Khóa luận Thiết kế một số đề kiểm tra trắc nghiệm khách quan đại số và giải tích 11

ra được một phạm vi rộng về kiến thức của học sinh so với các loại trắc nghiệm khác. - Đảm bảo tính khách quan trong khi chấm điểm. - Xác suất chọn phương án đúng do ngẫu nhiên không cao. - Có thể phân tích được tính chất của mỗi câu hỏi, xác định được những câu không có giá trị đối với các mục tiêu cần đánh giá để chỉnh sửa. Nhược điểm - Để soạn một câu hỏi hay và đúng chuẩn rất khó và tốn nhiều thời gian. - Khó đo được khả năng trình bày suy nghĩ, cách diễn đạt, tư duy logic của học sinh. - Nếu không có hình thức kiểm tra thích hợp thì học sinh rất dễ nhìn bài nhau. Phạm vi sử dụng Có thể sử dụng cho mọi loại hình kiểm tra đánh giá, đặc biệt là rất thích hợp để đánh giá phân loại học sinh. Lưu ý khi soạn câu hỏi TNKQ nhiều lựa chọn Đối với phần dẫn - Phần dẫn phải có nội dung rõ ràng, ngắn gọn thể hiện được vấn đề gì muốn hỏi và không nên đưa vào nhiều ý trong một câu dẫn hoặc trong các lựa chọn vì điều này sẽ khiến học sinh khó lựa chọn được đáp án. - Nên hạn chế dùng những câu dẫn dạng phủ định, nếu dùng thì phải gạch dưới hoặc in đậm chữ “không” để nhắc nhở học sinh thận trọng khi trả lời. - Đảm bảo cho câu dẫn nối liền với mọi phương án chọn theo cùng một cấu trúc ngữ pháp. Đối với phần lựa chọn - Mỗi câu chỉ nên có từ bốn đến năm phương án lựa chọn trong đó chỉ có duy nhất một phương án đúng. Các phương án nhiễu phải được thiết kế sao cho trông có vẻ hợp lý, có sức thu hút đối với những học sinh không hiểu kĩ bài. Do đó để xây dựng được các phương án nhiễu thật tốt chúng ta nên dựa vào các sai lầm phổ biến của học sinh hay các trường hợp khái quát hoá không đầy đủ. Nếu có quá ít học sinh chọn phương án nhiễu hoặc học sinh dễ dàng nhận ra thì phương án nhiễu đó không đáp ứng được yêu cầu. - Chỉ có duy nhất một đáp án đúng. - Các câu lựa chọn phải được viết theo cùng một lối hành văn, cùng một cấu trúc, chỉ khác nhau về phần nội dung. - Nên sắp xếp các phương án đúng theo một thứ tự ngẫu nhiên, tránh một vị trí ưu tiên nào đó. - Đối với các câu hỏi có dùng hình vẽ, nên tránh sử dụng các kí hiệu đã dùng trong hình vẽ, hình vẽ không nên quá phức tạp làm rối học sinh. - Tránh lạm dụng các phương án “tất cả đều đúng”, “tất cả đều sai” vì học sinh dễ sử dụng phương pháp loại suy. Đối với phương án “tất cả đều sai” Chỉ dùng khi các phương án trả lời có tính đúng sai một cách chắc chắn. Thích hợp sử dụng đối với những câu hỏi đòi hỏi sự tính toán với đáp số cho sẵn hoặc số sai lầm của học sinh quá ít. Đối với phương án “tất cả đều đúng” Phương án này không nên sử dụng vì nếu phương án “tất cả đều đúng” là phương án đúng thì ba phương án trên cũng đúng. Như vậy ta có đến bốn phương án đúng. 2.2.2. Quy hoạch một bài trắc nghiệm khách quan Quy hoạch một bài TNKQ là dự kiến phân bố các phần tử của bài trắc nghiệm một cách thích hợp theo mục tiêu và nội dung của môn học sao cho có thể đo lường chính xác nhất khả năng ta muốn đo lường. Để quy hoạch có hiệu quả, người soạn trắc nghiệm phải đưa ra một số quyết định trước khi đặt bút viết các câu hỏi trắc nghiệm. Cần khảo sát những gì ở học sinh? Đặt tầm quan trọng vào những phần nào, mục tiêu nào của môn học? Cần phải trình bày các câu hỏi dưới hình thức nào cho có hiệu quả nhất? Mức độ dễ, khó của bài trắc nghiệm như thế nào? Nếu không có dự kiến về mục đích, nội dung, hình thức của một bài trắc nghiệm khách quan, chúng ta có thể mắc phải sai lầm là đặt nặng một phần nào đó mà coi nhẹ các phần khác, số lượng các câu hỏi phân bố không phù hợp, không bao quát hết kiến thức cần đánh giá,…sẽ làm hạ thấp giá trị đánh giá của bài trắc nghiệm. Xác định mục đích của bài TNKQ Một bài trắc nghiệm có thể có nhiều mục đích khác nhau nhưng bài trắc nghiệm có hiệu quả nhất khi nó được soạn nhằm phục vụ một mục đích chuyên biệt nào đó. Nếu bài trắc nghiệm là bài kiểm tra nhằm cho điểm và xếp loại học sinh thì các câu hỏi phải được soạn thảo sao cho điểm số được phân tán rộng, như vậy mới phân biệt được học sinh kém, học sinh giỏi. Nhưng nếu bài trắc nghiệm là một bài kiểm tra thông thường nhằm kiểm tra những hiểu biết tối thiểu về một phần nào đó của chương trình thì câu hỏi phải làm sao cho hầu hết học sinh đạt được điểm số tối đa nếu thực sự đã tiếp thu bài học, nhất là về căn bản, như vậy mới chứng tỏ được sự thành công của giáo viên trong việc giảng dạy. Giáo viên cũng có thể soạn những câu hỏi để khảo sát những mặt mạnh, mặt yếu của học sinh. Đối với loại câu hỏi này đòi hỏi phải được soạn sao cho học sinh phạm tất cả mọi sai lầm có thể có nếu chưa nắm kĩ bài. Giáo viên có thể sử dụng những câu hỏi này để củng cố kiến thức cho học sinh sau mỗi giờ học, đồng thời cũng giúp giáo viên nắm được khả năng lĩnh hội tri thức của học sinh. Tóm lại, TNKQ có thể phục vụ nhiều mục đích khác nhau, muốn biên soạn được một bài trắc nghiệm có giá trị thì người giáo viên phải biết rõ mục đích của mình để biên soạn cho phù hợp. Phân tích nội dung môn học: gồm các bước sau Phân biệt loại học tập Đó là những khái niệm, công thức học sinh phải ghi nhớ, những tính chất phức tạp cần hiểu và chứng minh hoặc những kỹ năng kiến thức mà học sinh phải biết cách vận dụng. Giáo viên phải phân loại các kiến thức, kỹ năng và chọn ra những kiến thức, kỹ năng quan trọng để khảo sát trong câu trắc nghiệm. Chọn ra một số kiến thức kỹ năng đòi hỏi học sinh phải ứng dụng điều đã học để giải quyết. Thiết lập dàn bài trắc nghiệm Để thiết lập dàn bài trắc nghiệm ta sẽ căn cứ vào trọng số thể hiện ở từng nội dung, từng mức độ cần đạt được mà phân chia số lượng câu hỏi và mức độ câu hỏi cho phù hợp với mục tiêu. Số câu hỏi và hình thức câu hỏi trong bài trắc nghiệm khách quan: phụ thuộc vào các yếu tố - Thời gian dành cho bài TNKQ. - Mục đích giảng dạy, lượng kiến thức và mức độ quan trọng của từng nội dung. - Thời gian mà ta dự kiến học sinh trả lời được đối với mỗi câu hỏi. Độ khó của câu hỏi TNKQ Các câu hỏi trắc nghiệm khách quan phải được lựa chọn sao cho điểm trung bình xấp xĩ 50% số câu hỏi, độ khó của câu hỏi biến thiên từ 15% đến 85% tuỳ thuộc mục đích của ta là chọn học sinh giỏi hay chỉ là kiểm tra bình thường. 2.2.3. Quy trình soạn thảo một đề kiểm tra TNKQ môn toán Xác định mục đích, yêu cầu đề kiểm tra Đề kiểm tra là phương tiện để đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi học xong một chủ đề, một chương, một học kỳ hay cả năm học. Xác định mục tiêu dạy học Để xác định nội dung đề kiểm tra, giáo viên cần liệt kê chi tiết các mục tiêu dạy học về kiến thức, kỹ năng, quá trình tư duy và thái độ. Kiến thức và kỹ năng lại được phân ra thành các mức độ: Nhận biết: Là khả năng ghi nhớ các định nghĩa, khái niệm, các định lí, hệ quả, tính chất,… dưới hình thức mà học sinh được học. Thông hiểu: Là khả năng nắm được ý nghĩa của tài liệu như chuyển đổi dữ liệu từ dạng này sang dạng khác, từ mức độ trừu tượng này sang mức độ trừu tượng khác. Ở mức độ này, chỉ đòi hỏi học sinh có thể sử dụng các kiến thức học được mà không cần liên hệ với kiến thức khác, hay nhận ra các kiến thức đó qua những áp dụng của nó. Mức độ nhận thức này cao hơn so với việc ghi nhớ. Vận dụng: Là khả năng ứng dụng các kiến thức, kỹ năng đã biết vào việc giải quyết một vấn đề mới. Khả năng bậc cao: Đây là một phạm trù rất rộng và bao gồm các phạm trù sau: Phân tích: Là khả năng phân chia một vấn đề hay bài toán thành các bộ phận, các bước khác nhau trong quá trình tư duy. Phân tích cũng có thể được hiểu là khả năng phân biệt các sự kiện trong giả thiết, phát hiện ra tính hợp lý và đầy đủ của giả thiết. Tổng hợp: Là khả năng kết hợp các giả thiết, bộ phận của vấn đề để đi đến một kết luận, tính chất, hay một phương pháp mà trước đó chưa thấy rõ. Đánh giá: Là khả năng đưa ra những nhận định về giá trị của một ý tưởng, thông tin, một phương pháp, một cách giải quyết, … sau khi đã phân tích bài toán. Thiết lập ma trận đặc trưng Ma trận đặc trưng là một bảng gồm hai chiều, một chiều là nội dung kiến thức chính cần kiểm tra, chiều còn lại là các mức độ nhận thức của học sinh. Trong mỗi ô của ma trận là số lượng và hình thức của câu hỏi. Quyết định câu hỏi cho từng mục tiêu tuỳ thuộc vào mức độ quan trọng của mục tiêu đó, thời gian làm bài và trọng số điểm quy định cho từng nội dung kiến thức, từng mức độ nhận thức. Các bước thiết lập ma trận đặc trưng: - Xác định trọng số cho từng nội dung chính: Trọng số này phụ thuộc vào tầm quan trọng của nội dung. - Xác định trọng số cho từng mức độ nhận thức: Trọng số này phụ thuộc vào nhiều yếu tố nhưng cần tập trung vào mức độ thông hiểu, vận dụng và khả năng bậc cao. - Xác định số lượng và hình thức câu hỏi. Thiết kế câu hỏi theo ma trận đặc trưng Căn cứ vào ma trận đặc trưng và các mục tiêu đã xác định, giáo viên thiết kế nội dung, hình thức, lĩnh vực kiến thức và mức độ nhận thức cần đo của học sinh qua từng câu hỏi. Xây dựng đáp án và biểu điểm Theo quy chế của Bộ GD&ĐT, thang đánh giá gồm 11 bậc 0, 1, 2, …, 10 điểm tuỳ vào hình thức của đề kiểm tra. Biểu điểm đối với hình thức TNKQ: Có hai cách: Cách 1: Điểm tối đa toàn bài là 10 chia đều cho số câu hỏi. Cách 2: Mỗi câu trả lời đúng được 1 điểm, sai được 0 điểm quy về thang điểm 10 theo công thức: Trong đó: X : Số điểm đạt được của bài. Xmax : Tổng số điểm tối đa của đề . 2.2.4. Phương pháp phân tích đánh giá bài TNKQ Thông thường giáo viên có thói quen là ra đề, kiểm tra, chấm bài, trả bài và dựa vào đó để đánh giá kết quả học tập của học sinh mà quên mất hoặc chưa quan tâm lắm đến chất lượng và hiệu quả của bài kiểm tra đó. Điều này xuất phát từ các nguyên nhân sau: - Giáo viên không hiểu được tầm quan trọng của việc đánh giá bài kiểm tra. - Giáo viên không biết các phương pháp khoa học để phân tích bài kiểm tra. - Việc phân tích bài kiểm tra đòi hỏi phải tốn nhiều thời gian và công sức. Tuy nhiên việc phân tích chất lượng của đề kiểm tra có vai trò rất quan trọng nhằm giúp giáo viên đánh giá được mức độ hiệu quả của việc dạy học để từ đó điều chỉnh hoạt động dạy học phù hợp. Đặc biệt đối với bài kiểm tra trắc nghiệm khách quan thì việc làm đó càng trở nên quan trọng và ít tốn thời gian hơn do chúng ta đã có khoa học kỹ thuật hỗ trợ. Để biết một bài kiểm tra TNKQ có đạt yêu cầu hay không chúng ta cần biết những yêu cầu đối với một bài kiểm tra TNKQ là gì? Yêu cầu của một bài kiểm tra trắc nghiệm khách quan + Ngôn ngữ sử dụng phải phù hợp với trình độ của học sinh. Câu hỏi có nội dung ngắn gọn xúc tích. + Các phương án nhiễu phải thật nhiễu, tức là các câu đều trông có vẻ hợp lý và hấp dẫn học sinh, đặc biệt là những học sinh nắm bài không vững, không sâu, không hiểu vấn đề. + Đề kiểm tra trắc nghiệm phải có tính toàn diện, phủ kín toàn bộ nội dung cần kiểm tra. + Các câu và đề kiểm tra trắc nghiệm phải có độ khó và phân tán rộng để không phải các đối tượng học sinh đều dễ dàng trả lời được tất cả. + Câu hỏi trắc nghiệm phải có độ phân hoá cao. Bài trắc nghiệm sẽ giúp chúng ta phân loại được những học sinh có học lực khác nhau trong lớp, trong trường. Phân tích: Sau khi chấm điểm một bài TNKQ, chúng ta thực hiện các bước sau để phân tích một câu hỏi TNKQ: - Sắp xếp bài kiểm tra theo thứ tự điểm từ cao đến thấp. - Theo thứ tự các bài kiểm tra ở trên tách ra thành 2 nhóm: + Các bài có số điểm cao nhất một nhóm (chiếm 27% tổng số bài). + Các bài có số điểm thấp nhất một nhóm (chiếm 27% tổng số bài). Nếu số lượng bài nhiều quá, ta có thể lấy 27% của mỗi nhóm. Nếu số lượng bài ít quá thì ta có thể chia toàn lớp thành hai nhóm trên và dưới. - Đối với mỗi câu hỏi ta đếm số học sinh chọn từng phương án trả lời (đối với câu hỏi dạng đúng sai ta chỉ cần đếm số học sinh chọn câu trả lời đúng). - Lập bảng thống kê: Câu số Các phương án lựa chọn Bỏ trống A B C D E Nhóm trên Nhóm dưới Độ khó Độ phân biệt P/án chỉnh sửa Độ khó của một câu TNKQ Chỉ số độ khó của câu hỏi là phần trăm của học sinh chọn đúng câu trả lời. Công thức để tính độ khó: Số HS trả lời đúng Tổng số HS làm bài thi P = Trong cách phân tích của ta, số học sinh trả lời đúng, tổng số học sinh làm bài thi chỉ xét trong phạm vi hai nhóm cao và thấp ở trên. Chú ý: Độ khó càng lớn thì câu hỏi càng dễ. Nhận xét + Đối với mỗi câu hỏi TNKQ nhiều lựa chọn thì độ khó chấp nhận được là: . + Với câu hỏi dạng điền khuyết: . + Với câu hỏi dạng đúng sai: . Độ khó trung bình của một câu hỏi TNKQ Mỗi câu hỏi TNKQ có n phương án lựa chọn, khi đó xác suất làm đúng câu đó là . Lúc đó độ khó trung bình được tính theo công thức: Độ khó của một bài kiểm tra TNKQ Để xét độ khó của một bài trắc nghiệm ta thường đối chiếu điểm trung bình p của bài với điểm trung bình lý tưởng po của nó. Trong đó điểm trung bình lý tưởng po của bài kiểm tra là trung bình của điểm tối đa có thể và điểm mà một học sinh không hiểu gì có thể đạt được do chọn ngẫu nhiên. Một bài kiểm tra có m câu, mỗi câu có n phương án. Khi đó: Điểm tối đa + m. 2 Po = Nếu po thuộc vào giữa khoảng phân bố điểm mà ta thu được qua bài kiểm tra thì bài kiểm tra đó vừa sức học sinh còn ngược lại nếu po nằm ở phía trên hoặc phía dưới khoảng phân bố điểm thì bài kiểm tra đó khó hoặc dễ hơn so với đối tượng được kiểm tra. Độ phân biệt của các phương án trong câu hỏi TNKQ nhiều lựa chọn Độ phân biệt là một tiêu chí quan trọng khi biên soạn câu hỏi kiểm tra, đặc biệt là đối với loại trắc nghiệm dựa theo nhóm chuẩn vì mục đích của loại trắc nghiệm này là nhằm phân biệt rõ ràng thành tích giữa các học sinh với nhau. Do đó, độ phân biệt cần phải thể hiện rõ trong từng câu hỏi. Công thức tính độ phân biệt: Trong đó: Dt : Số học sinh chọn đúng ở nhóm trên. Dd : Số học sinh chọn đúng ở nhóm dưới. T : ½ số học sinh cả hai nhóm. Nhận xét + . + : Câu hỏi có độ phân biệt tốt. + : Câu hỏi có độ phân biệt khá tốt. + : Câu hỏi có độ phân biệt tạm được. + : Độ phân biệt kém, cần loại bỏ. Đối với phương án nhiễu Trong đó: Sd : Số học sinh chọn sai ở nhóm dưới. St : Số học sinh chọn sai ở nhóm trên. Nhận xét + . + : Câu hỏi có độ phân biệt tốt. + : Câu hỏi có độ phân biệt khá tốt. + : Độ phân biệt kém, cần loại bỏ. + Độ tin cậy của bài kiểm tra tỷ lệ thuận với độ phân hoá của nó. Chỉnh sửa các phương án trả lời ở câu hỏi nhiều lựa chọn Nguyên tắc chung - Phương án đúng phải có tương quan thuận với tiêu chí đã định, tức là số học sinh trả lời đúng ở nhóm cao phải nhiều hơn số học sinh trả lời đúng ở nhóm thấp. - Phương án nhiễu phải có tương quan nghịch với tiêu chí đã định, tức là số học sinh trả lời sai ở nhóm cao ít hơn số học sinh trả lời sai ở nhóm thấp. Đối với phương án đúng - Nếu số học sinh ở nhóm trên trả lời đúng lớn hơn số học sinh ở nhóm dưới trả lời đúng với khoảng cách khá lớn thì phương án đúng tốt không cần sửa. - Nếu số học sinh ở nhóm trên trả lời đúng gần bằng số học sinh ở nhóm dưới trả lời đúng hoặc cả hai nhóm có ít người trả lời đúng thì phương án đúng chưa đạt vì quá dễ hoặc quá khó, cần chỉnh sửa. Đối với phương án nhiễu - Nếu số học sinh nhóm trên chọn nhỏ hơn số học sinh nhóm dưới chọn thì phương án nhiễu đó chấp nhận được. - Nếu số học sinh nhóm trên chọn tương đương với số học sinh nhóm dưới chọn hoặc hai nhóm không có hoặc có ít học sinh chọn phương án nhiễu đó thì nó không đạt yêu cầu cần chỉnh sửa.  2.3.Nội dung cơ bản môn Đại Số và Giải Tích lớp 11 Chương I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1.1. Các hàm số lượng giác Tập xác định và có tập xác định D = R. có tập xác định . có tập xác định . Tính chẵn, lẻ , và là các hàm số lẻ trên tập xác định của chúng. là hàm số chẵn. Tính tuần hoàn và là các hàm số tuần hoàn có chu kì . và là các hàm số tuần hoàn có chu kì . Sự biến thiên đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng . đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng . đồng biến trên mỗi khoảng . nghịch biến trên mỗi khoảng . 1.2. Công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản hoặc . hoặc . . . 1.3. Một số phương trình lượng giác cơ bản Phương trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lượng giác - Dạng: . , (có thể thay sinbằng cos, tan hoặc cot). - Cách giải: Đặt ẩn phụ t = sin, đưa về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai theo t (chú ý điều kiện nếu có). Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Dạng: asin+ bcos = c (1) (a,b 0). - Cách giải: Chia hai vế của (1) cho . Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx - Dạng: . (1) . (2) - Cách giải: Xét cos = 0 . Xét cos0 : chia hai vế của phương trình cho đưa về phương trình . Chương II: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 1. Tổ hợp 1.1. Hai quy tắc đếm cơ bản - Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể được tiến hành theo một trong k phương án A1, A2,…, Ak. Phương án A1 có thể thực hiện bởi n1 cách, phương án A2 có thể thực hiện bởi n2 cách,…, phương án Ak có thể thực hiện bởi nk cách. Khi đó công việc đã cho có thể thực hiện bởi n1 + n2 + … + nk cách. - Quy tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A1, A2, …, Ak, công đoạn A1 có thể thực hiện theo n1 cách, công đoạn A2 có thể thực hiện theo n2 cách,…, công đoạn Ak có thể thực hiện theo nk cách. Khi đó công việc đã cho có thể thực hiện bởi n1, n2,…, nk cách. 1.2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp Hoán vị Khái niệm: Cho tập A có n () phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A (gọi tắt là hoán vị của tập A). Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là: Pn = n! = n(n-1)…1 (1) Chỉnh hợp Khái niệm: Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với . Khi lấy ra k phần tử của tập A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A). Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử () là: (2) Nhận xét: Ta có . Quy ước: 0! = 1 , . Công thức (2) đúng khi và ta có: . (3) Tổ hợp Khái niệm: Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với . Mỗi tập con của A có k phần tử gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A). Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử () là: (4) Nhận xét: Quy ước . Công thức (4) đúng khi và ta có: . Tính chất: Cho các số nguyên n và k với . Khi đó . Cho các số nguyên n và k với . Khi đó . 1.3. Công thức nhị thức Niu-tơn . 2. Xác suất 2.1. Biến cố và xác suất Phép thử: Một phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử), thường kí hiệu là T, là một thí nghiệm hay một hành động mà: - Có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau. - Kết quả của nó không dự đoán trước được. - Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó. Không gian mẫu: Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử, kí hiệu là . Biến cố: Biến cố A liên quan đến phép thử T được mô tả bởi một tập con nào đó của không gian mẫu của phép thử đó. Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi kết quả của T thuộc . Mỗi phần tử của được gọi là một kết quả thuận lợi cho A. Xác suất của biến cố: + Định nghĩa cổ điển của xác suất Giả sử phép thử T có không gian mẫu là một tập hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T và là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của A là một số, kí hiệu là P(A), được xác định bởi công thức: + Định nghĩa thống kê của xác suất - Số lần xuất hiện biến cố được gọi là tần số của A trong N lần thực hiện phép thử T. - Tỉ số giữa tần số của A với số N được gọi là tần suất của A trong N lần thực hiện phép thử T. 2.2. Các quy tắc tính xác suất * Quy tắc cộng xác suất Biến cố hợp: Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến một phép thử T. Biến cố “A hoặc B xảy ra”, kí hiệu , được gọi là hợp của hai biến cố A và B. Biến cố xung khắc: Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến một phép thử T. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra. Quy tắc cộng xác suất: Cho k biến cố A1, A2,…,Ak đôi một xung khắc. Khi đó: . Biến cố đối: Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “không xảy ra A”, kí hiệu , được gọi là biến cố đối của biến cố A. Ta có: . * Quy tắc nhân xác suất Biến cố giao: Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến một phép thử T. Biến cố “cả A và B cùng xảy ra”, kí hiệu AB, được gọi là giao của hai biến cố A và B. Biến cố độc lập: Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến một phép thử T. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố kia. Quy tắc nhân xác suất: Cho k biến cố A1, A2,…, Ak độc lập nhau. Khi đó: . 2.3. Biến ngẫu nhiên rời rạc Khái niệm: Đại lượng X được gọi là một biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó nhận giá trị là số thuộc một tập hữu hạn nào đó và giá trị đó là ngẫu nhiên, không dự đoán trước được. Phân bố xác suất + Kì vọng: Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là . Kì vọng của X, kí hiệu là E(X), là một số được tính theo công thức: ; Trong đó pi = P(X = xi), (i = 1, 2,…, n). + Phương sai: Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là . Phương sai của X, kí hiệu là V(X), là một số được tính theo công thức: ; Trong đó pi = P(X = xi) với i = 1, 2,…, n và . + Độ lệch chuẩn: Căn bậc hai số học của phương sai, kí hiệu được gọi là độ lệch chuẩn của X . Ta có: . Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN 3.1. Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương của n, ta thực hiện hai bước sau: B1: Chứng minh A(n) là một mệnh đề đúng khi n = 1. B2: Với k là một số nguyên dương tuỳ ý, xuất phát từ giả thiết A(n) là mệnh đề đúng khi n = k, chứng minh A(n) cũng là một mệnh đề đúng khi n = k+1. Nếu cần chứng minh mệnh đề A(n) đúng với mọi số tự nhiên np (pN, p>1). Khi đó ở bước 1 ta cần chứng minh A(n) là mệnh đề đúng khi n = p và ở bước 2 cần xét giả thiết quy nạp với k là số nguyên dương tuỳ ý lớn hơn hoặc bằng p. 3.2. Dãy số Định nghĩa: + Một hàm số u xác định trên tập N* các số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số). Ta có kí hiệu về hàm số u như sau: Đặt un = u(n). Ta gọi un là số hạng tổng quát (hay số hạng thứ n) của dãy số (un). + Một hàm số u xác định trên tập , với , được gọi là dãy số hữu hạn (dãy số này có m số hạng). Cách cho một dãy số + Cho bởi công thức của số hạng tổng quát. + Cho bởi công thức truy hồi. + Cho bằng cách mô tả. Dãy số tăng, giảm + Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu với mọi ta có: un < un+1. + Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu với mọi ta có: un > un+1. + Dãy số tăng và dãy số giảm được gọi chung là dãy số đơn điệu. Dãy số bị chặn + Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho , . + Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho , . + Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại hai số m và M sao cho , . 3.3. Cấp số cộng Định nghĩa: Dãy số (un) là một cấp số cộng khi và chỉ khi với mọi , . (un là số hạng thứ n). Tính chất: ; (). Số hạng tổng quát: ; . Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng: ; . ; . 3.4. Cấp số nhân Định nghĩa: Dãy số (un) là một cấp số nhân khi và chỉ khi với mọi , (un là số hạng thứ n). Tính chất: ; (). Số hạng tổng quát: ; . Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân: ; , . ; , . Chương IV: GIỚI HẠN 4.1. Dãy số có giới hạn 0 Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn 0 nếu với mỗi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Khi đó ta viết hoặc hoặc . Một số dãy số có giới hạn 0 Định lí 1: Cho hai dãy số và . Nếu với mọi n và thì . Định lí 2: Nếu thì . 4.2. Dãy số có giới hạn hữu hạn Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là số thực L nếu . Khi đó ta viết hoặc hoặc . Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn. Một số định lí Định lí 1: Giả sử . Khi đó: + và . + Nếu với mọi n thì và . Định lí 2: Giả sử , và c là một hằng số. Khi đó: , , , , ( nếu ). 4.3. Dãy số có giới hạn vô cực Dãy số có giới hạn , khi và chỉ khi mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn một số dương tuỳ ý cho trước kể từ số hạng nào đó trở đi. Định nghĩa tương tự cho . Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực Quy tắc 1 Quy tắc 2 Dấu của = L Quy tắc 3 Dấu của L , Dấu của + _ 4.4. Định nghĩa và một số định lí về giới hạn của hàm số Giới hạn của hàm số tại một điểm + Giới hạn hữu hạn: Giả sử là một khoảng chứa điểm và là một hàm số xác định trên tập hợp . Ta nói rằng hàm số có giới hạn là số thực L khi dần đến (hoặc tại điểm) nếu với mọi dãy số trong tập hợp mà , ta đều có . Khi đó ta viết hoặc khi . + Giới hạn vô cực: Được định nghĩa tương tự. Giới hạn của hàm số tại vô cực Giả sử hàm số xác định trên . Ta nói rằng khi và chỉ khi với mọi dãy số trong khoảng mà ta đều có . , , , , được định nghĩa tương tự. Một số định lí về giới hạn hữu hạn + Định lí 1: Giả sử và (, ). Khi đó: ; ; với c là hằng số. Nếu thì . + Định lí 2: Giả sử . Khi đó: