Luận văn Các bài toán cực trị trong tam giác

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------------------------------------------- ĐINH VĂN TUYÊN CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TAM GIÁC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------------------------------------------- ĐINH VĂN TUYÊN CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TAM GIÁC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chủ tịnh hội đồng bảo vệ PGS.TS. VŨ ĐỖ LONG Người hướng dẫn khoa học TS.Lê Đình Định Hà Nội - 2016 3 STT MỤC LỤC 01 Lời cảm ơn.02 Lời nói đầu.03 Bố cục chính của luận văn ..04 Một số ký hiệu dùng trong luận văn...07 Chƣơng 1 Kiến thức chuẩn bị08 1.1 Các đẳng thức cơ bản trong tam giác.08 1.2 Một số bất đẳng thức đại số cơ bản....12 1.3 Các bất đẳng thức cơ bản trong tam giác...15 Chƣơng 2 Các bài toán cực trị trong tam giác.17 2.1 Một số phƣơng pháp giải các bài toán cực trị trong tam giác..17 2.1.1 Dùng phương pháp Vectơ .....18 2.1.2 Dùng phương pháp tam thức bậc hai.....21 2.1.3 Dùng phương pháp đạo hàm .29 2.1.4 Dùng các bất đẳng thức đại số cơ bản...33 2.2 Một số bài toán cực trị trong tam giác.44 Chƣơng 3 Cách xây dựng các bài toán cực trị trong tam giác...55 Kết luận.....77 Tài liệu tham khảo....78 4 LỜI CẢM ƠN Tôi xin trân trọng cảm ơn TS. Lê Đình Định người thầy đã trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn và tạo mọi điều kiện giúp tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau Đại học Trường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội và các thầy giáo, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến người thân, bạn bè và tất cả những người đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. 5 LỜI NÓI ĐẦU Các bài toán cực trị trong tam giác là một phần quan trọng của toán sơ cấp, và nó có nhiều điểm chung với Bất đẳng thức trong tam giác ở phương pháp giải. Có rất nhiều các dạng toán thuộc loại khó liên quan tới chuyên đề này. Điểm khác biệt quan trọng giữa bài toán cực trị trong tam giác và bài toán bất đẳng thức trong tam giác là: bài toán bất đẳng thức trong tam giác biết trước cái đích ta phải đi đến (tức là biết cả hai vế), còn bài toán cực trị trong tam giác thì không. Ví dụ: a. (về bài toán bất đẳng thức trong tam giác): Cho tam giác ABC , chứng minh rằng b.(về bài toán cực trị trong tam giác): Cho tam giác ABC , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 cos 2cos 2 3 cosM A B C   do vậy bài toán cực trị trong tam giác có độ phức tạp hơn bài toán bất đẳng thức trong tam giác. Tuy nhiên, nếu nắm vững được các phương pháp giải các bài toán bất đẳng thức trong tam giác thì cũng dễ dàng làm được các bài toán cực trị trong tam giác, và ngược lại. Trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán quốc tế, các bài toán liên quan đến Các bài toán cực trị trong tam giác cũng hay được đề cập và thuộc loại khó. Các bài toán về chứng minh bất đẳng thức, cực trị trong tam giác hay nhận dạng tam giác đã được đề cập nhiều ở các tài liệu bồi dưỡng giáo viên và học sinh chuyên toán bậc trung học phổ thông. Các kết quả nghiên cứu về nội dung này đến nay đã tương đối đầy đủ và hoàn thiện. Chính vì vậy để có kết quả mới có ý nghĩa về nội dung này là một việc làm rất khó đối với bản thân tôi. 3 cos 2cos 2 3 cos 4A B C   6 Tuy nhiên, với sự nỗ lực và nhận thức của bản thân, trong luận văn của mình tôi đã cung cấp một số kiến thức cơ bản về đẳng thức và bất đẳng thức trong tam giác, và hệ thống được một số phương pháp trong việc giải bài toán cực trị trong tam giác, nêu ra được một số bài toán cực trị trong tam giác. Đồng thời tôi cũng đưa ra được một số cách xây dựng các bài toán cực trị trong tam giác. Trong quá trình hoàn thành luận văn tác giả đã không ngừng nỗ lực để học hỏi, tìm tòi và sưu tầm các bài toán cực trị trong tam giác. Tuy nhiên, do sự hiểu biết của bản thân, điều kiện thời gian và khuân khổ của luận văn thạc sĩ, nên chắc chắn rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những khiếm khuyết. Tác giả mong được sự chỉ dạy của các thầy (cô) giáo và các quí bạn đọc để luận văn của tôi thêm hoàn thiện hơn. 7 Bố cục của luận văn bao gồm: Chƣơng 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này gồm các định lí, công thức và một số đẳng thức, bất đẳng thức cơ bản trong tam giác như: định lí hàm số sin, định lí hàm số cos, các công thức tính diện tích tam giác, công thức tính bán kính, công thức đường trung tuyến, công thức đường phân giác, công thức hình chiếu, một số đẳng thức cơ bản trong tam giác, một số bất đẳng thức đại số cơ bản thường gặp, một số bất đẳng thức cơ bản trong tam giác. Chƣơng 2 Các bài toán cực trị trong tam giác Gồm 5 phần: Phần 1: Sử dụng các tính chất của tích vô hướng a) . .a b a b    b) 2 1 0 n i i a          để giải bài toán tìm cực trị trong tam giác Phần 2: Sử dụng tính chất về dấu của tam thức bậc hai. Cho   2f x ax bx c   a)  0 0;af x x     b) Nếu  sao cho:   0af   thì  1 2 0 ;x x     để giải bài toán tìm cực trị trong tam giác Phần 3: Sử dụng đạo hàm để giải bài toán tìm cực trị trong tam giác. Phần 4: Dùng các bất đẳng thức để giải bài toán cực trị trong tam giác. Phần 5: Nêu ra một số bài toán cực trị trong tam giác. 8 Chƣơng 3 Cách xây dựng các bài toán cực trị trong tam giác. Trong chương này tác giả dùng các kiến thức phổ thông, các đẳng thức và bất đẳng thức cơ bản trong tam giác, các bất đẳng thức đã biết, bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopsky, bất đẳng thức Trêbưsep, bất đẳng thức Jensen để xây dựng lên các bài toán cực trị trong tam giác. Ngày tháng 12 năm 2016 Học viên 9 Một số ký hiệu dùng trong luận văn 1) ABC : tam giác ABC A;B;C: là các đỉnh, đồng thời là số đo ba góc của tam giác ABC. a; b;c: lần lượt là số đo độ dài ba cạnh BC; AC; AB. 2) ; ;a b ch h h : là độ dài các đường cao tương ứng các cạnh a; b; c. 3) ; ;a b cl l l : là độ dài các đường phân giác tương ứng các cạnh a; b; c. 4) ; ;a b cm m m : là độ dài các đường trung tuyến tương ứng các cạnh a; b; c. 5) ; ;a b cr r r : là bán kính đường tròn bàng tiếp tương ứng các góc:A;B;C. 6) R; r: là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC. 7) p; S: thứ tự là nửa chu vi và diện tích tam giác ABC. 8) Min; max: lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất. 9)  : với mọi. 10) CMR: chứng minh rằng. 11) Đpcm: Điều phải chứng minh. 12) ; ;   : lần lượt là tập số thực, tập số nguyên, tập số tự nhiên. 10 Chƣơng 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Các đẳng thức cơ bản trong tam giác 1.1.1. Các định lí và công thức cơ bản trong tam giác. 1.1.1.1. Định lý hàm số sin : 2 sin sin sin a b c R A B C    1.1.1.2. Định lý hàm số cos : 2 2 2 2 .cosa b c bc A   2 2 2 2 .cosb a c ac A   2 2 2 2 .cosc a b ab A   1.1.1.3. Định lý hàm số tan : tan 2 tan 2 A B a b A Ba b     tan 2 tan 2 B C b c B Cb c     tan 2 tan 2 C A c a C Ac a     1.1.1.4. Công thức tính diện tích tam giác ABC 1 1 1 ah 2 2 2 a b cS bh ch    1 1 1 .sin .sin .sin 2 2 2 ab C bc A ca B   ( ) ( ) ( ) 4 a b c abc pr p a r p b r p c r R         22 sin sin sinR A B C ( )( )( )p p a p b p c    (công thức He - ron) 11 1.1.1.5. Công thức bán kính: - Bán kính đường tròn ngoại tiếp: 2sin 2sin 2sin 4 a b c abc R A B C S     - Bán kính đường tròn nội tiếp: ( ) tan ( ) tan ( ) tan 2 2 2 A B C S r p a p b p c p        - Bán kính đường tròn bàng tiếp: tan 2 a A S r p p a    tan 2 b B S r p p b    tan 2 c C S r p p c    1.1.1.6. Công thức đƣờng trung tuyến 2 2 2 2 2 4 a b c a m    2 2 2 2 2 4 b c a b m    2 2 2 2 2 4 c a b c m    1.1.1.7. Công thức phân giác trong 2 cos 2 b ca B l c a   2 cos 2 c ab C l a b   2 cos 2 a bc A l b c   1.1.1.8. Công thức hình chiếu .cos .cos (cot cot ) 2 2 B C a b C c B r    12 .cos .cos (cot cot ) 2 2 A C b a C c A r    .cos .cos (cot cot ) 2 2 B A c a B b A r    Chứng minh ( Xem trong [1] ) 1.1.2. Một số đẳng thức cơ bản trong tam giác Trong mọi ABC ta luôn có: 1.1.2.1. sin sin sin 4cos cos cos 2 2 2 A B C A B C   1.1.2.2. sinh 2 sin 2 sin 2 4sin sin sinA B C A B C   1.1.2.3. 2 2 2sin sin sin 2cos cos cos 2A B C A B C    1.1.2.4. cos cos cos 4sin sin sin 1 2 2 2 A B C A B C    1.1.2.5. cos2 cos2 cos2 4cos cos cos 1A B C A B C     1.1.2.6. 2 2 2cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C     Chứng minh: Các bài từ 1.1.2.1. đến 1.1.2.6. đều chứng minh tương tự nhau đó là sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi vế trái thành vế phải . Lƣu ý: A B C    . Ta chứng minh 1.1.2.3. các ý còn lại tương tự Ta có   2 2 2 2 2 sin sin sin 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 2 2 cos( )cos( ) cos 2 cos cos( ) cos 2 cos .( 2).sin sin 2 2 2(1 cos cos cos ) A B C A B C A B A B C C A B C A C B A B C C A B C                           : 1.1.2.7. cot cot cot cot cot cot 2 2 2 2 2 2 A B C A B C    1.1.2.8. tan tan tan tan tan tan 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A    13 1.1.2.9. cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A   1.1.2.10. tan tan tan tan tan tanA B C A B C   ( ABC không vuông) Chứng minh Cách chứng minh của bốn bài từ 1.1.2.7. đến 1.1.2.10. tương tự nhau, ta chứng minh bài 1.1.2.9. Ta có: cot( ) cotA B C   cot cot 1 cot cot cot A B C A B      cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A    1.1.2.11. cos cos cos 2 2 2 4 A B C p R  ; sin sin sin 2 2 2 4 A B C r R  1.1.2.12. 4 tan tan tan 2 2 2 A B C r R p     ; cot cot cot 2 2 2 A B C p r    Chứng minh ( Xem trong [1] ) 1.1.3. Một số bài toán đẳng thức dạng tổng quát Chứng minh rằng trong mọi ABC và k ta luôn có: 1.1.3.1. sin(2 1) sin(2 1) sin(2 1)k A k B k C     ( 1) 4cos(2 1) cos(2 1) cos(2 1) 2 2 2 k A B Ck k k     1.1.3.2. 1sin 2 sin 2 sin 2 ( 1) 4sin sin sinkkA kB kC kA kB kC    1.1.3.3. cos(2 1) cos(2 1) cos(2 1)k A k B k C     1 ( 1) 4sin(2 1) sin(2 1) sin(2 1) 2 2 2 k A B Ck k k      1.1.3.4. cos2 cos2 cos2 1 ( 1) 4cos cos coskkA kB kC kA kB kC      1.1.3.5. tan tan tan tan tan tankA kB kC kA kB kC   1.1.3.6. cot(2 1) cot(2 1) cot(2 1) cot(2 1) cot(2 1) cot(2 1) 2 2 2 2 2 2 A B C A B C k k k k k k         1.1.3.7. 14 tan(2 1) tan(2 1) tan(2 1) tan(2 1) tan(2 1) tan(2 1) 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A k k k k k k         1.1.3.8. cot cot cot cot cot cot 1kA kB kB kC kC kA   1.1.3.9. 2 2 2cos cos cos 1 ( 1) 2cos cos coskkA kB kC kA kB kC     1.1.3.10. 2 2 2 1sin sin sin 2 ( 1) 2cos cos coskkA kB kC kA kB kC     Chứng minh Bài 1.1.3.1. là bài tổng quát của Bài 1.1.2.1. Ta có: sin(2 1) sin(2 1) sin(2 1)k A k B k C      2sin(2 1) cos(2 1) 2sin(2 1) cos(2 1) 2 2 2 2 A B A B C C k k k k        2( 1) cos(2 1) cos(2 1) cos(2 1) 2 2 2 k C A B A Bk k k             ( 1) 4cos(2 1) cos(2 1) cos(2 1) 2 2 2 k A B Ck k k     Bài 1.1.3.2.; bài 1.1.3.3.; bài 1.1.3.4. lần lượt là bài tổng quát của bài 1.1.2.2.; bài 1.1.2.3.; bài 1.1.2.4. cách chứng minh tương tự bài 1.1.3.1. Bài 1.1.3.5. là bài tổng quát của bài 1.1.2.10. Ta có:   tan tan tan tan ( ) tan( ) 1 tan tan kB kC kA k k B C kB kC kB kC           Từ đó có được: tan tan tan tan tan tankA kB kC kA kB kC   Bài 1.1.3.6. là bài tổng quát của bài 1.1.2.7. chứng minh tương tự bài 1.1.3.5. Bài 1.1.3.7. là bài tổng quát của bài 1.1.2.8. Ta có tan(2 1) tan(2 1)( ) 2 2 2 A B C k k       cot (2 1) (2 1) 2 2 B C k k          1 tan (2 1) (2 1) 2 2 B C k k         15 1 tan(2 1) tan(2 1) 2 2 tan(2 1) tan(2 1) 2 2 B C k k B C k k        Từ đó ta có đựơc: tan(2 1) tan(2 1) tan(2 1) tan(2 1) tan(2 1) tan(2 1) 1 2 2 2 2 2 A B C C A k k k k k k         Bài 1.1.3.8. là bài tổng quát của bài 1.1.2.9. cách chứng minh tương tự bài 1.1.3.7. Bài 1.1.3.9. là bài tổng quát của bài 1.1.2.6. Ta có: 2 2 2cos cos coskA kB kC   = 1 1 (1 cos 2 ) (1 cos 2 ) ( 1) cos cos ( ) 2 2 kkA kB kC k A B       1 ( 1) cos cos ( ) cos ( )k kC k A B k A B      1 ( 1) 2cos cos cosk kA kB kC   Bài 1.2.3.10. là bài tổng quát của Bài 1.2.1.3. chứng minh tương tự bài 1.2.3.9. của bài tập 1.2.1.; bài tập 1.2.2.; bài tập 1.2.3. 1.2. Một số bất đẳng thức đại số cơ bản 1.2.1. Bất đẳng thức Cauchy Cho n số không âm: 1 2, ,..., na a a Ta có bất đẳng thức: 1 2 1 2 ... ...n n n a a a a a a n     Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 2 ... na a a   1.2.2. Bất đẳng thức Bunhiacopski Cho n cặp số bất kì: 1 2 1 2, ,..., ; , ,...,n na a a b b b Ta có bất đẳng thức:   2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2( ... ) ... ...n n n na b a b a b a a a b b b          Hay gọn hơn: 16 2 2 2 1 1 1 n n n i i i i i i i a b a b                      Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi: : i ik a kb  (*) Với 1,2,...,i n (nếu 0; (*)ib i  được viết: 1 2 1 2 ... n n aa a b b b    ) 1.2.3. Bất đẳng thức Trêbƣsep Cho hai dãy số sắp thứ tự giống nhau: 1 2 1 2... ; ...n na a a b b b      Ta có bất đẳng thức sau: 1 2 1 2 1 1 2 2... ... ...n n n na a a b b b a b a b a b n n n                        (*) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... na a a   ; 1 2 ... nb b b   CHÚ Ý: Nếu hai dãy số trên sắp xếp ngược chiều nhau thì bất đẳng thức (*) đổi chiều. 1.2.4. Bất đẳng thức Jensen Bất đẳng thức Jensen là bất đẳng thức áp dụng cho hàm lồi. Trước hết xin nhắc lai định nghĩa hàm lồi. 1.2.4.1. Cho hàm số  y f x xác định trên  ;a b . Hàm f được gọi là lồi trên đó nếu thoả mãn điều kiện sau đây: Nếu  1 2 , , , 0 : 1x x a b m n m n      thì      1 2 1 2f mx nx mf x nf x   1.2.4.2. Hàm số  y f x xác định trên đoạn  ,a b gọi là lõm trên đó, nếu như -f(x) là lồi. Điều kiện đủ dùng để xét xem khi nào một hàm số là lồi (hoặc lõm) Cho f(x) là hàm liên tục đến đạo hàm cấp hai trên  ,a b . - Nếu như ''( ) 0; ( , )f x x a b   thì ( )f x là hàm lồi trên  ,a b - Nếu như ''( ) 0; ( , )f x x a b   thì  f x là hàm lõm trên  ,a b 17 1.2.4. 3. Bất đẳng thức Jensen Cho  f x là hàm lồi trên  ,a b . Giả sử  1 2, ,..., ,nx x x a b Khi đó ta có bất đẳng thức sau:      1 2 1 2 ... 1 ...n n x x x f f x f x f x n n               Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... .nx x x   1.3 . Các bất đẳng thức cơ bản trong tam giác. a) 2 3 coscoscos  CBA ( ABC nhọn) b) 2 33 sinsinsin  CBA c) 2 3 2 sin 2 sin 2 sin  CBA d) 2 33 2 cos 2 cos 2 cos  CBA e) 8 1 cos.cos.cos CBA f) 8 33 sin.sin.sin CBA g) 8 33 2 cos. 2 cos. 2 cos  CBA h) 8 1 2 sin. 2 sin. 2 sin  CBA i) 3cotcotcot  CBA ( ABC nhọn ) j) 33tantantan  CBA ( ABC nhọn). k) 3 2 tan 2 tan 2 tan  CBA l) 33 2 cot 2 cot 2 cot  CBA m) tan .tan .tan 3 3A B C  18 n) 33 1 2 tan. 2 tan. 2 tan  CBA Chứng minh (Xem trong [1]) 19 Chƣơng 2 Các bài toán cực trị trong tam giác 2.1. Một số phƣơng pháp giải bài toán cực trị trong tam giác. Nhận xét: Tuy số lượng các bài toán bất đẳng thức cũng như các bài toán cực trị trong tam giác tương đối nhiều và khó, nhưng nếu chúng ta nắm được các cách giải và vận dụng linh hoạt thì nó sẽ trở thành đơn giản. Các cách giải đó là gì? đó là dựa vào các phép biến đổi tương đương và sử dụng các phương pháp giải phù hợp như phương pháp vectơ, phương pháp tam thức bậc hai, phương pháp đạo hàmđó là sử dụng một số bất đẳng thức đã biết. Đặc biệt, đó là chú ý đến một đánh giá rất quan trọng sau về hàm số lượng giác cos , tức là cos 1x  với mọi x . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0x  . Ví dụ 1. Cho tam giác ABC , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau sin + sin B - cosM A C Lời giải Ta có in sin cos 2sin cos cos 2cos cos 2 2 2 A B A B C M s A B C C C          Lại có: 2 2 1 3 32cos cos 2cos 2cos 1 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 C C C C C                     Vì vậy: 3 sin sin cos 2 M A B C    Vậy 3 max 2 M  khi và chỉ khi 1 cos 2 2 A B C      tam giác ABC cân tạiC với 2 3 C   Ví dụ 2. Cho tam giác ABC , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 1 sin sin cos 3 P A B C   20 Lời giải Ta có: 1 1 1 sin sin cos 2sin cos cos 2cos cos 2 2 23 3 3 A B A B C P A B C C C          Lại có: 2 2 1 1 2cos cos 2cos (2cos 1) 2 2 23 3 2 3 3 1 5 3 cos 2 2 2 63 3 C C C C C                 Vì vậy: 1 5 3 sin sin cos 3 6 A B C   Vậy 5 3 max 6 P  khi và chỉ khi tam giác ABC cân tại C với 3 C   2.1.1. Phƣơng pháp vectơ Sử dụng các tính chất a. . .a b a b    b. 2 1 0 n i i a          Ví dụ 3. Cho tam giác ABC , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau T= 3 cos 2cos 2 3 cosA B C  Lời giải Gọi 1 2 3; ;e e e    thứ tự là các vectơ sau đây 1 2 3; ; . BC CA AB e e e BC CA AB          Ta có    21 2 30 2 3 4 3 1 2 3 cos 2cos 2 3 cose e e A B C            Suy ra 3 cos 2cos 2 3 cos 4A B C   (đpcm) Vậy max 4T  1 2 32 3 2 3 0e e e      