Luận án Đánh giá và mô phỏng các hệ số đàn hồi đa tinh thể hỗn độn

iá trên và dưới cho mô đun đàn hồi khối vật liệu đa tinh thể d chiều tổng quát. Tiếp theo ta tiến hành xây dựng các đánh giá cho mô đun trượt vĩ mô. 2.3. Mô đun đàn hồi trƣợt vật liệu đa tinh thể hỗn độn d chiều Ta vẫn sử dụng các công thức xuất phát đã trình bày trong mục trước để xây dựng các biên đánh giá cho mô đun trượt, các bước tiến hành tương tự như với mô đun đàn hồi khối. 2.3.1. Xây dựng đánh giá trên mô đun trượt d chiều Chọn trường thử khả dĩ tổng quát d chiều cho biến dạng như sau:   0 ij , , , 1 1 ; , 1,..., 2 n ij ik kj jk ki kl ijkl a a ba i j d                       (2.75) trong đó: 0ε là biến dạng lệch của vật thể, được sinh ra từ ứng suất lệch [28], 0 ii 0  .  ij , 1 d i j a   a là các hệ số vô hướng tự do chịu ràng buộc: 1 0 n v    a (2.76) Biểu thức trên chính là điều kiện để trường thử biến dạng đã chọn là khả dĩ. Sau khi đặt trường biến dạng khả dĩ vào biểu thức năng lượng cực tiểu, qua một số bước biến đổi ta nhận được: : : V W d  ε C ε x 0 0 0 1 1 : 2 : : : : : n n V M v v               ε ε a C a ε a A a . (2.77) trong đó: 2 1 1 2 V ijij iijj C C d d d            là trung bình cộng số học Voigt cho mô đun trượt,      ij ijkl klpp ij ijkli,j, , 1 i,j, , 1 1 2 2 d d M M kl k l k l b C C C C d d d                   C . (2.78) A có biểu thức cụ thể theo (2.61). 50 Sau khi tìm cực trị phiếm hàm năng lượng, tối ưu hóa biểu thức năng lượng theo các tham số ij a , b, f1, g1, ta thu được đánh giá trên cho mô đun đàn hồi trượt vĩ mô đa tinh thể ngẫu nhiên d chiều :   1 1 eff Ud 1 1 , axmin , , , bf g m f g b  C  eff Ud 1 1, , ,f g b  C , Ud 2 1 1 2 3 V ijij iijj M M d d                ,   1 -1 -1 -1 1: : : : : :T T ijkl M M M M M               M C A A A C C A C . (2.79) 2.3.2. Xây dựng đánh giá dưới mô đun trượt Tương tự, chọn trường thử khả dĩ cho ứng suất với trường hợp tổng quát d chiều như sau:  0 , , , , 1 1 ; , 1,..., n ij ij ik kj jk ki ij kl kl ij kl ijkl a a b a a ba i j d                              (2.80) trong đó: 0σ là ứng suất lệch, 0 0 ii   ; a là các hệ số vô hướng tự do chịu ràng buộc: 1 0 n v    a ;  ija a (2.81) Với điều kiện này thì trường ứng suất đã chọn là khả dĩ. Đặt trường ứng suất vừa chọn vào biểu thức năng lượng bù cực tiểu, biến đổi ta nhận được biểu thức năng lượng viết dưới dạng tuyệt đối: 1: : V W d  σ C σ x 1 0 0 0 1 1 : 2 : : : : n n R M v v              σ σ a C σ a A a (2.82) trong đó: 1 2 4 1 2 R ijij iijj S S d d d             là trung bình cộng điều hòa Reuss cho mô đun trượt,  ij , , , 1 d M M kl i j k l C    C , 51     ij ij ij 2 2 1 1 2 2 M kl kl klpp b b b C S S d d d d d d                       . (2.83) Biểu thức cụ thể của A tính theo (2.71). Tương tự, tối ưu hóa (2.82) theo các tham số ij a , b, f1, g1 ta thu được đánh giá dưới cho mô đun trượt vĩ mô đa tinh thể ngẫu nhiên d chiều:   1 1 eff Ld 1 1 , min ax , , , f g b m f g b  C 1 Ld 1 2 1 5 3 R ijij iijj M M             ,   1 -1 -1 -1 1: : : : : :T T ijkl M M M M M               M C A A A C C A C (2.84) Như vậy, ta đã xây dựng được công thức đánh giá trên và dưới cho mô đun đàn hồi khối và trượt vật liệu đa tinh thể d chiều tổng quát. 52 2.4. Kết luận chƣơng 2 Xuất phát từ nguyên lý năng lượng cực tiểu (và bù cực tiểu), với cách chọn trường thử khả dĩ tổng quát hơn trường phân cực Hashin-Strickman, chương này NCS đã xây dựng được các công thức đánh giá cho các hệ số đàn hồi vĩ mô vật liệu đa tinh thể hỗn độn d chiều. Qua các biểu thức đánh giá này ta nhận thấy:  Các đánh giá cho các mô đun đàn hồi vĩ mô phụ thuộc phức tạp vào các thông số hình học (f1, g1) và các hệ số đàn hồi thành phần ( ijC  ) của đơn tinh thể cơ sở.  Khi không có các thông tin hình học này thì: công thức đánh giá trên chính là đánh giá kinh điển Voigt ( eff V K k , eff V   ), đánh giá dưới là đánh giá Reuss ( eff R K k , eff R   ). Số hạng thứ hai trong các biểu thức đánh giá khiến cho kết quả của luận án tốt hơn vì đã đưa vào các thông tin hình học pha vật liệu.  Với cách chọn trường thử khả dĩ tổng quát hơn trường phân cực Hashin- Strickman nên về mặt cơ sở khoa học có thể kết luận đánh giá luận án đã xây dựng sẽ tốt hơn, để chứng tỏ điều này, luận án sẽ trình bày kết quả so sánh số cho từng vật liệu cụ thể trong chương tiếp theo. Các đánh giá cho mô đun đàn hồi vĩ mô tổng quát d chiều đã được công bố trong bài báo (1) trong mục “Danh mục các công trình khoa học đã công bố”. Trong chương sau, NCS sẽ áp dụng các công thức đánh giá vừa xây dựng để tính toán số cho một số đối xứng tinh thể cụ thể, đồng thời so sánh với các kết quả đánh giá đã có để chứng minh kết quả trong chương này là hoàn toàn đúng đắn và tốt hơn. 53 CHƢƠNG 3: ĐÁNH GIÁ CÁC MÔ ĐUN ĐÀN HỒI VĨ MÔ CHO CÁC ĐA TINH THỂ HỖN ĐỘN TỪ CÁC LỚP ĐỐI XỨNG TINH THỂ CỤ THỂ Trong chương này luận án sẽ áp dụng các công thức đánh giá tổng quát đã xây dựng ở chương trước cho một số đối xứng tinh thể trong không gian 2 chiều (orthorhombic 2D, square) và 3 chiều (tetragonal 3D). Đồng thời sử dụng Matlab tính toán cụ thể cho một số đa tinh thể thực tế và so sánh với các kết quả đánh giá trước đây. Trong quá trình tính toán, ta cần đưa vào các khái niệm k S , S tương ứng là tham số phân tán (parameter scater) của hệ số đàn hồi thể tích và trượt vĩ mô của vật liệu đa tinh thể ngẫu nhiên [40], [70], [71]: U L k U L k k S k k    , U L U L S        . Equation Chapter 3 Section 1 (3.1) trong đó: Uk , Lk : tương ứng là đánh giá trên và dưới của mô đun đàn hồi khối, U , L : tương ứng là đánh giá trên và dưới của mô đun đàn hồi trượt. Các tham số phân tán này đặc trưng cho sự chênh lệch tương đối giữa đánh giá cận trên và dưới của mô đun đàn hồi vĩ mô. Nếu tham số phân tán lớn tức là giá trị cận trên và dưới xa nhau, tham số phân tán nhỏ thì biên đánh giá là hẹp (đánh giá là tốt). Trong các bảng kết quả dưới đây, ta sẽ thấy các giá trị này rất nhỏ, và có liên quan đến sự hội tụ của phương pháp đánh giá được sử dụng. Trong phương pháp phần tử hữu hạn sự liên quan này được thể hiện rõ rệt qua các hình vẽ (sẽ trình bày trong chương sau). 3.1. Các đa tinh thể 2 chiều Xét phần tử đặc trưng V được gắn với hệ tọa độ Descartes {x1, x2} trong không gian 2D của vật liệu đa tinh thể. Các chỉ số Latin lặp lại , , , , , 1,2i j k l p q  ; các chỉ số Hy lạp chỉ các thành phần vật liệu đa tinh thể (α, β, γ = 1, ..., N). 54 Các đánh giá Voigt, Ruess và thông số hình học vật liệu đa tinh thể 2D tương ứng cho bên dưới. Đánh giá V-R cho mô đun đàn hồi diện tích: 11 12 22 1 ( 2 1 4 ) 4 V iijj K C CC C    ,    1 1 22 2 2 11 12 11 122 2 R iijj C C C C C K C C        . (3.2) Đánh giá V-R cho mô đun đàn hồi trượt: 211 122 33 1 1 4 2 1 ( 4 8 2 ) V ijij iijj C C C C C C             ,     2 11 12 1 22 2 11 12 11 1 33 22 33 22 2 21 2 2 R ijij iijj C C C C C C C C C C S C S              . (3.3) Các thông số hình học f1, f3, g1, g3 của vật liệu đa tinh thể 2D: 1 1 0 2 f  , 1 1 1 8 1 f g f   , 3 1 1 2 f f  , 3 1 5 8 g g  . (3.4) Áp dụng các công thức đánh giá mô đun đàn hồi khối d chiều (biên trên (2.64), biên dưới (2.74)) và mô đun trượt d chiều (biên trên (2.79), biên dưới (2.84)) cho vật liệu đa tinh thể 2D (d = 2) với một số đối xứng tinh thể cụ thể sau. 3.1.1. Đối xứng tinh thể hình chữ nhật (Orthorhombic 2D) Đa tinh thể cấu tạo từ vô số các đơn tinh thể có cấu trúc orthorhombic liên kết hỗn độn với nhau gọi là đối xứng tinh thể orthorhombic. Tinh thể orthorhombic có các mặt bên và 2 mặt đáy là hình chữ nhật, với các kích thước cạnh tương ứng là a, b, c (hình 3.1). Trong không gian 2D ta xét các mặt tương ứng của nó. Đơn giản Tâm diện Tâm khối Tâm mặt Hình 3.1: Đối xứng tinh thể orthorhombic 55 Đối xứng tinh thể này có 4 hệ số đàn hồi độc lập khác không, biểu diễn dạng ma trận: 11 12 22 33 0 0 C C C DX C                C (3.5) a. Đánh giá trên mô đun đàn hồi diện tích Tính toán các số hạng cụ thể trong (2.64) cho tinh thể orthorhombic như sau:  11 11 12 1 1 4 2 4 K V bkb C C C            ,  22 22 12 1 1 4 2 4 K V bkb C C C            , 12 21 0K KC C   ,        ' '1111 11 11 1 2 11 12 3 6 11 33 4 5A AC C C B B C C B B C C B B             ,        '22 22 1 2 22 12 3 6 22 33 4 5AC C B B C C B B C C B B            ,    '33 33 1 12 2 11 33 5 11 12 6AC C B C B C C B C C B          ,    '12 12 1 33 2 11 12 3 11 33 4AC C B C B C C B C C B          ,    '21 12 1 33 2 22 12 3 22 33 4AC C B C B C C B C C B          , ' ' ' ' 13 31 23 32 0A A A AC C C C    . (3.6) Đặt các biểu thức của C’A và D vào (2.61), nhận được ma trận có dạng giống ma trận hệ số đàn hồi: 11 12 22 33 0 0 A A A A                 A (3.7) Tương tự như C và S ta có tính chất sau [70]:     1 1; , , , 1,2A Apq rsS C p q r s   A (3.8) Tính các thành phần trong dấu trung bình trong (2.61): 1 : AC K K   A C C , 11 11 1111 11 1122 22 11 11 12 22 AC A K A K A K A K A K K kl kl C S C S C S C S C S C       , 22 12 11 22 22 AC A K A K K C S C S C  , 12 33 12 1 2 AC A K K C S C  , 56 1: : :CAC AC K K K K K C      C A C C C , 11 11 22 22 12 12 2CAC K AC K AC K AC K K K K C C C C C C C     . (3.9) Lấy trung bình các biểu thức theo α.  ij ,kl V VC k   T ,  ij ij ik il ij 1 , 2 kl R kl R jl jk kl T k k                    ,    1 1 1 1 1 , 4 4 A A R pq R pq           A T S S ,  1 11 22 122A A A AR pqS S S S   K ,     1 11 22 22 33 1 2 2 A A A A A R pq S S S S S    M ,      1 1 ,A A R pq R pq S S      A T ,  1 11 22 1 : 2 AC AC K k k C C     A C I ,     1 1 2 1 1 1 11 33 : : : 2AC AC A K K K K R pq C C S            C A A A C K . (3.10) Đặt các biểu thức vừa tính được từ (3.6) đến (3.10) vào đánh giá tổng quát (2.64) ta được công thức đánh giá trên cho mô đun đàn hồi diện tích đa tinh thể orthorhombic 2D:   1 1 eff U 1 1 , ax min , , , bf g K m K f g b C ,     2 11 22 KU AC AC A CAC V K K R pq K K K C C S C    . (3.11) b. Đánh giá dưới mô đun đàn hồi diện tích Tương tự, tính toán các số hạng cụ thể trong (2.73) cho tinh thể orthohombic 2D như sau:  11 11 12 4 3 4 8 K b bC S S       ,  22 11 22 4 3 4 8 K b bC S S       , 12 21 0K KC C  , 11 1111 1 2 D D D D   , 22 11 D D , 33 1212 2 4 2D D D  , 12 21 13 31 23 32 0D D D D D D      ,      1 1 1 11 2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 1 1 1 1 4 4 4 2 R R R R D k f F g G f F g G k f F g G                    2 1 1 1 2 4 2 2 7 7 1 1 1 5 1 3 1 4 2 2 8 4 4 R R R b k f F g G F G k                     ,    1 12 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 4 R R D f F g G k f F g G      57     1 1 1 2 3 2 3 2 6 2 2 8 8 1 1 1 1 5 4 2 2 2 8 R R R k f F g G k f F g G F G               ,       ' '1111 1111 11 1 2 11 12 3 6 11 33 4 5 1 4 AS A S B B S S B B S S B B                   ,       '22 22 1 2 22 12 3 6 22 33 4 5 1 4 AS S B B S S B B S S B B                  ,    ' '33 1212 33 1 12 2 11 33 5 11 12 64 4 4 4AS A S B S B S S B S S B            ,  ' '12 1122 12 1 33 2 11 12 3 11 33 4 1 1 4 4 AS A S B S B S S B S S B                  , ' ' 21 12 A AS S , ' ' ' ' 13 31 23 32 0A A A AS S S S    . (3.12) Tính các thành phần trong dấu trung bình của (2.73): 1 : AC K K  A C C , 11 11 1111 11 1122 22 1112 12 11 11 12 22 13 12 2 2AC A K A K A K A K A K A K A K K kl kl C C C C C C C C C C C C C C C             , 22 12 11 22 22 13 12 2AC A K A K A K K C C C C C C C     ,  12 13 11 22 33 122AC A K K A KKC C C C C C     , 1: : :CAC AC K K K K K C      C A C C C , 11 11 12 12 22 22 2CAC CA K CA K CA K K K K K C C C C C C C     . (3.13) Lấy trung bình theo α.     1 ,A AV pq R pqK C M C   A T ,     1 1 1 11 1, 4 4 A A V pq V pq C C            A T  1 11 22 1 : 2 AC AC K K K C C     A C I , 1 11 11 12 12 22 22 : : 2CA K CA K CA K CAC K K K K K K C C C C C C C          C A C , 1 1 1 1 1 1 0 0 2 2 8        ,f f g f b ,    11 12 22 1 1 2 4 4 A A A A A V pq iijj C C C C C     ,    11 22 12 33 1 1 1 1 1 4 2 8 4 2 A A A A A A A V pq ijij iijj C C C C C C C             . (3.14) Thay các biểu thức từ (3.12) đến (3.14) vào (2.73) nhận được công thức đánh giá cận dưới cho mô đun đàn hồi diện tích của vật liệu đa tinh thể orthorhombic 2D: 58 1 1 eff , min ax Lfgb f g b K m K ,     1 2 1 1 11 22 1 K 4 Lfgb AC AC A CAC R K K V pq K K K C C C C           (3.15) c. Kết quả các đánh giá và so sánh Xét một số đa tinh thể 2D orthorhombic với các hệ số đàn hồi thành phần tương ứng được cho trong bảng số liệu đầu vào sau (đơn vị tính GPa): Bảng 3.1: Các hệ số đàn hồi một số tinh thể 2D orthorhombic Tinh thể C11 (GPa) C22 (GPa) C12 (GPa) C33 (GPa) S(1) 2.05 4.83 1.59 0.43 S(2) 2.40 2.05 1.33 0.76 U(1) 19.86 26.71 10.76 12.44 U(2) 21.47 19.86 4.65 7.43 TiO2 27.3 48.4 14.9 12.5 Ở đây: S(1) là đối xứng tinh thể lưu huỳnh (S) xét trong mặt phẳng {x2, x3}; S(2) ứng với mặt phẳng {x1, x3}; các tinh thể khác tương tự. Sử dụng các số liệu trong Bảng 3.1, các công thức (3.11) và (3.15), tính toán số bằng Matlab (quy trình tính toán chung theo Hình 3.2) và so sánh với các đánh giá V-R tính từ các công thức (1.1), (1.2), đánh giá cho các đa tinh thể từ các tinh thể dạng hạt tròn [75], ta nhận được kết quả trong Bảng 3.2 bên dưới. Các ký hiệu cụ thể:  V K , R K : tương ứng là các đánh giá Voigt- Reuss,  U cir K , L cir K : tương ứng là đánh giá trên và dưới cho đa tinh thể từ các tinh thể dạng tròn (circular cell polycrystals),  UK , LK : tương ứng đánh giá trên và dưới của luận án,  Ub , 1 Uf , 1 Ug , Lb , 1 Lf , 1 Lg : là các giá trị các biến b, f1, g1 (các thông số hình học vật liệu) đạt được ứng với đánh giá trên và dưới của luận án, cụ thể: 59 Ub , 1 Uf , 1 Ug : tương tứng là giá trị nhỏ nhất của b, giá trị lớn nhất của f1, g1 mà mô đun đàn hồi diện tích đạt cực đại, chính là đánh giá trên KU của luận án. Trong chương trình tính, luận án chia mỗi khoảng của b, f1, g1 thành n đoạn (n =100) như vậy sẽ có n3 đoạn cần tối ưu. Lb , 1 Lf , 1 Lg : tương tứng là giá trị lớn nhất của b, giá trị nhỏ nhất của f1, g1 mà mô đun đàn hồi diện tích đạt cực tiểu, chính là đánh giá dưới KL của luận án.  LA k S , irc k S , VR k S : tương ứng là các tham số phân tán cho mô đun đàn hồi diện tích của Luận án, dạng hạt tròn và V-R. Hình 3.2: Quy trình tính các đánh giá bằng Matlab 60 Bảng 3.2: Kết quả đánh giá mô đun đàn hồi diện tích orthorhombic 2D Tinh thể Orthorhombic 2D R K LK L cir K U cir K UK V K Lb , 1 Lf , 1 Lg Ub , 1 Uf , 1 Ug LA k S (%) irc k S (%) VR k S (%) S(1) 1.9928 2.1365 2.1365 2.1612 2.1612 2.5150 -1.4025 0.0671 0.5140 -0.6785 0 0.2014 0.57 0.57 11.58 S(2) 1.7604 1.7678 1.7678 1.7680 1.7774 1.7775 -0.5230 0 0.4102 -0.8850 0.0125 0.0450 0.27 0.01 0.48 U(1) 16.5542 16.7399 16.7399 16.7489 16.7489 17.0225 -1.0240 0.1605 0.5141 -0.9765 0.3120 0.4121 0.03 0.03 1.39 U(2) 12.6373 12.6434 12.6434 12.64341 12.64341 12.6575 -0.0513 0 0.3105 -1.2550 0.1667 0.1435 30.04.10 30.04.10 0.08 TiO2 23.9501 24.7672 24.7672 24.8078 24.8078 26.3750 -0.1455 0.2037 0.4136 -0.6857 0 0.1034 0.08 0.08 4.82 61 Nhận xét Bảng 3.2:  Đánh giá mới của luận án luôn nằm trong khoảng các đánh giá Voigt- Reuss, chứng tỏ kết quả của luận án là tốt hơn.  Đánh giá của luận án nằm gần sát với đánh giá cho đa tinh thể dạng hạt tròn, chứng tỏ kết quả của luận án là hợp lý và đánh giá cho tinh thể hạt tròn có thể sử dụng như xấp xỉ đơn giản dùng trong ứng dụng.  Các giá trị tham số phân tán của luận án LA k S gần như bằng với tham số cho tinh thể dạng hạt tròn irc k S và nhỏ hơn nhiều lần VR k S của V-R (chẳng hạn: tinh thể U(2) có LA k S , irc k S nhỏ hơn VR k S đến 2.000 lần ), chứng tỏ biên đánh giá của luận án và dạng hình tròn sát nhau và hẹp (tốt) hơn rất nhiều so với V-R. 3.1.2. Đối xứng tinh thể hình vuông (Square) Đối xứng tinh thể này có 3 hệ số đàn hồi độc lập khác không, là trường hợp riêng của orthorhombic, có biểu diễn dạng ma trận: 11 12 11 33 0 0 C C C DX C                C (3.16) a. Đánh giá mô đun đàn hồi diện tích Từ công thức (3.11) khi cho C22 =C11, qua một số bước biến đổi toán học ta có thể nhận được công thức đánh giá trên cho mô đun đàn hồi diện tích đa tinh thể square 2D (hoặc có thể thực hiện các bước tính toán tương tự như orthorhombic):  11 12 1 2 effK C C  (3.17) Ta nhận thấy vế phải của công thức (3.17) trên chính là trung bình cộng số học Voigt cho vật liệu đa tinh thể trong không gian 2 chiều. Tương tự lập luận cho đánh giá trên, cho C22 =C11 từ (3.15) ta nhận được công thức đánh giá dưới cho mô đun đàn hồi thể tích đa tinh thể square (trùng với đánh giá trên): 62  11 12 1 2 effK C C  (3.18) Kết quả này hoàn toàn hợp lý với các đánh giá kinh điển trước đây của V-R, HS. b. Đánh giá mô đun đàn hồi trượt  Đánh giá trên Tính toán các số hạng cụ thể trong (2.79) cho tinh thể square như sau: 11 11 12 1 3 2 8 8 M b bC C C           , 12 12 11 1 3 2 8 8 M b bC C C           , 33 33 1 2 4 M bC C         ,         2 ' 11 11 1 1 2 1 1 2 11 33 1 4 5 1 1 4 2 A bC C f F F g G G C C f F F                           2 1 2 5 11 12 1 3 4 1 2 8 16 b b g G G C C f F F g G               ,   2 ' 12 12 1 1 1 1 33 1 2 1 2 1 1 4 2 A bC C f F g G C f F g G                      2 11 33 1 4 1 2 11 12 1 3 8 16 b b C C f F g G C C f F                ,    2 ' 33 33 1 1 1 1 11 33 1 2 1 2 1 1 1 4 2 2 A bC C f F g G C C f F g G                        11 33 1 5 1 5 11 12 1 4 1 2 1 1 2 2 C C f F g G C C f F g G         , 11 1 2 D D D  , 12 1 D D , 33 2 1 2 D D ,   6 1 , 1 A pq p q A S   ,     11 11 2 2 11 12 A A A A C S C C   ,     12 12 2 2 11 12 A A A A C S C C   , 33 33 1A A S C  . (3.19) Tính các số hạng trong dấu  trong (2.79):  1 1: : ACM M MpqC  C A A C ,  1: : CACM M MpqC C A C , 11 11 11 11 12 12 AC A M A M A M M kl kl C S C S C S C   , 12 11 12 12 11 AC A M A M M C S C S C  , 33 33 33 1 2 AC A M M C S C , 63 11 11 11 12 12 CAC M AC M AC M M M C C C C C  , 12 12 11 11 12 CAC M AC M AC M M M C C C C C  , 33 33 33 2CAC M AC M M C C C . (3.20) Vì giả thiết đẳng hướng thống kê nên tất cả các trung bình  trong (2.79) là ten xơ đẳng hướng bậc bốn:  ij ,kl V VC k   T ,  ij ij ik il ij 1 , 2 kl R kl R jl jk kl T k k                    ,  1 11 12 11 12 33 1 1 1 , 2 4 2 A A A A AS S S S S              A T ,   1 1 1 1 11 12 11 12 33 1 1 , 2 2 A A A A AS S S S S                 A T ,    1 1 11 12 11 12 33 1 1 : : , 2 2 4 AC AC AC AC AC M M C C C C C                A C C A T ,    1 11 12 11 12 33 1 1 : : , 2 2 4 CAC CAC CAC CAC CAC M M C C C C C             C A C T . (3.21) Đặt các biểu thức vừa tính được từ (3.19) đến (3.21) vào công thức tổng quát (2.79) ta được công thức đánh giá trên mô đun đàn hồi trượt cho đối xứng tinh thể square:   1 1 eff 11 12 33 , 1 ax min 2 4 CAC CAC CAC V M M M bf g m C C C          1 2 11 12 33 11 12 33 1 1 2 4 2 A A A AC AC AC M M M S S S C C C              (3.22)  Đánh giá dưới Tính toán các số hạng cụ thể trong (2.84) cho tinh thể square: 11 11 12 1 3 1 8 2 8 2 M b bC S S                   , 12 11 12 3 1 1 8 2 8 2 M b bC S S                   , 33 33 16 M bC S  , 11 1 2 D D D  , 22 11 D D , 33 1212 2 4 2D D D  ,       2 ' 11 11 1 1 2 1 1 2 11 33 1 4 5 1 16 4 A bS S f F F g G G S S f F F                    64       2 1 2 5 11 12 1 3 6 1 6 3 4 16 b b g G G S S f F F g G                ,   2 ' 12 12 1 1 1 1 33 1 2 1 2 1 16 4 A bS S f F g G S f F g G                2 11 33 1 4 1 2 11 12 1 3 1 3 4 4 16 b b S S f F g G S S f F                      ,   2 ' 33 12 1 1 1 1 12 33 1 2 1 2 1 2 16 4 A bS S f F g G S S f F g G                      11 33 1 5 1 5 11 12 1 6 1 2 1 2 2 4 S S f F g G S S f F g G               . (3.23) Tính các thành phần trong (2.84) và lấy trung bình: 1 : AC M M  A C C , 1: : :CAC AC M M M M M C      C A C C C ,     11 11 2 2 11 12 A A M A A S C S S   ,     12 12 2 2 11 12 A A M A A S C S S   , 33 33 1A M A C S  , 11 11 11 11 12 12 AC A M A M A K M kl kl C C C C C C C     , 12 11 12 12 11 AC A M A M M C C C C C   , 33 33 33 2AC A M M C C C  , 11 11 11 12 12 CAC AC M AC M M M M C C C C C   , 12 11 12 12 11 CAC AC M AC M M M M C C C C C   , 33 33 33 2CAC AC M M M C C C  . (3.24) Đặt các biểu thức (3.23), (3.24) vào (2.84) nhận được công thức đánh giá dưới cho mô đun trượt của vật liệu đa tinh thể square:   1 1 eff 1 11 12 33 , min max 2CAC CAC CAC R M M M f g b C C C         1 1 2 11 12 33 11 12 33 2 2A A A AC AC AC M M M C C C C C C         (3.25) c. Kết quả các đánh giá và so sánh Xét một số đối xứng tinh thể square với các hệ số đàn hồi thành phần được cho trong Bảng 3.3. Tương tự như trường hợp orthorhombic, áp dụng các công thức đánh giá (3.22) và (3.25), tính toán theo quy trình Hình 3.2, so sánh với các đánh giá V-R tính theo (1.1), (1.2), HS tính theo (1.4), (1.7), giá trị SC tính theo (1.27), nhận được kết quả cho mô đun đàn hồi diện tích square (Bảng 3.3) và mô đun trượt square (Bảng 3.4). 65 Bảng 3.3: Kết quả đánh giá mô đun đàn hồi diện tích square Bảng 3.4: Kết quả đánh giá mô đun đàn hồi trượt square Tinh thể square R  (GPa) L HS  (GPa) L (GPa) SC  (GPa) U (GPa) U HS  (GPa) V  (GPa) LAS (%) HSS (%) VRS (%) Ag 23.1 25.17 25.63 25.76 25.94 26.36 30.40 0.61 2.31 13.64 Ca 6.0 6.462 6.545 6.563 6.60 6.667 8.0 0.41 1.56 14.29 Cu 35.82 39.41 40.26 40.51 40.89 41.64 49.40 0.77 2.75 15.94 Ni 67.86 72.43 73.24 73.41 73.71 74.42 84.50 0.32 1.35 10.92 Pb 5.92 6.772 7.04 7.152 7.302 7.556 9.250 1.82 5.47 21.95 Li 1.98 2.49 2.73 2.90 3.19 3.41 5.45 7.77 15.59 46.7 trong đó: VK , RK , V , R tương ứng là các đánh giá V- R; HSK , U HS  , L HS  là các đánh giá HS; SC  là giá trị SC; effK , U , L là các đánh giá của luận án; LAS , HSS , VRS là các tham số phân tán cho mô đun đàn hồi trượt của Luận án, HS và V-R. Tinh thể square C11 (GPa) C12 (GPa) C33 (GPa) eff V R HS K K K K   (GPa) Ag 123 92 45.3 107.5 Ca 16 8 12 12 Cu 169 122 75.3 145.5 Ni 247 153 122 200 Pb 123 92 45.3 45.1