Luận án Áp dụng thống kê fermi - Dirac biến dạng q và phương pháp thống kê mômen trong nghiên cứu một số tính chất nhiệt động, tính chất từ của kim loại và màng mỏng kim loại

g thường. Ví dụ như (2.16) Thật vậy, q- giai thừa có dạng [n]! = [n]. [n-1]. [n-2].... [2]. [1]. (2.17) q- nhị thức hệ số có dạng (2.18) q- nhị thức tổng quát có dạng (2.19) Trong giới hạn q→1, [n]!→ n! và với n! và là giai thừa chuẩn. Các hàm cơ bản của biến dạng q bao gồm (2.20) Dao động tử fermion biến dạng q được đặc trưng bởi các toán tử sinh, huỷ hạt và toán tử số hạt [84, 85, 93]. Trong biến dạng q của dao động tử fermion, các toán tử này thoả mãn hệ thức phản giao hoán . (2.21) Khi (), (2.15) trở về hệ thức phản giao hoán thông thường và khi đó, , (2.22) Đối với fermion biến dạng q, (2.23) Ta có thể chứng minh (2.21). Biểu thức (2.21) tương đương với hay hay (2.24) Ta chứng minh (2.24) như sau 2.1.2.2. Thống kê Fermi – Dirac biến dạng q Để xây dựng thống kê Fermi – Dirac cho các dao động tử fermion biến dạng q, ta cũng xuất phát từ biểu thức tính giá trị trung bình của một đại lượng vật lý F (2.1) [85, 93]. Số hạt trung bình trên cùng một mức năng lượng được xác định theo (2.3) trong đó thay bằng Ta tính tử số của (2.3) (2.25) Mẫu số của (2.3) được biến đổi thành (2.26) Thay (2.25) và (2.26) vào (2.3). ta thu được (2.27) (2.27) chính là hàm phân bố thống kê Fermi – Dirac biến dạng q và có thể viết (2.28) 2.2. Thống kê Fermi – Dirac biến dạng q trong nghiên cứu nhiệt dung và độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do trong kim loại 2.2.1. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại theo thống kê Fermi – Dirac biến dạng q Ở nhiệt độ thấp, sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung kim loại có dạng [2, 6] (2.29) trong đó phần tuyến tính là nhiệt dung của khí điện tử tự do và phần phi tuyến là nhiệt dung của các ion dương ở nút mạng. Tương tự như việc xác định nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại trong lý thuyết lượng tử khi áp dụng thống kê Fermi – Dirac, ta cũng tìm tổng số điện tử tự do và năng lượng toàn phần của khí điện tử tự do ở nhiệt độ T và sau đó xác định nhiệt dung của khí điện tử tự do khi có biến dạng q. Tổng số điện tử tự do và năng lượng toàn phần của khí điện tử tự do ở nhiệt độ T được xác định bởi (2.30) (2.31) Ở đây, là số hạt trung bình có năng lượng , là mật độ trạng thái với là bội suy biến của mỗi mức năng lượng . Vì mỗi mức năng lượng ứng với hai trạng thái nên Khi áp dụng thống kê Fermi – Dirac biến dạng q, số hạt trung bình có năng lượng là (2.32) Từ đó, (2.33) (2.34) Đặt Khi đó, (2.35) (2.36) là thế hoá học ở nhiệt độ T = 0K và Để ý (2.37) Như vậy, ở nhiệt độ 0K các điện tử tự do phân bố rất đặc biệt. Mỗi trạng thái với năng lượng đều chứa một điện tử, và các trạng thái với năng lượng là các trạng thái bỏ trống. Nếu kể đến spin của điện tử thì ứng với mỗi mức năng lượng có hai trạng thái lượng tử phân biệt () và (). Ta có thể nói rằng ở nhiệt độ T = 0K, các điện tử tự do lần lượt “lấp đầy” các trạng thái lượng tử với năng lượng và mức năng lượng giới hạn gọi là mức Fermi. Có thể xác định theo hệ thức (2.38) Từ đó, (2.39) Năng lượng toàn phần của khí điện tử tự do ở T = 0K có dạng (2.40) Như vậy, năng lượng trung bình tính cho một điện tử tự do là . Điều này chứng tỏ ở trạng thái cơ bản (T = 0K), khí điện tử tự do có năng lượng khác không. Ở nhiệt độ thấp và khác không, để xác định E và ta cần tính tích phân (2.41) trong đó hoặc . Đối với và rất nhỏ, (2.42) Để chứng minh (2.42), ta xét tích phân , (2.43) trong đó thoả mãn . Áp dụng tích phân từng phần, ta có Vì và nên (2.44) Xét Khai triển hàm thành chuỗi và giới hạn ở số hạng tỉ lệ với Từ đó, Có thể thay cận dưới bằng mà không làm thay đổi đáng kể kết quả. Do đó, (2.45) Xét các tích phân ở vế phải của (2.45) (2.46) Khi Thay các kết quả trên vào (2.45), ta thu được (2.47) Ta tính (2.48) Tính (2.49) bằng cách đặt Do đó, Thay vào (2.49), ta có Khi Tính (2.50) cũng bằng cách đặt . Tương tự như trên, ta thu được Do nên (2.51) Thay (2.51) và (2.48) vào (2.47), ta thu được (2.52) Khi , do nên (2.53) Do đó, và (2.54) Khi , (2.55) Do đó, và (2.56) Thay (2.55), (2.56) vào (2.35) và (2.36), ta thu được (2.57) (2.58) Từ (2.38), (2.40), (2.57) và (2.58) suy ra kết quả gần đúng (2.59) (2.60) Như vậy, năng lượng toàn phần của khí điện tử tự do ở nhiệt độ T rất thấp gần đúng bằng (2.61) Nhiệt dung đẳng tích của khí điện tử tự do trong kim loại khi có biến dạng q được xác định bởi (2.62) 2.2.2. Độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do trong kim loại từ thống kê Fermi – Dirac biến dạng q Khi áp dụng lý thuyết lượng tử, độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do mà Pauli thu được có dạng [11, 92] (2.63) Ở đây, I là độ từ hóa, H là cường độ từ trường, N là tổng số điện tử tự do, là manheton Borh và là nhiệt độ Fermi. Theo (2.63), độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do trong kim loại không phụ thuộc vào nhiệt độ và kết quả tính toán của Pauli cho sự phù hợp tốt với thực nghiệm. Hơn nữa, theo quan sát được chỉ ra trong [3, 11, 92] thì giá trị độ cảm thuận từ của các kim loại không sắt từ phụ thuộc rất yếu vào nhiệt độ. Khi áp dụng lý thuyết biến dạng q, có thể xác định độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do trong kim loại xuất phát từ hàm phân bố thống kê Fermi – Dirac biến dạng q (2.28). Theo nguyên lý cơ học lượng tử, sự phụ thuộc của mật độ trạng thái vào năng lượng ở nhiệt độ T là hàm , trong đó là hàm phân bố Fermi-Dirac biến dạng q (2.28) và . Do đó, (2.64) Khi không có từ trường, mômen từ tổng cộng của khí điện tử tự do bằng không. Vì ở mỗi trạng thái có 2 điện tử với spin hướng ngược nhau nên khi đưa hệ vào từ trường, năng lượng điện tử với spin cùng hướng với từ trường H bị giảm đi một lượng là và năng lượng của các điện tử có spin ngược hướng từ trường H tăng lên một lượng là . Đường cong phân bố điện tử bị dịch chuyển như trên Hình 2.2. (b) Hình 2.2. Phân bố điện tử theo lý thuyết Pauli trong trường hợp có từ trường ở 0K Hình 2.2 (a) chỉ ra các trạng thái bị chiếm bởi các điện tử cùng hướng và ngược hướng với từ trường. Hình 2.2 (b) chỉ ra các spin cùng hướng với từ trường bị thừa ra do tác dụng của từ trường ngoài. Nếu không xảy ra sự phân bố lại các điện tử thì gây ra bất lợi năng lượng. Vì thế, một phần các điện tử có spin ngược hướng với từ trường sẽ chuyển vào các trạng thái có spin cùng hướng với từ trường và điều này dẫn đến đóng góp vào độ từ hóa (2.65) Ở đây là nồng độ của các điện tử với spin cùng hướng (dấu +) và ngược hướng (dấu -) với hướng của từ trường tương ứng và được xác định bởi (2.66) (2.67) Thay (2.66) và (2.67) vào (2.65), ta có (2.68) Trong (2.66) và (2.67), và là các tích phân phụ thuộc vào tham số biến dạng q và có dạng (2.69) (2.70) Ở nhiệt độ thấp và khác không, các tích phân (2.69) và (2.70) được tính gần đúng như các tích phân (2.35) và (2.36) và kết quả là (2.71) (2.72) Thay (2.71) và (2.72) vào (2.68), ta có (2.73) Từ (2.73) suy ra độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do trong kim loại (2.74) Thay trong [2, 6] vào (2.74), ta thu được độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do trong kim loại (2.75) Kết luận chương 2 Trong chương 2, chúng tôi đã trình bày ba vấn đề chủ yếu. Thứ nhất là bằng cách áp dụng phương pháp lí thuyết trường lượng tử, chúng tôi xây dựng TKFD và TKFD biến dạng q. Thứ hai là chúng tôi trình bày lý thuyết về q số trong đại số biến dạng và dao động tử fermion biến dạng q. Thứ ba là chúng tôi xây dựng các biểu thức giải tích của nhiệt dung và độ cảm thuận từ đối với khí điện tử tự do trong kim loại ở nhiệt độ thấp phụ thuộc vào tham số q bằng lý thuyết biến dạng. CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔMEN TRONG NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG CỦA MÀNG MỎNG KIM LOẠI VỚI CÁC CẤU TRÚC LPTD VÀ LPTK Cấu trúc lập phương tâm diện (LPTD) (tiếng Anh là face-centered cubic (FCC) là cấu trúc trong đó 8 nguyên tử nằm ở các đỉnh của ô cơ sở hình lập phương và 6 nguyên tử nằm ở tâm của các mặt của ô cơ sở hình lập phương. Cấu trúc này chứa 4 nguyên tử trong một ô cơ sở (xem Hình 3.1). Hình 3.1. Mạng tinh thể LPTD Cấu trúc lập phương tâm khối (LPTK) (tiếng Anh là body-centered cubic (BCC) là cấu trúc trong đó 8 nguyên tử nằm ở các đỉnh của ô cơ sở hình lập phương và 1 nguyên tử nằm ở tâm của ô cơ sở hình lập phương. Cấu trúc này chứa 2 nguyên tử trong một ô cơ sở (xem Hình 3.2). Hình 3.2. Mạng tinh thể LPTK 3.1. PPTKMM trong nghiên cứu TCNĐ của MMKL với các cấu trúc LPTD và LPTK ở áp suất không 3.1.1. Cơ sở lý thuyết TKMM trong nghiên cứu TCNĐ của MMKL với các cấu trúc LPTD và LPTK ở áp suất không 3.1.1.1. Dao động phi điều hoà của MMKL Xét một MMKL tự do có lớp với bề dày d. Giả sử màng mỏng bao gồm 2 lớp nguyên tử bề mặt ngoài, 2 lớp nguyên tử sát bề mặt ngoài và lớp nguyên tử bên trong như Hình 3.3. Gọi và tương ứng là số nguyên tử ở lớp ngoài, lớp sát ngoài và lớp trong của màng mỏng này. Hình 3.3. MMKL tự do Đối với kim loại, tương tác chủ yếu giữa các nguyên tử là tương tác cặp. Khi sử dụng phương pháp quả cầu phối vị, thế năng tương tác của hệ có thể viết dưới dạng (3.1) trong đó là vectơ xác định vị trí cân bằng của hạt thứ i, là vectơ độ dời của hạt thứ i khỏi vị trí cân bằng, là thế năng tương tác giữa hạt thứ i và hạt thứ 0 được chọn làm gốc và các chỉ số lớp tr, ng1 và ng tương ứng với các lớp trong, lớp sát ngoài và lớp ngoài của màng mỏng. Năng lượng liên kết hay tổng thế năng tương tác cặp giữa hạt thứ i và hạt thứ 0 lớp trong, lớp sát ngoài và lớp ngoài của hệ có dạng (3.2) Bây giờ, ta sẽ tìm biểu thức độ dời đối với các nguyên tử lớp trong của màng mỏng. Trong gần đúng bậc 4 của khai triển thế năng theo độ dời nguyên tử, thế năng tương tác giữa nguyên tử thứ i và thứ 0 của hệ có dạng (3.3) Theo [68], (3.4) trong đó (3.5) Trong (3.3), chỉ số eq có nghĩa là các đại lượng được xác định đối với hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động, là độ dời của hạt thứ i theo phương Nếu nguyên tử thứ 0 của lớp trong còn chịu tác dụng của lực phụ không đổi aβ theo phương thì tổng các lực tác dụng lên nó phải bằng 0, nghĩa là (3.6) Do tính chất đối xứng của các mạng tinh thể LPTD và LPTK nên (3.7) Các trung bình nhiệt động của độ dời nguyên tử (thường gọi là các mômen cấp 2 và cấp 3) và có thể biểu diễn qua mômen cấp 1 nhờ công thức mômen (1.17) như sau (3.8) (3.9) Nhờ đó, (3.7) trở thành (3.10) trong đó , , . (3.11) Để thu được (3.10), ta đã giả thiết rằng do tính chất đối xứng nên độ dời của các nguyên tử theo các phương là như nhau, (3.12) (3.10) là một phương trình vi phân phi tuyến. Vì ngoại lực a có giá trị nhỏ tùy ý nên có thể tìm nghiệm gần đúng của (3.10) dưới dạng , (3.13) trong đó là độ dời tương ứng khi không có ngoại lực. Tương tự như trong [50], tác giả đã tìm được biểu thức , (3.14) trong đó (3.15) Tiếp theo, xét các nguyên tử lớp sát ngoài của màng mỏng. Năng lượng tương tác giữa các nguyên tử trong màng mỏng chủ yếu là năng lượng tương tác cặp. Vì thế, biểu thức gần đúng đối với độ dời của nguyên tử thứ 0 trong lớp sát ngoài cũng có dạng tương tự (3.10) (3.16) trong đó ,, Nghiệm phương trình (3.16) có dạng tương tự (3.14) , (3.18) trong đó (3.19) Khi áp dụng các biểu thức từ (3.17) đến (3.19) cho các nguyên tử lớp sát ngoài cần lưu ý rằng vì thế tương tác sử dụng trong nghiên cứu là tương tác ngắn, ta sử dụng 2 quả cầu phối vị để tính các thông số nên có sự khuyết hạt trên trục z ở quả cầu phối vị thứ hai khi tính các tổng mạng tham gia vào biểu thức của các thông số. Đây là một điểm khác biệt để thấy được sự khuyết hạt trên các lớp bề mặt (hiệu ứng bề mặt) so với các lớp bên trong của màng mỏng. Hơn nữa, sự khuyết hạt trên trục z ở cả 2 quả cầu phối vị còn được thể hiện rõ hơn khi ta xét các lớp ngoài của màng mỏng. Cuối cùng, ta tìm biểu thức độ dời đối với các nguyên tử lớp ngoài của màng mỏng. Trong gần đúng bậc 3 trong khai triển của thế năng theo độ dời nguyên tử, thế năng tương tác giữa các nguyên tử thứ i và thứ 0 của lớp ngoài của hệ có dạng (3.20) Nếu nguyên tử thứ 0 lớp ngoài còn chịu thêm lực phụ không đổi aβ theo phương thì tổng các lực tác dụng lên nó phải bằng không (3.21) Tương tự cách thiết lập (3.10), có thể biển đổi (3.21) thành (3.22) trong đó (3.23) (3.22) là một phương trình theo độ dời của nguyên tử lớp ngoài. Vì ngoại lực a có giá trị nhỏ tùy ý nên có thể tìm nghiệm gần đúng của (3.22) dưới dạng , (3.24) trong đó là độ dời tương ứng khi không có ngoại lực. Tương tự như cách tìm nghiệm của (3.10), nghiệm có dạng gần đúng là (3.25) Như vậy, khi sử dụng PPTKMM, chúng tôi thu được biểu thức độ dời của nguyên tử thuộc các lớp trong, lớp sát ngoài và lớp ngoài của MMKL với các cấu trúc LPTD và LPTK. Các công thức trên hoàn toàn có thể áp dụng cho các MMKL Al, Cu, Au, Ag, Ni, Fe, W, Nb, Ta, 3.1.1.2. Thế năng trung bình của MMKL Thế năng tương tác trung bình của MMKL với các cấu trúc LPTD và LPTK được xác định bởi (3.26) trong đó các thông số được xác định bởi (3.11), (3.17) và (3.23), và tương ứng là tổng thế năng tương tác cặp giữa nguyên tử thứ 0 với nguyên tử thứ i thuộc lớp trong, lớp sát ngoài và lớp ngoài của màng mỏng và có dạng (3.2). Các mômen , được biểu diễn qua các mômen cấp thấp hơn nhờ công thức mômen: (3.27) (3.28) (3.29) , (3.30) (3.31) Từ đó có thể xác định theo (3.26). 3.1.1.3. Năng lượng tự do Các năng lượng tự do đối với lớp trong và lớp sát ngoài của MMKL với các cấu trúc LPTD và LPTK có dạng [50] (3.32) (3.33) Năng lượng tự do đối với lớp ngoài của MMKL với các cấu trúc LPTD và LPTK trong gần đúng chuẩn điều hòa có dạng [50] (3.34) trong đó lần lượt là năng lượng tự do trong gần đúng điều hòa đối với lớp trong, lớp sát ngoài và lớp ngoài của màng mỏng và có dạng (3.35) Do đó, các năng lượng tự do đối với lớp trong và lớp sát ngoài của MMKL gần đúng có dạng (3.36) . (3.37) Năng lượng tự do đối với lớp ngoài của MMKL gần đúng có dạng (3.38) Trong các biểu thức (3.36), (3.37), số hạng đầu tiên là phần đóng góp của dao động điều hoà và các số hạng còn lại là phần đóng góp của dao động phi điều hoà trong năng lượng tự do đối với lớp trong và lớp sát ngoài của MMKL. Các biểu thức (3.36), (3.37) và (3.38) cho phép tìm năng lượng tự do ở nhiệt độ T nếu biết giá trị của các thông số ở nhiệt độ T0 (chẳng hạn T0 = 0K). Nếu nhiệt độ T0 không xa nhiệt độ T thì có thể xem dao động của hạt xung quanh vị trí cân bằng mới (tương ứng với T0) là dao động điều hòa. Khi đó, các năng lượng tự do đối với lớp trong, lớp sát ngoài và lớp ngoài của MMKL có dạng (3.39) (3.40) (3.41) Giả sử hệ gồm nguyên tử với lớp và số nguyên tử trên mỗi lớp bằng nhau và bằng , Khi đó, và (3.42) Số nguyên tử ở lớp trong, lớp sát bề mặt ngoài và lớp ngoài của màng mỏng tương ứng được xác định bởi (3.43) (3.44) (3.45) Năng lượng tự do của hệ được xác định bởi (3.46) trong đó SC là entrôpi cấu hình, tương ứng là năng lượng tự do đối với một nguyên tử lớp trong, lớp sát ngoài và lớp ngoài của MMKL. Từ (3.46) suy ra năng lượng tự do của MMKL ứng với một nguyên tử là (3.47) Ký hiệu là khoảng lân cận gần nhất trung bình giữa 2 nguyên tử, là bề dày trung bình của 2 lớp màng tương ứng và là hằng số mạng trung bình của MMKL. Đối với MMKL với cấu trúc LPTD, , (3.48) Bề dày màng liên hệ với số lớp bởi (3.49) Từ đó, (3.50) Thay (3.50) vào (3.47), ta thu được (3.51) Đối với MMKL với cấu trúc LPTK, , , (3.52) Bề dày màng liên hệ với số lớp bởi (3.53) Từ đó, (3.54) Thay (3.54) vào (3.47), ta thu được (3.55) Từ biểu thức năng lượng tự do của màng mỏng, ta có thể xác định được các ĐLNĐ như hệ số dãn nở nhiệt, các hệ số nén đẳng nhiệt và đoạn nhiệt, năng lượng, các nhiệt dung đẳng tích và đẳng áp, các môđun đàn hồi đẳng nhiệt và đoạn nhiệt,... của màng mỏng. 3.1.1.4. Hệ số nén đẳng nhiệt và môđun đàn hồi đẳng nhiệt Hệ số nén đẳng nhiệt và mô đun đàn hồi đẳng nhiệt được xác định bởi , (3.56) trong đó V0 là thể tích của hệ ở 0K. Bằng một vài phép biến đổi trong nhiệt động lực học, ta thu được biểu thức của hệ số nén đẳng nhiệt của màng mỏng tương ứng với các cấu trúc LPTD và LPTK như sau (3.57) (3.58) trong đó ( là thể tích nguyên tử ở nhiệt độ T, đối với màng mỏng LPTD, đối với màng mỏng LPTK), là khoảng lân cận gần nhất trung bình giữa 2 hạt ở nhiệt độ T, là khoảng lân cận gần nhất trung bình giữa 2 hạt ở 0K. Biểu thức có thể được xác định từ các biểu thức (3.39), (3.40), (3.41) tương ứng với các lớp của màng mỏng (3.59) 3.1.1.5. Hệ số dãn nở nhiệt Hệ số dãn nở nhiệt của màng mỏng được xác định bởi (3.60) trong đó (3.61) Ở đây là bề dày của các lớp ngoài, là bề dày của các lớp sát ngoài và là bề dày của màng mỏng. 3.1.1.6. Năng lượng Khi sử dụng hệ thức nhiệt động Gibbs-Helmholtz (3.62) năng lượng của màng mỏng tương ứng với các cấu trúc LPTD và LPTK có dạng (3.63) (3.64) trong đó (3.65) Ở đây E0 là năng lượng của N dao động điều hòa tương ứng với lớp ngoài, lớp sát ngoài và lớp trong . (3.66) 3.1.1.7. Các nhiệt dung đẳng tích và đẳng áp Nhiệt dung đẳng tích của màng mỏng tương ứng với các cấu trúc LPTD và LPTK được xác định bởi (3.67) (3.68) trong đó (3.69) Nhiệt dung riêng đẳng áp của màng mỏng với các cấu trúc LPTD và LPTK được xác định bởi (3.70) 3.1.1.8. Hệ số nén đoạn nhiệt và môđun đàn hồi đoạn nhiệt Hệ số nén đoạn nhiệt và mô đun đàn hồi đoạn nhiệt được xác định bởi (3.71) Sử dụng các biểu thức trên đây để xác định TCNĐ của các MMKL Al, Au, Ag, Cu, Fe, W. Nb, Ta... 3.1.2. Các TCNĐ của MMKL ở áp suất không Để tính số cho các kết quả lý thuyết ở trên, ta cần chọn một dạng thế thích hợp để xác định các thông số . 3.1.2.1, Các thông số của MMKL ở áp suất không Sử dụng PPTKMM, chúng tôi đã tính toán các ĐLNĐ của các MM Al, Cu, Au, Ag, Fe, W, Nb, Ta với các cấu trúc LPTD và LPTK. Đối với các lớp ngoài cùng của màng mỏng, chúng tôi xét đến hiệu ứng bề mặt (cụ thể là sự khuyết các hạt trên bề mặt màng mỏng). Thế năng tương tác giữa các nguyên tử có dạng thế Lennard-Jones n-m như sau (3.72) trong đó là khoảng cách giữa hai nguyên tử tương ứng với thế năng cực tiểu lấy giá trị , n và m là các số có giá trị khác nhau đối với các nguyên tử khác nhau và được xác định bằng con đường kinh nghiệm thông qua các số liệu thực nghiệm. Bằng phương pháp quả cầu phối vị, năng lượng liên kết của MMKL được viết dưới dạng  (3.73) với là bán kính quả cầu phối vị thứ i, là số nguyên tử trên quả cầu phối vị thứ i, a là khoảng cách ngắn nhất giữa hai nguyên tử trong tinh thể và (3.74) là các tổng mạng. Các gía trị thực nghiệm của các thông số thế đối với các MMKL với các cấu trúc LPTD và LPTK được tổng kết trong Bảng 3.1 và Bảng 3.2. Bảng 3.1. Các giá trị thực nghiệm của các thông số thế m, n, D, đối với các MMKL Al, Cu, Au, Ag với cấu trúc LPTD [66] Kim loại n m Al 13,70 2,20 2,8541 6631,02 Cu 10,30 2,85 2,5487 6841,30 Au 16,34 1,89 2,8751 7411,50 Ag 12,70 2,82 2,8760 5737,19 Bảng 3.2. Các giá trị thực nghiệm của các thông số thế m, n, D, đối với các MMKL Fe, W, Nb, Ta với cấu trúc LPTK [66] Kim loại n m Fe 8,26 3,58 2,4775 12576,70 W 8,58 4,06 2,7365 25608,93 Nb 7,50 1,72 2,8648 21706,44 Ta 11,16 2,52 2,8648 21305,51 Ta sử dụng thế tương tác Lennard – Jones để tính các thông số màng mỏng đối với các MMKL Al, Cu, Au, Ag, Fe, W, Nb, Ta. Khi chọn hạt thứ 0 làm gốc, thế tương tác đối với các lớp trong của màng mỏng có dạng , (3.75) thế tương tác đối với các lớp sát ngoài của màng mỏng có dạng , (3.76) và thế tương tác đối với các lớp ngoài của màng mỏng có dạng . (3.77) Các thông số màng mỏng được xác định bởi , (3.78) , (3.79) , (3.80) (3.81) , (3.82) , (3.83) (3.84) (3.85) Ở đây, các kí hiệu (1), (2), (3), (4) trên đầu hàm là đạo hàm các cấp tương ứng. Kết hợp với các công thức (3.75), (3.76), (3.77) về thế tương tác, ta thu được  (3.86) (3.87) , (3.88) , (3.89) , (3.90) , (3.91) , (3.92) (3.93) Vì là thế tương tác ngắn nên ở đây ta sử dụng 2 quả cầu phối vị đầu tiên để tính các thông số . Kết quả là các thông số màng mỏng đối với màng mỏng với cấu trúc LPTD có dạng (3.94) (3.95) Các thông số màng mỏng đối với màng mỏng với cấu trúc LPTK có dạng (3.96) (3.97) Các tổng mạng đối với màng mỏng với cấu trúc LPTK dùng để tính các thông số màng mỏng thông qua 2 quả cầu phối vị đầu tiên bao gồm (3.98) Các tổng mạng đối với màng mỏng với cấu trúc LPTK dùng để tính các thông số màng mỏng thông qua 2 quả cầu phối vị đầu tiên bao gồm (3.99) Để tính các thông số ta cần xác định khoảng lân cận gần nhất ở các lớp của màng mỏng. 3.1.2.2. Khoảng lân cận gần nhất và các ĐLNĐ của MMKL ở áp suất không Khoảng lân cận gần nhất trung bình ở T = 0K có thể được xác định từ thực nghiệm hoặc từ điều kiện cực tiểu đối với năng lượng liên kết hoặc từ điều kiện cực tiểu đối với năng lượng tự do của màng mỏng. Điều kiện cực tiểu đối với năng lượng tự do của lớp trong cho khoảng lân cận gần nhất đối với lớp trong của màng mỏng tại nhiệt độ 0K (3.100) hay (3.101) Sử dụng phần mềm Maple đối với (3.101) để tìm khoảng lân cận gần nhất của lớp trong của màng mỏng tại nhiệt độ 0K. Khi đó, khoảng lân cận gần nhất giữa 2 nguyên tử đối với lớp trong của màng mỏng ở nhiệt độ T được xác định bởi (3.102) Điều kiện cực tiểu đối với năng lượng tự do của lớp sát ngoài cho khoảng lân cận gần nhất đối với lớp sát ngoài của màng mỏng tại nhiệt độ 0K (3.103) hay (3.104) Giải (3.104) bằng phần mềm Maple để tìm khoảng lân cận gần nhất đối với lớp sát ngoài của màng mỏng tại nhiệt độ 0K. Khi đó, khoảng lân cận gần nhất giữa 2 nguyên tử đối với lớp sát ngoài của màng mỏng ở nhiệt độ T được xác định bởi (3.105) Điều kiện cực tiểu đối với năng lượng tự do của lớp ngoài cho khoảng lân cận gần nhất đối với lớp ngoài của màng mỏng tại nhiệt độ 0K (3.106) hay (3.107) Giải (3.107) bằng phần mềm Maple để tìm khoảng lân cận gần nhất đối với lớp ngoài của màng mỏng tại nhiệt độ 0K. Khi đó, khoảng lân cận gần nhất giữa 2 nguyên tử đối với lớp ngoài của màng mỏng ở nhiệt độ T được xác định bởi (3.108) Khoảng lân cận gần nhất trung bình giữa 2 nguyên tử của màng mỏng ở nhiệt độ 0K phụ thuộc vào số lớp theo công thức (3.109) Khoảng lân cận gần nhất trung bình giữa 2 nguyên tử của màng mỏng ở nhiệt độ T phụ thuộc vào số lớp theo công thức (3.110) Có thể xác định giá trị của các thông số . tại giá trị của các khoảng lân cận gần nhất tương ứng với lớp ngoài, lớp sát ngoài và lớp trong của màng mỏng. Từ đó, ta có thể xác định các ĐLNĐ của các MMKL Al, Cu, Au, Ag, Fe, W, Nb, Ta ở áp suất không như hệ số dãn nở nhiệt , các hệ số nén đẳng nhiệt và đoạn nhiệt các môđun đàn hồi đẳng nhiệt và đoạn nhiệt các nhiệt dung đẳng tích và đẳng áp Các kết quả tính số này sẽ được trình bày trong Chương 4. 3.2. PPTKMM trong nghiên cứu TCNĐ của MMKL với các cấu trúc LPTD và LPTK dưới tác dụng của áp suất 3.2.1. Phương trình trạng thái của MMKL dưới tác dụng của áp suất Phương trình trạng thái đóng vai trò quan trọng trong việc xác định các tính chất của vật liệu màng mỏng dưới tác dụng của áp suất. Từ việc xác định áp suất theo năng lượng tự do (3.111) có thể thu được phương trình trạng thái đối với lớp trong của màng mỏng (3.112) phương trình trạng thái đối với lớp sát ngoài của màng mỏng (3.113) và phương trình trạng thái đối với lớp ngoài của màng mỏng (3.114) Ở đây, các thông số được xác định theo khoảng lân cận gần nhất giữa 2 nguyên tử của lớp trong Các thông số được xác định theo khoảng lân cận gần nhất giữa 2 nguyên tử của lớp sát ngoài Các thông số được xác định theo khoảng lân cận gần nhất giữa 2 nguyên tử của lớp ngoài Các khoảng lân cận gần nhất giữa 2 nguyên tử được xác định áp suất P và nhiệt độ T. Lưu ý có thể áp dụng các phương trình trạng thái (3.112), (3.113) và (3.114) nếu nhiệt độ T0 được chọn để tính các thông số gần với nhiệt độ T. Ở nhiệt độ 0K, các phương trình (3.112), (3.113), (3.114) có dạng (3.115) (3.116) (3.117) trong đó số hạng liên quan đến sự thay đổi thế năng của các hạt ở vị trí cân bằng và số hạng liên quan tới sự thay đổi năng lượng của dao động không. Theo (3.115), (3.116) và (3.117), nếu biết dạng của thế tương tác giữa các hạt của MMKL với các cấu trúc LPTD và LPTK thì ta có thể xác định khoảng cách gần nhất giữa 2 hạt hoặc hằng số mạng của màng mỏng ở áp suất P và nhiệt độ 0K. Nói chung đối với các lớp của MMKL, các phương trình (3.115), (3.116) và (3.117) có dạng của phương trình phi tuyến. Có thể sử dụng phần mềm Maple để giải các phương trình này và do đó có thể tìm được các nghiệm gần đúng , , . Sau đó, ta xác định các ĐLNĐ của MMKL dưới tác dụng áp suất tương tự như xác định các ĐLNĐ của MMKL ở áp suất không. 3.2.2. Khoảng lân cận gần nhất và các ĐLNĐ của MMKL dưới tác dụng của áp suất Khoảng lân cận gần nhất trung bình của MMKL với các cấu trúc LPTD và LPTK ở nhiệt độ T và áp suất P phụ thuộc vào số lớp theo công thức (3.118) trong đó (3.119) Khoảng lân cận gần nhất trung bình của MMKL với các cấu trúc LPTD và LPTK ở nhiệt độ