Luận án Phân tích tĩnh và động kết cấu vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt - Dương Thành Huân

nh theo công thức sau [104]:    , ( ) ( ) ( )m c m cP z T P T P T P T V   (2.55) trong đó, 1 2 p c z V h        (2.56) với p là chỉ số tỉ lệ thể tích và theo đó các tính chất hiệu dụng có thể được biểu diễn dưới dạng:   1 ( , ) ( ) ( ) ( ) ; 2 p m c m z E z T E T E T E T h          (2.57)   1 ( , ) ( ) ( ) ( ) ; 2 p m c m z z T T T T h              (2.58)   1 ( ) ; 2 p m c m z z h              (2.59) Thực tế, các hệ số νc và νm có giá trị xấp xỉ nhau, một số khảo sát của các tác giả khác cũng chỉ ra rằng, khi tính toán với hệ số Poisson biến đổi theo chiều dày vỏ 41 có sai số rất nhỏ so với trường hợp coi hệ số này là hằng số. Do vậy, để đơn giản cho việc tính toán, trong luận án này lấy hệ số Poisson là hằng số (ν = const). Tính chất hiệu dụng của vật liệu có thể được xác định cho nhiều quy luật truyền nhiệt theo chiều dày như nhiệt độ tăng đều, truyền nhiệt tuyến tính và truyền nhiệt phi tuyến [49, 80, 85].  Hàm biến thiên nhiệt độ với quy luật là nhiệt tăng đều theo chiều dày:     mT z T T với   c mT T T (2.60)  Hàm biến thiên nhiệt độ với quy luật truyền nhiệt tuyến tính theo chiều dày:   ( )  mT z T T z với   1 ( ) 2          c m z T z T T h (2.61)  Hàm biến thiên nhiệt độ với quy luật truyền nhiệt phi tuyến theo chiều dày, được giải ra từ phương trình truyền nhiệt một chiều (1.9):   ( )  mT z T T z với        c mT z T T z (2.62) trong đó             2 3 1 2 1 3 1 4 5 4 1 5 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 p p pcm cm cm p pcm cm z X X X X C p p p X X p p                               (2.62.1) 1 2 z X h        ; cm c m    (2.62.2)           2 3 4 5 2 3 4 5 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 cm cm cm cm cm m m m m m C p p p p p                      (2.62.3) Ví dụ về các qui luật biến thiên của nhiệt độ và mô đun đàn hồi của vật liệu theo chiều dày kết cấu được trình bày trong Hình 2.5 sau đây: 42 z/ h z/ h Hình 2.5. Quy luật truyền nhiệt và mô đun đàn hồi vật liệu theo chiều dày vỏ FGM 2.7. Xây dựng chương trình tính – Phương pháp Giải tích Trên cơ sở lý thuyết đã trình bày. Luận án viết 03 chương trình máy tính theo lời giải giải tích trên nền Matlab, bao gồm: o Chương trình ShellpanelStatic(GT): Tính toán độ võng và ứng suất của vỏ FGM thoải hai độ cong chịu tải trọng cơ học và nhiệt độ. o Chương trình ShellpanelVibration(GT): Tính toán tần số và dạng dao động riêng của vỏ FGM thoải hai độ cong trong môi trường nhiệt. o Chương trình ShellpanelForcedvibration(GT): Tính toán, phân tích đáp ứng động của vỏ FGM thoải hai độ cong trong môi trường nhiệt độ. Các chương trình trên được thực hiện theo các bước như được trình bày trên các lưu đồ trong Hình 2.6, Hình 2.7 và Hình 2.8 như sau: 43 Hình 2.6. Lưu đồ thực hiện bài toán tĩnh – Phương pháp Giải tích B3 Xử lý kết quả: Thay các thành phần , , , , t t t t tmn mn mn Xmn YmnU V W   vào các chuỗi lượng giác kép và tính lặp thu được: - t t t t t0 0 0 x yu , v , w , ,   - t t t t txx yy xy xz xz, , , ,      B2 Xử lý: - Tính: , ,ij ij ijA B D - Chọn:    , m nX x Y y - Tính: 1 2 9 1 2 3, ,... , , ,      - Tính: , , t nd ndmn mn mnQ N M - Thiết lập và giải hệ phương trình       t tmn ch ndK F F   B1 Nhập các dữ liệu đầu vào: - Kích thước hình học: a, b, h, Rx, Ry... - Cơ tính vật liệu: Em, Ec, κm, κc, ν... - Tải trọng: tzq , Tm, Tc... 44 Hình 2.7. Lưu đồ thực hiện bài toán dao động riêng – Phương pháp Giải tích B1 Nhập các dữ liệu đầu vào: - Kích thước hình học: a, b, h, Rx, Ry... - Cơ tính vật liệu: Em, Ec, m, c, κm, κc, ν... - Tải trọng: tzq , Tm, Tc... B2 Xử lý: - Tính: , ,ij ij ijA B D - Chọn:    , m nX x Y y - Tính: 1 2 9 1 2 3, ,... , , ,      - Tính: , , t nd ndmn mn mnQ N M - Thiết lập và giải hệ phương trình       t tmn ch ndK F F   - Tính các thành phần ứng suất ban đầu: 0 0 0x y xy, ,    B3 Xử lý: - Thiết lập ma trận độ cứng ban đầu: iniK   - Tính ijM và thiết lập ma trận khối lượng:  M - Giải hệ phương trình trị riêng      ini 2det K K M 0         B4 Xử lý kết quả: - Tần số dao động riêng:  - Các dạng dao động riêng: Q 45 Hình 2.8. Lưu đồ thực hiện bài toán dao động cưỡng bức – Phương pháp Giải tích B1 Nhập các dữ liệu đầu vào: - Kích thước hình học: a, b, h, Rx, Ry... - Cơ tính vật liệu: Em, Ec, m, c, κm, κc, ν... - Tải trọng: tzq , Tm, Tc... B2 Xử lý: - Tính: , ,ij ij ijA B D - Chọn:    ,m nX x Y y - Tính: 1 2 9 1 2 3, ,... , , ,      - Tính: , , t nd ndmn mn mnQ N M - Thiết lập và giải hệ phương trình       t tmn ch ndK F F   - Tính các thành phần ứng suất ban đầu: 0 0 0x y xy, ,    B3 Xử lý: - Thiết lập ma trận độ cứng ban đầu: iniK   - Tính ijM và thiết lập ma trận khối lượng:  M - Tính 1 2,    tính 1 2, a a - Tính ma trận cản:  C - Tính dmnQ    dF t   - Giải hệ phương trình (Newmark)            d d ini dmn mn mnM C K K F t               B4 Xử lý kết quả: Đáp ứng chuyển vị: dmn (t) 46 Như vậy, trong chương này, luận án đã hệ thống lại các hệ thức và xây dựng phương trình chuyển động cho kết cấu vỏ thoải FGM hai độ cong theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. Luận án đã sử dụng phương pháp Galerkin và phương pháp Newmark để xây dựng lời giải giải tích tính toán độ võng, ứng suất, tần số dao động riêng và đáp ứng động cho loại vỏ này trong môi trường nhiệt độ với một số điều kiện biên thông dụng. Trên cơ sở đó, luận án đã xây dựng các chương trình máy tính dựa trên các lời giải giải tích đã thiết lập ở trên. Tuy nhiên, giới hạn của mô hình giải tích thực hiện trong chương hai này là: - Chỉ có thể tính toán được với một số dạng kết cấu dạng vỏ có độ cong không đổi như vỏ trụ, vỏ cầu và vỏ yên ngựa. - Chỉ tính được với một số ít điều kiện biên thông dụng. Trong chương ba, luận án thiết lập mô hình phần tử hữu hạn để phân tích tĩnh và động vỏ FGM với nhiều hình dạng khác nhau trong môi trường nhiệt độ. Mô hình phần tử hữu hạn sẽ khắc phục những hạn chế của mô hình giải tích. Luận án đã có một số công bố liên quan đến nội dung chương này bao gồm: (1), (2), (3), (4), (5), (6) và (7) (trong “Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến đề tài luận án”). 47 CHƯƠNG 3 PHÂN TÍCH TĨNH VÀ ĐỘNG VỎ FGM TRONG MÔI TRƯỜNG NHIỆT BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 3.1. Mở đầu Trong Chương 2, luận án đã xây dựng nghiệm giải tích để phân tích, tính toán tĩnh và động vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt độ. Tuy nhiên, hạn chế của lời giải giải tích là chỉ giải được kết cấu vỏ hai độ cong với một số ít điều kiện biên nhất định. Chương này, luận án sử dụng phần tử 3D suy biến dựa trên lý thuyết Mindlin để xây dựng mô hình phần tử hữu hạn phân tích tĩnh và động vỏ FGM. Phương pháp phần tử hữu hạn sẽ khắc phục được một số hạn chế của phương pháp giải tích như có thể tính toán với vỏ có nhiều hình dạng và điều kiện biên khác nhau. 3.2. Mô hình bài toán vỏ FGM Hình 3.1. Mô hình tổng quát của vỏ FGM nghiên cứu trong luận án Xét vỏ FGM có hình dạng bề mặt được mô tả bởi một hàm có dạng  ,z f x y , hình chiếu bằng của vỏ là hình chữ nhật có kích thước a x b, vỏ có chiều dày h không đổi như trên Hình 3.1. x y x k y k K z k z 48 3.3. Lựa chọn loại phần tử Trong phương pháp phần tử hữu hạn có nhiều loại phần tử có thể sử dụng để mô hình kết cấu tấm vỏ. Có thể kể đến các loại chính sau:  Phần tử phẳng: Là loại phần tử ra đời sớm nhất để phân tích tấm vỏ và đến nay loại phần tử này vẫn được áp dụng khá hiệu quả. Ưu điểm của phần tử phẳng là mô hình đơn giản, tận dụng được các kết quả của phần tử màng và phần tử tấm uốn. Tuy nhiên, với những kết cấu vỏ có độ cong lớn hay sự thay đổi độ dốc đột ngột thì loại phần tử này cho sai số lớn.  Phần tử vỏ cong: Loại phần tử này cho phép mô tả được độ cong của kết cấu, đây chính là ưu điểm nhưng cũng chính là nhược điểm của loại phần tử này. Ưu điểm là kể đến độ cong của kết cấu nên cho kết quả chính xác, nhược điểm là khi kể đến độ cong của kết cấu thì rất khó để mô tả được những loại vỏ có độ cong phức tạp, do đó, loại phần tử này chỉ phù hợp tính toán với những vỏ có độ cong có giá trị không đổi. Đối với vỏ có độ cong thay đổi hay hình dạng phức tạp thì mô hình sử dụng phần tử vỏ cong tỏ ra không phù hợp.  Phần tử khối: Là loại phần tử tổng quát. Ưu điểm của loại phần tử này là cho kết quả tốt với nhiều loại kết cấu khác nhau từ dầm, tấm tới vỏ. Tuy nhiên, nhược điểm của loại phần tử này là khối lượng tính toán lớn, đòi hỏi tài nguyên máy tính lớn và khó khăn trong việc chia lưới phần tử.  Phần tử 3D suy biến: Là loại phần tử được đề xuất để tính toán kết cấu tấm vỏ và khắc phục được nhược điểm của phần tử vỏ phẳng và phần tử khối. Cụ thể, từ phần tử khối, Ahmad và các cộng sự [6] đã loại bỏ các điểm nút ở mặt trên và mặt dưới và giữ lại các nút trên mặt trung bình (mặt tham chiếu), bù lại phải bổ sung thêm véc tơ chỉ phương đi qua nút trên và nút dưới ( 3V  ) để xây dựng phần tử 3D suy biến. Ưu điểm của phần tử vỏ 3D suy biến là cho phép mô phỏng gần đúng với kết cấu vỏ thật, số bậc tự do được giảm đi đáng kể nhờ việc loại bỏ các nút ở mặt trên và mặt dưới, việc tính toán chỉ còn phụ thuộc vào các bậc tự do của các điểm nút ở mặt trung bình. Trong luận án này, phần tử 3D suy biến (Hình 3.2) được sử dụng để mô hình kết cấu vỏ FGM với những hình dáng khác nhau. 49 3.4. Phần tử 3D suy biến Hình 3.2. Phần tử 3D suy biến Như thể hiện trên Hình 3.2, phần tử 3D suy biến là sự rút gọn từ phần tử khối về phần tử phẳng kèm thêm các véc tơ chỉ phương tại mỗi nút. 3.4.1. Các hệ tọa độ  Hệ tọa độ tổng thể xyz: Là hệ tọa độ chung, các thành phần chuyển vị u, v, w được xác định tương ứng với các phương x, y, z. Ma trận độ cứng  K , Ma trận độ cứng hình học do ứng suất ban đầu gây nên gK   , ma trận khối lượng  M và véc tơ lực nút tổng thể  F được xác định trong hệ tọa độ này.  Hệ tọa độ địa phương x’y’z’: Hệ tọa độ địa phương x’y’z’ là hệ tọa độ riêng của từng phần tử và được xác định qua các nút của mỗi phần tử. Trong hệ tọa độ này, biến dạng và ứng suất riêng của từng phần tử được xác định, các ma trận độ cứng phần tử  eK , ma trận độ cứng phần tử do ứng suất ban đầu gây nên g eK   , ma trận khối lượng phần tử  eM và véc tơ lực nút phần tử  eF được xác định trong hệ tọa độ này. Phương z’ vuông góc với mặt phần tử.  Hệ tọa độ nút 1 2 3V V V    : Hệ tọa độ nút được thiết lập bởi các véc tơ chỉ phương tại mỗi nút phần tử, nhờ có hệ tọa độ nút phần tử này giúp cho phần tử 3D suy biến 50 có khả năng biểu diễn được nhiều dạng kết cấu như phần tử khối trong khi khối lượng tính tính toán thì tương đương phần tử phẳng.  Hệ tọa độ tự nhiên  : Hệ tọa độ tự nhiên , ,   với trục  theo phương chiều dày của vỏ.  nhận giá trị +1 và -1 tương ứng với mặt trên và mặt dưới, và nhận giá trị bằng 0 tại mặt trung bình của vỏ; ,  là hai trục cong trong hệ tọa độ cong biểu diễn bề mặt của phần tử. Phương của trục  theo phương từ nút 8 đến nút 6. Phương của trục  theo phương từ nút 5 đến nút 7. 3.4.2. Hàm dạng của phần tử Phần tử 3D suy biến sử dụng hàm dạng như phần tử đẳng tham số, cụ thể, hàm dạng của phần tử 3D suy biến như [6]:      1 1 1 1 1 4 N            25 1 1 1 2 N     (3.1)    2 1 1 1 1 4 N             26 1 1 1 2 N        3 1 1 1 1 4 N            7 1 1 1 2 N         4 1 1 1 1 4 N            28 1 1 1 2 N     3.5. Mô hình phần tử hữu hạn vỏ FGM sử dụng phần tử 3D suy biến 3.5.1. Xác định hệ tọa độ nút Xuất phát từ phần tử khối, phần tử 3D suy biến được xây dựng bằng cách loại bỏ các nút ở mặt trên và mặt dưới và chỉ để lại các nút tại mặt tham chiếu (thường là mặt trung bình). Ngoài ra, tại các nút ở mặt tham chiếu sẽ được bổ sung một hệ tọa độ nút 1 2 3V V V    , trong đó véc tơ 3V  là véc tơ chỉ phương theo chiều dày và được tính thông qua tọa độ các nút ở mặt trên và mặt dưới của phần tử khối như thể hiện trong Hình 3.3. 51 Hình 3.3.Véc tơ chỉ phương 3V  Cụ thể, 3 up loi i iV r r     (3.2) trong đó i i i ir x i y j z k     Viết dưới dạng ma trận:   T , ,i i i ir x y z  , T 3 3 3 3, , x y z i i i iV V V V     (3.3) Sau khi xác định được véc tơ 3iV  ta xác định véc tơ 1iV  và 2 iV  như sau: Véc tơ 1iV  được định nghĩa là vuông góc với 3iV  và nằm trong mặt phẳng song song với mặt phẳng tổng thể xz. Như vậy: 1 3 3 3 - z x i i i iV j V V i V k        (3.4) Nếu 3iV  song song với trục tổng thể y thì 3 3 0 z x i iV V  và 1iV  trùng với hướng trục x, khi đó 1 3 y i iV V i   (3.5) Cuối cùng, véc tơ 2 iV  nhận được bằng nhân có hướng 2 véc tơ 3iV  và 1iV  2 3 1 i i iV V V     (3.6) Với cách xác định hệ tọa nút như trên thì việc chia lưới phần tử phải được thực hiện như chia lưới phần tử khi sử dụng phần tử khối. Trong luận án này, một cách xác định hệ tọa độ nút được đề xuất như sau: 52 Từ hàm số biểu diễn bề mặt vỏ  z f x, y     F x,y,z z f x, y 0   ta dễ dàng có được véc tơ pháp tuyến tại một điểm bất kỳ  K KK x ,y trên mặt vỏ như sau:     3 , , , ,1 K T x K K y K KV F x y F x y  (3.7) trong đó: ; x y F F F F x y       (3.8) véc tơ pháp tuyến đơn vị tại điểm  K KK x ,y được xác định         3 x K K K 3 3 y K K2 2 x K K y K K 3 l F x , y 1 v m F x ,y F x , y F x , y 1 n 1                       (3.9) Sau khi xác định được véc tơ 3V  , việc xác định véc tơ 1V  và 2V  thực hiện như đã trình bày ở trên. Với cách làm này, việc chia lưới phần tử trở nên dễ dàng hơn và mô hình cho phép thực hiện với những mặt vỏ có dạng  z f x, y . Hình 3.4 thể hiện hệ tọa độ nút của một số dạng vỏ như vỏ cầu, vỏ yên ngựa, vỏ conoid và hypar. Hình 3.4. Hệ tọa độ nút phần tử CON HPR SPH HYP 53 3.5.2. Trường chuyển vị Tọa độ của một điểm bất kỳ trong phần tử được xác định:     0i 3i8 8 i 0i i 3i i 1 i 1 0i 3i x x l h y N , y N , m 2 z z n                                        (3.10) trong đó:  iN ,  là các hàm dạng tại mỗi nút được trình bày trong (3.1); 0i 0i 0i x y z           là tọa độ của các nút trên mặt trung bình được xác định từ hàm mặt vỏ;  là tọa độ của điểm trong hệ tọa độ tự nhiên 1 1   . Theo giả thiết của Mindlin, đoạn pháp tuyến trước và sau biến dạng vẫn thẳng, chuyển vị của một điểm bất kỳ trong phần tử được xác định như sau:   0i 2i 1i8 xi i 0i 2i 1i i 1 yi 0i 2i 1i u u l l h v N , v m m 2 w w n n                                          (3.11) trong đó   T 1i 1i 1il m n và   T 2i 2i 2il m n là các cosin chỉ phương của hai véc tơ 1 2V , V   như được xác định trong mục 3.5.1; xi yi,   là góc xoay của đoạn pháp tuyến. Phương trình (3.11) có thể viết lại dưới dạng:    8 Ai Bi i i 1 u v N N u w               (3.12) với     T i 0i 0i 0i xi yiu u v w   là véc tơ chuyển vị nút (3.13)    Ai i 1 0 0 0 0 N 0 1 0 0 0 N , 0 0 1 0 0            (3.14)     2i 1i Bi 2i 1i i 2i 1i 0 0 0 l l h N 0 0 0 m m N , 2 0 0 0 n n             (3.15) 54 3.5.3. Trường biến dạng Các thành phần biến dạng thu được từ đạo hàm của các thành phần chuyển vị, với giả thiết bỏ qua biến dạng và ứng suất pháp theo phương chiều dày, ta được các thành phần biến dạng trong hệ tọa độ phần tử:   x' y' x' y' x' z' y' z' u' x' v' y' u' v' ' y' x' u' w' z' x' v' w' z' y'                                                        (3.16) Các thành phần biến dạng này cũng có thể được tính trong hệ tọa độ tổng thể thông qua ma trận chuyển như sau: Quan hệ giữa chuyển vị trong hệ tọa độ phần tử và chuyển vị trong hệ tổng thể được thể được cho bởi công thức: 1 1 1 2 2 2 3 3 3 u' l m n u cos( x',x ) cos( x', y ) cos( x',z ) u v' l m n v cos( y',x ) cos( y', y ) cos( y',z ) v w' l m n w cos( z',x ) cos( z', y ) cos( z',z ) w                                           (3.17) trong đó i i il ,m ,n là cosin chỉ phương giữa các trục của hệ tọa độ phần tử và hệ tọa độ tổng thể. Ta có: 1 1 1 ' ' ' ' ' u u v w l m n x x x x            (3.18) lại có: 1 1 1 ' ' ' ' u u x u y u z u u u l m n x x x y x z x x y z                           (3.19) Tính tương tự như trên cho ' v x   và w 'x   rồi thay vào (3.18), ta được 55 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 u' u u u v v v l l m n m l m n x' x y z x y z w w w n l m n x y z                                        (3.20) và viết lại dưới dạng ma trận: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ' ' u x u y u u l l m l n m l m m n n l n m n z x v x w z                                    (3.21) hay 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1' x y z xy xz yz l m n l m n l m n                              (3.22) Biến đổi và biểu diễn tương tự cho các thành phần biến dạng khác, ta thu được ma trận chuyển đổi biến dạng [T] như sau:   2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 33 3 3 1 2 2 11 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 11 2 3 1 3 1 3 1 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 22 2 2 2 2 2 2 l m n l m n l m n l m n l m n l m n l m n l m nl m n T m n m nm m n n l m l m n l n ll l l l m m n n l m l m n l n l m n m n l l m m n n l m l m n l n l m n m n                            (3.23) Với giả thiết bỏ qua biến dạng theo phương chiều dày ( z 0  ), ta có [T] như sau: 56   2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 3 1 3 1 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 l m l m n l m n l m l m n l m n T l l m m l m l m n l n l m n m n l l m m l m l m n l n l m n m n l l m m l m l m n l n l m n m n                        (3.24) Cuối cùng ta có:       ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' x x y y x y x y y z y z x z x z u u x x v v y y u v u v T T y x y x v w v w z y z y w u w u x z x z                                                                                                            T                          (3.25) Các thành phần biến dạng này có thể được biểu diễn và tính toán trong hệ tọa độ tự nhiên thông qua ma trận Jacobean của phép biến đổi như sau:  dV dxdydz det J d d d    (3.26) trong đó   x y z x y z J x y z                                        là ma trận Jacobian của phép biến đổi. (3.27) Thay (3.10) vào (3.27) ta được: 8 i 3i 0i i 1 N hlx x 2              ; 8 i 3i 0i i 1 N hmy y ; 2              8 i 3i 0i i 1 N hlx x 2              ; 8 i 3i 0i i 1 N hmy y 2              8 3i i i 1 hlx N ; 2      8 3i i i 1 hmy N ; 2      (3.28) 57 8 i 3i 0i i 1 N hnz x ; 2              8 i 3i 0i i 1 N hnz x ; 2              8 3i i i 1 hnz N ; 2      Ta có:   1 x J y z                                          (3.29) do đó,   1 uu x uu y uu z J v v x . . . . w w z                                                                        (3.30) 58 Đạo hàm các thành phần chuyển vị từ (3.11) ta được: i i 2i 2i i i i 2i 1i i i i 2i8 i i 1 i i u N Nh h l l N 2 20 0 u N Nh h l l N 2 20 0 u hNu l 0 0 0 2 v v N 0 0 w . . . . . . . . w 0 0 0                                                                                                  i 1i8 i 1 i i 2i 1i i i 2i 2i hN l 2 N Nh h m m 2 2 . . . . hN hN n n 2 2                                            (3.31) Kết hợp các công thức (3.25), (3.30) và (3.31) ta được các thành phần biến dạng trong hệ tọa độ tổng thể như sau:         8 i i e i 1 B u B u    (3.32) trong đó    1 2 8B B B . . B là ma trận tính biến dạng;    T T T Te 1 2 8u u u . . u là véc tơ chuyển vị nút phần tử với   i i i 2i 1i i i i 2i 1i i i i i i i 2i 2i 1i 1ii i i i 2i i 2i 1i i 1i i 2i i N N Nh h 0 0 l l 2 2 N N Nh h 0 0 m m 2 2 N N N N N Nh h 0 l m l mB 2 2 N N Nh h 0 0 l N n l N n 2 2 N Nh 0 0 m N 2                                                                                      i i 2i 1i i 1i Nh n m N n 2                                            (3.33) 59 3.5.4. Các thành phần ứng suất Các thành phần ứng suất được tính thông qua các thành phần biến dạng như trình bày trong công thức (2.8) và (2.9). Công thức (2.8) có thể viết ở dạng thu gọn như sau:     ' ' ' ndD    (3.34) 3.5.5. Phân tích tĩnh vỏ FGM Áp dụng nguyên lý Cực tiểu hóa thế năng toàn phần để thiết lập hệ phương trình cân bằng tĩnh cho vỏ FGM chịu tải trọng cơ học và nhiệt độ như trong công thức (2.16). Thế năng biến dạng phần tử:                  1 1 ' ' ' ' ' 2 2 1 1 ' ' ' ' ' 2 2 e e e e T T nd e V V T T nd V V U dV D dV D dV D dV                   (3.35) Thay (3.25) vào (3.35) ta được:               1 1' ' 2 2 e e T TT T nd e V V U T D T dV T D dV        (3.36) Thay (3.26) và (3.32) vào (3.36) được:                          1 1 1 T TT e e e 1 1 1 1 1 1 T TT nd e 1 1 1 1 U u B T D' T B det J d d d u 2 1 u B T D' det J d d d 2                               (3.37) Thế năng của ngoại lực trên phần tử: Gọi x y zp , p , p là các lực phân bố tác dụng trên bề mặt vỏ có 1   , biểu thức thế năng của ngoại lực có dạng sau:     e e x e x y z y S S z p W p u p v p w dS u v w p dS p                 (3.38) 60 Thay (3.12) vào (3.38) ta được:       x1 1 T T e e A B y 1 1 z p W u N N p H d d p                     (3.39) trong đó   11 12 21 22 J J H J J        Thay các công thức tính thế năng biến dạng phần tử (3.37) và thế năng của ngoại lực (3.39) vào biểu thức thế năng toàn phần. Áp dụng nguyên lý cực tiểu hóa thế năng toàn phần và giản lược, ta được:        ch nd e e e eK u F F  (3.40) trong đó:  eK là ma trận độ cứng phần tử  cheF là véc tơ lực nút phần tử do tải trọng cơ học tĩnh gây ra  ndeF là véc tơ lực nút phần tử do nhiệt độ gây ra Cụ thể như sau:             1 1 1 TT e 1 1 1 K B T D' T B det J d d d               (3.41)       x1 1 Tch e A B y 1 1 z p F N N p G d d p        