện từ.Ởtrạng thái cơ bản, nguyên tử kim loại kiềm có đối xứng cầu và momen lƣỡng cực điện bằng không. Khi đặt trong trƣờng laser, do điện trƣờng của chùm laser mà xuất hiện lƣỡng cực điện cảm ứng. Lƣỡng cực điện cảm ứng này lại tác dụng với trƣờng điện từ của laser. Giả sử nguyên tử đặt trong trƣờng laser với điện trƣờng là: Điện trƣờng (1.12) do cảm ứng sẽ gây ra momen lƣỡng cực điện của nguyên tử: ̂ ̃ . (1.13) ⃗ ( )= ̂ ̃ . (1.12) 10 Trong đó ̂ là vectơ đơn vị. Biên độ momen lƣỡng cực từ liên hệ với biên độ điện trƣờng qua hàm phân cực phức , phụ thuộc tần số góc của điện trƣờng: ̃. (1.14) Thế năng tƣơng tác của điện trƣờng với lƣỡng cực điện cảm ứng khi điện trƣờng tăng từ 0 tới E là: ̃ = ∫ ⃗ . Vì p và E dao động rất nhanh theo thời gian nên ta lấy trung bình theo thời gian 〈 〉= ∫ trong đó T là chu kì dao động sóng laser. Thế năng tƣơng tác của lƣỡng cực điện cảm ứng với trƣờng laser là: 〈 ⃗⃗⃗ ⃗ 〉 Re( (1.15) Trong đó là hằng số điện môi chân không, c là vận tốc ánh sáng còn I là cƣờng độ của trƣờng điện từ I = 2 | ̃| . Cƣờng độ trƣờng laser I phụ thuộc vào tọa độ thông qua ̃ nên sẽ tạo nên một lực thế đƣợc gọi là lực lƣỡng cực tác dụng lên nguyên tử: Re( . (1.16) 11 Chính lực thế này là lực bẫy nguyên tử, là tác nhân tích cực cho mục đích bẫy nguyên tử trung hòa. Tuy nhiên trƣờng laser có gây lên một tác động tiêu cực với quá trình bẫy nguyên tử, đó là sự tán xạ của các photon lên nguyên tử mà thực chất là quá trình nguyên tử hấp thụ photon và sau đó tái bức xạ tự phát. Bức xạ tự phát với bản chất là ngẫu nhiên (random) làm cho các nguyên tử nóng lên và một số bay ra khỏi bẫy. Công suất hấp thụ tính bằng công thức: = 〈 ⃗ 〉 ( ̃ ̃) Im( . (1.17) Chùm laser là chùm các photon với năng lƣợng mỗi photon là ħ nên tốc độ tán xạ là: Im( . (1.18) Để bẫy hoạt động tốt ta cần thế bắt nguyên tử lớn nhƣng tốc độ tán xạ lại cần nhỏ. Muốn vậy cần so sánh (1.15) với (3.18). Nhƣ vậy ta cần tính hàm phân cực . Cách đơn giản nhất là dùng mô hình Lorentz cho dao động tử cổ điển. Ta hình dung nguyên tử khi chƣa có trƣờng ngoài nhƣ quả cầu, xung quanh là đám mây electron, ở tâm là hạt nhân. Khi có trƣờng ngoài, do cảm ứng tâm hạt nhân và tâm khối của đám mây không trùng nhau và tạo thành lƣỡng cực điện, đƣợc hình dung nhƣ một dao động tử điều hòa, trong đó khối tâm đám mây electron dao động xung quanh hạt nhân với tần số riêng và hệ số tắt dần (Vì khối lƣợng hạt nhân lớn hơn nhiều khối lƣợng đám mây điện tử nên có thể coi hạt nhân là đứng yên. Do trƣờng laser nên đám mây electron dao động cƣỡng bức và thỏa mãn phƣơng trình: 12 ̈ ̇ . Cho dạng E(t) ~ ta tìm lời giải X ~ và thu đƣợc: Để tính hệ số tắt dần cổ điển ta giả sử electron chuyển động trên hình tròn và áp dụng công thức Larmor về công suất phát xạ của điện tích chuyển động có gia tốc và ta thu đƣợc: Từ (1.21) biểu diễn qua rồi thay vào (3.19) Trong đó ta kí hiệu Γ là hệ số tắt dần tại tần số riêng (tần số cộng hƣởng). Công thức (1.22) tuy tính từ lý thuyết cổ điển nhƣng là gần đúng tƣơng đối tốt ngoại trừ ở trƣờng hợp trƣờng cƣỡng bức là quá lớn. Để so sánh 13 (1.15) và (1.18) ta đƣa vào khái niệm điều chỉnh (detuning) là sự khác biệt của tần số laser so với tần số dao động riêng của hệ: . (1.23) Ta nhận xét nếu điều chỉnh gần cộng hƣởng thì Re và nhƣ vậy . Vì vậy trong các thí nghiệm ngƣời ta điều chỉnh xa (far – detuning) sao cho | | . Nếu thì giới hạn gọi là điều chỉnh đỏ, ngƣợc lại thì gọi là điều chỉnh xanh. Trong chế độ điều chỉnh xa ta có từ (1.15) và (1.18): ( ) . ( ) . Trong các thí nghiệm, tuy là điều chỉnh xa, quy ra độ dài bƣớc sóng thì tƣơng ứng vài chục nm, vì vậy so với tần số riêng vẫn thỏa mãn | | Lúc đó có thể bỏ qua số hạng thức2 vế phải trong biểu thức (1.24) và (1.25) và đặt (gọi là gần đúng sóng quay). Khi đó từ (1.24) và (1.25) ta có: 14 , I( . Từ đây ta suy ra: ħ . (1.28) Công thức (1.28) cho ta hai hệ quả quan trọng trong kĩ thuật bẫy quang học. Một là, do , Γ đều là dƣơng nên dấu của thế giam cầm nguyên tử phụ thuộc vào dấu của . Nếu là điều chỉnh đỏ thì và là thế hút, vì vậy các nguyên tử sẽ khƣ trú tại các điểm mà cƣờng độ trƣờng laser I ( là cực đại, còn nếu điều chỉnh xanh thì nguyên tử ở vùng cƣờng độ trƣờng laser I ( cực tiểu vì thế là đẩy. Hai là, để hạn chế ảnh hƣởng tiêu cực của tán xạ tự phát thì cần điều chỉnh xa(nhƣng vẫn cần thỏa mãn | | để áp dụng gần đúng sóng quay để thu các công thức (1.26); (1.27). Dạng hình học của thế giam cầm đƣợc xác định bởi phân bố trƣờng laser. Chẳng hạn nếu là chùm loại Gauss với công suất P truyền dọc hƣớng z: ( ). 15 với √ . Trong đó là các tham số. Vì nên ta thấy độ sâu của thế bẫy ̂ | |. Nếu năng lƣợng nhiệt của nguyên tử là nhỏ hơn nhiều ̂thì thế bẫy có thể coi gần đúng là thế dao động tử điều hòa đối xứng trục [8, 9]: ̂ ] . (1.30) Đây cũng là lí do tại sao trong nhiều công trình lý thuyết ngƣời ta mô hình hóa bẫy bằng dạng thế dao động tử điều hòa. 1.5. MẠNG QUANG HỌC [8, 9, 10]. Bẫy quang học có nhƣợc điểm là do độ sâu của thế phụ thuộc vào công suất laser nên thƣờng không sâu (~ mK). Vì vậy trƣớc khi đƣa vào bẫy thì cần làm lạnh các nguyên tử. Nhƣng một ƣu điểm cơ bản của bẫy quang học là có thể sử dụng linh hoạt và dễ dàng các nguồn laser nên có thể tạo nên các phân bố đa dạng về mặt hình học của nhiều bẫy đồng thời. Một trong số đó là mạng quang học. Ta xét thí dụ mạng một chiều. Theo công thức (1.15) thế bẫy nguyên tử phụ thuộc cƣờng độ laser I, và I lại phụ thuộc vào bình phƣơng modul của vectơ cƣờng độ điện trƣờng ⃗ . Xét trƣờng hợp đơn giản một chiều gồm hai sóng đơn sắc tần số , vectơ sóng k, biên độ theo phƣơng x hƣớng vào nhau. Biên độ điện trƣờng tổng hợp có dạng: | | = ) . (1.31) 16 Trong đó là hiệu hai pha các sóng. Ta chọn điều chỉnh đỏ để thế là hút, các nguyên tử tập chung ở vùng cực đại của thế, ta có: = - ) . Nhƣ vậy ta có mạng một chiều các hố thế và hằng số mạng d = . Tƣơng tự nhƣ vậy, nếu ta dùng hai cặp chùm laser ta sẽ có mạng quang học hai chiều, còn nếu dùng ba cặp chùm laser ta sẽ có mạng ba chiều. Điều đáng chú ý ở đây là hằng số mạng d có thể thay đổi đƣợc bằng cách thay đổi bƣớc sóng laser. Ngoài ra, các loại mạng khác nhau cũng có thể tạo đƣợc bằng cách bố trí cấu hình các cặpchùm laser: mạng lập phƣơng, mạng tam giác, mạng tổ ong. 1.6. LÀM LẠNH BẰNG LASER VÀ LÀM LẠNH BẰNGBỐC HƠI. Nhƣ trên đã điểm qua, làm lạnh bằnglaser là dùng chùm tia laser để làm chậm chuyển động của các nguyên tử. Lực của chùm photon trong laser tác dụng lên nguyên tử phụ thuộc vào tần sóng laser. Tuy nhiên do hiệu ứng Doppler nên tần số sóng laser mà nguyên tử “cảm nhận” phụ thuộc vận tốc chuyển động của nguyên tử. Khi bị tác dụng và lạnh dần thì vận tốc nguyên tử giảm dần, Vì vậy do ảnh hƣởng của hiệu ứng Doppler lực mà photon tác dụng lên nguyên tử cũng thay đổi. Để giữ cho lực này không đổi, ngƣời ta dùng lực Zeeman của một từ trƣờng ngoài bù trừ cho hiệu ứng Doppler. Vì vậy làm lạnh bằng laser còn gọi là làm lạnh bằng Doppler. Làm lạnh bằng Dopper có thể hạ nhiệt độ tới vài mK. Tuy nhiên nhiệt độ này chƣa đủ nhỏ để làm các thí nghiệm về BEC. Ngƣời ta có thể đạt nhiệt độ thấp hơn bằng phƣơng pháp bốc hơi. Ý tƣởng chính của phƣơng pháp này là trong số các nguyên tử bị bẫy hãy để cho các nguyên tử có năng lƣợng cao nhất đi ra khỏi bẫy bằng cách hạ thấp dần bờ cao của giếng thế giam cầm. (xem hình 1.3) 17 Hình 1.3: Làm lạnh bằng bốc hơi. Giả sử ban đầu nhiệt độ của hệ là và hàm phân bố là hàm Boltzmann : N(E) = exp(- Bƣớc 1:bằng cách hạ thấp bờ giếng thế, các nguyên tử với năng lƣợng lớn hơn E > sẽ đƣợc phép ra khỏi hố thế. Thƣờng ngƣời ta chọn = η với η = 3-6. Các nguyên tử còn lại trong hố thế sau đó sẽ tái lập lại trạng thái cân bằng và hàm phân bố mới sẽ ứng với . Bƣớc 2: lại hạ bờ cao hố thế = η . Sau nhiều lần hạ hố thế sẽ đạt đƣợc nhiệt độ thấp ở mức mong muốn. c) a) b) E f(E) E e) d) E f(E) f(E) Ecut 18 Tuy nhiên ta cũng không thể đạt đƣợc nhiệt độ thấp tùy ý vì khi hố thế quá nông thì số hạt bị giam cầm quá nhỏ, chƣa kể là khi hố thế nông, lực giam cầm nhỏ không thắng đƣợc trọng lực và các nguyên tử bị rơi xuống. Nhiệt độ sau khi làm lạnh bằng bốc hơi có thể xuống nK. CHƢƠNG 2: NGƢNG TỤ BOSE- EINSTEIN TRONG CÁC BẪY. Các nguyên tử trong các bẫy chịu tác dụng của các thế giam cầm, vì vậy chỉ chuyển động trong không gian hẹp. Do sự có mặt của các thế giam cầm và sự giới hạn của không gian nên hệ boson không đồng nhất. Điều này dẫn đến các tính chất vật lý mới thú vị và đòi hỏi những phƣơng pháp tiếp cận khác. Trong chƣơng này chúng ta sẽ xem xét một số phƣơng pháp nghiên cứu lý thuyết các hệ boson không đồng nhất. Để tiện so sánh chúng ta cũng sẽ xét hệ boson tự do, hay còn gọi là hệ boson lý tƣởng. 2.1.MỘT SỐ ĐẶC ĐIỂM KHI NGHIÊN CỨU BEC TRONG CÁC BẪY. Hệ nguyên tử trong các bẫy khác với hệ tự do là chúng bị tác động bởi thế giam cầm. Vì vậy đây là một hệ không đồng nhất nên trạng thái lƣợng tử của hạt không còn đƣợc mô tả bằng momen xung lƣợng ⃗ mà có thể bẫy một bộ số lƣợng tử . Khi số hạt ở trạng thái (kí hiệu là là một đại lƣợng vĩ mô ( thì ta nói rằng hệ ngƣng tụ ở trạng thái lƣợng tử . Nói một chính xác ta phải xét ở giới hạn nhiệt động học : N , V . Trạng thái đƣợc gọi là đƣợc chiếm một cách vĩ mô khi: . 19 Điều kiện (2.2) đƣợc gọi là tiêu chuẩn Einstein cho hiện tƣợng ngƣng tụ BEC. Tuy nhiên, cho các nguyên tử trong các bẫy thể tích V có thể không xác định. Vì vậy ta cần định nghĩa giới hạn nhiệt động học theo cách khác. [18 ] Giả sử là một đại lƣợng quảng giao (extensive) quan sát đƣợc, lúc đó giới hạn nhiệt động học hiệu dụng đƣợc định nghĩa nhƣ sau: N , . Thí dụ, nếu đại lƣợng quan sát đƣợc là nội năng của N hạt ta có giới hạn nhiệt động học nhƣ sau: N , . Ngoài ra, cho hệ nguyên tử trong bẫy ta cũng cần chú ý định nghĩa của tham số trật tự thông qua ma trận mật độ một hạt: = 〈 〉 . (2.5) Trong đó ( ) và Ψ( ) là các toán tử trƣờng có thể biểu diễn qua các toán tử sinh hủy hạt ( ) ở trạng thái 𝜆và hệ hàm cơ sở φ là hệ hàm riêng của các toán tử : ∫ d = ( ) . (2.6) 20 Ta cóΨ( ∑ . (2.7) Lúc đó (2.5) có thể viết dƣới dạng: = ∑ . (2.8) Với 〈 〉 à số hạt ở trạng thái 𝜆. Penrose-Onsarger [ 18 ] cho rằng, tiêu chuẩn để có BEC là khi cực đại của trị riêng của toán tử ma trận mật độ là một đại lƣợng vĩ mô: Khai triển (2.8) lúc đó viết lại thành: ( + ∑ ⃗ (𝜆) . (2.10) Dựa vào (2.10) đƣa vào khái niệm tham số trật tự tầm xa không chéo (off- diagonallong - range order) và cho rằng để có BEC cần tồn tại trật tự tầm xa không chéo: | ⃗ ⃗ | = > 0 . (2.11) 21 Tiêu chuẩn (2.11) đƣợc sử dụng nhiều cho các hệ đồng nhất khi có thể coi ( = √ , . (2.12) Tuy nhiên, điều này không hề áp dụng cho hệ có thể tích hữu hạn vì lúc đó ( . Khi nên khi | | . Nhƣ vậy với hệ nguyên tử trong bẫy ta cần dùng tiêu chuẩn Einstein hoặc tiêu chuẩn Penrose-Onsager. 2.2.NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN TRONG HỆ BOSON LÝ TƢỞNG. Hiện tƣợng ngƣng tụ Bose-Einstein bắt nguồn từ tính đối xứng của hàm sóng hệ nhiều hạt với phép hoán vị hai hạt boson đồng nhất. Từ tính đối xứng này suy ra hàm phân bố boson ở nhiệt độ T trong trạng thái lƣợng tử ν là: = . (2.13) Trong đó : β = ;µ là thế hóa học xác định từ điều kiện: N=∑ . (2.14) Trạng thái lƣợng tử của boson tự do đƣợc mô tả bằng số lƣợng tử là xung lƣợng k với năng lƣợng: 22 . Vì nên từ (2.15) và từ (2.13) ta suy ra µ ≤ 0. Điểm ⃗ = 0;µ = 0 là một điểm đặc biệt vì tại đây trung bình số hạt phân kì.Để thỏa mãn điều kiện (2.14) là hữu hạn, ta cần tách riêng số hạng tƣơng ứng với số hạt trong ngƣng tụ: N = = ∑ . (2.16) Nếu kí hiệu là mật độ số hạt ở trạng thái ngƣng tụ còn là mật độ trạng thái ngoài ngƣng tụ: , = . (2.17) Với V là vùng thể tíchcóboson. Số hạt ngoài ngƣng tụ tính nhƣ sau: = ∑ . (2.18) 23 Thông thƣờng, để tính tổng theo xung lƣợng ngƣời ta đƣa ra mật độ trạng thái sao cho: ∑ ⃗ ⃗ = ∫ . (2.19) Trong trƣờng hợp hệ 3 chiều ta có ngay: = ( √ . (2.20) Thay (2.20) vào (2.19); (2.15); (2.18) ta có: = ( ∫ √ = ( ∫ √ . (2.21) Ta đƣa vào hàm Riemann Zeta đƣợc sử dụng nhiều trong lý thuyết BEC: ∑ . Lúc đó: ∫ = . (2.22) (2.23) Với là hàm gamma. Một số giá trị của hàm Riemann Zeta và hàm gamma là: 24 { ( ) ( ) ( ) ( ) √ ( ) √ (2.24) Từ (2.21) và (2.23) ta suy ra mật độ số hạt ở ngoài ngƣng tụ: = ( ( ) ( ). (2.25) Nhiệt độ chuyển pha đƣợc xác định từ điều kiện ) = . Từ đây ta có: = ( ( ) ( ) . (2.26) Nếu thay ( ) ( ) từ (2.24) vào : [ ( ) . (2.27) Từ (2.26) và (2.25) ta suy ra : 25 = . Hay = . Khi T . (2.28) (2.29) 2.3.NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN CỦA NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA KHÔNG TƢƠNG TÁC TRONG BẪY DẠNG THẾ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA. [12, 13, 15, 16]. Trong các bẫy quang học thế năng giam cầm đƣợc mô tả bằng thế dao động tử điều hòa: V( =- m ( + ) . (2.30) Ở nhiệt độ T = 0 thì ta chỉ cần xét bài toán hạt chuyển động trong dao động tử điều hòa ba chiều bất đẳng hƣớng. Đây là bài toán phân ly biến số quy về dao động tử điều hòa một chiều. Hàm sóng một hạt ở trạng thái cơ bản là: { √ (2.31) 26 Nhƣ vậy phân bố mật độ số hạt sẽ là : n(r) = N | | . Để tìm phân bố hạt theo xung lƣợng n( = N | ⃗ | ta cần tìm ảnh Fourier ⃗ của hàm sóng ( ta có : ⃗ , = ħ √ ( i = x, y, z) . (2.32) Nhƣ vậy từ (2.31) và (2.32) ta thấy ở T = 0K phân bố theo tọa độ và theo xung lƣợng của hạt e trong trƣờng thế dao động thì điều hòa là bất đẳng hƣớng. Ta chú ý ở nhiệt độ cao T khi có sự phân bố Maxwell thì hệ boson vẫn phân bố bất đẳng hƣớng theo tọa độ. { ⃗ √ (2.33) Nhƣng phân bố theo xung lƣợng lại là đẳng hƣớng: n(p) . (2.34) Bây giờ ta xét khi T . Năng lƣợng dao động tử ba chiều là: 27 = ħ[( ) + ) ) ] . (2.35) Nhiệt độ chuyển phasuy từ điều kiện: ∑ = N . (2.36) Giả thiết ħw ta có thể thay tổng bằng tích phân. ∑ ∭ . (2.37) Tích phân ba lớp lại có thể đƣa về tích phân một lớp bằng cách đƣa vào mật độ trạng thái. Trƣớc hết ta xác định số trạng thái N( có năng lƣợng nhỏ hơn . Ta chọn gốc năng lƣợng là ( ). Số trạng thái N( sẽ bằng thể tích hình tứ diện có các đỉnh là:(0, 0, 0) ;( , 0, 0) ; (0, , 0) ; (0, 0, ). 28 Hình 2.1.Hình tứ diện chứa các điểm có năng lƣợng nhỏ hơn . Thể tích đó bằng: N( ̅ . (2.38) Trong đó ̅ = ( . Mật độ trạng thái: = = ̅̅ ̅̅ . (2.39) Từ (2.36); (2.37); (2.39) ta có: = ̅ ( . (2.40) 29 Và = 1-( , T . (2.41) So sánh (2.40) với (2.27) và (2.41) với (2.29) ta thấy sự khác biệt khi các nguyên tử giam cầm với nguyên tử tự do. 2.4. BEC TRONG CÁC BẪY THẤP CHIỀU. [19] Trong hệ boson thấp chiều lý tƣởng thì có thể không tồn tại ngƣng tụ Bose-Einstein. Ta quay lại hệ boson lý tƣởng với năng lƣợng đƣợc mô tả bằng biểu thức: . Trƣờng hợp ba chiều đã xét ở trên. Trƣờng hợp hai chiều và một chiều tƣơng ứng ta có mật độ trạng thái là: , . (2.44) Từ (2.6); (2.7);(2.43) và (2.44) ta có công thức xác định nhiệt độ chuyển pha qua nồng độ hạt boson: 30 √ ( ) , . (2.46) Cho trƣờng hợp một chiều ( ) nên suy ra không thể tồn tại BEC. Cho trƣờng hợp hai chiều . Tức là → cho nên từ (2.34) suy ra = 0K. Từ đây suy ra cho hệ boson lý tƣởng không có BEC ở D = 1, còn ở hai chiều D=2 thì có BEC ở T=0k. Bây giờ ta xét boson ở trong bẫy. Để cụ thể ta lại xét các bẫy thế dao động tử điều hòa. Mật độ trạng thái dao động tử điều hòa thấp chiều tính tƣơng tự nhƣ ở phần trên và ta thu đƣợc: { √ . Tính toán tƣơng tự nhƣ trên ta có cho D=1[ 19 ] 31 = . (2.49) trong đó N là tổng số hạt . Thông thƣờng (N Nên = . (2.50) Vì trong bẫy số hạt là hữu hạn nên ta suy ra D = 1. Với D = 2 ta có từ (2.42): √ [ . (2.51) với . Nhƣ vậy khác với trƣờng hợp hệ boson lý tƣởng các nguyên tử trong bẫy có thể ở pha ngƣng tụ ở ngay cả trong trƣờng hợp một chiều và hai chiều. 2.5. GẦN ĐÚNG BÁN CỔ ĐIỂN THOMAS- FERMI. [12, 13] Trong hầu hết các trƣờng hợp khi có tƣơng quan ngoài ta không thể giải bài toán cơ học lƣợng tử một hạt trong trƣờng ngoài, ngoại trừ một số dạng thế thế cụ thể: thế Coulomb, thế dao động tử điều hòa, thế hàm đelta các hố thế thành sâu vô cùng. . Vì vậy ta không thể tính đƣợc giải tích các đại lƣợng vật lý ta quan tâm nhƣ trƣờng hợp hệ tự do. Ngoài ra, khi kể đến tƣơng tác giữa các hạt thì lại càng 32 phức tạp. Một trong những gần đúng thông dụng đƣợc sử dụng ở vùng nhiệt độ không quá thấp là gần đúng Thomas-Fermi. Ý tƣởng cơ bản của gần đúng này là khi kích thƣớc của bẫy lớn hơn nhiều bƣớc sóng de Broglie của hạt 𝜆 = √ thì lúc đó có thể bỏ qua hệ thức bất định Heisenberg và có thể xác định đồng thời tọa độ và xung lƣợng. Vì vậy ta có thể đƣa vào hàm phân bố Bose- Einstein tại một điểm xác định trong không gian pha: n( ⃗ = [exp ⃗ . trong đó µ là thế hóa học, còn U( là trƣờng tự hợp. Trƣờng tự hợp là tổng của thế giam cầm V( ⃗ và thế tƣơng tác tự hợp giữa các hạt gn( . Trong đó g là hằng số tƣơng tác còn n( là mật độ boson tại điểm : U( ( . . Gần đúng Thomas-Fermi vẫn có tính lƣợng tử vì ta sử dụng hàm phân bố thống kê lƣợng tử Bose-Einstein nhƣng cũng vừa có tính cổ điển vì thay vì năng lƣợng một hạt thỏa mãn phƣơng trình Schordinger thì ta lại thay bằng Hamiltonian cổ điển: H( ⃗ ⃗⃗⃗⃗ = + V( . 33 Thế tƣơng tác tự hợp gn( thực chất là thế tƣơng tác hai hạt lấy trong gần đúng tƣơng tác cổ điển tỉ lệ g – ). U( trong (2.53) có ý nghĩa là trƣờng tự hợp vì n( phải thỏa mãn phƣơng trình tự hợp: n( = ∑ ⃗ ⃗ . Thế hóa học sẽ thỏa mãn phƣơng trình tƣơng ứng với hệ có N hạt: ∫ ⃗ ∫ ∑ ⃗ = N . Vì số hạt phải là dƣơng nên suy ra là . Tại nhiệt độ chuyển pha số hạt tiến tới vô cùng tại ⃗ = 0 và tại điểm trong không gian pha mà U( )= . Vì vậy nhiệt độ chuyển pha thỏa mãn phƣơng trình: ∫ ⃗ ∑ ⃗⃗ ⃗ ⃗ Thông thƣờng, ngƣời ta thay ∑ ∫ ⃗ ⃗ trong các tính toán. Gần đúng Thomas – Fermi đƣợc áp dụng tƣơng đối có hiệu quả trong các bài toán BEC trong các bẫy. Nhƣ một ví dụ ta thu lại nhiệt độ chuyển pha trong trƣờng thế dao động tử điều hòa bỏ qua tƣơng tác giữa các hạt ta có: 34 V( = ( . Thay vào phƣơng trình (2.56) khi g = 0, = = 0 , Ta có: ∫ ⃗ ∫ ⃗ ħ Đổi biến: = √ . = √ . x(y, z) . (2.59) Từ (2.46) thu đƣợc: ∫ Trong đó:{ (2.61) 35 Tích phân sáu lớp (2.60) có thể lấy đƣợc nếu đƣa về tọa độ cầu trong không gian sáu chiều với độ dài vectơ bán kính là: ∫ . f(u, v) = ∫ ∫ . Diện tích mặt cầu là [19]: ∫ . Nên ta có tích phân dạng: ∫ = ∫ . Kết quả là ta thu lại đƣợc kết quả cho nhiệt độ chuyển pha cho nguyên tử trung hòa lý tƣởng trong các bẫy dao động tử điều hòa mà trong phần