Khóa luận Cải tiến phương pháp dạy học với yêu cầu tích cực hóa hoạt động học tập theo hướng giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề qua việc tổ chức dạy học hàm số liên tục

thử thách học sinh với nhiều bài toán dễ mắc sai lầm. Cho học sinh tiếp cận nhiều với những dạng toán tổng quát. Phép tương tự được sử dụng trong cả 3 giai đoạn, sự khác biệt của chúng là ở mục đích cùa hành động: phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề và vận dụng, sau đó là cách thực hiện. Để phát hiện hai đối tượng nhận thức là tương tự nhau thì chúng phải phù hợp với nhau trong các quan hệ rõ ràng và các bộ phận tương ứng rõ ràng Cách giải quyết vấn đề mới có thể tương tự với cách giải quyết đã biết hướng đi ở cách suy nghĩ. Các biện pháp tương tự ở bước 3 có tính thu hẹp phạm vi tìm kiếm lời giải của bài toán ban đầu. VI. ÁP DỤNG VÀO DẠY HỌC HÀM SỐ LIÊN TỤC THIẾT KẾ BÀI HỌC THEO QUI TRÌNH DẠY HỌC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM Bước 1: Tri giác vấn đề ™ Tạo tình huống gợi vấn đề: Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 23 Kiểm tra bài cũ: Cho các hàm số sau: 2( )f x x= và 2 2 2 ( ) 2 2 x g x x ⎧− +⎪= ⎨⎪− +⎩ có đồ thị như hình vẽ 1. Hãy tính các giới hạn sau (nếu có): a. 1 lim ( ) ? x f x→ = nếu 1x ≤ − nếu 1 1x− < < nếu 1− ≥x Đồ thị hàm số 2y x= x O y 1 1 2y x= O 1 1 1 2 y x Đồ thị hàm số y = g(x) Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 24 b. 1 lim ( ) ? x g x→ = 2. Nếu tồn tại giới hạn hãy so sánh các giá trị 1 lim ( ) x f x→ và (1)f ; 1lim ( )x g x→ và (1)g GV khẳng định: Hàm số ( )y f x= được gọi là liên tục tại 1x = . Hàm số ( )y g x= không liên tục tại 1x = Đặt vấn đề: Như vậy để biết hàm số đã cho liên tục tại một điểm hay không ta cần làm gì? Để làm được như vậy có cần điều kiện gì hay không ? ™ Giải thích và chính xác hóa vấn đề : Như vậy đề bài yêu cầu ta xét hàm số ( )y f x= có liên tục tại một điểm 0x nào đó hay không ? ™ Phát biểu và đặt mục đích giải quyết: Chúng ta cần tìm cách giải tổng quát và điều kiện để thực hiện việc xét hàm số ( )y f x= đã cho có liên tục tại một điểm 0x nào đó Bước 2: Giải quyết vấn đề ™ Phân tích vấn đề, làm rõ mối quan hệ giữa cái đã biết và cái phải tìm: Xét tính liên tục của hàm số ( )y f x= tại điểm 0x Câu hỏi đặt ra: Với hàm số đã cho ta có thể xác định được miền xác định của nó hay không? Và xét xem điểm 0x có thuộc miền xác định của hàm số hay không? Với những điều kiện này, ta có thể tính được giới hạn 0 lim ( ) x x f x→ và 0( )f x hay không? Sau đó ta so sánh hai giá trị trên ta được điều gì? Trả lời: Sẽ xảy ra nhiều trường hợp giữa hai giá trị này ™ Đề xuất hướng giải quyết: Từ trường hợp trên, ta có thể đi đến phương pháp chung để xét tính liên tục của hàm số ( )y f x= tại một điểm 0x như thế nào? Trả lời: Trước hết ta tìm miền xác định của hàm số rồi xét xem điềm 0x có thuộc miền xác định hay không? Nếu 0x không thuộc miền xác định thì kết thúc bài toán. Khi 0x thuộc miền xác định ta tính các giá trị: 0 lim ( ) x x f x→ và 0( )f x Trường hợp hàm số ( ) ( ) ( ) k x f x l x ⎧= ⎨⎩ Thì thay vì ta tính 0 lim ( ) x x f x→ thì ta tính 0 lim ( ) x x f x+→ và 0 lim ( ) x x f x−→ nếu 0x x≥ nếu 0x x< Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 25 So sánh hai giá trị 0 lim ( ) x x f x→ và 0( )f x : nếu chúng bằng nhau thì ta kết luận hàm số đã cho liên tục tại điểm 0x . Trường hợp ( ) ( ) ( ) k x f x l x ⎧= ⎨⎩ thì ta kiểm tra xem 0 lim ( ) x x f x+→ ; 0 lim ( ) x x f x−→ ; và 0( )f x có bằng nhau không? Nếu chúng bằng nhau thì chúng ta vẫn kết luận hàm số liên tục tại điểm 0x . Nếu chúng không bằng nhau thì hàm số không liên tục tại điểm 0x . Ta gọi là hàm số gián đoạn tại điểm 0x Nếu không tồn tại các giới hạn thì hàm số cũng gián đoạn tại điểm này. ™ Thực hiện giải quyết vấn đề: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm ( )y f x= tại điểm 0x 9 Bước 1: Miền xác định: D Điểm 0x D∉ . Kết luận: Hàm số không liên tục tại điểm 0x Điểm 0x D∈ .Sang bước 2 9 Bước 2: Tính 0 lim ( ) x x f x→ và 0( )f x ( hay 0 lim ( ) x x f x+→ ; 0 lim ( ) x x f x−→ ; và 0( )f x ) 9 Bước 3: Nếu không tồn tại bất cứ một trong các giá trị trên thì bài toán kết thúc và kết luận hàm số gián đoạn tại 0x . Nếu các giá trị trên tồn tại thì so sánh chúng. Nếu có một giá trị khác các giá trị còn lại thì kết luận hàm số gián đoạn tại 0x . Chúng bằng nhau thì kết luận hàm số liên tục tại 0x . Bước 3:Kiểm tra - vận dụng: ™ Kiểm tra lại quá trình giải quyết ™ Khẳng định lại vấn đề ™ Kiến thức mới cần lĩnh hội: ƒ Các bước xét tính liên tục của hàm số tại một điểm ƒ Chú ý kiểm tra điểm 0x có thuộc miền xác định hay không? Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 26 Vận dụng trực tiếp A. Xét tính liên tục của hàm số: 1) 2 2 1 ( ) 2 3 1 2 x f x x x +⎧⎪= + +⎨⎪⎩ tại điểm 0 1 2 = −x 2) 3 sin ( ) 2 x x g x ⎧= ⎨⎩ tại điểm 0 0=x 3) 2 2 2 ( ) 4 3 1 x h x x x −⎧⎪= − +⎨⎪⎩ tại điểm 0 1x = B. Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x 0 2= 3 8 ( ) 2 2 1 x k x x a ⎧ −⎪= −⎨⎪ +⎩ Giải: A. 1) Miền xác định: D = 0 1 2 = − ∈x D Ta có: 21 1 1 2 2 2 1 2 12( )2 1 2lim ( ) lim lim 12 3 1 2( 1)( ) 2 1lim 2 1 →− →− →− →− ++= =+ + + + = =+ x x x x xxf x x x x x x 1( ) 2 2 − =f 1 2 1lim ( ) ( ) 2→− ⇒ = x f x f Vậy hàm số đã cho liên tục tại điểm 0 1 2 = −x . nếu 1 2 ≠ −x nếu 1 2 = −x nếu 0x ≤ nếu 0x > nếu 1x ≠ nếu 1x = nếu 2x ≠ nếu 2x = Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 27 2) Miền xác định: D = 0 0x D= ∈ Ta có: 0 0 lim ( ) lim(3 sin ) 0 x x g x x x− −→ →= = 0 lim ( ) 2 x g x+→ = (0) 0g = 0 0 lim ( ) lim ( ) (0) x x g x g x g+ −→ →⇒ ≠ = Vậy hàm số đã cho gián đoạn tại điểm 0 0x = 3) Miền xác định: D = 0 1x D= ∈ Ta có: 21 1 1 1 2 2 2( 1) 2lim ( ) lim lim lim 1 4 3 ( 1)( 3) 3x x x x x xh x x x x x x→ → → → − − − −= = = =− + − − − (1) 1h = 1 lim ( ) (1) 1 x h x h→⇒ = = Vậy hàm số đã cho liên tục tại điểm 0 1x = B. Miền xác định: D = 0 2x D= ∈ Ta có: 3 2 2 2 2 2 2 8 ( 2)( 2 4)lim ( ) lim lim 2 2 lim( 2 4) 12 → → → → − − + += =− − = + + = x x x x x x x xk x x x x x (2) 2 1k a= + Hàm số liên tục k tại điểm x 0 2= khi và chỉ khi : 2 lim ( ) (2) x k x k→ = 11 2 ⇔ =a Vậy giá trị cần tìm là 11 2 =a . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 28 2. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG, ĐOẠN Bước 1:Tri giác vấn đề ™ Tạo tình huống gợi vấn đề: Kiểm tra bài cũ: Cho hàm số 3 8 ( ) 2 12 x f x x ⎧ −⎪= −⎨⎪⎩ a)Xét tính liên tục của hàm số tại điểm 0 2x = ; 0 3x = ; 0 5x = b)Tính 2 5 lim ( ); lim ( ) x x f x f x+ −→ → ; (2); (5)f f Giáo viên nhận xét: Rõ ràng hàm số đã cho liên tục tại các điểm 0 2x = ; 0 3x = ; 0 5x = Và ta cũng chứng minh được rằng hàm số ( )f x đã cho cũng liên tục tại tất cả các điểm trong khoảng (2;5) . Ta cũng chứng minh được 2 lim ( ) (2) x f x f+→ = và 5lim ( ) (5)x f x f−→ = vì hàm số liên tục tại 2 và 5 Khi đó ta nói hàm số ( )f x liên tục trên đoạn 2;5⎡ ⎤⎣ ⎦ Đặt vấn đề: Như vậy để biết hàm số đã cho liên tục trên một khoảng (một đoạn) hay không ta cần làm gì? Để làm được như vậy có cần điều kiện gì hay không? ™ Giải thích và chính xác hóa vấn đề : Như vậy đề bài yêu cầu ta xét hàm số ( )y f x= có liên tục tại trên một khoảng ( );a b (đoạn [ ];a b ) nào đó hay không? ™ Phát biểu và đặt mục đích giải quyết: Chúng ta cần tìm cách giải tổng quát và điều kiện để thực hiện việc xét hàm số ( )y f x= đã cho có liên tục tại trên một khoảng ( );a b (một đoạn [ ];a b ) nào đó Bước 2: Giải quyết vấn đề ™ Phân tích vấn đề, làm rõ mối quan hệ giữa cái đã biết và cái phải tìm: Xét tính liên tục của hàm số ( )y f x= trên khoảng ( );a b Câu hỏi đặt ra : Để chứng minh hàm số liên tục trên một khoảng ( );a b nào đó ta cần làm gì? Trả lời : Ta cần chứng minh hàm số liên tục tại tất cả các điểm trên khoảng ( );a b nếu 2x ≠ nếu 2x = Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 29 Vấn đề nảy sinh: Khi hàm số liên tục trên khoảng ( );a b thì ta cần thêm điều kiện gì để hàm số liên tục trên đoạn [ ];a b ? Trả lời: Dựa vào ví dụ ta chỉ cần chứng minh thêm : lim ( ) ( ) x a f x f a+→ = và lim ( ) ( )x b f x f b−→ = ™ Đề xuất hướng giải quyết và thực hiện giải quyết vấn đề: Từ trường hợp trên, ta có thể đi đến phương pháp chung để xét tính liên tục của hàm số ( )y f x= trên khoảng ( );a b như thế nào? Ta chứng minh với mọi 0x thuộc khoảng ( );a b thì hàm số đã cho đều liên tục tại 0x Phương pháp chung để xét tính liên tục của hàm số ( )y f x= trên đoạn [ ];a b như thế nào? Ta chứng minh hàm số liên tục trên khoảng ( );a b rồi chứng minh thêm : lim ( ) ( ) x a f x f a+→ = (1) và lim ( ) ( ) x b f x f b−→ = (2) Vấn đề nảy sinh: Vậy thì hàm số liên tục trên nửa khoảng ( ];a b , [ ) ;+∞a thì sao? Gợi ý hướng giải quyết: Nếu có cả hai điều kiện (1) và (2) thì ta có hàm số liên tục trên đoạn [ ];a b . Bây giờ để chứng minh hàm số liên tục trên nửa khoảng ( ];a b thì ta cần mấy điều kiện? Trả lời: Ta chỉ cần chứng minh thêm điều kiện thứ (2) Phương pháp chung chứng minh hàm số liên tục trên nửa khoảng ( ];a b là chứng minh hàm số liên tục trên khoảng ( );a b và thêm điều kiện (2) Còn muốn chứng minh hàm số liên tục trên nửa đoạn [ );a +∞ thì làm như thế nào? Trả lời: Chứng minh hàm số liên tục trên khoảng ( );a +∞ và chứng minh thêm điều kiện (1) Bài toán kết thúc. Như vậy hàm số liên tục khi biểu diễn bằng đồ thị có nét gì đặc biệt hay không? Giáo viên giới thiệu: Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng ( );a b là một đường liền trên khoảng đó. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 30 Đồ thị hàm số không liên tục trên một khoảng ( );a b : Bước 3: Kiểm tra - vận dụng ™ Kiểm tra lại quá trình giải quyết ™ Khẳng định lại vấn đề ™ Kiến thức mới cần lĩnh hội: • Hàm số liên tục trên một khoảng • Hàm số liên tục trên một đoạn • Đồ thị hàm số liên tục là một đường liền nét 3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC Trên cơ sở phần 1và phần 2, phần 3 là các định lý về hàm số liên tục. Bước 1: Tri giác vần đề ™ Tạo tình huống gợi vấn đề: Kiểm tra bài cũ: Chứng minh hàm số : y x a O b a b O x y Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 31 a) 3( ) 2 5 7f x x x= + − liên tục tại điểm 0x ∈ b) 2( ) 1 xg x x += − liên tục tại mọi điểm 0 1x ≠ và gián đoạn tại điểm 0 1x = c) ( ) sin 5 xh x = liên tục với mọi x∈ Sau khi học sinh làm xong các bài toán trên thì giáo viên đặt vấn đề Yêu cầu học sinh cho biết tên gọi chung của các hàm số ( ); ( ); ( )f x g x h x Trả lời: ( )f x là hàm đa thức ( )g x là hàm phân thức hữu tỉ ( )h x là hàm lượng giác Vậy ta có thể kết luận về miền liên tục của các hàm số này không? ™ Giải thích và chính xác hóa vấn đề : Ta cần tìm ra miền liên tục của các hàm số : ( ); ( ); ( )f x g x h x ; từ đó tổng quát lên tìm miền liên tục của các hàm số : đa thức, phân thức hữu tỉ; lượng giác. ™ Phát biểu và đặt mục đích giải quyết: Mục đích của chúng ta là tìm ra miền liên tục của các hàm số đặc biệt : đa thức, phân thức hữu tỉ; lượng giác. Bước 2: Giải quyết vấn đề ™ Phân tích vấn đề, làm rõ mối quan hệ giữa cái đã biết và cái phải tìm: Từ ví dụ cụ thể của hàm số ( )f x ta đã chứng minh được hàm số này liên tục tại mọi điểm 0x ∈ .Đó là điều đã biết Giáo viên yêu cầu học sinh cho biết miền xác định của hàm số ( )f x Trả lời: Miền xác định của hàm số f là Giáo viên dẫn ý: Vậy đối với hàm số đa thức này, miền xác định và miền liên tục có liên quan gì với nhau hay không? Trả lời: Chúng trùng nhau. Giáo viên khẳng định lại vấn đề: hàm đa thức liên tục trên miền xác định của nó. Từ ví dụ cụ thể của hàm phân thức hữu tỉ ta đã chứng minh được hàm số liên tục tại mọi điểm 0 1x ≠ và gián đoạn tại điểm 0 1x = do hàm số không xác định tại giá trị này. Đó là điều đã biết Giáo viên yêu cầu học sinh cho biết miền xác định của hàm số ( )g x Trả lời: Miền xác định của hàm g là { }\ 1 Giáo viên dẫn ý: Vậy đối với hàm số phân thức hữu tỉ này, miền xác định và miền liên tục có liên quan gì với nhau hay không? Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 32 Trả lời: Chúng trùng nhau. Giáo viên khẳng định lại vấn đề: hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên miền xác định của nó. Tương tự như vậy thì hàm số lượng giác sẽ như thế nào? Trả lời: Vậy đối với hàm số lượng giác, miền xác định và miền liên tục có liên quan gì với nhau hay không? Trả lời: Chúng trùng nhau. Giáo viên khẳng định lại vấn đề: hàm lượng giác liên tục trên miền xác định của nó. Giáo viên kết luận lại vần đề: Các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác đều liên tục trên miền xác định của nó Giáo viên giới thiệu định lý 1: “Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực Hàm phân thức hữu tỉ ( thương của hai đa thức ) và các hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của tập xác định của chúng.” Sau đó trở lại ví dụ của hàm số ( )f x . Giáo viên: Ta đã biết mọi hàm số đa thức đều liên tục trên tập số thực . Bây giờ, ta có thể phân tích hàm 3( ) 2 5 7f x x x= + − thành tổng, hiệu, tích của hai đa thức được hay không? Học sinh suy nghĩ và trả lời: Có thể được Tổng: 3( ) (2 ) (5 7)f x x x= + − Hiệu: 3( ) (2 ) (7 5 )f x x x= − − Tích: 2( ) ( 1)(2 2 7)f x x x x= − + + Các đa thức 32x , 5 7x − , 7 5x− , 1x − và 22 2 7x x+ + liên tục trên miền nào? Trả lời: vì chúng là hàm đa thức Ta đã biết 3( ) 2 5 7f x x x= + − liên tục trên . Như vậy từ đây ta có thể kết luận điều gì? Trả lời: Tổng, hiệu, tích của các hàm đa thức cũng liên tục trên . Giáo viên mở rộng: Vậy tổng, hiệu, hay tích của các hàm số liên tục tại một điểm thì có liên tục tại điểm đó hay không ? Trả lời: Có Chúng ta xét lại ví dụ thứ 2, 2( ) 1 xg x x += − liên tục trên miền xác định của nó là { }\ 1 . Tại những điểm 1x ≠ thì hàm số liên tục. Giáo viên: Yêu cầu học sinh nhận xét tử thức và mẫu thức của hàm phân thức trên là hàm số gì? Trả lời: Đều là hàm đa thức Giáo viên: Do đó chúng liên tục trên , nhưng mẫu thức thì phải khác 0. Vậy ta có thể kết luận thương của hai hàm số liên tục tại một điểm (mẫu khác 0) là một hàm số liên tục tại điểm đó hay không? Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 33 Trả lời: Có thể được Giáo viên: Chúng ta sẽ có một định lý 2 nói về những điều này: “Giả sử ( )y f x= và ( )y g x= là hai hàm số liên tục tại điểm 0x . Khi đó: a) Các hàm số ( ) ( ), ( ) ( ), ( ). ( )y f x g x y f x g x y f x g x= + = − = liên tục tại 0x b) Hàm số ( ) ( ) f xy g x = liên tục tại 0x nếu 0( ) 0g x ≠ ”. Sau đó lấy ví dụ minh họa cho học sinh. Tiếp theo giáo viên đưa ra một bài toán mở rộng hơn : Giả sử hàm số ( )y f x= liên tục trên đoạn [ ];a b với ( ), ( )f a f b trái dấu nhau. Hỏi đồ thị của hàm số có cắt trục hoành tại điểm thuộc khoảng ( );a b hay không? Bạn A: Đồ thị hàm số ( )y f x= phải cắt trục hoành Ox tại một điểm duy nhất nằm trong khoảng ( );a b . Bạn B: Đồ thị hàm số ( )y f x= phải cắt trục hoành Ox ít nhất tại một điểm nằm trong khoảng ( );a b . Bạn C: Đồ thị hàm số ( )y f x= có thể không cắt trục hoành trong khoảng ( );a b chẳng hạn như đường parabol ở hình sau Vậy bạn nào trả lời đúng, bạn nào trả lời sai? Hướng dẫn học sinh trả lời: y x 2y x= O a b ( )f a ( )f b Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 34 Bạn A : sai vì dồ thị cũng có thể cắt trục hoành nhiều hơn một điểm trong khoảng ( );a b .Chẳng hạn như : Bạn C: Sai vì 2y x= không phải là hàm số Bạn B: có thể đúng. Giáo viên giới thiệu định lý 3: “Nếu hàm số ( )y f x= liên tục trên đoạn [ ];a b và ( ). ( ) 0f a f b < thì tồn tại ít nhất một điểm ( ; )c a b∈ sao cho ( ) 0=f c ”. Minh họa định lý bằng hình trên. Ứng dụng của định lý này thường là chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình trên một khoảng. Lấy ví dụ minh họa . Bước 3: Kiểm tra - vận dụng ™ Kiểm tra lại quá trình giải quyết ™ Khẳng định lại vấn đề ™ Kiến thức mới cần lĩnh hội: 9 Định lý 1; 2 9 Định lý 3 và ứng dụng. y x a O b Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 35 Vận dụng - trực tiếp 1) Cho hàm số 22 2 ( ) 1 5 x x h x x ⎧ −⎪= −⎨⎪⎩ Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó. 2) Chứng minh rằng phương trình 3 2 5 0x x+ − = có ít nhất một nghiệm. 3) Chứng minh phương trình 3 0x x a+ − = luôn có nghiệm với mọi 0a > . Giải: 1) Tập xác định của hàm số là Nếu 1x ≠ thì 22 2( ) 1 x xh x x −= − Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là ( ;1) (1; )−∞ ∪ +∞ . Và nó liên tục trên mỗi khoảng ( ;1)−∞ và (1; )+∞ Nếu 1x = , ta có : (1) 5h = 2 1 1 1 1 2 2 2 ( 1)lim ( ) lim lim lim 2 2 1 1x x x x x x x xh x x x x→ → → → − −= = = =− − Vì 1 lim ( ) (1) x h x h→ ≠ nên hàm số đã cho không liên tục tại 1x = Kết luận: Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng ( ;1)−∞ và (1; )+∞ , gián đoạn tại 1x = . 2) Đặt 3( ) 2 5f x x x= + − Ta có: (0) 5f = − (2) 7f = .Do đó : (0). (2) 0f f < Mặt khác ( )y f x= là hàm đa thức nên liên tục trên . Do đó, nó liên tục trên đoạn [ ]0;2 . Từ đó suy ra phương trình ( ) 0f x = có ít nhất một nghiệm 0 (0;2)x ∈ . nếu 1x ≠ nếu 1x = Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 36 3) Đặt 3( )f x x x a= + − Tập xác định của hàm số: D = Hàm số liên tục trên nên liên tục trên đoạn [ ]0;a .Ta có : (0)f a= − 3( )f a a= Suy ra: 4(0). ( ) 0f f a a= − < Vậy phương trình ( ) 0f x = có ít nhất 1 nghiệm trên đoạn [ ]0;a Từ đó ta có đpcm. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 37 C. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM I. GIỚI THIỆU THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM Để kiểm nghiệm lại lí luận dạy học đã nêu ra, chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên 2 lớp (1 lớp trường THPT Thoại Ngọc Hầu, 1 lớp của trường THPT Mỹ Hội Đông) đã được dạy theo phương pháp tích cực (phát hiện và giải quyết vấn đề). Đồng thời phát phiếu thăm dò giáo viên của trường THPT Mỹ Hội Đông II. MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM: Thực nghiệm lần 1 nhằm kiểm tra thực trạng cũng như kĩ năng giải toán của học sinh ở trường phổ thông theo phương pháp truyền thống. Thực nghiệm lần 2 nhằm kiểm tra tính khả thi của đề tài. Tức là hướng dạy học giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề qua việc dạy học hàm số liên tục có nên áp dụng vào trường phổ thông hay không và nó đạt kết quả ra sao. Phiếu thăm dò giáo viên : Tìm hiểu khó khăn giáo viên khi tiến hành dạy học giải toán hàm số liên tục, các kiến thức trọng tâm của chương trình toán lớp 11. Đồng thời qua kiểm nghiệm thực tế quý thầy cô ở những trường trên, chúng tôi muốn kiểm nghiệm xem hướng dạy học giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề qua việc tổ chức dạy học hàm số liên tục có nên đưa vào trường phổ thông hay không và học sinh có tiếp thu tốt hay không? III. HÌNH THỨC THỰC NGHIỆM: Thực nghiệm lần I: Học sinh làm bài cá nhân trong 30 phút Thực nghiệm lần II: Cho học sinh làm bài kiểm tra trong 45 phút. Đồng thời kiểm tra chất lượng giáo án để kiểm tra tính khả thi của đề tài. Thiết lập phiếu thăm dò giáo viên gồm 6 câu hỏi mở. IV. PHÂN TÍCH KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM: 1.Thực nghiệm cho học sinh 1.1.Thực nghiệm lần 1: (Theo luận văn tốt nghiệp của Tô Thị Hoàng Lan năm 2004 –GVHD: thầy Nguyễn Văn Vĩnh. Lớp kiểm tra: lớp 11A3 trường THPT Nguyễn Công Trứ - TP Hồ Chí Minh) 1.1.1 Nhận xét Câu 1 : Các em chỉ quan tâm đến sự liên tục tại các điểm đầu mút. Ở câu này, tùy theo giá trị của a mà kết luận tính liên tục của hàm số nên trong trường hợp liên tục , 90% các em đều không để ý mà chỉ kết luận liên tục trên khoảng. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 38 Câu 2: Nhìn vào ta có cảm giác câu này là một câu dễ nhưng không phải em nào cũng trả lời đúng hoàn toàn. Mục đích câu này là kiểm tra sự hiểu khái niệm liên tục chỉ được định nghĩa trên tập xác định của hàm số, vì vậy việc xác định tập xác định là một khâu rất quan trọng. Các em sai lầm: + Việc khử đi nhân tử chung ở tử và mẫu thức làm rất nhiều em kết luận sai về tập xác định của hàm số, dẫn đến kết luận sai về tính liên tục của hàm số. + Việc hiểu khái niệm chỉ một chiều, chỉ nhớ đến biểu thức xác định hàm số mà không để ý đến điều kiện thuộc khoảng xác định. Có em xác định đúng tập xác định nhưng lại kết luận hai điểm không thuộc tập xác định là hai điểm gián đoạn. Câu 3: Đề liên quan đến lượng giác, khó hơn nhưng đa số các em đều làm được Câu 4 : Nhiều em chưa tính được giới hạn Câu 5: Nhiều em quên mất điều kiện liên tục, hầu như các em biết chọn hai số ,a b sao cho ( ). ( ) 0f a f b < 1.1.2 Kết quả kiểm tra trường Nguyễn Công Trứ: STT Họ và tên Điểm 1 Nguyễn Ngọc Thúy An 9 2 Lê Ngọc Anh 6 3 Trương Thị Lan Anh 10 4 Nguyễn Trần Minh Cảnh 2 5 Phan Trần Lan Chi 8 6 Nguyễn Thị Ngọc Chung 2 7 Đinh Thị Thùy Dung 10 8 Nguyễn Thị Kim Dung 7 9 Nguyễn Trần Ngọc Duy 10 10 Đặng Thế Ngọc Hà 6 11 Võ Thị Ngọc Hà 4 12 Đỗ Nguyễn Hồng Hạnh 8 13 Mai Thị Thanh Hằng 6 14 Lương Thanh Hiền 6 15 Bùi Thị Nguyệt Hồng 9 16 Dương Ngọc Huyền 3 17 Mai Thị Thu Huyền 10 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 39 18 Vũ Thị Lan Hương 6 19 Hà Thị Thanh Hường 3 20 Đỗ Thị Kim Khánh 6 21 Trần Hoàng Lan 6 22 Trần Thị Xuân Loan 10 23 Mai Thị Kim Liên 6 24 Phan Thị Bích Liên 8 25 Nguyễn Văn Lĩnh 3 26 Trần Châu Mai Loan 5 27 Nguyễn Thị Thu Lương 6 28 Trần Anh Lượng 7 29 Lê Thị Xuân Mai 6 30 Lê Ngọc Kim Ngân 2 31 Đặng Thị Bích Ngọc 8 32 Nguyễn Quỳnh Như 3 33 Nguyễn Ngọc Diễm Phương 9 34 Đoàn Danh Phước 2 35 Đinh Thị Bích Phượng 6 36 Nguyễn Ngọc Bảo Quỳnh 4 37 Nguyễn Thị Thanh Tâm 4 38 Trần Ngọc Băng Tâm 4 39 Vương Thị Lan Thanh 9 40 Đặng Thị Thu Thảo 7 41 Nguyễn Thị Thanh Thảo 7 42 Nguyễn Thị Thu Thảo 5 43 Vũ Thị An Thuận 3 44 Phạm Thị Thu Thủy 9 45 Trần Lê Xuân Thủy 9 46 Cao Nhân Tiến 5 47 Bùi Khánh Toàn 1 48 Kim Huyền Trang 2 49 Nguyễn Hải Tú 9 50 Đặng Diễm Uyên 2 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 40 1.1.3 Phân tích kết quả: Phân phối điểm số: Điểm xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tổng số Số hs ni 0 2 6 5 5 4 11 5 4 7 6 55 Trung bình cộng: 5,91i i x n x n = =∑ Phương sai và độ lệch chuẩn: ix in ix x− 2( )ix x− 2( )i in x x− 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 2 6 5 5 4 11 5 4 7 6 -5,91 -4,91 -3,91 -2,91 -1,92 -0,91 0,09 1,09 2,09 3,09 4,09 34,92 24,10 15,28 8,46 3,64 0,83 0,01 1,19 4,37 9,55 16,74 0 48,20 91,69 42,31 18,22 3,31 0,09 5,95 17,49 66,88 100,41 394,55 Phương sai: 2 2 1 ( ) 394,55 7,31 1 55 i in x xs n −= =− ∑ 51 Lê Thị Ánh Vân 5 52 Nguyễn Thị Thanh Vân 7 53 Nguyễn Thanh Vy 1 54 Âu Dương Ngọc Xuân 10 55 Nguyễn Hoàng Hài Yến 4 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 41 Độ lệch chuẩn: 1 2,70s Tần suất: Số % học sinh đạt điểm ix ix 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 % 0 3,64 10,91 9,09 9,09 7,27 20 9,09 7,27 12,73 10,91 1.2 Thực nghiệm dành cho trường THPT Thoại Ngọc Hầu ( lần 2 ) 1.2.1. Sơ lược về trường THPT Thoại Ngọc Hầu: Trường THPT Thoại Ngọc Hầu nằm ngay trung tâm thành phố Long Xuyên – An Giang. Là một trong những trường giỏi nhất của tỉnh An Giang (so với các trường phổ thông trong tỉnh). Tỉ lệ tốt nghiệp trung học phổ thông cao ( trên 90%), và đặc biệt là trường có tỉ lệ học sinh trúng tuyển vào các trường Đại học – Cao đẳng cũng khá cao so với các trường THPT khác trong tỉnh. Từ khi thành lập đến nay trường luôn đạt được nhiều thành tích to lớn: danh hiệu trường tiên tiến, danh hiệu trường tiên tiến xuất sắc. 1.2.2 Nhận xét: Đề 1: o Bài 1: Hầu như các em biết cách xác định tính liên tục của hàm số đối với từng dạng hàm số (hàm phân thức hữu tỉ) . Biết cách biến đổi biểu thức hữu tỉ về dạng không còn vô định để tính giới hạn Tính toán khá chính xác. Tuy nhiên vẫn còn một số em trình bày chưa rõ ràng. o Bài 2: Ở câu này các em hiểu lầm tìm điểm gián đoạn của hàm số là tìm những điểm hàm số không xác định. 0 3.64 10.91 9.09 9.09 7.27 20 9.09 7.27 12.73 10.91 0 5 10 15 20 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 % h ọc si nh Điểm Luận văn tốt nghiệp GVHD: T