Khóa luận Tính đặt đúng của bài toán Cauchy - Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai

g trình đạo hàm riêng. 3.2 Nhiệm vụ của khoá luận Với mục đích đặt ra, nhiệm vụ nghiên cứu của khoá luận là nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy – Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai. 3.3. Những đóng góp của khoá luận Đóng góp nổi bật của khoá luận là cung cấp được một hệ thống tri thức mới chuyên sâu về môn phương trình đạo hàm riêng hiện đại. Đó là các khái niệm mới như: định nghĩa đạo hàm suy rộng, các không gian Sobolev. Ngoài ra ta biết các tính chất, vấn đề liên quan đến các khái niệm kiến thức này. Đặc biệt nó giúp ta có một phương pháp mới đi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy – Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai, cụ thể là phương pháp xấp xỉ Galerkin. 5 CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1. Không gian ( )kC W Ta dùng các kí hiệu sau: +) ( )C W là tập hợp tất cả các hàm liên tục trên W . +) ( )kC W là tập hợp các hàm xác định trên W sao cho đạo hàm đến cấp k tồn tại và liên tục trên W . +) ( )C¥ W là tập hợp tất cả các hàm khả vi vô hạn lần trên W . Giả sử W là một tập mở trong nR . Nếu ( )u C¥Î W thì bao đóng của tập hợp các điểm x sao cho ( ) 0u x ¹ được gọi là giá của hàm u(x) và kí hiệu là suppu. Như vậy hàm u(x) = 0, xÎW \ suppu . Ta có +) 0 ( )C W là tập hợp tất cả các hàm thuộc ( )C W sao cho giá của chúng compact và thuộc vào W . +) 0 0( ) ( ) ( ) k kC C CW = W Ç W . +) 0 0( ) ( ) ( )C C C ¥ ¥W = W Ç W . 1.1.2. Không gian Lp Trong không gian định chuẩn có một lớp không gian Banach đặc biệt quan trọng là không gian Lp mà dưới đây ta sẽ khảo sát. Định nghĩa. Cho một không gian W và một độ đo m trên một s - đại số F các tập con 6 của W . Họ tất cả các hàm số ( )f x có lũy thừa bậc p, (1 )p£ < +¥ của modun khả tích trên W có nghĩa là p f dm W < +¥ò ’ gọi là không gian ( , ).pL mW Khi W là một tập đo được Lebesgue trong đó kR và m là một độ đo Lebesgue thì ta viết ( ).pL W Tập hợp ( , )pL mW ( trong đó ta không phân biệt các hàm tương đương nhau, nghĩa là bằng nhau hầu khắp nơi) là một không gian tuyến tính định chuẩn với phép toán thông thường về cộng hàm số, nhân hàm số, và với chuẩn 1 ( ) . p p p f f dm W = ò Định lí 1. Không gian ( , )pL mW với 1 p£ < +¥ là một không gian tuyến tính định chuẩn đủ ( không gian Banach). Định lí 2. Giả sử W là một miền trong nR . Tập hợp tất cả các hàm liên tục trong W với giá compact trù mật trong không gian ( ), 1.pL pW ³ Định lí 3.(Tính khả ly) Giả sử p ≥ 1 và W là một miền thuộc nR . Tồn tại một tập con đếm được các phần tử của không gian ( ),pL W sao cho bao tuyến tính của nó trù mật trong ( ).pL W Chứng minh Giả sử R là một số hữu tỉ nào đó, nx Î R Kí hiệu ( , )U x R là hình hộp { }( , ) : , 1,n i iU x R y R y x R i n= Î - < = 7 Giả sử ( )pf LÎ W và 0e > . Đặt ( ) 0f x = với xÏW , và xét như một hàm thuộc ( )npL R . Chọn R là một số nguyên đủ lớn sao cho \ (0, ) ( ) . n p p U R f x dx e<ò R Nhờ định lí 2 tồn tại một hàm Rg liên tục trong (0, )U R sao cho (0, 1) ( ) ( ) , p p U R f x g x dx e + + <ò vì hàm Rg liên tục trên (0, 1)U R+ nên nó liên tục đều trên (0, )U R . Do vậy 0d$ > sao cho ( ) ( ) , , (0, ), , n p R Rg x g y R x y U R x ye d - - < Î - < lấy 2 NR nd -= với N là một số nguyên nào đó để d đủ nhỏ. Chia hình hộp (0, )U R thành các hình hộp nhỏ không giao nhau có độ dài cạnh là 2 NR - và xét tập hợp S bao gồm các hàm đặc trưng ( )jX x của các hình hộp này với mọi N. Đặt ( ) ( ) ( ),R j j j h x g x X x= å trong đó jx là tâm của các hình hộp nhỏ. Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) n p R R R jg x h x g x g x Re - - = - < Nếu x thuộc vào hình hộp với tâm jx . Ta có (0, ) p p R U R g h dx e- <ò Đặt 0Rg = , h(x) = 0 đối với \ (0, ) nx U RÎR ta được 8 111 (0, ) \ (0, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n pppp p p U R U R f x h x dx f x h x dx f x dx æ öæ öæ ö ç ÷- £ - +ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø ò ò ò R R 11 (0, ) (0, ) \ (0, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n ppp p p R R U R U R U R f x g x dx g x h x dx f x dx æ öæ ö æ ö ç ÷£ - + - +ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø ò ò ò R 1 1 (0, 1) (0, ) ( ) ( ) ( ) ( ) p pp p R R U R U R f x g x dx g x h x dx + æ ö æ ö £ - + -ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò ò 1 \ (0, ) ( ) 3 . n p p U R f x dx e æ ö ç ÷+ £ ç ÷ è ø ò R Do vậy tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các hàm jX trù mật trong ( )pL W . Một trong những ứng dụng quan trọng của các hàm thuộc không gian ( ), 1pL pW ³ là tính liên tục toàn cục của nó. Định lí 4.(Tính liên tục toàn cục) Giả sử W là một miền thuộc , ( ), 1, ( ) 0n pf L p f xÎ W ³ =R bên ngoài .W Khi đó với mỗi 0e > tồn tại một số 0d > , sao cho ( ) ( ) , p f x f x y dx e W - + <ò với mọi y thỏa mãn .y d< 1.1.3. Trung bình hóa Giả sử ( )xq là một hàm trực thuộc lớp 0 ( )nC¥ R sao cho ( ) ( ), ( ) 0, ( ) 0x x x xq q q q= - ³ = nếu 1x > và ( ) 1. n xq =ò R Hàm ( )xq được gọi là nhân trung bình hoá. Định lí 5. Nếu ( ), 1pu L pÎ W ³ thì ( )0lim 0.ph Lh u u W® - = Định lí 6. 9 Nếu 1, ( )f g LÎ W , thì ( ) ( ) ( ) ( ) .h hf x g x dx f x g x dx W W =ò ò Định lí 7. Nếu 1( )f LÎ W và ( ) ( ) 0,f x x dxj W =ò với mọi 0 ( )Cj ¥Î W thì 0.f = 1.1.4. Đạo hàm suy rộng Giả sử W là một miền trong nR . Một hàm ( ) ( )pu x LÎ W được gọi là đạo hàm suy rộng cấp α của hàm ( ) ( )pv x LÎ W nếu ( ) ( ) ( 1) ( ) ( )u x x dx v x D x dx a ay y W W = -ò ò , với mọi 0 ( )Cy ¥Î W , ở đó 1 2 1 2( , ,..., ), ...n na a a a a a a a= = + + + và 1 2 1 2 . ... n n D x x x a a aa a ¶ = ¶ ¶ ¶ Chú ý i) Hàm ( )v x không có quá một đạo hàm suy rộng. Thật vậy giả sử 1( )u x và 2 ( )u x là đạo hàm suy rộng của hàm ( )v x . Khi đó 0 1 2( ( ) ( )) ( ) 0, ( ) ( ).u x u x x dx x Cy y ¥ W - = " Î Wò Mà 1 2 1,( ) ( ) ( )locu x u x L- Î W nên 1 2( ) ( ) 0u x u x- = hầu khắp nơi trong W . Suy ra 1 2( ) ( )u x u x= hầu khắp nơi trong W . ii) Nếu 0 ( ) ( )v x C¥Î W thì theo công thức Ostrograsdki ta có ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ,u x x dx v x D x dx a ay y W W = -ò ò với hàm tuỳ ý 0 ( )Cy ¥Î W . Có nghĩa hàm ( )v x có đạo hàm suy rộng ( )u x bằng ( )D v xa . 10 Đặc biệt nếu hàm ( )v x bằng hằng số ( hầu khắp nơi) trên W thì có đạo hàm suy rộng tuỳ ý. iii) Từ định nghĩa ta suy ra đạo hàm suy rộng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm. Thật vậy giả sử f tồn tại đạo hàm cấp α. Ta chứng minh 1 1 1 1... ... ... ... ... ... j ji n i n i j n j i n f f x x x x x x x x a a a aa a a aa a ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + 1 1 ... ... ...ji ni j n v x x x x a aa aa ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = 1 1 ... ... ... j i n j i n v x x x x a a a aa ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ , ( )v C a" Î W . Do 1( )f LÎ W nên theo định nghĩa đạo hàm suy rộng 1 1 ( 1) ... ... ...ji ni j n v dx v dx x x x x a a aa aa w W W ¶ = - ¶ ¶ ¶ ¶ò ò = 1 1 , ... ... ...j i nj i n ff dx x x x x a a a aa W ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ò với 0 .v C¥Î Suy ra 1 1 . ... ... ...j i nj i n f x x x x a a a aa w ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ iv) Một hàm có đạo hàm bình thường (đạo hàm theo nghĩa cổ điển) cấp α thì có đạo hàm suy rộng cấp α nhưng điều ngược lại nói chung không đúng. Ví dụ Xét hàm ( )f x x= trên (-1;1). ta đã biết tồn tại đạo hàm thường tại 0x" ¹ . Tại x = 0 thì không tồn tại đạo hàm vì (0 ) 1, (0 ) 1f f- + - -= = - . Ta sẽ chứng minh ( )f x x= có đạo hàm suy rộng trên toàn trục số. 11 Xét 1 1 0 1 1 , ( ),dvx dx vdx v C dx w ¥ - - = - " Îò ò R lấy 1, 0 1 1, 1 0 x x w £ <ì = í- - < <î do đó 1( 1;1)Lw Î - nên 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 2.dx dx dx dx dxw w w - - - = + = - + =ò ò ò ò ò Nên 1 0 1 1 1 0 ,v v vx dx x dx x dx x x x- - ¶ ¶ ¶ = + ¶ ¶ ¶ò ò ò hay 1 0 1 1 1 0 v v vx dx x dx x dx x x x- - ¶ ¶ ¶ = - + ¶ ¶ ¶ò ò ò 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 ( 1) 1 . vdx vdx vdx vdx vdxw - - - æ ö = - = - - +ç ÷ è ø = - ò ò ò ò ò như vậy hàm ( )f x x= không có đạo hàm thường trên khoảng ( -1;1) nhưng có đạo hàm suy rộng trên khoảng ( -1;1). v) Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp α trong miền W thì nó cũng có đạo hàm suy rộng cấp α trong miền 'W Ì W . Thật vậy Giả sử 0 1( ), ( )f L v C ¥Î W Î W ta có 1 2 1 2 1 2 1 2' ' . ... ...n nn n v vf dx f dx x x x x x x a a a aa a a a W W ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ò ò Do 0 0 ( '), ( )v C v C¥ ¥Î W Î W với 'W Ì W nên 12 ' 1 1 .vdx vdxa aw w W W - = -ò ò Ta có 1( )Lw Î W suy ra 1( ')Lw Î W vậy sẽ tồn tại 1( ')Lw Î W sao cho 1 2 0 1 2' ' 1 , ( '). ... n n vf dx vdx v C x x x a a aa a w ¥ W W ¶ = - " Î W ¶ ¶ ¶ò ò Do đó tồn tại đạo hàm suy rộng 1 1 ... nn f x x a aa w ¶ = ¶ ¶ trên '.W vi) Khác với đạo hàm cổ điển, đạo hàm suy rộng D va được xác định ngay với cấp α mà không cần giả thiết các đạo hàm cấp thấp hơn tương ứng tồn tại. Các đạo hàm cấp thấp hơn có thể không tồn tại. Sau đây ta đi xét một định lí về sự liên hệ giữa đạo hàm suy rộng và trung bình hoá. Định lí 8. Giả sử W là một miền trong không gian , 'n WR là miền con của W sao cho khoảng cách giữa 'W và ¶W bằng d > 0. Khi đó, đối với 0 < h < d và 'x ÎW ta có ( ) ( ) ( )h hD u x D u x a a= . Chứng minh Do 0 < h < d, 'xÎW và hàm 0 ( )x y C h q ¥ -æ öÎ Wç ÷ è ø với ',xÎW nên khi sử dụng định nghĩa đạo hàm suy rộng ta nhận được ( ) ( ) ( ) , n n h x yD u x D x h u y dy h a a q- -æ ö= ç ÷ è øòR hay ( ) ( 1) ( ) n h x yD u x h D y u y dy h aa a q- W -æ ö= - ç ÷ è øò 13 ( ) ( ) ( ). n h x yh D yu y dy D u x h a aq- W -æ ö= =ç ÷ è øò 1.1.5. Không gian Sobolev ( ( ),1mpW pW £ < ¥ ) Một không gian phiếm hàm được sử dụng rộng rãi trong lí thuyết phương trình đạo hàm riêng là không gian Sobolev. Sobolev S.L đã xây dựng không gian này vào giữa thế kỉ 20 và từ đó đến nay nhiều nhà toán học khác đã tiếp tục mở rộng và phát triển để nghiên cứu những bài toán phương trình đạo hàm riêng ngày càng khó khăn, phức tạp. Không gian ( )mpW W là không gian bao gồm tất cả các hàm ( ) ( )pu x LÎ W sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng đến tận cấp α thuộc ( )pL W và được trang bị bởi chuẩn sau 1 ( ) ( )m p pp W m u D u x dya a a W < W æ ö = <ç ÷ç ÷ è ø å ò (4.1). Định lí 9. Giả sử W là một miền trong nR và 0,1 .m p³ £ < ¥ Khi đó ( )mpW W là một không gian Banach. Không gian ( )mpW W với chuẩn (4.1) được gọi là không gian Sobolev. Chú ý Từ tính chất ( )pL W là không gian đầy ta cũng suy ra được ( ) m pW W cũng là không gian đầy. 2 ( )L W là không gian Hilbert suy ra 2 ( ) mW W cũng là không gian Hilbert. Ở trường hợp này để ngắn gọn người ta kí hiệu là ( )kH W . Ta đi xét vấn đề xấp xỉ một hàm thuộc không gian ( )mpW W bằng các hàm thuộc ( )C¥ W . 14 Định lí 10. Giả sử W là một miền thuộc nR và 'W là một miền con của W sao cho 'W Ì W . Nếu ( ),mpu WÎ W thì m pW ( )0 lim 0.hh u u W® - = Chứng minh Theo định lí 9 ta có m ' p 1 W ( ) ' ( ) pp h h m u u D u u dxa a W £ W æ ö - = -ç ÷ç ÷ è ø å ò 1 ' ( ) ) pp h m D u D u dxa a a £ W æ ö = -ç ÷ç ÷ è ø å ò (4.2). Đặt v D uaa = . Từ định lí 6 suy ra ' ( ) 0, 0phv v dx ha a W - ® ®ò (4.3). Từ (4.2) và (4.3) ta nhận được ( ') 0, 0.mph Wu u hW- ® ® Định lí 11. Giả sử dãy { } 1j ju ¥ = các phần tử của không gian ( )mpW W bị chặn ( ) ,mpj Wu C C constW £ = Ngoài ra, giả sử dãy này hội tụ yếu trong không gian ( )pL W tới một hàm ( )u x khi j ® ¥ . Khi đó { } 1j j u ¥ = hội tụ yếu trong không gian ( )pL W tới hàm ( ) ( )mpu x WÎ W và ( ) .mpWu CW £ 15 Chứng minh Ta có ( ) ( ) ( 1) ( ) ( )j jx D u x dx u x D x dx aa aj j W W = -ò ò ở đó 0 ( ) ( )x Cj ¥Î W . Điều này kéo theo dãy { } 1 ( )j jD u x a ¥ = hội tụ yếu trong ( )pL W tới hàm ( )v xa . Ta có 0 ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) , ( ) ( ).x v x dx u x D x dx x Ca aaj j j ¥ W W = - " Î Wò ò Do đó đạo hàm suy rộng ( )D u xa tồn tại và bằng ( )v xa . Hơn nữa 2 ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) p pp jL j D u x D u x D u x D u x dxa a a a - W ®¥ W £ ò 1 ( ) ( ) ( ) lim sup ( ) . p p p jL Lj D u x D u xa a - W W®¥ £ Từ đó nhận được ( )( ), .mp m p Wu W u CWÎ W £ Định lí 12. Nếu W là một miền thuộc ,nR thì không gian ( )C¥ W trù mật trong ( )mpW W . Định lí 13. Giả sử U là một hình hộp trong nR { }: , 1,..., ,n j j jU x a x a j n= Î - < < =R và ( ), 1mpu W U pÎ ³ . Khi đó tồn tại một hàm 1 ( ) m pu WÎ R sao cho 1( ) ( )u x u x= với mọi x UÎ và { }1 1sup ( ) : 2 2 , 1,..., ,n j j jpu x U x a x a j nÌ = Î - < < =R 16 hơn nữa 1 ( ) ( )( ) ( ) ,m n mp pW W Uu x C u x£R ở đó C là hằng số không phụ thuộc vào hàm u. 1.1.6. Không gian 0 ( ),1mpW pW £ < ¥ Không gian 0 ( ),1mpW pW £ < ¥ là bao đóng của 0 ( )C¥ W trong chuẩn của không gian ( )mpW W . Định lí 14. ( Friedrichs) Giả sử W là một miền bị chặn trong nR . Khi đó tồn tại một hằng số ( )C C= W , phụ thuộc vào W sao cho 11 ( ) 1 , p p pnpp L i i uu dx u C dx xW =W W æ öæ ö ¶ç ÷= £ç ÷ ç ÷¶è ø è ø åò ò với mọi hàm 0 1( ).pu WÎ W Định lí 15. Giả sử ( ) ( ), 1mpu x W pÎ W ³ và sup ( ) .pu x ÌÌ W Khi đó 0 ( ) ( ).mpu x WÎ W Định lí 16. Giả sử { } 1( )j ju x ¥ = trong không gian 0 ( ), 1mpW pW ³ hội tụ yếu trong không gian ( )pL W tới hàm ( )u x hơn nữa dãy này bị chặn. Khi đó ( )u x cũng bị chặn và 0 ( ) ( ).mpu x WÎ W Định lí 17. Các không gian 0 ( )m npW R và ( ) m n pW R là trùng nhau. 1.1.7. Không gian ,2 ( ) m l TW U Giả sử W là một miền trong nR và T = const > 0. Kí hiệu 17 ( ) { }0, ( , ) : , (0, )nTU T x t x t T= W´ = Î ÎR và gọi nó là trụ với chiều cao T và đáy W . , 2 ( ) m l TW U là không gian Sobolev bao gồm tất cả các hàm 2( , ) ( ),Tu x t L UÎ sao cho tồn tại tất cả các đạo hàm suy rộng theo x đến tận cấp m và theo t đến tận cấp l thuộc 2 ( ),TL U trong nó trang bị chuẩn , 2 1 2 ( ) 1 m l T T T kl kW U m kU U uu D u dxdt dxdt t a a £ = æ ö¶ = +ç ÷ç ÷¶è ø å åò ò (4.4). Trường hợp l = 2, số hạng thứ hai trong vế phải của (4.4) coi như không có. Không khó khăn có thể kiểm tra được ,2 ( ) m l TW U là một không gian Banach, hơn nữa, nó là không gian Hilbert với tích vô hướng được sinh từ chuẩn (4.4). 0 , 2 ( ) m l TW U là không gian con của , 2 ( ), m l TW U bao gồm tất cả các hàm u(x,t) bằng không gần biên ST = ( )0,T¶W´ . Điều đó có nghĩa là, 0 , 2( , ) ( ) m l Tu x t W UÎ khi và chỉ khi tồn tại dãy { } 1( , ) ( ), ( , ) 0,k T kku x t C U u x t ¥ ¥ = Î = khi đó { }{ }( , ) ( , ) : ( , ),T T Tx t U x t U dist x t Sd dÎ = Î < và ku u® trong ,2 ( )m l TW U khi .k ® ¥ 0 , 2 ( ) m l TW U cũng là một không gian Hilbert. 1.2 Một vài không gian của các hàm 1.2.1. Không gian hàm 1H - Định nghĩa 1. 1( )H U- là không gian đối ngẫu thứ nhất của 10 ( ).H U Định nghĩa 2. Nếu 1( ),f H U-Î chuẩn xác định bởi 1 1 0 1 0( ) ( ) sup{ f,u ( ), 1}. H U H U f u H U u- = Î £ 18 Định lí 1. (Đặc trưng quan trọng của 1H - ) (i) Giả sử 1( )f H U-Î khi đó xuất hiện các hàm 0 1, ,....., nf f f trong 2 ( )L U sao cho (1) 0 10 1 , ( ( )). i n i x iU f v f v f v dx v H U = = + Îåò (ii) Hơn nữa 1 2 1 2 ( ) 0 inf | n i H U iU f f dx- = ìæ öï= íç ÷ è øïî åò f thoả mãn (1) cho }0 2,..., ( ) .nf f L UÎ 1.2.2. Không gian phụ thuộc thời gian Định nghĩa 3. Không gian Lp(0,T;X) gồm tất cả các hàm đo được [ ]: 0,u T X® với (i) 1 (0, ; ) 0 : ( ) , p p T p L T X u u t dt æ ö = < ¥ç ÷ è ø ò với 1 .p£ < ¥ (ii) (0, ; ) 0 : sup ( ) . L T X t T u ess u t¥ £ £ = < ¥ Khi p=1, 1(0, ; )u L T XÎ . Ta nói 1(0, ; )v L T XÎ là đạo hàm suy rộng của u viết là u’ = v sao cho 0 0 '( ) ( ) ( ) ( ) , T T t u t dt t v t dtf f= -ò ò với mọi hàm thử (0, ).cC Tf ¥Î Định nghĩa 4. Không gian hàm [ ]( )0, ;C T X bao gồm tất cả các hàm 19 liên tục [ ]: 0,u T X® với [ ]( 0, ; ) 0: max ( ) .C T X t Tu u t£ £= < ¥ Định lí 2. Cho ( )2 100, ; ( ) ,u L T H UÎ với ( )2 1' 0, ; ( ) .u L T H U-Î (i) Khi đó [ ]( )20, ; ( ) .u C T L UÎ (ii) Ánh xạ 2 2 ( ) ( ) L U t u t là liên tục tuyệt đối, với 2 2 ( ) ( ) 2 '( ), ( ) L U d u t u t u t dt = , a.e. 0 t T£ £ . (iii) Xa hơn, ta có bất đẳng thức (10) ( )2 2 1 2 1 0( ) (0, ; ( )) (0, ; ( ))0 max ( ) ' , L U L T H U L T H Ut T u t C u u - £ £ £ + C là hằng số phụ thuộc duy nhất vào T. 1.3. Các bất đẳng thức 1.3.1. Bất đẳng thức Gronwall – Bellman Định lí 3. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn (i) 0( ) 0; ( ) 0; ; 0,u t f t t t C³ ³ ³ ³ (ii) [ )0 ;( ), ( ) ,tu t f t C +¥Î (iii) 0 1 1 1( ) ( ) ( ) . t t u t C f t u t dt£ + ò Khi đó 0 1 1( ) .exp ( ) . t t u t C f t dt ì üï ï£ í ý ï ïî þ ò 1.3.2. Bất đẳng thức năng lượng 20 Định lí 4. Tồn tại một hằng số , 0a b > và 0g ³ sao cho (i) [ ] 1 1 0 0( ) ( ) , , H U H U B u v u va£ và (ii) [ ]1 2 0 2 2 ( ) ( ) , ,H U L Uu B u u ub g£ + trong đó [ ] , , 1 1 , , i j i j i n n i x x x i j iU B u v a u v b u v cuvdx = = = + +å åò với 10, ( ).u v H UÎ 21 CHƯƠNG 2 TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN CAUCHY – DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI 2.1. Mở đầu 2.1.1. Thiết lập bài toán Giả sử U là một tập mở, bị chặn trên không gian nR , và đặt ( ]0,TU U T= ´ với biến thời gian T > 0. Ta sẽ nghiên cứu điều kiện ban đầu - điều kiện biên bởi (1) [ ] { } ,, 0, ên 0, , , trong tr ên 0 ,tr t Tu Lu f U u U T u g U t + =ì ï = ¶ ´í ï = ´ =î trong đó : Tf U ® R và :g U ® R là các hàm đã cho, và : Tu U ® R là hàm chưa biết, L là một toán tử vi phân cấp hai có dạng (2) , 1 1 ( ( , ) ) ( , ) ( , ) , i j i n n ij i x x x i j i Lu a x t u b x t u c x t u = = = - + +å å hoặc khai triển thành (3) , 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) , i j i n n ij i x x x i j i Lu a x t u b x t u c x t u = = = - + +å å aij, bj, c ( i, j = 1,…,n) là các hệ số. Định nghĩa. Giả sử toán tử vi phân Lt ¶ + ¶ gọi là toán tử Parabolic mạnh nếu tồn tại một hằng số 0q > sao cho (4) 2 , 1 ( , ) , n ij i j i j a x t x x q x = ³å đúng với mọi ( , ) , .nTx t U xÎ ÎR. Giả sử rằng 22 (5) , , ( ) ( , 1, ),ij i Ta b c L U i j n ¥Î = (6) 2( )Tf L UÎ , (7) 2 ( )g L UÎ , trong đó ( , 1, ).ij jia a i j n= = Kí hiệu dạng song tuyến tính phụ thuộc vào thời gian (8) [ ] , 1 1 , ; : (., ) (., ) (., ) , i j i n n ij i x x x i j iU B u v t a t u v b t u v c t uvdx = = = + +å åò với 10, ( )u v H UÎ và a.e. [ ]0,t TÎ . Chúng tôi gọi bài toán (1) là bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với phương trình Parabolic cấp hai. 2.1.2. Mô típ của định nghĩa nghiệm suy rộng Để mô tả định nghĩa nghiệm suy rộng, chúng ta giả sử rằng u = u(x,t) là một hàm nghiệm trơn của bài toán (1). Coi u là một ánh xạ [ ] 10: 0, ( )u T H U® xác định bởi [ ] [ ]( ) ( ) : ( , ) ( ; 0, )u t x u x t x U t T= Î Î . Trong định nghĩa đó xét u không giống như hàm x và t cùng nhau nhưng giống như một ánh xạ u của t vào không gian 10 ( )H U của các hàm x. Điều này chỉ ra biểu diễn sau đây trở lại bài toán (1) ta có định nghĩa tương tự [ ] 2: 0, ( )f T L U® bởi [ ] [ ]( ) ( ) : ( , ) ( ; 0, )f t x f x t x U t T= Î Î . Khi đó nếu cố định hàm 10( )v H UÎ , ta có thể nhân phương trình đạo hàm riêng u Lu f t ¶ + = ¶ bởi v và tích phân chúng, ta được 23 (9) [ ]( ', ) , ; ( , ) ' , du v B u v t f v dt æ ö+ = =ç ÷ è ø với mỗi [ ]0, ,t TÎ cặp kí hiệu ( , ) là tích vô hướng trong 2 ( )L U . Ta thấy (10) 0 1 j n j t x j u g g = = + å trong UT . Cho 0 1 : i n i x i g f b u cu = = - -å và 1 : ( 1, ). i n j ij x i g a u j n = = =å Từ (10) và định nghĩa không gian đối ngẫu kéo theo vế phải của (10) thuộc không gian Sobolev 1( )H U- ta được ( )1 1 22 0 1 22 ( ) ( ) ( )( ) 0 . n j t H U H U L UL U j u g C u f- = æ ö £ £ +ç ÷ è ø å Đánh giá này gợi ý rằng có thể tìm nghiệm suy rộng với 1' ( )u H U-Î a.e. [ ]0, ,t TÎ trong trường hợp này số hạng tử đầu tiên trong (9) có thể biểu diễn giống ', ,u v kí hiệu là một cặp của 1( )H U- và 10 ( )H U . 2.1.3. Nghiệm suy rộng Định nghĩa. Một hàm 2 10(0, ; ( ))u L T H UÎ , với 2 1' (0, ; ( ))u L T H U-Î , được gọi là nghiệm suy rộng của bài toán biên ban đầu thứ nhất nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau [ ]( ) ', , ; , ,i u v B u v t f v + = 10 ( )v H UÎ" , a.e. [ ]0, ,t TÎ và ( ) (0) .ii u g= Chú ý 1. Theo định lí 2 của 1.2.2. chương 1 thấy [ ]( )20, ; ( ) ,u C T L UÎ và do đó đẳng thức (ii) hiểu theo nghĩa trù mật. 24 Một hàm u được gọi là nghiệm cổ điển của bài toán (1) nếu 2,1( ) ( )T Tu C U C UÎ Ç và thoả mãn (1). Giả sử u là nghiệm cổ điển của bài toán trên. Khi đó 0 ( )v C U ¥" Î . Nhân hai vế của đẳng thức tu Lu f+ = với h rồi lấy tích phân hai vế trên trụ TU ta được (11) ij , 1 1 n n i i j ii j iU U u u uv a v b v cuv dx fvdx t x x x= = é ùæ ö¶ ¶ ¶ ¶ - + + =ê úç ÷ç ÷¶ ¶ ¶ ¶ê úè øë û å åò ò Áp dụng công thức tích phân từng phần và điều kiện biên ta có ij ij , 1 , 1 . n n i j i ji j j iU U u u va vdx a dx x x x x= = æ ö¶ ¶ ¶ ¶ = -ç ÷ç ÷¶ ¶ ¶ ¶è ø å åò ò Thay vào (11) ta được ij 0 , 1 1 , ( ). n n i i j ij i iU U u u v uv a b v cuv dx fvdx v C U t x x x ¥ = = é ù¶ ¶ ¶ ¶ + + + = " Îê ú ¶ ¶ ¶ ¶ê úë û å åò ò Điều này có nghĩa là [ ]', , ; , ,u v B u v t f v + = 0 ( )v C U¥Î" , a.e. [ ]0,t TÎ . Nhưng do 0 ( )C U ¥ trù mật trong 10 ( )H U suy ra đẳng thức trên đúng với 1 0 ( ).v H U" Î Mặt khác từ 2,1( ) ( )T Tu C U C UÎ Ç và điều kiện biên của bài toán (1) suy ra 10 ( ).u H UÎ Ta thấy rằng nếu bài toán có nghiệm cổ điển thì luôn có nghiệm suy rộng tuy nhiên điều ngược lại không đúng vì nghiệm cổ điển đòi hỏi hàm u có đạo hàm theo ix đến cấp của phương trình cấp hai và đạo hàm theo t đến cấp một Trong khi đó nghiệm suy rộng của bài toán chỉ đòi hỏi đạo hàm suy rộng theo ix đến cấp một. Bởi vậy trong phương trình đạo hàm riêng hiện đại người ta đi tìm nghiệm suy rộng của bài toán và chứng minh tồn tại duy nhất nghiệm suy rộng. 25 Sau đó đi tìm một số điều kiện để nghiệm suy rộng có thể thành nghiệm cổ điển hoặc nghiệm hầu khắp nơi của bài toán . 2.2. Sự tồn tại duy nhất của nghiệm suy rộng 2.2.1. Một số đánh giá tiên nghiệm Chúng ta đã xây dựng nghiệm suy rộng của bài toán biên ban đầu thứ nhất bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin. Giả sử các hàm ( )k k xw w= ( k =1,…) là trơn và (12) { } 1k kw ¥ = là trực giao của 1 0 ( ),H U và (13) { } 1k kw ¥ = là trực chuẩn của 2 ( ).L U Cố định một số nguyên dương m, ta tìm được một hàm (14) [ ] 10: 0, ( )mu T H U® có dạng 1 ( ) : ( ) , m k m m k k u t d t w = = å ( )kmd t là hệ số, ( 0 ; 1,..., ).t T k m£ £ = do đó (15) (0) ( , ) ( 1,..., ).km kd g k mw= = và (16) [ ]( , ) , ; ( , ) (0 , 1,..., )m k m k ku B u t f t T k mw w w¢ + = £ £ = . Ta tìm được một hàm um có dạng (14) thoả mãn như là một phép chiếu (16) của bài toán (1) lên không gian con hữu hạn biểu diễn bởi { } 1 m k k w = . Định lí 1. ( Cấu trúc của nghiệm xấp xỉ) Mỗi số nguyên m = 1,…sẽ xuất hiện duy nhất một hàm um có dạng (14) thoả mãn (15), (16). Chứng minh Giả sử um có cấu trúc như (14), từ (13) ta có (17) ( ),m ku t w¢ = 1 ( ) , m k m k k k d t w w = å = ' 1 ( ) , m k m k k k d t w w = å = ( ).kmd t¢ Mặt khác 26 (18) [ ] 1 , ; ( ) ( ), m kl l m m m l B u t e t d tw = = å với [ ]( ) : , ; ( , 1,..., ).kl l ke t B t k l mw w= = Giả sử ( )( ) : ( ), ( ) 1, .kf t f t k k mw= = Từ đó (16) trở thành hệ tiếp tuyến của phương trình vi phân thường (19) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1, ). m k kl l k m m l d t e t d t f t k m = ¢ + = =å Do đó tồn tại duy nhất một hàm liên tục tuyệt đối 1( ) ( ( ),....., ( )),mm m md t d t d t= có dạng (14) thỏa mãn (15), (19) tức là thỏa mãn (15), (16), a.e. [ ]0,t TÎ . Chú ý 2. Cho m ® ¥ và chỉ ra dãy con của nghiệm mu thỏa mãn (15), (16) hội tụ yếu đến nghiệm của (1), để làm được điều này ta cần có đánh giá sau Tồn tại một hằng số C, phụ thuộc duy nhất vào U, T và các hệ số của L sao cho (20) [ ] 2 2 1 2 10( ) (0, ; ( )) (0, ; ( ))0, max ( ) 'm m mL U L T H U L T H Ut T u t u u -Î + + ( )2 2 2(0, ; ( )) ( )L T L U L UC f g£ + , cho m = 1,2,…(Bất đẳng thức năng lượng). Chứng minh Nhân (16) bởi ( ),kmd t lấy tổng 1,...k m= và kết hợp (14) ta được (21) ( ) [ ] ( )' , , ; ,m m m m mu u B u u t f u+ = , a.e. [0,T]t Î . Theo định lí 4 của 1.3.2. chương 1 ta thấy xuất hiện 0, 0b g> ³ sao cho (22) [ ]1 2 0 2 2 ( ) ( )