Khóa luận Một số dạng bài tập về các nguyên lý trong cơ học

1.1.3.1 Liên kết lý tưởng. Định nghĩa: Liên kết của cơ hệ được gọi là liên kết lý tưởng nếu tổng công nguyên tố của phản lực liên kết tác dụng lên cơ hệ trên mọi di chuyển khả dĩ đều bằng không. Biểu thức: 0N k k k A N r = =  Trong đó kN là phản lực liên kết tác dụng lên chất điểm Mk, kr là véc tơ di chuyển khả dĩ của chất điểm đó. Nếu các liên kết không phụ thuộc vào thời gian, các lực ma sát trượt và ngẫu lực ma sát lăn không sinh công trong di chuyển có thể của hệ thì cơ hệ đó chịu liên kết lý tưởng. 1.1.3.2 Nguyên lý di chuyển khả dĩ. Phát biểu nguyên lý: khi cơ hệ chịu liên kết dừng và lý tưởng thì điều kiện cần và đủ để nó cân bằng tại vị trí đang xét là tổng công của lực chủ động tác dụng lên hệ trong mọi di chuyển khả dĩ của hệ tại vị trí đang xét bằng không. 1 0 N k k k k A F r  = = =  (k=1N) (1.5) 6 Chứng minh: Giả sử chất điểm thứ k của hệ chịu tác dụng của hợp lực của các lực chủ động k F và của hợp lực của các phản lực liên kết kN + Điều kiện cần: Hệ ở trạng thái cân bằng thì các phản lực phải thỏa mãn điều kiện: 0 k k F N+ = (k=1N) Ta cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ thì chất điểm thứ k có di chuyển khả dĩ là kr Do đó: 0k k k kF r N r + = Viết cho cơ hệ ta sẽ thu được: 1 1 0k N N k k k k k F r N r  = = + =  Do cơ hệ chịu liên kết lý tưởng nên 1 0 N k k k N r = = nên 1 0k k N k F r =  + Điều kiện đủ: Giả sử hệ thỏa mãn (1.5) ta phải đi chứng minh rằng điều kiện này đủ để cho hệ tự cân bằng ở vị trí đang xét. Nếu hệ không cân bằng nghĩa là hệ di chuyển suy ra dT >0 Theo định lý động năng 1 1 0 N N k k k k k k dT F r N r  = = = +   Mà 1 0 N k k k N r = = do hệ chịu liên kết lý tưởng nên 1 0k k N k F r =  điều này trái với giả thiết. Vậy hệ cơ hệ không thể di chuyển được hay hệ cân bằng mãi mãi. Ý nghĩa: Ý nghĩa của nguyên lý di chuyển khả dĩ là ở chỗ nó cho ta điều kiện cân bằng của mọi cơ hệ dưới dạng tổng quát, trong khi đó các phương pháp tĩnh học yêu cầu xét sự cân bằng của từng vật thể trong hệ. Lưu ý: Nếu hệ có liên kết lý tưởng thì chỉ cần tính đến các lực chủ động còn các phản lực liên kết có thể bỏ qua. 7 Hệ có bao nhiêu bậc tự do phải có bấy nhiêu điều kiện cân bằng thỏa mãn hệ thức (1.5) 1.1.3.3 Điều kiện cân bằng tổng quát của cơ hệ không tự do. + Trong tọa độ Đề các Gọi , ,k k kX Y Z là hình chiếu của các lực chủ động kF và , ,k k ky zx   là hình chiếu của di chuyển có thể kr của chất điểm thứ k xuống các trục tọa độ. Theo (1.5) ta có: ( ) 1 0k k k k kk N k k k k F rA X x Y y Z z    = == + + =  (1.6) Đây là điều kiện cân bằng của hệ trong hệ tọa độ Đề các. + Trong tọa độ suy rộng q1,,qm Theo (1.5) ta có 1 1 0 N N s j jk k k k k A F r Q q   = = = = =   . Do jq biến thiên một cách độc lập nên ta sẽ có điều kiện cân bằng sau: 1 20, 0,...., 0MQ Q Q= = = . Đây chính là điều kiện cân bằng của hệ trong tọa độ suy rộng. 1.2 Các dạng bài tập về nguyên lý di chuyển khả dĩ. Từ những cơ sở lý thuyết được nêu trên ta có thể phân chia một số dạng bài tập áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ như sau: Dạng 1: Bài toán liên hệ giữa các lực chủ động để hệ cân bằng. Dạng 2: Bài toán xác định phản lực liên kết khi hệ đã cân bằng. Dạng 3: Tìm vị trí cân bằng khi đã biết các lực tác dụng lên hệ. Bài tập tương ứng Bài 1.1: Cho 2 tải trọng A và B trên các mặt nghiêng với những góc 𝛼 và β so với phương nằm ngang, được giữ cân bằng nhờ tải trọng C như hình 1.1. 8 Tìm trọng lượng PA và PB của 2 tải trọng A, B, bỏ qua ma sát, khối lượng ròng rọc và dây cáp. Bài giải: Cơ hệ chịu liên kết holonom lý tưởng. Dễ dàng nhận thấy cơ hệ có 2 bậc tự do. Chọn hệ tọa độ suy rộng đủ 1 2 ,q x q y= = và xác định vị trí các vật A, B trên mặt nghiêng. Chọn trục 1 20x x như hình vẽ, chiều dương hướng xuống dưới. Do dây không giãn nên chiều dài dây không đổi nên ta có 1 2 2 cx x x const+ + = Suy ra: 1 2 2 0cx x x  + + = hay ( )1 2 1 2c x x x  =− + Để tìm lực suy rộng ta cho hệ di chuyển khả dĩ 1 2 1 1 0; 0 2 cx x x x    =  = − Tổng công khả dĩ của các lực chủ động trong di chuyển khả dĩ trên là: 1 1 ( ) sinx cAkA F P x P x  = + 1 1 1 ( ) sin 2x Ak PA F P x          = − 1 1 1 ( ) sin 2 kx x A A F P Q P x    = = = −  Tương tự ta có: 2 2 2 )( sin 2 kx x B A F P Q P x    = = −  H×nh1. O1 O2  B  A C O1 O O2  x1 x2 B xc  A P 9 Theo điều kiện cân bằng ta có: 1 2 0 2sin 0 2sin A x x B P PQ PQ P           == = = Bài 1.2 Cho cơ hệ được biểu diễn trên hình vẽ. Dây mềm mảnh, nhẹ và không giãn được buộc vào vật A, vòng qua ròng rọc cố định C, ròng rọc động D và ròng rọc cố định E, cuối cùng buộc vào vật nặng B. Tại trục ròng rọc động D có treo vật K có trọng lượng Q. Cho biết hai vật A, B có cùng trọng lượng P. Xác định P theo Q và xác định hệ số ma sát trượt giữa vật A và mặt phẳng ngang để hệ cân bằng. Bài giải: Cơ hệ chịu liên kết holonom lý tưởng. Cơ hệ có 2 bậc tự do. Chọn hệ tọa độ suy rộng đủ 1 2 ,q x q y= = . Chọn trục tọa độ như hình vẽ. Các lực chủ động tác động lên cơ hệ , ,msF Q P Cho hệ một di chuyển khả dĩ 1, , 0x y y    Khi đó ta có: 1( ) mskA F F x P y Q y   =− + + Suy ra ( ) ( ) 2k y x A F P x P y Q       − = − + + − Với 1 2 y x y    − = − di chuyển khả dĩ của vật K;  là hệ số ma sát. Khai triển phương trình trên ta thu được: ( ) 2 2k Q Q A F P Px y                = − + −+ x C E Q B A y Hinh 1.2 K 10 Kết hợp với điều kiện cân bằng của công khả dĩ 0( ) k A F = Suy ra 0 2 2 10 2 hay Q QP P Q P           − + = = =− = Bài 1.3 Hai thanh đồng chất OA, AB, có cùng độ dài 21 trọng lượng bằng nhau 1 2P P P= = được nối với nhau bằng khớp tại A và gắn vào trần bằng khớp ở O (hình 1.3). Tại B tác dụng lực Q nằm ngang. Bỏ qua ma sát ở các khớp nối. Tìm các góc 1 2,  lập giữa OA, AB với phương thẳng đứng khi hệ cân bằng. Bài giải Xét cơ hệ gồm 2 thanh OA, OB. Với giả thiết bỏ qua ma sát hệ chịu liên kết lý tưởng. Hệ có 2 bậc tự do được xác định bằng 2 tọa độ đủ: 1 1 2 2,qq  = = . Các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ gồm trọng lượng 1 2,P P và lực Q . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta cho hệ một di chuyển khả dĩ OA quay góc 1 , AB quay góc 2 . Theo (1.6) tổng công của các lực tác dụng lên cơ hệ trên một di chuyển khả dĩ là: ( ) 1 1 2 2 1 0k k k k k Bk N k k k k P y P yF r QA X x Y y Z z x       = + + === + + =  Trong đó: ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 sin 2 sin 2 cos cos cos sin 2 cos cos 2sin sin B Bx l l x l y l y l y l l y l                         = +  = + =  = − = +  = − + Hình 1.3 11 ( ) ( )1 1 1 2 2 2 1 02 cos 3 sin 2 cos sin N k k A l Q P l Q P       = == − + − Các di chuyển góc 1 2,  độc lập với nhau thì để phương trình trên thỏa mãn với mọi 1 2,  thì các hệ số của các di chuyển phải đồng thời bằng 0. ( ) ( ) 1 1 2 2 2 cos 3 sin 0 2 cos sin 0 l Q P l Q P         − = − = Giải hệ phương trình trên ta thu được: 1 2 2 3 2 Q tg P Q tg P        = = Bài 1.4 Trên hình 1.4 ta có sơ đồ cơ cấu culic của máy bào ngang. Tay quay OA có chiều dài là a, cần lắc CB có chiều dài là l, còn khoảng cách giữa hai trục O và C là d. Ở vị trí đang xét OA tạo với phương thẳng đứng một góc quay . Tay quay OA chịu tác dụng một ngẫu lực có mômen M, còn cần lắc chịu tác dụng của lực ngang F  tại B hướng từ trái sang phải. Bỏ qua ma sát và trọng lượng bản thân của các khâu. Tìm điều kiện cân bằng của cơ cấu tại vị trí đó. Bài giải Khảo sát cơ hệ là cơ cấu culic của máy bào ngang. Cơ hệ chịu liên kết hôlônôm, giữ, dừng và lý tưởng. Cơ hệ có 1 bậc tự do. Các lực chủ động gồm F và ngẫu lực có mômen M. Chọn hệ toạ độ suy rộng đủ q = là góc quay của tay quay OA Cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ 0  ngược chiều kim đồng hồ. Khi đó CB quay quanh C một góc  . l1 Hình 1.4   M C A B O 12 Gọi AV là vận tốc tuyệt đối của A. tV là vận tốc tương đối do A chạy trên CB. k V là vận tốc kéo theo do CB quay quanh C. Khi đó tA kV V V= + được biểu diễn như hình vẽ. Ta có ,A kOA V CBV  = = với  và  lần lượt là vận tốc quay của OA và vận tốc góc của CB. Mà cos( )K AV V  = − suy ra cos( ) CB OA    = − Hay 1 cos( ) a l    = − Tổng công khả dĩ của các lực chủ động là: 1 ( ) cos cos cos( ) k a A F M Fa M Fl l        = − = − − Vậy lực suy rộng Q ứng với toạ độ suy rộng : 1 ( ) cos .cos( ).k A F a Q M Fl l        = = − − Để hệ cân bằng thì 0Q = tức là 1 cos( )cos . a M Fl l   = − Từ các bài tập ở trên ta có thể khái quát được tiến trình giải một bài tập áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ như sau: Bước 1: Xác định số bậc tự do của hệ, kiểm tra điều kiện liên kết lý tưởng. Bước 2: Chọn các toạ độ suy rộng đủ thông qua bậc tự do Đặt các lực chủ động lên cơ hệ. Đối với loại bài toán xác định phản lực liên kết: giải phóng liên kết và thay thế phản lực cần tìm – coi nó như một lực hoạt động. 13 Bước 3: Cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ hợp lý rồi biểu diễn những di chuyển khả dĩ các điểm đặt các lực hoạt động theo di chuyển khả dĩ độc lập tự chọn phù hợp với bậc tự do. Viết biểu thức tính công khả dĩ. Từ điều kiện cân bằng ta tìm được các giá trị cần xác định. Nếu hệ có nhiều bậc tự do thì các tính toán được áp dụng là các di chuyển khả dĩ độc lập với nhau. 14 Chương 2: Nguyên lý Đalămbe 2.1 Cơ sở lý thuyết. 2.1.1 Nguyên lý Đalămbe. 2.1.1.1 Nguyên lý Đalămbe đối với chất điểm. Xét chất điểm có khối lượng m chuyển động với gia tốc w dưới tác dụng của các lực 1 2, ,..., nF F F và lực quán tính của chất điểm là w qtF m= − Phương trình cơ bản của động lực học viết cho chất điểm: 1 2 1 w ... N n i i m F F F F = = + + + = Hay ( ) 1 w 0 N i i F m = + − = suy ra 1 0 N qt i i F F = + = Các lực 1 N i i F =  và qtF đồng quy tại chất điểm nên có thể viết lại ( )1 2, ,..., , 0qtnF F F F = (1.6) Đây là biểu thức nguyên lý Đalămbe đối với chất điểm và được phát biểu như sau: Tại mỗi thời điểm các lực tác dụng lên chất điểm và lực quán tính của nó lập thành một hệ cân bằng. 2.1.1.2 Nguyên lý Đalămbe đối với cơ hệ. 15 Xét cơ hệ có n chất điểm, chất điểm thứ k có khối lượng mk, chịu tác dụng của tổng các nội lực ikF và tổng các ngoại lực e kF (k=1,,n). Nếu chất điểm chuyển động với gia tốc w thì lực quán tính tác dụng lên chất điểm là wqt k F m= − và chất điểm chịu tác dụng của hệ lực cân bằng: 0qti e k k k F F F+ + = (k=1,,n) (1.7) Biểu thức (1.7) là biểu thức nguyên lý Đalămbe đối với cơ hệ và được phát biểu như sau: Khi hệ chuyển động, tại mỗi điểm chịu tác dụng của các lực (gồm cả nội lực và ngoại lực) cùng với lực quán tính tương ứng thì hệ sẽ tạo thành một hệ lực cân bằng. Điều kiện cân bằng của hệ thức (1.7) được viết như sau ( ) , 1 0 n qti e k k k k i F F F = + + = (1.8) 0 0 0 , 1 ( ) ( ) ( ) 0 n qti e k k k k i m F m F m F =       + + = Theo tính chất của nội lực ta có , 1 0 n i k k i F = = và 0 , 1 ( ) 0 n i k k i m F = = Biểu thức (1.8) tương đương ( ) , 1 0 0 , 1 0 ( ) ( ) 0 n qte k k k i n qte k k k i F F m F m F = =             + = + =   Đặt , 1 n qt qt k k i R F = =  : véctơ chính của các lực quán tính 0 0 , 1 ( ) n qt qt k k i M m F = =  : véctơ mômen chính của các lực quán tính. 16 Ta thu được , 1 0 0 , 1 0 ( ) 0 n qte k k i n qte k k i F R m F M = =        + = + =   (1.9) Chiếu (1.9) lên tọa độ Đề các ta thu được các phương trình cân bằng tĩnh học 0 0 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 qte xk qte yk qte zk qte x xk qte y yk qte z zk X R Y R Z R m F M m F M m F M + = + = + = + = + = + =       (1.10) Trong đó , , , , ,qt qt qte e e x y zk k kX Y Z R R R là thành phần hình chiếu của các ngoại lực e k F và véc tơ chính của lực quán tính qtR lên các trục tọa độ Đề các. ( ), ( ), ( ), , ,qt qt qte e ex y z x y zk k km F m F m F M M M là thành phần hình chiếu của mô men của ngoại lực e k F và mô men chính của lực quán tính lên các trục tọa độ. Lưu ý: Nguyên lý Đalămbe chỉ áp dụng được trong hệ quy chiếu quán tính, các lực quán tính được tìm qua các gia tốc tuyệt đối. Nguyên lý Đalămbe cho ta phương pháp giải các bài toán động học một cách đơn giản (phương pháp tĩnh học vật rắn). 2.1.2 Thu gọn hệ các quán tính của vật rắn. Vật rắn là là tập hợp các chất điểm mà khoảng cách giữa 2 chất điểm bất kì luôn không đổi. 2.1.2.1 Vật rắn chuyển động tịnh tiến. 17 Xét vật chuyển động tịnh tiến ta có gia tốc bằng với gia tốc khối tâm W Wk c= Khi đưa các lực quán tính về khối tâm C ta được: w ; w w ( ) w qt qt c c ck k qt qt c c c ck k k k R F m M M m F r m Mr     = = − = − = =  = −      Do vật rắn không quay quanh khối tâm C nên 0qtcM = Vậy trong trường hợp vật chuyển động tịnh tiến hợp lực của lực quán tính bằng véc tơ chính và đi qua khối tâm C. 2.1.2.2 Vật rắn đồng chất chuyển động song phẳng. (Chuyển động song phẳng là chuyển động khi mỗi điểm thuộc vật luôn luôn chuyển động trong một mặt phẳng cố định song song với mặt phẳng quy chiếu đã chọn trước) Xét vật rắn đồng chất chuyển động song phẳng. Ta đưa các lực quán tính về khối tâm C ta thu được: 18 w ;qtc c qt c c R M M J     =− =− Trong đó CJ là momen quán tính của vật đối với trục quay,  là gia tốc góc.Dấu “ – “ chứng tỏ qtcR và qt cM ngược chiều với Wc và  . 2.1.2.3 Vật rắn đồng chất chuyển động quanh một trục cố định. Xét vật rắn đồng chất chuyển động quanh một trục cố định. Ta có vécto chính của các lực quán tính và vecto momen chính của các lực quán tính trong trường hợp này là: ( w ) ( w )qt qt qt nc n c cR R R M M  = + = − + − Và một ngẫu lực nằm trong mặt phẳng đối xứng và có momen bằng qt c cM J =− Dấu “–“ cũng thể hiện rõ chiều của ngẫu lực ngược chiều với chiều của gia tốc góc. 2.2 Các dạng bài tập về nguyên lý Đalămbe Nguyên lý Đalămbe giúp ta đưa việc giải một bài toán động lực về việc thành lập các phương trình cân bằng tĩnh học. Đặc biệt nguyên lý này được sử 19 dụng rất thuận tiện trong việc xác định các phản lực liên kết nếu ta đã biết chuyển động. Việc sử dụng nguyên lý Đalămbe để giải các bài toán, cụ thể là áp dụng phương pháp tĩnh hình học đưa ta đến hai loại bài toán: Dạng 1: Khi đã biết chuyển động của cơ hệ, tìm các lực tác dụng lên cơ hệ. Dạng 2: Viết phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ, đặc biệt là các phương trình vi phân chuyển động của vật rắn. Các bài tập tương ứng: Bài 2.1 Hai vật A, B có trọng lượng P1, P2 liên kết với nhau bằng một sợi dây không giãn có khối lượng không đáng kể (hình 2.1). Hai vật chuyển động trên mặt phẳng nằm ngang có hệ số ma sát µ nhờ tác dụng lực Q vào vật B theo phương ngang. Xác định gia tốc của hai vật và lực căng dây. Bài giải Xét cơ hệ gồm cả 2 vật, các lực tác dụng lên cơ hệ gồm có , , ,mstP N F Q Gọi các lực quán tính đặt lên 2 vật A, B là 1 2, qt qtF F Ta có: 11 1 1 1w w qt PF m g = − = − và 2 2 2 2 2w w qt PF m g = − = − Với gia tốc 1 2w w w= = do dây không giãn và khối lượng không đáng kể. Theo nguyên lý Đalambe: 0qti e k k k F F F+ + = Hình 2.1 20 Ta có phương trình chuyển động của vật: 1 2 1 2 0 qt qtQ F F F F− − − − = Hay ( )2 1 2 1Q= w 0 P P P P g  + − − + = Suy ra 1 2 w Q g P P          = − + Để cơ hệ chuyển động thì 1 2 Q P P   + Xét vật B có các lực tác dụng 2 2 2 2, , , , , qtP N F Q T F Áp dụng nguyên lý Đalămbe: 0qti e k k k F F F+ + = Phương trình chuyển động của vật B: 2 2 0 qtQ T F F− − − = Với 22 2 2; w qt PF P F g = = Suy ra 1 1 2 T= QP P P+ Bài 2.2 Hai vật nặng có trọng lượng P1, P2 quấn vào hai tầng của ròng rọc có trọng lượng Q, có bán kính quán tính đối với trục quay là . Tầng một có bán kính tang là r, tầng hai là R (hình 2.2). Tìm gia tốc của ròng rọc và phản lực của trục quay. Biết tải trọng chuyển động dưới tác dụng của trọng lực. Bài giải Khảo sát cơ hệ gồm hai vật nặng P1, P2 và ròng rọc trọng lượng Q. Lực tác dụng lên hệ là các trọng lực và phản lực 0R của trục. Đặt vào 2 vật nặng 2 lực quán tính 1 2; qt qtF F . Ta giả xử vật nặng P1 đi xuống và vật P2 đi lên. Ta có hệ lực quán tính thu thành một  R r Mqt O Hình 2.2 21 ngẫu lực có chiều âm, về trị số mômen 2.qt Q M J g   = = ( là gia tốc của ròng rọc) Áp dụng nguyên lý Đalămbe cho cơ hệ: ( )1 2 0, , , , 0qtP P Q R F = Ta lấy momen của hệ lực cân bằng đối với O được: 0 1 2 1 2 21 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 ( ) 0 0 ( ) 0 qt qt qtm F PR P r F R F r M P P Q PR P r R R r r g g g PR P r PR P r Q g       = − − − − =  − − − − =  − − + + =  1 2 2 2 2 1 2 PR P r g PR P r Q   −  = + + Dễ dàng nhận thấy 0R là lực có phương thẳng đứng. Ta có phương trình: 1 1 2 2 0 0 qt qtP F P F R+ + + + = Chiếu lên trục thẳng đứng, chiều dương hướng lên trên ta được: 1 2 1 2 0 1 2 0 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 0 2 1 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) qt qt qt qt P P F F R P P R P P F F P P R r g g PR P r P P PR P r P P g PR P r Q P R PP R PP r P r P P Q PR P r PR P r Q PP R r P P Q R PR P        − − + − + =  = + + − = + − + − = + − − = + − + + + + + + + − − = + + + + +  = + 2 2r Q+ Bài 2.3 Hai vật nặng A và B có trọng lượng P1 và P2 buộc vào một sợi dây không giãn vắt qua ròng rọc không trọng lượng và ròng rọc này quay quanh trục cố định O. Những vật A, B có thể trượt trên hai cạnh của lăng trụ tam 22 giác mà hệ số ma sát của vật lăng trụ là  . Tìm gia tốc w của các vật nặng và sức căng của sợi dây, nếu những góc ,  đã biết. (hình 2.3) Bài giải Khảo sát hệ gồm 2 vật A và B chuyển động tịnh tiến. Các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ gồm 1 2 1 2 1 2 , , , , ,ms msP P N N F F và lực căng ở 2 đầu dây nối vật 1 2,T T Do dây có khối lượng không đáng kể và không giãn nên 1 2 1 2w w w T T T   = = = = Đặt tại A và B các lực quán tính có độ lớn lần lượt là 1 1 w qt PF g = và 2 2 w qt PF g = Theo nguyên lý Đalămbe hệ lực cân bằng nên ta có phương trình cân bằng đối với vật A, B là: 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 qrms qtms P N F T F P N F T F     + + + + = + + + + = Chiếu các phương trình cân bằng lên chiều chuyển động 1 2,x x ta được: 1 1 2 2 1 2 sin 0 sin 0 ms ms qt qt P F F T P F F T      − − − = + + − = 2 1 1 1 2 2 sin cos 0 sin cos 0 P P P w T g P P P w T g              − − − =  + + − = Giải hệ phương trình ta được Hình 2.3 x2  x1 y1 y2 O  A B 23 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 (sin cos ) (sin cos ) w (sin cos ) (sin cos ) (sin cos ) P P g P P P T P P P P P                          − − + = + = − − − − + + Hay 1 2 1 2 sin sin (cos cos )PP T P P       + − += + Từ việc giải một số bài toán ở trên, chúng ta có thể rút ra được tiến trình chung trong việc giải một bài toán bằng nguyên lý Đalămbe là: Bước 1: Chọn vật hay hệ vật khảo sát và giả thiết các yếu tố động lực a, . Bước 2: Đặt ngoại lực tác dụng lên hệ. Bước 3: Đặt lên hệ vật các lực quán tính. Bước 4: Thiết lập các phương trình: 0 0 0 ( ) 0 qte k qte k F R m F M     + = + =   dưới dạng hình chiếu và giải các phương trình ấy, rút ra đại lượng cần tìm. 24 Chương 3: Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng 3.1 Cơ sở lý thuyết. Như chúng ta đã tìm hiểu ở trên thì nguyên lý Đalămbe cho phép chúng ta giải bài toán động lực học bằng phương pháp tĩnh học, còn nguyên lý di chuyển khả dĩ cho phép ta giải bài toán cân bằng tĩnh học bằng phương pháp tổng quát. Kết hợp 2 phương pháp giải này cho ta phương pháp tổng quát giải các bài tập động lực học. Xét cơ hệ gồm n chất điểm có liên kết lý tưởng chịu tác dụng của các lực chủ động a kF và phản lực liên kết kN . Áp dụng nguyên lý Đalămbe ta thu được hệ lực cân bằng. ( ) ~ 0qt k k k F F N+ + Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ sau khi cho hệ một di chuyển khả dĩ k r ta được: ( ) 0qtk k k kF F N r+ + = ( ) 0qtk k k k kF F r N r  + + =  (1.11) Do hệ liên kết lý tưởng nên 0k kN r = ( )(1.11) 0qtk k kF F r + = (1.12) Phương trình (1.12) là phương trình tổng quát động lực học hay nguyên lý Đalămbe – Lagrăng. Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng được phát biểu: Khi cơ hệ liên kết lý tưởng thì tại mỗi điểm tổng công nguyên tố của các lực chủ động và lực quán tính đặt vào cơ hệ trên mọi di chuyển khả dĩ đều bằng không. Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng có thể được viết dưới dạng giải tích sau: ( ) ( ) ( ) 0qt qt qtkx kx k ky ky k kz kz kF F x F F y F F z     + + + + + = 25 Trong đó: , , kx ky kz F F F là hình chiếu của các lực chủ động k F lên các trục tọa độ. , ,qt qt qt kx ky kz F F F là hình chiếu của các lực quán tính qtkF lên các trục tọa độ. 3.2 Các dạng bài tập về nguyên lý Đalămbe – Lagrăng Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng cho ta phương pháp tổng quát nhất để có thể giải các bài toán động lực học. Đặc biệt là bài toán xác định gia tốc của các điểm và các vật hoặc bài toán xác định điều kiện cân bằng tương đối của hệ. Những bài toán áp dụng phương trình Lagrăng thường là những bài toán thành lập phương trình vi phân chuyển động của hệ hay xác định những gia tốc trong trường hợp hệ có một bậc tự do. Các bài tập tương ứng Bài 3.1 Cho cơ hệ như hình vẽ. Các phần dây nằm trên trục ròng rọc theo phương thẳng đứng. Các vật A, B, C lần lượt có khối lượng tương ứng m1=2kg, m2=3kg, m=4kg. Hãy xác định khối lượng, gia tốc của 3 vật nặng. Bỏ qua ma sát ròng rọc, khối lượng ròng rọc và dây nối không đáng kể. Bài giải Khảo sát cơ hệ gồm 3 vật, dây, ròng rọc, liên kết đặt lên cơ hệ là liên kết lý tưởng và cơ hệ có hai bậc tự do. C B A x1 x2 Hình 3.1 26 Gọi gia tốc của 3 vật nặng lần lượt là 1 2w ,w ,w . Các ngoại lực đặt lên cơ hệ là 1 2, ,P P P và có các lực quán tính 1 2, , qt qt qtF F F . Giả sử cơ hệ chuyển động như hình vẽ. Ta cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ vật A di chuyển khả dĩ 1x , vật B di chuyển khả dĩ 2x vật C sẽ có di chuyển khả dĩ là: 1 23 2 x x x    + = − Áp dụng phương trình tổng quát động lực học 3 1 ( w ) 0i i i i i F m x = − = Suy ra 2 21 1 1 1 2 2 3 ( w ) ( w ) ( w) 0P m x P m x P m x  − + − + − = Khai triển phương trình trên ta được: 1 1 1 1 2 2 2 2 w w ( w ) ( w ) 0 2 2 P m P m P m x P m x  − − − − + − − = Ta có 1 2 3 2 x x x    + = − nên 1 2 w w w 2 + = − Và 1x độc lập với 2x nghĩa là 1 1 1 2 2 2 w w 0 2 w w 0 2 P m P m P m P m      − − − = − − − = Giải 2 phương trình trên ta được: 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 ( ) w w 0 ( ) ( )w w 0 2 4 4 m m g m m m m m m g m      − − + = − − + − = Thay số vào ta thu được kết quả: 1 2 1 w 11 3 w 11 1 w= 11 g g g          = − = − Bài 3.2 Máy chuyển vật liệu chuyển động nhờ ngẫu lực có mômen không đổi M tác dụng lên puli B. Xác định gia tốc chuyển động của băng chuyền. Biết trọng lượng của vật A được nâng là P, các puli B, C có cùng trọng lượng Q, 27 bán kính r và được xem là các đĩa tròn đổng chất. Băng chuyền hợp với phương ngang một góc α và trọng lượng của nó có thể bỏ qua, ngoài ra không có sự trượt giữa A và băng chuyền, cũng như giữa các băng chuyền với các puli. Bỏ qua ma sát ở các ổ trục. Bài giải Gọi gia tốc chuyển động băng truyền là w Xét cơ hệ gồm 3 vật A, B, C chịu tác dụng của các lực hoạt động: trọng lượng Q của puli B, C và trọng lượng P của vật A, ngẫu lực M. Các lực quán tính tác dụng lên hệ gồm , ,qt qt qtBA CF M M Do hệ bỏ qua ma sát nên cơ hệ chịu liên kết lý tưởng, hệ có một bậc tự do. Chọn tọa độ suy rộng đủ của cơ hệ là góc quay  của 2 puli. Ta cho hệ một di chuyển khả dĩ  , khi đó vật A di chuyển lên trên một đoạn s r = . Từ phương trình tổng quát động học (1.12) ta có: ( ) ( ) 0qt qt qtBA CP F s M M    + + + = Khai triển theo cơ hệ dịch chuyển khả dĩ sin 0C qt qt qt B AM P s M M