Luận án Điều kiện cần và đủ cho nghiệm của bài toán cân bằng vectơ qua dưới vi phân suy rộng

â, (Λ ◦ Fx)(y) = 1 2 y22 + |y2|+ y31 − 1 2 y1, ∂MP (Λ ◦ Fx)(x) = { (−1 2 , ξ)T : −1 ≤ ξ ≤ 1 } . Vîi µ = (1, 1), i·u ki»n tèi ÷u (2.1) trong ffiành lþ 2.2 thäa m¢n t¤i x = (0, 0) (0, 0)T ∈ ( −1 2 ξ )T + (1 1) ( 1 0 η ζ ) + R3−, vîi ξ = η = −1 2 , ζ = 1 2 . Vîi mët sè kh¡i ni»m v· h m lçi suy rëng ÷ñc tr¼nh b y trong Möc 1.4. Khi â, c¡c i·u ki»n õ cho nghi»m húu hi»u Henig cõa b i to¡n (CVEP) l¦n l÷ñt ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau. ffiành lþ 2.5. Cho x ∈ K v  thäa m¢n Gi£ thi¸t 2.1. Gi£ sû tçn t¤i Λ ∈ Q4(B); µi ≥ 0, vîi måi i ∈ I(x); vj ∈ R, vîi måi j ∈ J) sao cho 0 ∈ ∂MP (Λ ◦Fx)(x) + ∑ i∈I(x) µi∂ MPgi(x) + ∑ j∈L vj∇hj(x) +NC(x). (2.13) Hìn núa, gi£ sû C-lçi, ¡nh x¤ Λ ◦ Fx l  ∂MP -gi£ lçi t¤i x tr¶n C, c¡c ¡nh x¤ gi, vîi måi i ∈ I(x) l  ∂MP - tüa lçi t¤i x tr¶n C v  c¡c ¡nh x¤ h1, ..., h` tüa tuy¸n t½nh t¤i x tr¶n C. Khi â, vectì x l  nghi»m húu hi»u Henig cõa (CVEP). Chùng minh. Tø (2.13), suy ra tçn t¤i ξ ∈ ∂MP (Λ◦Fx)(x), ζi ∈ ∂MPgi(x), (∀i ∈ I(x)), η ∈ N(C;x) sao cho ξ + ∑ i∈I(x) µiζi + ∑ j∈L γj∇hj(x) + η = 0. Vîi måi x ∈ C, ta câ 〈ξ, x− x〉+ ∑ i∈I(x) µi 〈ζi, x− x〉+ ∑ j∈L γj 〈∇hj(x), x− x〉+ 〈η, x− x〉 = 0. (2.14) Vîi x ∈ K, ta câ gi(x) ≤ 0 = gi(x) (∀i ∈ I(x)). Do gi l  ∂MP -tüa lçi t¤i x, ta nhªn ÷ñc 〈ζi, x− x〉 ≤ 0 vîi måi i ∈ I(x). (2.15) Vîi x ∈ K, ta câ hj(x) = 0 = hj(x). Do ±hj vîi måi i ∈ L l  tüa tuy¸n t½nh t¤i x, ta nhªn ÷ñc 〈∇hj(x), x− x〉 = 0 (j ∈ L). (3.16) Hìn núa, do C lçi, ta suy ra T (K;x) = R+(C − x). V¼ vªy, 〈η, x− x〉 ≤ 0. (2.17) Thay (2.15) v  (2.16) v o (2.14), ta nhªn ÷ñc 〈ξ, x− x〉 ≥ 0, vîi måi x ∈ K. Do λ ◦ Fx l  ∂MP - gi£ lçi t¤i x, ta câ (λ ◦ Fx)(x) ≥ 0, vîi måi x ∈ K. (2.18) Ta c¦n chùng minh, x l  nghi»m húu hi»u Henig cõa b i to¡n (CVEP). Gi£ sû ng÷ñc l¤i, x khæng l  nghi»m húu hi¶u Henig cõa (CVEP). Khi â, tø (1.5) ta suy ra vîi måi l¥n cªn lçi tuy»t èi U cõa 0 vîi U ⊆ VB, F (x,K) ∩ (−intQU(B)) 6= ∅. V¼ vªy, vîi l¥n cªn lçi tuy»t èi U cõa 0 vîi U ⊆ VB, tçn t¤i x1 ∈ K sao cho Fx(x1) ∈ −intQU(B). M°t kh¡c, theo Bê · 1.1, tçn t¤i l¥n cªn lçi tuy»t èi U1 cõa 0 vîi U1 ⊆ VB sao cho Λ ∈ QU1(B)∗\ {0}, bði v¼ Λ ∈ Q4(B). Do â, (Λ ◦ Fx)(x1) < 0, i·u n y m¥u thu¨n vîi (2.18), ành lþ ÷ñc chùng minh. T÷ìng tü ffiành lþ 2.5, trong tr÷íng hñp X, Y l  c¡c khæng gian húu h¤n chi·u, i·u ki»n õ tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u Henig cõa (CVEP) ÷ñc ph¡t biºu qua ành lþ sau. ffiành lþ 2.6. Gi£ sû X = Rn, Y = Rp, x ∈ K v  thäa m¢n Gi£ thi¸t 2.1. Hìn núa, (i) tçn t¤i λ ∈ Q4(B);µi ≥ 0, vîi måi i ∈ I(x); vj ∈ R, vîi måi j ∈ J sao cho 0 ∈ λ∂JFx(x) + ∑ i∈I(x) µi∂ MPgi(x) + ∑ j∈L vj∇hj(x) +NC(x); (ii) tªp C-lçi; ¡nh x¤ Λ ◦ Fx l  ∂C-gi£ lçi t¤i x tr¶n C; c¡c ¡nh x¤ gi, vîi måi i ∈ I(x) l  ∂MP -tüa lçi t¤i x tr¶n C v  c¡c ¡nh x¤ h1, . . . , h` tüa tuy¸n t½nh t¤i x tr¶n C. Khi â, x l  nghi»m húu hi»u Henig cõa (CVEP). Vîi X, Y l  c¡c khæng gian væ h¤n chi·u v  Fx kh£ vi ch°t t¤i x, mët i·u ki»n õ tèi ÷u kh¡c cho b i to¡n (CVEP) ÷ñc thi¸t lªp nh÷ sau. ffiành lþ 2.7. Cho x ∈ K. Gi£ sû h m Fx kh£ vi ch°t t¤i x; gi, vîi måi i ∈ I(x) l  Lipschitz àa ph÷ìng t¤i x; hj, vîi måi j ∈ L l  kh£ vi Fr²chet t¤i x v  (i) tçn t¤i λ ∈ Q4(B);µi ≥ 0, vîi måi i ∈ I(x); vj ∈ R, vîi måi j ∈ J sao cho 0 ∈ [DsFx(x)]∗ λ+ ∑ i∈I(x) µi∂ MPgi(x) + ∑ j∈L vj∇hj(x) +NC(x); (ii) tªp C lçi; ¡nh x¤ λ ◦ Fx gi£ lçi t¤i x tr¶n C; c¡c ¡nh x¤ gi, vîi måi i ∈ I(x) l  ∂MP - tüa lçi t¤i x tr¶n C v  c¡c ¡nh x¤ h1, . . . , h` tüa tuy¸n t½nh t¤i x tr¶n C. Khi â, x l  nghi»m húu hi»u Henig cõa (CVEP). Nhªn x²t 2.1. N¸u Q câ cì sð B l  tªp âng bà ch°n th¼ i·u ki»n λ ∈ Q4(B) trong c¡c ffiành lþ 2.6 v  ffiành lþ 2.7 câ thº ÷ñc thay bði λ ∈ intQ∗. 2.1.2. ffii·u ki»n KarushKuhnTucker cho nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng Düa tr¶n c¡c k¸t qu£ thu ÷ñc trong Möc 2.1.1, c¡c i·u ki»n Karush KuhnTucker cho nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVEP) ÷ñc thi¸t lªp. ffii·u ki»n c¦n tèi ÷u cho nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVEP) ÷ñc ph¡t biºu qua ành lþ sau. ffiành lþ 2.8. Cho x l  nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa (CVEP). Gi£ sû Fx(x) = 0; H(x) l  tªp âng y¸u*; Gi£ thi¸t 2.1 v  i·u ki»n ch½nh quy (CQ) thäa m¢n. Khi â, tçn t¤i µi ≥ 0, vîi måi i ∈ I(x); vj ∈ R, vîi måi j ∈ L v  h m li¶n töc, thu¦n nh§t d÷ìng Λ tr¶n Y thäa m¢n (α), (β) trong ffiành lþ 2.2 sao cho 0 ∈ ∂MP (Λ ◦ Fx)(x) + ∑ i∈I(x) µi∂ MPgi(x) + ∑ j∈L vj∇hj(x) +NC(x). Chùng minh. Theo Nhªn x²t 1.1, ta suy ra x l  nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVEP). Theo ffiành lþ 2.2, suy ra ành lþ ÷ñc chùng minh. Trong tr÷íng hñp X, Y l  c¡c khæng gian húu h¤n chi·u, i·u ki»n c¦n tèi ÷u cho nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVEP) ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau. ffiành lþ 2.9. Gi£ sû X = Rn, Y = Rp, x l  nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVEP) v  thäa m¢n c¡c gi£ thi¸t cõa ffiành lþ 2.2. Khi â, (i) tçn t¤i λ ∈ Q4(B);µi ≥ 0, vîi måi i ∈ I(x); vj ∈ R, vîi måi j ∈ J sao cho 0 ∈ λ∂JFx(x) + ∑ i∈I(x) µi∂ MPgi(x) + ∑ j∈L vj∇hj(x) +NC(x); (2.20) (ii) hìn núa, n¸u cì sð B cõa Q l  tªp âng v  bà ch°n th¼ λ ∈ intQ∗. Chùng minh. Do x l  nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVEP), theo Nhªn x²t 1.1, suy ra x l  nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVEP). Hìn núa, c¡c gi£ thi¸t cõa ffiành lþ 2.3 thäa m¢n. p döng ffiành lþ 2.3 ta suy ra tçn t¤i λ ∈ Q4(B), µi ≥ 0 (i ∈ I(x)), vj ∈ R (j ∈ J) sao cho (2.20) thäa m¢n. N¸u cì sð B cõa Q l  tªp âng v  bà ch°n, theo Bê · 1.1, ta câ Q4(B) = intQ∗. Do â, λ ∈ intQ∗, ành lþ ÷ñc chùng minh. Vîi X, Y l  c¡c khæng gian væ h¤n chi·u v  Fx kh£ vi ch°t t¤i x, ta câ ành lþ sau. ffiành lþ 2.10. Gi£ sû x l  nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVEP) v  c¡c gi£ thi¸t cõa ffiành lþ 2.2 thäa m¢n. Hìn núa, gi£ sû r¬ng Fx kh£ vi ch°t t¤i x vîi ¤o h m ch°t DsFx(x). Khi â, (i) tçn t¤i λ ∈ Q4(B);µi ≥ 0, vîi måi i ∈ I(x); vj ∈ R, vîi måi j ∈ J sao cho 0 ∈ [DsFx(x)]∗ λ+ ∑ i∈I(x) µi∂ MPgi(x) + ∑ j∈L vj∇hj(x) +NC(x); (2.21) (ii) hìn núa, n¸u cì sð B cõa Q l  tªp âng v  bà ch°n th¼ λ ∈ intQ∗, vîi intQ∗ l  ph¦n trong cõa Q∗ theo tæpæ m¤nh trong Y ∗. Chùng minh. Theo Nhªn x²t 1.1, do x l  nghi»m si¶u húu hi»u cõa (CVEP) th¼ x l  nghi»m húu hi»u Henig cõa (CVEP). Chùng minh t÷ìng tü nh÷ ffiành lþ 2.4, suy ra ành lþ ÷ñc chùng minh. Sû döng c¡c k¸t qu£ trong Möc 2.1.1, ta nhªn ÷ñc c¡c i·u ki»n õ tèi ÷u cho nghi»m si¶u húu hi»u cõa (CVEP). ffiành lþ 2.11. Cho x ∈ K. Gi£ sû, Q câ cì sð B l  tªp âng v  bà ch°n v  thäa m¢n c¡c gi£ thi¸t cõa ffiành lþ 2.5. Khi â, x l  nghi»m si¶u húu hi»u cõa (CVEP). Chùng minh. Theo ffiành lþ 2.5, ta suy ra x l  nghi»m húu hi»u Henig cõa b i to¡n (CVEP). Do cì sð B cõa Q l  tªp âng v  bà ch°n, n¶n theo Nhªn x²t 1.1, suy ra x l  nghi»m si¶u húu hi»u cõa (CVEP). Trong tr÷íng hñp X, Y l  c¡c khæng gian húu h¤n chi·u, i·u ki»n õ cho nghi»m si¶u húu hi»u cõa (CVEP) ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau. ffiành lþ 2.12. Gi£ sû X = Rn, Y = Rp, x ∈ K v  thäa m¢n Gi£ thi¸t 2.1. Hìn núa, gi£ sû (i) tçn t¤i λ ∈ Q4(B);µi ≥ 0, vîi måi i ∈ I(x); vj ∈ R, vîi måi j ∈ J sao cho 0 ∈ λ∂JFx(x) + ∑ i∈I(x) µi∂ MPgi(x) + ∑ j∈L vj∇hj(x) +NC(x); (ii) tªp C lçi; ¡nh x¤ λ ◦ Fx l  ∂C-gi£ lçi t¤i x tr¶n C; c¡c ¡nh x¤ gi, vîi måi i ∈ I(x) l  ∂MP - tüa lçi t¤i x tr¶n C v  c¡c ¡nh x¤ h1, . . . , h` tüa tuy¸n t½nh t¤i x tr¶n C. Khi â, x l  nghi»m si¶u húu hi»u cõa (CVEP). Chùng minh. Tø k¸t qu£ cõa ffiành lþ 2.6, ta suy ra x l  nghi»m húu hi»u Henig cõa b i to¡n (CVEP). Theo Nhªn x²t 1.1, do x l  nghi»m húu hi»u Henig (CVEP) n¶n x l  nghi»m si¶u húu hi»u (CVEP), ành lþ ÷ñc chùng minh. Trong tr÷íng hñp h m Fx kh£ vi ch°t, ta câ ành lþ sau. ffiành lþ 2.13. Cho x ∈ K v  gi£ thi¸t h m Fx kh£ vi ch°t t¤i x; cì sð B cõa Q l  tªp âng v  bà ch°n; c¡c gi£ thi¸t cõa ffiành lþ 2.7 thäa m¢n. Khi â, x l  nghi»m si¶u húu hi»u cõa b i to¡n (CVEP). Chùng minh. Tø k¸t qu£ cõa ffiành lþ 2.7, ta suy ra x l  nghi»m húu hi»u Henig cõa b i to¡n (CVEP). Theo Nhªn x²t 1.1, do x l  nghi»m húu hi»u Henig (CVEP) n¶n x l  nghi»m si¶u húu hi»u (CVEP), ành lþ ÷ñc chùng minh . 2.2 p döng cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì v  b i to¡n tèi ÷u vectì Trong ph¦n n y, chóng tæi ¡p döng c¡c k¸t qu£ ¢ nhªn ÷ñc trong c¡c möc 2.1.1, 2.1.2 cho b i to¡n c¥n b¬ng vectì º nhªn ÷ñc c¡c k¸t qu£ v· c¡c i·u ki»n c¦n v  õ cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì (CVVI) v  b i to¡n tèi ÷u vectì (CVOP). 2.2.1. p döng cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì (CVVI) Mët i·u ki»n c¦n tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u Henig v  nghi»m si¶u húu hi»u cõa b i to¡n (CVVI) ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: ffiành lþ 2.14. Cho x l  nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng ho°c nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVVI). Gi£ sû H(x) l  tªp âng y¸u*; Gi£ thi¸t 2.1 v  i·u ki»n ch½nh quy (CQ) thäa m¢n. Khi â, (i) tçn t¤i λ ∈ Q4(B);µi ≥ 0, vîi måi i ∈ I(x); vj ∈ R, vîi måi j ∈ J sao cho 0 ∈ [T (x)]∗ λ+ ∑ i∈I(x) µi∂ MPgi(x) + ∑ j∈L vj∇hj(x) +NC(x); (ii) hìn núa, n¸u cì sð B cõa Q l  tªp âng v  bà ch°n th¼ λ ∈ intQ∗, trong â intQ∗ l  ph¦n trong cõa Q∗ theo tæpæ m¤nh trong Y ∗. Chùng minh. (i) x l  nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng: D¹ d ng nhªn th§y Fx(x) = 0. Do T (x) l  ¡nh x¤ tuy¸n t½nh li¶n töc tø X v o Y , n¶n ¡nh x¤ â l  kh£ vi ch°t. Theo ffiành lþ 2.4, ta suy ra ành lþ ÷ñc chùng minh. (ii) vectì x l  nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng: Sû döng Bê · 1.1 v  k¸t qu£ cõa ph¦n (i), ta suy ra i·u ph£i chùng minh. ffii·u ki»n õ tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u Henig cõa (CVVI) ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau. ffiành lþ 2.15. Cho x ∈ K v  Q câ cì sð l  B. Gi£ sû tçn t¤i λ ∈ Q4(B); µi ≥ 0, vîi måi i ∈ I(x); vj ∈ R, vîi måi j ∈ J thäa m¢n 0 ∈ [T (x)]∗ λ+ ∑ i∈I(x) µi∂ MPgi(x) + ∑ j∈L vj∇hj(x) +NC(x). Hìn núa, tªp C-lçi; c¡c ¡nh x¤ gi (i ∈ I(x)) l  ∂MP -tüa lçi t¤i x tr¶n C v  c¡c ¡nh x¤ h1, . . . , h` tüa tuy¸n t½nh t¤i x tr¶n C. Khi â, x l  nghi»m húu hi»u Henig cõa (CVVI). Chùng minh. Ta câ T (x) l  ¡nh x¤ tuy¸n t½nh n¶n ¡nh x¤ â kh£ vi ch°t, do Fx(y) = T (x)(y − x), ta câ DsFx(x) = T (x). Vîi λ ∈ Q4(B), ¡nh x¤ λ ◦ T (x) l  tuy¸n t½nh v  gi£ lçi. p döng ffiành lþ 2.7 cho b i to¡n (CVVI), ta suy ra i·u ph£i chùng minh. Ti¸p theo, ta câ h» qu£ v· i·u ki»n õ tèi ÷u cho nghi»m si¶u húu hi»u cõa (CVVI). H» qu£ 2.1. Cho x ∈ K. Gi£ sû, cì sð B cõa Q l  tªp âng, bà ch°n v  c¡c gi£ thi¸t cõa ffiành lþ 2.15 thäa m¢n, trong â λ ∈ Q4(B) ÷ñc thay th¸ bði λ ∈ intQ∗. Khi â, x l  nghi»m si¶u húu hi»u cõa (CVVI). Chùng minh. p döng ffiành lþ 2.15, ta th§y x l  nghi»m húu hi»u Henig cõa (CVVI). Tø Bê · 1.1, ta suy ra x l  nghi»m si¶u húu hi»u cõa (CVVI). 2.2.2. p döng cho b i to¡n tèi ÷u vectì (CVOP) ffii·u ki»n c¦n KarushKuhnTucker cho nghi»m húu hi»u Henig v  nghi»m si¶u húu hi»u cõa (CVOP) ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau. ffiành lþ 2.16. Cho x l  nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng ho°c nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVOP). Gi£ sû H(x) l  tªp âng y¸u*; Gi£ thi¸t 2.1 v  i·u ki»n ch½nh quy (CQ) thäa m¢n, trong â Fx ÷ñc thay bði f . Khi â, (i) tçn t¤i λ ∈ Q4(B); µi ≥ 0, vîi måi i ∈ I(x); vj ∈ R, vîi måi j ∈ J v  mët h m li¶n töc thu¦n nh§t d÷ìng Λ tr¶n Y thäa m¢n (α), (β) trong ffiành lþ 2.2 sao cho 0 ∈ ∂MP (Λ ◦ f)(x) + ∑ i∈I(x) µi∂ MPgi(x) + ∑ j∈L vj∇hj(x) +NC(x); (ii) n¸u f kh£ vi ch°t t¤i x th¼ tçn t¤i λ ∈ Q4(B); µi ≥ 0, vîi måi i ∈ I(x); vj ∈ R, vîi måi j ∈ J sao cho 0 ∈ [Dsf(x)]∗ + ∑ i∈I(x) µi∂ MPgi(x) + ∑ j∈L vj∇hj(x) +NC(x). Hìn núa, n¸u cì sð B cõa Q l  tªp âng v  bà ch°n th¼ λ ∈ intQ∗; (iii) n¸u X = Rn, Y = Rp v  c¡c gi£ thi¸t cõa ffiành lþ 2.2 thäa m¢n th¼ tçn t¤i λ ∈ Q4(B); µi ≥ 0, vîi måi i ∈ I(x); vj ∈ R, vîi måi j ∈ J sao cho 0 ∈ λ∂JFx(x) + ∑ i∈I(x) µi∂ MPgi(x) + ∑ j∈L vj∇hj(x) +NC(x). Hìn núa, n¸u cì sð B cõa Q l  tªp âng v  bà ch°n th¼ λ ∈ intQ∗. Chùng minh. (i) N¸u x l  nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng cõa (CVOP), ¡p döng ffiành lþ 2.2 v  chó þ r¬ng ∂MP (f − f(x))(x) = ∂MPf(x), ta suy ra k¸t luªn (i). N¸u x l  nghi»m si¶u húu hi»u cõa (CVOP), theo Nhªn x²t 1.1, ta công suy ra k¸t luªn c¦n chùng minh. (ii) N¸u x l  nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng cõa (CVOP), sû döng k¸t qu£ cõa ffiành lþ 2.4 suy ra k¸t luªn c¦n chùng minh. N¸u x l  nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa (CVOP), tø Nhªn x²t 1.1, ta suy ra k¸t luªn (ii). (iii) Sû döng k¸t qu£ cõa ffiành lþ 2.3 v  Nhªn x²t 1.1, suy ra i·u ph£i chùng minh. Ta câ ành lþ v· i·u ki»n õ tèi ÷u cho b i to¡n (CVOP) nh÷ sau. ffiành lþ 2.17. Cho x ∈ K v  B l  mët cì sð cõa Q. Gi£ sû, tçn t¤i Λ ∈ Q4(B); µi ≥ 0, vîi måi i ∈ I(x); vj ∈ R, vîi måi j ∈ J sao cho 0 ∈ ∂MP (Λ ◦ f)(x) + ∑ i∈I(x) µi∂ MPgi(x) + ∑ j∈L vj∇hj(x) +NC(x). Hìn núa, C lçi; ¡nh x¤ Λ ◦ f l  ∂MP - gi£ lçi t¤i x tr¶n C; c¡c ¡nh x¤ gi, vîi måi i ∈ I(x) l  ∂MP - tüa lçi t¤i x tr¶n C v  c¡c ¡nh x¤ h1, . . . , h` tüa tuy¸n t½nh t¤i x tr¶n C. Khi â, x l  nghi»m húu hi»u Henig cõa (CVOP). Chùng minh. Bði v¼ x l  nghi»m húu hi»u Henig cõa b i to¡n (CVEP) vîi F (x, y) = f(y) − f(x), ta ¡p döng ffiành lþ 2.5, suy ra x l  nghi»m húu hi»u Henig cõa b i to¡n (CVOP). Trong tr÷íng hñp f kh£ vi ch°t, i·u ki»n õ tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u Henig cõa (CVOP) ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau. ffiành lþ 2.18. Cho x ∈ K v  B l  mët cì sð cõa Q. Gi£ sû, f kh£ vi ch°t t¤i x; tçn t¤i λ ∈ Q4(B); µi ≥ 0, vîi måi i ∈ I(x); vj ∈ R, vîi måi j ∈ J sao cho 0 ∈ [Dsf(x)]∗ λ+ ∑ i∈I(x) µi∂ MPgi(x) + ∑ j∈L vj∇hj(x) +NC(x). Hìn núa, gi£ sû C lçi; ¡nh x¤ λ ◦ f -gi£ lçi t¤i x tr¶n C; c¡c ¡nh x¤ gi, vîi måi i ∈ I(x) l  ∂MP -tüa lçi t¤i x tr¶n C v  c¡c ¡nh x¤ h1, . . . , h` tüa tuy¸n t½nh t¤i x tr¶n C. Khi â, x l  nghi»m húu hi»u Henig cõa (CVOP). Chùng minh. p döng ffiành lþ 2.7 cho h m F (x, y) = f(y) − f(x), ta suy ra i·u ph£i chùng minh. Trong tr÷íng hñp X, Y l  c¡c khæng gian húu h¤n chi·u, ta câ ành lþ ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau. ffiành lþ 2.19. Gi£ sû X = Rn, Y = Rp, x ∈ K. Gi£ sû, cì sð B cõa Q l  âng bà ch°n v  Gi£ thi¸t 2.1 thäa m¢n. Hìn núa, gi£ sû r¬ng (i) tçn t¤i λ ∈ Q4(B); µi ≥ 0, vîi måi i ∈ I(x)); vj ∈ R, vîi måi j ∈ J sao cho 0 ∈ λ∂Jf(x) + ∑ i∈I(x) µi∂ MPgi(x) + ∑ j∈L vj∇hj(x) +NC(x); (ii) tªp C lçi; ¡nh x¤ λ ◦ f l  ∂C-gi£ lçi t¤i x tr¶n C; c¡c ¡nh x¤ gi, vîi måi i ∈ I(x) l  ∂MP -tüa lçi t¤i x tr¶n C; c¡c ¡nh x¤ h1, . . . , h` tüa tuy¸n t½nh t¤i x tr¶n C. Khi â, x l  nghi»m húu hi»u Henig cõa (CVOP). Hìn núa, n¸u cì sð B cõa Q l  tªp âng v  bà ch°n, th¼ x l  nghi»m si¶u húu hi»u cõa (CVOP). Chùng minh. p döng ffiành lþ 2.6 cho h m F (x, y) = f(y) − f(x) v  Nhªn x²t 1.1 vîi cì sð B cõa Q l  tªp âng v  bà ch°n, th¼ x l  húu hi»u Henig l  nghi»m si¶u húu hi»u cõa (CVOP), ta suy ra i·u ph£i chùng minh. ffiº k¸t thóc ch÷ìng 2, chóng tæi tr¼nh b y mët v½ dö trong khæng gian væ h¤n chi·u V½ dö 2.2 ([11], trang 20,21) nh¬m mæ t£ cho ffiành lþ 2.16. V½ dö 2.2. Gi£ sû φ l  ¡nh x¤ Rn×Rr → Rn, F : Rn×Rr → R. K½ hi»u C(n) [a, b] l  khæng gian c¡c ¡nh x¤ li¶n töc tø [a, b] v o Rn, C(r)∞ [a, b] l  khæng gian c¡c h m bà ch°n cèt y¸u tø [a, b] v o Rr . X²t b i to¡n i·u khiºn tèi ÷u: Cüc tiºu phi¸m h m t½ch ph¥n ∫ a b F (x(t), u(t))dt tr¶n c¡c h m x(t) ∈ C(n) [a, b] thäa m¢n x˙(t) = φ(x(t), u(t)), trong â x˙(t) l  ¤o h m cõa x(t),u(t) l  bi¸n i·u khiºn, u(t) ∈ U ⊂ Rr bà ch°n cèt y¸u ( u(t) ∈ C(r)∞ [a, b] ) . B i to¡n n y quy ÷ñc v· mët b i to¡n tèi ÷u trong khæng gian væ h¤n chi·u câ r ng buëc ¯ng thùc. Chó þ r¬ng, trong tr÷íng hñp cüc tiºu h m væ h÷îng th¼ c¡c lo¤i cüc tiºu l  tròng nhau. X²t h m Hamilton cõa b i to¡n i·u khiºn tèi ÷u: H(x, p) = sup u∈U {〈p, φ(x, u)〉 − F (x, u)} . Gi£ sû x(t) l  nghi»m cõa b i to¡n v  H Lipschitz àa ph÷ìng t¤i x. Khi â (xem [11], trang 20,21), tçn t¤i h m p : [a, b]→ Rn sao cho(−p˙(t) x˙(t) ) ∈ ∂H (x(t), p(t)) , trong â ∂ k½ hi»u d÷îi vi ph¥n Clarke. Trong tr÷íng hñp H kh£ vi li¶n töc, tø i·u ki»n tèi ÷u tr¶n ta nhªn ÷ñc ph÷ìng tr¼nh Hamilton cê iºn p˙(t) = ∇xH (x(t), p(t)) , x˙(t) = ∇pH (x(t), p(t)) . K˜T LUŁN CH×ÌNG 2 Ch÷ìng 2 ¢ nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho hai lo¤i nghi»m: Nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng v  nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì qua d÷îi vi ph¥n MichelPenot. C¡c k¸t qu£ ¤t ÷ñc gçm: 1. Thi¸t lªp c¡c i·u ki»n c¦n v  õ tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng (ffiành lþ 2.2, ffiành lþ 2.3, ffiành lþ 2.4, ffiành lþ 2.5, ffiành lþ 2.6, ffiành lþ 2.7) v  nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng (ffiành lþ 2.8, ffiành lþ 2.9, ffiành lþ 2.10, ffiành lþ 2.11, ffiành lþ 2.12, ffiành lþ 2.13) cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì câ c¡c r ng buëc qua d÷îi vi ph¥n MichelPenot. V½ dö cö thº minh håa cho k¸t qu£ nhªn ÷ñc (V½ dö 2.1). 2. Thi¸t lªp c¡c i·u ki»n c¦n v  õ tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng v  nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì (ffiành lþ 2.14, ffiành lþ 2.15) v  b i to¡n tèi ÷u vectì (ffiành lþ 2.16, ffiành lþ 2.17, ffiành lþ 2.18, ffiành lþ 2.19) câ c¡c r ng buëc qua d÷îi vi ph¥n MichelPenot. C¡c k¸t qu£ thu ÷ñc ð Ch÷ìng 2 têng qu¡t hìn c¡c k¸t qu£ cõa X.H. Gong [23] cho b i to¡n c¥n b¬ng vectì ch¿ vîi r ng buëc tªp, v  k¸t cõa X.X. Long, Q.Y. Huang v  Y.Z. Peng [48] v· i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u Henig cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì vîi c¡c h m kiºu C-d÷îi g¦n lçi (subconvex-like functions). Ch÷ìng 3 ffii·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì qua d÷îi vi ph¥n suy rëng B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì l  mët tr÷íng hñp ri¶ng cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì. B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì ÷ñc ùng döng rëng r¢i trong kinh t¸ kß thuªt. Vi»c nghi¶n cùu i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n n y l  mët v§n · c§p thi¸t. Ch÷a câ k¸t qu£ nghi¶n cùu n o sû döng ngæn ngú d÷îi vi ph¥n suy rëng º thi¸t lªp c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u y¸u cõa b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì theo mët nân lçi âng. Kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥n suy rëng l  cæng cö tèt º thi¸t lªp c¡c i·u ki»n tèi ÷u khæng trìn. Kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥n suy rëng comp­c ÷ñc · xu§t bði V.F. Demyanov [14]. V. Jeyakumar v  D.T. Luc [31], [32] ¢ ÷a ra kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥n suy rëng âng khæng lçi cõa h m gi¡ trà thüc v  Jacobian x§p x¿ cõa c¡c h m vectì. Kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥n suy rëng l  têng qu¡t hâa mët sè kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥n ¢ bi¸t nh÷: D÷îi vi ph¥n Clarke [11], d÷îi vi ph¥n MichelPenot [50], d÷îi vi ph¥n Mordukhovich [51], d÷îi vi ph¥n Treiman [64]. Trong nhi·u tr÷íng hñp, bao lçi cõa d÷îi vi ph¥n suy rëng cõa h m Lipschitz àa ph÷ìng l  tªp con thüc sü cõa d÷îi vi ph¥n Clarke v  d÷îi vi ph¥n MichelPenot. Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ v· i·u ki»n tèi 51 ÷u kiºu Fritz John v  kiºu KarushKuhnTucker cho nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì câ r ng buëc nân lçi a di»n, r ng buëc ¯ng thùc v  r ng buëc tªp qua d÷îi vi ph¥n suy rëng. Chó þ r¬ng, nghi»m húu hi»u y¸u ð ¥y ÷ñc x¡c ành theo mët nân lçi âng nhån. Nëi dung cõa ch÷ìng 3 ÷ñc tr¼nh b y düa v o nëi dung b i b¡o cõa T.T. Mai v  D.V. Luu [A3] (trong Danh möc c¡c cæng tr¼nh ¢ cæng bè li¶n quan ¸n luªn ¡n) «ng trong t¤p ch½ Journal of Nonlinear and Variational Analysis, 2 (2018), No 3, 379-389 (SCOPUS). 3.1 ffii·u ki»n c¦n Fritz John cho c¡c nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì Trong möc n y, chóng tæi tr¼nh b y i·u ki»n c¦n tèi ÷u Fritz John cho nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì qua d÷îi vi ph¥n suy rëng. Gi£ sû X l  khæng gian Banach v  X∗ l  khæng gian èi ng¨u cõa khæng gian X. Gi£ sû C l  tªp con âng trong X, g, h t÷ìng ùng l  c¡c ¡nh x¤ tø X v o Rm, Rl. Khi â, g = (g1, . . . , gm), h = (h1, . . . , hl) vîi gi, hj(i ∈ I := {1, . . . ,m}, j ∈ L := {1, . . . , l}) l  c¡c h m gi¡ trà thüc mð rëng tr¶n X. Gi£ sû g l  Lipschitz àa ph÷ìng t¤i x ∈ C, S l  nân lçi a di»n trong Rm. X²t tªp hñp M := {x ∈ C : g(x) ∈ S, h(x) = 0}. Do S l  nân lçi a di»n trong Rm, n¶n S ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng S = {y ∈ Rm : 〈ai, y〉 ≥ 0, i = 1, . . . , r} (ai ∈ Rm, i = 1, . . . , r). (3.1) ffi°t g˜i(x) = −〈ai, g(x)〉 (i = 1, . . . , r). Tø (3.1), ta câ g(x) ∈ S ⇐⇒ g˜i(x) ≤ 0 (i = 1, . . . , r). Do vªy, tªp M câ d¤ng M = {x ∈ C : g˜i(x) ≤ 0 (i = 1, . . . , r), hj(x) = 0 (j = 1, . . . , l)}. Vîi x ∈M , ta °t I(x) = {i ∈ {1, . . . , r} : g˜i(x) = 0}. Gi£ sû L(X,Rp) l  khæng gian c¡c ¡nh x¤ tuy¸n t½nh li¶n töc tø X v o Rp v  T l  ¡nh x¤ tø X v o L(X,Rp). Gi£ sû Q l  nân lçi, âng, nhån trong Rp vîi ph¦n trong kh¡c réng. X²t b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì (WVVI): T¼m x ∈M sao cho T (x)(y − x) /∈ −intQ, vîi måi y ∈M. (3.2) Vectì x gåi l  nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n (WVVI) n¸u (3.2) thäa m¢n. Trong tr÷íng hñp intQ = Rp++, ành ngh¾a nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n (WVVI) câ d¤ng: Khæng tçn t¤i y ∈M sao cho T (x)k(y − x) < 0, vîi måi k ∈ J = {1, . . . , p}, trong â, T (x) = (T (x)1, . . . , T (x)p), T (x)k : X → R, vîi måi k ∈ J, Rp++ = int R p +. Gi£ thi¸t sau ÷ñc chóng tæi ÷a v o º thi¸t lªp i·u ki»n c¦n tèi ÷u Fritz John cho nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n (WVVI). Gi£ thi¸t 3.1. C¡c h m h1, . . . , hl Lipschitz àa ph÷ìng t¤i x; vîi méi j ∈ L, h m |hj| ch½nh quy theo ngh¾a Clarke t¤i x v  ¡nh x¤ d÷îi vi ph¥n suy rëng ∂∗hj nûa li¶n töc tr¶n t¤i x; gi, vîi måi i ∈ I(x) li¶n töc; g˜i, vîi måi i ∈ I(x) câ c¡c d÷îi vi ph¥n suy rëng tr¶n ∂∗g˜i(x) t¤i x; C l  tªp lçi. ffii·u ki»n c¦n Fritz John cho nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n (WVVI) ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau. ffiành lþ 3.1. Gi£ sû x l  nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n (WVVI). Th¶m núa, x ch½nh quy theo ngh¾a Ioffe cõa h theo C v  thäa m¢n Gi£ thi¸t 3.1. Khi â, tçn t¤i θ ≥ 0, χ := (χ1, . . . , χp) ∈ Q∗ \ {0}, µi ≥ 0, vîi måi i ∈ I(x); γj ∈ R, vîi j = 1, . . . , l sao cho θ + ∑ i∈I(x) µi = 1 v  0 ∈ cl (∑ k∈J θχkT (x)k+ ∑ i∈I(x) µiconv ∂ ∗g˜i(x)+ ∑ j∈L γjconv ∂ ∗hj(x)+NC(x) ) . (3.3) Chùng minh. ffi°t F (x, y) := T (x)(y − x), ta câ F l  ¡nh x¤ affine F := (F1, . . . , Fp) : X → Rp v  F (x, x) = 0. ffi°t Fx(y) := F (x, y) v  Fk,x(y) = Fk(x, y) = T (x)k(y − x), vîi måi k ∈ J. Do T (x)(.) l  tuy¸n t½nh, li¶n töc cho n¶n nâ kh£ vi ch°t v  Lipschitz àa ph÷ìng. V¼ vªy, vîi måi k ∈ J h m Fk,x(.) câ d÷îi vi ph¥n suy rëng tr¶n t¤i x l  {T (x)k}. Do â, x l  nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u (MP): minFx(y) vîi r ng buëc y ∈M := {y ∈ C : g˜i(y) ≤ 0 (i = 1, . . . , r), hj(y) = 0 (j = 1, . . . , l)}. V¼ vªy, x l  nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì (VEP): F (x, y) /∈ −intQ vîi r ng buëc y ∈M = {y ∈ C : g˜i(y) ≤ 0 (i = 1, ..., r), hj(y) = 0 (j = 1, ..., l)}. p döng ffiành lþ 1.2 cho b i to¡n (VEP) ta suy ra tçn t¤i h m li¶n töc, thu¦n nh§t d÷ìng, d÷îi cëng t½nh P tr¶n Rp thäa m¢n y2 − y1 ∈ intQ =⇒ P (y1) < P (y2), v  (P ◦ Fx)(y) ≥ 0, vîi måi y ∈M. Do â, x l  nghi»m cõa b i to¡n (SP): min(P ◦ Fx)(x) vîi r ng buëcx ∈M = {x ∈ C : g˜i(x) 6 0 (i = 1, ..., r), hj(x) = 0 (j = 1, ..., l)}. p döng ffiành lþ 3.2 trong [38] cho b i to¡n (SP), suy ra tçn t¤i θ ≥ 0, µi ≥ 0 (i ∈ I(x)), γj ∈ R (j ∈ J) sao cho θ + ∑ i∈I(x) µi = 1 v  0 ∈ cl ( θ∂∗(P◦Fx)(x)+ ∑ i∈I(x) µiconv∂ ∗g˜i(x)+ ∑ j∈L γjconv∂ ∗hj(x)+NC(x) ) . (3.4) C¦n ch¿ ra r¬ng, câ thº ¡p döng Bê · 1.4 cho h m hñp (P ◦ Fx)(x). Do P l  h m lçi, li¶n töc, n¶n ¡p döng M»nh · 2.2.6 trong [11] v  suy ra â l  h m Lipschitz àa ph÷ìng. Do â, ∂CP (Fx(x)) l  d÷îi vi ph¥n suy rëng bà ch°n cõa P t¤i Fx(x) = 0. Do h m P lçi v  Lipschitz àa ph÷ìng, n¶n theo M»nh · 7.3.9 trong [59], ta câ ∂CP (Fx(x)) = ∂ CP (Fx(x)). Chó þ r¬ng, ∂CFk,x(x) = {T (x)k}, vîi måi k ∈ J, v  Fk,x câ d÷îi vi ph¥n suy rëng tr¶n t¤i x l  {T (x)k}, vîi måi k ∈ J v  Fx(x) = 0. Hìn núa, ¡nh x¤ d÷îi vi ph¥n Clarke ∂ CP l  nûa li¶n töc tr¶n t¤i Fx(x) = 0. Theo Bê · 1.4, ta câ tªp ∂CP (0)(T (x)1, . . . , T (x)p) l  d÷îi vi ph¥n suy rëng cõa P ◦ Fx t¤i x. V¼ vªy, (3.4) câ d¤ng 0 ∈ cl ( θ∂CP (0)(T (x)1, . . . , T (x)p) + ∑ i∈I(x) µiconv∂ ∗g˜i(x) + ∑ j∈L γjconv∂ ∗hj(x) +NC(x) ) . (3.5) Tø (3.5), ta suy ra tçn t¤i zn ∈ θ∂CP (0)(T (x)1, . . . , T (x)p) + ∑ i∈I(x) µiconv∂ ∗g˜i(x) + ∑ j∈L γjconv∂ ∗hj(x) +NC(x). (3.6) sao cho limn→∞zn = 0. Tø (3.6), suy ra tçn t¤i d¢y {χn} ⊂ ∂CP (0) ⊂ Rm, sao cho zn ∈ θχn(T (x)1, . . . , T (x)p) + ∑ i∈I(x) µiconv∂ ∗g˜i(x) + ∑ j∈L γjconv∂ ∗hj(x) +NC(x). (3.7) Do ∂CP (0) l  tªp comp­c trong Rp, n¶n khæng m§t t½nh ch§t têng qu¡t, ta gi£ sû r¬ng χn → χ := (χ1, . . . , χp) ∈ ∂CP (0). Tø (3.4) v  (3.7), ta ÷ñc 0 ∈ cl (∑ k∈J θχkT (x)k+ ∑ i∈I(x) µiconv ∂ ∗g˜i(x)+ ∑ j∈L γjconv ∂ ∗hj(x)+NC(x) ) . Ta c¦n chùng minh χ ∈ Q∗\{0}. Thªt vªy, vîi måi y ∈ intQ, ta câ thº vi¸t 0− (−y) ∈ intQ. Do χ ∈ ∂CP (Fx(x)) v  Fx(x) = 0, ta câ 〈χ,−y〉 = 〈χ, (Fx(x)− y)− Fx(x)〉 ≤ P (Fx(x)− y)− P (Fx(x)) = P (−y) < P (0) = 0, V¼ vªy, χ ∈ Q\{0}, ành lþ ÷ñc chùng minh. X²t b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì (WVVI) trong tr÷íng hñp Q = Rp+, S = Rm+ . Chóng tæi ÷a v o gi£ thi¸t sau. Gi£ thi¸t 3.2. C¡c h m h1, . . . , hl Lipschitz àa ph÷ìng t¤i x; vîi méi j ∈ L, h m |hj| ch½nh quy theo ngh¾a Clarke t¤i x v  ¡nh x¤ d÷îi vi ph¥n suy rëng ∂∗hj nûa li¶n