Luận văn Ảnh hưởng của tán sắc, biến điệu tần số đối với xung secant hyperbolic trong thông tin quang sợi

chirp tần số lên xung secant hyperbolic. Phương pháp tán xạ ngược cho phép chúng tôi khảo sát tương tác của hai soliton cùng lan truyền trong sợi phụ thuộc vào các thông số đặc trưng là khoảng phân cách ban đầu, mối quan hệ về pha và biên độ. Cuối cùng là những khảo sát ban đầu về tương tác của ba soliton trong sợi quang. 4 CHƯƠNG I: PHƯƠNG TRÌNH SÓNG VÀ SỰ LAN TRUYỀN XUNG SÁNG TRONG SỢI QUANG Khi ánh sáng hay trường điện từ bất kỳ truyền trong môi trường dẫn quang (sợi quang), nó sẽ chịu tác dụng của nhiều hiệu ứng khác nhau, đặc biệt hiệu ứng phi tuyến đối với xung ngắn và cực ngắn. 1.1 Hệ phương trình Maxwell Giống như tất cả các trường điện từ, ánhsáng với bản chất là một sóngđiện từ nên sựlan truyềncủa nó bị chi phối bởihệphươngtrìnhMaxwell. Trong hệ thống đơn vị quốc tế [2] hệ phương trìnhMaxwell códạng: ∇ × = − (1.1.1) ∇ × = + (1.1.2) ∇. = (1.1.3) ∇. = 0 (1.1.4) 1.2 Các mode sợi 1.2.1 Phương trình trị riêng Phương trình trị riêng một cách trực tiếp: ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( (1.2.10) 1.2.2 Điều kiện đơn mode Số lượng các mode phát ra bởi một sợi quang cụ thể ở một bước sóng nhất định phụ thuộc vào các thông số của nó, cụ thể là bán kính lõi a và chỉ số khác biệt giữa lõi, sợi n1 - n2. Định nghĩa một tần số chuẩn hóa V bằng mối liên hệ: = = ( − ) ⁄ (1.2.12) Trong đó κc thu được từ phương trình (2.2.11) bằng cách thiết lập γ = 0. 1.2.3 Các đặc trưng của mode cơ bản Sự phân bố trường E(r, t) tương ứng với mode HE11có ba thành phần khác 0 Eρ, ∅ và Ez, hoặc trong hệ tọa độ Đề-các là Ex, Ey, và Ez. Trong số này, một trong hai thành phần hoặc Ex,hoặc Ey chiếm ưu thế. Mode sợi cơ bản thường được xấp xỉ bởi một phân bố Gaussian có dạng: ( , ) ≈ [− ( + ) ⁄ ] (1.2.16) 5 1.3 Phương trình lan truyền xung sáng Khi xung sáng lan truyền trong một sợi quang, cả hai hiệu ứng tán sắc và phi tuyến đều ảnh hưởng đến hình dạng, phổ của xung. dạng ∇ − = + , (1.3.1) 1.3.1 Sự lan truyền xung phi tuyến Khi một xung ngắn lan truyền trong môi trường phi tuyến, trong trường hợp tính đến cả hao phí trên sợi quang phương trình lan truyền xung có dạng: + + + = | | . (1.3.27) 1.3.2 Các hiệu ứng phi tuyến bậc cao Đối với xung cực ngắn khi lan truyền trong môi trường phi tuyến còn chịu ảnh hưởng bởi các phi tuyến bậc cao. Phương trình cho xung lan truyền dạng: + 2 + + 2 − 6 = 1 + ( , )∫ ( )| ( , − )| ′ (1.3.33) Trong đó γ là tham số phi tuyến được xác định trong phương trình (1.3.28). 1.4 Kết luận Trong chương này chúng ta đã cùng nhau đi từ bài toán tổng quát nhất của trường điện từ trải qua những biến đổi toán học với những điều kiện cụ thể trong sợi quang. Với bài toán cho mode sợi ta đã thu được một phương trình trị riêng cho sự phát mode trong sợi quang mà mỗi nghiệm của nó tương ứng cho một mode cụ thể được phát đi. Sự phân bố trường của một mode sẽ quyết định sợi là tuyến tính theo phương nào. Lý thuyết cho quá trình lan truyền xung sáng và các hiệu ứng phi tuyến bậc cao xuất hiện trong sợi như: tán sắc vận tốc nhóm, tán sắc sợi quang, tán sắc mode,ảnh hưởng tới hiệu năng truyền xung; tự dựng xung hay dịch tần Raman cảm ứng tác động lên quá trình truyền xung sáng thông qua phương trình Schrodinger phi tuyến tổng quát. Phương trình Schrodinger tổng quát sẽ là công cụ để khảo sát rất nhiều kết quả trong các chương sau. 6 CHƯƠNG II: LÝ THUYẾT VỀ TÁN SẮC VẬN TỐC NHÓM VÀ TỰ BIẾN ĐIỆU PHA - MỐI QUAN HỆ CỦA CHÚNG TRONG BÀI TOÁN SOLITON Tán sắc vận tốc nhóm là hiện tượng vận tốc nhóm của ánh sáng truyền trong một môi trường phụ thuộc vào tần số hoặc bước sóng của ánh sáng đó, do vậy các bước sóng khác nhau sẽ di chuyển với vận tốc khác nhau kết quả là làm cho xung bị biến dạng trong quá trình tuyền trong sợi. Tự biến điệu pha là kết quả của sự phụ thuộc cường độ vào chiết suất tạo lên chirp trên xung trong quá trình truyền sóng. 2.1 Lý thuyết về tán sắc vận tốc nhóm Phương trình Schrodinger phi tuyến (NLS) cho sự lan truyền các xung quang trong sợi đơn mode. = − + − | | (2.1.1) Tùy thuộc vào độ lớn tương đối của LD, LNL, và chiều dài sợi L, xung có thể tiến triển khá khác nhau: = | | , = (2.1.5) Khi chiều dài sợi L thỏa mãn L ≪ và L ≪ , không có hiện tượng tán sắc cũng không bị ảnh hưởng phi tuyến, hoặc cả hai đều không đóng một vai trò quan trọng trong quá trình truyền xung. Khi chiều dài sợi mà L ≪ nhưng L ~ . Sự phát triển xung sau đó được chi phối bởi GVD, và các hiệu ứng phi tuyến đóng một vai trò tương đối nhỏ. Khi chiều dài sợi L mà L ≪ và L~ . Trong trường hợp đó, quá trình tiến triển xung trong sợi được điều chỉnh bởi SPM dẫn đến sự mở rộng phổ của xung. Khi chiều dài sợi L dài hơn hoặc tương đương với cả LD và LNL, sự tán sắc và phi tuyến tương tác với nhau khi xung lan truyền dọc theo sợi. Sự tương tác của GVD và SPM có thể dẫn đến một biến đổi khác biệt so với khi chỉ có ảnh hưởng của GVD hoặc SPM. Trong chế độ tán sắc dị thường (β2<0), các sợi quang có thể tạo thành soliton. Trong chế độ tán sắc thông thường (β2> 0), các hiệu ứng GVD và SPM có thể được sử dụng nén xung 2.1.2 Sự mở rộng xung do tán sắc Ảnh hưởng của GVD lên xung quang lan truyền trong môi trường tán sắc tuyến tính [8] được nghiên cứu bằng cách thiết lập γ = 0 trong phương trình (2.1.1). 7 U(z,T)= ∫ (0, ) − (2.1.12) Trong đó (0, ) là biến đổi Fourier của trường ánh sáng tới tại z = 0 và ta tìm được khi sử dụng (0, ) = ∫ (0, ) exp( ) (2.1.13) 2.1.2.1 Xung Gauss Trong trường hợp xung Gauss có chirp tuyến tính, trường tới có thể biểu diễn dưới dạng: U(0,T)=exp − (2.1.14) Bằng cách sử dụng phương trình (2.1.12) - (2.1.14) và lấy tích phân, biên độ tại bất kỳ điểm z nào dọc theo sợi được cho bởi: U(z,T)= ( ) ⁄ − ( (2.1.16) Sự tán sắc gây ra mở rộng xung có thể được giải thích rằng các thành phần tần số khác nhau của một xung di chuyển ở tốc độ hơi khác nhau dọc theo sợi vì GVD. Cụ thể hơn, các thành phần màu đỏ đi nhanh hơn so với các thành phần màu xanh trong chế độ tán sắc thường > 0, trong khi đó điều ngược lại xảy ra trong chế độ tán sắc dị thường < 0. Xung có thể duy trì độ rộng của nó chỉ khi tất cả các thành phần phổ đến cùng nhau. Bất cứ sự trễ nào xuất hiện trong các thành phần phổ khác nhau đều dẫn đến mở rộng xung. 2.1.2.2 Xung Gauss có chirp Trong trường hợp xung Gauss có chirp tuyến tính, xung đầu vào có thể được viết thành [so sánh với phương trình (2.1.14)]: U(0,T)=exp − ( ) (2.1.21) Bằng cách thay phương (2.1.21) vào phương trình (2.1.13), (0, ) được viết: (0, ) = ⁄ − ( ) (2.1.22) Sự thu hẹp ban đầu của xung đối với trường hợp < 0 có thể được hiểu trong phương trình (2.1.20), trong đó cho thấy sự ảnh hưởng của chirp tán sắc gây ra trên một xung Gauss không có chirp ban đầu. Khi xung ban đầu có chirp và điều kiện 8 < 0được thỏa mãn, chirp tán sắc gây ra theo chiều ngược lại với các chirp ban đầu. Kết quả là lưới chirp giảm, dẫn đến sự thu hẹp xung. Độ rộng xung tối thiểu xảy ra tại một điểm mà ở đó hai chirp triệt tiêu lẫn nhau. Với sự gia tăng hơn nữa của khoảng cách truyền, chirp tán sắc được tạo ra bắt đầu chiếm ưu thế so với chirp ban đầu và xung bắt đầu mở rộng. Lưới chirp như là hàm của z có thể thu được từ phương trình (2.1.20) bằng cách sử dụng phương trình (2.1.18) và (2.1.20). 2.1.2.3 Xung Secant-Hyperbolic Mặc dù xung phát ra từ nhiều loại laser có thể được xấp xỉ bởi một dạng hàm Gauss nhưng chúng ta cũng cần xem xét những dạng xung khác. Đặc biệt biệt là dạng xung Secnat hyperbolic xuất hiện trong tự nhiên được biết đến là các soliton quang học và xung phát ra từ một laser khóa mode. Các trường quang học của các xung như vậy thường có dạng (0, ) = ℎ − (2.1.28) 2.1.2.4 Xung super Gauss Phương trình tổng quát dạng của xung Super Gauss: (0, ) = − (2.1.30) 2.2 Lý thuyết tự biến điệu pha - sự mở rộng xung do SPM Một sự đơn giản hóa hơn nữa nếu các tác động của GVD lên SPM là không đáng kể để số hạng β2 trong phương trình (1.3.41) có thể đặt bằng 0. 2.2.1 Sự dịch pha phi tuyến Khi biên độ V không đổi dọc theo chiều dài sợi L, phương trình pha có thể lấy tích phân và phân tích để có được nghiệm chung: ( , ) = (0, )exp [ ( , )] (2.2.4) Trong đó U (0, T) là biên độ trường tại z = 0 và ( , ) = | (0, )| ( ſſ )⁄ (2.2.5) Phương trình (2.2.4) cho thấy SPM tạo ra một sự dịch pha phụ thuộc vào cường độ nhưng hình dạng xung không bị ảnh hưởng. Sự dịch pha phi tuyến trong phương trình (2.2.5) tăng theo chiều dài sợi L. Việc mở rộng phổ SPM gây ra là kết quả của sự phụ thuộc thời gian của . 9 2.2.2 Những thay đổi trong phổ xung Nhìn chung, phổ không chỉ phụ thuộc vào hình dạng xung mà còn chirp ban đầu đối với các xung. Các yếu tố phổ mở rộng cho một xung Gauss có thể viết dưới dạng [6] ∆ ∆ = 1 + √ ⁄ (2.2.16) Trong đó ∆ là độ rộng phổ RMS ban đầu của xung. 2.2.3 Ảnh hưởng của dạng xung và chirp ban đầu Một chirp tần số ban đầu cũng có thể dẫn đến những thay đổi mạnh mẽ trong sự mở rộng phổ SPM. Một chirp dương làm tăng số lượng đỉnh phổ trong khi điều ngược lại xảy ra trong trường hợp của một chirp âm. Do đó, nó cho biết thêm về chirp ban đầu cho C> 0, kết quả trong một cấu trúc dao động tăng cường. Trong trường hợp của C<0, sự đóng góp của hai chirp là ngược dấu, ngoại trừ ở các cạnh xung. 2.3. Ảnh hưởng của tán sắc vận tốc nhóm và tự biến điệu pha đến sự tiến triển của xung Khi xung trở nên ngắn hơn và chiều dài tán sắc tương đương với chiều dài sợi, ta cần xem xét ảnh hưởng kết hợp của GVD và SPM [8].Các tính năng mới phát sinh từ sự tương tác giữa GVD và SPM. Phương trình Schrodinger (NLS) phi tuyến (2.1.41). Các phương trình sau có thể được viết trong một dạng chuẩn hóa như = ( ) − | | (2.3.1) Tán sắc chiếm ưu thế với N>1.Đối với các giá trị của N~1 thì cả hai SPM và GVD đều đóng vai trò quan trọng trong quá trình tiến hóa xung.Trong phương trình (2.2.1), ( ) = ±1 tùy thuộc vào việc GVD là tán sắc thường ( > 0) hoặc dị thường ( < 0). Các diễn biến khá khác biệt so với khi chỉ có một trong hai GVD hoặc SPM chiếm ưu thế. Đặc biệt, xung mở rộng nhanh chóng hơn nhiều so với trường hợp N=0 (không có SPM). Điều này có thể được hiểu rằng SPM tạo ra thành phần tần số mới được dịch chuyển về phía đỏ gần mép đầu và dịch chuyển về phía xanh ở gần đuôi của xung.Các thành phần màu đỏ đi nhanh hơn các thành phần màu xanh trong chế 10 độ tán sắc thường, SPM dẫn đến một tỷ lệ cao của xung mở rộng so với khi chỉ có GVD. Điều này sẽ ảnh hưởng đến sự mở rộng phổ như là dịch pha do SPM gây ra. sẽ xảy ra ít hơn nếu hình dạng xung là không thay đổi. Thật vậy, nếu xung đầu vào được chọn là một xung "sech" [phương trình (2.1.28) với C = 0], cả hình dạng và phổ của nó vẫn không thay đổi trong quá trình truyền. Khi xung đầu vào lệch dạng xung “sech”, sự kết hợp của GVD và SPM ảnh hưởng đến xung để nó tiến triển tạo thành một xung “sech”. 2.4. Kết luận Qua chương II chúng ta thấy rằng: Sự tồn tại của soliton là kết quả của sự cân bằng giữa tán sắc vận tốc nhóm (GVD) và tự biến điệu pha (SPM). Khi được khảo sát riêng biệt, cả GVD và SPM đều làm hạn chế chất lượng các hệ thống thông tin quang sợi. Cụ thể, GVD làm mở rộng xung quang trong quá trình truyền do các tia đỏ đi chậm hơn các tia tím dưới ảnh hưởng của GVD. Còn SPM sẽ tạo một chirp trên xung khi xung lan truyền mặc dù xung ban đầu không có chirp. Đặc biệt hơn, một xung có chirp có thể được nén trong suốt quá trình truyền xung khi tham số GVD và tham số chirp C ngược dấu để tích C là âm. SPM không chỉ là cường độ phụ thuộc vào chiết suất mà còn phụ thuộc vào công suất nên dưới những điều kiện xác định SPM và GVD có thể kết hợp để chirp do SPM có thể triệt tiêu sự mở rộng xung do GVD và xung không biến dạng trong quá trình truyền dưới dạng soliton. 11 CHƯƠNG III: KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG CỦA TÁN SẮC VẬN TỐC NHÓM VÀ CHIRP TẦN SỐ LÊN XUNG SÓNG DẠNG SECANT HYPERBOLIC Lịch sử của soliton, bắt đầu vào năm 1834, Scott Russell quan sát thấy một vùng nước trong một kênh không bị biến dạng khi truyền qua vài km.Sóng như vậy sau này được gọi là sóng đơn độc. Tuy nhiên, thuộc tính của chúng không được hiểu hoàn toàn cho đến khi phương pháp tán xạ ngược được phát triển [3]. Thuật ngữ soliton được đưa ra vào năm 1965 để phản ánh những thuộc tính giống như hạt của những sóng đơn độc mà chúng vẫn còn nguyên vẹn ngay cả sau khi va chạm lẫn nhau [8]. Trong sự phát triển của sợi quang học, việc sử dụng các soliton cho truyền thông lần đầu tiên được đề xuất vào năm 1973.Năm 1999, một số thử nghiệm việc sử dụng các soliton sợi đã được hoàn thành. 3.1 Các soliton sợi Nếu suy hao của sợi quang được bỏ qua, phương trình này có dạng: = − | | (3.1.1) Chuẩn hóa phương trình (3.1.1) bằng cách đưa ra ba biến thứ nguyên = , = , = (3.1.2) Và viết chúng dưới dạng: = ( ) − | | (3.1.3) Trong đó P0 là công suất đỉnh, T0 là chiều rộng của xung tới, và tham số N là = = | | (3.1.4) 3.1.2 Soliton cơ bản Các soliton bậc nhất (N = 1) tương ứng với trường hợp của một trị riêng duy nhất. Nó được gọi là soliton cơ bản bởi vì dạng của nó không thay đổi trên đường truyền. Sự phân bố trường thu được từ phương trình (3.1.9) - (3.1.12) sau khi thiết lập j = k = 1. Chú ý rằng ψ21 = λ 1 (1 + |λ|4 / η 2 )-1, thay thế nó vào phương trình (3.1.9), chúng ta có được: ( , ) = −2( ∗) (1 = | | )⁄ (3.1.13) Sau khi sử dụng phương trình (3.1.10) cho λ 1 cùng với ζ1 = (δ + iη)/2 và đưa ra tham số τs và s thông qua -c1 / η = exp (ητs i s), chúng ta có được những dạng 12 chung của soliton cơ bản: ( , ) = sech[ ( − + )] exp [ ( − ) 2⁄ − + (3.1.14) Các hình thức kinh điển của soliton cơ bản thu được bằng cách chọn u(0,0) =1 để η = 1. Với lựa chọn này, phương trình (3.1.16) trở thành: ( , ) = sech( ) exp ( 2)⁄ (3.1.17) 3.2 Khảo sát ảnh hưởng của tham số tán sắc và chirp tần số lên xung sáng dạng secant hyperbolic 3.2.1 Ảnh hưởng của tham số tán sắc (a) = ; = ; = − . (b) = ; = ; = − . (c ) = ; = ; = − . (d) = ; = ; = − . (e) = ; = ; = − . (f) = ; = ; = − . Hình 3.1: Ảnh hưởng của tham số tán sắc lên sự lan truyền xung sáng trong sợi quang khi tham số chirp bằng 0 tại khoảng cách truyền chuẩn hóa nhỏ. Nhận xét: Với giá trị độ lớn của tham số tán sắc ban đầu còn nhỏ thì xung gần như không thay đổi hình dạng trong quá trình truyền đi. Khi giá trị độ lớn này tăng lên, ảnh hưởng của nó lên sự lan truyền xung sáng càng rõ rệt. Khi có giá trị - 0.1(ps2/km)xung lan truyền chưa bị thay đổi hình dạng nhưng cường độ xung bị thay đổi. Hình dạng xung thay đổi khi tham số tán sắc là - 0.125(ps2/km)và càng rõ ràng hơn khi giá trị này càng lớn. 13 (a) = 12; = 0; = −0.25 (b) = 12; = 0; = −0.5 (c) = 12; = 0; = −0.75 (d) = 12; = 0; = −1 (e) = 12; = 0; = −1.5 (f) = 12; = 0; = −2 Hình 3.2: Ảnh hưởng của tham số tán sắc lên sự lan truyền xung sáng trong sợi quang khi tham số chirp bằng 0. Nhận xét: Với giá trị độ lớn tăng dần của tham số tán sắc thì ảnh hưởng của nó lên sự lan truyền xung sáng càng rõ rệt. Khi có giá trị - 0.2(ps2/km) xung lan truyền bị thay đổi hình dạng nhưng chưa có sự tách xung, Với giá trị lớn hơn xung bị tách thành hai, rồi ba xung sau đó có xu hướng nhập vào làm một, quá trình này có xu hướng diễn ra theo chu kỳ. 3.2.2 Ảnh hưởng của tham số chirp C (a) = 12; = 0; = −0.5 (b) = 12; = 0.25; = −0.5 (c) = 12; = 0.5; = −0.5 (d) = 12; = 0.7; = −0.5 (e) = ; = . ; =− . (f) = ; = ; = − . Hình 3.4: Ảnh hưởng của tham số chirp lên sự lan truyền xung sáng trong sợi quang Nhận xét: Trong khoảng giá trị của tham số chirp được khảo sát thì ở trường hợp nào cũng xuất hiện hiện tượng xung bị tách thành hai, rồi sau đó có xu hướng nhập vào làm một, quá trình này cũng có xu hướng diễn ra theo chu kỳ. Theo sự tăng 14 dần của giá trị tham số chirp thì chu kỳ này càng ngắn lại. 3.2.3 Ảnh hưởng của chiều dài tán sắc LD (a) = 1; = 1; = −1 (b) = 2; = 1; = −1 (c) = 3; = 1; = −1 Hình 3.5: Ảnh hưởng của tham số chiều dài tán sắc lên hình dạng xung sech trong quá trình truyền trong sợi quang Nhận xét: Khi chiều dài tán sắc càng lớn khoảng cách truyền đi mà xung duy trì được hình dạng ban đầu trước khi bị biến đổi càng dài hơn. 3.2.4 Ảnh hưởng độ rộng xung ban đầu T0 (a) = 0.2; = 1. (b) = 0.5; = 1. (c) = 1; C=1. (d) = 1.5; = 1. (e) = ; = . (f) = . ; = . Hình 3.6: Ảnh hưởng của tham số độ rộng xung ban đầu lên hình dạng xung sech trong quá trình truyền trong sợi quang Nhận xét: Khi độ rộng xung ban đầu quá nhỏ xung rất nhanh bị triệt tiêu theo khoảng cách truyền, khi giá trị độ rộng xung càng lớn xung càng nhanh bị biến dạng và mức độ biến dạng càng nhiều từ không thay đổi dạng xung chỉ thay đổi cường độ đến cả dạng xung và cường độ xung đều thay đổi. 3.3 Tương tác soliton 3.3.1 Phương trình Schrodinger phi tuyến 15 Một xung quang với tiến triển xung q(z,t) lan truyền trong sợi quang có chiết suất thay đổi theo cường độ xung có thể được mô tả bởi phương trình:(Kodama và Hasegawa, 1982) [5]-[6] Khi bỏ qua sự mất mát bởi các hiệu ứng tán sắc và phi tuyến bậc cao phương trình (3.3.1) có thể mô tả bằng phương trình Schroding phi tuyến: ± + | | = 0 (3.3.2) Phương trình này có một nghiệm soliton đơn dạng: (ȥ, ) = sech[ ( − ȥ)] exp [ ( − ) ȥ 2⁄ − ] (3.3.3) 3.3.2 Tương tác hai soliton Sự tương tác giữa hai soliton là nghiệm của NLS tương ứng với hai trị riêng : (ɀ, ) = | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] (3.3.4) Trong đó: , = ( , , ɀ− , +( ) , (3.3.5a) = − + ( − ) (3.3.5b) , = , + ɀ , +( ) , (3.3.5c) , exp , = ± , − (∆ ) ± ∆ (∆ ) (3.3.5d) = = ∆ (3.3.5e) , = , 2⁄ + , 2⁄ ∆ = − = + (3.3.5f) Khi hai soliton tương tác cùng pha ta đặt = 0, = = 0 phương trình (3.3.4) sẽ được đơn giản hóa hơn nữa. Chúng ta xấp xỉ sóng đầu vào ban đầu như phương trình (3.3.6), và đặt ( ) = 0, ( ) = 0 . Phương trình lan truyền của hai soliton trong sợi quang là: ( , ɀ) = ( ℎ ( + ) exp( ɀ 2⁄ ) + ℎ ( + ) exp( ɀ 2⁄ )) (3.3.7) Trong đó: = ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] (3.3.7a) , = , ( ± ) (3.3.7b) =( )ɀ (3.3.7c) , = 1 + ( ) ± sech ( ) (3.3.8) Chu kỳ tương tác này tính theo công thức: 16 ɀ = ( ) ( ) ( ) (3.3.9) a) = 0; = 0; = 1, = 1.2 (b) = 0; = 0; = 1, = 2.2 (c) = 0; = 0; =1, = 3.2 (d) = 0; = 0; = 1, = 4.2 (e) = 0; = 0; = 1, = 5.2 (f) = 0; = 0; =1, = 5.7 (g) = 0; = 0; = 1, = 6.2 (h) = 0; = 0; = 1, = 8 Hình 3.9: Tương tác hai soliton phụ thuộc khoảng phân cách ban đầu Hình 3.10: Sự phụ thuộc chu kỳ tương tác vào khoảng phân cách ban đầu Nhận xét: - Từ các kết quả khảo sát trên chúng tôi thấy rằng theo khoảng cách truyền, hai soliton bị hút lại gần nhau, đến một khoảng cách nhất định chúng nhập lại làm một, rồi lịa tách ra xa và sau đó giữ nguyên hình dạng ban đầu. Hiện tượng này diễn ra tuần hoàn. - Khoảng phân cách ban đầu càng tăng thì sau khoảng cách truyền càng xa hai soliton mới va chạm và nhập làm một, tức là khoảng cách hoạt động của hệ truyền thông tin soliton càng lớn. 3.3.2.1 Tương tác của hai soliton khác pha – khảo sát tương tác của hai soliton phụ thuộc vào độ lệch pha ban đầu Để quan sát sự tiến triển của hai soliton, chúng ta có thể xấp xỉ phương trình (3.3.4) bằng cách thiết lập ( ) , = 0, ( ) = và .( ) = Chia cả tử và mẫu phương trình (3.3.4) cho ℎ( ) ℎ ( ) và sắp xếp lại ta được: 17 (ɀ, ) = ( sech exp ( ( + ∆ )) + ( sech exp ( ( + ∆ ))) (3.3.10) Trong đó: = [( + ∆ )( + ∆ − 4 )] ⁄ + + ∆ ) − 2 (tanh( ) tanh( ) − sech( ) sech( ) ) (3.3.11a) , = ( , , ) ɀ− , + , (3.3.11b) = − + ( − (3.3.11c) , = , ( + ɀ , (3.3.11d) exp( ∆ ) = + tanh ( ) (3.3.11e) exp( ∆ ) = + tanh ( ) (3.3.11f) (ɀ → ∞, ) = sech( − ∆ ) exp ( + ∆ ) + sech( −∆ ) exp ( + ∆ ) (3.3.12) ∆ = ± ∆ ∆ ∆ ɀ → ±∞ (3.3.13a) ∆ = ± = ± tan ∆ ∆ (3.3.13b) ∆ = ± = ± tan ∆ ∆ ∆ |ɀ| → ±∞ (3.3.13c) ∆ = ( − ) = ( + ) ∆ = ( − ) (3.3.13d) , = 1 + ( ) ± cos ( 2)sech ( )⁄ (3.3.14) , = [ ( ) ( ) ± ( ⁄ ) ( ) 1 − ( ) (3.3.15) ∆ = + ɀ ɀ (3.3.16) = 2 exp(− ) cos( 2⁄ ) == 2 exp(− ) sin ( 2⁄ ) (3.3.17) (a) = 0; = 2.2 (b) = /10; = 2.2 (c) = /8; = 2.2 (d) = /6; = 2.2 (e) = /4; = 2.2 (f) = /2; = 2.2 Hình 3.11: Tương tác hai soliton cùng biên độ, độ phân cách ban đầu phụ thuộc theo độ lệch pha 18 Nhận xét: - Ở những độ lệch pha nhỏ, hai soliton hút nhau đến khoảng cách nhất định thì va chạm, nhập làm một sau đó tách ra theo chu kỳ, theo chiều tăng của độ lệch pha lực hút của hai soliton giảm đến một tỉ lệ đủ lớn hai soliton không va chạm mà đẩy nhau theo chiều dài lan truyền xung. Độ lệch pha càng tăng thì hai soliton phân tách càng nhanh và độ dao động cũng nhỏ hơn. Điều này cho thấy, tăng độ lệch pha cũng là một biện pháp làm giảm tương tác của hai soliton trong sợi quang. (a) = 0; = 1.2 (b) = 0; = 2.2 ( ) = 0; = 3.2 Hình 3.12: Tương tác hai soliton cùng biên độ, cùng pha ban đầu phụ thuộc độ phân tách ban đầu - Như một khảo sát lại nhưng với độ lệch pha nhỏ của hai soliton theo độ phân tách ban đầu, hình 3.12 cho thấy khi độ phân tách ban đầu càng lớn thì lực hút hai soliton càng nhỏ, chúng đi được quãng đường càng dài trước khi va chạm. Hình 3.13: Sự phụ thuộc chu kỳ tương tác vào độ lệch pha tại một vài giá trị khoảng phân cách ban đầu - Hình 3.13 minh họa thêm cho nhận xét ở hình 3.12 và hình 3.13 rằng độ lệch pha và khoảng phân tách ban đầu càng tăng thì hai soliton càng ít tương tác bằng cách vẽ chu kỳ lặp lại theo độ lệch pha tại một vài giá trị của độ phân tách ban đầu. Hình 3.14: Độ tách xung của hai soliton tại = 2.2 pw theo khoảng cách truyền z tại một vài giá trị độ lệch pha 19 Nhận xét: Hai soliton liên kết (trường hợp = 0 – đường màu đỏ) có thể tránh được nếu hai xung ban đầu có biên độ lệch pha đủ lớn. Độ lệch pha càng tăng thì càng tốt, như trong hình 3.14 trường hợp = /4 có độ liên kết kém hơn khi = /6 , tức là hai xung sẽ tương tác với nhau yếu hơn khi càng lớn. 3.3.2.3 Tương tác của hai soliton khác biên độ – khảo sát tương tác của hai soliton phụ thuộc vào tỉ lệ biên độ ban đầu Khi hai soliton khác biên độ cùng truyền trong sợi quang thì điều kiện dạng xung đầu vào là: (0, ) = sech( − ) + sech ( + ) (3.3.18) , = + ⁄ ( ⁄ ) + ⁄ − 1 sech ( ) ± + sech ( ) (3.3.19) = − 1 − ( ) > 2, > 1 (3.3.20) ∆ = (exp ( ⁄ ) + [ 2 ɀ− 1] (3.3.21) = (4exp (− ⁄ ) + ⁄ = (3.3.22) (a) = 0; = 1.025, = 2.2 (b) = 0; = 1.05, = 2.2 (c) = 0; = 1.1, = 2.2 (d) = 0; = 1.15, = 2. (e) = 0; = 1.2, = 2.2 (f) = 0; = 1.25, = 2 (g) = 0; = 1.3, = 2.2 (h) = 0; = 1.35, = 2 Hình 3.15: Tương tác của hai soliton phụ thuộc vào tỉ lệ biên độ ban đầu Nhận xét: - Ở cùng một giá trị của khoảng phân cách ban đầu, tại những tỉ lệ biên độ nhỏ như trong hình 3.15 (a,b,c) theo khoảng cách truyền xung, hai soliton bị hút lại gần nhau đến một khoảng cách nhất định chúng nhập lại làm một sau đó lại tách ra. Nhưng với những tỉ lệ biên độ lớn hơn hai soliton chỉ bị hút lại gần nhau mà không bị nhập vào làm một, điều này cho thấy tương tác của hai soliton giảm khi tỉ lệ biên độ của hai soliton càng tăng. 20 Kết quả khảo sát độ đối xứng và độ tách xung∆ của hai soliton qua tham số theo khoảng phân cách ban đầu tại các giá trị tỉ lệ biên độ khác nhau cho ta kết quả là: Hình 3.18: Khảo sát độ đối xứng của hai soliton theo khoảng phân cách ban đầu tại các tỉ lệ biên độ Hình 3.19: Độ tách xung của hai soliton tại = 3.2 pw theo khoảng cách truyền z Nhận xét: Chúng ta thấy rằng tăng theo chiều tăng của khoảng phân cách ban đầu và với cùng một giá trị của thì độ không đối xứng tăng khi tỉ lệ biên độ tăng. Nghĩa là hai soliton càng không đối xứng khi khoảng phân cách ban đầu và tỉ lệ biên độ tăng lên. Hai soliton liên kết (trường hợp r=1 – đường màu đỏ) có thể tránh được nếu hai xung ban đầu có biên độ khác nhau. Tỉ lệ biên độ càng tăng thì càng tốt, như trong hình 3.19 trường hợp r=1.2 đường màu blue có độ liên kết kém hơn khi r=1.1, tức là hai xung sẽ tương tác với nhau yếu hơn khi r càng lớn 3.3.3 Tương tác ba soliton Bài toán cho tương tác của ba soliton cũng áp dụng phương trình (3.3.2) được giải bằng phương pháp tán xạ ngược tương tự như cho hai soliton. Bằng công cụ Matlab chúng tôi bước đầu khảo sát một vài trường hợp tương tác của ba soliton cho kết quả như sau [9]: 3.3.3.1 Tương tác ba soliton phụ thuộc vào khoảng phân cách ban đầu Trường hợp ba soliton có cùng pha, cùng biên độ khác nhau khoảng phân cách ban đầu thì xung tổng hợp có dạng: (0, ) = sech( + ) + sech( + ) + sech ( + ) Với các bước khảo sát bằng phương pháp tán xạ ngược sử dụng cho ba soliton và phần mềm matlab chúng tôi thử nghiệm trong điều kiện = = =1; = = = 0; độ phân cách ban đầu của xung theo bảng: 21 (