Khóa luận Vai trò của tham số tự do trong phương pháp toán tử qua ví dụ bài toán dao động tử phi điều hòa

) ( )n n k k k k n x x C xψ ψ +∞ = ≠ Ψ = + ∑ . (1.4) Thế vào phương trình (1.1) ta có: 0 0, 0, ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n k k n n k k k k n k k n H V x C x E x C xβ ψ ψ ψ ψ +∞ +∞ = ≠ = ≠     + + = +        ∑ ∑ . (1.5) Nhân hai vế của (1.5) với *( )n xψ rồi tích phân theo toàn miền biến số x ta được: 0 ( ) nn nn k nk n k k n H V C V Eβ β +∞ = ≠ + + =∑ . (1.6) Bây giờ làm tương tự như trên cho *( ),j x j nψ ≠ ta có: 0 ( ) j jj jn k jk n j k k n C H V C V E Cβ β +∞ = ≠ + + =∑ . (1.7) Ta viết (1.6) và (1.7) lại như sau: 0, n nn nn k nk k k n E H V C Vβ β +∞ = ≠ = + + ∑ , (1.8) 0 ( )n jj j jn k jk k k n E H C V C Vβ β +∞ = ≠ − = + ∑ , ( )j n≠ (1.9) với ký hiệu các yếu tố ma trận: * 0ˆ( ) ( )kk k kH x H x dxψ ψ +∞ −∞ = ∫ , * ˆ( ) ( )jk j kV x V x dxψ ψ +∞ −∞ = ∫ . (1.10) Hệ phương trình đại số (1.8) - (1.9) có thể xem tương đương với phương trình Schrödinger (1.1). Giải hệ phương trình này ta thu được năng lượng nE và các hệ số jC , nghĩa là tìm được hàm sóng ( )n xΨ qua công thức (1.4). Ta có thể sử dụng lý thuyết nhiễu loạn cho hệ phương trình này bằng cách phân tích theo tham số nhiễu loạn như sau: (0) ( ) 1 s s n n s E E Eβ +∞ = = + ∆∑ , (1.11) (0) ( ) 1 ,s sj j j s C C C j nβ +∞ = = + ∆ ≠∑ (1.12) Ở đây ta ký hiệu (0) (0),n jE C là năng lượng và hệ số gần đúng bậc zero, còn ( ) ( ), , 1s sn jE C s∆ ∆ ≥ là các bổ chính vào năng lượng và hệ số hàm sóng. Đem (1.11) và (1.12) thế vào (1.9), (1.10) sau đó đồng nhất hai vế theo bậc s ta được: (0) (0), 0n nn jE H C= = , (1) (1) (0), ( ) jn n nn j n jj V E V C j n E H ∆ = ∆ = ≠ − ; 2 :s ≥ ( ) ( 1) 0 s s n nk k k k n E V C +∞ − = ≠ ∆ = ∆∑ , 1 ( ) ( 1) ( ) ( ) (0) 0 1 1 ( ) s s s s t t j jk k n j k tn jj k n C V C E C j n E H +∞ − − − = = ≠    ∆ = ∆ − ∆ ∆ ≠ −     ∑ ∑ . (1.13) Đây là sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn mà ta sẽ sử dụng trong các phần sau. 1.2 Bài toán dao động tử phi điều hòa: Ta xét bài toán dao động tử phi điều hòa một chiều với toán tử Hamilton có dạng sau: 2 2 4 2 1 1ˆ 2 2 dH x x dx λ= − + + (1.14) với hệ số phi điều hòa 0λ > . Bài toán này có dạng chuyển động trong hố thế và có các mức năng lượng gián đoạn. Phương pháp nhiễu loạn được sử dụng cho bài toán này trong hầu hết các sách giáo khoa về cơ học lượng tử [1],[5]. Ta chia toán tử Hamilton thành hai phần như sau: 2 2 0 2 1 1ˆ 2 2 dH x dx = − + , 4Vˆ xλ= . (1.15) Cách chia này phù hợp với lý thuyết nhiễu loạn là toán tử Hamilton gần đúng 0Hˆ có nghiệm riêng chính xác là các hàm sóng của dao động tử điều hòa: ( ) 2 exp 2n n n xA H xψ   = −    , (1.16) với ( )nH x là đa thức Hermit được định nghĩa như sau: ( ) 2 2( 1) n n x x n n dH x e e dx −= − ; hàm sóng này ứng với trị riêng là năng lượng gần đúng bậc zero 1/ 2n nε = + . Các yếu tố ma trận của các toán tử 0Hˆ và Vˆ ứng với các hàm số (1.16) có thể tính được như sau: 1 2nn H n= + , , , 2 (2 3) ( 2)( 1)2n n V n n nλ+ = + + + , , 4 ( 4)( 3)( 2)( 1)4n n V n n n nλ+ = + + + + 2(6 6 3) 4nn V n nλ= + + . (1.17) Các yếu tố ma trận khác không khác thu được từ tính đối xứng: km mkV V= . Kết quả: Trong các bảng sau tác giả sẽ đưa ra các số liệu thu được cho trường hợp trạng thái cơ bản 0n = và một trạng thái kích thích 4n = . Điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu loạn µ µ 0ψ ψ ψ ψ=n n n nV H lúc này trở thành: ( ) 2 2 2 1 6 6 3 λ + + + = n n n . (1.18) - Ứng với trạng thái cơ bản là: 0.67λ = , ta sẽ xét bốn trường hợp 0.01λ = , 0.05λ = , 0.1λ = và 0.3λ = . - Tương tự cho trạng thái kích thích 4n = điều kiện (1.18) trở thành 0.146λ = ta sẽ xét bốn trường hợp 0.01λ = , 0.03λ = , 0.06λ = và 0.1λ = . Bảng.1.1: Trạng thái cơ bản 0n = 0.01λ = 0.05λ = 0.1λ = 0.3λ = ( )0 0E 0.5000000000 0.5000000000 0.5000000000 0.5000000000 ( )1 0E 0.5075000000 0.5375000000 0.5750000000 0.7250000000 (2) 0E 0.5072375000 0.5309375002 0.5487500013 4.8875000929 ( )3 0E 0.5072583125 0.5335390626 0.5695624993 1.0506874797 ( )4 0E 0.5072558996 0.5320310060 0.5454335949 -0.9037538228 ( )5 0E 0.5072562577 0.5331500624 0.5812433983 7.7980283886 ( )6 0E 0.5072561937 0.5321503309 0.5172605857 -38.8454419856 ( )7 0E 0.5072562070 0.5331891854 0.6502339597 251.9673269259 ( )8 0E 0.5072562038 0.5319607395 0.3357518043 -1811.3500941848 ( )9 0E 0.5072562047 0.5335887505 1.1692934364 14595.2498498883 ( )10 0E 0.5072562044 0.5311982288 -1.2786007173 -129950.4520395805 Bảng.1.2: Trạng thái kích thích 4n = : 0.01λ = 0.03λ = 0.06λ = 0.1λ = ( )0 4E 4.5000000000 4.5000000000 4.5000000000 4.5000000000 ( )1 4E 4.8075000000 5.4225000000 6.3450000000 7.5750000000 (2) 4E 4.7668874959 5.0569874638 4.8829498552 3.5137495980 ( )3 4E 4.7775845596 5.3458081837 7.1935156144 14.2108132978 ( )4 4E 4.7738544635 5.0436703988 2.3593110572 -23.0901477918 ( )5 4E 4.7753851516 5.4156275988 14.2619414562 129.9786587800 ( )6 4E 4.7746833968 4.9040483689 -18.4791292566 -571.7761147298 ( )7 4E 4.7750329077 5.6684285196 79.3615300321 2923.3320274444 ( )8 4E 4.7748469756 4.4448528730 -232.9328160495 -15669.8670185477 ( )9 4E 4.7749514618 6.5051300165 820.0470425212 888816.3030916408 ( )10 4E 4.7748899061 2.8703274765 -2901.9907584706 -526740.6987256789 Với các kết quả thu được, ta thấy rằng ở trạng thái cơ bản, phương pháp nhiễu loạn chỉ cho kết quả tốt trong trường hợp hệ số phi điều hòa rất bé so với giá trị giới hạn (0.01). Tuy nhiên, với giá trị vẫn còn khá nhỏ của λ, độ chính xác đã giảm xuống đáng kể (chỉ chính xác đến hàng phần trăm) và xuất hiện dấu hiệu của sự phân kỳ. Với giá trị λ=0.1, mặc dù vẫn còn nhỏ hơn giá trị giới hạn, nhưng sự phân kỳ đã xuất hiện rất rõ và chúng ta chỉ có thể sử dụng đến bổ chính bậc 5, các bổ chính lớn hơn không còn mang ý nghĩa vật lý. Với 0.3λ ≥ trở đi, phương pháp nhiễu loạn không còn áp dụng được nữa. Tương tự với các trạng thái kích thích, phương pháp nhiễu loạn cũng chỉ áp dụng được trong các trường hợp giá trị λ thỏa mãn điều kiện µ µ0ψ ψ ψ ψ=n n n nV H và hầu như chỉ sử dụng được các bổ chính bậc thấp, các bổ chính bậc cao hầu như không có ý nghĩa. Từ các kết quả trên, ta có thể nhận thấy rằng phương pháp nhiễu loạn có độ hội tụ không cao, chỉ áp dụng được trong những trường hợp λ bé và khi trạng thái kích thích càng cao thì miền áp dụng lại càng bị thu hẹp lại. Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ VÀ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HÒA BẬC BỐN Chương này sẽ trình bày về các ý tưởng chính của phương pháp toán tử, đồng thời áp dụng nó để giải lại bài toán dao động tử phi điều hòa đã được nhắc tới ở chương trước. Từ các kết quả thu được, tác giả sẽ phân tích những ưu điểm của phương pháp toán tử so với phương pháp nhiễu loạn. Mặc dù còn nhiều hạn chế, nhưng chúng ta cũng có thể thấy được rằng phương pháp nhiễu loạn đã góp phần đưa ra những ý tưởng cơ bản cho phương pháp toán tử. 2.1 Phương pháp toán tử và bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn: Những ý tưởng về phương pháp toán tử đã xuất hiện vào những năm 1979 [9]. Tuy nhiên, phương pháp toán tử (Operator Method) được đưa ra đầu tiên vào năm 1982 bởi một nhóm các giáo sư ở trường Đại học Belarus và được ứng dụng thành công trong một nhóm rộng rãi các bài toán về vật lý chất rắn, bài toán tương tác hệ các boson trong lý thuyết trường, bài toán nguyên tử, phân tử trong trường điện từ [3],[4],[7]. Ta sẽ trình bày các điểm chính của phương pháp toán tử trên cơ sở ví dụ bài toán dao động tử phi điều hòa một chiều. Kết quả thu được sẽ so sánh với phương pháp nhiễu loạn ở phần 1.2. Xét phương trình Schrödinger (1.1) cho dao động tử phi điều hòa với toán tử Hamilton không thứ nguyên (1.14). Ta sẽ giải phương trình này bằng phương pháp toán tử với bốn bước cơ bản như sau: Bước một: Chuyển toán tử Hamilton về biểu diễn của các toán tử sinh - hủy bằng cách đặt biến số động lực (tọa độ và toán tử đạo hàm) thông qua các toán tử sau: 1ˆ ˆ ˆ ; 2 2 1ˆ ˆ ˆ . 2 2 i da x p x dx i da x p x dx ω ω ω ω ω ω ω ω +                         = + = + = − = − (2.1) Ở đây toán tử aˆ được gọi là “toán tử hủy” và aˆ+ được gọi là “toán tử sinh” (xem [1],[5]); ω là tham số thực dương được đưa thêm vào để tối ưu quá trình tính toán, ta sẽ nói rõ hơn về tham số này trong bước ba và phần sau của luận văn. Ta dễ dàng thu được hệ thức giao hoán: ˆ ˆ, 1a a+   = . (2.2) Hệ thức này sẽ giúp ta đưa các toán tử sinh hủy về dạng chuẩn, nghĩa là các toán tử sinh nằm ở phía bên trái và các toán tử hủy nằm về phía bên phải, thuận lợi cho các tính toán đại số sau này. Từ đây về sau ta gọi nó là dạng chuẩn (normal) của toán tử. Thế (2.1) vào (1.14) và sử dụng (2.2), ta được biểu thức dạng chuẩn của toán tử Hamilton như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 4 4 3 24 3 2 2 1 1 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 2 1 4 4 4 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 4 6 6 . 4 H a a a a a a a a a a a a a a a a ω ω λ ω ω ω λ ω + + + + + + + +                 + −= + + + + + + + + + + + + (2.3) Bước hai: Tách Hamiltonian ở phương trình (2.3) thành hai thành phần như sau: - Phần thứ nhất là ( )0ˆ ˆ ˆ, ,OMH a a λ ω+ chỉ chứa các thành phần ˆ ˆ ˆn a a+= , các thành phần này được gọi là các toán tử “trung hòa”, nghĩa là các số hạng chứa số toán tử sinh và số toán tử hủy bằng nhau: ( ) ( ) 2 2 0 2 1 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 2 1 4 4 OMH a a a a a aω λ ω ω + + +     += + + + + . (2.4) - Phần còn lại ta kí hiệu là ( )ˆ ˆ ˆ, , ,OMV a a λ ω+ . Như vậy, tương tự như trong lý thuyết nhiễu loạn, ở đây ta tách toán tử Hamilton thành hai thành phần: thành phần ( )0ˆ ˆ ˆ, ,OMH a a λ ω+ có nghiệm chính xác mà chúng ta sẽ dễ dàng xây dựng dưới đây; riêng thành phần ( )ˆ ˆ ˆ, , ,OMV a a λ ω+ được xem như thành phần “nhiễu loạn” sẽ được điều chỉnh “đủ nhỏ” để thỏa điều kiện của lý thuyết nhiễu loạn thông qua việc chọn tham số ω . Bước ba: Tìm nghiệm chính xác bậc zero bằng cách giải phương trình: ( ) ( ) ( ) ( )0 0 00ˆ ˆ ˆ, ,OMH a a Eλ ω ψ ψ+ = . (2.5) Ta thấy ( )0ˆ ˆ ˆ, ,OMH a a λ ω+ giao hoán với toán tử ˆ ˆ ˆn a a+= và nghiệm của nó dễ dàng xây dựng như sau: ( )1 ˆ( ) 0 ! n n a n ω += , (2.6) Ở đây ta đã sử dụng kí hiệu và khái niệm Dirac để định nghĩa, khi đó nghiệm (1.24) ta gọi là vector trạng thái; nghiệm cơ bản là trạng thái “chân không” (vacuum) 0 được xác định bằng phương trình: ˆ( ) 0 0; 0 0 1a ω = = . (2.7) Khi cần thiết chúng ta có thể sử dụng phương trình này để xác định dạng tường minh của hàm sóng biểu diễn trạng thái chân không. Từ các tính chất của toán tử sinh – hủy (1.20), ta dễ dàng kiểm chứng: ˆ ˆ ;a a n n n+ = (2.8) điều này có nghĩa là trạng thái (2.7) là nghiệm riêng của toán tử ˆ ˆ ˆn a a+= , từ đó có thể thấy rằng nó cũng chính là nghiệm riêng của toán tử ( )0ˆ ˆ ˆ, ,H a a λ ω+ . Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 1 32 1 2 2 1 4 4n E n n nω λ ω ω += + + + + (2.9) là năng lượng gần đúng bậc không tìm được phụ thuộc vào tham số ω . Như đã nói, đây là tham số được đưa vào để tối ưu hóa quá trình tính toán, ta xác định ω từ điều kiện: ( )0 0.nE ω ∂ = ∂ (2.10) Tiêu chí để chọn giá trị ω theo phương pháp toán tử đã được thảo luận trong một số công trình (xem [6],[9]) và đã chỉ ra rằng phương trình (2.10) cho ta kết quả tương đối chính xác ở gần đúng bậc zero đối với nhiều bài toán khác nhau. Phương trình này cũng phù hợp với điều kiện 0 ˆ ˆH V>> . Với bài toán chúng ta đang xét, điều kiện (2.10) dẫn tới phương trình để xác định ω như sau: ( ) ( ) ( )3 22 1 2 1 6 2 2 1 0n n n nω ω λ+ − + − + + = . (2.11) Bước bốn: Phương pháp toán tử tìm nghiệm bằng số: Đến đây chúng ta có thể sử dụng sơ đồ của lý thuyết nhiễu loạn (1.11)-(1.13) để tính các bổ chính bậc cao. Ngoài ra, do tính hội tụ của phương pháp toán tử rất cao và chúng ta có tham số tự do ω để điều khiển tốc độ hội tụ, ta có thể sử dụng phương pháp vòng lặp để giải trực tiếp hệ phương trình (1.8)-(1.9). Phương pháp vòng lặp cho ta sơ đồ sau: ( )( ) 0, n s ss n nn nn k nk k k n E H V C V + = ≠ = + + ∑ , ( ) ( 1) ( ) 0 ( ) n s s s s n jj j jn k jk k k n E H C V C V + + = ≠ − = +∑ , (2.12) với điều kiện ban đầu là ( ) ( )0 0,jC j n= ≠ . Chú ý rằng ở đây chúng ta không cần sử dụng tham số nhiễu loạn cho nên đã cho 1β = . Ngoài ra các giá trị ( )( ) , ssn jE C tương ứng với các bước lặp khác nhau chứ không phải là bổ chính. Các yếu tố ma trận trong sơ đồ trên cũng như trong sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn được định nghĩa như (1.10), viết lại như sau: 0ˆ OMkkH k H k= , ˆjkV j V k= ; các phần tử ma trận này có thể tính một cách dễ dàng bằng các biến đổi thuần đại số nhờ các hệ thức (2.2), (2.7). Để tiện trong tính toán ta đưa ra hai công thức sau: ˆ ˆ1 1 ; 1 .a n n n a n n n+ = + + = − (2.13) Cách tính các phần tử ma trận bằng các phép tính thuần đại số là một trong những ưu điểm của phương pháp toán tử. Thật vậy, thay vì định nghĩa các phần tử ma trận như (1.10) và tính các tích phân tương ứng với các hàm sóng ở dạng tường minh, ở đây ta chỉ dựa vào các biến đổi đại số nhờ các hệ thức (2.2) và (2.7) và cụ thể là sử dụng (2.8) và (2.13). Kết quả ta có các phần tử ma trận khác không như sau (xem phụ lục 3): ( ) ( ) 2 2 2 1 32 1 2 2 1 4 4nn H n n nω λ ω ω += + + + + , ( ) ( ) ( ) 2 , 2 2 1 2 3 2 1 4 2n n V n n nω λ ω ω+       −= + + + + , ( ) ( ) ( ) ( ), 4 2 4 3 2 1 ;4n nV n n n n λ ω+ = + + + + (2.14) các phần tử ma trận khác thu được dựa vào tính đối xứng nm mnV V= . 2.2 Kết quả: Bảng.2.1: Phương pháp OM cho trạng thái cơ bản 0n = 0.01λ = 0.05λ = 0.1λ = 0.3λ = 1.5λ = ( )0 0E 0.5072875 0.53310181 0.56030737 0.64162986 0.89581792 ( )1 0E 0.50725627 0.53265332 0.55920022 0.63833728 0.88647098 (2) 0E 0.50725627 0.53265336 0.55920043 0.63833858 0.88647706 ( )3 0E 0.50725620 0.53264195 0.55914212 0.63797283 0.88477781 ( )4 0E 0.50725620 0.53264335 0.55915195 0.63805733 0.88525604 ( )5 0E 0.50725620 0.53264260 0.55914457 0.63796813 0.88462605 ( )6 0E 0.50725620 0.53264283 0.55914751 0.63801524 0.88502178 ( )7 0E 0.50725620 0.53264273 0.55914573 0.63797690 0.88463332 ( )8 0E 0.50725620 0.53264277 0.55914671 0.63800453 0.88496195 ( )9 0E 0.50725620 0.53264275 0.55914609 0.63798175 0.88464335 ( )10 0E 0.50725620 0.53264276 0.55914649 0.63800055 0.88494854 ( ) 0 TE 0.50725620 0.53264275 0.55914632 0.63799178 0.88479443 Bảng.2.1: Phương pháp OM cho trạng thái kích thích 4n = 0.01λ = 0.03λ = 0.06λ = 0.1λ = 1.5λ = ( )0 4E 4.77402649 5.20086071 5.69163300 6.20519257 12.28126648 ( )1 4E 4.77502613 5.20618235 5.70398382 6.22585316 12.39708482 (2) 4E 4.77491518 5.20517700 5.70108541 6.22041107 12.35724872 ( )3 4E 4.77491319 5.20515405 5.70103082 6.22034316 12.35822818 ( )4 4E 4.77491314 5.20515230 5.70102178 6.22031937 12.35780347 ( )5 4E 4.77491312 5.20515109 5.70101460 6.22029984 12.35750145 ( )6 4E 4.77491312 5.20515121 5.70101550 6.22030269 12.35756777 ( )7 4E 4.77491312 5.20515114 5.70101486 6.22030041 12.35750140 ( )8 4E 4.77491312 5.20515116 5.70101505 6.22030120 12.35753138 ( )9 4E 4.77491312 5.20515115 5.70101496 6.22030077 12.35751031 ( )10 4E 4.77491312 5.20515115 5.70101500 6.22030097 12.35752305 ( ) 4 TE 4.77491312 5.20515115 5.70101495 6.22030088 12.35751765 Từ các kết quả thu được, ta có thể nhận thấy rằng phương pháp toán tử có thể tìm ra được nghiệm với độ chính xác cao, với mọi giá trị bất kỳ của λ, đối với trạng thái cơ bản hay kích thích. Tuy chỉ giải trên một bài toán cụ thể là bài toán dao động tử phi điều hòa bậc 4 nhưng sơ đồ tính toán của nó không phụ thuộc và dạng cụ thể của toán tử Hamilton nên có thể áp dụng cho một nhóm rộng rãi các bài toán. Chương 3: VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ QUA VÍ DỤ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HÒA BẬC BỐN Trong chương này, chúng ta sẽ đi sâu vào tìm hiểu một trong những khó khăn hiện tại mà phương pháp toán tử gặp phải là tối ưu tốc độ của phương pháp bằng việc chọn tham số tự do ω thích hợp. Như chúng ta đã biết, sự hội tụ nhanh hay chậm của một bài toán khi áp dụng phương pháp toán tử phụ thuộc khá nhiều vào việc chọn tham số tự do ω. Một trong những phương pháp đã được đề xuất để giải quyết vấn đề này là lý thuyết cực tiểu hóa năng lượng. Tuy nhiên, qua một số bài toán cụ thể, lý thuyết này vẫn cho thấy những hạn chế nhất định [8]. Nhằm đóng góp cho việc phát triển phương pháp toán tử, tác giả sẽ đề xuất một phương pháp mới để chọn giá trị của tham số ω nhằm đạt được tốc độ hội tụ tối ưu cho bài toán, đó là khảo sát giá trị ω dựa vào tỉ số 2 2 nn nn V H . Dựa trên kết quả khảo sát cụ thể trên bài toán dao động tử phi điều hòa, chúng ta sẽ phân tích để tìm được vùng tối ưu mà phương pháp mới đáp ứng tốt, cũng như những trường hợp mà phương pháp này không cho kết quả thỏa đáng để từ đó đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo để hoàn thiện phương pháp tìm ω trên. 3.1 Tham số tự do ω và lý thuyết cực tiểu năng lượng: Như chúng ta đã biết, tham số tự do ω trong toán tử sinh – hủy Dirac ở công thức (2.1) là một số thực dương có thể được chọn bất kỳ. Theo như lý thuyết, kết quả cuối cùng cho bởi phương pháp toán tử sẽ không phụ thuộc vào việc chọn tham số tự do ω. Qua Bảng.3.1, ta cũng có thể thấy là với các giá trị ω khác nhau, ta đều thu được cùng một kết quả cho từng trường hợp n và λ cụ thể. Tuy không ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng nhưng việc chọn tham số ω lại ảnh hưởng đến tốc độ hội tụ của bài toán. Nếu chọn được tham số ω thích hợp, bài toán sẽ cho kết quả hội tụ rất nhanh. Trong trường hợp ngược lại, kết quả sẽ hội tụ chậm. Ta có thể thấy rõ điều này qua Bảng.3.1: với cùng một trường hợp, khi chọn ω khác nhau thì số vòng lặp (s) để đạt tới kết quả sau cùng là khác nhau. Và ngoài ra chúng ta cũng có thể nhận thấy rằng có một vùng các giá trị ω mà ở đó, bài toán hội tụ rất nhanh. Mặc dù một trong những ưu điểm của phương pháp toán tử là có thể tự động hóa quá trình tính toán và tốc độ của các máy tính hiện tại rất nhanh nhưng trong một số bài toán, nếu không chọn được tham số tự do thích hợp sẽ làm kết quả hội tụ rất chậm và tốn rất nhiều thời gian nếu muốn có được kết quả chính xác [8]. Do đó, việc tìm ra phương pháp thích hợp để lựa chọn tham số tự do là một vấn đề cần được giải quyết. Bảng.3.1 n=0; λ=0.01 n=0; λ=0.5 ω s E ω s E 0.8 51 0.507256204524603 2.5 31 0.696175820765146 1.0 15 0.507256204524603 2.575 23 0.696175820765146 1.10 8 0.507256204524603 2.6 24 0.696175820765146 1.2 15 0.507256204524603 2.8 30 0.696175820765146 1.4 24 0.507256204524603 3.0 35 0.696175820765146 1.6 33 0.507256204524603 3.2 42 0.696175820765146 1.8 43 0.507256204524603 4.0 71 0.696175820765146 n=1; λ=0.01 n=1; λ=0.5 ω s E ω s E 1.0 18 1.535648278296803 2.5 31 2.324406352106039 1.1 10 1.535648278296803 2.6 27 2.324406352106039 1.2 14 1.535648278296803 2.65 24 2.324406352106039 1.4 26 1.535648278296803 2.7 25 2.324406352106039 1.6 38 1.535648278296803 2.8 28 2.324406352106039 1.8 52 1.535648278296803 3.0 35 2.324406352106039 2.0 70 1.535648278296803 4.0 85 2.324406352106039 Một trong những phương pháp được nhắc đến nhiều trong việc chọn tham số tự do là phương pháp cực tiểu năng lượng [6],[9]. Nội dung của phương pháp này là tìm giá trị ω tối ưu thông qua điều kiện ( )0 0 ω ∂ = ∂ nE . (3.1) Tuy nhiên, ở một số công trình đã khảo sát, cách xác định tham số tự do dựa vào biểu thức (1.1) vẫn chưa thật sự đem lại những kết quả tốt [8]. Nguyên nhân là do biểu thức (1.1) chỉ đúng trong việc khảo sát tối ưu cho năng lượng ở trạng thái cơ bản, còn đối với trạng thái kích thích, điều kiện này không cho kết quả tốt nữa. Mặc khác, công thức (3.1) sử dụng năng lượng chính xác bậc không chứ không phải là năng lượng chính xác nên không đem lại kết quả tốt. Điều kiện chính xác ở đây phải là ( ) 0, T nE ω ∂ = ∂ (3.2) với ( )TnE là năng lượng chính xác ứng với trạng thái n. Do việc tìm biểu thức chính xác của ( )TnE là điều không thể nên ta chỉ có thể tăng độ chính xác của phương pháp trên bằng cách khảo sát điều kiện (3.1) ở những mức năng lượng có bậc cao hơn, việc này đòi hỏi nhiều thời gian và phức tạp. Mặc khác, khi khảo sát bằng phương pháp cực tiểu năng lượng ta chỉ thu được một giá trị ω tối ưu duy nhất, trong khi đó các giá trị ω tối ưu thường nằm thành một vùng với một cực tiểu. Trong một số trường hợp, giá trị dự đoán bằng (3.1) nằm trong vùng tối ưu thực nghiệm và ta chỉ cần khảo sát các giá trị nằm “gần” giá trị thu được từ (3.1) là ta có thể bắt được vùng hội tụ tối ưu (Hình 3.1). Tuy nhiên, trong các trường hợp khác, khi ω dự đoán bằng (3.1) nằm khá xa vùng tối ưu thực nghiệm (Hình 3.2) thì ta không có đủ cơ sở để tìm được vùng hội tụ thực nghiệm tối ưu bằng phương pháp cực tiểu năng lượng. Đây cũng là một nhược điểm nữa của phương pháp này. Chú thích đồ thị: đường nét đứt là đường các giá trị thực nghiệm, đường liền nét là đồ thị hàm số (0) ( )β ω= nE Hình 3.1: (0) ; 0, 0.01β λ= = =nE n Hình 3.2: (0) ; 0, 0.5β λ= = =nE n Trong luận văn này, tác giả đề xuất một phương pháp mới để khảo sát giá trị tối ưu của tham số tự do ω là dùng biểu thức 2 2 nn nn V H , tức là dựa vào mối quan hệ giữa VRnnR và HRnnR. 3.2 Kết quả khảo sát thực tế và phương pháp dùng tỉ số 2 2 nn nn V H : Trong phần này, tác giả sẽ khảo sát phương pháp xác định ω từ điều kiện lý thuyết nhiễu loạn: nn nnV H= , cụ thể ở đây ta sẽ khảo sát tỉ số 2 2 nn nn V H bằng cách vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ thị hàm số 2 2β = nn nn V H và đường thực nghiệm thu được khi chạy bài toán dao động tử phi điều hòa bậc 4 bằng lập trình Fortran. Mục đích là kiểm tra xem biểu thức 2 2β = nn nn V H có đưa ra được vùng ω tối ưu trùng với thực nghiệm hay không, và phương pháp trên đáp ứng tốt trong các trường hợp nào. Phương pháp này gọi là “đáp ứng tốt” nếu như vùng hội tụ thực nghiệm nằm trong vùng các giá trị ω sao cho tỉ số α = nn nn V H “nhỏ” và ngược lại. Đối với trường hợp trạng thái cơ bản (n=0), dựa vào các đồ thị (Hình 3.3-3.8), ta có thể kết luận rằng phương pháp khảo sát bằng đồ thị 2 2β = nn nn V H chỉ tốt trong trường hợp hệ số phi điều hòa λ nhỏ (Hình 3.3, 3.4, 3.5). Trong các trường hợp trên, chỉ với giới hạn 0.5α ≤ , ta đã “bắt” được vùng tối ưu thực nghiệm. Còn trong các trường hợp còn lại (Hình 3.6-3.7), phương pháp khảo sát đã nêu không cho vùng các giá trị ω tối ưu gần với kết quả có được từ thực nghiệm. Vùng các giá trị ω tối ưu thực nghiệm nằm trong giới hạn 0.75 1α≤ ≤ , như vậy là không thực sự tốt. Ở đây ta có thể hiểu là khi vùng hội tụ thực nghiệm nằm trong giới hạn α = nn nn V H càng nhỏ thì khảo sát lý thuyết càng tốt, vì khi đó vùng các giá trị ω tối ưu khảo sát bằng đồ thị 2 2β = nn nn V H nằm gần với vùng hội tụ thực tế. Chú thích đồ thị: đường liền nét là đồ thị hàm số 2 2β = nn nn V H Hình 3.3: 0, 0.01λ= =n Hình 3.4: 0, 0.05λ= =n Hình 3.5: 0, 0.1λ= =n Hình 3.6: 0, 0.5λ= =n Hình 3.7: 0, 1.0λ= =n Hình 3.8: 0, 1.5λ= =n Đối với các trường hợp kích thích, vùng tối ưu ta có được khi khảo sát bằng đồ thị 2 2β = nn nn V H rất tốt. Chỉ trong giới hạn 0.5α ≤ đối với tất cả các trường hợp được khảo sát (λ chạy từ 0.01 đến 1.5), vùng tối ưu dự đoán bằng lý thuyết đã chứa vùng tối ưu thực nghiệm. Ngoài ra ta cũng có thể dễ dàng nhận thấy rằng với các trường hợp n càng lớn, phương pháp khảo sát bằng đồ thị 2 2β = nn nn V H càng cho ra các vùng giá trị ω tốt. Với trường hợp n=3, đa số các trường hợp vùng hội tụ thực nghiệm nằm trong vùng giới hạn α khá nhỏ, xấp xỉ 0.25. Với các đồ thị có được, ta cũng có thể nhận thấy rằng phương pháp khảo sát bằng dựa trên đồ thị 2 2β = nn nn V H cho kết quả rất tốt khi hệ số phi điều hòa λ rất bé (Hình 3.3, 3.4, 3.9, 3.13). Hình 3.9: 1, 0.01λ= =n Hình 3.10: 1, 0.1λ= =n Hình 3.11: 1, 0.5λ= =n Hình 3.12: 1, 1.5λ= =n Hình 3.13: 3, 0.01λ= =n Hình 3.14: 3, 0.1λ= =n Hình 3.15: 3, 0.5λ= =n Hình 3.16: 3, 1.5λ= =n Nhận xét: Như vậy điều kiện 2 2 nn nn V H bé áp dụng tốt cho các trạng thái kích thích. Riêng đối với trạng thái cơ bản, điều kiện này chỉ có ý nghĩa đối với các trường hợp hệ số phi điều hòa λ bé, còn trong các trường hợp λ lớn cần có các khảo sát chi tiết hơn. KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI Các kết quả được đưa ra trong luận văn có thể liệt kê như sau: - Chứng minh được ưu điểm của phương pháp toán tử so với phương pháp nhiễu loạn truyền thống. - Chứng minh được có thể dùng tham số tự do ω để điều chỉnh tốc độ hội tụ của bài toán (kết quả bài toán không phụ thuộc vào giá trị tham số ω và có những vùng giá trị của ω mà trong đó