MỤC LỤC
Lờicảm ơn . .1
Phầnmở đầu .3
1. Lí do chọnkhoáluận .3
2. Đối tượng, phương pháp, phạm vi nghiên cứu .3
3. Mục đích, nhiệmvụ vànhững đónggópcủakhoáluận .4
Chương 1. Mộtsố kiếnthứcliên quan . . .5
1.1 Không gian Sobolev . .5
1.2 Một vài không gian của cáchàm.17
1.2.1 Không gian hàmH-1 . .17
1.2.2 Không gian phụthuộc thời gian . 18
Khônggian hàmLp(0,T;X) .18
Khônggian hàmC([0,T];X) . .18
1.3. Cácbất đẳng thức .19
1.3.1 Bất đẳng thức Gronwall-Bellman . .19
1.3.2 Bất đẳng thức năng lượng . .19
Chương 2.Tính đặt đúng củabài toán Cauchy –Dirichlet đối với phương
trình Paraboliccấphai . .21
2.1 Mở đầu.21
2.1.1 Thiết lậpbài toán.21
2.1.2 Mô típ của địnhnghĩa nghiệmsuyrộng.22
2.1.3 Nghiệm suyrộng.23
2.2 Sựtồntại duynhất của nghiệmsuyrộng.25
2.2.1 Một số đánh giá tiênnghiệm.25
2.2.2 Sựtồntại nghiệmsuy rộng. .28
2.2.3 Tínhduy nhất nghiệmsuy rộng.30
Kết luận. 31
Tài liệu tham khảo: . 32
32 trang |
Chia sẻ: netpro | Lượt xem: 1923 | Lượt tải: 3
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Khóa luận Tính đặt đúng của bài toán Cauchy - Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
g trình đạo hàm riêng.
3.2 Nhiệm vụ của khoá luận
Với mục đích đặt ra, nhiệm vụ nghiên cứu của khoá luận là nghiên cứu
tính đặt đúng của bài toán Cauchy – Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp
hai.
3.3. Những đóng góp của khoá luận
Đóng góp nổi bật của khoá luận là cung cấp được một hệ thống tri thức
mới chuyên sâu về môn phương trình đạo hàm riêng hiện đại. Đó là các khái
niệm mới như: định nghĩa đạo hàm suy rộng, các không gian Sobolev. Ngoài ra
ta biết các tính chất, vấn đề liên quan đến các khái niệm kiến thức này. Đặc biệt
nó giúp ta có một phương pháp mới đi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán
Cauchy – Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai, cụ thể là phương
pháp xấp xỉ Galerkin.
5
CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN
1.1 Không gian Sobolev
1.1.1. Không gian ( )kC W
Ta dùng các kí hiệu sau:
+) ( )C W là tập hợp tất cả các hàm liên tục trên W .
+) ( )kC W là tập hợp các hàm xác định trên W sao cho đạo hàm đến cấp k tồn tại
và liên tục trên W .
+) ( )C¥ W là tập hợp tất cả các hàm khả vi vô hạn lần trên W .
Giả sử W là một tập mở trong nR . Nếu ( )u C¥Î W thì bao đóng của tập
hợp các điểm x sao cho ( ) 0u x ¹ được gọi là giá của hàm u(x) và kí hiệu là
suppu.
Như vậy hàm u(x) = 0, xÎW \ suppu .
Ta có
+) 0 ( )C W là tập hợp tất cả các hàm thuộc ( )C W sao cho giá của chúng
compact và thuộc vào W .
+) 0 0( ) ( ) ( )
k kC C CW = W Ç W .
+) 0 0( ) ( ) ( )C C C
¥ ¥W = W Ç W .
1.1.2. Không gian Lp
Trong không gian định chuẩn có một lớp không gian Banach đặc biệt
quan trọng là không gian Lp mà dưới đây ta sẽ khảo sát.
Định nghĩa.
Cho một không gian W và một độ đo m trên một s - đại số F các tập
con
6
của W . Họ tất cả các hàm số ( )f x có lũy thừa bậc p, (1 )p£ < +¥ của modun
khả tích trên W có nghĩa là
p
f dm
W
< +¥ò ’
gọi là không gian ( , ).pL mW
Khi W là một tập đo được Lebesgue trong đó kR và m là một độ đo
Lebesgue thì ta viết ( ).pL W
Tập hợp ( , )pL mW ( trong đó ta không phân biệt các hàm tương đương
nhau, nghĩa là bằng nhau hầu khắp nơi) là một không gian tuyến tính định chuẩn
với phép toán thông thường về cộng hàm số, nhân hàm số, và với chuẩn
1
( ) .
p p
p
f f dm
W
= ò
Định lí 1.
Không gian ( , )pL mW với 1 p£ < +¥ là một không gian tuyến tính định
chuẩn đủ ( không gian Banach).
Định lí 2.
Giả sử W là một miền trong nR . Tập hợp tất cả các hàm liên tục trong
W với giá compact trù mật trong không gian ( ), 1.pL pW ³
Định lí 3.(Tính khả ly)
Giả sử p ≥ 1 và W là một miền thuộc nR . Tồn tại một tập con đếm được
các phần tử của không gian ( ),pL W sao cho bao tuyến tính của nó trù mật trong
( ).pL W
Chứng minh
Giả sử R là một số hữu tỉ nào đó, nx Î R
Kí hiệu ( , )U x R là hình hộp
{ }( , ) : , 1,n i iU x R y R y x R i n= Î - < =
7
Giả sử ( )pf LÎ W và 0e > . Đặt ( ) 0f x = với xÏW , và xét như một
hàm thuộc ( )npL R . Chọn R là một số nguyên đủ lớn sao cho
\ (0, )
( ) .
n
p p
U R
f x dx e<ò
R
Nhờ định lí 2 tồn tại một hàm Rg liên tục trong (0, )U R sao cho
(0, 1)
( ) ( ) ,
p p
U R
f x g x dx e
+
+ <ò
vì hàm Rg liên tục trên (0, 1)U R+ nên nó liên tục đều trên (0, )U R .
Do vậy 0d$ > sao cho
( ) ( ) , , (0, ), ,
n
p
R Rg x g y R x y U R x ye d
-
- < Î - <
lấy 2 NR nd -= với N là một số nguyên nào đó để d đủ nhỏ. Chia hình hộp
(0, )U R thành các hình hộp nhỏ không giao nhau có độ dài cạnh là 2 NR - và xét
tập hợp S bao gồm các hàm đặc trưng ( )jX x của các hình hộp này với mọi N.
Đặt
( ) ( ) ( ),R j j
j
h x g x X x= å
trong đó jx là tâm của các hình hộp nhỏ.
Khi đó
( ) ( ) ( ) ( )
n
p
R R R jg x h x g x g x Re
-
- = - <
Nếu x thuộc vào hình hộp với tâm jx . Ta có
(0, )
p p
R
U R
g h dx e- <ò
Đặt
0Rg = , h(x) = 0 đối với \ (0, )
nx U RÎR ta được
8
111
(0, ) \ (0, )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
pppp p p
U R U R
f x h x dx f x h x dx f x dx
æ öæ öæ ö
ç ÷- £ - +ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø
ò ò ò
R R
11
(0, ) (0, ) \ (0, )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
ppp p p
R R
U R U R U R
f x g x dx g x h x dx f x dx
æ öæ ö æ ö
ç ÷£ - + - +ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø
ò ò ò
R
1 1
(0, 1) (0, )
( ) ( ) ( ) ( )
p pp p
R R
U R U R
f x g x dx g x h x dx
+
æ ö æ ö
£ - + -ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷
è ø è ø
ò ò
1
\ (0, )
( ) 3 .
n
p
p
U R
f x dx e
æ ö
ç ÷+ £
ç ÷
è ø
ò
R
Do vậy tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các hàm jX trù mật trong ( )pL W .
Một trong những ứng dụng quan trọng của các hàm thuộc không gian
( ), 1pL pW ³ là tính liên tục toàn cục của nó.
Định lí 4.(Tính liên tục toàn cục)
Giả sử W là một miền thuộc , ( ), 1, ( ) 0n pf L p f xÎ W ³ =R bên ngoài .W
Khi đó với mỗi 0e > tồn tại một số 0d > , sao cho
( ) ( ) ,
p
f x f x y dx e
W
- + <ò
với mọi y thỏa mãn .y d<
1.1.3. Trung bình hóa
Giả sử ( )xq là một hàm trực thuộc lớp
0
( )nC¥ R sao cho
( ) ( ), ( ) 0, ( ) 0x x x xq q q q= - ³ = nếu 1x > và ( ) 1.
n
xq =ò
R
Hàm ( )xq được gọi là nhân trung bình hoá.
Định lí 5.
Nếu ( ), 1pu L pÎ W ³ thì ( )0lim 0.ph Lh u u W® - =
Định lí 6.
9
Nếu 1, ( )f g LÎ W , thì
( ) ( ) ( ) ( ) .h hf x g x dx f x g x dx
W W
=ò ò
Định lí 7.
Nếu 1( )f LÎ W và ( ) ( ) 0,f x x dxj
W
=ò với mọi
0
( )Cj ¥Î W thì 0.f =
1.1.4. Đạo hàm suy rộng
Giả sử W là một miền trong nR . Một hàm ( ) ( )pu x LÎ W được gọi là đạo
hàm suy rộng cấp α của hàm ( ) ( )pv x LÎ W nếu
( ) ( ) ( 1) ( ) ( )u x x dx v x D x dx
a ay y
W W
= -ò ò , với mọi
0
( )Cy ¥Î W ,
ở đó 1 2 1 2( , ,..., ), ...n na a a a a a a a= = + + + và
1 2
1 2
.
... n n
D
x x x
a
a
aa a
¶
=
¶ ¶ ¶
Chú ý
i) Hàm ( )v x không có quá một đạo hàm suy rộng.
Thật vậy giả sử 1( )u x và 2 ( )u x là đạo hàm suy rộng của hàm ( )v x .
Khi đó
0
1 2( ( ) ( )) ( ) 0, ( ) ( ).u x u x x dx x Cy y
¥
W
- = " Î Wò
Mà 1 2 1,( ) ( ) ( )locu x u x L- Î W nên 1 2( ) ( ) 0u x u x- = hầu khắp nơi trong W .
Suy ra 1 2( ) ( )u x u x= hầu khắp nơi trong W .
ii) Nếu
0
( ) ( )v x C¥Î W thì theo công thức Ostrograsdki ta có
( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ,u x x dx v x D x dx
a ay y
W W
= -ò ò với hàm tuỳ ý
0
( )Cy ¥Î W .
Có nghĩa hàm ( )v x có đạo hàm suy rộng ( )u x bằng ( )D v xa .
10
Đặc biệt nếu hàm ( )v x bằng hằng số ( hầu khắp nơi) trên W thì có đạo hàm
suy rộng tuỳ ý.
iii) Từ định nghĩa ta suy ra đạo hàm suy rộng không phụ thuộc vào thứ tự
lấy đạo hàm. Thật vậy giả sử f tồn tại đạo hàm cấp α.
Ta chứng minh
1 1
1 1... ... ... ... ... ...
j ji n i n
i j n j i n
f f
x x x x x x x x
a a
a aa a a aa a
¶ ¶
=
¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶
+
1
1 ... ... ...ji ni j n
v
x x x x
a
aa aa
¶
¶ ¶ ¶ ¶
=
1
1 ... ... ...
j i n
j i n
v
x x x x
a
a a aa
¶
¶ ¶ ¶ ¶
, ( )v C a" Î W .
Do 1( )f LÎ W nên theo định nghĩa đạo hàm suy rộng
1
1
( 1)
... ... ...ji ni j n
v dx v dx
x x x x
a
a
aa aa
w
W W
¶
= -
¶ ¶ ¶ ¶ò ò
=
1
1
,
... ... ...j i nj i n
ff dx
x x x x
a
a a aa
W
¶
¶ ¶ ¶ ¶ò
với
0
.v C¥Î Suy ra
1
1
.
... ... ...j i nj i n
f
x x x x
a
a a aa
w
¶
=
¶ ¶ ¶ ¶
iv) Một hàm có đạo hàm bình thường (đạo hàm theo nghĩa cổ điển) cấp α
thì có đạo hàm suy rộng cấp α nhưng điều ngược lại nói chung không đúng.
Ví dụ
Xét hàm ( )f x x= trên (-1;1).
ta đã biết tồn tại đạo hàm thường tại 0x" ¹ . Tại x = 0 thì không tồn tại đạo
hàm vì (0 ) 1, (0 ) 1f f- + - -= = - . Ta sẽ chứng minh ( )f x x= có đạo hàm suy
rộng trên toàn trục số.
11
Xét
1 1 0
1 1
, ( ),dvx dx vdx v C
dx
w ¥
- -
= - " Îò ò R
lấy
1, 0 1
1, 1 0
x
x
w
£ <ì
= í- - < <î
do đó 1( 1;1)Lw Î - nên
1 0 1 0 1
1 1 0 1 0
2.dx dx dx dx dxw w w
- - -
= + = - + =ò ò ò ò ò
Nên
1 0 1
1 1 0
,v v vx dx x dx x dx
x x x- -
¶ ¶ ¶
= +
¶ ¶ ¶ò ò ò
hay
1 0 1
1 1 0
v v vx dx x dx x dx
x x x- -
¶ ¶ ¶
= - +
¶ ¶ ¶ò ò ò
0 1 0 1
1 0 1 0
1
1
( 1) 1
.
vdx vdx vdx vdx
vdxw
- -
-
æ ö
= - = - - +ç ÷
è ø
= -
ò ò ò ò
ò
như vậy hàm ( )f x x= không có đạo hàm thường trên khoảng ( -1;1) nhưng có
đạo hàm suy rộng trên khoảng ( -1;1).
v) Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp α trong miền W thì nó cũng có đạo
hàm suy rộng cấp α trong miền 'W Ì W .
Thật vậy
Giả sử
0
1( ), ( )f L v C
¥Î W Î W ta có
1 2 1 2
1 2 1 2' '
.
... ...n nn n
v vf dx f dx
x x x x x x
a a
a aa a a a
W W
¶ ¶
=
¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ò ò
Do
0 0
( '), ( )v C v C¥ ¥Î W Î W với 'W Ì W nên
12
'
1 1 .vdx vdxa aw w
W W
- = -ò ò
Ta có 1( )Lw Î W suy ra 1( ')Lw Î W vậy sẽ tồn tại 1( ')Lw Î W sao cho
1 2
0
1 2' '
1 , ( ').
... n n
vf dx vdx v C
x x x
a
a
aa a w
¥
W W
¶
= - " Î W
¶ ¶ ¶ò ò
Do đó tồn tại đạo hàm suy rộng
1
1 ... nn
f
x x
a
aa w
¶
=
¶ ¶ trên '.W
vi) Khác với đạo hàm cổ điển, đạo hàm suy rộng D va được xác định
ngay với cấp α mà không cần giả thiết các đạo hàm cấp thấp hơn tương ứng tồn
tại. Các đạo hàm cấp thấp hơn có thể không tồn tại.
Sau đây ta đi xét một định lí về sự liên hệ giữa đạo hàm suy rộng và trung
bình hoá.
Định lí 8.
Giả sử W là một miền trong không gian , 'n WR là miền con của W sao
cho khoảng cách giữa 'W và ¶W bằng d > 0. Khi đó, đối với 0 < h < d và
'x ÎW ta có
( ) ( ) ( )h hD u x D u x
a a= .
Chứng minh
Do 0 < h < d, 'xÎW và hàm
0
( )x y C
h
q ¥
-æ öÎ Wç ÷
è ø
với ',xÎW nên khi sử
dụng định nghĩa đạo hàm suy rộng ta nhận được
( ) ( ) ( ) ,
n
n
h
x yD u x D x h u y dy
h
a a q-
-æ ö= ç ÷
è øòR
hay ( ) ( 1) ( )
n
h
x yD u x h D y u y dy
h
aa a q-
W
-æ ö= - ç ÷
è øò
13
( ) ( ) ( ).
n
h
x yh D yu y dy D u x
h
a aq-
W
-æ ö= =ç ÷
è øò
1.1.5. Không gian Sobolev ( ( ),1mpW pW £ < ¥ )
Một không gian phiếm hàm được sử dụng rộng rãi trong lí thuyết phương
trình đạo hàm riêng là không gian Sobolev. Sobolev S.L đã xây dựng không
gian này vào giữa thế kỉ 20 và từ đó đến nay nhiều nhà toán học khác đã tiếp tục
mở rộng và phát triển để nghiên cứu những bài toán phương trình đạo hàm riêng
ngày càng khó khăn, phức tạp.
Không gian ( )mpW W là không gian bao gồm tất cả các hàm ( ) ( )pu x LÎ W
sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng đến tận cấp α thuộc ( )pL W và được trang
bị bởi chuẩn sau
1
( )
( )m
p
pp
W
m
u D u x dya
a
a
W
< W
æ ö
= <ç ÷ç ÷
è ø
å ò (4.1).
Định lí 9.
Giả sử W là một miền trong nR và 0,1 .m p³ £ < ¥ Khi đó ( )mpW W là
một không gian Banach.
Không gian ( )mpW W với chuẩn (4.1) được gọi là không gian Sobolev.
Chú ý
Từ tính chất ( )pL W là không gian đầy ta cũng suy ra được ( )
m
pW W cũng là
không gian đầy.
2 ( )L W là không gian Hilbert suy ra 2 ( )
mW W cũng là không gian Hilbert.
Ở trường hợp này để ngắn gọn người ta kí hiệu là ( )kH W .
Ta đi xét vấn đề xấp xỉ một hàm thuộc không gian ( )mpW W bằng các hàm
thuộc ( )C¥ W .
14
Định lí 10.
Giả sử W là một miền thuộc nR và 'W là một miền con của W sao cho
'W Ì W . Nếu ( ),mpu WÎ W thì
m
pW ( )0
lim 0.hh u u W® - =
Chứng minh
Theo định lí 9 ta có
m '
p
1
W ( )
'
( )
pp
h h
m
u u D u u dxa
a
W
£ W
æ ö
- = -ç ÷ç ÷
è ø
å ò
1
'
( ) )
pp
h
m
D u D u dxa a
a £ W
æ ö
= -ç ÷ç ÷
è ø
å ò (4.2).
Đặt v D uaa = . Từ định lí 6 suy ra
'
( ) 0, 0phv v dx ha a
W
- ® ®ò (4.3).
Từ (4.2) và (4.3) ta nhận được
( ') 0, 0.mph Wu u hW- ® ®
Định lí 11.
Giả sử dãy { } 1j ju
¥
=
các phần tử của không gian ( )mpW W bị chặn
( ) ,mpj Wu C C constW £ =
Ngoài ra, giả sử dãy này hội tụ yếu trong không gian ( )pL W tới một
hàm ( )u x khi j ® ¥ . Khi đó { }
1j j
u
¥
=
hội tụ yếu trong không gian ( )pL W
tới hàm ( ) ( )mpu x WÎ W và
( ) .mpWu CW £
15
Chứng minh
Ta có
( ) ( ) ( 1) ( ) ( )j jx D u x dx u x D x dx
aa aj j
W W
= -ò ò
ở đó
0
( ) ( )x Cj ¥Î W . Điều này kéo theo dãy { }
1
( )j jD u x
a ¥
=
hội tụ yếu trong
( )pL W tới hàm ( )v xa . Ta có
0
( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) , ( ) ( ).x v x dx u x D x dx x Ca aaj j j
¥
W W
= - " Î Wò ò
Do đó đạo hàm suy rộng ( )D u xa tồn tại và bằng ( )v xa . Hơn nữa
2
( )
( ) lim ( ) ( ) ( )
p
pp
jL j
D u x D u x D u x D u x dxa a a a
-
W ®¥
W
£ ò
1
( ) ( )
( ) lim sup ( ) .
p p
p
jL Lj
D u x D u xa a
-
W W®¥
£
Từ đó nhận được
( )( ), .mp
m
p Wu W u CWÎ W £
Định lí 12.
Nếu W là một miền thuộc ,nR thì không gian ( )C¥ W trù mật trong
( )mpW W .
Định lí 13.
Giả sử U là một hình hộp trong nR
{ }: , 1,..., ,n j j jU x a x a j n= Î - < < =R
và ( ), 1mpu W U pÎ ³ . Khi đó tồn tại một hàm 1 ( )
m
pu WÎ R sao cho 1( ) ( )u x u x=
với mọi x UÎ và
{ }1 1sup ( ) : 2 2 , 1,..., ,n j j jpu x U x a x a j nÌ = Î - < < =R
16
hơn nữa
1 ( ) ( )( ) ( ) ,m n mp pW W Uu x C u x£R
ở đó C là hằng số không phụ thuộc vào hàm u.
1.1.6. Không gian
0
( ),1mpW pW £ < ¥
Không gian
0
( ),1mpW pW £ < ¥ là bao đóng của
0
( )C¥ W trong chuẩn
của không gian ( )mpW W .
Định lí 14. ( Friedrichs)
Giả sử W là một miền bị chặn trong nR . Khi đó tồn tại một hằng số
( )C C= W , phụ thuộc vào W sao cho
11
( )
1
,
p
p pnpp
L
i i
uu dx u C dx
xW =W W
æ öæ ö ¶ç ÷= £ç ÷ ç ÷¶è ø è ø
åò ò với mọi hàm
0
1( ).pu WÎ W
Định lí 15.
Giả sử ( ) ( ), 1mpu x W pÎ W ³ và sup ( ) .pu x ÌÌ W Khi đó
0
( ) ( ).mpu x WÎ W
Định lí 16.
Giả sử { } 1( )j ju x
¥
= trong không gian
0
( ), 1mpW pW ³ hội tụ yếu trong không
gian ( )pL W tới hàm ( )u x hơn nữa dãy này bị chặn. Khi đó ( )u x cũng bị chặn
và
0
( ) ( ).mpu x WÎ W
Định lí 17.
Các không gian
0
( )m npW R và ( )
m n
pW R là trùng nhau.
1.1.7. Không gian ,2 ( )
m l
TW U
Giả sử W là một miền trong nR và T = const > 0.
Kí hiệu
17
( ) { }0, ( , ) : , (0, )nTU T x t x t T= W´ = Î ÎR
và gọi nó là trụ với chiều cao T và đáy W .
,
2 ( )
m l
TW U là không gian Sobolev bao gồm tất cả các hàm
2( , ) ( ),Tu x t L UÎ sao cho tồn tại tất cả các đạo hàm suy rộng theo x đến tận cấp
m và theo t đến tận cấp l thuộc 2 ( ),TL U trong nó trang bị chuẩn
,
2
1
2
( )
1
m l
T
T T
kl
kW U
m kU U
uu D u dxdt dxdt
t
a
a £ =
æ ö¶
= +ç ÷ç ÷¶è ø
å åò ò (4.4).
Trường hợp l = 2, số hạng thứ hai trong vế phải của (4.4) coi như không có.
Không khó khăn có thể kiểm tra được ,2 ( )
m l
TW U là một không gian
Banach, hơn nữa, nó là không gian Hilbert với tích vô hướng được sinh từ chuẩn
(4.4).
0
,
2 ( )
m l
TW U là không gian con của
,
2 ( ),
m l
TW U bao gồm tất cả các hàm u(x,t)
bằng không gần biên ST = ( )0,T¶W´ . Điều đó có nghĩa là,
0
,
2( , ) ( )
m l
Tu x t W UÎ
khi và chỉ khi tồn tại dãy
{ } 1( , ) ( ), ( , ) 0,k T kku x t C U u x t
¥ ¥
=
Î =
khi đó { }{ }( , ) ( , ) : ( , ),T T Tx t U x t U dist x t Sd dÎ = Î < và ku u® trong ,2 ( )m l TW U
khi .k ® ¥
0
,
2 ( )
m l
TW U cũng là một không gian Hilbert.
1.2 Một vài không gian của các hàm
1.2.1. Không gian hàm 1H -
Định nghĩa 1. 1( )H U- là không gian đối ngẫu thứ nhất của 10 ( ).H U
Định nghĩa 2. Nếu 1( ),f H U-Î chuẩn xác định bởi
1 1
0
1
0( ) ( )
sup{ f,u ( ), 1}.
H U H U
f u H U u- = Î £
18
Định lí 1. (Đặc trưng quan trọng của 1H - )
(i) Giả sử 1( )f H U-Î khi đó xuất hiện các hàm 0 1, ,....., nf f f trong
2 ( )L U
sao cho
(1) 0 10
1
, ( ( )).
i
n
i
x
iU
f v f v f v dx v H U
=
= + Îåò
(ii) Hơn nữa
1
2
1
2
( )
0
inf |
n
i
H U
iU
f f dx-
=
ìæ öï= íç ÷
è øïî
åò
f thoả mãn (1) cho }0 2,..., ( ) .nf f L UÎ
1.2.2. Không gian phụ thuộc thời gian
Định nghĩa 3. Không gian Lp(0,T;X) gồm tất cả các hàm đo được
[ ]: 0,u T X® với
(i)
1
(0, ; )
0
: ( ) ,
p
p
T
p
L T X
u u t dt
æ ö
= < ¥ç ÷
è ø
ò với 1 .p£ < ¥
(ii) (0, ; )
0
: sup ( ) .
L T X
t T
u ess u t¥
£ £
= < ¥
Khi p=1, 1(0, ; )u L T XÎ . Ta nói 1(0, ; )v L T XÎ là đạo hàm suy rộng của u
viết là
u’ = v
sao cho
0 0
'( ) ( ) ( ) ( ) ,
T T
t u t dt t v t dtf f= -ò ò
với mọi hàm thử (0, ).cC Tf
¥Î
Định nghĩa 4. Không gian hàm [ ]( )0, ;C T X bao gồm tất cả các hàm
19
liên tục [ ]: 0,u T X® với
[ ]( 0, ; ) 0: max ( ) .C T X t Tu u t£ £= < ¥
Định lí 2. Cho ( )2 100, ; ( ) ,u L T H UÎ với ( )2 1' 0, ; ( ) .u L T H U-Î
(i) Khi đó
[ ]( )20, ; ( ) .u C T L UÎ
(ii) Ánh xạ
2
2
( )
( )
L U
t u t
là liên tục tuyệt đối, với
2
2
( )
( ) 2 '( ), ( )
L U
d u t u t u t
dt
= , a.e. 0 t T£ £ .
(iii) Xa hơn, ta có bất đẳng thức
(10) ( )2 2 1 2 1
0( ) (0, ; ( )) (0, ; ( ))0
max ( ) ' ,
L U L T H U L T H Ut T
u t C u u -
£ £
£ +
C là hằng số phụ thuộc duy nhất vào T.
1.3. Các bất đẳng thức
1.3.1. Bất đẳng thức Gronwall – Bellman
Định lí 3. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn
(i) 0( ) 0; ( ) 0; ; 0,u t f t t t C³ ³ ³ ³
(ii) [ )0 ;( ), ( ) ,tu t f t C +¥Î
(iii)
0
1 1 1( ) ( ) ( ) .
t
t
u t C f t u t dt£ + ò
Khi đó
0
1 1( ) .exp ( ) .
t
t
u t C f t dt
ì üï ï£ í ý
ï ïî þ
ò
1.3.2. Bất đẳng thức năng lượng
20
Định lí 4. Tồn tại một hằng số , 0a b > và 0g ³ sao cho
(i) [ ] 1 1
0 0( ) ( )
, ,
H U H U
B u v u va£
và
(ii) [ ]1 2
0
2 2
( ) ( )
, ,H U L Uu B u u ub g£ +
trong đó [ ]
,
, 1 1
, ,
i j
i j i
n n
i
x x x
i j iU
B u v a u v b u v cuvdx
= =
= + +å åò với 10, ( ).u v H UÎ
21
CHƯƠNG 2
TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN CAUCHY – DIRICHLET
ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI
2.1. Mở đầu
2.1.1. Thiết lập bài toán
Giả sử U là một tập mở, bị chặn trên không gian nR , và đặt
( ]0,TU U T= ´ với biến thời gian T > 0. Ta sẽ nghiên cứu điều kiện ban đầu -
điều kiện biên bởi
(1) [ ]
{ }
,,
0, ên 0, ,
,
trong
tr
ên 0 ,tr
t Tu Lu f U
u U T
u g U t
+ =ì
ï
= ¶ ´í
ï = ´ =î
trong đó : Tf U ® R và :g U ® R là các hàm đã cho, và : Tu U ® R là hàm
chưa biết, L là một toán tử vi phân cấp hai có dạng
(2)
, 1 1
( ( , ) ) ( , ) ( , ) ,
i j i
n n
ij i
x x x
i j i
Lu a x t u b x t u c x t u
= =
= - + +å å
hoặc khai triển thành
(3)
, 1 1
( , ) ( , ) ( , ) ,
i j i
n n
ij i
x x x
i j i
Lu a x t u b x t u c x t u
= =
= - + +å å
aij, bj, c ( i, j = 1,…,n) là các hệ số.
Định nghĩa. Giả sử toán tử vi phân Lt
¶
+
¶
gọi là toán tử Parabolic mạnh
nếu tồn tại một hằng số 0q > sao cho
(4)
2
, 1
( , ) ,
n
ij
i j
i j
a x t x x q x
=
³å
đúng với mọi ( , ) , .nTx t U xÎ ÎR.
Giả sử rằng
22
(5) , , ( ) ( , 1, ),ij i Ta b c L U i j n
¥Î =
(6) 2( )Tf L UÎ ,
(7) 2 ( )g L UÎ ,
trong đó ( , 1, ).ij jia a i j n= =
Kí hiệu dạng song tuyến tính phụ thuộc vào thời gian
(8) [ ]
, 1 1
, ; : (., ) (., ) (., ) ,
i j i
n n
ij i
x x x
i j iU
B u v t a t u v b t u v c t uvdx
= =
= + +å åò
với 10, ( )u v H UÎ và a.e. [ ]0,t TÎ .
Chúng tôi gọi bài toán (1) là bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với
phương trình Parabolic cấp hai.
2.1.2. Mô típ của định nghĩa nghiệm suy rộng
Để mô tả định nghĩa nghiệm suy rộng, chúng ta giả sử rằng u = u(x,t)
là một hàm nghiệm trơn của bài toán (1). Coi u là một ánh xạ
[ ] 10: 0, ( )u T H U®
xác định bởi [ ] [ ]( ) ( ) : ( , ) ( ; 0, )u t x u x t x U t T= Î Î .
Trong định nghĩa đó xét u không giống như hàm x và t cùng nhau
nhưng giống như một ánh xạ u của t vào không gian 10 ( )H U của các hàm x.
Điều này chỉ ra biểu diễn sau đây
trở lại bài toán (1) ta có định nghĩa tương tự
[ ] 2: 0, ( )f T L U®
bởi [ ] [ ]( ) ( ) : ( , ) ( ; 0, )f t x f x t x U t T= Î Î .
Khi đó nếu cố định hàm 10( )v H UÎ , ta có thể nhân phương trình đạo hàm
riêng
u Lu f
t
¶
+ =
¶
bởi v và tích phân chúng, ta được
23
(9) [ ]( ', ) , ; ( , ) ' ,
du v B u v t f v
dt
æ ö+ = =ç ÷
è ø
với mỗi [ ]0, ,t TÎ cặp kí hiệu ( , ) là tích vô hướng trong 2 ( )L U .
Ta thấy
(10)
0
1
j
n
j
t x
j
u g g
=
= + å trong UT .
Cho
0
1
:
i
n
i
x
i
g f b u cu
=
= - -å và
1
: ( 1, ).
i
n
j ij
x
i
g a u j n
=
= =å
Từ (10) và định nghĩa không gian đối ngẫu kéo theo vế phải của (10) thuộc
không gian Sobolev 1( )H U- ta được
( )1 1 22 0
1
22
( ) ( ) ( )( )
0
.
n
j
t H U H U L UL U
j
u g C u f-
=
æ ö
£ £ +ç ÷
è ø
å
Đánh giá này gợi ý rằng có thể tìm nghiệm suy rộng với 1' ( )u H U-Î
a.e. [ ]0, ,t TÎ trong trường hợp này số hạng tử đầu tiên trong (9) có thể biểu
diễn giống ', ,u v kí hiệu là một cặp của 1( )H U- và 10 ( )H U .
2.1.3. Nghiệm suy rộng
Định nghĩa. Một hàm 2 10(0, ; ( ))u L T H UÎ , với
2 1' (0, ; ( ))u L T H U-Î ,
được gọi là nghiệm suy rộng của bài toán biên ban đầu thứ nhất nếu nó thỏa
mãn các điều kiện sau
[ ]( ) ', , ; , ,i u v B u v t f v + = 10 ( )v H UÎ" , a.e. [ ]0, ,t TÎ
và ( ) (0) .ii u g=
Chú ý 1.
Theo định lí 2 của 1.2.2. chương 1 thấy [ ]( )20, ; ( ) ,u C T L UÎ và do đó
đẳng thức (ii) hiểu theo nghĩa trù mật.
24
Một hàm u được gọi là nghiệm cổ điển của bài toán (1) nếu
2,1( ) ( )T Tu C U C UÎ Ç và thoả mãn (1).
Giả sử u là nghiệm cổ điển của bài toán trên. Khi đó 0 ( )v C U
¥" Î . Nhân
hai vế của đẳng thức tu Lu f+ = với h rồi lấy tích phân hai vế trên trụ TU ta
được
(11)
ij
, 1 1
n n
i
i j ii j iU U
u u uv a v b v cuv dx fvdx
t x x x= =
é ùæ ö¶ ¶ ¶ ¶
- + + =ê úç ÷ç ÷¶ ¶ ¶ ¶ê úè øë û
å åò ò
Áp dụng công thức tích phân từng phần và điều kiện biên ta có
ij ij
, 1 , 1
.
n n
i j i ji j j iU U
u u va vdx a dx
x x x x= =
æ ö¶ ¶ ¶ ¶
= -ç ÷ç ÷¶ ¶ ¶ ¶è ø
å åò ò
Thay vào (11) ta được
ij
0
, 1 1
, ( ).
n n
i
i j ij i iU U
u u v uv a b v cuv dx fvdx v C U
t x x x
¥
= =
é ù¶ ¶ ¶ ¶
+ + + = " Îê ú
¶ ¶ ¶ ¶ê úë û
å åò ò
Điều này có nghĩa là
[ ]', , ; , ,u v B u v t f v + = 0 ( )v C U¥Î" , a.e. [ ]0,t TÎ .
Nhưng do 0 ( )C U
¥ trù mật trong 10 ( )H U suy ra đẳng thức trên đúng với
1
0 ( ).v H U" Î Mặt khác từ
2,1( ) ( )T Tu C U C UÎ Ç và điều kiện biên của bài toán
(1) suy ra 10 ( ).u H UÎ
Ta thấy rằng nếu bài toán có nghiệm cổ điển thì luôn có nghiệm suy rộng
tuy nhiên điều ngược lại không đúng vì nghiệm cổ điển đòi hỏi hàm u có đạo
hàm theo ix đến cấp của phương trình cấp hai và đạo hàm theo t đến cấp một
Trong khi đó nghiệm suy rộng của bài toán chỉ đòi hỏi đạo hàm suy rộng theo
ix đến cấp một.
Bởi vậy trong phương trình đạo hàm riêng hiện đại người ta đi tìm
nghiệm suy rộng của bài toán và chứng minh tồn tại duy nhất nghiệm suy rộng.
25
Sau đó đi tìm một số điều kiện để nghiệm suy rộng có thể thành nghiệm cổ điển
hoặc nghiệm hầu khắp nơi của bài toán .
2.2. Sự tồn tại duy nhất của nghiệm suy rộng
2.2.1. Một số đánh giá tiên nghiệm
Chúng ta đã xây dựng nghiệm suy rộng của bài toán biên ban đầu thứ nhất
bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin.
Giả sử các hàm ( )k k xw w= ( k =1,…) là trơn và
(12) { } 1k kw
¥
= là trực giao của
1
0 ( ),H U
và (13) { } 1k kw
¥
= là trực chuẩn của
2 ( ).L U
Cố định một số nguyên dương m, ta tìm được một hàm
(14) [ ] 10: 0, ( )mu T H U®
có dạng
1
( ) : ( ) ,
m
k
m m k
k
u t d t w
=
= å
( )kmd t là hệ số, ( 0 ; 1,..., ).t T k m£ £ =
do đó (15) (0) ( , ) ( 1,..., ).km kd g k mw= =
và (16) [ ]( , ) , ; ( , ) (0 , 1,..., )m k m k ku B u t f t T k mw w w¢ + = £ £ = .
Ta tìm được một hàm um có dạng (14) thoả mãn như là một phép chiếu
(16) của bài toán (1) lên không gian con hữu hạn biểu diễn bởi { } 1
m
k k
w
= .
Định lí 1. ( Cấu trúc của nghiệm xấp xỉ)
Mỗi số nguyên m = 1,…sẽ xuất hiện duy nhất một hàm um có dạng (14)
thoả mãn (15), (16).
Chứng minh
Giả sử um có cấu trúc như (14), từ (13) ta có
(17) ( ),m ku t w¢ =
1
( ) ,
m
k
m k k
k
d t w w
=
å = '
1
( ) ,
m
k
m k k
k
d t w w
=
å = ( ).kmd t¢
Mặt khác
26
(18) [ ]
1
, ; ( ) ( ),
m
kl l
m m m
l
B u t e t d tw
=
= å
với [ ]( ) : , ; ( , 1,..., ).kl l ke t B t k l mw w= =
Giả sử ( )( ) : ( ), ( ) 1, .kf t f t k k mw= =
Từ đó (16) trở thành hệ tiếp tuyến của phương trình vi phân thường
(19)
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( 1, ).
m
k kl l k
m m
l
d t e t d t f t k m
=
¢ + = =å
Do đó tồn tại duy nhất một hàm liên tục tuyệt đối
1( ) ( ( ),....., ( )),mm m md t d t d t= có dạng (14) thỏa mãn (15), (19) tức là thỏa mãn
(15), (16), a.e. [ ]0,t TÎ .
Chú ý 2.
Cho m ® ¥ và chỉ ra dãy con của nghiệm mu thỏa mãn (15), (16) hội tụ
yếu đến nghiệm của (1), để làm được điều này ta cần có đánh giá sau
Tồn tại một hằng số C, phụ thuộc duy nhất vào U, T và các hệ số của L
sao cho
(20) [ ] 2 2 1 2 10( ) (0, ; ( )) (0, ; ( ))0,
max ( ) 'm m mL U L T H U L T H Ut T u t u u -Î + +
( )2 2 2(0, ; ( )) ( )L T L U L UC f g£ + ,
cho m = 1,2,…(Bất đẳng thức năng lượng).
Chứng minh
Nhân (16) bởi ( ),kmd t lấy tổng 1,...k m= và kết hợp (14) ta được
(21) ( ) [ ] ( )' , , ; ,m m m m mu u B u u t f u+ = , a.e. [0,T]t Î .
Theo định lí 4 của 1.3.2. chương 1 ta thấy xuất hiện 0, 0b g> ³ sao cho
(22) [ ]1 2
0
2 2
( ) ( )
Các file đính kèm theo tài liệu này:
Nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy - Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai.pdf