Luận án Phương pháp phổ tần số trong nghiên cứu dao động của dầm đàn hồi có vết nứt chịu tải trọng di động

điều hòa ở phần tiếp theo nhƣ một trƣờng hợp đặc biệt của chuỗi (2.2.17). 2.2.2. Ví dụ minh họa và kiểm chứng Giả sử    m k ti k kkePtP 1 )( )(  , (2.2.20) bao hàm cả lực hằng số khi 0k và tổ hợp của các lực điều hòa với các tần số khác nhau. Trong trƣờng hợp này,    m k k xx 1 ),(),(  , (2.2.21) trong đó ),()()(),( 121  xxLDxLCx kkkk  . (2.2.22) Đối với dầm tựa đơn các hằng số kk DC , và hàm ),(1  xk có thể tính đƣợc bằng ]scossinhcosh[)( v/ ˆ 043211 xi kk eAxinAxAxAxAQx   ; (2.2.23) 440 )v/ˆ( 1   A ; ]v)/ˆ([2 1 2221 k A    ; ])v/ˆ([2 1 2223 k A    . (2.2.24) ]v)/ˆ([2 )v/ˆ( 2232 k k i A     ; ]v)/ˆ([2 )v/ˆ( 2234 k k i A     ; kk i kk EIePQ k   ˆ;v/ . Trong trƣờng hợp tải trọng là một lực tập trung hằng số di động, 0k , ta có hàm đáp ứng tần số bằng 44 v/ 0 4321 )v/( sincossinhcosh),(       xieQ xPxPxPxPx , (2.2.25) ; ])v/([2 ; ])v/([2 222 0 3222 0 1      Q P Q P v/ 00 EIPQ  ;       sinh)v/(2 )2(cosh 2222 v/2 0 2    ieQ P ;       sin)v/(2 )2(cos 2222 v/2 0 4    ieQ P . (2.2.26) 31 Để kiểm chứng độ chính xác của các lời giải nêu trên, trong công trình [42] đã so sánh kết quả đáp ứng thời gian tính đƣợc từ hàm đáp ứng tần số trong trƣờng hợp tải trọng hằng số di động với nghiệm giải tích tính bằng phƣơng pháp chồng mode (xem các Hình 2.1-2.2). Hình 2.1. So sánh chuyển vị của điểm giữa dầm: P0 = 100kN; v = 12m/s. Đƣờng liền – Phƣơng pháp phổ tần số; Đƣờng rời – Phƣơng pháp chồng mode. Hình 2.2. So sánh góc xoay của điểm giữa dầm: P0 = 100kN; v = 12m/s. Đƣờng liền – Phƣơng pháp phổ tần số; Đƣờng rời – Phƣơng pháp chồng mode. 32 Các Hình 2.1-2.2 cho thấy xét trong miền thời gian, phƣơng pháp phổ tần số cho kết quả tổng thể hầu nhƣ trùng với kết quả nhận đƣợc bằng phƣơng pháp chồng mode. Điều này cho phép ta khẳng định rằng phƣơng pháp phổ tần số hoàn toàn có thể áp dụng để phân tích đáp ứng của dầm chịu tải trọng di động trong miền thời gian. Tuy nhiên, lời giải của hai phƣơng pháp nêu trên sẽ khác nhau khi xét chúng trong miền tần số. Lý do, nhƣ đã đƣợc trình bày ở phần tổng quan, phƣơng pháp chồng mode chỉ cho phép ta nghiên cứu trong miền tần số thấp. Trong khi lời giải nhận đƣợc bằng phƣơng pháp phổ tần số không giới hạn ở miền tần số nào và kết quả sẽ đƣợc minh chứng trong chƣơng tiếp theo. 2.3. Phƣơng pháp điều chỉnh Tikhonov Trong thực tế nhiều bài toán dẫn đến việc giải phƣơng trình ,bAx  (2.3.1) trong đó ma trận A là bất kỳ (có thể không vuông hoặc suy biến) và b là véc tơ chỉ đƣợc biết một cách gần đúng so với giá trị chính xác .b Lời giải gần đúng đầu tiên của bài toán này chính là lời giải bình phƣơng tối thiểu ,LSx đƣợc xác định bằng bAx  LS , (2.3.2) trong đó TT A)AA(A 1  (2.3.3) gọi là ma trận tựa nghịch đảo Moore-Penrose. Tuy nhiên, lời giải này cũng có khi không tồn tại do ma trận 1)( AAT vẫn có thể suy biến hoặc gần suy biến (có trị riêng rất nhỏ). Khi đó nghiệm (2.3.2) rất nhạy cảm với sai số của véc tơ vế phải b. Chính vì thế, A.N.Tikhonov [86] đã đề xuất một giải pháp điều chỉnh nghiệm gần đúng (2.3.3) bằng cách tìm nghiệm bình phƣơng tối thiểu của bài toán },)xL(xbAx{minargx 2 02  α x RLS (2.3.4) với 0,, xL lần lƣợt là tham số điều chỉnh dƣơng, ma trận điều chỉnh và một tiên đoán nào đó về nghiệm của phƣơng trình ban đầu. Trong đó tham số và ma trận 33 điều chỉnh sẽ đƣợc chọn để nghiệm đã cho luôn tồn tại duy nhất và ổn định đối với sai số của vế phải (thay đổi nhỏ khi vế phải thay đổi nhỏ). Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán đã đƣợc điều chỉnh đƣợc khẳng định bằng Mệnh đề: Với 0 nghiệm bình phương tối thiểu đã được điều chỉnh là nghiệm của phương trình .LxLbAx)LLAA( 0TTTT α (2.3.5) Dễ dàng nhận thấy với 0 thì nghiệm đã đƣợc điều chỉnh .LSRLS xx  Nhƣng Mệnh đề trên mới chỉ khẳng định đƣợc có thể chọn đƣợc các tham số 0,, xL để tồn tại và duy nhất nghiệm đã đƣợc điều chỉnh. Sự ổn định của nghiệm đã điều chỉnh theo sai số của vế phải đƣợc minh chứng bằng Mệnh đề sau: Nếu thoả mãn điều kiện bbAxbb   RLSδ , thì ,2 zxx δeRLS  trong đó bzAA T và ex là nghiệm chính xác của phương trình đã cho .e bAx  Mệnh đề thứ hai cho thấy nếu biết đƣợc mức độ nhiễu của vế phải là δ , thì có thể chọn tham số điều chỉnh từ phƣơng trình bAx  RLS để nghiệm đã đƣợc điều chỉnh sẽ tiến đến nghiệm chính xác khi nhiễu tiến đến 0. Nhƣ vậy, Mệnh đề thứ hai đã chỉ ra rằng có thể chọn tham số điều chỉnh  để nghiệm điều chỉnh ổn định đối với nhiễu vế phải. Hơn thế nữa, định lý này còn cho ta phƣơng trình để chọn tham số điều chỉnh mà trong các tài liệu đƣợc gọi là nguyên lý Morozov (Morosov’s Discrepancy Principle). Vấn đề còn lại để đạt đƣợc một nghiệm ổn định với nhiễu là giải phƣơng trình , RLS   b)(Ax (2.3.6) đối với  . Ngoài ra, định lý sau đây sẽ chỉ ra rằng tham số điều chỉnh luôn tồn tại và có thể tìm đƣợc bằng các thuật toán cổ điển. Hàm số  /1,)()(  bAxRLS , bằng bIAAb 2)()(  TT  là một hàm lồi và đơn điệu giảm 0 và phương trình  )( với  bất kỳ thoả mãn 22 0 bb  , trong đó 0b là hình chiếu của b lên tập không của ma trận T AA có một nghiệm hữu hạn duy nhất  ˆ0 . 34 Ngoài việc chứng minh tồn tại tham số điều chỉnh tối ƣu, Mệnh đề cuối còn chỉ ra cách xác định phƣơng trình tƣờng minh đối với tham số điều chỉnh có thể giải đƣợc bằng phƣơng pháp đơn giản nhất. Tuy nhiên vấn đề lại là chọn  nhƣ thế nào. Nếu biết sai số của vế phải bbe  thì ta có thể chọn ngay 22  với 1 chọn từ điều kiện .0 bb  Nhƣng nếu sai số này không biết thì ta có thể chọn  tuân thủ bất đẳng thức . 22 0 bb  Trên đây là cơ sở lý thuyết của việc điều chỉnh Tikhonov. Nhƣng trong thực tế, ngƣời ta không chỉ dừng lại ở lý thuyết tổng quát mà cần phải tìm đƣợc biểu thức hiển của nghiệm đã điều chỉnh. Dƣới đây sẽ trình bày phƣơng pháp khai triển giá trị kỳ dị (Singular Value Decomposition – SVD) để xây dựng nghiệm .RLSx Đối với một ma trận hằng A có kích thƣớc mn, ngƣời ta đã chứng minh đƣợc một khai triển của ma trận A ở dạng: TVΣUA  (2.3.7) trong đó VU, là các ma trận trực giao cấp m và n: n T m T IVV,IUU  và Σ là ma trận có cùng kích cỡ nhƣ A và chỉ có phần tử đƣờng chéo là khác 0 và không âm, ký hiệu là ).,min(},,....,{)( 1 nmqdiagnm q  Σ Các số r ,....,1 đƣợc gọi là giá trị kỳ dị của ma trận A và biểu diễn (2.3.7) là khai triển kỳ dị của ma trận A. Ngoài ra còn có thể chứng minh đƣợc rằng .,...,1,vvAA,uuAA,vuA,uvA 22 rk kkk T kkk T kkk T kkk   Tức là các véc tơ cột rkkk ,...,1,, vu của các ma trận U, V là các véc tơ riêng với cùng một trị riêng bằng 2k của các ma trận , T AA AAT . Nếu ma trận A đối xứng thì U = V. Khi đó có thể viết lại biểu thức của khai triển kỳ dị nêu trên ở dạng .A,vuA 1 rankr r k T kkk    (2.3.8) Bây giờ ta ứng dụng khai triển giá trị kỳ dị (SVD) của ma trận A để tìm biểu thức nghiệm của các phƣơng trình (2.3.5) và (2.3.6). Thật vậy, sử dụng khai triển (2.3.8) ta có 35 .,...,1,/bu)xv(xbu)xv(xvuAx 11 rk k T k T kk r k k T kk r k T kkk     Nhƣ vậy, ta có một nghiệm riêng của phƣơng trình (2.3.5) bằng .v bu x 1 k r k k T k    (2.3.9) Tiếp tục, sử dụng các khai triển ,vvI,vvAA 11 2    n k T kk r k T kkk T  ta có ;xvvxvv)(x)IAA( 11 2 T kk n rk T kk r k k T     .xvbuxbA 0 1 0     r k k T kk T Do đó .,...,1,buxxv 202 rkT k k k k k T k          ,,...,1,xv 0 nrkx k T k   hay .vxv bux xˆ 1 0 1 2 0 k n rk kk r k k T kkk                 (2.3.10) Đây là biểu thức tổng quát của nghiệm đã đƣợc điều chỉnh theo Tikhonov. Nếu 0x 0 , thì nghiệm này bằng ,v bu xˆ 1 2 k r k k T kk            (2.3.11) đƣợc xác định ngay cả khi giá trị kỳ dị rất nhỏ. Khi tham số điều chỉnh  bằng 0 thì từ nghiệm (2.3.11) ta nhận đƣợc nghiệm (2.3.9). Điều này cho thấy nghiệm bình phƣơng tối thiểu chƣa điều chỉnh là một nghiệm riêng chính xác của phƣơng trình đã cho. Từ công thức tổng quát (2.3.10), ta thấy rằng nếu tham số điều chỉnh  chọn quá lớn, nghiệm điều chỉnh tiến đến tiên nghiệm ,0x lúc này vế phải đóng vai trò rất nhỏ. Ngƣợc lại nếu tham số điều chỉnh  chọn quá nhỏ so với giá trị kỳ dị bé nhất thì ta sẽ nhận đƣợc nghiệm chƣa điều chỉnh .x Vấn 36 đề chọn tham số điều chỉnh làm sao để cân bằng giữa hai trƣờng hợp tới hạn này, nghĩa là không quá lớn nhƣng cũng không quá nhỏ. Độ lớn của tham số điều chỉnh sẽ đƣợc quyết định bởi sai số của đầu vào b. Nhƣ vậy, phƣơng pháp điều chỉnh Tikhonov là giải pháp hữu hiệu để giải quyết vấn đề nhiễu đo đạc trong bài toán chẩn đoán vết nứt nêu trên. Nó cho phép ta tìm đƣợc nghiệm bài toán ngƣợc của việc chẩn đoán hƣ hỏng kết cấu một cách ổn định đối với sai số đo đạc. Kết luận chƣơng 2 Trong chƣơng này đã đƣa ra khái niệm hàm đáp ứng phổ của dầm chịu tải trọng bất kỳ, là một hàm của hai biến số: tần số ( ) và toạ độ của dầm (x). Nếu xét hàm với biến tần số và toạ độ cố định thì đây là đặc trƣng biên độ tần số của độ võng tại mặt cắt x. Nếu xét hàm với biến số là toạ độ của dầm với tần số cố định ta đƣợc biểu đồ biên độ dao động của dầm tại các mặt cắt ở tần số cho trƣớc. Khi tần số bằng tần số riêng thì hàm đáp ứng tần số cho ta biên độ dạng dao động riêng. Sau đó đã trình bày nội dung phƣơng pháp phổ tần số và áp dụng cho trƣờng hợp tải trọng di động với vận tốc không đổi. Ý tƣởng của phƣơng pháp là chuyển phƣơng trình chuyển động của dầm chịu tải trọng di động từ miền thời gian vào miền tần số. Khi đó phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng với vế phải chứa hàm delta Dirac sẽ biến thành một phƣơng trình vi phân thƣờng cấp 4 không thuần nhất. Đây chính là phƣơng trình để tìm hàm đáp ứng tần số của dầm chịu tải trọng di động. Đã xây dựng biểu thức tổng quát của nghiệm trong các trƣờng hợp lực tác dụng đa tần di động với vận tốc không đổi. So sánh đáp ứng thời gian nhận đƣợc bằng phƣơng pháp phổ tần số (sau khi biến đổi Fourie ngƣợc) và phƣơng pháp chồng mode cho phép ta khẳng định rằng: nếu xét trong miền thời gian thì phƣơng pháp phổ tần số tƣơng đƣơng với phƣơng pháp chồng mode. Sự khác biệt có thể chỉ là ở cấu trúc phổ của hai 37 nghiệm, đặc biệt là ở tần số cao, khi mà phƣơng pháp chồng mode không thể áp dụng. Trong chƣơng này cũng đã trình bày tóm lƣợc cơ sở phƣơng pháp điều chỉnh Tikhonov sẽ áp dụng cho bài toán nhận dạng vết nứt ở chƣơng 4. 38 CHƢƠNG 3. KẾT QUẢ PHÂN TÍCH SỐ DAO ĐỘNG CỦA DẦM ĐÀN HỒI CHỊU TẢI TRỌNG ĐIỀU HOÀ DI ĐỘNG Chƣơng này trình bày kết quả tính toán số hàm đáp ứng tần số của dầm chịu tải trọng di động là các lực hằng số, điều hoà và đa tần. Ở đây khảo sát sự thay đổi của biên độ dao động riêng và dao động cƣỡng bức trong miền tần số phụ thuộc chủ yếu vào các tham số của tải trọng nhƣ vận tốc, tần số của lực điều hoà. 3.1. Đáp ứng tần số của dầm chịu tác dụng của lực hằng số di động Xét một dầm Euler-Bernoulli có các hằng số vật liệu và hình học: ℓ=30m; EI=1.42E10 Nm 2 ; F=4800kg/m. Hình 3.1. Mô hình dầm Euler-Bernoulli Để tiện việc tính toán ta đƣa vào các biến không thứ nguyên nhƣ sau: 1v /v/v   c (tham số vận tốc) và tần số tính toán đƣợc chuẩn hóa bằng tần số cơ bản của dầm ]2,0[/ 1   . Trong đó  /v 1c là vận tốc tới hạn, 1 là tần số riêng cơ bản, /vv   là tần số lái (driving frequency). Hàm phổ biên độ của độ võng tại điểm giữa dầm cho trong Hình 3.2, trong đó ta có thể phân biệt đƣợc các dạng dao động của đáp ứng nhƣ sau. Trong miền tần số thấp và vận tốc bé ( 1.0 ) đồ thị của phổ biên độ có thể nội suy bằng hàm 22 v v0 v )2/cos( )(      S S . (3.1.1) 39 So sánh với phổ biên độ mô tả bằng hàm số (3.1.1) với phổ biên độ đã cho trong Hình 3.2. Khi tham số vận tốc bằng 0.05 và 0.09 (xem Hình 3.3), ta thấy chúng hoàn toàn trùng nhau. Mặt khác hàm (3.1.1) chính là hàm phổ biên độ của quá trình xung hữu hạn hình sin       ],0[ khi0 ];,0[ khisin )( v0 v Tt Ttta tq  (3.1.2) với v/ ;//vv   TT ; 2/v00 Sa  ; )0,2/(0 S là giá trị của hàm phổ tại 0 . Hình 3.2. Phổ biên độ của độ võng tại điểm giữa dầm ứng với các vận tốc khác nhau Quá trình (3.1.2) đã đƣợc chứng minh là một thành phần quan trọng trong đáp ứng thời gian của dầm chịu tải trọng hằng số di động. Điều này chứng tỏ rằng ở miền tần số thấp và tải trọng di động với vận tốc nhỏ, thành phần dao động kéo theo đóng vai trò chủ đạo. Ngoài ra hàm phổ biên độ (3.1.1) đƣợc chuẩn hóa bằng hệ số 20 2/ vS  và xét nhƣ một hàm của biến vu  2/ chính là hệ số động của dầm chịu tải trọng di động đã nhận đƣợc trong [84]. 40 Cũng trên Hình 3.2 ta thấy khi vận tốc vƣợt qua ngƣỡng ( 33.0 ) hàm phổ biên độ có dáng điệu đúng nhƣ hàm phổ biên độ của hệ một bậc tự do với tần số riêng là tần số cơ bản của dầm ở đó hàm phổ biên độ đạt giá trị đỉnh. Điều này chứng tỏ khi tham số vận tốc lớn hơn 0.33 (khoảng 1/3 vận tốc tới hạn) thì thành phần dao động riêng là chủ đạo trong đáp ứng động lực học của dầm. Trong miền vận tốc ( 33.01.0   ) do có sự tƣơng tác giữa hai thành phần kéo theo là thành phần dao động riêng, hàm phổ biên độ của đáp ứng khá phức tạp (xem Hình 3.2). Hình 3.3. So sánh phổ biên độ chính xác và gần đúng (tính theo công thức (3.1.1)): đƣờng liền – chính xác; đƣờng rời với các dấu tròn – gần đúng. Đáng chú ý là biên độ dao động với tần số riêng hầu nhƣ triệt tiêu khi tham số vận tốc bằng (0.04, 0.2 và 0.33). Điều này đƣợc minh chứng rõ ràng trong Hình 3.4, ở đó biên độ dao động riêng đƣợc trình bày nhƣ hàm số của vận tốc với các hệ số cản khác nhau. Nhƣ vậy là tồn tại những vận tốc của lực di động làm triệt tiêu dao động riêng của dầm, các vận tốc này ta gọi là vận tốc phản cộng hưởng. 41 So sánh các hình vẽ cho trong Hình 3.4 với biên độ dao động riêng tính đƣợc trong [81] ta thấy chúng trùng nhau khi hệ số cản bằng 0.0265. Nhƣ vậy, nghiệm tính đƣợc trong [81] chỉ là nghiệm gần đúng, nhƣng nó trùng với nghiệm đúng khi hệ số cản bằng 0.0265. Hình 3.4. Biên độ dao động riêng phụ thuộc vào vận tốc của tải trọng ứng với các giá trị khác nhau của hệ số cản. Hình 3.5. Biên độ dao động kéo theo phụ thuộc vào vận tốc của tải trọng ứng với các giá trị khác nhau của hệ số cản. 42 Hình 3.5 cho ta bức tranh của biên độ dao động kéo theo phụ thuộc vào vận tốc của lực di động. Từ hình vẽ ta thấy: biên độ dao động kéo theo giảm rất nhanh khi vận tốc tăng từ 0 đến 0.3 và sau đó nó hầu nhƣ không thay đổi khi vận tốc chƣa đạt đến 0.9 vận tốc tới hạn. Nó bắt đầu tăng khi vận tốc tiến đến vận tốc tới hạn, ở đó biên độ dao động kéo theo đạt cực đại cục bộ. Một điều khác khá lý thú là biên độ dao động kéo theo không phụ thuộc vào hệ số cản khi vận tốc nhỏ hơn 0.9 vận tốc tới hạn. Hình 3.6. Phổ biên độ của đáp ứng khi vận tốc bằng vận tốc phản cộng hƣởng. Theo các kết quả trƣớc đó, đáp ứng động của dầm sẽ bao gồm hai thành phần: dao động kéo theo và dao động riêng. Vì vậy, biên độ dao động riêng chỉ có thể triệt tiêu nếu phổ biên độ của dao động kéo theo tại tần số riêng bằng 0. Nếu không, biên độ dao động của đáp ứng tại tần số riêng không thể bằng không. Do đó, điều kiện cần để biên độ dao động riêng triệt tiêu chính là hàm phổ (3.1.1) bằng 0 tại tần số riêng; 02/cos 1 v hay ,...3,2,1,)12(1  kk v . (3.1.3) Từ đó ta có vận tốc phản cộng hƣởng bằng ,...3,2,1),12/(1  kkk . Những vận tốc này lần đầu tiên đƣợc phát hiện trong [96] là điều kiện tắt dao động 43 riêng trong miền thời gian. Phổ biên độ của đáp ứng tổng cộng khi vận tốc bằng vận tốc phản cộng hƣởng đƣợc trình bày trong Hình 3.6 ở đó ta thấy ngay biên độ đáp ứng tại tần số riêng bằng 0. Điều này chứng tỏ tất cả các vận tốc thỏa mãn phƣơng trình (3.1.3) đều là phản cộng hƣởng. Nhận xét: 1. Trong trƣờng hợp tải trọng di động là hằng số, biểu đồ phổ biên độ tần số cho thấy chỉ xuất hiện hai biên độ nổi trội tại tần số bằng 0 và tần số riêng. Điều này chứng tỏ chỉ tồn tại dao động với tần số riêng (gọi tắt là dao động riêng). Tuy nhiên, biên độ dao động riêng chỉ nổi trội khi vận tốc di chuyển của tải trọng lớn hơn 1/3 vận tốc tới hạn. Khi tốc độ di chuyển của tải trọng thấp (nhỏ hơn một phần mƣời vận tốc tới hạn) thì đáp ứng là chuyển vị tĩnh. Biên độ dao động kéo theo nói chung rất nhỏ, nó chỉ đạt cực đại khi tốc độ tải trọng bằng vận tốc tới hạn. 2. Khi vận tốc di chuyển của tải trọng nhỏ hơn 1/3 vận tốc tới hạn, sự tƣơng tác giữa dao động kéo theo với dao động riêng xảy ra tƣơng đối mạnh làm cho biên độ dao động riêng có thể bị triệt tiêu ở một số giá trị của vận tốc tải trọng. Những vận tốc này đƣợc gọi là vận tốc phản cộng hƣởng và đƣợc xác định bằng một công thức giải tích. 3. Hệ số cản nói chung làm giảm biên độ dao động của đáp ứng, nhƣng không ảnh hƣởng đến sự tƣơng tác giữa dao động kéo theo và dao động riêng. 3.2. Đáp ứng tần số của dầm đàn hồi chịu tải trọng điều hòa Kết quả tính toán khi tần số của tải trọng khác không đƣợc trình bày trong các hình vẽ 3.7- 3.16. Khảo sát các đồ thị trên Hình 3.7 ( 14.0  ) cho thấy khi vận tốc di chuyển của lực thấp hơn 0.1vc, thì biên độ dao động cƣỡng bức là nổi trội. Tuy nhiên, biên độ dao động này giảm rất nhanh khi vận tốc tăng đến 0.2vc và sau đó thì đỉnh tại tần số tải trọng này hoàn toàn biến mất. Lúc này chỉ còn lại đỉnh của thành phần dao động riêng. Nhƣ vậy, có thể khẳng định rằng, thành phần dao động riêng sẽ là chủ đạo khi vận tốc vƣợt qua 0.2 vận tốc tới hạn. Dao động kéo 44 theo chỉ xuất hiện nhƣ những cánh hoa rất nhỏ hai bên đỉnh dao động cƣỡng bức và dao động riêng. Trong trƣờng hợp này, điều kiện để biên độ dao động riêng bị dập tắt là 0]2/)cos[( v1   , (3.2.1) Hình 3.7. Phổ biên độ đáp ứng chịu tải trọng điều hòa với tần số 14.0  với các vận tốc không phải là phản cộng hƣởng. Nó cho ta các vận tốc phản cộng hƣởng bằng 1/,....,3,2,1),12/(1    fkkfek . (3.2.2) Sự tắt của dao động riêng đƣợc minh chứng bằng hàm phổ biên độ đáp ứng với các vận tốc phản cộng hƣởng (3.2.2) đƣợc trình bày trong Hình 3.8. Nếu tần số tải trọng bằng 0, công thức (3.2.2) cho ta các vận tốc phản cộng hƣởng của lực hằng số xác định bằng công thức (3.2.3). Lƣu ý đến trƣờng hợp cộng hƣởng ngoài, tức là khi tần số tải trọng bằng tần số lái,  fv , thì vận tốc phản cộng hƣởng bằng ,....3,2,1),1(2/1  kkerk (3.2.3) 45 Nhƣ vậy, ứng với mỗi tần số của lực di động ta có thể tìm đƣợc các vận tốc phản cộng hƣởng tƣơng ứng. Biểu đồ cho phép ta xác định các vận tốc phản cộng hƣởng ứng với các tần số tải trọng khác nhau đƣợc trình bày trong Hình 3.9. Hình 3.8. Phổ biên độ đáp ứng chịu tải trọng điều hòa với tần số 14.0  với các vận tốc phản cộng hƣởng. Hình 3.9. Biểu đồ tốc độ phản cộng hƣởng và tần số tải trọng trong trƣờng hợp lực di động là điều hòa đơn tần 46 Trên Hình 3.10 trình bày biên độ dao động riêng phụ thuộc vào vận tốc di chuyển của lực điều hòa với tần số bằng tần số lái (cộng hƣởng ngoài). Lúc này, biên độ dao động riêng đạt cực đại khi vận tốc di chuyển của lực bằng một nửa vận tốc tới hạn. Hình 3.11, 3.12 cho ta sự phụ thuộc của biên độ dao động cƣỡng bức và dao động riêng vào tốc độ và tần số của lực điều hòa. Các đồ thị cho thấy, biên độ dao động cƣỡng bức giảm rất nhanh khi vận tốc tăng. Còn biên độ dao động riêng thì tăng dần đến một giá trị cực đại (xem Bảng 4.1) ở một tần số nào đó rồi sau đó giảm dần khi vận tốc tăng đến giá trị tới hạn. Biên độ dao động kéo theo phụ thuộc vào vận tốc và tần số của lực di động đƣợc trình bày trong Hình 3.13. Trong đó ta thấy biên độ dao động kéo theo cũng tăng theo vận tốc đến một giá trị nào đó của vận tốc thì nó bắt đầu giảm và lại tăng trở lại khi vận tốc tiến gần đến giá trị tới hạn. Trong khoảng vận tốc từ 0.5-0.7 vận tốc tới hạn biên độ dao động này hầu nhƣ không thay đổi và ít phụ thuộc vào tần số lực. Giá trị lớn nhất của biên độ dao động kéo theo đạt đƣợc khi vận tốc bằng vận tốc tới hạn. Hình 3.10.Biên độ dao động riêng khi tần số tải trọng bằng tần số lái (cộng hƣởng ngoài) 47 Hình 3.11. Biên độ dao động cƣỡng bức phụ thuộc vào vận tốc và tần số tải trọng Hình 3.12. Biên độ dao động dao động riêng phụ thuộc vào vận tốc và tần số tải trọng 48 Hình 3.13. Biên độ dao động kéo theo phụ thuộc vào vận tốc và tần số lực di động Xét trường hợp tác động của lực điều hòa hai tần số. Trƣớc tiên ta nghiên cứu trƣờng hợp hai tần số 21 , đối xứng qua tần số riêng, tức thỏa mãn 121 )/2(  . Biên độ dao động riêng phụ thuộc vận tốc trong trƣờng hợp tác dụng riêng biệt của các lực này đƣợc mô tả bằng các đƣờng rời trong Hình 3.14 và chúng hoàn toàn trùng nhau. Nhƣ vậy, tác dụng của hai lực điều hòa đối xứng là nhƣ nhau và do đó chúng sẽ có cùng các vận tốc phản cộng hƣởng. Hơn nữa, tác dụng của lực hằng số tƣơng đƣơng với lực với tần số siêu cộng hƣởng (khi tần số lực di động bằng hai lần tần số riêng). Đây là một điều mới chƣa đƣợc phát hiện ở các công trình đã công bố. Tuy nhiên, nếu hai lực điều hòa đối xứng tác dụng đồng thời (các đƣờng liền trong Hình 3.14) thì chúng không chỉ làm tăng biên độ dao động cả dao động riêng mà còn tạo ra các vận tốc phản cộng hƣởng mới. Thật vậy, các đồ thị trong Hình 3.14 cho thấy sự tác dụng đồng thời 49 của hai lực điều hòa đối xứng làm tăng biên độ dao động riêng cực đại lên 1.7 lần. Và, ngoài các vận tốc phản cộng hƣởng chung của chúng xác định bằng công thức (3.2.2) ta thấy xuất hiện thêm một giá trị vận tốc phản cộng hƣởng bằng ce Vfv  1 (tức công thức (3.2.2) tính thêm với giá trị k=0). Nhƣ vậy, vận tốc tới hạn đồng thời là vận tốc phản cộng hƣởng cho tải trọng hỗn hợp giữa lực hằng số 01  và lực siêu cộng hƣởng 12 2 . Hình 3.14. Biên độ dao động riêng dƣới tác dụng của hai lực điều hòa đối xứng. 3.3. Tác dụng của lực đa tần Trƣờng hợp tổ hợp lực không đối xứng đặc trƣng chính là sự tác dụng đồng thời của một lực hằng số và một lực điều hòa bất kỳ. Ta sẽ nghiên cứu biên độ dao động riêng của dầm phụ thuộc vào vận tốc và tần số lực di động điều hòa trong hai trƣờng hợp: (1) tần số lực điều hòa nhỏ hơn tần số riêng ( 121 0   ) và (2) tần số lực điều hòa lớn hơn tần số riêng ( 211 0   ). 50 Kết quả tính toán đƣợc trình bày trong Hình 3.15, trong đó với mục đích so sánh vẽ lại các đồ thị của đáp ứng khi chỉ có lực điều hòa. Các đồ thị cho thấy, trong cả hai trƣờng hợp ảnh hƣởng của lực hằng số nhỏ khi vận tốc bé hơn 0.5vc. Nhƣng khi vận tốc lớn hơn 0.5vc thì bức tranh không đơn điệu nữa, mà biên độ dao động phụ thuộc vào tần số lực điều hòa. Có nghĩa là tổ hợp của lực hằng số và lực điều hòa với tần số cao hơn tần số riêng sẽ làm cho biên độ dao động riêng lớn hơn so với chỉ có lực điều hòa tác dụng. Trong khi đó, tổ hợp lực gây nên biên độ dao động thấp hơn nếu tần số lực điều hòa nhỏ hơn tần số riêng. Lực hằng số không có tác dụng khi vận tốc bằng vận tốc phản cộng hƣởng của nó và trong các trƣờng hợp khác lực hằng số không thể dập tắt đƣợc dao động riêng (Hình 3.16). Tuy nhiên, biên độ dao động riêng bị giảm mạnh khi vận tốc bằng vận tốc phản cộng hƣởng tƣơng ứng với tần số lực điều hòa gần với tần số riêng. Hình 3.15. Biên độ dao động riêng dƣới tác dụng của tổ hợp lực hằng số và lực điều hòa 51 Hình 3.16. Phổ biên độ đáp ứng dƣới tác dụng của tổ hợp lực hằng số ( 0 ) và lực điều hòa ( 15.0  ) khi vận tốc bằng vận tốc phản cộng hƣởng của lực điều hòa. Kết luận chƣơng 3 Kết quả phân tích hàm đáp ứng tần số chịu tải trọng di động nêu trên cho phép ta rút ra những kết luận sau đây: 1. Hàm đáp ứng tần số là một đặc trƣng quan trọng trong phân tích dao động của dầm chịu tải trọng di động. Nó cho phép ta nghiên cứu bức tranh dao động đầy đủ của đáp ứng bao gồm cả các dao động cƣỡng bức (dao động bình ổn) và dao động riêng của dầm chịu tác dụng của lực điều hoà di động. 2. Sử dụng hàm đáp ứng tần số ta có thể nhận biết các dạng dao động theo vận tốc di chuyển của tải trọng nhƣ sau: Khi vận tốc di chuyển của tải trọng thấp hơn 1/10 vận tốc tới hạn, thì chỉ tồn tại dao động cƣỡng bức (với tần số của tải trọng) bình ổn. Đặc biệt là khi tải trọng là hằng số thì độ võng ở giữa dầm tỷ lệ với độ võng tĩnh (tần số bằng 0). Khi tải trọng di chuyển với vận tốc lớn hơn 1/3 vận tốc tới hạn, ta gọi đây là vận tốc cao, lúc này hầu nhƣ chỉ tồn t