Luận án Ứng dụng lý thuyết điều khiển trong tối ưu tần số riêng và khối lượng của kết cấu thanh - Trần Minh Thúy

M i i dp H dx dp H dx M dp H i s dx dp H dx                            (2.78) 2.3.3 Phƣơng pháp phân tích trọng số v ây ựng tập giải pháp khả thi Ở trên đã dẫn ra các hệ số ki (i=1,..,s), kw là các trọng số, mỗi hệ số nằm trong giới h n [0,1], nhƣng phải th a mãn điều kiện (2.75). Các trọng số thể hiện mức độ quan trọng (ƣu tiên) của từng mục tiêu và hệ số càng lớn thì đ i lƣợng tƣơng ứng càng lớn, mục tiêu liên quan đến đ i lƣợng đó càng có mức độ quan trọng. Việc phân tích để lựa chọn các trọng số hợp lý cần dựa trên mục tiêu của ngƣời thiết kế, và để có một lời giải tổng quát là khó khăn, và có thể thiếu tính thực tế. Nhƣ đã trình bày, tần số riêng của kết cấu là một dải vô số các giá tr dƣơng bao g m tần số riêng thứ nhất và các tần số riêng bậc cao. Tuy vậy các dao động riêng bậc cao thƣờng yếu và t t nhanh, nên trong động lực học máy, động lực kết cấu và công trình, ngƣời ta quan tâm nhiều nhất đến tần số riêng thứ nhất, và có thể quan tâm đến tần số riêng thứ hai. Chính vì vậy phù hợp với thực tế đó luận án lựa chọn bài toán đa mục tiêu dải tần số riêng là tối ƣu tần số riêng thứ nhất và thứ hai. Bài toán đa mục tiêu tối ƣu tiếp theo đƣợc nghiên cứu là tối ƣu đ ng thời tần số riêng thứ nhất ho c thứ hai với khối lƣợng kết cấu. 2.3 Tối ƣu hóa kết cấu áp dụng PMP 47 Để tối ƣu hóa kết cấu với mục đích nêu trên ta sẽ áp dụng hàm đa mục tiêu tổng quát (2.74) cho từng trƣờng hợp. Ch ng h n, tối ƣu theo dải tần số riêng g m tần số riêng thứ nhất và thứ hai, ta nhận đƣợc: 1 1 2 2 1 1 01 02 (1 ) min c c F k k           (2.79) Tối ƣu theo tần số riêng thứ nhất (ho c thứ hai) và khối lƣợng, ta nhận đƣợc: 0 0 (1 ) min       i i WW W i c c W F k k W (2.80) Trong (2.80), vì chỉ tối ƣu hai mục tiêu nên ta ký hiệu kw là trọng số thể hiện mức độ quan trọng (ƣu tiên) của mục tiêu khối lƣợng, do vậy 1-kw là trọng số của mục tiêu tần số riêng thứ nhất ho c thứ hai. Với (2.79) cũng ký hiệu tƣơng tự nhƣ vậy. Có thể thấy rằng, các hàm mục tiêu theo (2.79), (2.80) có thể có 4 trƣờng hợp tổ hợp từ các mục tiêu max (min) cụ thể của các hàm mục tiêu thành phần. Ch ng h n x t hàm mục tiêu theo (2.80), với mỗi trong 4 trƣờng hợp và ứng với một giá tr kw[0,1] cụ thể, ta sẽ tìm đƣợc một v c tơ biến điều khiển (biến thiết kế) với các phần t là đƣờng kính các đo n trục và thu đƣợc các giá tr của các hàm mục tiêu thành phần. Khảo sát toàn bộ các giá tr của kw sẽ cho mối quan hệ giữa các mục tiêu thành phần, hay c n gọi là tập Pareto, thể hiện mức độ nhƣợng bộ (trade-off) giữa các mục tiêu thành phần, xem Hình 2.6. Tƣơng tự với các trƣờng hợp khác của hàm mục tiêu (2.80) sẽ thu đƣợc thêm 3 tập Pareto. Với tổng số 4 tập Pareto thu đƣợc sẽ hình thành tập giải pháp khả thi (feasible region) thể hiện tất cả các khả năng có thể có của cấu hình hệ trục đang xem x t đối với các mục tiêu thành phần (Hình 2.6). Hình 2.6 Tập giải pháp khả thi và các tập Pareto. A B C D O E F G H Tập giải pháp khả thi Tập Pareto Tập Pareto Tập Pareto 1 Wmax W Wmin 1min 1max 48 CHƢƠNG 2 CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN T I ƢU THEO PMP, HÀM ĐA MỤC TIÊU T NG QUÁT Từ Hình 2.6, có thể thấy rằng: - Đo n AB là tập Pareto của các mục tiêu 1min và Wmax với điểm kỳ vọng E. - Đo n BC là tập Pareto của các mục tiêu 1max và Wmax với điểm kỳ vọng F. - Đo n CD là tập Pareto của các mục tiêu 1max và Wmin với điểm kỳ vọng G. - Đo n AB là tập Pareto của các mục tiêu 1min và Wmin với điểm kỳ vọng H. - 4 tập Pareto t o thành đƣờng bao của tập giải pháp khả thi và không thể có cấu hình nào của hệ trục vƣợt ra kh i tập này. - Giả s điểm O đ i diện cho một cấu hình hiện t i của hệ trục, có thể cải tiến hệ trục theo các mục tiêu liên quan đến 1 và W (điểm O di chuyển theo các hƣớng khác nhau). 2.4 Kết uận chƣơng Chƣơng 2 đã trình bày cơ sở điều khiển tối ƣu, đối tƣợng điều khiển là kết cấu trục ch u dao động xo n, thanh ch u dao động dọc và uốn. Hệ phƣơng trình vi phân tr ng thái biểu diễn quá trình động lực của kết cấu đƣợc dẫn ra từ các tài liệu tham khảo. Từ việc giới thiệu các bài toán tối ƣu tổng quát, bài toán điều khiển tối ƣu áp dụng PMP đƣợc trình bày. NCS đã phân tích, thiết lập bài toán điều khiển tối ƣu cấu trúc kết cấu áp dụng PMP, trình bày các giải thuật tính toán. Những đóng góp mới của NCS là:  Đề xuất hàm đa mục tiêu tổng quát cho các bài toán tối ƣu đa mục tiêu: tối ƣu dải tần số riêng; tối ƣu dải tần số riêng và khối lƣợng của kết cấu. Áp dụng hàm đa mục tiêu tổng quát cho việc thiết lập các bài toán đƣợc thực hiện trong luận án g m tối ƣu dải tần số riêng thứ nhất và thứ hai; tối ƣu đ ng thời tần số riêng và khối lƣợng kết cấu.  Phân tích trọng số trong bài toán tối ƣu đa mục tiêu, dẫn ra việc xây dựng các tập Pareto giúp đánh giá mức độ th a hiệp (trade-off) giữa các mục tiêu, từ đó có thể xây dựng tập giải pháp khả thi (feasible region) để đƣa ra toàn bộ các cấu hình có thể có của kết cấu đối với các mục tiêu quan tâm. 3.1 Điều khiển tối ƣu đa mục tiêu trục dao động xo n s dụng PMP 49 CHƢƠNG 3 ĐIỀU KHIỂN TỐI ƢU ĐA MỤC TIÊU TRỤC VÀ THANH S DỤNG PMP Chƣơng này trình bày phƣơng pháp giải bài toán tối ƣu đa mục tiêu tối ƣu hóa kết cấu trục và thanh. Mục tiêu là tối ƣu dải tần số riêng và khối lƣợng thanh. Các nội dung chính bao g m thiết lập bài toán cho từng trƣờng hợp, trình phƣơng pháp giải bài toán, đƣa ra sơ đ giải thuật cho việc tính toán và lập trình. 3.1 Điều khiển tối ƣu đa mục tiêu trục ao động oắn s ụng PMP X t mô hình trục ch u xo n m t c t ngang hình tr n có tổng chiều dài L g m n-1 bậc, n nút nhƣ trên Hình 3.1. Hình 3.1 Hệ tr c n-1 bậc. Trong đó, de: đƣờng kính đo n thứ e, Le: chiều dài đo n thứ e, e: góc xo n t i nút thứ e của trục. Hệ trục bậc đƣợc mô tả bởi phƣơng trình vi phân tr ng thái (2.6). 2              d M dx GJ dM J dx (2.6) Trong đó, G: mô đun đàn h i trƣợt; : khối lƣợng riêng; Jp: mô men quán tính m t c t ngang, Jp = d 4 /32; M: mô men xo n; : tần số riêng của trục. Bốn điều kiện biên đƣợc xem x t bao g m: (a) tự do-tự do: M(0) = M(L) = 0; (3.1a) (b) ngàm-tự do: (0) = 0, M(L) = 0; (3.1b) (c) tự do-ngàm: M(0) = 0, (L) = 0; (3.1c) x d 1 L 1 d 2 L 2 d n - 2 L n - 2 d n - 1 L n - 1 d e L e Nút Đo n trục 1 1 2 3 e e+1 n - 2 n - 1 n 2 e n - 2 n - 1  1  2  3  e  e +1  n - 2  n - 1  n DOF 50 CHƢƠNG 3 ĐIỀU KHIỂN T I ƢU ĐA MỤC TIÊU TRỤC VÀ THANH S DỤNG PMP (d) ngàm-ngàm: (0) = 0, (L) = 0. (3.1d) Nhƣ đã chỉ ra ở chƣơng 2, hàm đa mục tiêu tổng quát nhất đƣợc NCS xây dựng có d ng (2.74). X t trƣờng hợp tối ƣu theo tần số riêng thứ i (thƣờng là tần số riêng thứ nhất ho c thứ hai) và khối lƣợng ta áp dụng (2.80): 0 0 (1 ) min       i i WW W i c c W F k k W (2.80) Bài toán tối ƣu đƣợc phát biểu nhƣ sau: tìm de (e = 1  n-1),  ,e min maxd d d , th a mãn hàm đa mục tiêu (2.80): Trong đó, i là tần số thứ i,  0, 1Wk   là trọng số, W là tổng khối lƣợng trục, 0i và W0 tần số riêng thứ i và tổng khối lƣợng trục ban đầu (trƣớc tối ƣu). ci = ±1 và cW = ±1 tƣơng ứng với các trƣờng hợp cực tiểu và cực đ i các mục tiêu i và W. Hàm đa mục tiêu (2.80) x t đến tất cả các trƣờng hợp khi tối ƣu đ ng thời i và W nhƣ sau: * i  max and W  min (ci = -1 và cW =1): 0 0 (1 ) min        iW W i W F k k W (3.2a) * i  max and W  max (ci = -1 and cW = -1): 0 0 (1 ) min        iW W i W F k k W (3.2b) * i  min and W  max (ci =1 and cW = -1): 0 0 (1 ) min       iW W i W F k k W (3.2c) * i  min and W  min (ci =1 and cW =1): 0 0 (1 ) min       iW W i W F k k W (3.2d) Có thể thấy, hàm mục tiêu trong công trình nghiên cứu liên quan [47],  1 min       W i WF k k W khi i  max và W  min, là một trƣờng hợp riêng của hàm mục tiêu (2.80) khi ci= -1, cW = 1, 0i = 1, và W0 = 1. Dựa vào phƣơng trình vi phân tr ng thái (2.6); hàm mục tiêu (2.80) cũng nhƣ tất cả các trƣờng hợp điều kiện biên (3.1a, 3.1b, 3.1c, 3.1d); đ nh lý sau đây là cần thiết để giải bài toán điều khiển tối ƣu đa mục tiêu (dải tần số - khối lƣợng) của hệ trục trên: 3.1 Điều khiển tối ƣu đa mục tiêu trục dao động xo n s dụng PMP 51 Định ý omeg : qua các phương trình (2.6), (2.80) và (3.1), hàm Hamilton H đạt cực đại đối với diện tích mặt cắt ngang S và hệ số tỉ lệ k giữa các biến trạng thái ban đầu và các biến trạng thái liên hợp đạt giá trị dương: 2 2 2 2 2 0 1              W W i c kM H cS S k GcS W  max (theo S) (3.3) hứng minh: Coi tần số riêng i là biến tr ng thái. Điều đó có nghĩa là i có vai trò tƣơng đƣơng nhƣ  và M trong hệ phƣơng trình vi phân (2.6). Jp tỉ lệ thuận với bình phƣơng của diện tích m t c t ngang S(x), gán Jp = cS 2 (c: hằng số). Tổng khối lƣợng trục W cũng là một biến tr ng thái. Hệ phƣơng trình (2.6) đƣợc viết l i: 2   d M dx GcS (3.4a) 2 2    i dM cS dx (3.4b) 0  i d dx (3.4c)  dW S dx (3.4d) Hàm mục tiêu (2.80) đƣợc viết l i dƣới d ng phiếm hàm mục tiêu Maier - điều khiển tr ng thái cuối nhƣ sau: 0 0 ( ) ( ) (1 ) min.       i i WW W i c L c W L F k k W (3.5) Hàm Hamiltonian H đƣợc viết l i nhƣ sau: 2 2 , 2         M i i w M H p p cS p p S GcS , ,( 0) i (3.6) Phƣơng trình tr ng thái của các biến liên hợp đƣợc xác đ nh nhƣ sau: 2 2         i M dp H cS p dx (3.7a) 2 1        Mdp H p dx M GcS (3.7b) 22         i M i dp H cS p dx (3.7c) 0w dp H dx W      (3.7d) Các biến liên hợp , , , M wp p p p đƣợc xác đ nh từ phƣơng trình sau: 52 CHƢƠNG 3 ĐIỀU KHIỂN T I ƢU ĐA MỤC TIÊU TRỤC VÀ THANH S DỤNG PMP 1 1 ( ) ( ) (0) (0) 0         m m j j j j j j p L y L p y F (3.8) trong đó, m = 4; y1 = , y2 = M, y3 = i, y4 = W là các biến tr ng thái và p1 = p, p2 = pM, p3 = p và p4 = pw là các biến liên hợp. Nhƣ vậy,                         0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 – 0 0 ( ) ( ) (1 ) 0 M i w M i w i i W W W i p L L p L M L p L L p L W L p p M p p W c L c W L k k W                              (3.9) Hay,                         0 0 (1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 – 0 0 0 W i M i i W W w M i w k c p L L p L M L p L L k c p L W L p p M W p p W                                    = 0 (3.10) Từ đó, ta thu đƣợc: 0 0 (1 ) ( ) ( ) (0) 0                   i W i W W w c k p L c k p L W p (3.11) và các công thức phụ thuộc vào các điều kiện biên của hệ trục nhƣ sau: (a) tự do - tự do: M(0) = M(L) = 0  p(L) = 0; p(0) = 0 (3.12a) (b) ngàm - tự do: (0) = 0, M(L) = 0  p(L) = 0; pM(0) = 0 (3.12b) (c) tự do - ngàm: M(0) = 0, (L) = 0  pM(L) = 0; p(0) = 0 (3.12c) (d) ngàm – ngàm: (0) = 0, (L) = 0  pM(L) = 0; pM(0) = 0 (3.12d) Gán:       H M H p M p (3.13) Kết hợp các phƣơng trình (3.7a), (3.7b) và (3.13) ta có: 3.1 Điều khiển tối ƣu đa mục tiêu trục dao động xo n s dụng PMP 53 2 2 2            H H H i H d M dx GcS dM cS dx (3.14) Các điều kiện (3.12) có thể đƣợc viết l i nhƣ sau: (a) p(L) = 0; p(0) = 0 (3.12a)  MH(0) = 0; MH(L) = 0 (3.15a) (b) p(L) = 0; pM(0) = 0 (3.12b)  H(0) = 0; MH(L) = 0 (3.15b) (c) pM(L) = 0; p(0) = 0 (3.12c)  MH(0) = 0; H(L) = 0 (3.15c) (d) pM(L) = 0; pM(0) = 0 (3.12d)  H(0) = 0; H(L) = 0 (3.15d) Có thể thấy rằng phƣơng trình (3.4a) và (3.4b) thể hiện giống với phƣơng trình (3.14). Phƣơng trình (3.1) và (3.15) thể hiện giống nhau, mô tả điều kiện của hệ ban đầu và hệ liên hợp. Vì vậy có thể kết luận rằng, các biến tr ng thái gốc và các biến liên hợp tỉ lệ với nhau thông qua một hệ số tỉ lệ k nhƣ sau:      H H kM M k (3.16) Công thức tƣờng minh của k có thể đƣợc xác đ nh bằng cách tích phân phƣơng trình (3.7c) với các điều kiện thích hợp trong (3.11) và (3.16): , 2 2 00 0 (1 ) 2 ( ) (0)               L L i W i i c k p dx p L p cS dx k (3.17) Vì vậy, 2 20 0 2 (1 )       L i i i W k cS dx c k (3.18) Nhƣ vậy, hệ số tỉ lệ k là dƣơng âm đối với trƣờng hợp cực đ i cực tiểu i. Điều này đƣợc chứng minh bằng việc coi tần số riêng i nhƣ là biến tr ng thái. Hàm Hamilton (3.6) đ t cực đ i khi: 2 2 2 2 2 0 1              W W i c kM H cS S k GcS W  max (theo S) (3.3) Chú ý rằng  0, 1wWk , trong trƣờng hợp kW = 1, hàm mục tiêu (2.80) trở thành cWW = min, đây là một lời giải tầm thƣờng với de = dmin (cW = 1) ho c dmax (cW = -1). Vậy, dựa trên PMP trong điều khiển tối ưu tần số riêng của hệ tr c chịu xoắn, điều kiện cần tối ưu thu được bao gồm: phương trình vi phân trạng thái (2.6), 4 trường hợp điều 54 CHƢƠNG 3 ĐIỀU KHIỂN T I ƢU ĐA MỤC TIÊU TRỤC VÀ THANH S DỤNG PMP kiện biên (3.1), khoảng xác định của biến điều khiển  ,e min maxd d d và điều kiện cực đại của hàm Hamilton (3.3). Sơ đ thuật toán của bài toán điều khiển tối ƣu đa mục tiêu tần số riêng và tổng khối lƣợng hệ trục xo n kể trên đƣợc thể hiện trên Hình 3.2. Thuật toán tối ƣu này g m hai mô đun. Mô đun phân tích s dụng Phƣơng pháp ma trận truyền (mục 2.1.4). Dữ liệu đầu vào của mô đun này g m các tham số hình học và vật liệu. Đầu ra của mô đun này là các giá tr tần số riêng i, tổng khối lƣợng của hệ trục W, nội lực mô men M, góc xo n , và diện tích m t c t ngang S. Các tham số W, i, M, , S đƣợc s dụng tiếp nhƣ những dữ liệu đầu vào cho mô đun thứ 2, mô đun tối ƣu, với việc giải phƣơng trình (3.3) để tính toán các giá tr mới của de, i, W. Hình 3.2 Sơ đồ thuật toán của bài toán điều khiển tối ưu đa m c tiêu tần số riêng và t ng khối lượng của hệ tr c xoắn. Sơ đ chi tiết thuật toán của bài toán điều khiển tối ƣu đa mục tiêu tần số riêng và tổng khối lƣợng của hệ trục xo n xem phụ lục D trang 132 3.2 Điều khiển tối ƣu đa mục tiêu thanh ao động ọc s ụng PMP X t một thanh th ng có m t c t ngang tr n với tổng chiều dài L đƣợc chia thành n-1 đo n, trong đó ở các nút có chứa các khối lƣợng tập trung me (e = 1 ÷ n), Hình 3.3. Le và de lần lƣợt là chiều dài và đƣờng kính của đo n thứ i. Hình 3.3 Thanh th ng g m n-1 đo n và n khối lƣợng tập trung. de (ban đầu) Bài toán tối ƣu Kết quả de, i, W Bài toán phân tích de (mới) + ¯ Hội tụ? (i, W) x d 1 L 1 d 2 L 2 d n - 2 L n - 2 d n - 1 L n - 1 d e L e Nút Đo n thanh 1 1 2 3 e e+1 n - 2 n - 1 n 2 e n - 2 n - 1 u1 DOF u2 u3 ue ue+1 un-2 un-1 un m1 m2 m3 me me+1 mn-2 mn-1 mn 3.2 Điều khiển tối ƣu đa mục tiêu thanh dao động dọc s dụng PMP 55 Ở đây, E và  lần lƣợt là mô đun đàn h i k o n n và khối lƣợng riêng của vật liệu chế t o ra thanh. u(x) là chuyển v dọc trục t i v trí x. A diện tích m t c t ngang của thanh.  là tần số dao động tự do của thanh. Hệ phƣơng trình vi phân tr ng thái có d ng (2.10): 2         du N dx EA dN A u dx (2.10) T i m t c t chứa khối lƣợng tập trung m, các điều kiện cân bằng và liên tục đƣợc viết nhƣ sau: 2         N N m u u u (3.19) trong đó, N+ và u+, N− và u− lần lƣợt là nội lực dọc và chuyển v bên phải và bên trái của m t c t đang đƣợc xem x t. Các điều kiện biên của hệ thanh bao g m: (a) tự do - tự do: N(0) = N(L) = 0; (3.20a) (b) ngàm - tự do: u(0) = 0, N(L) = 0; (3.20b) (c) tự do - ngàm: N(0) = 0, u(L) = 0; (3.20c) (d) ngàm - ngàm: u(0) = 0, u(L) = 0. (3.20d) Thanh với hệ phƣơng trình vi phân tr ng thái (2.10), khối lƣợng tập trung (3.19) và các điều kiện biên (3.20) có thể dễ dàng xác đ nh đƣợc tần số riêng  và các biến tr ng thái u, N nhờ phƣơng pháp ma trận truyền (mục 2.1.4). Nguyên lý cực đ i Pontryagin đƣợc s dụng ở đây để điều khiển tối ƣu đa mục tiêu tần số riêng thứ i và tổng khối lƣợng của thanh dao động dọc tự do. Bài toán tối ƣu đƣợc phát biểu nhƣ sau: tìm de (e = 1  n-1),  ,e min maxd d d , th a mãn hàm mục tiêu đa mục tiêu (2.80) nhƣ sau: 0 0 (1 ) min       i i WW W i c c W F k k W (2.80) Trong đó, i là tần số thứ i,  0, 1wWk là trọng số, W là tổng khối lƣợng trục, 0i và W0 tần số riêng thứ i và tổng khối lƣợng trục ban đầu (trƣớc tối ƣu). ci = ±1 và cW = ±1 tƣơng ứng với các trƣờng hợp cực tiểu và cực đ i các mục tiêu i và W. 56 CHƢƠNG 3 ĐIỀU KHIỂN T I ƢU ĐA MỤC TIÊU TRỤC VÀ THANH S DỤNG PMP Dựa vào các hệ phƣơng trình (2.10), (3.19); hàm mục tiêu (2.80) cũng nhƣ các điều kiện biên (3.20); đ nh lý sau đây là cần thiết để giải bài toán điều khiển tối ƣu đa mục tiêu (dải tần số - khối lƣợng) của thanh trên: Định ý omeg : qua các phương trình (2.10), (3.19), (3.20) và (2.80), hàm Hamilton H đạt cực đại đối với diện tích mặt cắt ngang A và hệ số tỉ lệ k giữa các biến trạng thái ban đầu và các biến trạng thái liên hợp đạt giá trị dương:   2 2 2 0 1 max theo              W W i N c k H A u A A k EA W (3.21) hứng minh: Coi tần số riêng i là biến tr ng thái. Điều đó có nghĩa là i có vai trò tƣơng đƣơng nhƣ u và N trong hệ phƣơng trình vi phân (2.10). Tổng khối lƣợng trục W cũng là một biến tr ng thái. Hệ phƣơng trình (2.10) đƣợc viết l i nhƣ sau:  du N dx EA (3.22a) 2 i dN A u dx    (3.22b) 0i d dx   (3.22c) dW A dx  (3.22d) T i m t c t chứa khối lƣợng tập trung m, từ các điều kiện cân bằng và liên tục (3.19) suy ra: 2                 iN N m u u u u (3.23) Hàm mục tiêu (2.80) đƣợc viết l i dƣới d ng phiếm hàm mục tiêu Maier - điều khiển tr ng thái cuối nhƣ sau: 0 0 ( ) ( ) (1 ) min.       i i WW W i c L c W L F k k W (3.5) Hàm Hamiltonian H có thể đƣợc thiết lập ở d ng sau: 2 , u N i i W N H p p A u p p A EA        , ,( 0)i  (3.24) Phƣơng trình tr ng thái của các biến liên hợp đƣợc xác đ nh nhƣ sau: 2u i N dp H A p dx u        (3.25a) 1N u dp H p dx N EA       (3.25b) 3.2 Điều khiển tối ƣu đa mục tiêu thanh dao động dọc s dụng PMP 57 2 i i i N i dp H A up dx          (3.25c) 0W dp H dx W      (3.25d) Các biến liên hợp , , ,u N Wp p p p đƣợc xác đ nh nhƣ sau: 1 1 ( ) ( ) (0) (0) ( ) 0         m m i i i i i i p L x L p x F L (3.26) trong đó xi, pi lần lƣợt là các biến tr ng thái và liên hợp. Suy ra: 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) ( ) ( ) – – – – 1 ) ( 0 u N i W u N i W N u N u i i W W W i p u p N p p W p u p N p p W p N p u p N p u L L L L L L L L c L c W L k k W                                     (3.27) Hay: 0 0 – – – – 0 (1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0)                                               u N i W u N i W i W N u N i u W Wp u p N p p W p u p N c k c k L L L L L L L L W p p W p N p u p N p u (3.28) Ta thu đƣợc: 0 0 (1 ) ( ) ( ) (0) 0                   i W i W W W c k p L c k p L W p (3.29a) 2          u u N i N N p p p m p p (3.29b) và các công thức phụ thuộc vào các điều kiện biên của hệ trục nhƣ sau: (a) tự do - tự do: N(0) = N(L) = 0  pu(L) = 0; pu(0) = 0 (3.30a) (b) ngàm - tự do: u(0) = 0, N(L) = 0  pu(L) = 0; pN(0) = 0 (3.30b) (c) tự do - ngàm: N(0) = 0, u(L) = 0  pN(L) = 0; pu(0) = 0 (3.30c) (d) ngàm – ngàm: u(0) = 0, u(L) = 0  pN(L) = 0; pN(0) = 0 (3.30d) Gán: 58 CHƢƠNG 3 ĐIỀU KHIỂN T I ƢU ĐA MỤC TIÊU TRỤC VÀ THANH S DỤNG PMP     u H N H p N p u (3.31) Kết hợp các phƣơng trình (3.25a), (3.25b) and (3.31) ta thu đƣợc: 2         H H H i H du N dx EA dN A u dx (3.32) 2         H H i H H H N N m u u u (3.33) Các điều kiện (3.30) có thể đƣợc viết l i nhƣ sau: (a) pu(L) = 0; pu(0) = 0 (3.30a)  NH(0) = 0; NH(L) = 0 (3.34a) (b) pu(L) = 0; pN(0) = 0 (3.30b)  uH(0) = 0; NH(L) = 0 (3.34b) (c) pN(L) = 0; pu(0) = 0 (3.30c)  NH(0) = 0; uH(L) = 0 (3.34c) (d) pN(L) = 0; pN(0) = 0 (3.30d)  uH(0) = 0; uH(L) = 0 (3.34d) Có thể thấy rằng các phƣơng trình (3.32) và (3.33) thể hiện giống với các phƣơng trình (2.10) và (3.19). Phƣơng trình (3.34) và (3.20) thể hiện giống nhau, mô tả điều kiện của hệ ban đầu và hệ liên hợp. Vì vậy có thể kết luận rằng, các biến tr ng thái gốc và các biến liên hợp tỉ lệ với nhau thông qua một hệ số tỉ lệ k nhƣ sau:    H H kN N ku u (3.35) Công thức tƣờng minh của k có thể đƣợc xác đ nh bằng cách tích phân phƣơng trình (3.25c) với các điều kiện thích hợp trong (3.29a): , 2 00 0 (1 ) 2 ( ) (0)              L L i W i i c k p dx p L p Au dx k (3.36) Vì vậy, 20 0 2 (1 )       L i i i W k Au dx c k (3.37) Nhƣ vậy, hệ số tỉ lệ k là dƣơng âm đối với trƣờng hợp cực đ i cực tiểu i. Điều này đƣợc chứng minh bằng việc coi tần số riêng i nhƣ là biến tr ng thái. Hàm Hamilton (3.21) đ t cực đ i khi:   2 2 2 0 1 max theo              W W i N c k H A u A A k EA W (3.21) 3.3 Bài toán độ cứng dầm ch u uốn s dụng PMP 59 Chú ý rằng  0, 1wWk , trong trƣờng hợp kW = 1, hàm mục tiêu (2.80) trở thành cWW = min, đây là một lời giải tầm thƣờng với de = dmin (cW = 1) ho c dmax (cW = -1). Vậy, dựa trên PMP trong điều khiển tối ưu đa m c tiêu dải tần số riêng và t ng khối lượng của thanh dao động dọc tự do có kể đến khối lượng tập trung, điều kiện cần tối ưu thu được bao gồm: phương trình vi phân trạng thái (2.10), (3.19), 4 trường hợp điều kiện biên (3.20), khoảng xác định của biến điều khiển  ,e min maxd d d và điều kiện cực đại của hàm Hamilton (3.21). Sơ đ thuật toán của bài toán điều khiển tối ƣu đa mục tiêu tần số riêng và tổng khối lƣợng của thanh kể trên giống với sơ đ thuật toán của bài toán trục ch u xo n và đƣợc thể hiện trên Hình 3.2. 3.3 B i toán độ cứng ầm chịu uốn s ụng PMP Trong phần này trình bày ứng dụng điều khiển on-off dựa vào PMP khi khảo sát dầm ch u uốn. X t dầm ch u uốn có kích thƣớc (diện tích, chiều rộng,...) m t c t ngang thay đổi, tìm quy luật thay đổi của kích thƣớc m t c t ngang để dầm có độ cứng nh nhất ho c lớn nhất. 3.3.1 Giải ằng nguyên ý cực đại Pontryagin Từ độ cứng chống uốn của dầm là EJ, trong đó J là mô men quán tính của m t c t ngang đối với trục trung h a: 3 12  dh J , ta đ t 2 , 12      h S dh c J cS cdh . Hệ phƣơng trình vi phân tr ng thái của dầm có d ng [14]: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                 dy x x dx d x M x dx EJ x dM x Q x dx dQ x hd x dx    (3.38) Trong đó,  là trọng lƣợng riêng của dầm. Với điều kiện tr ng thái đầu và cuối: 60 CHƢƠNG 3 ĐIỀU KHIỂN T I ƢU ĐA MỤC TIÊU TRỤC VÀ THANH S DỤNG PMP (0) 0 (0) 0 ( ) 0 ( ) 0 y M L Q L         (3.39) Hàm mục tiêu ( ) max/ min F y L (3.40) Để hàm mục tiêu (3.40) đ t max min ứng với độ võng của dầm t i đầu tự do y(L) max min thì điều kiện cần là hàm Hamilton min max t i tất cả các điểm [0,L]x . Các bƣớc giải bài toán tối ƣu nhƣ sau : . L p hàm H mi on    y M Q M H p p Qp hdp Echd   (3.41) . Vi hệ phương r nh vi phân iên h p Hệ phƣơng trình vi phân liên hợp đƣợc viết nhƣ sau: 0                y y M Q M dp dx dp p dx pdp dx Echd dp p dx   (3.42) và điều kiện liên hợp ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) ( ) 0           y M Q y M Q P L y L p L L p L M L p L Q L P y P P M P Q y L            (3.43) Tính đến điều kiện biên (3.39) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) (0) (0) (0) (0) ( ) 0    y M Qp L y L p L L p M p Q y L     (3.44) Từ đó (0) 0 (0) 0 ( ) 0 ( ) 1       M Q y p p p L p L (3.45) Từ 1, yp với chú ý (3.42) suy ra: 0 0     M pdp p x L dx Echd   3.3 Bài toán độ cứng dầm ch u uốn s dụng PMP 61 Nhƣ vậy p không dƣơng và đơn điệu tăng, nên Mp là hàm đơn điệu giảm từ giá tr 0 nên cũng không dƣơng (0). Còn Qp là hàm đơn điệu tăng từ giá tr “0” nên không âm (0). Ngoài ra M không dƣơng (0) và đơn điệu tăng. Nhƣ đã chỉ ra ở trên, ta cần khảo sát hàm Hamilton H đ t min/m