Luận văn Bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ năng lượng cao và phương trình chuẩn thế

gười đầu tiên thu được công thức này trong cơ học lượng tử. 1.1 Thành lập công thức của bài toán tán xạ Quá trình tán xạ trong cơ học lượng tử được mô tả bởi phương trình Schrodinger: (1.1.1) ở đây chúng ta đã sử dụng các ký hiệu và . Nghiệm của phương trình vi phân (1.1.1) có thể được viết lại dưới dạng phương trình tích phân: (1.1.2) trong đó hàm thoả mãn phương trình cho hàm thế tự do: (1.1.3) Phương trình (1.1.3) là phương trình vi phân cấp 2 nên nghiệm có dạng: và hàm Green là nghiệm của phương trình: (1.1.4) Chúng ta tìm theo công thức: Chuyển phổ Fourier ta có: (1.1.4a) Vậy : Nhưng : Sử dụng: Thay vào phương trình (1.1.4a) có: Đặt vào (1.1.4a) ta có: Chuyển sang tọa độ cầu dọc theo trục Vì vậy Vì vậy: Chuyển sang tích phân phức : Sử dụng dạng tích phân Cauchy : Các điều kiện biên của hàm và được xác định từ điều kiện biên của hàm . Phương trình tích phân (1.1.2) được gọi là phương trình Lippman-Schwinger. Các nghiệm của phương trình (1.1.3) và (1.1.4) là: (1.1.5) (1.1.6) trong (1.1.6) chú ý rằng A+B =1. Sử dụng phương trình (1.1.5) và (1.1.6), thì nghiệm của phương trình Lippman-Schwinger (1.1.7) được viết lại dạng: (1.1.7) Theo các điều kiện biên thì hàm sóng phải bao gồm hai thành phần: thành phần sóng tới là sóng phẳng truyền theo chiều dương của trục z và thành phần còn lại là sóng cầu tán xạ. Vì thế B0= B = 0 và (1.1.7) viết lại dưới dạng: (1.1.8) Như chúng ta đã phân tích trên, biên độ tán xạ có thể thu được trong miền tiệm cận của hàm sóng trên. Trong phần lớn các bài toán mà chúng ta xem xét, thế U(r) được xác định trong một thể tích hữu hạn của không gian và các máy đo (detectors) các hiệu ứng tán xạ đặt rất xa vùng có chứa thế U(r). Từ đó, chúng ta có thể kết luận rằng và do đó suy ra gần đúng sau: (1.1.9) Từ (1.1.9), chúng ta có thể viết lại biểu thức (1.1.8) dạng: (1.1.10) Đặt Ao = 1, suy ra (1.1.11) với (1.1.12) được hiểu như là biên độ tán xạ của hạt trong trường thế V(r), ở đây . Bức tranh minh hoạ cho các biến đổi phức tạp trên được chỉ rõ trong hình vẽ 1: Hình 1: Minh hoạ rõ ràng những biến đổi phức tạp sử dụng trong các tính toán trên. Chú ý rằng , và là các cực toạ độ cầu và là cực toạ độ trụ. Thông thường, trong thực tế có thể coi như là một hàm của , và do đó có thể viết . Để ý rằng, mặc dù các thông tin liên quan tới được chứa đựng trong miền tiệm cận của nhng các đóng góp tới trong phương trình (1.1.12) lại đến từ miền mà thế năng ở đó khác không. 1.2. Biểu diễn Eikonal của biên độ tán xạ. Trong phần này, chúng ta sẽ chỉ ra sự hợp lý của các phép gần đúng eikonal cho quá trình bao gồm các góc tán xạ nhỏ và xung lượng vào lớn. Các điều kiện cần thiết là và . Trong miền giới hạn đó, biên độ tán xạ được viết dưới dạng : (1.2.1) ở đây: (1.2.2) Thật vậy, trước tiên ta dẫn lại các công thức đã chỉ ra ở trên cho biên độ tán xạ: Và từ phương trình Schrodinger (1.1.3): Ta đặt: và chọn dọc theo hướng z. Khi đó ta có: Sử dụng ký hiệu và chọn dọc theo hướng z suy ra: (1.2.3) ở đây chúng ta sử dụng ký hiệu . Chúng ta có thể viết nghiệm của phương trình (1.2.3) dạng: (1.2.4) thoả mãn phương trình: (1.2.5) Và hàm thoả mãn: (1.2.6) Nghiệm của các phương trình (1.2.5) và (1.2.6) là: (1.2.7) Với các điều kiện biên là Và (1.2.8) Thay (1.2.7) và (1.2.8) vào (1.2.4), ta thu được: Vậy: (1.2.9) Phương trình trên cũng có thể viết lại dạng sau: (1.2.10) ở đây biểu thức của tác động lên một hàm bất kỳ cho bởi: (1.2.11) Thay chuỗi của trong (1.2.11) vào dạng của hàm ta được: Thay vào biểu thức biên độ tán xạ(1.1.12) được : cuối cùng ta có thể viết lại biểu thức của biên độ tán xạ dưới dạng: (1.2.12) ở đây: (1.2.13) (1.2.14) (1.2.15) chúng ta đã thay cho biểu thức gọn hơn. Biểu thức mũ của các hàm e có thể được tính như sau với chú ý các vectơ sử dụng được minh hoạ trong hình 1 ở trên. (1.2.16) Ta quan tâm tới hàm trong khai triển trên. Từ (1.2.7), (1.2.13) và (1.2.14) ta có thể viết: (1.2.17) ở đây ta đang xét trường hợp khi mômen xung lượng vào lớn và góc tán xạ là nhỏ. Khi đó ta có thể áp dụng gần đúng sau: Xét ở gần đúng bậc nhất theo ta nhận được biểu thức sau (1.2.18) Bây giờ ta viết lại (1.2.17) như sau: (1.2.19) Chúng ta cần chú ý rằng phép xấp xỉ (1.2.18) cho phép chúng ta đưa ra ngoài tích phân theo z trong (1.2.19) bằng cách thay thế bởi tích phân mới . Vậy suy ra : (1.2.20) ở đây (1.2.21) Như đã đề cập ở trên, hàm thế là đối xứng qua trục z, không phụ thuộc vào góc và hơn nữa ta có thể bỏ trong tích phân trên. Do vậy, biên độ tán xạ bậc không được viết lại dạng: (1.2.22) ở đây chúng ta đã sử dụng đồng nhất thức: (1.2.23) Và tính chất . Để làm sáng tỏ hơn biểu thức của biên độ tán xạ, chúng ta đa vào các biến không thứ nguyên u và t với định nghĩa rằng và , ở đây a là chiều dài tán xạ của hố thế đã được định nghĩa ở phần trên. Chúng ta cũng sử dụng V để biểu hiện giá trị lớn nhất của hàm . Khi đó biên độ tán xạ trong (1.2.22) được viết lại dạng: (1.2.24) ở đây: (1.2.25) Tiết diện tán xạ vi phân được xác định nh bằng biểu thức sau Để tìm tiết diện tán xạ toàn phần ta lấy tích phân hai về biểu thức trên và thay biểu thức (1.2.24) vào ta nhận được Từ đó, chúng ta thu được biểu thức của tiết diện tán xạ toàn phần dạng: (1.2.26) Dễ dàng nói rằng, tỷ số là một đánh giá tốt cho giới hạn trên của góc tán xạ . Nh vậy trong giới hạn <<1 chúng ta có thể viết và phạm vi giới hạn góc của tích phân theo từ 0 tới . Đa vào biến, tacó: (1.2.27) Một lần nữa chúng ta thu được biểu thức của biên độ tán xạ (1.2.24) và của tiết diện tán xạ toàn phần (1.2.26). Chúng ta sẽ kiểm tra xem các định lý quang học có thoả mãn trong giới hạn eikonal hay không. Đối với các hố thế không quá phức tạp, định lý quang học có thể viết được dạng: (1.2.28) Sử dụng phương trình (1.81) và (1.85) ta có: (1.2.29) So sánh phương trình (1.2.27) và phương trình (1.2.29) ta kết luận rằng dưới điều kiện và thì giới hạn eikonal không thoả mãn các định lý quang học. Nội dung vật lý của định lý quang học là sự bảo toàn xác suất trong cơ học lượng tử. Chúng ta có thể làm cho các phép xấp xỉ eikonal an toàn hơn từ việc vi phạm các định lý quang học hay không? Điều đó là có thể. Chúng ta nhận thấy rằng trong phương trình (1.2.27) nếu chúng ta lấy giới hạn và sử dụng tính chất: (1.2.30) Khi đó chúng ta có chính xác biểu thức thoả mãn định lý quang học. Như vậy thông qua biểu thức của biên độ tán xạ trong giới hạn eikonal dẫn tới dưới những điều kiện và , chúng ta cũng cần đặt điều kiện bổ sung để cho nó thoả mãn các định lý quang học. Như vậy, phép xấp xỉ eikonal hợp lệ dưới những điều kiện: và (1.2.31) Điều kiện thứ hai có thể được viết lại dạng: . (1.2.32) CHƯƠNG II BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIỂU DIỄN EIKONAL Trong lý thuyết trường lượng tử biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ hai hạt ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ có thể thu được bằng ba cách:khác nhau i/ Lấy tổng các giản đồ Feynman ; ii/ Phương pháp chuẩn thế ; iii/ Phương pháp tích phân phiếm hàm.Trong chương này sử dụng phép gần đúng eikonal ta tính biên độ tán xạ và số hạng bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ trên cơ sở của phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkhelidze [4-10] 2.1 Phương trình chuẩn thế Phương trình chuẩn thế là cơ bản trong trường lượng tử, chính vì vậy ta giới thiệu cách thu nhận phương trình này. Trong hình thức luận không- thời gian 4 chiều phương trình chuẩn thế được tổng quát hóa từ phương trình schrodinger trên cơ sở hàm Green hai hạt 2- thời điểm trong lý thuyết trường lượng tử. Hàm sóng của hệ 2 – hạt được xác định như sau: (2.1.1) Trong đó - là các toán tử Heisenberg tương ứng với hạt và . là toán tử trật tự thời gian, gọi tắt là T-tích. Véctơ trạng thái mô tả trạng thái chân không của hệ , mô tả trạng thái cùng với xung lượng toàn phần 4-chiều : , (2.1.2) Trong đó là toán tử năng – xung lượng 4 – chiều mà thành phần “không” của nó là Hamilton của hệ (2.1.3) Phương trình cho hàm sóng cũng có thể thu được trên cơ sở phương trình đối với hàm Green 4 – thời điểm, mà trong biểu diễn Heisenberg được xác định bằng công thức sau đây: (2.1.4) Trong biểu diễn tương tác (2.1.5) Trong đó - là các toán tử trường tự do, S – là ma trận tán xạ thông thường và việc lấy trung bình theo trạng thái chân không của các trường không tương tác. Như vậy ta đã biết muốn tìm các hàm (2.1.3) và (2.1.1) trong lý thuyết trường lượng tử ta phải sử dụng phương trình cho hàm Green 4 – thời điểm sau: (2.1.6) Trong đó - là hàm Green của các hạt tự do: (2.1.7) Ta có : Hàm sóng (2.1.1) thỏa mãn phương trình thuần nhất: (2.1.8) Cần khẳng định là nhân của phương trình và sẽ tìm được bằng lý thuyết nhiều loạn. Xác định ảnh Fourier của nó có mặt trong phương trình (2.1.6) bằng cách dưới đây: (2.1.9) (2.1.10) (2.1.11) Thay (2.1.10) và (2.1.11) vào (2.1.6) ta được: Biến đổi số hạng thứ nhất ở vế phải (2.1.12) ta được: (2.1.13) Biến đổi số hạng thứ hai ở vế phải (2.1.12) ta được: Sử dụng tính chất hàm delta trong không – thời gian 4 chiều: (2.1.15) Thay (2.1.15) vào (2.1.14) ta nhận được: (2.1.16) Thay (2.1.16) và (2.1.13) vào (2.1.12) ta thu được kết quả cuối cùng: (2.1.17) Trong đó (2.1.18) Phương trình Belthe- Salpeter (2.1.8) cho hàm sóng (2.1.1) không thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa à cũng không sử dụng được để giải thích xác suất cho hệ nhiều hạt. Nếu chúng ta xét hàm sóng (2.1.1) để cho các giá trị riêng của nó mà vecto 4 chiều x và y có các thời điểm như nhau thì ta thu được hàm sóng cho cùng một thời điểm như sau: (2.1.19) Như đã biết hàm sóng cùng một thời điểm cho phép sự giải thích xác suất và thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa. Điều kiện chuẩn hóa của ở đây cần thiết để cho hàm sóng hai thời điểm (2.1.1) có ý nghĩa vật lý. Bây giờ ta cần tìm phương trình cho hàm sóng cùng một thời điểm. Muốn vậy,cần dẫn ra khái niệm hàm Green hai thời điểm,một cách tương tự như đã tìm phương trình cho hàm sóng hai thời điểm. Hàm Green hai thời điểm trong lý thuyết trường lượng tử được xác định bằng cách sau đây: (2.1.20) Giả thiết . Lúc đó sử dụng tính đủ của hệ trong các trạng thái dừng . , thì biểu thức (2.1.20) có thể viết lại dưới dạng sau: (2.1.21) Từ định nghĩa hàm sóng ở cùng một thời điểm của hêh 2- hạt: (2.1.22) Suy ra (2.1.23) với Như vậy nếu ta thu được phương trình không thuần nhất cho hàm Green 2- thời điểm, thì phương trình thuần nhất sẽ cho hàm sóng cùng một thời điểm . Bây giờ ta đi tìm các phương trình cho hàm Green 2- thời điểm. Hàm Green 2- thời điểm liên quan đến hàm Green 4 – thời điểm bằng hệ thức sau đây: (2.1.24) Xác định ảnh Fouruer của hàm Green 2- thời điểm như sau: (2.1.25) Thay (2.1.25) và (2.1.9) vào (2.1.24) ta sẽ thu được mối liên hệ của các hàm Green 2 – thời điểm và 4 – thời điểm: Đặt (2.1.26) Viết lại phương trình (2.1.17) dưới dạng kí hiệu: (2.1.27) Giải phương trình (1.17) bằng gần đúng phương pháp lặp, ta thu được: (2.1.28) Thay (2.1.28) vào phương trình (2.1.26) ta nhận được khai triển dưới đây cho hàm Green 2 – thời điểm: (2.1.39) Dấu ~ ở đây ký hiệu phép lấy tích phân được thực hiện theo công thức (2.1.26). Cụ thể (2.1.18) có nghĩa: (2.1.30) Để thuận tiện ta đặt: (2.1.31) Trong đó : (2.1.32) Sử dụng khai triển (2.1.29) để tìm toán tử ngược (2.1.33) Khai triển tiếp theo được viết dưới dạng: (2.1.34) Trong đó: (2.1.35) Từ định nghĩa toán tử ngược ta có: (2.1.36) Nếu chú đến (2.1.31) và (2.1.34) thì phương trình (2.1.36) có thể viết lại dưới dạng: (2.1.37) Thật vậy,từ (2.1.34) ta nhân cả hai vế với ,sau đó thay (2.1.31) và (2.1.36) đồng thời lấy tích phân cả 2 vế cho ta vế trái của (2.1.34): Sử dụng tính bất biến tịnh tiến, ta có : (2.1.38) Thay (2.1.38) vào (2.1.37) ta thu được: (1.39) Thật vậy thay(2.1.38) vào (2.1.37) ta có: (2.1.40) Biến đổi đại lượng thứ 2 trong (2.1.40) ta nhận được: (2.1.41) Thay (2.1.41) vào (2.1.40) sau đó rút gọn ta được kết quả: (2.1.42) Ranh giới giữa các phương trình cho hàm Green 2 – thời điểm và 4 – thời điểm là ở chỗ lấy tích phân theop xung lượng. Đối với phương trình hàm Green 2 – thời điểm việc lấy tích phân được thực hiện theo xung lượng 3 – chiều, tương tự như vậy việc tìm hàm Green trong phương trình Schrodinger phi tương đối tính. Từ ảnh Fourier của hàm sóng: (2.1.43) Ta có phương trình thuần nhất dưới đây: (2.1.44) Bây giờ sử dụng tích chất bất biến tịnh tiến của hàm . Từ định nghĩa hàm sóng 2 – thời điểm (2.1.5) ta có: (2.1.45) Đối với ảnh Fourier của hàm sóng này ta thu được: (2.1.46) Thực vậy, thay (2.1.45) vào (2.1.43) ta được: (2.1.47) Ta có thể chứng minh rằng phương trình chuẩn thế cho hàm sóng có dạng: (2.1.48) Để thuận tiện cho việc chứng minh ta đưa vào hàm mới liện hệ với hàm sóng bằng công thức: (2.1.49) Thật vậy, khi đó ta có : Áp dụng định lý thặng dư với điểm kì dị là: (2.1.50) Mặt khác số hạng thứ 2 trong (2.1.44) có dạng: (2.1.51) Thay (2.1.50) và (2.1.51) vào (2.1.44) ta thu được công thức cần chứng minh: Từ (2.1.48) và (2.1.49) ta có : Vì nên suy ra: Ta nhận được kết quả cuối cùng cho phương trình Logunov- Tavkhelidze: (2.1.52) Ta xét trường hợp đơn giản tán xạ hai hạt vô hướng bằng nhau về khối lượng phương trình chuẩn thế có dạng (2.1.53) ở đây - năng lượng , và là xung lượng tương đối của hạt ở trong hệ khối tâm trong trạng thái đầu cuối . Sự liên hệ giữa biên độ T và hàm sóng được xác định bằng công thức : . (2.1.54) Vì: nên suy ra: (2.1.55) (2.1.56) Từ (2.1.55) và (2.1.56) ta có kết quả . (2.1.57) Công thức (2.1.57) là phương trình của hàm sóng trong biểu diễn xung lượng. 2.2 Phương trình chuẩn thế trong biểu diễn tọa độ Xuất phát từ phương trình cho hàm sóng (2.1.57) , trong biểu diễn tọa độ ta có và . Thay vào (2.1.57), ta có phương trình vi phân không định xứ: (2.2.1) với thế chuẩn định xứ hoàn toàn ảo có dạng: (2.2.2) Ở đây v(r) là hàm số có độ nhẵn dương và . Lời giải của phương trình (2.2.1) tương ứng với tán xạ của hai hạt cùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ có thể tìm dưới dạng: (2.2.3) Hàm thỏa mãn điều kiện biên: (2.2.4) Thay (2.2.2) và (2.2.3) vào phương trình (2.2.1) ta có: (2.2.1a) Giả thiết về độ nhẵn của chuẩn thế (2.2.2) cho phép đưa phương trình vi phân không định xứ (2.2.1) thành phương trình vi phân định xứ trong giới hạn năng lượng cao. Thật vậy, bằng cách nhân trái phương trình (2.2.1a) với và sử dụng khai triển: (2.2.5) (2.2.6) Ta nhận được phương trình vi phân định xứ để cho hàm số (với độ chính xác tới bậc 1/p): (2.2.7) Nghiệm của phương trình (2.2.7) được tìm dưới dạng: (2.2.8) Thay (2.2.8) vào (2.2.7) ta có: (2.2.9) trong đó: (2.2.10) và: . Đặt: ; (2.2.11) Thay các công thức (1.2.3) và (1.2.4) vào (2.2.9) ta có hàm thỏa mãn phương trình vi tích phân không tuyến tính sau: (2.2.11) hay (2.2.12) Khai triển theo nghịch đảo lũy thừa của xung lượng: (2.2.13) Thay (2.2.13) vào (2.2.12) và lấy gần đúng đến bậc 1/p ta có: (2.2.14) Đồng nhất các hệ số của p ở cả 2 vế của phương trình (2.2.14) như sau: (2.2.15) Từ (2.2.15), số hạng chính cho biên độ tán xạ (biểu diễn eikonal) được tìm thấy dưới dạng: (2.2.16) và bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ: (2.2.17) Chú ý: (2.2.18) tích phân trong công thức (2.2.8) phân kỳ tuyến tính khi . Để thuận tiện ta đưa vào đại lượng sau: (2.2.19) sao cho: (2.2.20) Khi , tích phân bên phải của (2.2.20) hội tụ. Vì vậy nghiệm của phương trình (1.69) với số hạng gần đúng ở bậc 1/p có dạng: (2.2.21) Biên độ tán xạ gắn liền với hàm sóng có dạng: (2.2.22) Sử dụng nghiệm của phương trình (2.2.21), ở vùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ, ta thu được biểu thức cho biên độ tán xạ: (2.2.23) ở đây: và Khai triển tích phân trong phương trình (2.2.23) theo nghịch đảo lũy thừa của xung lượng, biên độ tán xạ được xác định bằng biểu thức sau: và: (2.2.24) Từ đây ta có: (2.2.25) Biểu thức cho số hạng chính của biên độ tán xạ: (2.2.26) là gần đúng eikonal cho biên độ tán xạ. Còn biểu thức: (2.2.27) là bổ chính bậc nhất đối với số hạng chính (2.2.26). Biểu thức (2.2.27) còn gọi là bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ. Kết hợp các công thức (2.2.17) và (2.2.19), chúng ta có thể đưa biểu thức (2.2.27) về dạng: (2.2.28) trong đó đại lượng được xác định bởi hệ thức (2.2.17). Sau khi giải bài toán tán xạ năng lượng cao, xung lượng truyền nhỏ bằng phương pháp chuẩn thế trong biểu diễn tọa độ, ta đã thu được số hạng chính như công thức (2.2.26). Số hạng này trùng với biểu diễn eikonal trong cơ học lượng tử phi tương đối tính. Số hạng bổ chính bậc nhất được cho bởi công thức (2.2.28). Số hạng này trùng với lời giải bài toán trong biểu diễn xung lượng mà chúng ta sẽ xét ở chương III. CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ VÀ PHÉP GẦN ĐÚNG BORN Trong chương II đã xây dựng phương trình chuẩn thế trong biểu tọa độ có dạng [10]: (3.1.1) Sử dụng phương trình (3.1.1) để tìm biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ và số hạng bổ chính bậc nhất cho bài toán tán xạ. 3.1 Phép gần đúng Born Giải phương trình (3.1.1) bằng phương pháp lặp như sau: (3.1.2) ở đây: (3.1.3) Để đơn giản tính toán và làm rõ bản chất của công cụ tính toán ở đây, chuẩn thế được chọn dưới dạng thế Gauss: (3.1.4) và giới hạn góc tán xạ xấp xỉ bằng 0. Biểu thức cho (n+1) lần Born xấp xỉ cho biên độ tán xạ được viết: (3.1.5) Vì và phân tích thành các thành phần ngang và thành phần dọc , nên (3.1.5) được viết: (3.1.6) trong đó và là các thành phần ngang và thành phần dọc của xung lượng tương đối giữa các hạt ở trong một trạng thái trung gian thứ i nào đó. 3.2 Vùng năng lượng cao Trong gần đúng năng lượng cao các thừa số động hình học trong công thức (3.1.6) có thể biểu diễn dưới dạng: nên ta có: (3.2.1) và: (3.2.2) Từ (3.7) và (3.8) ta có: (3.2.3) Khi đó biểu thức cho là: (3.2.4) Biểu diễn (2.2.5) là kết quả sau khi bỏ qua sự đóng góp của các cực thứ cấp và hệ số trong các biểu thức thành phần đầu tiên, đứng trước dấu ngoặc vuông, và giới hạn sự đóng góp của các số hạng thứ nhất trong khai triển của căn thức. Thật vậy: (3.2.5) Ta có công thức: nên: (3.2.6) (3.2.7) Hay viết gọn lại: (3.2.8) Kể thêm các thừa số này trong biểu thức (3.2.8) sẽ dẫn đến sự khai triển của phép gần đúng Born bậc thứ (n+1) theo chuỗi lũy thừa 1/p. Biên độ này có thể biểu diễn dưới dạng tổng quát: (3.2.9) trong đó được cho bởi phương trình (3.2.8). Biểu diễn mỗi một thừa số Gauss ở dạng phổ: và sử dụng công thức đã biết: (3.2.10) Lưu ý trong trường hợp này thì Det C = n+1, kết hợp (2.2.7), (2.2.10) và tính toán, ta thu được công thức sau cho bổ chính bậc nhất: (3.2.11) ở đây: (3.2.12) và: (3.2.13) Trong trường hợp chuẩn thế thuần ảo, thì các bổ chính có bậc 1/p cho gần đúng eikonal là thực và có các cực tiểu. Liên quan đến vấn đề này cần lưu ý, sự nghiên cứu hệ thống các số liệu thực nghiệm nhờ biểu diễn eikonal cùng với phép xấp xỉ Born, mà chúng được xác định bởi sự đóng góp của các cực điểm Regge đòi hỏi chúng ta phải kể thêm số hạng Born cùng với sự trao đổi các số lượng tử khác không khi có cùng bậc nhỏ như thế so với các đóng góp chính. Từ kết quả nhận được cho ta thấy, lời giải của bài toán tán xạ năng lượng cao, xung lượng truyền nhỏ trong biểu diễn tọa độ và biểu diễn xung lượng cho ta kết quả trùng nhau. Đó là số hạng chính của biên độ tán xạ, có dạng trùng với biểu diễn eikonal trong cơ học lượng tử phi tương đối tính. Như vậy chúng ta đã tìm được biểu thức dạng tổng quát của biên độ tán xạ hai hạt vô hướng trong trường thế . Trong giới hạn năng lượng cao và xung lượng truyền cố định, biểu thức tiệm cận của biên độ tán xạ có dạng Glauber /11/ với hàm pha eikonal, tương ứng với thế Yukawa mô tả tương tác giữa hai “nucleons” vô hướng bằng việc trao đổi các lượng tử 3.3 Thế Yukawa. Trong mục này ta xem xét sự trao đổi các hạt với spin khác nhau, để xem xét sự phụ thuộc của dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ và số hạng bổ chính bậc nhất của nó với với năng lượng của hạt. a)Trao đổi hạt vô hướng Đối với sự trao đổi các meson vô hướng, ta có chuẩn thế giảm theo năng lượng như sau: (3.3.1) trong đó g là hằng số tương tác. Hình 2. Biểu diễn tương tác của hai “nucleons” trong trường hợp trao đổi các meson vô hướng Từ các công thức (2.2.25) và (3.1.1) số hạng chính của biên độ tán xạ là: (3.3.2) Thay (3.1.1) vào (3.1.2), áp dụng kĩ thuật tính tích phân tương tự như trong [10], với chú ý các tích phân sau: trong đóta thu được số hạng chính của biên độ tán xạ như sau: (3.3.3) Một cách tương tự, thay (3.1.1) vào (2.2.28), số hạng bổ chính bậc nhất của biên độ tán xạ sẽ là: (3.3.4) Do nên số hạng chính và bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ trong các biểu thức (3.3.3), (3.3.4) được viết lại như sau: (3.3.5) (3.3.6) Các công thức (3.3.5), (3.3.6) có dạng, trùng với các kết quả thu được trong [12], khi bài toán này được nghiên cứu trong khuôn khổ của phương pháp tích phân phiếm hàm. Hơn nữa, từ các số hạng kể trên chúng ta cũng thấy rằng biểu thức eikonal của biên độ tán xạ thu được trong vùng năng lượng cao và xung lượng truyền cố định có số hạng bổ chính giảm rất nhanh theo năng lượng. Số hạng bổ chính được tính trong khuôn khổ phương pháp chuẩn thế có cơ sở chặt chẽ hơn so với các số hạng bổ chính được tính bằng các phương pháp tích phân phiếm hàm và phương pháp giản đồ Feyman. Cụ thể là ở vùng năng lượng nói trên việc tính từng giản đồ Feynman, sau đó tính tổng các đóng góp của các giản đồ Feynman là không dễ dàng. b) Trao đổi hạt vectơ Hạt vô hướng tương tác với trường vectơ có Lagrangian tương tác , thì chuẩn thế Yukawa không phụ thuộc vào năng lượng và có biểu thức như sau: (3.3.7) Hình 3. Biểu diễn tương tác của hai “nucleons” trong trường hợp trao đổi hạt vectơ Cách tính toán hoàn toàn tương tự ta có: (3.3.8) (3.3.9) c) Trao đổi hạt graviton trong hấp dẫn lượng tử Trong trường hợp hạt vô hướng tương tác với graviton trong hấp dẫn lượng tử , có Lagrangian tương tác (3.3.10) trong đó .Trong gần đúng tuyến tính ( trong đó là tensor metric Minkowski cùng với đường chéo ) Lagrangian (3.3.10) có dạng , ở đây trong đó là tensor năng xung lượng của trường điện từ. Hằng số tương tác liên quan với hằng số hấp dẫn Newton bằng hệ thức. thì chuẩn thế Yukawa tăng theo năng lượng (3.3.11) Hình 4. Biểu diễn tương tác của hai “nucleons” trong trường hợp trao đổi hạt tenxơ Tương tự ta tìm được: (3.3.12) (3.3.13) So sánh các kết quả thu được (3.3.3) - (3.3.12) ta có thể rút ra những nhận xét sau đây cho mô hình tự tương tác của hai hạt “nucleon” vô hướng. Nếu giữa hai “nucleon” vô hướng trao đổi hạt meson vô hướng, tương ứng với chuẩn thế phụ thuộc vào năng lượng (3.1.1) thì tiết diện tán xạ toàn phần sẽ giảm theo luật và chỉ có số hạng gần đúng Born chiếm ưu thế và cho đóng góp chủ yếu vào biên độ tán xạ eikonal. Khi trao đổi hạt meson véctơ – tương ứng với chuẩn thế không đổi (3.3.7), thì tiết diện tán xạ toàn phần sẽ tiến tới hằng số khi . Trong cả hai trường hợp này, pha eikonal là hoàn toàn thực và ảnh hưởng của tán xạ không đàn tính coi như không đáng kể trong phép gần đúng này . Trong trường hợp trao đổi graviton, tương ứng với chuẩn thế phụ thuộc năng lượng (3.3.10) thì Froissart bị vi phạm (tiết diện tán xạ toàn phần tăng khi năng lượng tăng). Kết quả tương tự cũng thu được với chuỗi eikonal trao đổi Regge graviton. KẾT LUẬN Trong Luận văn chúng tôi nghiên cứu phương trình chuẩn thế Logunov - Tavkhelidze cho bài toán tán xạ, đồng thời tính số hạng bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ năng lượng cao trong lý trường lượng tử kể cả hấp dẫn lượng tử , các kết quả thu được trong Luận văn bao gồm: 1/ Giải phương trình chuẩn thế Logunov - Tavkhelidze cho bài toán tán xạ ta thu được số hạng chính-biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ và số hạng bổ chính bậc nhất của nó ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ. 2/ Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận cho biên độ tán xạ ở năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ qua thế Yukawa,tương ứng với sự trao đổi các hạt vô hướng ,thì số hạng bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ của nó nhỏ hơn số hạng chính –biểu diễn tán xạ eikonal,xấp xỉ bằng . 3/ Khi tương tác giữa hai nucleon qua việc trao đổi các hạt với spin khác nhau, meson vô hướng (spin bằng không), meson vector (spin bằng 1) và graviton (spin bằng 2) trong hấp dẫn lượng tử - hạt tenxơ ta thu được các công thức, trùng với kết quả được tính toán bằng một phương pháp khác, phương pháp tích phân phiếm hàm với sự cải biến của lý thuyết nhiễu loạn. 4/ Tùy thuộc vào spin khác nhau tiết diện tán xạ toàn phần giảm, không đổi và tăng theo sự tăng của năng lượng. Các kết quả lý thuyết nhận được dựa trên cơ sở phương trình chuẩn thế và thế Gauss có thể sử dụng để phân tích các số liệu từ thực nghiệm về tán xạ các hadron. Phương pháp nghiên cứu trong luận án Thạc sỹ này có thể được sử dụng để nghiên cứu tiếp theo cho các bài toán tán x