Lí thuyết ôn thi môn Toán 10

của tam giác này bằng 3 cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. *Trƣờng hợp 2 : Cạnh – góc – canh - Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. *Trƣờng hợp 3 : Góc – cạnh – góc Nếu một cạnh và hia góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. 8. Các trƣờng hợp bằng nhau của tam giác vuông. *Trƣờng hợp 1 : Hai cạnh góc vuông - Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. *Trƣờng hợp 2 : Cạnh góc vuông và góc nhọn kề - Nếu một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. *Trƣờng hợp 3 : Cạnh huyền và góc nhọn - Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. *Trƣờng hợp 4 : Cạnh huyền và cạnh góc vuông - Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. 9. Tam giác cân - Định nghĩa: ΔABC cân tại A  AB = AC - Tính chất: ΔABC cân tại A 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 𝐵 = 𝐶 = 180−𝐴 2 HB C A 1 23 4 4 3 2 1 B AM b a Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122 - Tính chất các đường: Đường cao từ đỉnh là phân giác, đường trung trực cạnh đáy - Hai đường cao; hai đường phân giác; hai đường trung tuyến của hai góc ở đáy bằng nhau. 10. Tam giác đều - Định nghĩa: ΔABC đều  AB = BC = AC - Tính chất: ΔABC đều tại A  𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 𝐵 = 𝐶 = 𝐴 - Tam giác cân có một góc bằng 600 là tam giác đều. - Tính chất các đường: Đường cao từ các đỉnh sẽ đồng thời là đường phân giác, đường trung trực cạnh đáy - Độ dài các đường cao, trung tuyến, phân giácđều bằng nhau. * Đường cao: 𝑎 3 2 . * Diện tích: 𝑎2 3 4 ( Với a là chiều dài 1 cạnh) 11. Tam giác vuông: Tam giác ABC vuông tại A, đƣờng cao AH: AB 2 +AC 2 =BC 2 ; AH 2 =HB.HC; AC 2 =BC.HC ; AB 2 =BC.HB ; AB.AC=BC.AH ; 1 𝐴𝐻2 = 1 𝐴𝐵2 + 1 𝐴𝐶2 Định lí Pi-ta-go : Trong tam giác vuông, tổng bình phƣơng hai cạnh góc vuông bằng bình phƣơng cạnh huyền. - Thuận: GT ΔABC có 𝐴 = 90 KL BC 2 =AB 2 +AC 2 - Đảo: B C A B A C Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122 GT ΔABC có BC2=AB2+AC2 KL 𝐴 = 90 12. Quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn và ngƣợc lại. GT ΔABC; AB < AC KL 𝐶 < 𝐵 GT ΔABC; 𝐶 < 𝐵 KL AB < AC 13. Bất đẳng thức tam giác Trong tam giác, độ dài một cạnh lớn hơn hiệu hai cạnh và nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại. |AC – AB| < BC < AC + AB 14. Quan hệ giữa đƣờng vuông góc và đƣờng xiên Đƣờng xiên lớn hơn đƣờng vuông góc, đƣờng xiên nào lớn hơn thì hình chiếu tƣơng ứng lớn hơn và ngƣợc lại. GT  ;B,C ;A d d AH d H    KL AH là ngắn nhất Có AC > AB  HC > HB AB = AM  HB = HM 15. Các đƣờng trong tam giác a) Đƣờng cao: Là đường kẻ từ đỉnh vuông góc với cạnh đối diện, 3 đường cao trong tam giác đồng quy tại một điểm gọi là trực tâm tam giác. A B C d H A B CM Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122 b) Đƣờng phân giác trong tam giác: Là đường chia góc trong tam giác thành 2 phần bằng nhau. Ba đường phân giác cắt nhau tại một điểm là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ( đường tròn tiếp xúc trong với 3 cạnh của tam giác). Tâm đường tròn nội tiếp tam giác cách đều 3 cạnh tam giác. - Một điểm nằm trên đường phân giác của một góc luôn có khoảng cách tới hai cạnh bằng nhau. - Phân giác trong và phân giác ngoài của một góc vuông góc với nhau. - Trong một tam giác, hai đường phân giác ngoài của hai góc đồng quy với đường phân giác trong của góc còn lại. Tính chất: Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. Nếu một điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc đó thì nó nằm trên tia phân giác của góc đó. c) Đƣờng trung tuyến trong tam giác: Là đường kẻ từ đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện. Ba đường trung tuyến đồng quy tại một điểm là trọng tâm tam giác. Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122 BF; CD; AE Là 3 đường trung tuyến. O là trọng tâm tam giác thì 2OE=OA; 2OD=OC; 2OF=OB d) Đƣờng trung trực trong tam giác: Là đường đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó. - Một điểm bất kì nằm trên trung trực luôn cách đều hai đầu mút của đoạng thẳng. Ba đường trung trực trong tam giác đồng quy tại 1 điểm là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ( Đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác ). Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122 O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC : OA=OB=OC=R ( bán kính đường tròn). e) Đƣờng trung bình trong tam giác: Là đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh bên. - Nếu một đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh đáy thì đi qua trung điểm cạnh còn lại. - Đường trung bình của tam giác song song và bằng một nửa cạnh đáy: 3 đường trung bình trong tam giác là NM; NI; MI. Ta có: 𝑁𝑀// = 1 2 𝐵𝐶; 𝑁𝐼// = 1 2 𝐴𝐵; 𝐼𝑀// = 1 2 𝐴𝐶 CÁC CHÚ Ý ĐẶC BIỆT - Trong tam giác cân, đường cao, đường trung tuyến, trung trực, phân giác của đỉnh cân là một. - Trong tam giác đều, tất cả các đường từ một đỉnh là một. - Trong tam giác vuông: đường trung tuyến bằng một nửa cạnh huyền, cạnh đối diện với góc 300 cũng có độ lớn bằng nửa cạnh huyền. TAM GIÁC CÂN TAN GIÁC ĐỀU TAM GIÁC VUÔNG CÂN Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122 HÌNH VẼ Định nghĩa ABC cân tại A AB = AC CBC đều AB = BC = CA ABC vuông cân tại A A = 90 0 và AB = AC Tính chất + B = C = 2 1800 A A = B = C = 60 0 B = C = 45 0 Dấu hiệu nhận biết - Tam giác có hai cạnh bằng nhau(ĐN). - Tam giác có hai góc bằng nhau(TC) - Tam giác có 3 cạnh bằng nhau. - Tam giác có 3 góc bằng nhau. - Tam giác cân có 1 góc bằng 600 - Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau. - Tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 900 HÌNH THANG – HÌNH THANG VUÔNG 1. Định nghĩa:  Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.  Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. 2. Tính chất:  Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau.  Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau. HÌNH THANG CÂN 1. Định nghĩa: B A A B B C A C C Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122 Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. 2. Tính chất: Trong hình thang cân:  Hai cạnh bên bằng nhau.  Hai đường chéo bằng nhau. 3. Dấu hiệu nhận biết:  Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.  Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. ĐƢỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG 1. Đƣờng trung bình của tam giác:  Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.  Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.  Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. 2. Đƣờng trung bình của hình thang  Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.  Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.  Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy. HÌNH BÌNH HÀNH 1. Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song. 2. Tính chất: Trong hình bình hành:  Các cạnh đối bằng nhau.  Các góc đối bằng nhau. Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122  Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. 3. Dấu hiệu nhận biết:  Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.  Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.  Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.  Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.  Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành. HÌNH CHỮ NHẬT 1. Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. 2. Tính chất: Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. 3. Dấu hiệu nhận biết:  Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.  Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.  Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.  Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật. 4. Áp dụng vào tam giác:  Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.  Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông. HÌNH THOI 1. Định nghĩa: Hình thoi là một tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. 2. Tính chất: Trong hình thoi:  Hai đường chéo vuông góc với nhau.  Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi. Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122 3. Dấu hiệu nhận biết:  Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.  Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.  Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.  Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi. HÌNH VUÔNG 1. Định nghĩa: Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau. 2. Tính chất: Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi. 3. Dấu hiệu nhận biết:  Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.  Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.  Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.  Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.  Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.  Một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình vuông. ĐA GIÁC 1. Định nghĩa  Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó.  Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau. 2. Một số kết quả  Tổng các góc của đa giác n cạnh bằng . n 0( 2).180 Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122  Mỗi góc của đa giác đều n cạnh bằng .  Số các đường chéo của đa giác n cạnh bằng . 3. Diện tích  Diện tích tam giác bằng nửa tích một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: .  Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông: 𝑆 = 1 2 𝑎𝑏 = 1 2 ℎ𝑐.  Diện tích tam giác đều : 𝒂𝟐 𝟑 𝟒  Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó: .  Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó: . n n 0 ( 2).180 n n( 3) 2  S a h 1 . 2  S ab S a 2 b a a a h a h c b a Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122  Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao: .  Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: .  Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo: .  Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng nửa tích hai đường chéo: . S a b h 1 ( ) 2   S ah S d d 1 2 1 2  d2 d1 S d d 1 2 1 2  h b h a Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122 I. ĐỊNH LÍ TA-LÉT TRONG TAM GIÁC – TÍNH CHẤT ĐƢỜNG PHÂN GIÁC 1. Tỉ số của hai đoạn thẳng  Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.  Tỉ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo. 2. Đoạn thẳng tỉ lệ Hai đoạn thẳng AB và CD là tỉ lệ với hai đoạn thẳng AB và CD nếu có tỉ lệ thức: hay AB CD AB CD      3. Định lí Ta-lét trong tam giác Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. B’C’//BC thì 𝐴𝐵′ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶′ 𝐴𝐶 ; 𝐴𝐵′ 𝐵𝐵′ = 𝐴𝐶′ 𝐶𝐶′ ; 𝐴𝐵 𝐵′𝐵 = 𝐴𝐶 𝐶′𝐶 4. Định lí Ta-lét đảo Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. 𝐴𝐵′ 𝐵′𝐵 = 𝐴𝐶′ 𝐶′𝐶 => 𝐵′𝐶′//BC 5. Hệ quả Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho. Nếu 𝐵′𝐶′//BC thì 𝐴𝐵′ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶′ 𝐴𝐶 = 𝐵′𝐶′ 𝐵𝐶 Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng song song với một cạnh và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại. d2 d1 AB A B CD CD      Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122 6. Tính chất đƣờng phân giác trong tam giác Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy. AD, AE là các phân giác trong và ngoài của góc 𝐵𝐴𝐶  TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 1. Khái niệm hai tam giác đồng dạng a) Định nghĩa: Tam giác ABC gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu: 𝐴 = 𝐴′ ; 𝐵 = 𝐵′ ; 𝐶 = 𝐶′ ; 𝐴′𝐵′ 𝐴𝐵 = 𝐵′𝐶 ′ 𝐵𝐶 = 𝐶 ′𝐴′ 𝐶𝐴 Chú ý: Khi viết kí hiệu hai tam giác đồng dạng, ta phải viết theo đúng thứ tự các cặp đỉnh tương ứng: ∽ . b) Định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với hai cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho. Chú ý: Định lí trên cũng đúng trong trường hợp đường thẳng a cắt phần kéo dài hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại. 2. Các trƣờng hợp đồng dạng của hai tam giác Trƣờng hợp 1: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau. AB BC CA AB BC CA          ABC ∽ ABC Trƣờng hợp 2: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau. A B C B’ C’ A B C B’ C’ A B C C’ B’ DB AB EB DC AC EC   ABC    ABC A B C M N A B C M N A B C N M Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122 𝐴 = 𝐴′ ; 𝐴′𝐵′ 𝐴𝐵 = 𝐶 ′𝐴′ 𝐶𝐴  ABC ∽ ABC Trƣờng hợp 3: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau. 𝐴 = 𝐴′ ; 𝐵 = 𝐵′ ;  ABC ∽ ABC 3. Các trƣờng hợp đồng dạng của tam giác vuông Trƣờng hợp 1: Nếu tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau. Trƣờng hợp 2: Nếu tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau. Trƣờng hợp 3: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau. 4. Tính chất của hai tam giác đồng dạng Nếu hai tam giác đồng dạng với nhau thì:  Tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.  Tỉ số hai đường phân giác tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.  Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.  Tỉ số các chu vi bằng tỉ số đồng dạng.  Tỉ số các diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng. TỈ SỐ LƢỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN 1. Định nghĩa: Cho tam giác vuông có góc nhọn . Chú ý: Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122  Cho góc nhọn . Ta có: 0 sin 1; 0 cos 1     .  Cho 2 góc nhọn , . Nếu sin sina b (hoặc cos cos  , hoặc tan tana b , hoặc cot cota b ) thì a b . 2. Tỉ số lƣợng giác của hai góc phụ nhau: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tan góc này bằng cotan góc kia. Sin (90 0 -a) = cosa tan(90 0 -a)=cotana cos(90 0 -a)=sina cotan(90 0 -a)=tana Ví dụ: sin 250=cos650; tan200=cotan700.. 3. Tỉ số lƣợng giác của các góc đặc biệt: 4. Một số hệ thức lƣợng giác sin tan cos     ; cos cot sin     ; tan .cot 1a a ; 2 2 sin cos 1   ; 2 2 1 1 tan cos     ; 2 2 1 1 cot sin  a a 5. Công thức tính diện tích tam giác: 𝑆∆𝐴𝐵𝐶 = 1 2 𝑎𝑏 . sin𝐶 = 1 2 𝑏𝑐 . sin𝐴 = 1 2 𝑎𝑐 . sin𝐵= P.r = 𝑎𝑏𝑐 4𝑅 R: Bán kính đường tròn ngoại tiếp, r: Bán kính đường tròn nội tiếp. ( Diện tích tam giác bằng một nửa tích hai cạnh kề với sin góc xen giữa hai cạnh đó).  Tỉ số LG 0 30 0 45 0 60 sina 1 2 2 2 3 2 cos 3 2 2 2 1 2 tana 3 3 1 3 cota 3 1 3 3 Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122 Trong tam giác bất kì: 𝑏 sin𝐵 = 𝑐 sin𝐶 = 𝑎 sin𝐴 = 2𝑅 Với a là cạnh đối diện góc A, b là cạnh đối diện góc B, c là cạnh đối diện góc C. 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c. b a B a C.sin .cos  ; c a C a B.sin .cos  b c B c C.tan .cot  ; c b C b B.tan .cot  ĐƢỜNG TRÒN 1. Đƣờng tròn Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0) là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng bằng R. 2. Vị trí tƣơng đối của một điểm đối với một đƣờng tròn Cho đường tròn (O; R) và điểm M.  M nằm trên đường tròn (O; R)  OM R .  M nằm trong đường tròn (O; R)  OM R .  M nằm ngoài đường tròn (O; R)  OM R . 3. Cách xác định đƣờng tròn Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn. 4. Tính chất đối xứng của đƣờng tròn  Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.  Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn. DÂY CỦA ĐƢỜNG TRÒN 1. So sánh độ dài của đƣờng kính và dây Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. 2. Quan hệ vuông góc giữa đƣờng kính và dây  Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122  Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy. 3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây  Trong một đường tròn: – Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. – Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.  Trong hai dây của một đường tròn: – Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. – Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. 4. Đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác: Đi qua 3 đỉnh của tam giác và có tâm là giao 3 đường trung trực của 3 cạnh. Với tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA ĐƢỜNG THẲNG VÀ ĐƢỜNG TRÒN 1. Vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng và đƣờng tròn Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng . Đặt d d O( , ) . Khi đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau thì đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn. Điểm chung của đường thẳng và đường tròn là tiếp điểm. 2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đƣờng tròn  Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.  Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn. 3. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: VTTĐ của đường thẳng và đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa d và R Đường thẳng và đường tròn cắt nhau 2 d R Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau 1 d R Đường thẳng và đường tròn không giao nhau 0 d R Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122  Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.  Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.  Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm. 4. Đƣờng tròn nội tiếp tam giác  Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác là ngoại tiếp đường tròn.  Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong tam giác. 5. Đƣờng tròn bàng tiếp tam giác  Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia là đường tròn bàng tiếp tam giác.  Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.  Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C, hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A và đường phân giác ngoài tại B (hoặc C). VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƢỜNG TRÒN 1. Tính chất đƣờng nối tâm  Đường nối tâm của hai đường tròn là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn đó.  Nếu hai đường tròn cắt nhau thi hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm.  Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm. 2. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng tròn Cho hai đường tròn (O; R) và (O; r). Đặt OO d  . Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122 3. Tiếp tuyến chung của hai đƣờng tròn Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó. Tiếp tuyến chung ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm. Tiếp tuyến chung trong là tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm. GÓC VỚI ĐƢỜNG TRÒN I. GÓC Ở TÂM. SỐ ĐO CUNG 1. Góc ở tâm  Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn là góc ở tâm.  Nếu 0 00 180 a thì cung nằm bên trong góc là cung nhỏ, cung nằm bên ngoài góc là cung lớn.  Nếu 0180a thì mỗi cung là một nửa đường tròn.  Cung nằm bên trong góc là cung bị chắn. Góc bẹt chắn nửa đường tròn.  Ki hiệu cung AB là AB . 2. Số đo cung  Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ AB . VTTĐ của hai đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa d với R và r Hai đường tròn cắt nhau 2 R r d R r    Hai đường tròn tiếp xúc nhau: – Tiếp xúc ngoài – Tiếp xúc trong 1 d R r  d R r  Hai đường tròn không giao nhau: – Ở ngoài nhau – (O) đựng (O) 0 d R r  d R r  Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122  Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.  Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 0360 và số đo của cung nhỏ (có chung 2 mút với cung lớn).  Số đo của nửa đường tròn bằng 0180 . Cung cả đường tròn có số đo 0360 . Cung không có số đo 00 (cung có 2 mút trùng nhau). 3. So sánh hai cung Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:  Hai cung là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.  Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn là cung lớn hơn. 4. Định lí Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì sđ AB = sđ AC + sđCB . LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY 1. Định lí 1 Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau. b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau. 2. Định lí 2 Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn. b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn. 3. Bổ sung a) Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. b) Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy. c) Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại. GÓC NỘI TIẾP Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122 1. Định nghĩa Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. Cung nằm bên trong góc là cung bị chắn. 2. Định lí Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn. 3. Hệ quả Trong một đường tròn: a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau. b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau. c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 090 ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG 1. Định lí Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn. 2. Hệ quả Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. 3. Định lí (bổ sung) Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƢỜNG TRÒN. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƢỜNG TRÒN. Định lí 1 Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122 Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn. Định lí 2 Số đo củ