Khóa luận Tìm hiểu tổng quan về dao động tử điều hòa biến dạng q

ghĩa của các toán tử ˆ ˆ ˆ, ,N a a ta làm nhƣ sau: Xét trạng thái 0 ứng với năng lƣợng thấp nhất là : 0 1 2 E  Trạng thái tiếp theo 1 với năng lƣợng: E0 +  Ta có thể xem đây là kết quả của việc thêm một lƣợng tử năng lƣợng  vào trạng thái 0 . Tiếp theo 2 ứng với năng lƣợng E1 + = E0 +2  cũng có thể xem nhƣ là kết quả của việc thêm một lƣợng tử năng lƣợng vào trạng thái 1 hay có nghĩa là thêm hai lƣợng tử năng lƣợng vào trạng thái 0 .Nếu ta lấy gốc tính năng lƣợng là E0, thì có thể coi trạng thái 0 là trạng thái không chứa lƣợng tử nào. Thật vậy 0 đƣợc gọi là trạng thái chân không, 1 là trạng thái chứa 1 lƣợng tử, 2 là trạng thái chứa 2 lƣợng tử, n là trạng thái chứa n 13 lƣợng tử. Toán tử Nˆ với giá trị nguyên không âm, cách nhau 1 đơn vị nên đƣợc đoán nhận là toán tử số lƣợng tử năng lƣợng. Toán tử â khi tác dụng lên n cho 1 trạng thái tỉ lệ với 1n nên đƣợc đoán nhận là toán tử hủy lƣợng tử năng lƣợng. Toán tử â+ khi tác dụng lên n cho 1 trạng thái tỉ lệ với 1n nên đƣợc đoán nhận là toán tử sinh lƣợng tử năng lƣợng. Nếu cho rằng lƣợng tử năng lƣợng là một hạt thì toán tử Nˆ nhất định là toán tử số hạt, â nhất định là toán tử hủy hạt, â+ nhất định là toán tử sinh hạt. Do đó toán tử n ứng với năng lƣợng sau: . n E n  sẽ là toán tử chứa n hạt. Trên đây là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa. Trong cơ học lƣợng tử , trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa tuyến tính đƣợc coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lƣợng bằng  . Khái niệm hạt ở đây thực ra là các giả hạt hay gọi là các “chuẩn hạt”. Chúng ta sẽ tính các hệ số tỉ lệ 𝛼n , 𝛽n , 𝛾n trong các hệ thức: ˆ 1 , n a n a n  ˆ 1 , n a n n   ˆ 0 .n n n a  Để các véctơ là trực giao và chuẩn hóa thì : ,m n m n  = 1 0 khi    . m n m n   + Tìm 𝛼n : Ta có: , ˆ ˆ . n n n N n n N n n n n    Vì m= n nên 𝛿m,n = 1 14 => ˆn n N n = ˆ ˆn a a n . Mặt khác: *ˆ 1 n n a n   Cho nên: * 2 21 1 1 1 n n n n n n n n n          coi 𝛼n là số thực nên 𝛼n = .n + Tìm 𝛽n : Có: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 .n n N n n a a n n aa n      Bên cạnh đó: *ˆ 1 n n a n   Vì vậy: * 2ˆ ˆ ˆ 1 1 1 1 1 n n n n n N n n aa n n n           coi 𝛽n là số thực nên 2 n  = n+1 => 𝛽n = 1.n + Tìm 𝛾n : Ta có :   1 ˆ ˆ ˆ0 0 nn n n n a a a            1 2 2 0 0 0 1 ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 2 n n n n n n n a a a a                  2 0 1 ˆ 2 n n n a     0 1 2 1 ... n n n n        1.2.3... n n n n  !n n n 1 . ! n n   Vậy ta thiết lập đƣợc các công thức sau: ˆ ,N n n n ˆ 1 ,a n n n  (1.29) 15 ˆ 1 1 ,a n n n    1 ˆ 0 . ! nn a n  1.1.3. Quỹ đạo pha của dao động tử điều hòa một chiều Dao động tử điều hòa một chiều đƣợc coi nhƣ một thí dụ đơn giản khi nhắc đến quỹ đạo pha. Khi xét chất điểm chuyển động chỉ có một bậc tự do, cho nên để làm tọa độ suy rộng q ta có thể lấy khoảng cách từ chất điểm tới vị trí cân bằng dọc theo đƣờng thẳng đó.  3 Động năng của dao động tử đƣợc biểu diễn qua xung lƣợng suy rộng p mv nhƣ sau:  2 . 2 ñ p E m Thế năng biểu thị qua tọa độ suy rộng q x : 2 . 2 kq U  Khi đó, hàm Haminton đƣợc viết dƣới dạng:       2 2 , . 2 2 ñ p kq H q p E U m (1.30) Ta có hệ phƣơng trình chính tắc: , H p kq q      . H p q p m     Đạo hàm q ta tìm đƣợc phƣơng trình xác định q : . k q q m   Từ đó, với k m   có  sin ,o oq q t      cos cos .o o o op mq m q t p t         16 Đối với dao động tử điều hòa động năng trung bình bằng thế năng trung bình. Thật vậy: Có        2 22 2 cos , 2 2 o ñ o m qp E t m   2 2 2sin , 2 o o m q U t     vì    2 2 1 sin cos 2 o ot t       nên    2 2 . 4 o ñ m q E U Hình 1: Đồ thị biểu diễn quỹ đạo pha của dao động tử điều hòa 1 chiều. Năng lƣợng toàn phần của dao động tử là không đổi      2 2 0 2 . 2 ñ ñ m q H E U E Ta biểu diễn trạng thái của dao động tử trong không gian pha. Phƣơng trình quỹ đạo pha nhƣ sau: 2 2 2 2 0 0 1. q p q p   (1.31) Tóm lại, quỹ đạo pha của dao động tử điều hòa có dạng elip với 2 bán trục là ,o oq p và với các điều kiện khác nhau ta thu đƣợc các elip khác nhau. p p0 0 q q0 17 1.1.4. Tổng trạng thái, nội năng và nhiệt dung của dao động tử điều hòa tuyến tính Để đơn giản ta đi tìm các đại lƣợng đối với 1 dao động tử sau đó mở rộng ra với hệ gồm N dao động tử tuyến tính độc lập. Đầu tiên, việc tìm tổng trạng thái đối với một dao động tử của hệ, dao động tử đó có thể nằm trong các trạng thái:  1 , 3 1 . 2 nE n        với n=0,1,2 Năng lƣợng của dao động tử điều hòa nhận các giá trị gián đoạn và xác định: ,E   2 oE   là mức “ không” Tổng trạng thái của một dao động tử đƣợc xác định nhƣ sau: 0 0 exp exp . exp . 2 n n n E Z n kT kT kT                              (1.32) Với công thức 1 a S q   , công bội expq kT        và số hạng đầu tiên a=1 khi đó (1.32) trở thành: 1 exp . . 2 exp 1 Z kT kT                Xét đối với hệ N dao động tử ta có:   N heä Z Z Vậy tổng trạng thái của hệ các dao động tử là:                       1 exp . . 2 exp 1 N heä Z kT kT Tiếp theo, năng lƣợng trung bình của 1 dao động tử là: 18 2 1 1 1 exp . . 2 exp exp 1 n n n n n Z E E kT ZkT kT E E Z Z T kT kT                                         (1.33) Nhận xét: Ở nhiệt độ thấp 0T  thì 2 E   Ở nhiệt độ cao ddT T k   thì E kT (giá trị cổ điển) Năng lƣợng trung bình của hệ N dao động là nội năng U. Từ đó ta rút ra đƣợc nội năng của hệ nhƣ sau: . 2 exp 1 U N E N kT                   (1.34) Một dao động tử có nhiệt dung đƣợc xác định bằng công thức: 2 2 .exp . . exp 1v k E kT C T kT kT                            Xét với N dao động tử: , v U C T        Với oN N ( oN là số Avogadro) có: 2 2 2 exp 1 exp . . . exp 1 o v o N kT kT C N k T kT kT                                                                  (1.35) 19 Ở nhiệt độ thấp 0T  thì 0vC  Ở nhiệt độ cao thì vC  giá trị cổ điển 1.2. Dao động tử Boson 1.2.1. Ngƣng tụ Bose-Einstein Hàm sóng mô tả hệ các boson nhƣ sau:   1 , 2     1 ˆ . N s P c P              (1.36) Theo (1.36) ta thấy khác với các fermion, hệ các boson không hề triệt tiêu khi có các chỉ số  trùng nhau. Có nghĩa là mỗi trạng thái của hệ các boson có thể bị chiếm bởi bao nhiêu boson cũng đƣợc. Khi ở nhiệt độ đủ thấp các boson có tính chất khác hẳn các fermion, chúng dồn hết xuống trạng thái cơ bản, tƣơng ứng đó là trạng thái có năng lƣợng thấp nhất. Tiếp đó, mật độ boson ở trạng thái cơ bản có thể đạt tới mức vĩ mô tạo thành một trạng thái vật chất đặc biệt gọi là trạng thái ngƣng tụ Bose-Einstein. Ý nghĩa: Trạng thái ngƣng tụ Bose-Einstein tồn tại chính là một hệ quả của nguyên lí bất khả phân biệt các hạt boson đồng nhất. 1.2.2. Các hệ thức giao hoán của toán tử Boson Tìm hiểu về các hệ nhiều hạt có một phƣơng pháp đƣợc áp dụng nhiều chính là phƣơng pháp diễn tả các trạng thái của hệ bởi các véctơ chuẩn hóa trong một không gian Hilbert, đồng thời sử dụng các toán tử sinh hạt và huỷ hạt trong dao động tử điều hoà để kiến tạo các véctơ trạng thái nhiều hạt.   1 2 Gọi aˆ , ˆ a lần lƣợt là các toán tử hủy, toán tử sinh của dao động tử boson, thỏa mãn các giao hoán tử sau: ˆ ˆ, 1,a a    (1.37)  ˆ ˆ ˆ ˆ, , 0.a a a a     Ở nhiều trạng thái khác nhau ta mở rộng các giao hoán tử trên cho hệ nhiều hạt: 20 ˆ ˆ,a a       , ˆ ˆ ˆ ˆ, , 0.a a a a             (1.38) Ta xét hai véctơ trạng thái của hệ hai hạt ở hai trạng thái khác nhau  và   đó là: ˆ ˆ 0 ,a a    (1.39) ˆ ˆ 0 ,a a    (1.40) với 0 là trạng thái chân không không chứa hạt nào. Do các toán tử sinh hạt thoả mãn(1.38) nên: ˆ ˆ ˆ ˆ ,a a a a        Suy ngay ra: .  Thật vậy có hệ thức giao hoán (1.38) nên véctơ trạng thái của hệ hai hạt đồng nhất có tính chất đối xứng đối với phép hoán vị hai hạt: chúng là các boson. Mặt khác, ta đã biết do có các hệ thức giao hoán (1.38) nên trị riêng của toán tử số hạt ˆ ˆ ˆN a a    trong một trạng thái  có thể nhận bất cứ giá trị nguyên không âm nào, phù hợp hoàn toàn với hiện tƣợng ngƣng tụ Bose- Einstein. Từ hai công thức (1.39) và (1.40) ngƣợc lại cũng đúng: các toán tử sinh, hủy boson phải tuân theo các hệ thức giao hoán (1.38) Lại có toán tử số dao động Nˆ dạng: ˆ ˆ ˆ.N a a (1.41) Kết hợp (1.37),(1.41) có hệ thức giao hoán giữa chúng là: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,N a a a a       ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ˆ, a aa aa a a a a a            21 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,N a a a a         ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ˆ . a aa a a a a a a a               Xét không gian Fock có không gian mà véctơ cơ sở của chúng là những trạng thái với số hạt xác định, trạng thái chân không 0 thỏa mãn điều kiện: ˆ 0 0.a  (1.42) Xét trạng thái n là trạng thái riêng của toán tử số hạt có n dao động tử ứng với trị riêng n. Khi đó trong không gian Fock với cơ sở là các trạng thái riêng có dạng:  ˆ 0 . ! n a n n   với n= 0,1,2 (1.43) Dễ dàng chứng minh đƣợc: ˆ .N n n n Thật vậy: ˆ ˆ ˆN n a a n   1 ˆ ˆ ˆ 0 ! n a a a n     1 ˆ ˆ ˆ, 0 ! n a a a n        11 ˆ ˆ 0 ! n a n a n    ˆ 0 ! nn a n  .n n Tiếp theo, ta sẽ chứng minh:     1 ˆ ˆ ˆ, . n n a a n a       (1.44) 1n  có ˆ ˆ, 1.a a    2n có   2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , 2 .a a a a a a a a a                 22 Suy ra biểu thức (1.44) đúng với 1,2n  Giả sử nếu đúng tiếp với n k ta có     1 ˆ ˆ ˆ, . k k a a k a       (phƣơng pháp quy nạp) Dó đó, ta phải chứng minh (1.44) đúng với 1n k              1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , ( 1) . k k k k k k a a a a a a a a a k a a k a                        Nghĩa là (1.44) đúng với 1n k  . Vậy (1.44) đúng với mọi n 1.2.3. Biễu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy Boson Chúng ta biết rằng, trong biểu diễn số hạt các dao động tử boson đƣợc đặc trƣng bởi các toán tử sinh, hủy hạt ˆ ˆ,a a tuân theo hệ thức giao hoán: 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 1,aa a a   ˆ ˆ, ,a a       ˆ ˆ ˆ ˆ, , 0.a a a a             Tác dụng toán tử aˆ , aˆ lên các vectơ trạng thái n đƣợc: ˆ 1 ,a n n n  (1.45) ˆ 1 1 .a n n n    (1.46) Để biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy Boson ˆ ˆ,a a và toán tử số hạt Nˆ ta áp dụng liên tiếp (1.45) và (1.46) đƣợc các đẳng thức:  ˆ ˆ 1 ,aa n n n    ˆ ˆ .a a n n n  Từ các đẳng thức trên, ta thấy trị riêng của các tích những toán tử ˆ ˆ ˆ ˆ,aa a a  có giá trị lần lƣợt là 1n , n . Suy ra ma trận của những toán tử này trong biểu diễn riêng của chúng là những ma trận chéo.       ˆ ˆ 1 , ˆ ˆ . nmnm nmnm aa n a a n        23 Giả sử ma trận của các toán tử sinh, hủy Boson ˆ ˆ,a a đƣợc biển diễn nhƣ sau: 00 01 02 10 11 12 20 21 22 ˆ , a a a a a a a a a a             00 01 02 10 11 12 20 21 22 ˆ . a a a a a a a a a a             (1.47) Mặt khác, ta có: ',n 1 ˆ' ' 1 1 1 ' 1 1. ,nn a n n n n n n n n           mà ', 1' 1 n nn n     1 0    khi ' 1 1 n n n n     Do đó 1 ' 1n n n   1 0 n    khi ' 1 ' 1 n n n n     Tƣơng tự ta có: ',n 1 ˆ' ' 1 ' 1 . ,nn a n n n n n n n n       mà ', 1' 1 n nn n     1 0    khi ' 1 1 n n n n     Do đó ' 1n n n   0 n   khi ' 1 1 n n n n     Cuối cùng, biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy Boson ˆ ˆ,a a và toán tử số hạt Nˆ có dạng: 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 2 ˆˆ ˆ, , .(1.48) 0 0 20 2 0 0 0 0 3 a a N                                   24 1.2.4. Thống kê Bose-Einstein Để xây dựng thống kê Bose-Einstein có rất nhiều hƣớng phát triển, một cách làm từ việc sử dụng linh hoạt các phƣơng pháp trong lý thuyết trƣờng lƣợng tử. Sử dụng phƣơng pháp này ta xuất phát từ công thức tính giá trị trung bình của đại lƣợng vật lí F tƣơng ứng với toán tử Fˆ đƣợc xác định:         ˆ ˆ ˆexp ˆ . ˆ ˆexp Tr H N F F Tr H N          (1.49) Tƣơng tự ta thay toán tử Fˆ bằng toán tử số dao động Nˆ vào (1.63) đƣợc công thức tính số hạt trung bình trên cùng một mức năng lƣợng là:         ˆ ˆ ˆexp ˆ , ˆ ˆexp Tr H N N N Tr H N          (1.50) có ˆ ˆ ˆN a a và    ˆf N n f n n với ˆ ˆ,a a lần lƣợt là các toán tử hủy, toán tử sinh của dao động tử. Đặt       ˆ ˆˆ ˆexp H NZ Tr H N Tr e         gọi đó tổng thống kê (tổng trạng thái) xác định tính chất nhiệt động của hệ. hay   ˆ ˆ ˆ ˆ H N Tr e N N Z     (1.51) Trong đó: Hˆ là toán tử Hamiltonian ˆ ˆH N , năng lƣợng của một dao động tử, 1 kT   , k là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ của hệ, là thế hóa học. Ta có điều kiện trực chuẩn: , 0 .m n n m n     Ta áp dụng tính chất:  ˆ ˆ n Tr F n F n có:     ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆH N H N n Tr e N n e N n            25       ˆ 0 0 0 ˆ . N n n n n n n e N n n e n n e n n n                            Mà 1n n  Suy ra:           ˆ ˆ 2 3 0 ˆ 0 2 3 .... H N n Tr e N e n e e e                                 Đặt  x      Nên ta có    . 0 0 n x n n K e n e n             20 2 ...x x nxe e ne     22 ...x x nxe e ne     22 ....x x nxe e ne       121 .... e n xx x xe e e         Mặt khác:   12 11 .... e . 1 n xx x x x e e e e        Suy ra:   2 1 . 1 1 x x x x e K e e e            Đƣợc           ˆ ˆ 2 2 ˆ . 1 1 x H N x e e Tr e N e e                   (1.52) Tính tiếp:        ˆ ˆ ˆ 0 0 0 0 . H N N n n n n n Z n e n n e n n e n e n n                                   Vì 1n n  nên   0 . n n Z e         26 Trong toán học,   0 n n e         là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với  n q e      : gọi là công bội của cấp số nhân và có số hạng đầu tiên ứng với 0n có giá trị bằng 1 nên ta có kết quả cuối cùng nhƣ sau :       1 . 1 1 e Z e e                  (1.53) Thay (1.52),(1.53) vào (1.50) ta đƣợc:                     2 2 1 1 1ˆ ˆ ˆ . 1 1 1 e e e e N a a e e e e e                                                 (1.54) Biểu thức (1.54) chính là công thức tính số hạt trung bình ở trên cùng một mức năng lƣợng cần tìm. Nói cách khác đây là phân bố thống kê Bose- Einstein đối với hệ đồng nhất các hạt boson. 1.3. Dao động tử Fermion 1.3.1. Nguyên lí loại trừ Pauli Đƣợc đánh giá phù hợp hoàn toàn với cơ học lƣợng tử, rút ra từ tính phản đối xứng của hàm sóng của các fermion, một nguyên lí cấm do Pauli đƣa ra có nội dung đƣợc phát biểu nhƣ sau: “Nếu có một bộ 4 đại lƣợng động lực ( 1 2 3, , , zL L L S ) bất kì đủ để đặc trƣng cho trạng thái của một hạt, thì trong hệ fermion không thể có hai hạt có trạng thái đặc trƣng bởi 4 số ( 1 2 3, , , zL L L S ) giống nhau ”   1 , 2 Thật vậy, giả sử trong hệ có 2 hạt k và j ở trong hai trạng thái giống nhau:      ˆ , , ,kj a a aP k j k j k j    27 Theo giả thiết:    j,k ,a a k j  nên    , ,a ak j k j  nên suy ra:  2 , 0a k j  và  , 0a k j  nghĩa là một trạng thái của hệ nhƣ thế không tồn tại. Mặt khác, đối với hệ các Fermion hàm sóng có dạng phản đối xứng:                   1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 . ! N N N N a N N N N N N                                       (1.55) trong đó 1 ! c N   là hệ số chuẩn hoá. Từ đó, ta suy ra nguyên lí loại trừ Pauli vì nếu hai hạt có trạng thái giống nhau, hai dòng định thức sẽ giống nhau, nhƣ vậy định thức bằng 0. Ý nghĩa: Nguyên lí loại trừ Pauli là một hệ quả của nguyên lí bất khả phân biệt các hạt đồng nhất, đóng vai trò quan trọng trong sự phân loại vật liệu thành các chất bán dẫn, kim loại và điện môi. Ngoài ra, nguyên lí này cho phép giải thích đƣợc sự phân bố các điện tử theo các trạng thái trong nguyên tử và thiết lập cơ sở lý thuyết của sự sắp xếp các nguyên tố trong bảng phân hạng tuần hoàn Mendeleev. 1.3.2. Các hệ thức phản giao hoán của toán tử Fermion Gọi ˆ,b bˆ lần lƣợt là các toán tử hủy, toán tử sinh của dao động tử fermion. Với 0 là trạng thái chân không không chứa hạt nào, ta xét hai véctơ trạng thái của hệ hai hạt ở hai trạng thái khác nhau  và    1 ˆ ˆ 0 ,b b    (1.56) ˆ ˆ 0 ,b b    (1.57) xét trong trƣờng hợp các fermion véctơ trạng thái của hệ hai hạt đồng nhất là phản đối xứng đối với phép hoán vị hai hạt: .   (1.58) 28 Kết hợp (1.56) (1.57) và (1.58) suy ra các toán tử sinh hạt fermion phải thỏa mãn các hệ thức phản giao hoán sau: ˆ ˆ ˆ ˆ 0.b b b b         Với   hệ thức trở thành:   2 ˆ ˆ ˆ 0.b b b       (1.59) Véctơ trạng thái chứa hai hạt fermion đồng nhất cùng ở một trạng thái  là   2 ˆ 0 .b  Theo tính chất (1.59) có   2 ˆ 0b   suy ra: 0  , rất phù hợp với nguyên lí loại trừ Pauli. Xét   và tác dụng toán tử ˆ ˆb b   lên véctơ trạng thái  diễn tả trạng thái chỉ chứa một hạt fermion đặc trƣng bởi số lƣợng tử  ˆ ˆ ˆ ˆ ,b b b b             (1.60) Nếu ta tác dụng toán tử ˆ ˆb b   lên  có: ˆ ˆ ˆ 0 .b b b       (1.61) So sánh hai vế của (1.60) với (1.61) ta thu đƣợc hệ thức phản giao hoán sau với các toán tử sinh và hủy hạt fermion. Với   có: ˆ ˆ ˆ ˆ 0.b b b b       Truờng hợp   theo (1.59) có:   2 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0,b b b b       (1.62) ˆ ˆ ˆ0 0 ,b b b       (1.63) ˆ ˆ ˆ 0 ,b b b       (1.64) ˆ ˆ 0 0.b b    (1.65) 29 Cộng các phƣơng trình (1.62) - (1.65) theo từng vế ta đuợc:   ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 .b b b b          Do  bất kỳ suy ra: ˆ ˆ ˆ ˆ 1.b b b b       Tóm lại từ tất cả các kết quả nêu trên ta có các hệ thức phản giao hoán nhƣ sau đối với các hạt fermion:  ˆ ˆ, ,b b       ˆ ˆ ˆ ˆ,b , 0b b b      (1.66) trong đó ta định nghĩa:  ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ,A B AB BA  và gọi đó là phản giao hoán tử của hai toán tử Aˆ và ˆ .B Ngoài ra, nhờ (1.66) ta có thể chứng minh đuợc nguyên lí loại trừ Pauli theo cách khác, từ toán tử số hạt ˆ ˆNˆ b b    trong trạng thái  có: Thật vậy, theo (1.66) cho truờng hợp   ta có: 2 ˆ ˆ ˆ ˆNˆ b b b b        ˆ ˆ ˆ ˆ1b b b b          2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , b b b b b b             nghĩa là: 2ˆ ˆ .N N  Khi đó mọi trị riêng n của toán tử Nˆ thoả mãn phuơng trình:  1 0.n n    Do đó là chỉ có thể bằng 0 hoặc 1 hay trong mỗi trạng thái chỉ có thể có nhiều nhất một hạt fermion. Hệ thức phản giao hoán của dao động tử fermion thỏa mãn hệ thức: 30  ˆ ˆ, 1,b b    2 2ˆ ˆ 0.b b  (1.67) Mà toán tử số dao động Nˆ có dạng: ˆ ˆˆ .N b b (1.68) Theo đó, toán tử số dao động Nˆ thỏa mãn hệ thức giao hoán sau: ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ,N b Nb bN      ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ, b bb bb b b b bb b           ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ,N b Nb b N        ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ , b bb b b b b b b b b              Vậy ˆ ˆˆ , ˆ ˆˆ , . N b b N b b             (1.69) Đại số (1.67) có thể thực hiện trong không gian Fock với cơ sở là véctơ đã chuẩn hóa của toán tử số dao động Nˆ có dạng:  ˆ 0 . n n b với n= 0,1 (1.70) (Do phải thỏa mãn nguyên lí loại trừ Pauli ứng với hệ hạt fermion nên n chỉ lấy giá trị là 0 và 1). Xét trạng thái n , tác dụng các toán tử ˆ ˆ,b b lên trạng thái ta có: 31 ˆ 0 0, ˆ 0 1, ˆ 1 0, ˆ 1 0. b b b b       1.3.3. Thống kê Fermi-Dirac Tƣơng tự nhƣ cách xây dựng thống kê Bose-Einstein, ta cũng đi từ công thức tính giá trị trung bình của đại lƣợng F tƣơng ứng với toán tử Fˆ xác định nhƣ sau:         ˆ ˆ ˆexp ˆ . ˆ ˆexp Tr H N F F Tr H N          (1.71) Thay toán tử Fˆ bằng toán tử số dao động Nˆ vào (1.71) đƣợc công thức tính số hạt trung bình trên cùng một mức năng lƣợng:         ˆ ˆ ˆexp ˆ , ˆ ˆexp Tr H N N N Tr H N          (1.72) có ˆ ˆNˆ b b và    ˆf N n f n n với ˆ ˆ,b b là các toán tử hủy, toán tử sinh của dao động tử fermion. Đặt       ˆ ˆˆ ˆexp H NZ Tr H N Tr e         gọi đó tổng thống kê (tổng trạng thái) xác định tính chất nhiệt động của hệ. ta đƣợc:   ˆ ˆ ˆ ˆ . H N Tr e N N Z     (1.73) 32 Trong đó: Hˆ là toán tử Hamiltonian ˆ ˆH N , là năng lƣợng của một dao động tử, 1 kT   , k là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ của hệ,  là thế hóa học. Áp dụng:  ˆ ˆ n Tr F n F n Ta có:   ˆ ˆ ˆH NTr e N         1 1 ˆ 0 0 ˆ , N n n e N n e n e                   (1.74) Tính tiếp:        1 ˆ ˆ 0 1 , N N n Z Tr e n e n e                    (1.75) Từ (1.74),(1.75) thay vào (1.73) ta đƣợc:       1ˆ ˆˆ . 1 1 e N b b e e                     (1.76) Biểu thức (1.76) chính là công thức tính số hạt trung bình ở trên cùng một mức năng lƣợng cần tìm. Nói cách khác đây là phân bố thống kê Fecmi-Dirac đối với hệ đồng nhất các hạt fermion. Kết luận chƣơng 1 Trong chƣơng này tôi đã nêu đƣợc tổng quan lý thuyết về dao động tử điều hòa tuyến tính. Đƣa ra đƣợc hàm sóng, phổ năng lƣợng, quỹ đạo pha, tổng trạng thái, nội năng, nhiệt dung của hệ dao động tử điều hòa tuyến tính. Tìm hiểu một số dao động tử là boson và fermion. Trong đó, khi tìm hiểu về hai dao động tử trên tôi đi sâu tới các hệ thức giao hoán của toán tử boson, phản giao hoán của các toán tử fermion, hai thống kê tƣơng ứng là Bose- Einstein và Fermi-Dirac. Những kết quả trên sẽ là cơ sở cho chƣơng 2. 33 CHƢƠNG 2: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÕA BIẾN DẠNG q 2.1. Dao động tử điều hòa biến dạng q 2.1.1. Lý thuyết q- số Lý thuyết q- số tƣơng ứng với số thông thƣờng x đƣợc định nghĩa: 4   1 . x x q q q x q q      (2.1) Xét q là một tham số, nếu x là một toán tử thì định nghĩa giống với (2.1). Chú ý rằng q- số là bất biến với phép biến đổi nghịch đảo 1q q , có thể xảy ra hai trƣờng hợp: + Nếu tham số q là thực, q- số có thể biểu diễn nhƣ sau:      1 . x x x x q sh xq q e e x q q e e sh                  (2.2) Trong đó q e với  là thực + Nếu q là hệ số pha, q- số có thể viết nhƣ sau:      1 sin . sin x x i x i x i iq xq q e e x q q e e                  (2.3) Trong đó iq e  với  là thực Cả hai trƣờng hợp trên thì trong giới hạn 1q  (hoặc tƣơng ứng 0  ) q- số trở về số thông thƣờng nghĩa là:   1 lim . qq x x   (2.4) Thật vậy:           1 0 0 lim lim lim . . , qq sh x sh x x x x sh sh x                      1 0 0 sin sin lim lim lim . . sin sinqq x x x x x x            34 Từ (2.1) có một số trƣờng hợp sau:         2 2 3 3 1 2 2 1 1 0 0; 1 1; 2 ; 3 1 . q q q q q q q q q q q q                    Khi q- số thỏa mãn các đồng nhất thức khác với các đồng nhất thức quen thuộc của