Khóa luận Một số tìm hiểu về hình học phi Euclide

tiêu của knΕ ta gọi mục tiêu đó là mục tiêu afin). Mục tiêu nói trên gọi là mục tiêu trực chuẩn nếu: 2.2.1. Định lý với mọi i với i≠ j. (1) GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 15 Trong không gian knΕ luôn có một mục tiêu trực chuẩn. Chứng minh Ta lấy một điểm E0 bất kỳ của knΕ và chọn các Ei sao cho: ii i i0 a*a aEE = , với i ≤ k, )a*a( aEE ii i i0 − = , với i > k. trong đó ia r , i = n,1 là các vectơ trong tiên đề (E*4). Khi đó rõ ràng rằng mục tiêu { } n1,i0 E;E thỏa mãn điều kiện (1), và do đó là một mục tiêu trực chuẩn. Trong cơ sở trực chuẩn này có k vectơ i0EE sao cho =i0i0 EE*EE 1 và (n – k) vectơ j0EE sao cho 1EE*EE j0j0 −= .ˆ Đối với mọi cơ sở trực chuẩn điều đó cũng đúng, bởi vì ta có định lý sau đây: 2.2.2. Định lý Nếu ta có n vectơ n1,i,bi = sao cho ib * ib ≠ 0 với mọi i và ib * jb = 0 với i ≠ j, thì ta sẽ có đúng k vectơ ib sao cho ib * ib > 0, và (n – k) vectơ jb sao cho jb * jb < 0. Chứng minh Giả sử ib * ib > 0, với i≤ l và jb * jb l. Ta chứng minh l = k. Dễ thấy rằng l vectơ lb,...b,b 21 , độc lập tuyến tính, bởi vậy chúng sinh ra một không gian vectơ con l chiều Vl. Tương tự, ta gọi Vn–k là không gian vectơ con sinh ra bởi n– k vectơ độc lập tuyến tính n2k1k a,...a,a ++ nói trong tiên đề (E * 4). Nếu l > k thì Vl và Vn–k sẽ giao nhau theo một không gian vectơ có số chiều ít nhất là l – k, ta gọi cθ ≠ ∈ Vl ∩ Vn–k thì: ∑ ∑ = += == l 1i n 1ki iiii aµbλc . Do đó ∑∑ ∑ == = >== ll l 1i ii 2 i 1i 1i iiii 0b*bλ)bλ(*)bλ(c*c GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 16 Mặt khác 0a*aµ)aµ(*)aµ(c*c i n 1ki i 2 i n 1ki ii n 1ki ii <== ∑∑∑ +=+=+= (vô lý). Tương tự như vậy, ta chứng minh rằng l < k là không thể được. Tóm lại, l = k và định lý đã được chứng minh. ˆ 2.3. Định nghĩa Cho hai không gian con P và Q của không gian vectơ giả Euclide knΕ (P là không gian con của knΕ nếu P cùng với tích vô hướng trên knΕ cũng làm thành không gian vectơ giả Euclide n- chiều chỉ số k) , P và Q gọi là vuông góc nhau nếu với mọi vectơ ∈x P đều vuông góc với vectơ ∈y Q, tức là ∈x P, ∈y Q thì ⊥x y ( ⊥x y ⇔ x 0y∗ =r r ) . Kí hiệu P⊥Q. Nếu hai không gian con P và Q vuông góc với nhau và knΕ = P⊕Q thì ta nói rằng P là phần bù vuông góc của Q và ngược lại. Ký hiệu: P = ⊥Q . 2.4 . Định nghĩa Cho hai không gian con P và Q của knΕ (các không gian con cũng là không gian vectơ giả Euclide với tích vô hướng như không gian vectơ giả Euclide knΕ ), P và Q gọi là đối vuông góc nếu phần bù vuông góc của P vuông góc với phần bù vuông góc của Q. Ký hiệu: P đối ⊥Q. Nếu hai không gian con P và Q đối vuông góc với nhau và PIQ = (O ) thì ta nói P đối bù vuông góc với Q. Ký hiệu: P đối bù⊥Q. 2.4.1 . Mệnh đề 1). P đối ⊥Q⇔ Q đối ⊥ P. 2). P đối bù⊥Q⇔ Q đối bù⊥ P. 3). P đối bù⊥Q⇒P đối ⊥Q. 2.4.2 . Định lý Trong không gian knΕ , µ là dạng song tuyến tính không suy biến của knΕ , P và Q là hai không gian con không suy biến. P đối bù vuông góc với Q khi và chỉ khi P bù vuông góc với Q. Chứng minh P đối bù⊥Q⇒ P đối ⊥Q PIQ = (O ) ⎩⎨ ⎧ GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 17 P đối ⊥Q⇒ ⊥P ⊥ ⊥Q ⇒ ⊥P ⊂ ( ⊥Q ) ⊥ . Mặt khác ta có: ⊥Q ⊂ ( ⊥Q ) ⊥ và vì µ không suy biến ⇒dimQ + dim ⊥Q = n. Mà dim ⊥Q + dim( ⊥Q ) ⊥ = n ⇒ dimQ = dim( ⊥Q ) ⊥ Do đó Q = ( ⊥Q ) ⊥ ⇒ ⊥P ⊂Q (*). PIQ = (O ) ⇒ dim(PIQ ) = 0. Từ (*) ⇒P + Q ⊃ P + ⊥P . Vì P không suy biến nên ta có ∈x PI ⊥P ⇒ ∈x ⊥P ⇒ ⊥x y , ∀ ∈y P ⇒ µ ( ,x y ) = 0 ⇒ x 0=r r ⇒ PI ⊥P = (O ) . Mặt khác: dimP + dim ⊥P = n ⇒P + ⊥P = knΕ ⇒ knΕ ⊂P + Q. Ta lại có: P+Q⊂ knΕ . Do đó P+Q = knΕ ⇒ dim(P + Q ) = dim knΕ ⇒ dim knΕ = dimP + dimQ – dim (PIQ ) = dimP + dimQ (1’) Ta có: P + ⊥P = knΕ và PI ⊥P = (O ) Nêndim knE =dim(P+ ⊥P ) = dimP+dim ⊥P –dim(PI ⊥P )=dimP+dim ⊥P (2) Từ (1’) và (2’) ⇒dimQ = dim ⊥P (**). Từ (*) và (**) ta suy ra: Q = ⊥P Mặt khác: P bù ⊥ ⊥P ⇒ P bù ⊥Q . Ngược lại ta có: P bù ⊥Q thì PIQ = (O ) và ⊥P = Q. Tương tự: ⊥Q = P. Do đó: Từ P⊥Q ⇒ ⊥P ⊥ ⊥Q ⇒ P đối ⊥Q và PIQ = (O ) ⇒ P đối bù ⊥Q. Vậy định lý đã được chứng minh.‰ 2.4.3 . Hệ quả Tồn tại duy nhất một không gian con đối bù vuông góc với không gian đã cho của knΕ với giả thiết dạng song tuyến tính của knΕ không suy biến. 2.4.4. Định lý Trong không gian knΕ cho mục tiêu giả trực chuẩn { } n1,i0 E;E , , và mục tiêu { }' '0 j 1,nE ;E , ({ } n1,i0 E;E là mục tiêu giả trực chuẩn khi : : dim knΕ =dim(P+ ⊥P ) = dimP + dim ⊥P – dim(PI ⊥P )=dimP + dim ⊥P (2’) GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 18 0 j 0 jE' E' *E' E' = uuuuur uuuuur 1 nếu j ≤ k 0 i 0 jE' E *E' E' = uuuuur uuuuur 0 nếu i≠ j 0 j 0 jE' E' *E' E' = uuuuur uuuuur –1 nếu j > k) Gọi A là ma trận chuyển từ { } n1,i0 E;E sang { }'0 j 1,nE ;E' thế thì{ }'0 j 1,nE ;E' là mục tiêu giả trực chuẩn khi và chỉ khi A là ma trận giả trực giao, tức là A* knI A = knI , knI là ma trận giả đơn vị cấp n, chỉ số k có dạng Chứng minh Gọi i0 E'E' có tọa độ là (ai1, ai2, …, ain) đối với mục tiêu { } n1,i0 E;E . Khi đó A chính là ma trận [ aij]. Mục tiêu { }' '0 j 1,nE ;E là mục tiêu giả trực chuẩn khi 0 j 0 jE' E' *E' E' = uuuuur uuuuur 1 nếu j ≤ k 0 i 0 jE' E *E' E' = uuuuur uuuuur 0 nếu i≠ j 0 j 0 jE' E' *E' E' = uuuuur uuuuur –1 nếu j > k Ta có k0 1 jkj0 EEaE'E' ∑ = = n k h0 1 jhj0 EEaE'E' ∑ = = n h Vì 0 j 0 jE' E' *E' E' i ijε δ= uuuuur uuuuur (với iε = 1 nếu i ≤ k, iε = –1 nếu i > k) k ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ kn − ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ dòng dòng 1 0 . . 0 . 1 0 . . . 0 . 0 . . . . . . . 1 0 . . . 0 0 1 0 . . 0 . 0 . . . . . . 0 0 0 0 . . 0 1 k nI ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 19 Nên suy ra: ik jh 0 k 0 h i ik jh i , 1 1 a a E E *E E a a n n ij ij h k k ε δ ε δ = = = ⇔ =∑ ∑uuuuur uuuuur ⇔ A* knI A = knI . Tức A là ma trận giả trực giao. Với ijδ : các ký hiệu kronecker ⎢⎢⎣ ⎡ = = 1δ 0δ ij ij 2.5 . Modul của vectơ – độ dài đoạn thẳng 2.5.1 . Biểu thức tọa độ của tích vô hướng Giả sử trong knΕ đã chọn một mục tiêu trực chuẩn thỏa điều kiện (1). Nếu u và v là hai vectơ có tọa độ (u 1, u2,…, un) và (v1,v2,…, vn ) thì rõ ràng là tích vô hướng u * v cho bởi công thức: u* v = ∑ ∑ = += −k 1i n 1ki iiii vuvu (2) Đặc biệt u * u =∑ ∑ = += −k 1i n 1ki 2 i 2 i uu (3) Như vậy tích vô huớng u * u có thể là một số dương, số âm hoặc bằng 0. 2.5.2 . Modul của vectơ Ta định nghĩa modul của u là số | u | sao cho: | u | = u*u , nếu u * u > 0 | u | = i )u*u(− , nếu u * u < 0 .(trong đó i là đơn vị ảo) (4) Trong cả hai trường hợp ta đều ký hiệu | u | = u*u Như vậy modul của một vectơ có thể là một số thực dương, bằng 0, hoặc một số thuần ảo. 2.5.3 . Độ dài đoạn thẳng Trong knΕ , ta chọn một mục tiêu giả trực chuẩn { iEE ;0 } và giả sử A, B đối với mục tiêu đó có toạ độ lần lượt là ( ix ), ( iy ). Khi đó vectơ ABcó toạ độ là ( iy – ix ). Nên độ dài của một đoạn thẳng hay khoảng cách giữa hai điểm A, B được định nghĩa bằng | AB | và ký hiệu d(A,B). d(A,B) = | AB |= ( )2iin 1i i 2 xyAB −ε= ∑ = nếu i≠ j nếu i=j GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 20 Với 1=iε nếu i k≤ 1−=iε nếu ki > Bởi vậy độ dài đoạn thẳng có thể là một số thực dương, bằng 0, hoặc một số thuần ảo. 2.5.4. Một số khái niệm khác • Hai vectơ u và v vuông góc nhau nếu tích vô hướng u * vr = 0. Ta thấy rằng có những vectơ khác θ mà lại vuông góc với chính nó. Những vectơ như vậy gọi là vectơ đẳng hướng. Ví dụ: ( ) ( ) ( ) ( )1 1,0,.....,0 0,0,.....,1 1,0,....,0,1 0,0,....,0nu e e= + = + = ≠rr r Nhưng ( ) ( ) 01....011,0,...,0,1 222 =−++==ur Một vectơ được gọi là đẳng hướng nếu: 0a*a,0a =≠ rrrr • Một đường thẳng gọi là đường thẳng đẳng hướng nếu phương của nó sinh ra bởi vectơ đẳng hướng.(Những vectơ 0a ≠r sao cho 0a =r ) • Tập hợp tất cả các đường thẳng đẳng hướng cùng đi qua một điểm gọi là nón đẳng hướng. • Góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ 0 rr ≠a và 0rr ≠b . Số ϕ xác định bởi công thức cos b.a b*a rr rr =ϕ sẽ gọi là số đo góc của hai vectơ ar và br (cosϕ được định nghĩa một cách giải tích là tổng của cấp số: (1 ......) !6!4!2 642 +−+− ϕϕϕ Ta có các trường hợp sau: 1) –1 1cos ≤≤ ϕ 2) cos 1ϕ 〉 lúc đó ta có thể viết: θθϕ ich coscos == . Do đó: θϕ i= (θ thực) Vậy trong trường hợp này ϕ là thuần ảo mặc dù ar và br đều thực 3) 1cos −<ϕ lúc này ta có thể viết: ( )θπθθϕ iich −=−=−= coscoscos Do đó: θπϕ i−= (θ thực) 4) ϕcos thuần ảo lúc này ta có thể viết: GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 21 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −==−= θπθθϕ iiish 2 cossincos Do đó: θπϕ i−= 2 (θ thực) Tóm lại: trong không gian giả Euclide, ngoài các góc có số đo thực còn có các góc (của những vectơ thực) có số đo thuần ảo hay có số đo phức với phần thực là π hoặc 2 π Nhận xét Trong không gian giả Euclide ta có thể đưa ra những khái niệm tương tự trong không gian Euclide như: các phẳng vuông góc, phép dời, phép đồng dạng, siêu cầu, …. Đặc biệt có thể chứng minh rằng, các phép dời trong knΕ , cũng như các phép đồng dạng lập thành một nhóm. Hình học giả Euclide được định nghĩa là hình học của nhóm dời (hay nhóm đồng dạng) của không gian knΕ . 2.6 . Định nghĩa Ánh xạ f: knΕ → knΕ của các không gian giả Euclide knΕ và knΕ gọi là ánh xạ đẳng cự nếu f là ánh xạ afin mà ánh xạ tuyến tính liên kết : f : knΕ → knΕ là ánh xạ tuyến tính trực giao của knΕ và knΕ . 2.6.1 . Định lý Ánh xạ f: knΕ → knΕ giữa các không gian giả Euclide knΕ và knΕ . f là ánh xạ đẳng cự khi và chỉ khi f bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Chứng minh Giả sử f: knΕ → knΕ là ánh xạ đẳng cự, với cặp điểm M, N thuộc knΕ và M’ = f(M), N’ = f(N). Khi đó d(f(M), f(N)) = f(M)f(N) = )MN(f = | MN | = d(M, N) hay d(M’, N’) = d(M, N). Ngược lại f bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Lấy M ∈ knΕ , M’ = f(M). Xét ánh xạ liên kết f : knΕ → knΕ xác định như sau: Nếu ∈u knΕ , ta lấy điểm I ∈ knΕ sao cho uMI = và f ( u ) = I'M' với I’= f(I). Ta cần chứng minh f là ánh xạ tuyến tính trực giao. GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 22 Thật vậy, giả sử ta có thêm vectơ v ∈ knΕ , lấy điểm N∈ knΕ sao cho IN= v và f ( v ) = N'I' , trong đó N’ = f(N). Vì f bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm nên d(M, N) = d(M’, N’), suy ra 2 MN = 2 N'M' ⇒ ( IN– IM )2 = ( N'I' – M'I' )2 ⇒ IN2 + IM2 – 2 IN* IM = I’N’2 + I’M’2 – 2 N'I' * M'I' (*) Vì f bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ nên từ (*) ta có IN* IM = N'I' * M'I' hay, f ( u )* f ( v )= u * v ⇒ f bảo tồn tích vô hướng ⇒ f là ánh xạ tuyến tính trực giao và f là ánh xạ liên kết của f . Vậy f là ánh xạ đẳng cự. ˆ 2.6.2 . Mệnh đề Ánh xạ đẳng cự bảo tồn: a). Số chiều của các phẳng. b). Tính trực giao của các phẳng. c). Số đo góc. d). Tỷ số giữa hai khoảng cách. 2.6.3 . Định lý Phép afin f là ánh xạ đẳng cự khi và chỉ khi ma trận của nó đối với mục tiêu giả trực chuẩn là ma trận giả trực giao chỉ số k.] Chứng minh Trong knΕ chọn mục tiêu giả trực chuẩn {S0; e } và xét phép biến đổi afin f của knΕ có biểu thức tọa độ (đối với mục tiêu đó) là: X’ = A.X +b (trong đó A là ma trận vuông cấp n không suy biến X, X’ là ma trận cột tọa độ của điểm và tạo ảnh của điểm đó, b là ma trận cột tọa độ điểm f(S0)). Khi đó ánh xạ tuyến tính f liên kết với f sẽ có biểu thức tọa độ: X’ = A.X (đối với cơ sở giả trực chuẩn ở trên). Phép afin f là phép đẳng cự khi và chỉ khi f biến mỗi vectơ X thành 'X sao cho || X || = || 'X || ⇔ (X)I(X) kn* = )(X'I)(X' kn* ⇔ * knX I X = )(X'I)(X' kn* = (AX)I(AX) kn* ⇔ XIX kn* = AXIAX kn** ⇔ knI = AIA kn* GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 23 ⇔ A là ma trận giả trực giao. Định lý đã được chứng minh.‰ Mọi ánh xạ đẳng cự là một đơn ánh và tích những ánh xạ đẳng cự là ánh xạ đẳng cự nên ánh xạ đẳng cự từ một không gian giả Euclide đến chính nó là một song ánh và ánh xạ ngược cũng là một ánh xạ đẳng cự, nó được gọi là một biến đổi đẳng cự của không gian đó. Như vậy ta có tập hợp các phép biến đổi đẳng cự của không gian giả Euclide lập thành một nhóm con của nhóm biến đổi afin của không gian giả Euclide. 2.7 . Mô hình xạ ảnh của không gian giả knΕ 2.7.1 . Xây dựng mô hình Trong không gian xạ ảnh Pn ta chọn một siêu phẳng Pn–1 là siêu phẳng vô tận và gọi An là không gian afin tương ứng. Ta làm cho An trở thành một không gian giả Euclide knΕ bằng cách xác định một tích vô hướng thỏa mãn các tiên đề (E*1,..., E*4). Vậy ta được một mô hình knΕ gọi là mô hình xạ ảnh của không gian giả Euclide knΕ . Gọi { } n1,i1n E;A + là một mục tiêu trực chuẩn của knΕ sinh ra bởi mục tiêu xạ ảnh { } 1n1,i E;A + của Pn. Gọi T* là siêu mặt bậc hai của siêu phẳng vô tận Pn–1 có phương trình ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = =− + +== ∑∑ 0x 0xx 1n n 1kj 2 j k 1i 2 i (5) T* gọi là cái tuyệt đối của Pn . Nếu n ≥ 3 thì T* chính là mặt trái xoan hoặc là mặt kẻ (ở đây ta không xét k = n, đó là trường hợp của không gian Euclide). Nếu n = 2, T* là cặp điểm trên đường thẳng vô tận có tọa độ xạ ảnh là (1:1:0) và (1:-1:0). 2.7.2. Thể hiện khái niệm giả Euclide trên mô hình + Định lý Hai đường thẳng của knΕ vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai điểm vô tận của nó liên hợp với cái tuyệt đối T*. GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 24 + Định nghĩa siêu cầu trong không gian knΕ Trong không gian giả Euclide knΕ cho một điểm O cố định. Tập hợp tất cả các điểm X sao cho d(O, X) = R (R là số thực không âm hoặc là số thuần ảo) gọi là siêu cầu tâm O bán kính R. Trong knΕ , chọn mục tiêu giả trực chuẩn { } n1,i0 E;E . Khi đó điểm O có tọa độ là: O(a1, a2, …, an) Gọi tọa độ điểm X đối với mục tiêu đó là X = (x1, x2, …, xn). Khi đó điều kiện cần và đủ để điểm X thuộc siêu cầu tâm O, bán kính R là: d(O, X) = R ⇔ ∑ = −n 1i 2 iii )x(aε = R (trong đó iε = 1 nếu i ≤ k, iε = –1 nếu i > k) ⇔ ∑ = −n 1i 2 iii )x(aε = R 2 ⇔ ∑∑∑ === +− n 1i 2 ii n 1i iii n 1i 2 ii xεxaε2aε = R 2 ⇔ ∑∑∑ === +− n 1i 2 ii n 1i iii n 1i 2 ii aεxaε2xε – R 2 = 0 (*) (*) chính là phương trình của siêu cầu. Như vậy siêu cầu là siêu mặt bậc hai. Nhận xét Phương trình (*) có hai đặc điểm • Các hệ số 2ix đều bằng 1 hoặc – 1 • Các hệ số ji xx đều bằng 0 với i ≠ j Như vậy một siêu mặt bậc hai trong trường hợp nào sẽ trở thành siêu cầu . Giả sử S là siêu mặt bậc hai nào đó của knΕ có phương trình đối với cơ sở giả trực chuẩn {E0; Ei} là 0aXa2XXa 0 0 n 1i i0 i n 1ji, jiij =++ ∑∑ == Bằng cách chuyển sang tọa độ xạ ảnh ta có phương trình n+1 ij i j i, j 1 a x x 0 = =∑ (**) Trong phương trình (**) nếu ija = m ijiε δ Trong đó iε = 1 nếu i ≤ k iε = –1 nếu i > k GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 25 ijδ = 1 nếu i =j ijδ = 0 nếu i ≠ j Khi đó (**) tương đương với m n n 2 i i i 0 i 0 0 i 1 i 1 ε X 2 a X a 0 = = + + =∑ ∑ Trong hệ tọa độ trực chuẩn, phương trình của siêu cầu có dạng 2 n 1kj 20 j k 1i 20 ii R)X(Xj)X(X =−−− ∑∑ +== (6) Trong đó (X01,X02, …., X0n ) là tọa độ của điểm O. Đây chính là phương trình tổng quát của siêu cầu. Vậy siêu mặt bậc hai S nếu có ija = m ijiε δ thì trở thành siêu cầu. Tương tự như trong không gian Euclide ta có định lý sau + Định lý Một siêu mặt bậc hai trong không gian giả Euclide knΕ là một siêu cầu khi và chỉ khi nó cắt siêu phẳng vô tận theo cái tuyệt đối T*. + Mệnh đề Trong không gian giả Euclide knΕ , có một và chỉ một siêu cầu qua (n+1) điểm độc lập. Chứng minh Giả sử cho siêu cầu S(O, R) và (n + 1) điểm độc lập A1, A2, …, An+1 thuộc siêu cầu S. Trong không gian giả Euclide chọn hệ mục tiêu giả trực chuẩn ε . Khi đó giả sử O có tọa độ với ε là 1n1,i )(X + , 1n1,i )(A + thuộc siêu cầu S nên ta có: d(O, Ai)= R với mọi i = 1,n 1+ Xét hệ phương trình ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ += = = )1nA d(O, )1A d(O, .............................. )3A d(O, )1A d(O, )2A d(O, )1A d(O, ( I ) Do 1n1,i )(A + độc lập nên hệ ( I ) là hệ phương trình Cramer. Do đó hệ ( I ) có nghiệm và duy nhất. Từ đó ta tìm được R = d( O, A1).Vậy ta có điều phải chứng minh‰. GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 26 Miền trong (miền ngoài) xác định bởi siêu cầu là tập hợp điểm M thuộc knΕ mà d(O, M) R). + Mệnh đề Đoạn thẳng nối một điểm thuộc miền trong và một điểm thuộc miền ngoài sẽ cắt siêu cầu tại một điểm. Chứng minh Gọi siêu cầu là S(O, R), P là một điểm thuộc miền trong của S(O, R) ⇒ OH tOP (1-t) OQ= +uuur uuur uuur (0 1t ≤≤ ) ⇒ 2 2OH [tOP (1-t) OQ]= +uuur uuur uuur ⇒ 2 2 22 2OH t OP (1-t) OQ 2t(1-t)OP *OQ= + +uuur uuur uuur uuur uuur ⇒ 2 2 2 2 2 2 2d (O,H)- R t d (O,P) (1-t) d (O,Q) 2t(t 1) OP *OQ R= + + − −uuur uuur Xét tam thức bậc hai: f(t) – R2 Trong đó: f(t) 2 2 2 2t d (O,P) (1-t) d (O,Q) 2t(t 1) OP *OQ= + + − uuur uuur Ta có: f(0) – R2 = d2(O, Q) – R2 > 0 f(1) – R2 = d2(O, P) – R2 < 0. Do đó f(0).f(1) < 0⇒ tồn tại t ∈ (0, 1) sao cho f(t) – R2 = 0 Hay tồn tại t ∈(0, 1) sao cho d2(O, H) – R2 = 0 ⇔ d2(O, H) = R2 ⇔ H thuộc siêu cầu S(O, R). Vậy PQ cắt siêu cầu tại một điểm. ‰ + Định lý Phép biến đổi afin f: knΕ → knΕ của không gian giả Euclide knΕ biến siêu cầu thành siêu cầu thì f là phép đồng dạng. Chứng minh Trong không gian giả Euclide knΕ cho hai siêu cầu S(O, R) và S’(O’, R’) và chọn hệ tọa độ trực chuẩn gốc là tâm O của S(O, R) (O; A1, A2, …, An) với Ai ∈S(O, R). Khi đó f(O) = O’, f(Ai) = Ai’. Vì Ai ∈S(O, R) ⇒ d(O, Ai) = R không đổi A’i ∈ S’(O’, R’) ⇒d(O’, A’i) = R’ không đổi. Do đó ta có: d(O’, Ai’) = R R' d(O, Ai). GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 27 Đặt k = R R' 0≠ ⇒ kd(O’, A’i) = d(O, Ai) ⇒ f là phép đồng dạng ‰ 2.8 . Phép đồng dạng trong không gian knΕ – Hình học giả Euclide Ta ký hiệu Kn là nhóm các phép biến đổi xạ ảnh của không gian Pn và khi đó hình học xạ ảnh là hình học của nhóm Kn. Nếu trong Pn ta chọn siêu phẳng Pn–1 làm siêu phẳng vô tận thì tập hợp các phép biến đổi xạ ảnh bảo tồn Pn–1 làm thành một nhóm con của Kn. Nhóm này đẳng cấu với nhóm An của tất cả các phép afin của không gian afin An = Pn\Pn–1 . Ta gọi knAˆ là tập tất cả các phép biến đổi xạ ảnh của Pn giữ nguyên Pn–1 và giữ nguyên cái tuyệt đối T* thì knAˆ là một nhóm con của nhóm xạ ảnh Kn. Mỗi phép biến đổi của nhóm knAˆ , nếu xem như tác dụng lên không gian knΕ sẽ gọi là phép đồng dạng của knΕ Hình học của nhóm knAˆ gọi là hình học giả Euclide n – chiều chỉ số k. 2.8.1. Phương trình của phép đồng dạng – phép dời trong knΕ Giả sử ta có một phép afin có phương trình đối với mục tiêu trực chuẩn trong knΕ là n i ij i n 1 j 1 X' b b , i 1,njX += = + =∑ . (7) Ta tìm điều kiện cần và đủ để (7) là một phép đồng dạng của knΕ . Ta có phép afin (7) được sinh ra bởi phép biến đổi xạ ảnh sau: n+1 i ij j j 1 n 1 n 1 x' b x , i 1,n x' x = + + ⎧ = =∑⎪⎨⎪ =⎩ (8) Đến lượt (8) lại sinh ra trong siêu phẳng vô tận phép biến đổi xạ ảnh: [x’] = B[x] hay [x] = B–1[x’] (9) trong đó [x] và [ x’] là các ma trận: và [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = nx x x x ' '2 1' ' M . ijB b⎡ ⎤= ⎣ ⎦ [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = nx x x x M 2 1 GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 28 Phương trình của cái tuyệt đối trong Pn–1 có thể viết được dưới dạng: [x]* Ik [x] = 0 (10) Trong đó: Như vậy, phép biến đổi (9) sẽ biến cái tuyệt đối (10) thành siêu mặt có phương trình: [x’]* (B*)–1 Ik B–1[x’] = 0. (11) Muốn cái tuyệt đối T* không thay đổi, điều kiện cần và đủ là phương trình (10) trùng với phương trình (11) hay là: (B*)–1 Ik B–1 = λ Ik với λ ≠ 0. (12) Chú ý rằng (Ik)–1 = Ik nên điều kiện (12) tương đương với B.Ik..B* = λ Ik (13) Từ (13) ta suy ra (det B)2. det Ik = λ .det Ik hay λ = (det B)2. Vậy nếu ta đặt B = λ A , thì A phải thỏa mãn điều kiện: A.Ik.A* = Ik (14) Ma trận A thỏa mãn điều kiện (14) gọi là ma trận k – trực giao. Như vậy ta có định lý sau đây: + Định lý Muốn cho phép biến đổi afin (7) là phép đồng dạng điều kiện cần và đủ là B = mA k ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ kn − ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ dòng dòng ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 10..0000 .. .... 0. 0..010 0...01. .. ... .0. 0...01. 0..01 kI GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 29 Trong đó m là một số dương, còn A là ma trận k – trực giao, số m gọi là tỉ số đồng dạng. Nếu m = 1, phép đồng dạng gọi là phép dời. Cố nhiên tập hợp các phép dời làm thành một nhóm con của nhóm knAˆ . + Định lý Nếu u , v là hai vectơ bất kỳ, và 'u , 'v là ảnh của chúng qua nền của phép đồng dạng tỷ số m thì: 'u * 'v = m2( u * v ). Chứng minh Giả sử ma trận của phép đồng dạng là mA, trong đó A là ma trận k – trực giao. Ta có: [u’] = mA[u], và [v’] = mA[v]. Do đó: 'u * 'v = [u’]*.Ik.[v’] = m[u]*A*.Ik. mA[v] = m2 [u]*A*.Ik.A[v]. Nhưng vì: A*. Ik. A = A. Ik.A* = Ik. Nên 'u * 'v = m2 [u]*.Ik.[v] = m2( u * v ). Vậy định lý được chứng minh. ˆ + Hệ quả (1) Phép đồng dạng tỷ số m biến một đoạn thẳng AB thành một đoạn thẳng A’B’, sao cho d(A’,B’) = md(A,B). (2) Phép đồng dạng bất kỳ không làm thay đổi tỷ số độ dài của hai đoạn thẳng tùy ý. Vậy tỷ số độ dài của hai đoạn thẳng là một đối tượng nghiên cứu của hình học giả Euclide. (3) Phép dời hình không làm thay đổi độ dài đoạn thẳng. 2.8.2. Phép dời trong không gian giả Euclide 12Ε Trước hết ta hãy xét ma trận dạng 1 – trực giao. Giả sử ta có ma trận A = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ δγ βα Ta có A là ma trận 1 – trực giao khi và chỉ khi ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ δγ βα ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −10 01 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ δβ γα = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −10 01 Từ đó suy ra ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −=− =− =− 12δ2γ 0δβγα 12β2α (15) GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 30 Phương trình thứ hai của (15) có thể viết dưới dạng: λαδλβ,γ == (trong đó λ là một ẩn số mới). (16) Thay các biểu thức của (16) vào phương trình cuối của (15) ta được (17) Như vậy λ= 1± 2 2 2 2 2 2γ δ λ (β α ) λ 1− = − = = − Bây giờ dùng phương trình 12β2α =− ta thấy rằng nghiệm tổng quát của nó có dạng shθβchθα ±=±= (18) Kết hợp (16) và (18) với chú ý λ= 1± . Ta thấy rằng ma trận A sẽ có các dạng sau đây (a) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ chθshθ shθchθ (b) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ chθ-shθ- shθ-chθ- (c) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ chθ-shθ- shθchθ (d) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ chθshθ shθ-chθ- (a’) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ++= ++= bchθ2Xshθ1X ' 2X ashθ2Xchθ1X ' 1X (b’) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +−−= +−−= bchθ2Xshθ1X ' 2X ashθ2Xchθ1X ' 1X (c’) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +−−= ++= bchθ2Xshθ1X ' 2X ashθ2Xchθ1X ' 1X (d’) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ++= +−−= bchθ2Xshθ1X ' 2X ashθ2Xchθ1X ' 1X Các phép dời loại (a’), nếu a = b = 0 sẽ gọi là phép quay hyperbolic với góc quay là θ .Vì vậy các phép dời loại (a’) là tích của một phép quay hyperbolic và một phép tịnh tiến. Phép quay hyperbolic biến một đường tròn (tức là các đường bậc hai dạng 2 2 21 2X X R− = ± ) thành chính nó và biến hai đường thẳng đẳng hướng X1 = X2 và X1= –X2 thành chính nó. Nếu a = b = 0 thì phép dời loại (b’) là tích của phép quay hyperbol với phép đối xứng qua gốc tọa độ. GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 31 Nếu a = b = 0 thì phép dời loại (c’) (tương ứng loại (d’)) là phép đối xứng qua đường thẳng 0XX 2 θth 12 =+ (tương ứng 0X2 θthX 12 =+ ). 3. Hình học Lobachevsky 3.1. Định nghĩa không gian Lobachevsky và hình học Lobachevsky Trong không gian xạ ảnh Pn với mục tiêu đã chọn, ta lấy một siêu mặt trái xoan có phương trình: 0xx...xx 2 1n 2 n 2 2 2 1 =−+++ + (1) và nó gọi là cái tuyệt đối T. Ta ký hiệu Hn, là tập hợp các điểm nằm trong cái tuyệt đối T. Tập hợp Hn sẽ gọi là không gian Lobachevsky n – chiều. Mỗi tập hợp Hn ∩Pr, trong đó Pr là r – phẳng xạ ảnh của Pn, sẽ gọi là r – phẳng của Hn.. Gọi L là nhóm tất cả các phép biến đổi xạ ảnh bảo tồn cái tuyệt đối T. Như vậy L là nhóm con của nhóm các phép biến đổi xạ ảnh K. Mỗi phép biến đổi của nhóm L cũng biến Hn thành chính nó. Mỗi phép biến đổi của L được gọi là một phép dời của Hn. Hình học của nhóm L trên Hn gọi là hình học Lobachevsky n – chiều. Tất nhiên mỗi phép biến đổi của nhóm L cũng biến r – phẳng của Hn thành r – phẳng của Hn, cho nên r – phẳng là đối tượng nghiên cứu của hình học Lobachevsky. 3.2. Một