Khóa luận Các phương pháp biểu diễn dao động và ứng dụng trong giải các bài toán dao động

= -kx. Phương trình Định luật II Newton cho chuyển động của vật: F ma= , có dạng: k mx kx x x 0 m = −  + = (1.1). Đây là phương trình động lực học của vật. Đặt 0 k m  = (rad/s) là tần số vòng của dao động thì phương trình (1.1) có thể viết lại thành: 2 0x x 0+ = . (1.2) (1.2) là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số là hằng số. Nghiệm tổng quát của (1.2) có dạng: x Acos( t )=  + , (1.3a) hoặc: x Asin( t ) 2 =  +  +  . (1.3b) 6 Nghiệm này biểu diễn một dao động điều hòa. Giá trị của biên độ A và pha ban đầu  được xác định dựa vào điều kiện ban đầu của bài toán. Sau đây, ta sẽ đi xét một vài ví dụ cụ thể: Trường hợp 1: Xét trường hợp một vật nặng khối lượng m treo dưới một lò xo có hệ số cứng k và khối lượng không đáng kể (Hình 1.1). Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng (VTCB) của vật, trục Ox hướng từ trên xuống dưới. Ở VTCB, trọng lực P tác dụng lên vật cân bằng với lực đàn hồi 0F của lò xo. Ta có: 0P F 0+ = , suy ra: 0 0P F 0 P F k l− =  = =  , với l là độ biến dạng của lò xo khi vật ở VTCB. Kéo vật xuống phía dưới một đoạn rồi buông ra, vật sẽ dao động xung quanh vị trí cân bằng. Xét chuyển động của vật, tại vị trí bất kỳ có tọa độ (ly độ) x, khí đó hình chiếu hợp lực tác dụng lên vật trên trục Ox là: đh x đh(P F ) P F P k( l x) k l k( l x) kx+ = − = −  + =  −  + = − . Phương trình Định luật II Newton cho chuyển động của vật có dạng: k mx kx x x 0 m = −  + = . (1.4) Phương trình (1.4) giống với phương trình (1.1) Như vậy, chuyển động của con lắc lò xo là một dao động điều hòa với tần số vòng 0 k m  = (rad/s). (1.5) Trường hợp 2: Xét con lắc toán học (Hình 1.2), các lực tác dụng lên con lắc gồm trọng lực và lực căng. Áp dụng ĐL II Newton, ta có: Hình 1.1: Con lắc lò xo 7 P T ma+ = . Chiếu lên phương tiếp tuyến với quỹ đạo chuyển động ta được: tP.sin ma m.s−  = = . (1.6) Khi  nhỏ thì s sin l    = thay vào (1.6) ta được: s mg. m.s l − = g s .s 0 l  + = . Đặt: 0 g l  = , (1.7) ta nhận được: 2 0s s 0+ = . (1.8) Phương trình này giống với phương trình (1.2). Vậy, dao động của con lắc toán học trong trường hợp góc lệch nhỏ là dao động điều hòa. Trường hợp 3: con lắc vật lý (Hình 1.3), áp dụng ĐLII Newton ta có: M md g I=  =  Chiếu lên chiều dương là chiều hợp với chiều tăng của góc lệch  theo quy tắc nắm tay phải, ta được mgd.sin I I−  =  =  Khi góc  nhỏ ta có sin   , do đó: mgd. I−  = , hay: mgd 0 I +  = . (1.9) Phương trình (1.9) có dạng giống với phương trình (1.2). Ta kết luận dao động của Hình 1.2: Con lắc toán học Hình 1.3: Con lắc vật lý 8 con lắc vật lý là dao động điều hòa với tần số góc 0 mgd I  = (rad/s). (1.10) Trường hợp 4: Trong dao động điện, ta xét mạch LC (Hình 1.4). Dòng điện trong mạch liên hệ với điện tích trên các bản tụ điện bởi biểu thức: dq i dt = . Dòng điện biến thiên tạo suất diện động cảm ứng E trong cuộn dây là: 2 2 di d q L L dt dt = − = −E . Áp dụng định luật Kirchhoff (Kiếc-sốp) thứ hai cho mạch (R = 0) ta có: 2 2 2 2 d q q d q U L L dt C dt = −  = − . Hay: 2 2 q d q 1 L 0 q q 0 C dt LC + =  + = . (1.11) Đây là phương trình điện động lực học của dao động điện trong mạch LC. Phương trình (1.11) có dạng giống phương trình (1.2) ta kết luận dao động trong mạch lý tưởng không có điện trở là dao động điều hòa với tần số góc 0 1 LC  = . (1.12) 1.2.1.3. Nhận xét Ở trên ta đã xét dao động điện trong mạch LC và dao động cơ điều hòa bằng việc giải phương trình động lực học. Có thể thấy hiện tượng dao động của con lắc lò xo, con lắc toán học, con lắc vật lý hay sự biến đổi của các đại lượng điện trong mạch LC bị chi phối bới những định luật vật lý khác nhau nhưng chúng tuân theo một phương trình vi phân. Nhìn chung từ phương trình của các dao động này đều cho ta Hình 1.4: Mạch LC 9 nghiệm tổng quát có dạng là một dao động điều hòa: 0x Acos( t )=  +  . Trong đó tần số vòng 0 khác nhau ứng với các trường hợp dao động khác nhau. Vậy để một hệ vật tham gia chuyển động là một dao động điều hòa thì hệ phải chịu tác dụng của một lực hồi phục. Lực hồi phục có thể là lực đàn hồi hoặc lực chuẩn đàn hồi. Đặc điểm: Khi chuyển động của vật là một dao động điều hòa thì biên độ dao động và tần số dao động không đổi theo thời gian. A const = và 0 2 T= = const   . Hình 1.5: Sự phụ thuộc li độ dao động vào thời gian 1.2.2. Hệ dao động riêng tắt dần Ở phần trước ta đã xét các dao động điều hòa tự do, hệ chỉ chịu tác dụng của lực hồi phục, đó là trường hợp lí tưởng. Trong thực tế bao giờ cũng có sự tiêu hao năng lượng dao động. Do năng lượng dao động của hệ giảm dần theo thời gian dẫn đến biên độ dao động giảm dần đến một lúc nào đó hệ dao động sẽ dừng lại. Như vậy, dao động không còn là điều hòa nữa. Nguyên nhân: Đối với dao động cơ, do sức cản môi trường dẫn đến sự tổn hao năng cơ năng; Đối với dao động điện, do có mặt của điện trở gây ra hiệu ứng Jun- Lenxơ làm hao hụt năng lượng điện từ. - Đặc điểm của hệ dao động riêng tắt dần: 10 Biên độ dao động sẽ giảm dần theo thời gian và chu kỳ của dao động tắt dần sẽ lớn hơn chu kỳ dao động điều hòa. Phương trình dao động của hệ dao động riêng tắt dần là: t 0x A e cos( t ) −=  + . Chu kỳ dao động tắt dần: 0 2 2 T   = =   − Trong đó:  : tần số dao động riêng tắt dần, 0 tần số dao động của vật khi dao động điều hòa,  là hệ số tắt dần của dao động. Hình 1.6: Sự phụ thuộc li độ dao động tắt dần vào thời gian Trường hợp 1: Đối với dao động cơ tắt dần 0 k m  = và r 2m  = với r: hệ số cản của môi trường. Trường hợp 2: Đối với dao động điện tắt dần (mạch RLC tắt dần do có mặt điện trở) 0 1 LC  = và R 2L  = . Nhận xét: Trong dao động tắt dần, tần số và chu kỳ dao động không chỉ phụ thuộc vào các đại lượng đặc trưng cho hệ mà còn phụ thuộc vào các đại lượng đặc trưng cho sự Hình 1.7: Mạch dao động RLC 11 tiêu hao năng lượng dao động của hệ như hệ số cản của môi trường, điện trở của mạch, Hệ số tắt dần càng lớn và chu kì của dao động càng lớn, dao động tắt dần càng nhanh. 1.2.3. Hệ dao động riêng duy trì Như đã tìm hiểu ở trên, để dao động không bị tắt dần theo thời gian, ta cần bù vào phần năng lượng tiêu hao, người ta bổ sung thêm năng lượng bên ngoài vào cho hệ để mà không làm thay đổi tần số dao động. Khi ấy hệ được gọi là hệ dao động riêng duy trì. Ví dụ: muốn duy trì dao động của con lắc đồng hồ, cần có năng lượng bù thêm của dây cót đồng hồ, con lắc dừng lại khi hết dây cót. 1.2.4. Hệ dao động cưỡng bức Mặt khác, muốn duy trì dao động của hệ để không bị tắt dần, ta cung cấp năng lượng bằng việc tác dụng vào hệ một lực F biến thiên tuần hoàn theo thời gian, hoặc đối với mạch điện thì ta mắc vào mạch một nguồn điện xoay chiều. Khi đó dao động của hệ sẽ không tắt dần nhưng tần số dao động của hệ bị thay đổi. Hệ khi ấy được gọi là hệ dao động cưỡng bức. Trong dao động cưỡng bức, pha ban đầu và biên độ dao động không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu mà phụ thuộc vào mối tương quan giữa tần số của lực cưỡng bức và tần số dao động riêng của hệ. Cụ thể, hệ sẽ dao động với tần số bằng tần số của ngoại lực tác dụng. Đây là đặc điểm để phân biệt dao động cưỡng bức với dao động riêng duy trì. Ví dụ: Đối với dao động cơ ta tác dụng một ngoại lực biến thiên tuần hoàn, khi đó hệ sẽ dao động với tần số bằng tần số ngoại lực. Đối với dao động điện ta đặt vào hệ một nguồn điện xoay chiều, khi đó cường độ dòng điện, hiệu điện thế sẽ dao động cưỡng bức với tần số bằng tần số của nguồn xoay chiều. Hệ quả của dao động cưỡng bức là gây ra hiện tượng cộng hưởng. Hiện tượng cộng hưởng là hiện tượng biên độ dao động đạt giá trị cực đại. 12 Hiện tượng cộng hưởng có thể xảy ra trong dao động cơ, dao động điện từ, Trong thực tế, hiện tượng cộng hưởng vừa có lợi vừa có hại, tuy nhiên nó được ứng dụng rất rộng rãi trong cuộc sống. 1.3. Các phương pháp biểu diễn dao động Để biểu diễn dao động tuần hoàn tùy từng trường hợp cụ thể mà chúng ta có thể sử dụng một trong ba phương pháp sau: phương pháp lượng giác, phương pháp số phức, phương pháp hình học. 1.3.1. Phương pháp lượng giác Phương pháp lượng giác là phương pháp biểu diễn dao động tuần hoàn với các phương trình lượng giác dạng sin hoặc cosin mà trên đây ta đã sử dụng: x Asin( t )=  + , hoặc x Acos( t )=  + . Gải sử một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa có cùng phương, biên độ và tần số khác nhau có phương trình dao động lần lượt là: 1 1 1 1x A cos( t )=  + 2 2 2 2x A cos( t )=  + Phương trình dao động tổng hợp hai dao động trên là: 1 2 1 1 1 2 2 2x x A cos( t ) A cos( t )x= =  +  +  + + - Nếu hai dao động cùng biên độ 1 2A A A= = 1 2 1 2 1 2 1 2x 2cos( t ).cos( t ) 2 2 2 2  +  +  −  − = + + - Đặc biệt khi hai dao động cùng tần số 1 2 =  =  thì: 1 2 1 2x 2cos( ).cos( t ) 2 2  −  +  =  + 1.3.2. Phương pháp hình học Phương pháp hình học (hay phương pháp Frexnen hay phương pháp giản đồ véctơ quay) áp dụng tính chất: Vết chiếu P’ của một chất điểm P chuyển động tròn 13 đều trên một đường kính là một dao động điều hòa. Trên quỹ đạo tròn, ta chọn điểm C bất kì làm gốc. Chọn trục Ox có gốc tại tâm quỹ đạo chuyển động của P và đi qua điểm C (Hình 1.8). Từ O đặt một vectơ A tạo với trục Ox một góc  bằng pha ban đầu, có độ dài tỉ lệ với biên độ A của dao động. A được gọi là vectơ biên độ. Cho vectơ biên độ quay quanh O theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) với vận tốc góc bằng . Vết chiếu của điểm đầu mút vectơ biên độ A trên trục Ox sẽ dao động xung quanh với điểm O với biên độ bằng độ dài của vectơ biên độ, với tần số bằng vận tốc quay của vectơ biên độ, và với pha ban đầu bằng góc tạo bởi vectơ biên độ với trục Ox tại thời điểm ban đầu theo phương trình: x Acos( t )=  + . Như vậy, một dao động điều hòa có thể được biểu diễn bằng một vectơ có độ dài bằng biên độ dao động, tại thời điểm bắt đầu hướng của vectơ hợp với trục Ox một góc bằng pha ban đầu của dao động. Chính vì lý do như vậy mà pha ban đầu  còn được gọi là góc pha và  còn được gọi là tần số vòng. 1.3.3. Phương pháp số phức Một số phức a có thể được biểu diễn dưới dạng: ( )cos sin cos sin= = + = +ia Ae A i A iA     . Trong đó: cosA  là phần thực của số phức a siniA  là phần ảo của số phức a 2 2a (Acos ) (Asin )=  +  là mô đun của số phức a  được gọi là argumen của số phức a, thỏa mãn điều kiện (cos sin )= +a a i  Một dao động điều hòa có thể biểu diễn dưới dạng x Ac ( t )os=  + có thể được Hình 1.8 14 biểu diễn bởi phần thực của số phức ( )+= i t a Ae   hoặc số phức liên hợp ( )* − += i t a Ae   hay có thể viết dưới dạng: ( )exp= +a A i t  hoặc ( ) * exp= − +a A i t  . Hai dao động điều hòa được biểu diễn bởi phần thực của hai số phức: 1 1 1 1 a Acos( t ) iAsin( t )=  +  +  +  , 2 2 2 2 b Bcos( t ) iBsin( t )=  +  +  +  . Khi cộng hai số phức với nhau thì phần thực của chúng cộng với nhau còn phần ảo của chúng cộng với nhau. Gọi số phức c là tổng của a và b c a b= + , thì phần thực của số phức c biểu diễn tổng hợp của hai dao động nói trên. Trong trường hợp đặc biệt, tích một số phức i( t ) a Ae  + = với số liên hợp phức của nó * i( t ) a Ae −  + = là: * i( t ) i( t ) 2 a.a Ae Ae. A + −  += = . Với A là biên độ dao động đó. Ở trên ta xét, dao động điều hòa được biểu diễn bởi phần thực hoặc phần ảo của só phức, tuy nhiên khi xét dao động điều hòa được biểu diễn bởi cả phần thực và phần ảo của số phức thì khi đó để thuận tiện, ta đưa vào khái niệm mặt phẳng phức. ❖ Mặt phẳng phức Giả sử trên mặt phẳng R2 cho một hệ tọa độ vuông góc xOy. Như vậy mỗi điểm M(x,y) R2 được xác định bởi hoành độ và tung độ của nó. Điều này cho phép ta lập được tương ứng một và chỉ một giữa các điểm của mặt phẳng R2 với các số phức z C. Mặt phẳng R2 cùng với một tương ứng như vậy gọi là mặt phẳng phức. Như vậy một điểm M(x,y)  R2 có thể coi là một số phức nếu đồng nhất nó với z x i.y= + 15 Chương 2: VẬN DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG VÀO GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG 2.1. Bài toán tổng hợp hai dao động cùng tần số 2.1.1. Hai dao động cùng phương, cùng tần số nhưng biên độ và pha ban đầu khác nhau: 1 1 1 2 2 2 x A sin( t ) x A sin( t ) =  +   =  +  Phương trình dao động tổng hợp hai dao động điều hòa trên là: x Asin( t )=  + . Sau đây, ta sẽ đi giải bài toán bằng 3 cách: Cách 1: Phương pháp lượng giác Chuyển động của vật sẽ là tổng hợp của hai dao động: 1 2 1 1 2 2x x sin( t ) Ax A sin( t )=  + ++ =  + Đặt 2 2 1 1 A A tan arctan( ) A A  =   = Chia cả 2 vế cho A1 ta được : 2 1 2 1 1 x A sin( t ) sin( t ) A A =  + +  + 1 2 1 x sin( t ) tan .sin( t ) A  =  + +   + 1 2 1 x sin sin( t ) .sin( t ) A cos   =  + +  +  1 1 2 x.cos sin( t ).cos sin .sin( t ) A   =  +  +   + 1 1 2 A x . sin( t ).cos sin .cos( t ) cos 2    =  + +   + −     . Đến đây việc khai triển để ra phương trình dao động tổng hợp phải tùy thuộc vào biên độ và pha ban đầu mà đề bài cho sau đó dùng các công thức lượng giác để 16 tiếp tục biến đổi thích hợp. Cách 2: Phương pháp hình học Hình 2.1 Theo hình 2.1: 2 2 1 2 1 2 2 1A A A A A cos( )= + +  − , 1 1 2 2 1 1 2 2 Asin A .sin A .sin tan Acos A .cos A .cos   +   = =   +  . Cách 3: Phương pháp số phức Hai dao động điều hòa x1, x2 trên được biểu diễn bởi phần thực của hai số phức lần lượt là a1, a2: 1 2 i( t ) 1 i( t ) 2 1 2 a A .e a A .e  +  + = =    Dao động tổng hợp x = x1 + x2 được biểu diễn bởi phần thực của số phức a: i( t )a A.e  += . Ta có: 1 2i( t ) i( t )i( t ) 1 2 1 2a a a A.e A .e A .e  +  + += +  = + 1 2i ii( t) i i( t) i( t) 1 2A.e e A .e .e A .e .e      = + 1 2i ii 1 2A.e A .e A .e   = + 1 1 1 2 2 2A(cos +i.sin ) A (cos +i.sin )+A (cos +i.sin )   =     17 1 1 2 2 1 1 2 2 Acos A .cos A .cos Asin A .sin A .sin  =  +     =  +  (2.1) Bình phương 2 vế của biểu thức (2.1) sau đó cộng hai phương trình lại ta được: 2 2 2 2 2 1 2A (cos sin ) A A+  = + 2 2 1 2A A A = + , 1 1 2 2 1 1 2 2 Asin A .sin A .sin tan Acos A .cos A .cos   +   = =   +  . Nhận xét: Đối với bài toán tổng hợp hai dao động cùng phương cùng tần số, thì dùng phương pháp hình học là ngắn gọn và dễ dàng hơn cả. Để minh chứng cho điều này ta đi giải quyết một số bài tập cụ thể Bài tập vận dụng Bài 1: Tìm biên độ và pha ban đầu của dao động điều hòa là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số: 1x 4sin( t)(cm)=  2x 3sin( t )(cm) 2  =  + Giải Giả sử phương trình tổng hợp hai dao động điều hòa trên là: x Asin( t )=  + Với A: biên độ dao động tổng hợp;  : pha ban đầu của dao động. Cách 1: Giải bằng phương pháp lượng giác Chuyển động của vật sẽ là tổng hợp của hai dao động: 1 2x x 4sin( t)x 3sin( t ) 2 =  +  + =  + Đặt tan 3 3 arctan( ) 0,2 4 4  =  =  (rad) Chia cả 2 vế cho 4 ta được : 18 x 3 sin( t) sin( t ) 4 4 2  =  +  + x 3 sin( t) cos( t) 4 4  =  +  x sin( t) tan .cos( t) 4  =  +   x sin sin( t) .cos( t) 4 cos   =  +   x.cos sin( t).cos sin .cos( t) 4   =   +   4 x .sin( t ) cos  =  +  4 3 x .sin( t arctan ) 3 4 cos(arctan ) 4  =  + x 5.sin( t 0,2 )(cm) =  +  Đáp số : A=5cm, =0,2 (rad) Cách 2: Giải bằng phương pháp hình học Theo hình 2.1, ta có: 2 2 1 2 1 2 2 1A A A A A cos( )= + +  − 2 2 A 4 3 4.3.cos( 0) 5(cm) 2 =  + + − = 2 1 tan A 3 0,2 A 4  = =    (rad) Đáp số : A = 5cm,  = 0,2 (rad) Cách 3: Giải bằng phương pháp số phức Hai dao động điều hòa x1, x2 trên được biểu diễn bởi phần thực của hai số phức lần lượt là a1, a2: i( t) 1a 4.e = và i( t ) 2 2 a 3.e   + = . 19 Dao động tổng hợp x = x1 + x2 được biểu diễn bởi phần thực của số phức a: i( t )a A.e  += . Ta có: 1 2 i( t )i( t ) i( t) 2a a a A.e 4.e 3.e  + +  = +  = + i.i( t) i( t) i( t)i i.0 2A.e e 4.e .e 3.e .e     = + i. i i.0 2A.e 4.e 3.e   = + A(cos +i.sin ) 4(cos0+i.sin0)+3(cos +i.sin ) 2 2      = A(cos +i.sin ) 4(cos0+i.sin0)+3(cos +i.sin ) 2 2      = A(cos i.sin ) 4(1 i.0) 3(0 i.1) +  = + + + A(cos i.sin ) 4(1 i.0) 3(0 i.1) +  = + + + A(cos i.sin ) 4 3i +  = + Acos 4 Asin 3  =    = (2.2) Bình phương 2 vế của biểu thức (2.2) sau đó cộng hai phương trình lại ta được: 2 2 2 2 2A (cos sin ) 4 3 +  = + 2 2A 4 3 5(cm) = + = Asin 3 tan 0,2 (rad) Acos 4   = =      Đáp số : A = 5 cm, = 0,2 (rad) Bài 2: Một chất điểm thực hiện đồng thời 2 dao đông điều hoà cung phương: x1 = A1cos(t+/3) (cm) và x2 = A2cos(t - /2) (cm). Phương trình dao động tổng hợp là: x = 5cos(t + ) (cm). Biên độ dao động A2 có giá trị lớn nhất khi  bằng bao nhiêu? Tính A2max? A.- /3; 8 cm B.-/6;10 cm C. /6; 10 cm D. B hoặc C. 20 Giải: Ta biểu diễn các dao động bằng giản đồ véc tơ quay như hình 2.12: Xét tam giác tạo bởi A1, A2, A. Theo định lý hàm số sin ta có: => A A sin . 2 sin =   . Theo đề, ta có A = 5 cm,  = /6, nên A2 phụ thuộc vào Sin . Ta thấy, A2 cực đại khi góc đối diện với nó (góc ) là góc vuông (tam giác có góc  vuông mà A2 là cạnh huyền). Vậy:  =/2. Ta có:  = 1 -  →  = 1 -  = /3 - /2 = -/6. và 2 max A 5 A 1. 10 sin( / 6) 1/ 2 = = =  (cm). Vậy, chọn B. Bài 3: Ba con lắc lò xo 1, 2, 3 đặt thẳng đứng cách đều nhau theo thứ tự 1, 2, 3. Ở vị trí cân bằng ba vật có cùng độ cao. Con lắc thứ nhất dao động theo phương trình x1 = 3cos(20t + 2  ) (cm), con lắc thứ hai dao động theo phương trình x2 = 1,5cos(20t) (cm). Hỏi con lắc thứ ba dao động theo phương trình nào thì ba vật luôn luôn nằm trên một đường thẳng? A. x3 = 3 2 cos(20t - 4  ) (cm). B. x3 = 2 cos(20t - 4  ) (cm). C. x3 = 3 2 cos(20t - 2  ) (cm). D. x3 = 3 2 cos(20t + 4  ) (cm). Giải Để ba vật luôn nằm trên một đường thẳng thì 1 3 2 x x x 2 + = hay x3 = 2x2 – x1. Hình 2.2 21 Vậy, dao động của m3 là tổng hợp của 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. Dùng phương pháp giản đồ Fre-nen, ta có: )(2 123 AAA  −+= Từ giản đồ suy ra: A3 = 2 1 2 2 )2( AA + = 3 2 cm Dễ thấy φ3 = - π/4 rad. Do đó: x3 = 3 2 cos(20t - 4  ) (cm). Vậy, chọn đáp án A. Bài 4: Dao động của một chất điểm là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình li độ lần lượt là x1 = 3cos( 3 2 t - 2  ) và x2 = 3 3 cos 3 2 t (x1 và x2 tính bằng cm, t tính bằng s). Tại các thời điểm x1 = x2 li độ của dao động tổng hợp là: A. ± 5,79 cm. B. ± 5,19cm. C. ± 6 cm. D. ± 3 cm. Giải Dùng giản đồ véctơ: Hình 2.4 Ta vẽ giản đồ véctơ như hình 2.4. Ta dễ dàng có: xhiệu = 6cos( 2 3 t  − 5 6 ) ; xtổng = 6cos( 2 3 t  − 6 ) X1 x2 /6 Xtổng = x1 + x2 0 Xhiệu = x1 - x2 -x2 /6 Hình 1.3 22 Nhận xét: Khi x1 = x2 thì x1 - x2 = 0. Khi đó, véctơ biểu điễn xhiệu = x1 - x2 vuông góc với trục ngang. Lúc đó xtổng = x1 + x2 lệch với trục ngang một góc /6 hoặc 5/6. Nên ta có: x = 6cos (/6) = 3 3 = 5,19cm ; x = 6cos (5/6)= -3 3 = -5,19cm. Vậy, B được chọn. Bài 5: Dao động tổng hợp của 2 trong 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số: x12 = 2cos(2πt + π/3) cm, x23 = 2 3 cos(2πt +5π/6) cm, x31 = 2cos(2πt + π) cm. Biên độ dao động của thành phần thứ 2? A. 1 cm. B. 3 cm. C. 3 cm. D. 2 3 cm. Giải: Chọn trục Ox như hình 2.5, vẽ giản đồ vectơ Hình 2.5 A12 = 2cm; A23 = 2 3 cm, A31 = 2cm vẽ vectơ 12 31A A +A= . Ta thấy A = A12 = 2cm. 12 31 1 2 1 3 1 2 3 1 23A = A + A = A + A + A + A 2A + A + A = 2 A + A= Từ giản đồ ta tính được A1 = 1 cm. Xét tam giác OA23M: A23M = 2A1, góc A23OM = 300 Định lí hàm số cosin: 4A12 = (2 3 )2 + 22 – 2.2 3 .2 cos300 = 4 23 → A1 = 1 cm Và vectơ A1 trùng với trục Ox. Từ đó suy ra A2 = 3 cm . Chọn đáp án B. Bài 6: Môṭ vâṭ thưc̣ hiêṇ đồng thời hai dao đôṇg điều hòa cùng phương có phương trình: = 1 1x A cos(2 t) (cm) và =  +2 2x 2,5 3cos(2 t ) (cm). Phương trình dao đôṇg tổng hơp̣ thu đươc̣ là: =  + x 2,5cos(2 t ) (cm). Biết   2 và A1 đaṭ giá tri ̣ lớn nhất. Giá trị của φ2 và φ là: A. , 6 3   B. 2 , 6 3   − C. , 3 2   − D. 5 , 6 3   Giải : Sử dụng phương pháp hình học: Hình 2.6 Áp dụng định lý hàm số sin trong tam giác OAA1 ta được: 1 1 A 2,5 2,5 3 2,5 A sin sin sin sin sin = = → =      . Nhận thấy, A1 max khi β = 900 → Tam giác OAA1 vuông tại A → tan φ = 2,5 3 /2,5 = 3 → φ = π/3 → φ2 = 5π/6. Đáp án D được chọn. Bài 7: 24 Cho đoạn mạch hình 2.7. Trong mạch có dòng điện xoay chiều cường độ 0i I cos100 t=  (A). Khi đó uMB và uAN vuông pha nhau và MBu 100 2cos 100 t+ 3   =     (V). Hãy viết biểu thức uAN và tìm hệ số công suất của đoạn mạch MN. Giải: Sử dụng giản đồ vectơ: Do pha ban đầu của i bằng 0 nên : 0 3 3MB MB u i     = − = − = (rad) Dựa vào giản đồ vec-tơ, ta có các giá trị hiệu dụng của UL, UR, UC là: R MB MBU U .cos 100.cos = 50(V) 3 =   = tan 50tan 50 3 3 = = =L R MBU U   (V) Vì uMB và uAN vuông pha nhau nên: 2 6 MB AN AN     − =  = − 25 Ta có: tan .tan 1= −MB AN  . 1 −  = −L C R R U U U U 2 250 50 50 3 3 R C L U U U  = = = (V) Ta có: 50 100 2 100 cos 33 cos 6 = = =  = −       AN R AN AN U U Uo (V) Vậy biểu thức của ANu là: 2 100 cos 100 3 6 ANu t     = −    (V). Hệ số công suất của đoạn mạch MN là : ( ) 50 3 cos 2 2 72 502 50 50 3 3 = = = = = + − + −       R R R L C R U U Z U U U U  Đáp số: 2 100 cos 100 3 6 ANu t     = −    (V); 3 cos 7 = Bài 8: Cho mạch điện như hình 2.9. Điện áp giữa hai đầu AB có biểu thức (V). Cuộn dây thuần cảm có L thay đổi được, điện trở R = 100, tụ điện có điện dung (F). Xác định L sao cho điện áp hiệu dụng giữa hai điểm M và B đạt giá trị cực đại, tính hệ số công suất của mạch điện khi đó. 200cos100u t= 410 C  − = Hình 2.9 26 Giải Sử dụng giản đồ Fresnel : Dung kháng : Ta có: Đặt Mặt khác, ta có: (rad) Dựa vào giản đồ ta thấy: rad Xét tam giác OPQ và đặt . Theo định lý hàm số sin, ta có: Vì U và sin không đổi nên ULmax khi sin cực đại hay sin = 1 Vì (rad). Hệ số công suất: Mặt khác: 4 1 1 100 10 100 . CZ C   − = = =  R C LU U U U= + + 1 R CU U U= + 1 100 tan 1 100 C C C R U IZ Z U IR R  = = = = = 1 4   = 1 2   + = 1 2    = − 2 4 4     = − = 1  = + sin sin LU U   = sin sin L U U    = 2   = 1  = + 1 2 4 4       = − = − = 2 cos cos 4 2   = = tan 1L C Z Z R  − = = 100 100 200L CZ Z R = + = + =  27 (H). Đáp số: 2 =L H  ; 2 cos = 2  2.1.2. Hai dao động cùng tần số, phương vuông góc nhau, biên độ và pha ban đầu khác nhau Trong quang học, vô tuyến điện, có những trường hợp phải tổng hợp hai dao động điều hòa có phương vuông góc nhau. Ta xét bài toán một vật đồng thời tham gia hai dao động có cùng tần số theo hai phương vuông góc nhau Ox và Oy. Ta chọn thời điểm ban đầu t = 0 là lúc pha ban đầu theo trục x bằng 0 thì  là pha ban đầu theo trục y cũng là độ lệch pha giữa hai dao động. Phương trình hai dao động thành phần là: 1 2 x A cos t y A cos( t ) =  =  +     (2.3) Cách 1: Phương pháp lượng giác Phương trình (2.3) cũng chính là phương trình quỹ đạo mà theo đó vật chuyển động dưới dạng tham số. Để nhận được phương trình quỹ đạo dạng chính tắc ta phải khử t trong hai phương trình trên. Ta có: 1 x cos t A =  (2.4) 2 y cos( t ) c t.cos sin t.sin A os=  +  =   −   . (2.5) Nhân (2.4) với cos, sau đó trừ đi (2.5) ta được: 1 2 x y cos sin t.sin A A   − =   . (2.6) Nhân (2.4) với sin , ta được: 1 x sin cos t.sin A   =   . (2.7) 200 2 100 LZL     = = = 28 Bình phương 2 vế phương trình (2.6) và (2.7) rồi cộng các phương trình ta được: 2 2 2 2 2 1 2 1 2 cos sin x y 2xy . A A A .A + − =  . (2.8) Phương trình (2.8) là phương trình quỹ đạo của chuyển động có dạng là phương trình của một elip có các trục đối xứng nghiêng góc với các trục tọa độ Ox và Oy. Dao động lúc này là dao động có tần số bằng tần số ω của các dao động