Luận văn Bao nội xạ của môđun - Những hình ảnh cụ thể của nó

. Mệnh đề Cho đồng cấu R môđun : A Bα → . Khi đó: 1) Dãy 0 A Bα→ → là khớp nếu α đơn cấu 2) Dãy 0A Bα→ → là khớp nếu α toàn cấu i ϕ ψ ϕ p ρ 11 3) Dãy 0 0A Bα→ → → là khớp nếu α đẳng cấu Một hệ quả trực tiếp của mệnh đề trên là trong dãy khớp ngắn α là đơn cấu còn β là toàn cấu. 1.3. Tích trực tiếp – Tổng trực tiếp 1.3.1. Định nghĩa (tích trực tiếp) Cho một họ những R môđun ( /iA i I∈ ). Khi đó tích Đề Các {( ) / , }i i i i i I A a i I a A ∈ = ∈ ∈∏ cùng với phép cộng và phép nhân vô hướng theo các thành phần: ( ) ( ) ( )i i i ia b a b+ = + ( ) ( )i ia r a r= là một R môđun, gọi là tích trực tiếp của họ ( /iA i I∈ ). Trường hợp iA A= với mọi i I∈ ta kí hiệu Ii I A A=∏ Phép chiếu :j i j I p A A→∏ là một R đồng cấu j I∀ ∈ . 1.3.2. Định lý ( Tính chất phổ dụng ) Giả sử B là R môđun cùng với các đồng cấu :j jB B A→ . Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu : i I B Aβ →∏ sao cho biểu đồ sau giao hoán : jpi j I A A→∏ j I∀ ∈ B 1.3.3. Mệnh đề Giả sử ( : / )i i if A B i I→ ∈ là một họ đồng cấu môđun. Khi đó tương ứng : i i I I f A B→∏ ∏ cho bởi (( )) ( ( ))i i if a f a= là một đồng cấu, được kí hiệu bởi i I f∏ và được gọi là tích trực tiếp của họ các đồng cấu ( / )if i I∈ . β jβ 12 1.3.4. Định nghĩa (Tổng trực tiếp) Cho một họ những R môđun ( /iA i I∈ ). Một môđun con của i I A∏ gồm tất cả những phần tử ( )ia mà 0ia = hầu hết, trừ một số hữu hạn chỉ số i I∈ , được gọi là tổng trực tiếp ( hay tổng trực tiếp ngoài của họ ( /iA i I∈ ) và kí hiệu iI A⊕ Trong trường hợp iA A= với mọi i I∈ ta kí hiệu ( )IiI A A⊕ = . Với mỗi j I∈ tương ứng :j j iIA Aµ →⊕ ( )j ia a→ , , 0, ja i jai i j = =  ≠ là một đơn cấu. 1.3.5. Định lý (Tính chất phổ dụng) Giả sử B là R môđun cùng với các đồng cấu :j jA Bα → . Khi đó tồn tại duy nhất : iA Bα → sao cho biểu đồ sau giao hoán jpi jI A A⊕ → j I∀ ∈ B 1.3.6. Mệnh đề Giả sử ( : / )i i if A B i I→ ∈ là một họ đồng cấu môđun. Khi đó tương ứng : i iI If A B⊕ →⊕ cho bởi (( )) ( ( ))i if a f a= là một đồng cấu kí hiệu if⊕ và được gọi là tổng trực tiếp của họ các đồng cấu ( / )if i I∈ . 1.3.7. Định nghĩa Môđun AR được gọi là tổng trực tiếp trong của một họ các môđun con ( / )iA i I∈ nếu các điều kiện sau thỏa: 1) i I A A=∑ 2) 0j j i j A A j I ≠ ∩ = ∀ ∈∑ α jα 13 1.3.8. Bổ đề Môđun AR là tổng trực tiếp trong của họ các môđun con ( / )iA i I∈ nều và chỉ nếu mỗi phần tử a A∈ biểu diễn duy nhất dưới dạng : 1 2 ... , , n j ji i i i i j a a a a a A i I= + + + ∈ ∈ 1.3.9. Hệ quả Giả sử A là tổng của những môđun con Ai, j A Ai=∑ . Khi đó A là tổng trực tiếp trong nếu và chỉ nếu từ 1 2 ... 0, , n j ji i i i i j a a a a A i I+ + + = ∈ ∈ suy ra 0,1 ji a j n= ≤ ≤ . 1.3.10. Hệ quả Môđun A là tổng trực tiếp trong của họ các môđun con ( /iA i I∈ ) nếu và chỉ nếu ánh xạ ( ) iI i i A A a a ⊕ → ∑ là đẳng cấu. 1.3.11. Định nghĩa Môđun con B của A được gọi là hạng tử trực tiếp trong A nếu có môđun con C của A sao cho A B C= ⊕ . Môđun con 0A ≠ được gọi là không phân tích được nếu 0 và A là những hạng tử duy nhất trong A. Ví dụ : 1) Giả sử KV V= là không gian vectơ trên trường K và { / }ia i I∈ là cơ sở của nó. Khi đó hiển nhiên iIV a K= ⊕ 2) Trong ZZ mọi môđun con đều có dạng mZ, m N∈ . Với 0, 1m m≠ ≠ thì mZ không là hạng tử trực tiếp. Thật vậy nếu Z mZ nZ= ⊕ thì 0 0 1mn mZ nZ n mZ Z m∈ ∩ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = (trái giả thiết). Vậy ZZ không phân tích được. 1.3.12. Định nghĩa Đơn cấu : A Bα → của các R môđun được gọi là chẻ ra nếu Imα là 14 hạng tử trực tiếp trong B. Toàn cấu : B Aβ → được gọi là chẻ ra nếu Kerβ là hạng tử trực tiếp trong B. 1.3.13. Mệnh đề 1) Đồng cấu : A Bα → là đơn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu : B Aβ → sao cho Aidβα = ( ta nói α có nghịch đảo trái). Khi đó Im Kerβ α β= ⊕ . 2) Đồng cấu : B Cβ → là toàn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu : C Bγ → sao cho Cidβγ = ( ta nói β có nghịch đảo phải). Khi đó ImKerβ β γ= ⊕ . 1.3.14. Định nghĩa Dãy khớp ngắn 0 0A B Cα β→ → → → được gọi là chẻ ra nếu Im Kerα β= là hạng tử trực tiếp của B. 1.3.15 Mệnh đề Đối với dãy khớp ngắn 0 0A B Cα β→ → → → ta có các phát biểu sau tương đương: a) Dãy khớp ngắn trên là chẻ ra b) α là đơn cấu chẻ ra c) β là toàn cấu chẻ ra Khi đó Im ImB A Cα γ= ⊕ ≅ ⊕ , trong đó : C Bγ → là nghịch đảo phải của β . 1.3.16. Định lý Cho dãy khớp ngắn 0 0A B Cα β→ → → → . Khi đó các dãy sau là khớp a) * *0 ( , ) ( , ) ( , )Hom M A Hom M B Hom M Cα β→ → → b) * *0 ( , ) ( , ) ( , )Hom C M Hom B M Hom A Mβ α→ → → Trong đó M là R môđun tùy ý * ( , )MHom idα α= , * ( , )MHom idα α= (tương 15 tự với **,β β ). 1.3.17. Định lý Cho dãy khớp chẻ ra 0 0A B Cα β→ → → → . Khi đó các dãy sau cũng là khớp chẻ ra a) * *0 ( , ) ( , ) ( , )Hom M A Hom M B Hom M Cα β→ → → b) * *0 ( , ) ( , ) ( , )Hom C M Hom B M Hom A Mβ α→ → → 1.4. Tích Tenxơ 1.4.1. Định nghĩa Giả sử A là nhóm aben. Ánh xạ : M L Aϕ × → được gọi là tuyến tính trong nếu ( ', ) ( , ) ( ', )x x y x y x yϕ ϕ ϕ+ = + ( , ') ( , ) ( , ')x y y x y x yϕ ϕ ϕ+ = + ( , ) ( , )xr y x ryϕ ϕ= Với mọi , 'x x M∈ , , 'y y L∈ và mọi r R∈ . 1.4.2. Định nghĩa Tích tenxơ của R L và RM là nhóm aben T cùng với ánh xạ tuyến tính :f M L T× → sao cho mỗi nhóm aben A và ánh xạ tuyến tính trong : M L Aϕ × → đều tồn tại đồng cấu duy nhất :h T A→ làm cho biểu đồ sau giao hoán fM L T× → h fϕ =  A 1.4.3. Mệnh đề Nếu (T,f’) và (T’,f’) đều là tích tenxơ của RM và R L thì tồn tại đẳng cấu duy nhất : 'j T T→ sao cho 'jf f= . 1.4.4. Mệnh đề (sự tồn tại ) Tích tenxơ của RM và R L thì tồn tại. ϕ h 16 1.4.5. Nhận xét Ta kí hiệu tích tenxơ của hai môđun RM và R L là RT M L M L= ⊗ = ⊗ Ánh xạ tuyến tính trong :f M L M L× → ⊗ không bao giờ là đơn ánh, trừ khi 0M L= = . Do đó không thể đồng nhất M L× với một tập con của M L⊗ . Ta kí hiệu : ( , )f x y x y= ⊗ và gọi là tích tenxơ của hai phần tử x và y. Tập tất cả các phần tử x y⊗ , ,x M y L∈ ∈ lập thành một hệ sinh của M L⊗ có dạng ( ),i i i in x y n Z+ ∈∑ . Từ tính tuyến tính của f suy ra các hệ thức sau trong M L⊗ : ( ') ' ( ') ' , ( ) , x x y x y x y x y y x y x y xr y x ry r R n x y nx y x ny n Z + ⊗ = ⊗ + ⊗ ⊗ + = ⊗ + ⊗ ⊗ = ⊗ ∈ ⊗ = ⊗ = ⊗ ∈ Do hệ thức cuối cùng nên mỗi phần tử của M L⊗ có thể viết dưới dạng ( )i ix y⊗∑ 1.4.6. Mệnh đề RR M R M⊗  1.4.7. Định nghĩa ( Tích tenxơ các đồng cấu ). Giả sử : 'M Mµ → và : 'L Lλ → lần lượt là R môđun phải, trái. Khi đó tương ứng : ' ' ( , ) ( ) ( ) R M L M L x y x y ϕ µ λ × → ⊗ ⊗ là ánh xạ tuyến tính trong. Do đó ϕ mở rộng thành đồng cấu duy nhất : ' ' ( ) ( ) M L M L x y x y µ λ µ λ ⊗ ⊗ → ⊗ ⊗ ⊗ gọi là tích tenxơ của hai đồng cấu µ và λ . Bây giờ nếu cho các đồng cấu '' ''M M Mµ µ→ → và '' ''L L Lλ λ→ → Thì dễ dàng suy ra được rằng ' ' ( ' ')( )µ µ λ λ µ λ µ λ⊗ = ⊗ ⊗ 17 1.4.8. Mệnh đề Nếu iM ( i I∈ ) là những R môđun phải và L là một R môđun trái thì tồn tại một đẳng cấu tự nhiên ( ) ( )i iI R I RM L M L⊕ ⊗ ⊕ ⊗ . 1.4.9. Mệnh đề Tích tenxơ hai đơn cấu không là đơn cấu. 1.5. Môđun cốt yếu - Đối cốt yếu 1.5.1. Định nghĩa Môđun con A của M được gọi là cốt yếu (lớn) trong M nếu với mỗi môđun con khác không B của M ta đều có 0A B∩ ≠ ( nếu 0 0A B B∩ = ⇒ = ). Khi đó ta cũng nói rằng M là mở rộng cốt yếu của A và kí hiệu eA M⊆ . Ví dụ: 1) Đối với mỗi môđun M ta đều có eM M⊆ 2) Xem vành các số nguyên Z như môđun trên chính nó. Khi đó mỗi ideal khác không trong Z đều cốt yếu, bởi vì đối với hai ideal khác không bất kì aZ và bZ ta đều có 0 ab aZ bZ≠ ∈ ∩ . 1.5.2. Bổ đề 1) Nếu trong môđun M có các môđun con A B⊂ thì e eA M B M⊆ ⇒ ⊆ 2) Nếu i eA M⊆ , i=1,2,,n thì 1 n i e i A M = ⊆  3) Nếu : M Nϕ → là đồng cấu môđun và eB N⊆ thì 1( ) eB Mϕ− ⊆ . 1.5.3. Định nghĩa Môđun con A của M được gọi là đối cốt yếu (hay bé) nếu với mỗi môđun con E M≠ ta đều có A E M+ ≠ ( một cách tương đương nếu A E M E M+ = ⇒ = ). Khi đó ta kí hiệu sA M⊆ . Ví dụ : 1) Đối với mỗi môđun M ta đều có 0 s M⊆ . 2) Trong Z môđun tự do chỉ có môđun tầm thường 0 là đối cốt yếu. 18 f h 1.5.4. Bổ đề 1) Nếu trong môđun M có các môđun con A B⊂ thì s sB M A M⊆ ⇒ ⊆ 2) Nếu i sA M⊆ , i=1,2,,n thì 1 n i s i A M = ⊆∑ 3) Nếu : M Nϕ → là đồng cấu môđun và sA M⊆ thì ( ) sA Nϕ ⊆ . 1.5.5. Mệnh đề Đối với phần tử Ra M∈ thì môđun con aR không là đối cốt yếu trong M khi và chỉ khi tồn tại môđun con tối đại K sao cho a K∉ . 1.5.6. Bổ đề Cho A là môđun con của MR. Khi đó eA M⊆ khi và chỉ khi với mỗi phần tử khác không m M∈ thì tồn tại r R∈ sao cho 0 mr A≠ ∈ . 1.5.7. Hệ quả Giả sử i I M M=∑ , ,i e iA M i I⊆ ∈ và i iII A A A= = ⊕∑ . Khi đó eA M⊆ và iI M M= ⊕ 1.5.8. Hệ quả Giả sử iIM M= ⊕ , ,i e iA M i I⊆ ∈ . Khi đó i iII A A A= = ⊕∑ và eA M⊆ . 1.6. Môđun nội xạ 1.6.1. Định nghĩa Một môđun Q được gọi là nội xạ nếu với mỗi đồng cấu :f A Q→ và mỗi đơn cấu :g A B→ của những R môđun, tồn tại một đồng cấu :h B Q→ sao cho hg=f, nghĩa là biểu đồ giao hoán. 0 A B Q g 19 1.6.2. Định lý Nếu i I Q Q=∏ thì Q là nội xạ khi và chỉ khi Qi là nội xạ với i I∈ . 1.6.3. Hệ quả Mọi hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ là nội xạ. 1.6.4. Định lý Đối với môđun QR các điều sau tương đương 1) Q là nội xạ 2) Mỗi đơn cấu : Q Bϕ → là chẻ ra (nghĩa là Imϕ là hạng tử trực tiếp trong B). 3) Đối với mỗi đơn cấu : A Bα → ,ánh xạ ( ,1 ) : ( , ) ( , )Q R RHom Hom B Q Hom A Qα → là toàn cấu. 1.6.5. Định lý (Tiêu chuẩn Baer) Môđun Q là nội xạ khi và chỉ khi đối với mỗi ideal phải RU R⊂ và mỗi đồng cấu :f U Q→ đều tồn tại đồng cấu : Rh R Q→ sao cho hi=f, trong đó i là phép nhúng từ U vào R. Chứng minh : Điều kiện cần là hiển nhiên Bây giờ ta đi chứng minh điều kiện đủ Bước 1: Xét biểu đồ: 0 A Bα→ → Q Trong đó α là đơn cấu. Gỉa thiết rằng trong B tồn tại môđun con thực sự C của B sao cho Im Cα ⊂ và tôn tại đồng cấu : C Qγ → sao cho ϕ γα= . Ta sẽ khẳng định rằng khi đó tồn tại môđun C1 của B thực sự chứa C và tồn tại ϕ 20 đồng cấu 1 1: C Qγ → sao cho 1ϕ γ α= ( và do đó 1 / Cγ γ= ). Để hứng minh khẳng định này ta lấy b B∈ và b C∉ và đặt 1C C bR= + . Nếu 0C bR∩ = thì γ có thể mở rộng trên C1 một cách tầm thường. Nếu 0C bR∩ ≠ thì ta có thể làm như sau. Gọi { / }U u R bu C= ∈ ∈ . Rõ ràng U là iđêan phải trong R và ánh xạ :U C u bu ζ →  là một R đồng cấu. Đặt ξ λζ= , :U Qξ → . Theo giả thiết tìm được đồng cấu : R Qρ → sao cho iξ ρ= nghĩa là biểu đồ sau giao hoán U C Qζ ξ→ → R Bây giờ ta định nghĩa 1 1: C Qγ → bởi quy tắc 1 : ( ) ( ) C bR Q c br c r γ γ ρ + → + + Tương ứng 1γ là ánh xạ. Thật vậy nếu có ' ', , ' , , 'c br c br c c C r r R+ = + ∈ ∈ Thì ' ( ' )c c b r r C bR− = − ∈ ∩ Từ đó ' ( ') ( ') ( ') ( ( ')) ( ' ) ( ') ( ) ( ) ( ') ( ') r r U r r r r c c b r r r r r r c r c r γζ ρ γ γ γζ ρ γ ρ γ ρ − ∈ ⇒ − = − ⇒ − = − = − = − ⇒ + = + Do γ và ρ là những R đồng cấu nên 1γ cũng là R đồng cấu và rõng ràng 1 / Cγ γ= Bước 2: Giả sử 0 ImC α= và 0α là đẳng cấu của A lên C0 cảm sinh bởi α . Đặt 1 0 0γ ϕα −= ta có 0ϕ γ α= . Bây giờ ta có thể kéo dài 0γ lên B nhờ bước 1 và bổ đề Zorn. Cụ thể giả sử T là tập tất cả các cặp ( , )C γ trong đó 0C C B⊂ ⊂ và : C Qγ → , 0 0/ Cγ γ= . Tập T ≠ ∅ vì 0 0( , )C Tγ ∈ . Ta đưa vào T quan hệ thứ tự i ρ 21 1 1 1 1 (1) ( , ) ( , ) / (2) C C C C C γ γ γ γ ⊂ ≤ ⇔  = Bây giờ giả sử A là một dây chuyền trong T và D C= ∪ với ( , )C Aγ ∈ . Rõ ràng 0C D B⊂ ⊂ . Hơn nữa giả sử : ( ) D Q d d d γ →  với d C∈ , trong đó ( , )C Aγ ∈ Do (2) là đồng cấu mở rộng của 0γ . Điều này chứng tỏ ( , )D d là cận trên của A trong T. Bởi vậy theo bổ đề Zorn, trong T tồn tại phần tử tối đại và do bước 1 phần tử tối đại này phải bằng ( , )B ψ trong đó ϕ ψα= . Điều này kết thúc phép chứng minh. 1.6.6 Bổ đề Môđun zD ( nhóm aben ) là nội xạ khi và chỉ khi nó chia được ( nghĩa là nD=D với mọi số tự nhiên n>0). Chứng minh : Điều kiện đủ : Cho : D Bϕ → là một đơn cấu của hai nhóm aben, trong đó D là nhóm chia được. Ta sẽ chứng minh ϕ chẻ ra và do đó D là nội xạ. Do ϕ đơn cấu nên D đẳng cấu với Imϕ . Bởi vậy ta có thể xem D là nhóm con của B và ϕ là đơn cấu chính tắc. Gọi Γ là tập tất cả các nhóm con U của B sao cho 0D U∩ = . Tập Γ ≠ ∅ do 0U = ∈Γ . Áp dụng bổ đề Zorn ta thấy rằng trong B có phần tử tối đại chẳng hạn V. Khi đó D V D V+ = ⊕ . Bây giờ ta sẽ chứng tỏ B D V= ⊕ . Lấy phần tử tùy ý b B∈ . Xét iđêan { / }I x Z bx D V= ∈ ∈ + . Do Z là vành chính nên I mZ= . Hơn nữa 0I ≠ vì nếu 0I = thì nhóm con H sinh bởi B thỏa điều kiện ( ) 0H D V∩ + = . Từ đó ( ) 0H V D+ ∩ = , trái với tính tối đại của V. Giả sử 0 0bm d v= + . Do D chia được nên tồn tại 'd D∈ sao cho 0'md d= . Khi đó 0 ( ')V b d m= − .Ta khẳng định rằng ( ( ') ) 0D V b d Z∩ + − = . Thật vậy: giả sử ( ')d v b d x= + − là một phần tử thuộc giao. Khi đó 22 ' 1b d v d x D V x= − = ∈ + ⇒ = . Bởi vậy 'x mx= và do đó 0( ') ' 'd v b d mx v v x= + − = + . Do 0D V∩ = nên d=0. Từ tính tối đại của V suy ra ( ') 'b d Z V b d V b D V− ⊂ ⇒ − ∈ ⇒ ∈ + . Như vậy B D V= ⊕ và ta có điều phải chứng minh. Điều kiện cần : Giả sử zQ là nội xạ và giả sử q Q∈ , 0 m Z≠ ∈ . Xét biểu đồ các đồng cấu mZ Z Q Trong đó i là phép nhúng chính tắc, còn ϕ xác định bởi công thức ( )m qϕ = . Do tính nội xạ của Q nên tồn tại đồng cấu : Z Qψ → sao cho iϕ ψ= . Ta có ( ) ( ) (1. ) (1)q m m m mϕ ψ ψ ψ= = = = . Điều này chứng tỏ Q là nhóm chia được. 1.6.7. Bổ đề Nếu D là nhóm aben chia được thì ( , )ZHom R D là một R môđun phải nội xạ. Chứng minh: Giả sử : A Bα → là một R đồng cấu và : ( , )ZA Hom R Dϕ → là một R đồng cấu tùy ý. Xét biểu đồ: A ( , )ZHom R D D B Trong đó σ là đồng cấu nhóm cho bởi (1)f f . Do D là Z môđun nội xạ nên tồn tại Z đồng cấu : B Dβ → sao cho σϕ βα= . Bây giờ ta xác định : ( , )ZB Hom R Dψ → bởi công thức: ( )( ) ( )b r brψ β= , .b B r R∈ ∈ Khi đó đối với phần tử b cố định ta có: i ϕ ψ σϕ α ψ β 23 ( ) ( , )Zb Hom R Dψ ∈ 1 1 1 1( )( ) ( ) ( )( ) ( ( ) )( )br r br r b r r b r rψ β ψ ψ= = = nghĩa là 1 1( )( ) ( )br r b rψ ψ= . Do đó ψ là R đồng cấu. Hơn nữa ta có (( ( ) ) ) ( ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( )(1) ( ( ) )(1) ( )( )a r a r ar ar ar ar a r a rψ α β α β α βα σϕ ϕ ϕ ϕ= = = = = = = Do vậy ψα ϕ= . 1.6.8. Bổ đề Mỗi nhóm aben đẳng cấu với nhóm con của nhóm aben chia được. Chứng minh: Giả sử A là nhóm aben với hệ sinh { / }iS u i I= ∈ . Khi đó ta có đẳng cấu (1): / .A Z Kα  Đơn cấu chính tắc (1) (1): Z Qτ → cảm sinh đơn cấu (1) (1)*: / /Z K Q Kτ → . Do Q chia được nên Q(1) và Q(1)/K cũng chia được. Do vậy *τ α là đơn cấu phải tìm. 1.6.9. Định lý Mỗi môđun MR đều có thể ánh xạ đơn cấu vào một môđun nội xạ Chứng minh: Giả sử MR là môđun đã cho. Khi đó theo bổ đề 1.6.8 tồn tại Z đơn cấu : M Dµ → trong đó D là nhóm aben chia được. Ta xác định tương ứng : ( , )Zf M Hom R D→ sao cho ( )( ) ( ), ,f m r mr m M r Rµ= ∈ ∈ . Rõ ràng f là đồng cấu R môđun. Từ tính đơn cấu của µ suy ra tính đơn cấu của f. Định lý được chứng minh. 1.6.10 Bổ đề Cho R là miền nguyên giao hoán với trường các thương K và cho I là K không gian vectơ trên trường K thì IR là R môđun nội xạ. 24 1.7. Môđun Noether – vành Noether 1.7.1. Điều kiện dây chuyền tăng (ACC) Một họ các tập con { }i i IC ∈ của tập hợp C được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (viết tắt là ACC) nếu trong họ không tồn tại một dây chuyền vô hạn, tăng nghiêm ngặt : 1 2i iC C≠ ≠ ⊂ ⊂ Điều này tương đương với một trong các khẳng định sau: (i) Mọi dây chuyền tăng 1 2i iC C⊆ ⊆ trong họ đều dừng, nghĩa là tồn tại n∈ sao cho n n 1 n 2i i iC C C+ += = = (ii) Mọi họ con khác rỗng của họ đều có phần tử tối đại. 1.7.2. Điều kiện dây chuyền giảm (DCC) Một họ các tập con { }i i IC ∈ của tập hợp C được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm (viết tắt là DCC) nếu trong họ không tồn tại một dây chuyền vô hạn, giảm nghiêm ngặt: 1 2i iC C≠ ≠ ⊃ ⊃ Điều này tương đương với một trong các khẳng định sau: (i) Mọi dây chuyền giảm 1 2i iC C⊇ ⊇ trong họ đều dừng, nghĩa là tồn tại n∈ sao cho n n 1 n 2i i iC C C+ += = = (ii) Mọi họ con khác rỗng của họ đều có phần tử tối tiểu. 1.7.3 Môđun Noether Định nghĩa: Cho vành R và M là R – môđun trái (hoặc R – môđun phải). Ta nói M là Noether (Artin) nếu họ gồm tất cả các môđun con của M thỏa mãn ACC (DCC) Tính chất: Môđun M là Noether khi và chỉ khi mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh. 25 1.7.4 Vành Noether – vành Artin Vành Noether: Vành R được gọi là vành Noether trái (phải) nếu R là Noether khi được xem như R – môđun trái (phải). Nói cách khác, vành R được gọi là vành Noether trái (phải) nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn: + Mọi dây chuyền tăng các iđêan trái (phải) của R đều dừng. + Mọi tập khác rỗng gồm các iđêan trái (phải) của R đều có phần tử tối đại. Vành Artin: Vành R được gọi là vành Artin trái (phải) nếu R là Artin khi được xem như R – môđun trái (phải). Nói cách khác, vành R được gọi là vành Artin trái (phải) nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn: + Mọi dây chuyền giảm các iđêan trái (phải) của R đều dừng. + Mọi tập khác rỗng gồm các iđêan trái (phải) của R đều có phần tử tối tiểu. Định lý: Nếu R là vành Artin phải thì R cũng là vành Noether phải 1.8. Giới hạn trực tiếp 1.8.1. Định nghĩa Cho { },A Iα α∈ là một họ các R-môđun với I là một tập định hướng. Với mỗi ( ),α β thuộc I, α ≤ β , gαβ là R-đồng cấu từ Aα vào Aβ . Giả sử gαβ thỏa mãn điều kiện: i. Với mỗi Iα∈ , gαα là đồng cấu đồng nhất ii. Nếu có α ≤ β ≤ γ thì g g gαγ βγ αβ= . Ta gọi { },A gα αβ là một hệ trực tiếpcủa R-môđun trên I. 26 1.8.2. Định nghĩa Cho { },A gα αβ là một hệ trực tiếp của R-môđun trên I. Giới hạn trực tiếp là limAα và một họ các đồng cấu nhúng ( ): lim Iv A Aα α α α∈→  thỏa: i. v g vβ αβ α= khi α < β . ii. Với mỗi R-môđun M và với mọi đồng cấu : A Mα αψ → thỏa mãn gβ αβ αψ = ψ với α < β , tồn tại duy nhất đồng cấu : limA Mαθ → sao cho vα αθ = ψ . 27 Chương 2. BAO NỘI XẠ CỦA MÔĐUN NHỮNG HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA NÓ 2.1. MỞ RỘNG CỐT YẾU VÀ BAO NỘI XẠ 2.1.1. Định nghĩa Một R môđun phải RE M⊇ được gọi là mở rộng cốt yếu của M nếu mỗi môđun con khác không của E đều có giao không tầm thường với M. Mở rộng cốt yếu E M⊇ được gọi là tối đại nếu không có mở rộng thật sự nào của E là mở rộng cốt yếu của M. Nếu E M⊇ là mở rộng cốt yếu thì ta cũng có thể nói M là môđun con cốt yếu (lớn) của E và viết eM E⊆ . Kí hiệu môđun con lớn là đối ngẫu của môđun con nhỏ. Một môđun con S E⊆ gọi là nhỏ ( viết là sS E⊆ ) nếu bất kì môđun con N E⊆ , S+N=E suy ra N=E. Chú ý : 1) eM E⊆ nếu với mọi 0a ≠ thuộc E tồn tại r R∈ sao cho 0ar ≠ và ar M∈ Điều này cần thiết cho việc chứng minh. Nó cung cấp cho ta một cách thuận tiện để kiểm tra eM E⊆ .Ở đây ta kiểm tra tính cốt yếu bằng tiêu chuẩn này. 2) Tính bắc cầu : Nếu eM E⊆ và 'eE E⊆ thì 'eM E⊆ .Tính bắc cầu rất cần thiết trong việc chứng minh tính cốt yếu. Khái niệm mở rộng cốt yếu dẫn đến một khái niệm mới của tính nội xạ. 2.1.2. Bổ đề Một môđun RM là nội xạ nếu và chỉ nếu nó không có mở rộng cốt yếu nào. Chứng minh: Trước tiên ta giả sử rằng M là nội xạ và xét một mở rộng cốt yếu bất kì 28 E M⊃ và E M≠ theo 1.6.4 ta có E M N= ⊕ với môđun con 0N ≠ nào đó. Do 0N M∩ = nên E M⊇ không là mở rộng cốt yếu. Ngược lại, giả sử rằng M không có mở rộng cốt yếu và nhúng M vào một môđun nội xạ RI . Theo bổ đề Zorn tồn tại một môđun con S I⊆ tối đại với giả thiết rằng 0S M∩ = . Do đó, xét môđun thương /I S , bất kì môđun con khác 0 '/S S trở thành ảnh của môđun M không tầm thường, cho nên ( ) /eim M I S⊆ . Theo giả thiết ta có ( ) /im M I S= . Điều này nghĩa là I M S= ⊕ cho nên M là môđun nội xạ (theo 1.6.2). 2.1.3. Bổ đề Bất kì một môđun RM nào cũng có mở rộng cốt yếu tối đại Chứng minh: Xét môđun nội xạ I M⊇ và xét họ bất kì các mở rộng cốt yếu của M trong I mà sắp thứ tự tuyến tính theo quan hệ bao hàm. Theo chú ý (1) của định nghĩa 2.1.1 thì ta dễ dàng thấy rằng hợp của họ trên cũng cốt yếu trên M. Theo bổ đề Zorn, ta có thể tìm được một môđun con E tối đại với eM E I⊆ ⊆ . Chúng ta có E là mở rộng cốt yếu tối đại của M. Thật vậy, nếu điều này sai, ta có thể tìm được 'E E⊂ sao cho 'eM E⊆ ( Chú ý E’ chỉ là R môđun và nó có thể không nằm trong I ). Do tính nội xạ của I thì E I⊆ có thể mở rộng đến xạ : 'g E I→ . Dễ dàng thấy rằng (ker ) 0g M∩ = do đó 'eM E⊆ và từ đó kerg=0.Chúng ta có thể biết E’ thông qua g(E’) . Nhưng 'eM E⊆ mâu thuẫn với tính tối đại của E. Bây giờ chúng ta sẽ đến với các kết quả của Eckmann- .. Scho pf và Bayer. 2.1.4. Định lý Với mỗi môđun M I⊆ thì các điều sau tương đương 1) I là mở rộng cốt yếu tối đại trên M 2) I là nội xạ và là cốt yếu trên M 29 3) I là môđun nội xạ tối tiểu trên M Chứng minh: (1) (2)⇒ Theo tính chất bắc cầu trong chú ý (2) của định nghĩa 2.1.1 , từ (1) cho ta I không có mở rộng cốt yếu nào. Do đó, I là nội xạ theo bổ đề 2.1.2 (2) (3)⇒ Đặt I’ là môđun nội xạ sao cho 'M I I⊆ ⊆ . Theo 1.6.4 'I I N= ⊕ với mọi môđun con N I⊆ . Từ 0N M∩ = ta có N=0 cho nên I’=I (do eM I⊆ ). (3) (1)⇒ Giả sử I nội xạ tối tiểu trên M. Theo phần chứng minh của bổ đề 2.1.3 cho ta một môđun con E I⊆ mà là cốt yếu tối đại trên M. Sử dụng (1) (2)⇒ ta thấy rằng E là nội xạ và do đó E=I. 2.1.5. Định nghĩa Nếu môđun M thỏa một trong ba mệnh đề tương đương của định lý 2.1.4 thì chúng ta nói rằng I là bao nội xạ của M. Như vậy theo bổ đề 2.1.3 thì bất kì môđun nào cũng có bao nội xạ. 2.1.6. Hệ quả Bất kì hai bao nội xạ I,I’ của M đều đẳng cấu với nhau trên M.Điều đó có nghĩa là tồn tại một đẳng cấu : 'g I I→ là đồng cấu đồng nhất trên M.Tuy nhiên, đẳng cấu này là không duy nhất. Chứng minh: Do tính nội xạ của I, ta có thể tìm thấy xạ : 'g I I→ mở rộng đến xạ bao hàm M I→ . Theo phần chứng minh của bổ đề 2.1.3 ta có ker 0g = từ đó 'eM I⊆ . Do đó ( ')g I là môđun con nội xạ của I chứa M.Bây giờ do (2.1.4)(3) cho ta ( ')g I I= và do đó : 'g I I→ là đồng cấu cần tìm. Kể từ đây ta viết E(M) là bao nội xạ của M. 2.1.7. Hệ quả 1) Nếu I là môđun nội xạ mà chứa M thì I chứa trong nó một bản sao của E(M). 2) Nếu eM N⊆ thì N có thể mở rộng đến một bản sao của E(M). Ngoài 30 ra E(M)=E(N). Bao nội xạ của M là môđun nội xạ I mà có đồng cấu M I→ mà ảnh của nó là “lớn”. Bao xạ ảnh của M là môđun xạ ảnh P mà có toàn cấu P M→ mà hạt nhân của nó là “nhỏ” .Chúng ta đã thấy được rằng bao nội xạ của môđun thì luôn tồn tại. Tuy nhiên chúng ta thấy rằng bao xạ ảnh của môđun chỉ tồn tại trên một lớp vành đặc biệt. Thông qua khái niệm về bao nội xạ của môđun, chúng ta đã biết được bao nội xạ của môđun là mở rộng cốt yếu cực đại và cũng là mở rộng nội xạ tối tiểu. Bao nội xạ đóng vai trò quan trọng trong đại số hiện đại. Nó có nhiều ứng dụng trong nghành đại số nói chung và đặc biệt trong đại số giao hoán nói riêng. Để thấy rõ hơn về bao nội xạ của môđun cũng như biết được một cách chính xác bao nội xạ của môđun có hình ảnh cụ thể như thế nào trong từng lớp vành cụ thể, chúng ta sẽ đi nghiên cứu sâu hơn về bao nội xạ thông qua một số ví dụ cụ thể. Trong từng trường hợp cụ thể ta sẽ đi tính xem bao nội xạ của môđun trên lớp vành ấy là gì. Qua đó chúng ta sẽ thấy được những hình ảnh cụ thể về bao nội xạ của môđun. Sau đây là một số ví dụ về bao nội xạ của môđun. 2.2. Những ví dụ cụ thể về bao nội xạ của Môđun 2.2.1. Ví dụ Cho môđun ( )M I E M⊆ = và cho N là môđun bất kì sao cho eN M⊆ hoặc M N I⊆ ⊆ . Khi đó ( ) ( )E N E M= .(Điều này suy ra từ hệ quả (2.1.7) (2)). Ví dụ 1 cho ta thấy nếu như ( )M E M⊆ thì nếu có môđun N nào là môđun cốt yếu của M thì bao nội xạ của nó chính chính là bao nội xạ của M. 2.2.2. Ví dụ Cho R là một miền nguyên giao hoán với trường các thương K.Theo 1.6.9 ta thấy rằng RK là nội xạ và bằng cách kiểm tra chú ý (1) của (2.1.1), ta thấy rằng eR K⊆ . Từ đó E(R) = K và có thể xem như là một môđun tự do 31 không xoắn RM . Từ đó với bất kì tập con nhân \{0}S R= , ta có 1 RM K S M M −⊗ = ⊇ ,và dễ dàng thấy được đó là mở rộng cốt yếu. Bây giờ, RM K⊗ là K- không gian vectơ và cũng theo 1.6.9 thì nó là nội xạ như là R môđun. Từ điều này và những gì chúng ta có ở trên ta có thể suy ra được rằng 1( ) RE M M K S M −= ⊗ = Qua ví dụ này ta thấy được rằng nếu R là miền nguyên giao hoán với trường các thương K thì ta có E(R) = K và 1( ) RE M M K S M−= ⊗ = . 2.2.3. Ví dụ Mệnh đề (*): Một Z môđun là nội xạ nếu và chỉ nếu nó chia được. Bất kì Z môđun nào cũng đều được nhúng vào một Z môđun nội xạ. Trong trường hợp R Z= , E(M) được biết như là “bao nội xạ chi