Khóa luận Độ đo Radon và định lý biểu diến Riesz

Định nghĩa. Cho (X, F, µ ) là một không gian độ đo. Một hàm số f : X → gọi là đo được trên X đối với σ - đại số F nếu: ( ) ( ){ } :a x X f x a∀ ∈ ∈ < ∈ F . Từ đây về sau khi nói hàm số đo được và không nói gì thêm thì ta hiểu hàm số đó nhận giá trị trong . 2.1.3. Hàm bậc thang Định nghĩa. Cho (X, F, µ ) là một không gian độ đo. Một hàm số f : X → được gọi là hàm bậc thang trên X nếu nó chỉ nhận một số hữu hạn giá trị 1 2, , ..., nα α α . f là hàm bậc thang đo được trên X nó sẽ được biểu diễn như sau: f(x) = ( ) 1 i n i A i xα χ = ∑  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 13 với iα ∈ , iA ∈ F, i=1,……n, i jA A∩ =∅ với i j≠ và 1 n i i X A = =U 2.1.4. Định lý ( Cấu trúc của hàm số đo được) Mỗi hàm số f đo được trên X là giới hạn của một dãy hàm bậc thang đo được fn nhận giá trị trong hội tụ đến f . Nếu ( ) 0f x ≥ với mọi x X∈ thì có thể chọn các fn để cho ( ) 0;nf x ≥ ( ) ( )1 n nf x f x+ ≥ với mọi n và với mọi x X∈ Chứng minh ¾ Giả sử trước hết f(x) 0≥ ta đặt: ( ) ( ) ( ) khi 1 -1 khi 2 2 2 n n n n n f x n f x i i if x ⎧ ≥⎪= ⎨ − ≤ <⎪⎩ Khi đó: i) nf là hàm bậc thang, đo được không âm ii) 1 2 ...f f≤ ≤ và ( ) ( )lim nnf x f x→∞= ™ Thật vậy, nếu đặt: ( )1: 2 2i n n i iX x X f x−⎧ ⎫= ∈ ≤ <⎨ ⎬⎩ ⎭ , 1, 2, ..., 2 ni n= ( ){ }2 1 :nnX x X f x n+ = ∈ > thì iX ( 1, 2, ..., 2 1) ni n= + là các tập đo được và: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 n i nn n n X Xn i if x x n xχ χ += −= +∑ nghĩa là fn thoả mãn i). ™ Để chứng tỏ { fn } đơn điệu tăng , ta chú ý: 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2, , , 2 2 2 2 2 2n n n n n n i i i i i i + + + + − − − −⎡ ⎞ ⎡ ⎞ ⎡ ⎞= ∪⎟ ⎟ ⎟⎢ ⎢ ⎢⎣ ⎠ ⎣ ⎠ ⎣ ⎠ (*) Lấy tuỳ ý x X∈ nếu ( )f x n≥ thì ( ) ( )1 1n nf x n n f x+ = + ≥ = còn nếu ( )f x n< thì ắt phải tồn tại 2ni n≤ sao cho: ( )1 2 2n n i if x− ≤ < Từ đẳng thức (*) suy ra: ( ) ( )1 12 22n nn if x f x+ + −= = hoặc ( ) ( )1 12 12n nn if x f x+ + −= ≥  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 14 Vậy trong mọi trường hợp ta đều có: ( ) ( )1n nf x f x+≤ ™ Ta hãy chứng minh rằng ( ) ( )lim nnf x f x→∞= Nếu ( )f x < +∞ thì với n đủ lớn f(x) < n, cho nên tồn tại i để: ( )1 2 2n n i if x− ≤ < , do đó ( ) 1 2n n if x −= chứng tỏ rằng: ( ) ( ) ( )1 0 2n n f x f x n− ≤ → →∞ Nếu ( )f x = +∞ thì ( ) , f x n n≥ ∀ , cho nên ( )nf x n= →∞ . Vậy trong mọi trường hợp: ( ) ( )nf x f x→ . ¾ Bây giờ giả sử f (x) bất kỳ, ta đặt: ( ) ( ){ }max ; 0f x f x+ = , ( ) ( ){ }max ; 0f x f x− = − Ta có ( ) ( ) ( )f x f x f x+ −= − , các hàm số , f f+ − đo được không âm, cho nên theo trên có hai dãy hàm bậc thang đo được nf + và nf − hội tụ tới f + và f − . Đặt ( ) ( ) ( )n n nf x f x f x+ −= − thì { }nf là dãy hàm bậc thang đo được, và ( ) ( )lim nnf x f x→∞= 2.1.5. Hội tụ hầu khắp nơi Định nghĩa. Dãy hàm {fn} đo được trên X gọi là hội tụ hầu khắp nơi tới hàm f nếu tồn tại tập con A X⊆ và ( ) 0Aµ = sao cho: ( ) ( )lim nn f x f x→∞ = với mọi \x X A∈ 2.1.6. Hội tụ theo độ đo Định nghĩa. Cho f, fn , (n = 1, 2, …) là các hàm đo được trên A ∈ F. Ta nói rằng dãy hàm { }nf hội tụ theo độ đo µ đến f và ký hiệu nf fµ⎯⎯→ nếu với mọi số 0ε > ta có: ( ) ( ){ }lim : 0nn x A f x f xµ ε→∞ ∈ − ≥ = 2.1.7. Định lý Egorov Cho một dãy hàm số nf đo được , hữu hạn hầu khắp nơi và hội tụ hầu khắp nơi trên một tập đo được A có độ đo ( )Aµ tồn tại một tập đo được B A⊆ sao cho ( )\A Bµ ε< và dãy nf hội tụ đều trên tập B. Nói vắn tắt, mọi sự hội tụ trên một tập có độ đo hữu hạn có thể biến thành hội tụ đều sau khi bỏ đi một tập có độ đo nhỏ tuỳ ý.  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 15 Chứng minh Không giảm tính tổng quát ta có thể giả thiết các ( )nf x hữu hạn khắp nơi và hội tụ khắp nơi trên A. Cho ( )f x là giới hạn của dãy ( )nf x . Đặt ( ) ( ) 1:kn i i n A x A f x f x k ∞ = ⎧ ⎫= ∈ − <⎨ ⎬⎩ ⎭U ta thấy rằng nếu x A∈ thì với mỗi k phải tồn tại một n nào đó để knx A∈ . Vậy với mọi k kn i n A A ∞ = =U Nhưng rõ ràng 1 2 ... k kA A⊆ ⊆ , cho nên ( ) ( )lim knnA Aµ µ→∞= và với 0ε > cho trước có thể tìm kn để ( )\ 2kkn kA A εµ < .Khi ấy đặt: 1 kknkB A ∞ = =I ta có ( ) 1 \ \ k k n k A B A A ∞ = =U , nên ( ) ( ) 1 1 \ \ 2k k n k k k A B A A εµ µ ε∞ ∞ = = ≤ < =∑ ∑ Dễ thấy rằng dãy ( )nf x hội tụ đều trên tập B, vì với mọi k cho trước: ( ) ( ) 1 k k n ix B x A f x f x k ∈ ⇒ ∈ ⇒ − < với mọi ki n≥ . 2.2. Tích phân Lebesgue 2.2.1. Tích phân của hàm bậc thang đo được không âm Định nghĩa. Giả sử (X, F, µ ) là một không gian độ đo và :f X → là hàm bậc thang đo được không âm. Viết f dưới dạng: f(x) = ( ) 1 i n i A i xα χ = ∑ với iα ∈ , iA ∈ F, i=1,……n, i jA A∩ =∅ với i j≠ và 1 n i i X A = =U Ta gọi tổng ( ) 1 n i i i a Aµ = ∑ (*) là tích phân của f (theo độ đo) trên X và ký hiệu là X fdµ∫ hay đơn giản là X f∫ khi µ đã cố định. Khi tổng (*) hữu hạn ta nói f khả tích trên X.  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 16 Nhận xét: Giả sử f có biểu diễn khác: f(x) = ( ) 1 j m j B j xβ χ = ∑ với jβ ∈ , jB ∈ F, j =1,……m, i jB B∩ =∅ với i j≠ và 1 n j j X B = =U . Khi đó: ( ) 1 1 m m i i i j i j j j A A A A B A B = = ⎛ ⎞= ∩ = ∩ = ∩⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠U U trong đó các tập i jA B∩ rời nhau nên: ( ) ( ) 1 1 1 n n m i i i i j i i j A A Bα µ α µ = = = ⎡ ⎤= ∩⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ ∑ ( )1 1 n m i i j i j A Bα µ = = = ∩∑∑ và cũng như thế: ( ) 1 m j j j Bβ µ = ∑ ( ) 1 1 m n j i j j i A Bβ µ = = = ∩∑∑ . Mặt khác: i jα β= nếu i jA B∩ ≠ ∅ Thật vậy trong trường hợp này với 0 i jx A B∈ ∩ ta có ( )0i jf xα β= = . Do đó: ( ) 1 n i i i Aα µ = ∑ = ( ) 1 m j j j Bβ µ = ∑ . Vậy tích phân của một hàm bậc thang đo được không âm bao giờ cũng được xác định một cách duy nhất. 2.2.2. Tích phân của hàm đo được không âm Định nghĩa. Giả sử :f X +→ là hàm đo được không âm. Ta gọi tích phân của f trên X mà ký hiệu bởi X fdµ∫ là lim nn X f dµ→∞ ∫ Ở đây { }nf là một dãy tăng các hàm bậc thang đo được không âm hội tụ tới f. Khi X fdµ∫ hữu hạn ta nói f khả tích trên X. Nhận xét 1) ( ) X X X f g d fd gdµ µ µ+ = +∫ ∫ ∫ với f và g là các hàm đo được không âm trên X.  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 17 2) X X fd fdα µ α µ=∫ ∫ với mọi 0α > và mọi f đo được không âm trên X 2.2.3. Tích phân của hàm đo được tuỳ ý Định nghĩa. Giả sử :f X → là hàm đo được tuỳ ý. Viết f f f+ −= − với { } { }max ,0 , max ,0 .f f f f+ −= = − đó là các hàm đo được không âm. Nếu cả hai tích phân X f dµ+∫ và X f dµ−∫ không đồng thời bằng +∞ , ta có thể đặt: X X X fd f d f dµ µ µ+ −= −∫ ∫ ∫ và gọi là tích phân của f trên X. Khi cả hai X f dµ+∫ và X f dµ−∫ đều hữu hạn, f sẽ gọi là khả tích trên X. 2.2.4. Định lý Nếu f là hàm đo được trên X và A, B là các tập rời nhau, , A B∈ F thì: A B A B fd fd fdµ µ µ ∪ = +∫ ∫ ∫ miễn là vế trái hoặc vế phải có nghĩa. Chứng minh ¾ f là hàm bậc thang đo được không âm trên A B∪ ( ) 1 , i n i E i i f x Eα χ = =∑ rời nhau, 1 n i i E A B = = ∪U Ta có: ( ) ( )i i iE A E B E= ∩ ∪ ∩ và A, B rời nhau nên ( )iA E∩ và ( )iB E∩ cũng rời nhau. ( ) 1 n i i iA B f Eα µ =∪ =∑∫ ( ) ( ) 1 n i i i i A E B Eα µ = ⎡ ⎤= ∩ ∪ ∩⎣ ⎦∑ ( ) ( ) 1 1 n n i i i i i i A E B Eα µ α µ = = = ∩ + ∩∑ ∑ A B f f= +∫ ∫ ¾ f là hàm đo được không âm Khi đó tồn tại một dãy hàm bậc thang đo được không âm { }, n nf f f Ta có n n n A B A B f f f ∪ = +∫ ∫ ∫ Cho n →∞ ta có: A B A B f f f ∪ = +∫ ∫ ∫  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 18 ¾ f đo được có dấu bất kỳ Giả sử A B f ∪ ∫ có nghĩa: A B A B A B f f f+ − ∪ ∪ ∪ = −∫ ∫ ∫ Giả sử A B f + ∪ < ∞∫ A B A B f f f+ + + ∪ ⇒ = + < ∞∫ ∫ ∫ A B f f + + ⎧ < ∞⎪⎪⇒ ⎨ < ∞⎪⎪⎩ ∫ ∫ A B A B f f f− − − ∪ = +∫ ∫ ∫ A B A B A B A B A B f f f f f f f+ − + + − − ∪ ∪ ∪ ⎛ ⎞= − = + − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ A A B B f f f f+ − + − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ A Bf f= +∫ ∫ Hệ quả Cho A ∈ F , nếu ( ) 0Aµ = và f đo được trên A thì 0 A f =∫ . 2.2..5. Định lý Giả sử ( )Xµ < ∞ , khi đó nếu f đo được và bị chặn trên X thì f khả tích trên X. 2.2.6. Định lý ( Tính chất tuyến tính của tích phân) a) Nếu f và g là các hàm đo được trên X thì : ( ) X X X f g d fd gdµ µ µ+ = +∫ ∫ ∫ miễn là vế phải có nghĩa. b) Nếu α ∈ và f đo được trên X thì: X X fd fdα µ α µ=∫ ∫ Chứng minh Ta cần bổ đề sau: 2.2.7. Bổ đề Nếu u v w= − , ở đây u, v và w là các hàm đo được trên X, và nếu v u+≥ thì X X X ud vd wdµ µ µ= −∫ ∫ ∫ miễn là vế phải có nghĩa.  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 19 Chứng minh Do v u+≥ , từ đẳng thức v w u u+ −− = − suy ra 0h v u w u+ −= − = − ≥ hay 0v h u+= + ≥ và 0w h u−= + ≥ Ta có: X X X vd hd u dµ µ µ+= +∫ ∫ ∫ X X X wd hd u dµ µ µ−= +∫ ∫ ∫ bởi vì X vdµ∫ và X wdµ∫ không đồng thời nhận hai giá trị +∞ nên X hdµ < +∞∫ . Suy ra: X X X X X vd wd u d u d udµ µ µ µ µ+ −− = − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Chứng minh định lý 2.2.6 a) Vì X X fd gdµ µ+∫ ∫ có nghĩa nên có thể viết: X X X X X X fd gd f d f d g d g dµ µ µ µ µ µ+ − + −+ = − + −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) X X f g d f g dµ µ+ + − −= + − +∫ ∫ Bởi vì 0, 0f g f g+ + − −+ ≥ + ≥ ( ) ( )f g f g f g+ + − −+ = + − + và ( )f g f g ++ ++ ≥ + Áp dụng bổ đề trên với u f g= + và v f g+ += + và w f g− −= + ta được: ( ) ( ) ( ) X X X f g d f g d f g dµ µ µ+ + − −+ = + − +∫ ∫ ∫ X X fd gdµ µ= +∫ ∫ b) Do định nghĩa của tích phân hàm đo được tuỳ ý và nhận xét 2) dễ thấy rằng khẳng định b) đúng với mọi 0α ≥ . Như vậy chỉ cần kiểm tra lại ( ) X X f d fdµ µ− = −∫ ∫ với mọi hàm đo được f trên X. Tuy nhiên đẳng thức trên là rõ ràng vì ( ) ( ), f f f f−+ − += − = và do đó: ( ) X X X X f d f d f d fdµ µ µ µ− +− = − = −∫ ∫ ∫ ∫  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 20 Hệ quả Nếu , f g khả tích thì f gα β+ khả tích với , α β ∈ và: ( ) X X X f g d fd gdα β µ α µ β µ+ = +∫ ∫ ∫ 2.2.8. Định lý Giả sử { fn } là một dãy các hàm đo được không âm và ( ) ( ) 1 n n f x f x ∞ = = ∑ . Khi đó: 1 n nX X fd f dµ µ∞ = = ∑∫ ∫ Chứng minh ƒ Với mọi k ≥ 1 ta có: 1 k n n f f = ≤∑ do đó: 1 1 k k n n n nX X X f d f d fdµ µ µ = = ⎛ ⎞= ≤⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫ ∫ cho k →∞ , ta được: 1 n n X X f d fdµ µ∞ = ≤∑∫ ∫ ƒ Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại, với mọi 1n ≥ , xét dãy tăng các hàm bậc thang đo được không âm{ }, 1n m mf ≥ hội tụ đến nf . Đặt , 1 m m n m n g f = = ∑ . Khi đó mg là các hàm bậc thang đo được không âm và: 1 1 , 1 , 1 1, 1 1 1 m m m n m n m m m n n g f f f + + + + + + = = = = +∑ ∑ , 1 m n m m n f g = ≥ =∑ Mặt khác với1 p m≤ ≤ ta có: , , 1 1 1 p m m n m n m m n n n n f f g f f = = = ≤ = ≤ ≤∑ ∑ ∑ cho m →∞ ta được: 1 lim p n mmn f g f →∞= ≤ ≤∑ Do p tuỳ ý nên lim mm g f→∞ = . Vì mg là dãy tăng các hàm bậc thang ta có: , 1 1 lim lim m m n m nm m n nX X X X fd g d f d f dµ µ µ µ∞ →∞ →∞ = = = = ≤∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫ 2.2.9. Định lý Lebesgue – Levi về hội tụ đơn điệu Nếu { }nf là dãy tăng các hàm đo được không âm trên X hội tụ tới f thì: lim nn X X f d fdµ µ →∞ =∫ ∫  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 21 Chứng minh Có thể xem nf khả tích với mọi 1n ≥ , vì nếu không thì n X f dµ = +∞∫ với n đủ lớn. Thành thử lim nn X X f d fdµ µ →∞ = +∞ =∫ ∫ Đặt ( ) ( ) ( )0 1 10, u x u x f x= = với mọi x X∈ và ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 0 khi khi n n n n n f x u x f x f x f x+ + ⎧ = +∞⎪= ⎨ − < +∞⎪⎩ Khi đó { }nu là các hàm đo được không âm và 1 lim n nn n f u ∞ →∞ = = ∑ Áp dụng định lí 2.2.8, ta có: ( ) 1 1 lim n n nn n nX X X f d u d u dµ µ µ∞ ∞→∞ = = ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫ ∫ 1 1 limn n nnn X X X f d f d f dµ µ µ∞ − →∞= ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∫ ∫ ∫ 2.2.10. Bổ đề Fatou Nếu { }nf là dãy hàm đo được không âm trên X thì: ( )lim limn n X X f d f dµ µ≤∫ ∫ Chứng minh Với mỗi 1n ≥ đặt: { }1inf , ,...n n ng f f += . Khi đó { }ng là dãy tăng các hàm đo được không âm và , lim limn n n nng f g f→∞≤ = Áp dụng định lý Lebesgue – Levi cho dãy { }ng ta có: ( )lim lim lim limn n n nn n X X X X f d g d g d f dµ µ µ µ→∞ →∞= = ≤∫ ∫ ∫ ∫ 2.2.11. Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn Giả sử { }nf là dãy các hàm đo được trên X thỏa mãn: (i) fn bị chặn bởi một hàm không âm khả tích trên X: ( ) ( ) , 1, nf x g x n x X≤ ∀ ≥ ∀ ∈ (ii) Dãy { }nf hội tụ hầu khắp nơi hoặc hội tụ theo độ đo µ tới f . Khi đó f khả tích và lim nn X X f d fdµ µ→∞ =∫ ∫  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 22 Chứng minh Trước hết do g khả tích nên nó hữu hạn hầu khắp nơi. Do đó có thể xem g hữu hạn khắp nơi. a) Trường hợp hknnf f⎯⎯→ trên X. Do {( : nx X fµ ∈ → ( )}) 0f x = Có thể xem ( ) ( )nf x f x→ với mọi x X∈ .Vậy từ bất đẳng thức ( ) ( ) , 1, nf x g x n x X≤ ∀ ≥ ∀ ∈ suy ra ( ) ( ) , f x g x x X≤ ∀ ∈ Bất đẳng thức này chứng tỏ rằng hàm g khả tích kéo theo hàm f khả tích và do đó f cũng khả tích. Ta còn phải chứng minh rằng: lim nn X X f d fdµ µ→∞ =∫ ∫ Áp dụng bổ đề Fatou cho dãy { }ng f+ ta được: ( ) ( )lim limn n X X g f d g f dµ µ+ ≤ +∫ ∫ hay: lim limn n X X X X gd f d gd f dµ µ µ µ+ ≤ +∫ ∫ ∫ ∫ do g khả tích ta có: lim limn n X X X fd f d f dµ µ µ= ≤∫ ∫ ∫ Hoàn toàn tương tự, do: 0ng f− ≥ và ( )lim limn ng f g f− = − Theo bổ đề Fatou ta lại có: ( ) ( )lim limn n X X g f d g f dµ µ− ≤ −∫ ∫ hay: lim limn n X X X X gd f d gd f dµ µ µ µ− ≤ −∫ ∫ ∫ ∫ vì g khả tích, nên: lim limn n X X X f d f d fdµ µ µ≤ =∫ ∫ ∫ Vậy: lim nn X X f d fdµ µ→∞ =∫ ∫ b) Trường hợp nf f µ⎯⎯→ . Bởi vì dãy { }nf có một dãy con { }knf hội tụ hầu khắp nơi đến f, nên tính khả tích của f suy ra từ a). Từ định nghĩa giới hạn trên tồn tại dãy { }kn , để limkn n X X f d f dµ µ→∫ ∫  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 23 Mặt khác vì nf f µ⎯⎯→ nên tồn tại dãy { }jkn , sao cho: kj hknnf f⎯⎯→ Theo a): lim kjnj X X f d fdµ µ→∞ =∫ ∫ Và do đó lim n X X f d fdµ µ=∫ ∫ Hoàn toàn tương tự lim n X X f d fdµ µ=∫ ∫ Vậy: lim nn X X f d fdµ µ→∞ =∫ ∫  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 24 Chương 2 ĐỘ ĐO RADON VÀ ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ 1. ĐỘ ĐO RADON 1.1. Định nghĩa 1.1.2. Độ đo xác suất Định nghĩa . Cho không gian mêtric X, C là đại số các tập con của X. Độ đo µ được gọi là độ đo xác suất nếu: µ : C [ ]0,1→ và ( ) ( )0, 1Xµ µ∅ = = 1.1.2. Không gian xác suất Định nghĩa. Cho X là một không gian mêtric, F là σ − đại số các tập con của X, µ là một độ đo xác suất trên F. Khi đó bộ ba (X, F, µ ) được gọi là không gian xác suất. 1.1.3. Độ đo Borel Định nghĩa. Cho không gian mêtric X . Độ đo µ xác định trên σ− đại số Borel B(X) được gọi là độ đo Borel. 1.1.4. Độ đo Radon Định nghĩa. Cho không gian tôpô tách Hausdorff X ¾ Một độ đo Borel µ trên X được gọi là độ đo Radon nếu: i) ( )Kµ < +∞ với mọi K compact, K X⊆ ii) ( ) ( ){ }sup : compact, B K K K Bµ µ= ⊆ , ∀B∈ B(X). ¾ Độ đo µ được gọi là chặt nếu: ( ) ( ){ }sup : compact, X K K K Xµ µ= ⊆  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 25 1.1.5. Độ đo Borel chính quy Định nghĩa. Một độ đo Borel hữu hạn µ được gọi là chính quy nếu: µ(B) = sup{µ(F): F đóng, F ⊆ B}, ∀B∈ B(X). (1) Mệnh đề tương đương ta có: Một độ đo Borel hữu hạn µ là chính quy khi và chỉ khi: µ(B) = inf{µ(G): G mở, B ⊆ G}, ∀B∈ B(X). (2) Ta chứng minh định nghĩa (2) là tương đương với định nghĩa (1). ( )⇒ Ta có: µ(B) = sup{µ(F): F đóng, F ⊆ B}, ∀B∈ B(X). Do đó ∀B∈ B(X) ε∀ >, 0 , ∃ F đóng, ⊆F B sao cho: ( ) ( )B Fµ µ ε< + ( ) ( ) ( ) ( )X B X Fµ µ µ µ ε⇒ − > − − ( ) ( )C CB Fµ µ ε⇒ > − Mặt khác ta có: F đóng , CF B F⊆ ⇒ mở và C CF B⊇ B∈ B(X) CB⇒ ∈ B(X) Vậy: µ(B) = inf{µ(G): G mở, B ⊆ G}, ∀B∈ B(X) ( )⇐ Ta có: µ(B) = inf{µ(G): G mở, B ⊆ G}, ∀B∈ B(X) Do đó ∀B∈ B(X) ε∀ >, 0 , ∃ G mở, B G⊆ sao cho: ( ) ( )B Gµ µ ε> − ( ) ( ) ( ) ( )X B X Gµ µ µ µ ε⇒ − < − + ( ) ( )C CB Gµ µ ε⇒ < + Mặt khác ta có: G mở , CB G G⊆ ⇒ đóng và C CG B⊆ B∈ B(X) CB⇒ ∈ B(X) Vậy: µ(B) = sup{µ(F): F đóng, F ⊆ B}, ∀B∈ B(X). 1.2. Một số tính chất của độ đo Radon 1.2.1. Định lý Độ đo hữu hạn µ là độ đo Radon khi và chỉ khi µ là độ đo chính quy chặt trên không gian tôpô X tách Hausdorff.  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 26 Chứng minh ( )⇒ µ là độ đo Radon nên theo định nghĩa: ( ) ( ){ }sup : compact, , B K K K B Bµ µ= ⊆ ∀ ∈ B(X) K compact trong không gian X tách Hausdorff nên K đóng. Vậy µ là độ đo chính quy. Từ định nghĩa độ đo Radon, do X ∈ B(X) nên: ( ) ( ){ }sup : compact, X K K K Xµ µ= ⊆ Vậy µ là độ đo chặt. ( )⇐ Theo giả thiết µ là độ đo chính quy nên: ( ) ( ){supA Fµ µ= , F đóng, }, F A A⊆ ∀ ∈ B(X) Suy ra với A∈ B(X), 0ε∀ > , Fε∃ đóng sao cho F Aε ⊆ và ( )\ 2A Fε εµ < Mặt khác µ là độ đo chặt nên tồn tại tập Kε compact sao cho : ( )\ 2 X Kε εµ < Đặt K K Fε ε= ∩ vì compact, K Fε ε đóng nên K đóng mà K Kε⊆ ⇒K compact Hơn nữa K F Aε⊆ ⊆ và ( ) ( ) ( ) ( )\ \ \ \A K A F K A F A Kε ε ε εµ µ µ ⎡ ⎤= ∩ = ∪⎣ ⎦ ( ) ( )\ \A F A Kε εµ µ≤ + ( ) ( )\ \A F X Kε εµ µ≤ + 2 2 ε ε ε< + = Hay ( ) ( )A Kµ µ ε− < ( ) ( ){ } sup : compact, ,A K K K A Aµ µ⇒ = ⊆ ∀ ∈ B(X) ⇒ µ là độ đo Radon. 1.2.2. Định lý Độ đo hữu hạn µ là độ đo chính quy khi và chỉ khi A∀ ∈ B(X), 0, Fεε∀ > ∃ đóng và Gε mở sao cho: ( ) ) ) \ i F A G ii G F ε ε ε εµ ε ⊆ ⊆ <  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 27 Chứng minh Ta có µ là độ đo chính quy khi và chỉ khi: A∀ ∈ B(X), 0, Fεε∀ > ∃ đóng, ( ) ( ): 2F A F Aε ε εµ µ⊆ > − Và A∀ ∈ B(X), 0, Gεε∀ > ∃ mở, ( ) ( ): 2G A G Aε ε εµ µ⊇ < + Suy ra F A Gε ε⊆ ⊆ và ( ) ( ) ( )\G F G Fε ε ε εµ µ µ= − ( ) ( ) 2 2 A Aε εµ µ ε⎛ ⎞< + − − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 1.2.3. Định lý Giả sử X là không gian tôpô sao cho mỗi tập đóng của nó là tập δG (giao đếm được các tập mở). Khi đó mỗi độ đo hữu hạn trên X là chính quy. Chứng minh Giả sử U là lớp gồm tất cả các tập A∈ B(X) thoả mãn các điều kiện sau: ( ) ( ){sup :A F Fµ µ= đóng, }F A⊆ ( ) ( ){inf :A G Gµ µ= mở, }G A⊇ ¾ Trước hết ta chứng minh U là σ − đại số: ƒ Vì ∅ và X là hai tập vừa đóng vừa mở nên ∅∈ U , X ∈ U ƒ Với A∈ U thì A∈ B(X) và ∃ F đóng, , 0F A ε⊆ ∀ > thoả mãn ( ) ( )A Fµ µ ε< + ( ) ( ) ( ) ( )X A X Fµ µ µ µ ε⇒ − > − − ( ) ( )C CA Fµ µ ε⇒ > − Ta có F đóng , CF A F⊆ ⇒ mở và C CF A⊇ Vậy ∈CA U . ƒ Ta phải chứng minh U đóng kín với phép hợp đếm được Giả sử { }nA ⊆U , 1 n n A A ∞ = =U . Ta cần chứng minh A∈ U Thật vậy, do nA ∈ U nên nA ∈ B(X) và 0, nFεε∀ > ∃ đóng, nGε mở sao cho: n n nF A Gε ε⊆ ⊆ và ( )\ 3n n nG Fε ε εµ <  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 28 Đặt 1 1 , n n n n F F G Gε ε ∞ ∞ = = = =U U thì F và G là các tập mở do hợp đếm được các tập mở là tập mở. Do µ là độ đo hữu hạn nên tồn tại k ∈ N sao cho: 1 \ 2 k n n F Fε εµ = ⎛ ⎞ <⎜ ⎟⎝ ⎠U Đặt 1 k n n F Fε ε = =U thì Fε là tập đóng Ta thấy Fε đóng, G Gε= mở, F A Gε ε⊆ ⊆ và: ( ) ( ) ( )\ \ \G F G F F Fε ε εµ µ µ≤ + ( ) 1 \ 2 n n n G Fε ε εµ∞ = ≤ +∑ 1 3 2nn ε ε ε∞ = < + =∑ A⇒ ∈ U Vậy U là σ − đại số. ¾ Như vậy U là σ − đại số, U ⊆ B(X) nên nếu ta chứng minh mỗi tập đóng đều thuộc U thì U = B(X) Do F đóng nên F có dạng 1 n n F G ∞ = = I với nG mở Ta có thể xem nG F (đặt / 1 n n k k G G = = I ) suy ra ( ) ( )nG Fµ µ ⇒ 00 : nn N F G∃ ∈ ⊆ và ( )0 \nG Fµ ε< F⇒ ∈ U ⇒ U = B(X) Nên mỗi độ đo hữu hạn trên không gian tôpô mà mỗi tập đóng của nó là tập Gσ là chính quy. 1.2.4. Mệnh đề Mọi độ đo hữu hạn trên không gian mêtric bất kỳ là chính quy. Chứng minh Thật vậy, trong không gian mêtric với mỗi tập A đóng thì 1 n n A A ∞ = =I với ( ) 1: ,nA x X d x A n ⎧ ⎫= ∈ <⎨ ⎬⎩ ⎭ mở  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 29 Áp dụng định lý 1.2.3 suy ra mọi độ đo hữu hạn trên không gian mêtric bất kỳ là độ đo chính quy. 1.2.5. Định lý Giả sử X là không gian mêtric khả ly và đủ. Khi đó, mọi độ đo xác suất trên X là độ đo Radon. Chứng minh Vì X là không gian khả ly nên có thể phủ X bằng một số đếm được các hình cầu đóng bán kính 1 n tức là: ( ) 1 nj j X B ∞ = =U Giả sử µ là một độ đo xác suất trên X, khi đó tồn tại nk N∈ sao cho: 1 1 2 nk nj n j B εµ = ⎛ ⎞ > −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠U Đặt 1 nk n nj j X B = =U và 1 n n K Xε ∞ = =I Ta thấy rằng Kε là tập đóng và hoàn toàn bị chặn. Do X là không gian đủ nên Kε là tập compact. Hơn nữa ta có: ( ) ( ) 1 1 \ \ 2n nn n X K X Xε εµ µ ε∞ ∞ = = ≤ < =∑ ∑ Suy ra µ là độ đo chặt. Theo mệnh đề 1.2.4 µ là một độ đo xác suất trên không gian mêtric nên µ là độ đo chính quy. Do đó theo định lý 1.2.1 thì µ là độ đo Radon trên X. 1.2.6. Họ có hướng tăng ( giảm ) Định nghĩa. Một họ ( )j j JB ∈ khác rỗng được gọi là họ có hướng tăng (giảm) nếu với bất kỳ 1 2,j j J∈ tồn tại 3j J∈ sao cho: ( )1 2 3 1 2 3j j j j j jB B B B B B∪ ⊆ ∩ ⊇ 1.2.7. Độ đo τ - Trơn Định nghĩa. Một độ đo Borel µ trên không gian tôpô X được gọi là τ - trơn nếu với mỗi lưới có hướng tăng ( )Uλ λ∈Λ các tập con mở của X thì ( )limU Uλ λλλµ µ∈Λ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠U  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 30 1.2.8. Định lý a) Mọi độ đo Borel trên không gian tôpô X với cơ sở đếm được (đặc biệt là trên không gian mêtric khả ly) là τ - trơn. b) Mọi độ đo hữu hạn τ - trơn trên không gian tôpô chính quy là chính quy. c) Mọi độ đo Radon trên không gian tôpô tách Hausdorff là τ - trơn. Chứng minh a) Do X có cơ sở đếm được nên hợp của một họ tuỳ ý các tập con mở của X trùng với một họ đếm được các tập con mở của X. Suy ra, với họ nA các tập mở có hướng tăng trên X thì: ( ) 1 limn nnn A Aµ µ∞ = ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠U µ⇒ là độ đo τ - trơn. b) Đặt F0 ={B∈ B(X) ( ) ( ){: sup , , B F F B Fµ µ= ⊆ đóng }} F {B= ∈ B(X) : , CB B ∈ F0 } Trước hết ta chứng minh F là σ − đại số. ƒ Vì ∅ và X là hai tập vừa đóng vừa mở nên ∅ , X thuộc F. ƒ Giả sử B∈ F , CB B⇒ ∈ F0 và , CB B ∈ B(X) Ta có CB ∈ F0 ( )CCB B⇒ = ∈ F0⇒ CB ∈ F ƒ Giả sử nB ∈ F, n =1, 2,… đặt 1 n n B B ∞ = =U . Ta cần chứng minh B ∈ F Thật vậy, từ nB ∈ F với ∀n=1, 2, … ta có: , Cn nB B ∈ F0 , ∀n=1, 2, … nên 0, nFεε∀ > ∃ đóng, nGε mở sao cho: n n nF B Gε ε⊆ ⊆ và ( )\ 3n n nG Fε ε εµ < Đặt 1 1 , n n n n F F G Gε ε ε ∞ ∞ = = = =U U Vìµ là độ đo hữu hạn nên 1 : \ 2 k n n k N F Fε εµ = ⎛ ⎞∃ ∈ <⎜ ⎟⎝ ⎠U Đặt 1 k n n F F Fε ε ε = = ⇒U đóng, F Fε ⊆ F B Gε ε⇒ ⊆ ⊆ . Ta lại có: ( ) ( ) ( )\ \ \G F G F F Fε ε ε εµ µ µ≤ +  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 31 1 1 \ 2 n n n n G Fε ε εµ ∞ ∞ = = ⎡ ⎤≤ +⎢ ⎥⎣ ⎦U U ( ) 1 \ 2 n n n G Fε ε εµ ∞ = ⎡ ⎤≤ +⎢ ⎥⎣ ⎦U ( ) 1 \ 2 n n n G Fε ε εµ∞ = ≤ +∑ 1 3 2 2 2nn ε ε ε ε ε∞ = < + = + =∑ 1 n n B B ∞ = ⇒ = ∈U F Vậy F là σ − đại số. Mặt khác do X là không gian tôpô chính quy nên với mỗi tập mở U ⊆ X tồn tại các tập con mở jV U⊆ sao cho: 1 , j j j V U V U ∞ = ⊆ =U Do µ là độ đo τ - trơn nên: ( ) ( ){ }sup :j j j J U V V Uµ µ ∈ = ⊆ Khi đó với 0ε > bé tuỳ ý, 0j J∃ ∈ sao cho: ( ) ( )0jU Vµ µ ε< + ( ) ( )0jU Vµ µ ε⇒ < + U⇒ ∈ F Vậy F = B(X) hay µ là độ đo chính quy trên X. c) Giả sử ( )Uλ λ∈Λ là họ các tập con mở có hướng tăng của X. Đặt U Uλ λ∈Λ = U Vì µ là độ đo Radon trên không gian tôpô Hausdorff nên với mỗi 0ε > tồn tại một tập compact K Uε ⊆ sao cho ( )\U Kεµ ε< Mặt khác Kε là tập compact nên tồn tại phủ mở Uλ phủ Kε suy ra tồn tại ελ sao cho K U εε λ⊆ , do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ,U U U U ελ λ εµ µ µ µ λ λ− ( ) ( )U Kεµ µ ε< − < ( ) ( )U Uλµ µ ε⇒ < + ( ) ( ){ }supU U ε λλ λ µ µ > ⇒ =  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 32 ⇒ µ là độ đo τ - trơn. 1.2.9. Định lý Lusin Giả sử µ là độ đo xác suất Radon trong không gian tôpô hoàn toàn chính quy X và : f X → là hàm số đo được ( theo Borel ). Khi đó, 0ε∀ > ,