Khóa luận Tìm hiểu về phổ năng lượng của một số phân tử

ơn, vào khoảng một nửa bước sóng hoặc gấp đôi tần số (số sóng). Nếu độ dày của lớp khí tiếp tục tăng lên, một phần ba hay thậm chí một phần tư, một phần năm thì sẽ xuất hiện dải với bước sóng tương ứng là 1/3, 1/4 và 1/5 của dải đầu tiên hay nói cách khác là tần số của chúng lớn gấp 11 ba, bốn và năm lần. Hình 1.5 cho thấy đầy đủ toàn bộ phổ hồng ngoại của phân tử HC1. Trong hình, chiều dài của các đường thẳng đứng thể hiện cường độ của các dải. Trên thực tế thì cường độ giảm gấp năm lần nhưng không giảm nhanh như trong giản đồ. Hình 1.5 Giản đồ phổ hồng ngoại của HCl[3]. Trong dao động điều hòa, lực khôi phục tăng vô hạn với khoảng cách từ vị trí cân bằng ngày càng tăng. Tuy nhiên, trong một phân tử, khi các nguyên tử ở khoảng cách rất xa nhau, lực hấp dẫn sẽ bằng không. Do đó, hệ lượng tử dao động điều hòa chỉ là mô hình đơn giản hóa của phân tử dao động và nếu muốn mô tả chi tiết hơn các phân tử dao động thì các lực phi điều hòa cũng phải được tính đến. Các mức năng lượng của dao động phi điều hòa không cách đều nhau như ở dao động điều hòa mà khoảng cách của chúng giảm dần khi n tăng. Các mức năng lượng và phổ hấp thụ với dao động tử phi điều hòa được chỉ ra trong Hình 1.6. Quy tắc lọc lựa (1.10), 1,n m   chỉ áp dụng cho dao động phi điều hòa và cho sự chuyển mức năng lượng mạnh nhất. 12 Hình 1.6 Các mức năng lượng và sự chuyển tiếp hồng ngoại của dao động phi điều hòa. Phổ hấp thụ được đưa ra dưới dạng sơ đồ bên dưới. Chuyển tiếp ứng với 2, 3,..,n m    cũng có thể xuất hiện khi cường độ giảm nhanh. Tất cả các kết quả này có thể được tính toán bằng cách sử dụng lý thuyết nhiễu loạn. Từ tất cả những điều trên chúng ta có thể chứng minh rằng các mô hình cơ lượng tử đơn giản như dao động điều hòa chỉ mô tả cấu trúc chính của một hệ vi mô trong tự nhiên mà không thể mô tả hết tất cả các chi tiết. Đây không phải là sự thiếu hụt của mô hình dao động điều hòa mà là một tính chất chung của vật lý lý thuyết. Các mô hình chỉ là sự lý tưởng hoá và không thể dự đoán chính xác các kết quả thực nghiệm. Giải thích về một hàng chữ số thập phân mới trong một số thực nghiệm thường đòi hỏi một mô hình mới và có thể là một lý thuyết hoàn toàn mới. Ta có thể thấy điều này ngay sau khi chúng ta khảo sát chi tiết hơn các tần số chuyển các mức năng lượng ở vùng gần vùng hồng ngoại như những gì thu được ở một phổ kế có độ phân giải đủ cao. Các đường phổ rộng của phân tử CO quanh khu vực có tần số 12140v cm được phân chia thành một số 13 đường hẹp riêng, như thể hiện trong Hình 1.7 hay nói cách khác là xung quanh khu vực có tần số 12140v cm không có đường riêng mà chỉ có dải. Từ hình ảnh có thể thấy, dải này bao gồm một tập hợp các đường thẳng cách đều nhau, với một đường đứt quãng ở giữa dải. Đi ra khỏi chỗ đứt quãng có hai nhánh được gọi là nhánh P (hướng tới các bước sóng dài hơn) và nhánh R (ứng với các bước sóng nhỏ hơn). Hình 1.8 cho thấy cùng một hiệu ứng cho vạch 1n  ở Hình 1.5 của phân tử HC1. Hình 1.7 Dải phổ năng lượng của phân tử CO. Hình 1.8 Dải hấp thụ cơ bản của phân tử HC1 dưới độ phân giải cao[7]. Với kỳ vọng cấu trúc chính xác như vậy trong phổ hấp thụ hoặc phát xạ đặc trưng của bức xạ điện từ của phân tử CO khi các mức năng lượng của 14 phân tử dao động ở Hình 1.1 được tách thành một dãy các cấp nhỏ hơn như thể hiện trong Hình 1.9, thì chỉ cho thấy có hai mức năng lượng liền kề của phổ năng lượng của phân tử dao động như đã cho trong Hình 1.1. Mô tả của sự phân chia như vậy nằm ngoài khả năng của một mô hình dao động. Nó chỉ có thể có một trạng thái được đặc trưng bởi số lượng tử n không phải là trạng thái thuần túy mà chính xác là một hỗn hợp của các trạng thái có năng lượng khác nhau. Tuy nhiên, trong dao động trạng thái được đặc trưng bởi số lượng tử n là trạng thái thuần túy được mô tả bởi một phép chiếu n trên không gian mở một chiều được kéo dài bởi n cụ thể là không gian n  . Trạng thái của phân tử hai nguyên tử được đặc trưng bởi số lượng tử n phải có số chiều nhiều như là số mức năng lượng (khi số mức năng lượng bằng với số chiều thì bất kỳ giá trị năng lượng nào cũng thuộc một không gian hoặc một phép chiếu trên một trục của không gian con). Do đó mô hình dao động chỉ mô tả một phần các thuộc tính của một phân tử hai nguyên tử. Để mô tả chi tiết hơn về phổ, cần phải kết hợp mô hình dao động với một mô hình mô tả chi tiết hơn và phản ánh thêm các đặc điểm của phân tử hai nguyên tử chưa đề cập đến. Mô hình mới này là mô hình Rotator. Hình 1.9 Sơ đồ các mức năng lượng ở trạng thái cơ bản cho đến các trạng thái kích thích của trạng thái dao động của phân tử CO[8]. 15 Các nhánh P và R được hiển thị ở bên trái và bên phải theo thứ tự trên phổ kế đã vẽ của dải hấp thụ CO cơ bản ở 2144 cm-1. Nhánh Q (đường nét đứt) là khuyết. Các mức năng lượng được hiển thị theo thang đo, ngoại trừ khoảng cách giữa các trạng thái dao động trên và dưới (2144 cm-1) có thể gấp khoảng năm lần so với hình vẽ. Xét phân tử CO gồm hai nguyên tử có nguyên tử khối là m1 và m2 cách nhau một khoảng x, thấy rằng phân tử này không chỉ dao động theo trục x mà còn có thể quay xung quanh tâm của nó trong không gian ba chiều. Nếu nó nằm trong trạng thái dao động và có năng lượng nhỏ hơn 0,26 eV thì nó sẽ là một Rotator bền vững hay nói cách khác nó có thể được coi là hai khối giống như điểm m1, m2 được gắn vào hai đầu của thanh sắt không trọng lượng có chiều dài x. Do đó, trước hết chúng ta sẽ nghiên cứu mô hình Rotator bền vững. 16 1.2. Rotator 1.2.1. Rotator bền vững (Rotator Rigd) của phân tử hai nguyên tử Xét Rotator cổ điển, khi thay ba tọa độ của xung lượng iP và ba tọa độ vị trí ix trong tất cả các đại lượng có trong biểu thức với các toán tử ˆ iP và ˆ iQ thỏa mãn hệ thức giao hoán chính tắc ij ˆˆ ˆ[ , ] ,i iP Q I i  ˆ ˆ[ , ] 0,i jQ Q  ˆ ˆ[ , ] 0i jP P  (1.13) ( ij 1  với i j và ij 0  cho i j và 1,2,3j  ). Trong cơ học cổ điển, năng lượng quay E của một vật rắn được cho bởi 21 . 2 E I (1.14) Trong đó  là tốc độ góc và I là moment quán tính của hệ trục quay. Tốc độ góc liên quan đến số lần quay trên mỗi giây với tần số quay rotv là: 2 .rot  (1.15) Moment xung lượng của hệ được cho bởi .I   . Thay vào (1.14) được năng lượng: 2 . 2 E I   (1.16) Hình 1.10 Mô hình phân tử hai nguyên tử. 17 Moment quán tính của trục quay của mô hình Rotator được cho bởi công thức 2 2 1 1 2 22 ,I m r m r  Với 2 1 1 2 m r x m m   và 1 2 1 2 m r x m m   (1.17) là khoảng cách tương ứng từ 1m và 2m đến tâm của khối C và x là khoảng cách giữa hai điểm khối 1m và 2m (xem Hình 1.10). Ta được : 21 2 1 2 , m m I x m m   (1.18) Với  được gọi là khối lượng rút gọn của phân tử. 1 2 1 2 m m m m    (1.19) Do đó, thay vì xét sự quay của Rotator bền vững, có thể cân nhắc đến việc quay một chất điểm có khối lượng rút gọn  với tọa độ ix nơi có vector  1 2 3, ,x x xx là vectơ vị trí. Nếu ta biểu diễn xung lượng của chất điểm có khối lượng rút gọn  trong hệ toạ độ này bởi 1 2 3( , , )p p pp thì moment xung lượng được cho bởi: , I x p (1.20) nên các phần tử của nó được xác định bởi: , .i ijk j k ijk j k j k l x p x p  (1.21) Trong phương trình này ij 1k   khi  ij 123k  và mọi hoán vị chẵn của nó, ij 1k   khi  ijk là một phép hoán vị lẻ của (123) còn lại là ij 0k  . Theo điều kiện tổng quát (1.13) khi thay ix , iP bằng ˆ jQ , ˆ iP thì toán tử moment xung lượng Lˆ được xác định bởi công thức 18 ˆˆ ˆ ,L P Q  hoặc ˆˆ ˆ ,i ijk j kL Q P (1.22) và toán tử năng lượng tương ứng (1.16) được xác định bởi 3 2 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ . 2 2 2 i i i i i H L L L L L         (1.23) ˆ jQ và ˆ kP là các toán tử Hermitian, nên ˆ iL và Hˆ cũng Hermitian: ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ .i ijk k j ijk k j ijk j k iL P Q P Q Q P L       (1.23a) Từ hệ thức giao hoán Heisenberg (1.13), ta thu được hệ thức giao hoán của các toán tử ˆiL biểu diễn các phần tử của moment xung lượng. Đó là: ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ[ , ] [ , ]i l ijk lmn j k m nL L Q P Q P ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( [ , ] [ , ] )ijk lmn j k m n j m n kQ P Q P Q Q P P  ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( {[ , ] [ , ]}ijk lmn j k m n m k nQ P Q P Q P P  ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ{[ , ] [ , ]} )j m n m j n kQ Q P Q Q P P  ˆ ˆˆ ˆ( ).ijk lmn j n km m k jnQ P Q P i i    Bằng cách thay đổi thành phép tổng các chỉ số biểu thức trên có thể viết lại như sau: ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) .imk lkn m n ikn lmk m k imk knl ink klm m nQ P Q P Q P i i     (1.24) Theo tính chất của tenxơ imk dễ dàng chứng minh: .imk knl in ml mn il     (1.25) Từ đó suy ra: ,ink klm il nm mn nl     19 và thay vào (1.25) thu được: .imk knl ink klm in ml im nl ilk kmn        Thế biểu thức trên vào (1.24) thu được ˆˆ ˆ ˆ[ , ] .i l ilk kmn m nL L i Q P Kết hợp với (1.22) thu được hệ thức giao hoán của toán tử moment xung lượng ˆiL : ˆ ˆ ˆ[ , ] .i l ilk kL L i L (1.26) Biểu thức của toán tử năng lượng (1.23) không chứa ˆiP và ˆ ,iQ điều này đúng với tất cả các đại lượng vật lý của Rotator. Trên thực tế, các toán tử ˆiP và ˆiQ là những đại lượng phi vật lý trong cơ học lượng tử Rotator. Do đó, đối với Rotator toán tử ˆiL tuân theo hệ thức giao hoán (1.26) là những đại lượng vật lý cơ bản. Trên thực tế, các toán tử ˆiL được xác định bởi (1.22) hoặc số lượng tử il được xác định bởi (1.21) là một trường hợp đặc biệt của các đại lượng có liên quan đến bậc tự do mới của các hệ vật lý trong không gian ba chiều. Một hệ vật lý trong không gian vật lý ba chiều có sáu bậc tự do: ba bậc tự do được mô tả bởi ba tọa độ ix và ba bậc tự do quay, được mô tả bởi phép quay  , ,R    phụ thuộc vào ba góc , ,   (ví dụ, ba góc Euler hoặc ba góc xoay quanh ba trục tọa độ cố định). Xung lượng iP là biến số chính tắc liên hợp với tọa độ ix còn biến số chính tắc liên hợp với tọa độ góc i là moment xung lượng il . Tổng quát, một hạt trong không gian vật lý ba chiều có các biến số là xung lượng iP và spin is ứng với các tọa độ tuyến tính ix và các tọa độ góc 20 i . Đối với một hạt, xung lượng được biểu diễn bởi toán tử ˆ iP và spin được biểu diễn bởi toán tử ˆiS . Do đó dễ dàng xác định được hệ thức giao hoán của toán tử Spin ˆiS là: ˆ ˆ ˆ[ , ] .i j ijk kS S i S (1.27) Phương trình (1.27) cũng có thể được suy ra từ các tính chất của nhóm quay[4], nếu giả thuyết rằng phép quay R (α, β, γ ) của một hạt được biểu diễn bởi một toán tử (đơn vị) U (α, β, γ ) trong không gian của trạng thái vật lý của hạt này. Trên thực tế phép quay là phép biến đổi đối xứng và nhóm quay là một nhóm đối xứng của hệ vật lý (Định lý Wigner). Bắt đầu từ dạng đại số của đại lượng được xác định bởi hệ thức giao hoán (1.27) . Tiếp theo khảo sát tính chất đại số của các toán tử được tạo thành từ toán tử ˆ jJ khi áp dụng các hệ thức giao hoán ˆ ˆ ˆ[ , ]i k ikl lJ J i J ( , , 1,2,3),i k l  (1.28) trong đó toán tử ˆ jJ tương đương với toán tử ˆ iL trong (1.22) hoặc toán tử ˆ .iS Từ đó có được tính chất của tất cả các toán tử ˆ jJ là các toán tử Hermit tuyến tính trong một không gian tuyến tính. Hay có được tập hợp tất cả các toán tử ˆ jJ là nhiều hơn tập hợp của toán tử ˆ iL cho bởi (1.22). Dạng đại số được tạo thành từ toán tử ˆ jJ được gọi là đại số bao của nhóm SU(2) và được kí hiệu là: E(SU(2)). 21 1.2.2. Dạng đại số của momen xung lượng Bây giờ chúng ta sẽ tìm ra tất cả các nghiệm có thể của hệ thức giao hoán (1.28) để chứng minh được ˆ ˆ i iJ J   Điều này có nghĩa là chúng ta sẽ xây dựng tất cả các không gian tuyến tính trong đó ˆ iJ thỏa mãn (1.28) hoạt động như các toán tử Hermit tuyến tính. Giả sử tồn tại ít nhất một vector riêng của 3Jˆ trong những không gian này. Thay vì sử dụng ˆ iJ với  1,2,3i  thì dựa theo tổ hợp tuyến tính sau: 1 3 3 ˆ ˆ ,H J   1 1 2 ˆ ˆ ˆ ,H J iJ     1 1 2 ˆ ˆ ,H J iJ   (1.29) Điều kiện Hermiteity ˆ ˆ i iJ J   được biểu diễn 3 ˆ ˆ ,H H  ˆ ˆ ,H H  ˆ ˆ .H H  (1.30) Từ (1.28) và (1.30) thu được 3 ˆ ˆ ˆ,H H H      3 ˆ ˆ ˆ, 2 .H H H     (1.31) Toán tử 2Jˆ có thể được viết 2 2 2ˆ ˆJ H (1.32) Với 2 2 2 3 3 3 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ .H H H H H H H H H         (1.33) Bởi vậy 2 3 ˆ ˆ, 0,H H    2ˆ ˆ, 0,H H    (1.34a) hay tổng quát 2 ˆˆ , 0,H A     (1.34b) trong đó Aˆ là 22 ij ij ...,i ki i j i j kA aI a J a J J a J J J     (1.35) với ij ij, , , ,...i ka a a a là những số phức. Do tính chất (1.34), 2Hˆ và 2Jˆ được gọi là toán tử bất biến của đại số bao E(SU(2)). Ta sẽ thấy thang biểu diễn của E(SU(2)) hay nói cách khác là tất cả các nghiệm của hệ thức giao hoán (1.28) bởi các toán tử tuyến tính trong không gian tuyến tính thu được bằng cách áp dụng toàn bộ đại số bao E(SU(2)) cho một vector riêng của toán tử 3Hˆ . (Giả sử tồn tại một vector riêng). Chọn vector cf f là vector riêng của toán tử 2Hˆ với trị riêng c: 2Hˆ f cf (1.36) Khi toán tử 2Hˆ giao hoán với mỗi Aˆ của biểu thức (1.35), Af là một vector riêng của toán tử 2Hˆ với giá trị riêng c. Chọn f là một vector riêng của toán tử 3Hˆ và gọi m là trị riêng. Với vector riêng chuẩn hóa kí hiệu là c m mf f : 3 ˆ ,m mH f mf  , 1.m mf f  (1.36’) ( mf được gọi là vectơ Weight, m được gọi là Weight)[5,6]. Nếu hai toán tử giao hoán thì có thể chọn một vector đồng thời là vector riêng của cả hai toán tử, vì 2 2 3 3 ˆ ˆ ˆ ˆ m mH H f H H f nên (1.36) và (1.36’) trở thành đồng nhất thức. Nếu hai toán tử không giao hoán sẽ không có cùng một vector riêng. Ta có ˆ m mf H f  kết hợp với (1.31) thu được 23  3 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆm m mH f H H f H H H f         ˆ ˆ ˆ1m mH m H f m H f       1 .mm f   (1.37) Do đó (nếu 0mf   )thì mf  là một vector riêng của toán tử 3Hˆ với giá trị riêng 1m mf có một vài tính chất cần lưu ý đó là: 1. Số c là không âm. 2. Bất kỳ giá trị riêng m nào của 3Hˆ cũng thỏa mãn 2m c (1.38) Nếu bắt đầu với một vectơ riêng c mof bất kỳ của toán tử 3Hˆ và 2Hˆ và tác dụng liên tiếp toán tử sinh Hˆ thì sẽ thu được các vector riêng c mf mới của 3Hˆ với các giá trị riêng ngày càng tăng. Sau một số hữu hạn các bước phải đạt tới vector riêng c mf với giá trị riêng lớn nhất của 3Hˆ là l, vì 2 ,m c hay ˆ 0.c cl lf H f   (1.39) Từ (1.33) và (1.39) thu được    2 23 3ˆ ˆ ˆ 1 .c c cl l lH f H H f l l f    (1.40) Do đó giá trị riêng c của 2Hˆ và giá trị riêng lớn nhất l của 3Hˆ liên hệ với nhau bởi công thức:  1c l l  Thay vì mô tả các vec tơ riêng của 2Hˆ và 3Hˆ bởi c và m có thể mô tả bằng l và m. 24 Nếu tác dụng liên tiếp toán tử hủy Hˆ thu được vector riêng l mf thì sau một số hữu hạn các bước phải đạt đến vector lf với trị riêng thấp nhất của 3Hˆ là  vì 2 ,m c hay nói cách khác ˆ 0.l lf H f    (1.41) Theo đó kết hợp với (1.33) thu được    2 23 3ˆ ˆ ˆ 1 .l l lH f H H f f       (1.42) So sánh (1.42) với (1.40) thấy rằng    1 1 ,l l     và nghiệm duy nhất của phương trình này cho  thỏa mãn 2 ,m c là .l   (1.43) Vì vậy, nếu bắt đầu với vector l lf , tác dụng liên tiếp toán tử hủy Hˆ và chuẩn hóa sẽ có được chuỗi các vector   1 1 ˆ ,l ll l lf H f      1 2 1 1 ˆ ,l ll l lf H f      . . .   1 1 ˆ ,l lm m mf H f    (1.44) tại m là  ˆ ˆ, .l lm m mH f H f   Từ đó thu được 25   1 1 1 ˆl lf H f       Do l   nên sẽ có 2 1l  vector trong chuỗi (1.44). l mf , 1, 2,..., 1, ,m l l l l l      (1.45) thỏa mãn  ' ', .l lm m mmf f  (1.46) Vì 2 1l  là số vector và phải là một số nguyên nên do đó l chỉ có thể là một trong những con số sau: 1 3 0, ,1, ,.. 2 2 l  (1.47) Như vậy với mỗi số l sẽ có 2 1l  vector l mf là trực giao và mở ra một không gian gọi là không gian l : : . l l m m l m l f f a f            (1.48) Hằng số chuẩn hóa m :    ˆ ˆ ˆ ˆ, ,m m m m m mH f H f f H H f           2 2 23 3ˆ ˆ ˆ, 1 .m mf H H H f l l m m       Do đó, ngoại trừ hằng số pha chưa xác định thì     21 1 ,m l l m m l m l m         (1.49) và    1 1ˆ 1 . l l l m m m mH f l m l m f f       (1.50) Bây giờ xác định ˆ mH f . Đã biết 1 ˆ l l m mH f f  nên ta thiết lập 1 ˆ l l m m mH f f  và tính toán được 26        1 1 1 1 1ˆ ˆ, , , , .l l l l l l l lm m m m m m m m m mf f H f f f H f f f          Hình 1.11 Ví dụ về sơ đồ Weight của phép biểu diễn không khả quy của SU(2) vì thế   1 1 ,m m ml m l m        và    1 1 1ˆ 1 . l l l m m m mH f l m l m f f        (1.51) Như vậy: Với mỗi giá trị l nguyên hoặc bán nguyên có một không gian l kéo dài bởi 2 1l  vectơ trực giao  ,...,lmf m l l  . Trong không gian l các toán tử 3 ˆ ˆ ˆ, ,H H H  được cho bởi (1.36’), (1.50), (1.51) do đó tác dụng của bất kỳ phần tử A∈ E(SU(2)) được cho bởi (1.35) trên bất kỳ vector lf  nào được cho bởi (1.48) là được xác định. Để chỉ ra rằng với mỗi l thu được một toán tử khác nhau, có thể viết       3 ˆ ˆ ˆ, , l l l H H H  cho các toán tử trong (1.36’), (1.50), (1.51). Không gian l được gọi là không gian biểu diễn không khả quy của E(SU(2)). Trong không gian này, các phần tử 3 ˆ ˆ ˆ, ,H H H  xác định từ (1.31) được biểu diễn bởi các toán tử được đưa ra trong (1.36’), (1.50), (1.51). Các toán tử này được gọi là 2 1l  -chiều biểu diễn không khả quy của các toán tử 3 ˆ ˆ ˆ, ,H H H  . Có thể thấy chúng phụ thuộc vào l với mỗi 1 0, ,1,.. 2 l  có một tập hợp các toán tử khác. Tất cả các vectơ trong l là vec tơ riêng của 27 2Hˆ với cùng một giá trị riêng và l là bất biến dưới tất cả các A∈ E(SU(2)). Đặc biệt, l vẫn bất biến dưới ảnh hưởng của  ˆ 1,2,3iJ i  và 3ˆ ˆ,H H . Nếu biểu diễn được các giá trị có thể có của m trong một biểu diễn không khả quy dọc theo một đường thẳng thì ta có được sơ đồ Weight của phép biểu diễn được đặc trưng bởi giá trị riêng l của SU(2). Với l = 2 cũng được thể hiện trong Hình 1.11. Mỗi điểm tương ứng với một vector cơ sở l mf trong không gian biểu diễn l hoặc tương tự có một chiều của không gian con tương ứng được kéo dài bởi l mf . Mỗi không gian con như vậy (hoặc vector cơ sở) biểu thị cho một trạng thái vật lý thuần túy. Do đó mỗi điểm trên sơ đồ Weight tương ứng với một trạng thái vật lý thuần túy. Không gian con nhỏ nhất là 0 , là không gian một chiều, biểu thị trong Hình 1.12. Hình 1.12 Sơ đồ Weight của biểu diễn một chiều của SU(2). 28 Hình 1.13 Sơ đồ Weight của các biểu diễn không khả quy của SU(2). Vậy có một sơ đồ Weight cho mỗi biểu diễn và tác dụng của các toán tử ˆ ˆ,H H  có thể được biểu diễn trong sơ đồ này, như biểu diễn trong Hình 1.13. Đối với mỗi sơ đồ Weight, có một không gian l và với mỗi không gian l có thể có một trạng thái (hoặc tập hợp các trạng thái) của hệ cơ lượng tử được mô tả bởi giá trị l. Vì sự tương ứng giữa toán tử Lˆ ở (1.22) và moment xung lượng cổ điển I ở (1.20), số l được gọi là số lượng tử moment xung lượng:  2 2ˆ 1 .l lL f l l f  Do đó moment xung lượng trong cơ lượng tử chỉ có thể là một giá trị rời rạc. Trạng thái vật lý tương ứng với một không gian l xác định và được mô tả bởi toán tử thống kê     1 1 Wˆ dim 2 1l l ll         tại l là phép chiếu trên không gian l có một moment xung lượng xác định l. Ngoại trừ l= 0 thì trạng thái như trên không phải là trạng thái thuần túy mà là một trạng thái hỗn hợp. Để có một trạng thái thuần túy đòi hỏi không chỉ một phép đo của 2L mà còn cả một phép đo của 3L hay bất kỳ phần tử nào khác của vector 29 L. Nếu giá trị của 3L luôn là m thì trạng thái của không gian này sẽ là trạng thái thuần túy được biểu thị bởi phép chiếu l l l m m mf f  trên không gian con một chiều l m . Không gian l là tổng trực tiếp các không gian con một chiều l m , , l l l m m l      (1.52) và mỗi không gian l m được kéo dài bởi l mf vector. Không phải tất cả các toán tử tuyến tính  ˆ 1,2,3iJ i  thỏa mãn (1.28) có thể được đưa ra bởi (1.22). Nên có thể chứng minh rằng các toán tử ˆ iL cho bởi (1.22) chỉ có thể được biểu diễn bởi các toán tử trong không gian l với 0,1,2,..l  Như vậy đối với các toán tử được cho bởi (1.22) có một số đếm được các biểu diễn của  ˆ l iL trong không gian l , còn lại là bất biến dưới tác dụng của  ˆ l iL . Tuy nhiên các không gian l trên là không bất biến dưới tác dụng của các toán tử ˆ jQ và ˆ .jP Áp dụng (1.13) và định nghĩa (1.22), tính toán trực tiếp ta có ˆ ˆˆ , , ˆ ˆ ˆ, . i j ikl k i j ikl k L Q i Q L P i P          (1.53) Các toán tử như Pˆ và Qˆ thỏa mãn các hệ thức giao hoán với ˆ,L được gọi là toán tử vector. Từ (1.53) thu được  2 ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, 0,j ikl i k k iL Q i LQ Q L      30 do đó ˆ jQ sẽ thay đổi trị riêng  1l l  của 2Lˆ . Hay nói cách khác là ˆ jQ có thể biến đổi từ không gian l sang 'l với '.l l Các toán tử ˆiL trong không gian l với 1 3 5 , , ,.. 2 2 2 l  hoặc bất kỳ tổng trực tiếp nào của chúng, l l  không thể được biểu thị dưới dạng hàm số của các toán tử ˆ iQ và ˆ .iP Đối với 1 2 l  các toán tử   1/2ˆ l iL  được gọi là toán tử spin. Ma trận vuông i với các phần tử ma trận  1/2 1/2' ˆ2 ,Ll lm i mf f  được gọi là ma trận Pauli. 1.3. Phổ năng lƣợng của Rotator của phân tử hai nguyên tử Đại số bao E(SU(2)) không chứa các toán tử biến đổi trong một không gian l xác định. Tuy nhiên trong cơ học lượng tử, dạng đại số của các đại lượng của Rotator là lớn hơn E(SU(2)) , các phần tử bổ sung có thể được hình thành, ví dụ: các hàm số của iJ và iP hoặc của iJ và iQ . Ví dụ: đại lượng iQ có tính chất biến đổi từ l đến lân cận 1l và 1l : 1 1: ,l l liQ     (1.54) nhưng không thể có l n với n > 1. Không gian  là tổng trực tiếp của các không gian l : 0 .l l     (1.55) Ta có  không phải là một không gian biểu diễn không khả quy của nhóm bao E(SU(3)).  được gọi là không gian biểu diễn khả quy. Các toán tử 3 ˆ ˆ ˆ, ,H H H  là các toán tử trong không gian lớn và không gian con l của 31 không gian  là bất biến với 3 ˆ ˆ ˆ, ,H H H  và với mọi A∈ E(SU(2)). Nên sẽ có  1l l  phổ không tầm thường trong không gian  , cụ thể là phổ:   2 1 , 1,2,3,..H l l l   (1.56) Sơ đồ Weight đối với biểu diễn trong không gian  được thể hiện trong Hình 1.14. Chứng minh phát biểu (1.55). Giả thuyết rằng iJ là moment xung lượng i ikl j kL Q P thì chỉ các giá trị nguyên của l là thỏa mãn hay nói cách khác không gian  chỉ chứa không gian con l khi 0,1,2,..l  và theo (1.54) các đại lượng của Rotator (ví dụ, các toán tử iQ ) biến đổi từ không gian l đến lân cận 1l và 1l . Mỗi không gian  chỉ xuất hiện một lần và thực tế thì không cần thêm số lượng tử đối với Rotator. Nếu một 0l xuất hiện hai lần trở lên thì sẽ có hai hoặc nhiều vector    0 01 , 2 ,..l lm mf f với các số lượng tử l, m và số lượng tử mới cần thiết để phân biệt giữa hai hay nhiều vector. Nhưng Rotator chỉ là mô hình mà không có đại lượng chéo nào khác ngoài moment xung lượng ( 2L và 3L ). Rotator chỉ là một mô hình gần đúng. Hình 1.14 Tập hợp sơ đồ Weight của SO(3) thuộc biểu diễn không khả quy SO(3, l) hoặc E(3). 32 Như vậy sự chứng minh của (1.55) là về bản chất của các hệ vật lý mà trạng thái vật lý (đến một giới hạn nhất định) được mô tả bởi không gian  Mỗi dấu chấm trên sơ đồ Weight của không gian  đại diện cho trạng thái thuần túy được mô tả bởi một không gian con l m (l, m cố định) được kéo dài bởi l mf . Các toán tử thống kê cho trạng thái thuần túy Wˆ l m  tại l m là phép chiếu trên không gian l m biểu diễn một hệ cơ lượng tử mà moment xung lượng có giá trị xác định l và phần tử của moment xung lượng là 3Hˆ có giá trị xác định m. Vì không gian là đẳng hướng và hệ tọa độ được chọn là tùy ý nên 3Hˆ được chọn để biểu thị cho moment xung lượng theo hướng bất kỳ và được gọi là đường xoắn ốc. Các giá trị của toán tử năng lượng trong không gian được hiểu là phổ năng lượng của Rotator thu được từ (1.23) như phổ  2 1 1 . 2 lH E l l I    (1.57) Vậy các mức năng lượng phụ thuộc vào l như thể hiện trong sơ đồ Hình 1.15. Nếu so sánh với Hình 1.9 thấy rằng Rotator là phổ năng lượng cần thiết để giải thích phổ hồng ngoại của các phân tử hai nguyên tử. 33 Hình 1.15 Mức năng lượng và bước chuyển tiếp hồng ngoại của Rotator bền v