Hướng dẫn ôn thi Đại học - Phần Đại số

iên tục tại x0 thì f(x) có đạo hàm tại x0. d. f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không xác định tại x0. c. f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không liên tục tại x0. VÍ DỤ 1 4 v1.0 Khẳng định nào đúng: Hướng dẫn: Xem khái niệm đạo hàm, có nhận xét sau: a. f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0. b. f(x) liên tục tại x0 thì f(x) có đạo hàm tại x0. d. f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không xác định tại x0. c. f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không liên tục tại x0. VÍ DỤ 1 (tiếp theo) Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0. 5 v1.0 Khẳng định nào đúng: a. f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0. b. f(x) liên tục tại x0 thì f(x) có đạo hàm tại x0. d. f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không xác định tại x0. c. f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không liên tục tại x0.  Chú ý: f(x) = |x| xác định tại x = 0, liên tục tại x = 0, có đạo hàm phải và đạo hàm trái tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại x = 0. (=> b, c, d sai). VÍ DỤ 1 (tiếp theo)    6 v1.0 Cho hàm số f(x)=|x|. Khẳng định nào sau đây không đúng? a. f(x) có đạo hàm với mọi x khác 0. b. f(x) có đạo hàm phải tại x = 0. c. f(x) có đạo hàm trái tại x = 0. d. f(x) có đạo hàm tại x = 0. VÍ DỤ 2 7 v1.0 Cho hàm số f(x)=|x|. Khẳng định nào sau đây không đúng? a. f(x) có đạo hàm với mọi x khác 0. b. f(x) có đạo hàm phải tại x = 0. c. f(x) có đạo hàm trái tại x = 0.     VÍ DỤ 2 (tiếp theo) d. f(x) có đạo hàm tại x = 0. 8 v1.0 VÍ DỤ 3 Đạo hàm của hàm số f(x) = x5 bằng: a. 5x b. 5x4 c. d. 0 6x 6 9 v1.0 VÍ DỤ 3 (tiếp theo) Hướng dẫn: • Xem bảng đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản (tr.25); • Đây là hàm có dạng x. 10 v1.0 BẢNG ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 11 v1.0 Đạo hàm của hàm số f(x) = x5 bằng: a. 5x b. c. 5x4 d. 0 Nhận xét: Sai lầm chủ yếu do không nắm được công thức đạo hàm của các hàm số.     VÍ DỤ 3 (tiếp theo) 6x 6 (x5)’ = 5x5 – 1 = 5x4 12 v1.0 Đạo hàm của hàm số f(x) = arccosx bằng: a. b. c. d. VÍ DỤ 4 2 1 1 x 2 1 1 x   2 1 1 x 2 1 1 x   13 v1.0 Đạo hàm của hàm số f(x) = arccosx bằng: a. b. c. d. VÍ DỤ 4 (tiếp theo) 2 1 1 x 2 1 1 x   2 1 1 x    211 x  f(x) = arccosx 14 v1.0 Đạo hàm của hàm số f(x) = tg(lnx) bằng: a. b. c. d. VÍ DỤ 5 2 1 xcos (ln x) 2 1 cos (ln x) 2 1 ln x cos x 2 ln x cos x 15 v1.0 Hướng dẫn: Xem các phép toán về đạo hàm, đạo hàm của hàm hợp (mục 1.2.1, tr.24). VÍ DỤ 5 (tiếp theo) Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm theo x, hàm số y = f(x) có đạo hàm theo u thì hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x). 2 u (x) (tgu(x)) cos u(x)   1(ln x) (x 0) x    16 v1.0 Đạo hàm của hàm số f(x) = tg(lnx) bằng: a. b. c. d. VÍ DỤ 5 (tiếp theo) 2 1 xcos (ln x) 2 1 cos (ln x) 2 1 ln x cos x 2 ln x cos x     2 2 1 1 1(tg(ln x)) tg (ln x).(ln x) .(ln x) . cos (ln x) cos (ln x) x       17 v1.0 Đạo hàm của hàm số f(x) = sin(cos22x) bằng:         2 2 2 a. cos cos 2x b. cos 2cos2x c. cos sin 2x d. 2cos cos 2x sin4x– VÍ DỤ 6 18 v1.0 Đạo hàm của hàm số f(x) = sin(cos22x) bằng:         2 2 2 a. cos cos 2x . b. cos 2cos2x . c. cos sin 2x . d. 2cos cos 2x sin4x.– Chú ý: 2sin .cos sin2    VÍ DỤ 6 (tiếp theo)             2 2 2 2 2 2 2 sin(cos 2x) cos(cos 2x). cos 2x cos(cos 2x).2cos2x cos2x cos(cos 2x).2cos2x.( sin(2x)). 2x 2.cos(cos 2x).2cos2x.sin2x 2.cos(cos 2x).sin4x          19 v1.0 VÍ DỤ 7 Đạo hàm cấp hai của hàm số bằng:2f(x) ln 1 x        2 22 2 22 22 1 xa. 1 x 1b. 1 x xc. 1 x 2xd. 1 x      20 v1.0 VÍ DỤ 7 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem khái niệm Đạo hàm cấp cao: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp một của f(x). Đạo hàm, nếu có của đạo hàm cấp một gọi là đạo hàm cấp hai. Kí hiệu là: y” = f”(x). Vậy: y” = f”(x) = (f’(x))’. Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n – 1) của f(x) gọi là đạo hàm cấp n, kí hiệu là f(n)x: Vậy y(n) = f(n)(x) = (f(n – 1)(x))’. 21 v1.0 Đạo hàm cấp n của hàm số f(x) = lnx bằng: VÍ DỤ 8 n (n) n 1 n 1 (n) n n 1 (n) n n ( 1) n!a. f (x) x ( 1) n!b. f (x) x ( 1) .(n 1)!c. f (x) x (n 1)!d. x          22 v1.0 Đạo hàm cấp n của hàm số f(x) = lnx bằng: Hướng dẫn: • Xem lại khái niệm đạo hàm cấp cao (tr.30). • Tính thử các đạo hàm cấp 1, cấp 2, cấp 3, của f(x), rồi kiểm tra các phương án với n = 1, 2, 3. Từ đó chọn ra phương án thỏa mãn. VÍ DỤ 8 (tiếp theo) n (n) n 1 n 1 (n) n n 1 (n) n n ( 1) n!a. f (x) x ( 1) n!b. f (x) x ( 1) .(n 1)!c. f (x) x (n 1)!d. x              2 3 1 1f (x) ; f (x) ; x x 2f (x) x       Kiểm tra n = 1, 2, 3. 23 v1.0 Vi phân của hàm số là: 2f(x) ln(x x 4)   VÍ DỤ 9 2 2 2 2 1a. x 4 dxb. x 4 1c. x 4 dxd. x 4       24 v1.0 Hướng dẫn: Công thức df(x) = f’(x).dx VÍ DỤ 9 (tiếp theo) 2 2 2 2 1a. x 4 dxb. x 4 1c. x 4 dxd. x 4               2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 / 2 2 1f (x) . x x 4 x x 4 x 41 1 2x1 1 x x 4 2 x 4 x x 4 2 x 4 1 x 4 x 1. x x 4 x 4 x 4 1 dxdf(x) f (x)dx dx x 4 x 4                                           Nhận xét: • Việc tính vi phân của f(x) thực ra là việc tính đạo hàm của f(x), sau đó thay vào công thức. • Sai lầm thường gặp: Thiếu dx trong công thức df(x) = f’(x).dx 25 v1.0 Vi phân của hàm số f(x) = x(ln x – 1) là: a. dx b. ln xdx c. 1 d. ln x VÍ DỤ 10 26 v1.0 Vi phân của hàm số f(x) = x(ln x – 1) là: a. dx b. ln xdx c. 1 d. ln x VÍ DỤ 10 (tiếp theo)     1f (x) (ln x 1) x. ln x x      27 v1.0 Giới hạn bằng: 2x 1 x xlim x 1   VÍ DỤ 11 1a. 2 1b. 2 1c. 4 1 d. 4   28 v1.0 VÍ DỤ 11 (tiếp theo) Hướng dẫn: Qui tắc L’Hospital (Lôpitan) (tr.33) Định lý: Giả sử các hàm số u(x) và v(x) thỏa mãn các điều kiện: Giới hạn có dạng vô định hoặc , tức là hai hàm số u(x) và v(x) cùng có giới hạn hoặc cùng có giới hạn vô hạn. Tồn tại giới hạn (hữu hạn hoặc vô hạn). Khi đó . x a u(x) lim v(x) 0 0   x a u '(x) lim v '(x) x a x a u(x) u '(x) lim lim v(x) v '(x)   29 v1.0 Giới hạn bằng: 2x 1 x xlim x 1   VÍ DỤ 11 (tiếp theo) 1a. 2 1b. 2 1c. 4 1 d. 4   Chú ý: Trong phát biểu của định lý a có thể hữu hạn hoặc vô cùng.     (L) 2 2x 1 x 1 x 1 x x ( x x)lim lim x 1 (x 1) 1 11 1 12 x 2lim 2x 2 4              30 v1.0 Nhận xét: • Để làm tốt phương pháp này, cần tính thành thạo đạo hàm các hàm số; • Khi tính một giới hạn có thể sử dụng quy tắc Lôpitan nhiều lần; • Sai lầm thường gặp: Tiếp tục dùng qui tắc Lôpitan khi giới hạn đã về dạng xác định. Chẳng hạn: 2 (L ) 3 2 2x 1 x 1 2 (L ) (L ) 3 2 2x 1 x 1 x 1 x 1 2x 2lim lim = 2 ( úng) x x 3x 2x 3 2 x 1 2x 2 2 1 lim lim lim = (sai) x x 3x 2x 6x 2 6 2 2 ®                 Lưu ý: là dạng xác định. VÍ DỤ 11 (tiếp theo) 2x 1 2xlim 3x 2x  31 v1.0 Giới hạn bằng: 3 2 3 2x 2x 5x 1lim 3x x 6x     VÍ DỤ 12 2a. 3 5b. 6 c. 0 d.  32 v1.0 Giới hạn bằng: 3 2 3 2x 2x 5x 1lim 3x x 6x     VÍ DỤ 12 (tiếp theo) 2a. 3 5b. 6 c. 0 d.      3 2 2 (L ) 3 2 2x x (L ) (L ) x x 2x 5x 1 6x 10xlim lim 3x x 6x 9x 2x 6 12x 10 12 2 lim lim 18x 2 18 3                     33 v1.0 Giới hạn bằng:2 x 0 lim x ln x VÍ DỤ 13 a. 1 b. 0 c. 2 d. – 1 34 v1.0 • Dạng vô định 0. • Dạng vô định  –  1 1 u 0 v lim(uv) lim (d ng ) ho c lim(uv) lim (d ng ) v 0 u ¹ Æ ¹     1 1 0v ulim(u v) lim (d ng ) 1 0 uv ¹    Hướng dẫn: Xem mục 2.6.1.2, tr.33. Tất cả các dạng vô định khác đều có thể biến đổi về dạng hoặc .0 0   VÍ DỤ 13 (tiếp theo) 35 v1.0 Giới hạn bằng:2 x 0 lim x ln x VÍ DỤ 13 (tiếp theo) a. 1 b. 0 c. 2 d. – 1   2 x 0 x 0 2 / 2 (L ) / x 0 x 0 x 0 3 2 ln xlim x ln x lim 1 x 1ln x xxlim lim lim 0 2 21 x x                       36 v1.0 Giới hạn bằng: x 2 1lim tgx cos x     VÍ DỤ 14 a. 0 b. 1 c. + d. – 37 v1.0 Giới hạn bằng: x 2 1lim tgx cos x     VÍ DỤ 14 (tiếp theo) a. 0 b. 1 c. + d. – (L) x x x 2 2 2 1 1 sin x cosxlim tgx lim lim 0 cos x cos x sin x                 38 v1.0 Giới hạn bằng: 2 1 x x 1 lim x  VÍ DỤ 15 a. –1 b. 2 c. e–2 d. e2 39 v1.0 VÍ DỤ 15 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem mục 2.6.1.2, tr.33. Các dạng vô định 1, 00 và 0 xuất hiện khi tính giới hạn của biểu thức uv, trong đó u = u(x) > 0 và v = v(x): • Nếu u  1 và v   thì lim uv có dạng vô định 1; • Nếu u  0 và v  0 thì lim uv có dạng vô định 00; • Nếu u  + và v  0 thì lim uv có dạng vô định 0. • Nếu đặt y = uv thì trong cả ba trường hợp này giới hạn của biểu thức lny = vlnu đều có dạng 0. (dạng này đã được chỉ dẫn cách tính ở trên); • Nếu tính được lim(lny) = k thì ta được: limy = lim elny = ek. 40 v1.0 Giới hạn bằng: 2 1 x x 1 lim x  VÍ DỤ 15 (tiếp theo) a. –1 b. 2 c. e–2 d. e2 Nhận xét: Phương pháp thay tương đương (Bài 1) và pp sử dụng quy tắc Lôpitan là 2 phương pháp tính giới hạn rất hiệu quả.     x 1 2 2 lim ln x 1 x 1 x x 1 (L) x 1 x 1 2 21 x x 1 lim x e 2 2.ln x xlim lim 2 1 x 1 lim x e               41 v1.0 Giới hạn bằng: 2x x 0 lim x VÍ DỤ 16 a. 1 b. 0 c. + d. e 42 v1.0 Giới hạn bằng: 2x x 0 lim x VÍ DỤ 16 (tiếp theo) a. 1 b. 0 c. + d. e     43 v1.0 Câu 1: Qui tắc Lôpitan có thể áp dụng cho những trường hợp nào? Trả lời: Chỉ cho 2 dạng vô định: . Muốn sử dụng quy tắc Lopitan cho các dạng vô định khác phải biến đổi về 2 dạng trên. Câu 2: Trong qui tắc Lôpitan, nếu giới hạn không tồn tại có suy ra được không tồn tại không? Trả lời: Không suy được như vậy. x a u (x) lim v (x)   x a u(x) lim v(x) 0 , 0   MỘT SỐ CÂU HỎI THƯỜNG GẶP 1 v1.0 BÀI 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn 2 v1.0 1. Nguyên hàm của một hàm số, tích phân bất định, tính chất, các công thức cơ bản, các phương pháp tính tích phân bất định. 2. Tích phân bất định của hàm hữu tỉ, hàm lượng giác, hàm vô tỉ. 3. Tích phân xác định, tính chất, mối liên hệ với nguyên hàm, các phương pháp tính tích phân xác định, ứng dụng của tích phân xác định. 4. Tích phân suy rộng. LÝ THUYẾT 3 v1.0 Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số: 3 3 2 a. x 2x 1 b. 6x c. 3x 2x d. 3x 2x     2f(x) 3x 2  VÍ DỤ 1 4 v1.0 Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số: 3 3 2 a. x 2x 1 b. 6x c. 3x 2x d. 3x 2x     2f(x) 3x 2  VÍ DỤ 1 (tiếp theo) . Hướng dẫn: Xem định nghĩa nguyên hàm (mục 3.1.1.1) F '(x) f(x), x D, hay   dF(x) f(x)dx Định nghĩa: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng D nếu:   3 2 3 2 2 x +2x+1 '=3x +2 (6x) ' 6 (3x +2x)'=9x +2 (3x 2x) ' 6x 2       Nhận xét: Sai lầm thường gặp: Nhầm lẫm giữa nguyên hàm và đạo hàm, cho rằng F(x) là nguyên hàm của f(x) thì f’(x) = F(x). Chẳng hạn trong ví dụ 1, chọn đáp án b. 5 v1.0 Hàm số có nguyên hàm là hàm số nào trong các hàm số sau? a. arccos x b. arccos x c. arcsinx x d. arcsinx C        2 1 f(x) 1 1 x   VÍ DỤ 2 6 v1.0 Hàm số có nguyên hàm là hàm số nào trong các hàm số sau? a. arccos x b. arccos x c. arcsinx x d. arcsinx C        2 1 f(x) 1 1 x   VÍ DỤ 2 (tiếp theo)     7 v1.0 VÍ DỤ 3 Tích phân bằng: 2 dx 3 2x 1 xa. arctg 3 3 1 xb. arctg C 3 3 1 xc. arctg 3 3 1 xd. arctg C 3 3                   8 v1.0 VÍ DỤ 3 (tiếp theo) Xem bảng các công thức tích phân cơ bản 9 v1.0 VÍ DỤ 3 (tiếp theo) Tích phân bằng: 2 dx 3 2x 1 xa. arctg 3 3 1 xb. arctg C 3 3 1 xc. arctg 3 3 1 xd. arctg C 3 3                       2 2 2 dx dx 1 xarctg C 3 x ( 3) x 3 3          Nhận xét: Sai lầm thường gặp là thiếu hằng số C. 10 v1.0 Tích phân bằng: 2 dx 2 3x 3 3a. arctgx C 2 2 1 3b. arctgx C 26 3 xc. arctg C 2 6 1 xd. arctg C 6 6     VÍ DỤ 4 11 v1.0 Tích phân bằng: 2 dx 2 3x 3 3a. arctgx C 2 2 1 3b. arctgx C 26 3 xc. arctg C 2 6 1 xd. arctg C 6 6     2 2 dx dx 22 3x 3 x 3        VÍ DỤ 4 (tiếp theo) Gợi ý:     12 v1.0 Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Khi đó, là:2xf(x )dx 2 2 2 2 F(x )a. C 2 b. F(x ) C c. xF(x ) C d. F(x )    VÍ DỤ 5 13 v1.0 2 2 21d(x ) (x ) 'dx 2xdx xdx d(x ) 2    d(u(x)) u'(x)dx; VÍ DỤ 5 (tiếp theo) Chú ý: Hướng dẫn: Xem mục 3.1.2.2, tr.46 Phương pháp biến đổi biểu thức vi phân Nhận xét: 14 v1.0 Nhận xét: Khó khăn ở đây là việc biểu diễn f(x) g(u(x)).u '(x)     2 2 2 21 1xf(x )dx f(x )d(x ) F(x ) C 2 2     Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Khi đó, là:2xf(x )dx 2 2 2 2 F(x )a. C 2 b. F(x ) C c. xF(x ) C d. F(x )    VÍ DỤ 5 (tiếp theo) 15 v1.0 Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Khi đó, là:sin xf(cos x)dx a. F(cosx) C b. F(cosx) C c. F(sinx) C d. F(sinx) C       VÍ DỤ 6 16 v1.0 Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Khi đó, là:sin xf(cos x)dx a. F(cosx) C b. F(cosx) C c. F(sinx) C d. F(sinx) C       VÍ DỤ 6 (tiếp theo)     17 v1.0 Tìm hàm số f(x) biết và 2xf '(x) xe 2x 2x 2x 2x 1 3ea. f(x) e 2 2 b. f(x) e e 1 5c. f(x) e e 2 2 d. f(x) e 3e           f( 1) 2e  VÍ DỤ 7 18 v1.0 Tìm hàm số f(x) biết và 2xf '(x) xe 2x 2x 2x 2x 1 3ea. f(x) e 2 2 b. f(x) e e 1 5c. f(x) e e 2 2 d. f(x) e 3e           f( 1) 2e  Hướng dẫn: f(x) là một nguyên hàm của 2xxe ; f(x) f '(x)dx  VÍ DỤ 7 (tiếp theo) 2 2 2x x 2 x 2x 1 1f(x) f '(x)dx xe dx e dx e C 2 2 1 3f( 1) 2e f( 1) e C 2e C e 2 2 1 3f(x) e e 2 2                        19 v1.0 Tìm hàm số f(x) biết và f(0) = 1/2. 2 2 2 2 1a. sin(x ) 1 2 1b. cos(x ) 1 2 1c. sin(x ) 2 d. cos(x ) 1        2f '(x) x sin(x ) VÍ DỤ 8 20 v1.0 Tìm hàm số f(x) biết và f(0) = 1/2. 2 2 2 2 1a. sin(x ) 1 2 1b. cos(x ) 1 2 1c. sin(x ) 2 d. cos(x ) 1        2f '(x) x sin(x ) VÍ DỤ 8 (tiếp theo)     21 v1.0 Tích phân bằng: 1 xa. tg C 2 2 1 xb. tg 2 2 xc. tg 2 xd tg C 2   dx 1 cos x VÍ DỤ 9 22 v1.0    2 2x x1 cos x 2cos ; 1 cos x 2sin ;2 2    VÍ DỤ 9 (tiếp theo) Hướng dẫn: f(x)dx F(x) C  1f(ax b)dx F(ax b) C (a 0)a    ta suy ra: 23 v1.0 Tích phân bằng: 1 xa. tg C 2 2 1 xb. tg 2 2 xc. tg 2 xd tg C 2   dx 1 cos x VÍ DỤ 9 (tiếp theo) 2 dx dx 1 1 x x. tg C tg C x 11 cos x 2 2 22cos 22                    24 v1.0 Tích phân bằng: 2 2 1 x dx a. 1 b. 3 7 c. 3 1 d. 3  VÍ DỤ 10 25 v1.0 Tích phân bằng: 2 2 1 x dx a. 1 b. 3 7c. 3 1d. 3  VÍ DỤ 10 (tiếp theo) 3.2.3. Công thức Newton - Leibnitz a b a b f(x)dx F(x) F(b) F(a)   Trong đó F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số liên tục f(x). 2 23 3 3 2 11 x 2 1 7x dx 3 3 3 3        Hướng dẫn: 26 v1.0 Tích phân bằng: 0 2 sin xdx   a. 1 b. 0 c. 1 d. cos x  VÍ DỤ 11 27 v1.0 Tích phân bằng: 0 2 sin xdx   a. 1 b. 0 c. 1 d. cos x  Chú ý: Đối với tích phân xác định khi ta đổi cận, tích phân sẽ đổi dấu nên thứ tự của các cận là rất quan trọng. VÍ DỤ 11 (tiếp theo) a a b b f(x)dx f(x)dx       28 v1.0 Tích phân bằng: ln2 x 0 xe dx a. 1 ln2 1 ln2b. 2 c. ln2 1 ln2 1d. 2     VÍ DỤ 12 29 v1.0 Hướng dẫn: Xem mục 3.1.2.4 và 3.2.1.4 Phương pháp tích phân từng phần: trong đó u(x), v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục. • Trong các tích phân n nguyên dương, ta thường chọn: u = xn • Trong các tích phân và n nguyên dương, ta thường chọn u = lnn x VÍ DỤ 12 (tiếp theo)   b b b a a a udv uv vdu   n kx n nx e dx x sinkxdx; x coskxdx   nx ln xdx; 1    30 v1.0 x x ln2 ln2 ln2x x x 0 0 0 ln2 ln2ln2 x x 0 0 ln2 0 u x; dv e dx du dx; v e I xe dx x( e ) e dx ln2ln2.e e dx ( e ) 2 ln2 1 ln2e e 2 2                                        Tích phân bằng: ln2 x 0 xe dx a. 1 ln2 1 ln2b. 2 c. ln2 1 ln2 1d. 2     Đặt VÍ DỤ 12 (tiếp theo) 31 v1.0 Tích phân bằng: e 1 x ln xdx 2 2 2 2 1 ea. 4 1 eb. 2 1 ec. 4 1 ed. 2     VÍ DỤ 13 32 v1.0 Tích phân bằng: e 1 x ln xdx 2 2 2 2 1 ea. 4 1 eb. 2 1 ec. 4 1 ed. 2     VÍ DỤ 13 (tiếp theo)     33 v1.0 Tích phân bằng:3ln x 2 dx x    2 2 3 a. 3 ln x 2 ln x C 3b. ln x 2 ln x C 2 c. 3 ln x 2 ln x C d. 2 ln x 4 ln x C         VÍ DỤ 14 34 v1.0 Hướng dẫn: Xem phương pháp đổi biến của tích phân bất định 3.1.2.3 VÍ DỤ 14 (tiếp theo) 35 v1.0 Tích phân bằng:3ln x 2 dx x    2 2 3 a. 3 ln x 2 ln x C 3b. ln x 2 ln x C 2 c. 3 ln x 2 ln x C d. 2 ln x 4 ln x C         VÍ DỤ 14 (tiếp theo) 2 2 dx t ln x dt x 3ln x 2 tdx (3t 2)dt 3. 2t C x 2 3 .ln x 2ln x C 2                   Đặt Nhận xét: Sai lầm thường gặp: Khi tìm được nguyên hàm của biến số mới không đổi lại thành hàm của biến số cũ. 36 v1.0 Tích phân bằng: 3ln x 2 dx x ln x        3 3 3 3 1a. ln x 2 ln x C 3 b. ln x 2 ln x C 2c. ln x 4 ln x C 3 d. 2 ln x 4 ln x C         VÍ DỤ 15 37 v1.0 Tích phân bằng: 3ln x 2 dx x ln x        3 3 3 3 1a. ln x 2 ln x C 3 b. ln x 2 ln x C 2c. ln x 4 ln x C 3 d. 2 ln x 4 ln x C         VÍ DỤ 15 (tiếp theo)     38 v1.0 Sử dụng phép đổi biến , tích phân trở thành: 1 2 0 x 1 dx (3x 1)   1 2 0 4 2 1 4 2 1 4 2 1 t+ 2a. dt 9 t t+ 2b dt 9 t t-1c. dt 9 t t+ 1d. dt 3 t     t 3x 1  VÍ DỤ 16 39 v1.0 VÍ DỤ 16 (tiếp theo) 3.2.4.2. Phương pháp đổi biến (xem trong giáo trình tr.62-63). 40 v1.0 1 4 4 2 2 2 0 1 1 t 1 dt t 3x 1 x dx 3 3 x 0 t 1; x 1 t 4 t 1 1x 1 dt t+23dx dt 3(3x 1) t 9t                       Nhận xét: Sai lầm thường gặp là quên không đổi cận. VÍ DỤ 16 (tiếp theo) Sử dụng phép đổi biến , tích phân trở thành: 1 2 0 x 1 dx (3x 1)   1 2 0 4 2 1 4 2 1 4 2 1 t+ 2a. dt 9 t t+ 2b dt 9 t t-1c. dt 9 t t+ 1d. dt 3 t     t 3x 1  Đặt đổi cận 41 v1.0 Sử dụng phép đổi biến , tích phân bằng: 1 2 2 dx x x 1    a. 6 b. 6 c. 3 d. 3     1x sin t  VÍ DỤ 17 42 v1.0 Sử dụng phép đổi biến , tích phân bằng: 1 2 2 dx x x 1    a. 6 b. 6 c. 3 d. 3     1x sin t  VÍ DỤ 17 (tiếp theo)     43 v1.0 Tìm a để hàm số là hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên x. 1a. 4 1b. 4 c. 1 d. 1    3f(x) ax x, x 0,2   VÍ DỤ 18 44 v1.0 Tìm a để hàm số là hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên x. 1a. 4 1b. 4 c. 1 d. 1    3f(x) ax x, x 0,2   Hướng dẫn: f(x) là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên x nếu f(x)dx 1    VÍ DỤ 18 (tiếp theo) 2 3 0 1 f(x)dx (ax x)dx ... 4a 2 1a 4                45 v1.0 Câu 1: Sự khác nhau của tích phân bất định và tích phân xác định? Trả lời: Tích phân bất định là một họ hàm số, còn tích phân xác định là một số cụ thể. Về mặt kí hiệu thì tích phân bất định không có cận, còn tích phân xác định có cận trên và cận dưới. Câu 2: Tích phân bất định của hàm số là gì? Trả lời: 2 1 dx sin x cot gx C  MỘT SỐ CÂU HỎI THƯỜNG GẶP 1 v1.0 BÀI 4 HÀM NHIỀU BIẾN Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn 2 v1.0 1. Khái niệm hàm số nhiều biến số, giới hạn và sự liên tục của hàm số nhiều biến số. 2. Đạo hàm riêng, vi phân riêng, vi phân toàn phần. 3. Cực trị của hàm số - Cực trị có điều kiện. LÝ THUYẾT 3 v1.0 Trong các phần tử sau, phần tử nào là một điểm của không gian 3 chiều ?3 a. (1;2) b. (1;2;3) c. (1) d. (1;2;3;4) VÍ DỤ 1 4 v1.0 Trong các phần tử sau, phần tử nào là một điểm của không gian 3 chiều ?3 a. (1;2) b. (1;2;3) c. (1) d. (1;2;3;4) Hướng dẫn: Xem mục 4.1.1.1 Định nghĩa: Mỗi bộ n số thực sắp thứ tự x1, x2, ..., xn được gọi là một điểm n chiều. Ta ký hiệu điểm bởi chữ in hoa M(x1, x2, ..., xn). VÍ DỤ 1 (tiếp theo)     5 v1.0 Một điểm n chiều là: a. Một bộ n số thực. b. Một bộ n số thực sắp thứ tự. c. Một bộ n số thực có hai thành phần bằng nhau. d. Một bộ n số thực đều bằng nhau. VÍ DỤ 2 6 v1.0 Một điểm n chiều là: a. Một bộ n số thực. b. Một bộ n số thực sắp thứ tự. c. Một bộ n số thực có hai thành phần bằng nhau. d. Một bộ n số thực đều bằng nhau. VÍ DỤ 2 (tiếp theo)     7 v1.0 Cho hàm số n biến f(M). Tìm khẳng định luôn luôn đúng trong các khẳng định sau: VÍ DỤ 3 a. Miền xác định của hàm số là b. Miền xác định của hàm số là tập hợp con của c. Miền giá trị của hàm số là d. Miền giá trị của hàm số là tập con của n n n n 8 v1.0 Hướng dẫn: VÍ DỤ 3 (tiếp theo) 9 v1.0 Cho hàm số n biến f(M). Tìm khẳng định luôn luôn đúng trong các khẳng định sau: VÍ DỤ 3 (tiếp theo)     Nhận xét: Sai lầm thường gặp: Không nắm được khái niệm hàm số nhiều biến, bị lẫn lộn giữa miền xác định và miền giá trị. a. Miền xác định của hàm số là b. Miền xác định của hàm số là tập hợp con của c. Miền giá trị của hàm số là d. Miền giá trị của hàm số là tập con của n n n n 10 v1.0 Tập nào sau đây là miền xác định của hàm số xy z x. 1 y x y    a. x y 0, y 1 b. x y 0, y 1 c. x y 0, y 1 d. x y 0, y 1             VÍ DỤ 4 11 v1.0 Tập nào sau đây là miền xác định của hàm số xy z x. 1 y x y    a. x y 0, y 1 b. x y 0, y 1 c. x y 0, y 1 d. x y 0, y 1             Hướng dẫn: Khái niệm miền xác định (tr.73) Miền xác định tự nhiên của một hàm nhiều biến là các bộ n số sao cho khi thay vào biểu thức của hàm số thì các phép toán đều có ý nghĩa. VÍ DỤ 4 (tiếp theo) Chú ý: x y 0 x y 0 1 y 0 y 1             12 v1.0 Tập nào sau đây là miền xác định của hàm số z ln(x y) x arcsin 1 y    a. x y 0 , y 1 b. x y 0 , y 1 c. x y 0 , 1 y 1 d. x y 0 , 0 y 1                VÍ DỤ 5 13 v1.0 Tập nào sau đây là miền xác định của hàm số z ln(x y) x arcsin 1 y    a. x y 0 , y 1 b. x y 0 , y 1 c. x y 0 , 1 y 1 d. x y 0 , 0 y 1                VÍ DỤ 5 (tiếp theo)     14 v1.0 Giới hạn của dãy điểm khi là:n 2 1 2n 3M , nn        a. (0; 0) b. (0; 2) c. (0; 2) d. (1;1)  n  VÍ DỤ 6 15 v1.0 Hướng dẫn: n 0n n n n n 0 0 n 0 n lim x x M (x ;y ) M(x ;y ) lim y y        Nếu một trong 2 giới hạn không tồn tại thì cũng không tồn tại n n n n lim x , lim y  n n lim M VÍ DỤ 6 (tiếp theo) 16 v1.0 Giới hạn của dãy điểm khi là:n 2 1 2n 3M , nn        a. (0; 0) b. (0; 2) c. (0; 2) d. (1;1)  n  VÍ DỤ 6 (tiếp theo)     n2 2n n n 1 2n 3 1 2n 3lim 0; lim 2 lim M ; (0;2) n nn n           Nhận xét: Việc tính giới hạn của một dãy điểm n biến, thực chất là tính giới hạn của n dãy, một dãy ứng với 1 thành phần của điểm. Chỉ cần 1 trong các giới hạn đó không tồn tại thì cũng không tồn tại giới hạn của dãy điểm đó. 17 v1.0 Giới hạn của dãy điểm khi là: 2 n 2 3 2nM , n n n           a. (0;0) b. (0; 2) c. (0;2) d.  n  Không tồn tại. VÍ DỤ 7 18 v1.0 Giới hạn của dãy điểm khi là: 2 n 2 3 2nM , n n n           a. (0;0) b. (0; 2) c. (0;2) d.  n  Không tồn tại. VÍ DỤ 7 (tiếp theo)     2 n 3 2nlim n n    19 v1.0 Cho hàm số . Tìm giới hạn của dãy số khi , trong đó n 2 1M , n n     3a. 5 b. 0 5c. 3 d.  n  Không tồn tại. 2 2 2 2 x yf(M) f(x, y) x y     nf(M ) VÍ DỤ 8 20 v1.0 Cho hàm số . Tìm giới hạn của dãy số khi , trong đó n 2 1M , n n     3a. 5 b. 0 5c. 3 d.  n  Không tồn tại. 2 2 2 2 x yf(M) f(x, y) x y     nf(M ) VÍ DỤ 8 (tiếp theo)             2 2 2 n 2 2 2 2 /n 1 /n2 1 3n 3f(M ) f , n n 55n2 /n 1 /n         n n n 3 3lim f(M ) lim 5 5    21 v1.0 2 3z x