Luận văn Ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng radio - Điện trong siêu mạng hợp phần với cơ chế tán xạ điện tử - phonon âm

        , 1 1 2 2 1 1 1 14 3 , , , , , ,n p q n p n p n p m q m q m q a a a a b b b              2 4 ,1 1 2 2 2 1 1 1 14 3 ,,, , , , , ,n p q n pn nn p p p q n p m q m q m qa a a a b b b                  1 3, 1 1 1 1 1 1 14 3 ,, , , , , ,n p q n pn n p p n p m q m q m qa a a b b b              2 41 1 1 1 1 1 23 , ,, , , , ,n p n nn p m q m q m q p p q a a b b b              2 4, 2 2 1 1 1 1 24 ,, , , , ,n p q n nn p m q m q m q p p q a a b b b               2 41 1 1 1 1 1 23 , ,, , , , ,n p n nn p m q m q m q p p q a a b b b              1 3, 2 2 1 1 1 1 14 ,, , , , ,n p q n nn p m q m q m q p q a a b b b             2 41 1 1 1 1 1 23 , ,, , , , ,n p n nn p m q m q m q p p q a a b b b            15   1 3, 2 2 1 1 1 1 14 ,, , , , ,n p q n nn p m q m q m q p q a a b b b           Khi đó:    1 2 31 1 1 1 1 1 1 13 2 1 2 3 1 ,3 1, , , , , , , qn p m n n zm q n p m q m q m qt tn n q sht C I q a a b b b            1 2 4 ,1 1 2 2 1 1 1 14 1 1 4 1 1, , , , , , , n p q m n n zm q n p m q m q m q tn n q C I q a a b b b         (17) + Thay (15), (16), (17) vào (14) ta được:        1 21 2 2 2 1 1 1 1 2 2 , , , , , 2 1, , , , , , , , n p n p m q n p n p m q n p n p m q F t e i p p A t F t t m c                    1 2 31 1 1 1 1 1 1 13 2 1 2 3 1 ,1, , , , , , , qn p m n n zm q n p m q m q m q tn n q C I q a a b b b            1 1 4 ,1 1 2 2 1 1 1 14 1 1 4 1 1, , , , , , , n p q m n n zm q n p m q m q m q tn n q C I q a a b b b         (18) Để giải (18), trước hết ta đi giải phương trình vi phân thuần nhất:        , , , , ,1 21 2 , , , , ,2 2 1 1 1 1 2 2 0 0 2 1, , , n p n p m q n p n p m qn p n p m q F t e i p p A t F t t m c                (19) Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt   , , , , ,1 1 2 2 0ln 0 n p n p m q tF t  , ta dễ dàng tính được nghiệm của phương trình thuần nhất (19) trên có dạng:       , , , , , 2 2 1 11 21 2 0 2 1 1, , , i exp n p n p m q t n p n p m q e F t p p A t dt m c                    (20) Khi đó, nghiệm của phương trình (18) có dạng:       1 2 1 21 2 1 2 0 , , , , , , , , , ,n p n p m q n p n p m q F t M t F t (21) Suy ra:          1 2 1 21 2 1 2 1 21 2 0 , , , , , , , , , ,0 , , , , , n p n p m q n p n p m q n p n p m q F t F tM t i i F t i M t t t t       (22)  Thay (20), (21) và (22) vào (18), rồi đồng nhất các hệ số ta được kết quả sau:     2 2 1 1 2 1 1, , , ( ) i exp t n p n p m q M t i e p p A t dt t m c                         1 2 31 1 1 1 1 1 1 13 2 1 2 3 1 ,1, , , , , , , qn p m n n zm q n p m q m q m q tn n q C I q a a b b b            16    1 1 4 ,1 1 2 2 1 1 1 14 1 1 4 1 1, , , , , , , n p q m n n zm q n p m q m q m q tn n q C I q a a b b b             Suy ra:    1 1 4 ,1 1 2 2 1 1 1 14 1 1 4 1 1, , , , , , , i ( ) n p q t m n n zm q n p m q m q m q tn n q M t C I q a a b b b                 1 2 31 1 1 1 1 1 1 13 2 1 2 3 1 ,1, , , , , , , qn p m n n zm q n p m q m q m q tn n q C I q a a b b b                1 2 2 1 1 2 1 2 1, , , i exp t n p n p m q e p p A t dt dt m c                      (23) Thay (20), (23) vào (21) ta được dạng của biểu thức hàm trung gian:      1 1 4 ,1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 14 1 21 4 1 1, , , , , , , , , , , , i n p q t m n n zn p n p m q m q n p m q m q m q tn n q F t C I q a a b b b                 1 2 31 1 1 1 1 1 1 13 2 1 22 3 1 ,1, , , , , , , qn p m n n zm q n p m q m q m q tn n q C I q a a b b b                  1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2*, , , exp t n p n p m q t i ie t t p p A t dt dt m c                   (24)  Thay (24) vào (12) rồi biến đổi chỉ số ta thu được:    , '2 , ', , 1n p m nn zm q n m q n t C I q t            , 2 2 ', , , , ,n p t m n n zm q n p m q m q m q t dt C I q a a b b b                2 ',', ', , , ,qn p m n n zm q n p q m q m q m q t C I q a a b b b                  2 2 1 1*', , , exp t n p q n p m q t i ie t t q A t dt m c                           ', 2 ', , , , ,n p q m n n zm q n p q m q m q m q t C I q a a b b b                17     2 ,', , , , ,n p m n n zm q n p m q m q m q t C I q a a b b b                 2 2 1 1*, ', , exp t n p n p q m q t i ie t t q A t dt m c                             2 ', ', ', , , , m n n zm q n p q n p q m q m q m q t C I q a a b b b                   , 1 1 1 1 2 ', , , , ,n p m n n zm q n p m q m q m q t C I q a a b b b              2 2 1 1*, ', , exp t n p n p q m q t i ie t t q A t dt m c                           4 1 1 2 ', , , , , , m n n zm q n p n p m q m q m q t C I q a a b b b                ', 2 ' 1, ', , , ,n p q m n n zm q n p q m q m q m q t C I q a a b b b                  2 2 1 1*', , , exp t n p q n p m q t i ie t t q A t dt m c                       Hay:     2 , '2 , ', , 1n p m nn zm q n m q n t C I q t            , 2 2 ',2 , , , , ', , , ,n p qn p t n p m q m q m q n p q m q m q m q t t dt a a b b b a a b b b                             2 2 1 1*', , , exp t n p q n p m q t i ie t t q A t dt m c                           ', 22 ,', , , , , , , ,n p q n pn p q m q m q m q n p m q m q m q tt a a b b b a a b b b                              2 2 1 1*, ', , exp t n p n p q m q t i ie t t q A t dt m c                             , 22 ', ', , , , , , , ,n pn p q n p q m q m q m q n p m q m q m q tt a a b b b a a b b b                     18     2 2 1 1*, ', , exp t n p n p q m q t i ie t t q A t dt m c                           ', 22 , , , , , ', , , ,n p qn p n p m q m q m q n p q m q m q m q tt a a b b b a a b b b                           2 2 1 1*', , , exp t n p q n p m q t i ie t t q A t dt m c                       (25)  Toán tử số hạt của điện tử: 2 2, , , ( ) n p n p n p t n t a a     và 2 2', ', ', ( ) n p q n p q n p q t n t a a             Toán tử số hạt của phonon: 2 , , ,m q m q m q t N b b và   2 , , , 1 m q m q m q t N b b   Chuyển kí hiệu: , , ( ) ( ) n p n p n t f t    .  Do tính đối xứng nên ta sử dụng q q  và , ,m q m q     ; bỏ qua số hạng chứa 2 , ,m q m q t b b và 2 , ,m q m q t b b  của (25) trong quá trình biến đổi. Khi đó phương trình (25) được viết lại dưới dạng:         ', 2 , ' 2 2 22 , , , , ', , 1 1 qn p t n p m nn zm q n p m q m q n m q f t C I q dt n t N n t N t                    2 2 1 1*', , , exp t n p q n p m q t i ie t t q A t dt m c                            , 2 2, ', , 1 n p m q n p q m q n t N n t N                 2 2 1 1*, ', , exp t n p n p q m q t i ie t t q A t dt m c                             2 2', , , , 1n p q m q n p m qn t N n t N             2 2 1 1*, ', , exp t n p n p q m q t i ie t t q A t dt m c                           2 2, , ', , 1n p m q n p q m qn t N n t N          19     2 2 1 1*', , , exp t n p q n p m q t i ie t t q A t dt m c                             ', 2 ' 2 2 22 , , , , ', , 1 1 qn p t m nn zm q n p m q m q n m q C I q dt f t N f t N                  2 2 1 1*', , , exp t n p q n p m q t i ie t t q A t dt m c                            , 2 2, ', , 1 n p m q n p q m q f t N f t N                 2 2 1 1*, ', , exp t n p n p q m q t i ie t t q A t dt m c                             2 2', , , , 1n p q m q n p m qf t N f t N             2 2 1 1*, ', , exp t n p n p q m q t i ie t t q A t dt m c                           2 2, , ', , 1n p m q n p q m qf t N f t N              2 2 1 1*', , , exp t n p q n p m q t i ie t t q A t dt m c                       (26)  Thay thế véc – tơ của trường bức xạ:    0 os cF A t c t   vào các biểu thức 2 1 1( ) t t q A t dt ta được:   2 0 1 1 22 ( ) sin sin t t q F c q A t dt t t      (27)  Thay (27) vào (26) ta được:         ', 2 , ' 2 2 22 , , , , ', , 1 1 qn p t n p m nn zm q n p m q m q n m q f t C I q dt f t N f t N t                   02 2* 2', , ,exp sin sinn p q n p m q q F ci ie t t t t m c                          20      , 2 2, ', , 1 n p m q n p q m q f t N f t N                02 2* 2, ', ,exp sin sinn p n p q m q q F ci ie t t t t m c                               2 2', , , , 1n p q m q n p m qf t N f t N            02 2* 2, ', ,exp sin sinn p n p q m q q F ci ie t t t t m c                              2 2, , ', , 1n p m q n p q m qf t N f t N             02 2* 2', , ,exp sin sinn p q n p m q q F ci ie t t t t m c                          (28)  Áp dụng khai triển:    exp sin ikk k iz J z e        (với  kJ z là hàm Bessel) Đặt: 0 0 * * 2 ecq F ecq F m m          Ta có:  0 2* 2exp sin sin q F cie t t m c             2 , exp ( ) ( )s l s l J J i s l t is t t                       (29)  Thay (29) vào (28) và thêm thừa số 2( )t te   với 0  ta được:       2 , ' 22 , ,', , 1 exp ( ) ( ) n p m nn z s lm q s ln m q f t C I q J J i s l t is t t t                                 ',2 2 2, , , 1qn p t n p m q m q dt f t N f t N            2', , ,exp n p q n p m q i s i t t                        , 2 2, ', , 1 n p m q n p q m q f t N f t N              2', , ,exp n p q n p m q i s i t t                   21     2 2', , , , 1n p q m q n p m qf t N f t N          2, ', ,exp n p n p q m q i s i t t                       2 2, , ', , 1n p m q n p q m qf t N f t N           2, ', ,exp n p n p q m q i s i t t                  (30)  Áp dụng công thức chuyển phổ Fourier cho (30) và biến đổi, ta thu được: , 1 ( ) 2 i t n p f e d t                     2 '2 , ,', , 1 exp ( )mnn z s lm q s ln m q C I q J J i s l t                            2 2 ',2 , , , 1 1 2 qn p t i t i t n p m q m q dt f e N f e N                      2', , ,exp n p q n p m q i s i t t                        2 2 ',, , , 1 qn p i t i t n p m q m q f e N f e N                 2', , ,exp n p q n p m q i s i t t                        2 2', , , , 1i t i tn p q m q n p m qf e N f e N               2, ', ,exp n p n p q m q i s i t t                        2 2, , ', , 1i t i tn p m q n p q m qf e N f e N               2, ', ,exp n p n p q m q i s i t t d                   (31)  Đổi thứ tự lấy tích trong vế phải của (31) và lấy s l ta có 22       2 2 '31 2 , ', , 1 1 exp ( ) 2l m i t nn zm q ln m q VP C I q J i s l t e                              ', ',, , , , , , ', , , ', , , 1 1 q qn p n pn p m q m q n p m q m q n p q n p m q n p q n p m q f N f N f N f N l i l i                                                  ', , , , ', , , , , ', , , ', , 1 1 n p q m q n p m q n p q m q n p m q n p n p q m q n p n p q m q f N f N f N f N l i l i                                            (32)  Xét:      31 , , 1 2 i t n p n p VT i f i f e d               (33)  So sánh (32) và (33) ta suy ra:     2 2 '2, , ', , 1 l m nn zn p m q ln m q i f C I q J                          ', ',, , , , , , ', , , ', , , 1 1 q qn p n pn p m q m q n p m q m q n p q n p m q n p q n p m q f N f N f N f N l i l i                                                  ', , , , ', , , , , ', , , ', , 1 1 n p q m q n p m q n p q m q n p m q n p n p q m q n p n p q m q f N f N f N f N l i l i                                            (34)  Thực hiện bước chuyển đổi q q  , l l cho số hạng thứ (2) và thứ (4) ở biểu thức (34) q q  và l l được:     2 2 '2, , ', , 1 l m nn zn p m q ln m q i f C I q J                          ', ',, , , , , , ', , , ', , , 1 1 q qn p n pn p m q m q n p m q m q n p q n p m q n p q n p m q f N f N f N f N l i l i                                                  ', , , , ', , , , , ', , , ', , 1 1 n p q m q n p m q n p q m q n p m q n p n p q m q n p n p q m q f N f N f N f N l i l i                                            (35)  Áp dụng đẳng thức: 1 1 1 ( ) 2 ( )i x i x x i x x i x i                rồi thực hiện phép biến đổi Fourier ngược ta thu được: 23   2 , 2 '2 , ', , ( ) 2 l n p m nn zm q ln m q f t C I q J t                        ', , , , ', , , 1 qn p m q n p m q n p q n p m q f t N f t N l                              ', , , , ', , , 1 qn p m q n p m q n p q n p m q f t N f t N l                      (36)  Phương trình động lượng tử Boltzmann cho điện tử:             0, , , , 0 * , n p n p n p n p H f t f t f t f t fp eE t eE p h t t m rp                       (37) Trong đó:       H t h t H t  0f : là hàm phân bố cân bằng hạt tải  : thời gian phục hồi moment xung lượng của điện tử  Từ (37) và (38) ta có:         , , 0* , n p n p H f t f tp eE t eE p h t m r p                    20, 2 '2 , ', , 2 l n p m nn zm q ln m q f t f C I q J                         ', , , , ', , , 1 qn p m q n p m q n p q n p m q f t N f t N l                              ', , , , ', , , 1 qn p m q n p m q n p q n p m q f t N f t N l                      (38) Khi đó:           0, , , 0* , n p n p n p H f t f t f t fp eE t eE p h t m r p                           ', 2 2 '2 , , , ', , 2 l qn p m nn zm q m q n p ln m q C I q J N f t f t                       ', , , ', , ,n p q n p m q n p q n p m ql l                         (39) Ta tìm hàm phân bố hạt tải được tìm dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần đối xứng và phản đối xứng:  0 1, ( ) ,n pf t f f p t   (40)  Xét trong trường hợp khí điện tử không suy biến ta có: 24   ,*0 0, exp n po n p B f f n k T               (41)          *01 10 1 1 , , i t i t n p f f p t p t f p f p e f p e                 (42) Trong đó:       01 ,n p f f p p t         (43)     010 ,n p f f p p t         (44)        , ,, * 0 n p n pn p i t i tt e e           (45) 2.2. Biểu thức mật độ dòng toàn phần  Đặt (40), (43) , (44) và (45) vào vế trái của (39), ta được:             1, , 040 * , , n p n p H f p tf t f tp VT eE t eE p h t m r p                     Hay:       2 40 2, ,* *n p n p e e VT p p m m                                      1, , 0* , , n p n p H f p tf t f tp eE t eE p h t m r p                         (46) + Số hạng thứ nhất của (46) có:    , 0 , , n p r n p n p f t f F E f t T F r T                  Với ,T F  là gradient của thế hóa và nhiệt độ. Do ta xét hệ đồng nhất nên: 0T F    . Suy ra:  1 0sh  (47)  Số hạng thứ hai của (46) có ba thành phần:       , 2 , 1 0 0, , n p n p n p f te TP p E Q m p                      (48)       , 2 , 2 , ( ), n p n p i t i t n p f te TP p E t Q e e m p                        (49) 25       , , 3 , , , n p n p H n p f te TP p p h t m p                       (50) Để tìm 3TP ta áp dụng:      a a a       ta thu được:          * 03 , , i t H HTP R R h t R h t e                           2 20 , , * ,i t i t i tH H HR h t e R h t e R h t e                     (51) Trong đó:             , , 0 10 , 1 , n p n p n p n p e R p f p m e R p f p m                               (với 1 ) (52)  Số hạng thứ ba của (46):     , 0, 3 , n p n p n p f t fe sh p m                    , * 10 1 1 1 ( ) n p i t i te p f p f p e f p e m                   *0 1 ( ) i t i tR R e R e            (53)  Xét vế phải (39) trong gần đúng tuyến tính của cường độ bức xạ laser:  39 0 1l l VP VP VP     Với hàm Bessel như sau: 2 2 2 2 2 2 0 1 1 1 1 1 ; 1 ; 4 2 4 lJ J J                                                           ', 2 2 '39 2 , , , ', , 2 l qn p m nn zm q m q n p ln m q VP C I q J N f t f t                       ', , , ', , ,n p q n p m q n p q n p m q                      26       ', 2 2 , ', , , 2 4 qn p n p n p q n p m q f t f t                            ', , , ', , ,2 n p q n p m q n p q n p m q                         ', , , ', , ,n p q n p m q n p q n p m q                          ', , ,n p q n p m q            (54) Ta có :           ' , 0 0, , 0, , ,, , , n p n p n p n p n p n pn p q n p n p f f f t f p t f f q                            (55)  Thay (55) vào (54), nhân cả hai vế của (54) với  ,* n p e p m            , lấy tổng theo ,n p , rồi sử dụng các biểu thức từ (40) đến (45) ta được :  * , , n p n p e VP p m                             * *0 0 i t i t i t i tR R e R e S S e S e                        (56) Trong đó:     222 0 '* , , , , ', , ( ) 2 m nn zm q m q n p n n m q p e S C I q N m                          2 20 0, , 0 0', , ', , . n p q n p n p q n p n p q n p f f p p q p                                        ', , , ', , ,2 2n p q n p m q n p q n p m q                       ', , , ', , ,n p q n p m q n p q n p m q                           ', , , ', , ,n p q n p m q n p q n p m q                         (57) 27     222 '* , , , , ', , ( ) 2 m nn zm q m q n p n n m q p e S C I q N m                          2 20 0, , ', , ', , . n p q n p n p q n p n p q n p f f p p q p                                        ', , , ', , ,2 2n p q n p m q n p q n p m q                       ', , , ', , ,n p q n p m q n p q n p m q                           ', , , ', , ,n p q n p m q n p q n p m q                         (58)  Kết hợp tất cả những biến đổi của vế phải và vế trái của (39) ở trên ta thu được:          * 0 i t i t i t i ti R e i R e Q Q e e                      *0 , =i t i t i t i tH R R e R e h e e                         * *0 0 ( ) i t i t i t i tR R e R e S S e S e                  (59)  Đồng nhất hệ số các số hạng chứa i te  ta được :            0 1 ,Hi R Q S R h t                     (60)  Đồng nhất hệ số các số hạng chứa i te  ta được :            * * 0 1 ,Hi R Q S R h t                    (61)  Đồng nhất hệ số các số hạng không phụ thuộc thời gian ta được :              *0 0 0 ,H R Q S R R h t                (62) + Từ (60), (61) và (62) suy ra : 28                  * 2 2 Re Re Re 1 1 S R R Q i                          Do đó :        0 0 0R Q S                     2 2 2 2 ,2 , 2 Re 1 1 H H S h Q h i                          (63) *Xét trường hợp tán xạ điện tử – phonon âm:  Hằng số tương tác: 2 2 2 , 2 zm q O s C q q V V     (với V0 = 1) + Tính :       , 2 , 0 0 , , n p n p n p f te Q p E m p                   Hay :       * , 2 2 2 0 0 0 2 , , n p Fn p n p n e E Q p m              (64) + Chuyển tổng thành tích phân trong hệ tọa độ trụ : 2 2 0 1 2p d p dp            Ta được:       * 22 2 2 0 0 0 2 2 , , 0 0 1 (2 ) n Fn p n p n e E Q d p p dp m                    Ta thực