LỜI CAM ĐOAN.i
LỜI CẢM ƠN .ii
MỤC LỤC.iii
MỞ ĐẦU . 1
1. Lý do chọn đề tài . 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu . 1
3. Phương pháp nghiên cứu . 2
4. Bố cục của luận văn. 2
Chương 1: HÀM ĐIỀU HÒA DưỚI VÀ m - ĐIỀU HÒA DưỚI. 3
1.1. Hàm điều hòa dưới. 3
1.2. Hàm đối xứng sơ cấp . 4
1.3. Hàm m-điều hòa dưới và toán tử Hessian. 5
1.4. m - dung lượng tương đối. . 8
1.5. Hàm m - cực trị tương đối . 10
Chương 2: CÁC LỚP NĂNG LưỢNG HỮU HẠN KIỂU CEGRELL. 13
2.1. Các định nghĩa và tính chất. 13
2.2. Toán tử Hessian phức . 21
2.3. Tích phân từng phần . 25
2.4. Nguyên lý so sánh. 26
Chương 3: PHưƠNG TRÌNH HESSIAN TRONG CÁC LỚP CEGRELL. 32
3.1. Các hàm năng lượng . 32
3.2. Sự tồn tại nghiệm của phương trình Hessian trong các lớp Cegrell . 37
KẾT LUẬN . 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO. 48
53 trang |
Chia sẻ: honganh20 | Ngày: 26/02/2022 | Lượt xem: 353 | Lượt tải: 3
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Các lớp cegrell của hàm M - Điều hoà dưới và phương trình hessian trong các lớp cegrell, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
U của 0z và
0( ( )) j$ Î WE
j m
, j j]
j
trong U và }( )j
W
< + ¥òj m jsup H .
{ }0 (( ) ( ) : ( ), & ( )) j j j j j-
W
Î $ Î < + ¥W = W W òF E ]m m j m j m jjsup HSH .
Chú ý 2.1.4. ) .( ( )
m loc m
SH L- ¥Ç ÌW WE Thật vậy, giả sử ( )
m
Hu S - WÎ và
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
15
0 0
( , ) .Î Wz B z r Ð Xét hàm
, ,
W
=
m B
h h . Ta biết 0 ) (WÎ E
j m
h và 1h º - trong
B . Với mỗi 0A > đủ lớn, ta có
0 max( , ) ( ) Î WE
m
u Ah và max( , ) =u A h u
trong B .
Định lý 2.1.5. Lớp ( )WE
m
là lớp con lớn nhất của ( )
m
SH - W thỏa mãn:
)i Nếu , ( ) ( )-Î W WÎ E
m m
u v SH thì max( , ) ( .)WÎ E
m
u v
)ii Nếu , , , ( ) ( )j - ¥Î Î Ç ¯W W E
m j m loc j
L uH uSu thì ( )
jm
H u hội tụ yếu.
Chứng minh. Dễ kiểm tra ( )WE
m
thỏa mãn điều kiện )i .
Giả sử , ( .( ) ,) - ¥Î ¯W WÎ Ç E
m j m loc j
SHu u L u u Cố định hàm kiểm tra c
với giá compact K WÐ và 0( )Î W E
m
h . Với mỗi j ta lấy
j
n sao cho
.
j j
u n h³ trong một lân cận của K . Đặt 0
max( , . ( )) j = Î W E
j j j m
u n h , ta thấy
( ,)j ¯ Î WE
j m
u và ( )j
m j
H là hội tụ yếu đến ( )
m
H u theo định nghĩa của
).(WE
m
Chú ý
j j
u j= gần K , kéo theo ( ) ( )c c
W W
®ò òm j mH Hu u .
Bây giờ, giả sử ( )-Ì WK
m
SH thử lại (i) và (ii). Lấy Î Ku . Ta cần chứng minh
( ) Î W E
m
u . Lấy dãy 0 ( ) ( )WÎ Ç W E
mj
u C sao cho
j
u u¯ trên W. Điều này có
thể thực hiện được nhờ áp dụng định lý chính quy hóa toàn cục. Xét tập
compact tương đối B WÐ và với mỗi j đặt
( ){ }sup / -Î W= Āj m jh v SH v u trên B .
Khi đó, 0 ) (WÎ E
j m
h và ( ) Ì
m j
su hppH B với j" . Hơn nữa
j
h u¯ trên B và
sup ( ) sup ( )
W
= < + ¥ò òm j m j
Bj j
H h H h
vì ( )
jm
H h hội tụ yếu theo (ii) W.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
16
Chú ý 2.1.6. Theo Định lý 2.1.5 mỗi ( ) Î W E
m
u là địa phương trong ( )WF
m
tức là với mỗi K WÐ tồn tại ( )Î WF%
m
u sao cho u u=% trên K .
Định nghĩa 2.1.7. -p năng lượng ( 0)>p của 0 ( )j WÎ E
m
được xác định bởi
( )( ) ( )j j j
W
= -ò
p
p m
e H .
Ta tổng quát bất đẳng thức Holder trong bổ đề sau đây. Khi =m n nó là kết
quả của Persson [13].
Bổ đề 2.1.8. Giả sử 0
1
, , , ( )¼ WÎ E
m m
u v v và 1p ³ . Khi đó ta có
1 1
1 1,
(( ) ( ) ( ) ( ))b - + + +
W
¼ Ā- Ù Ù Ù ¼ò
p
p c c n m m p m p m p
m j p p p p m
u udd v dd v D v ve e e (2.1),
ở đó
,1
1
j
D = và với mỗi 1>p , ta có
( )( , )/ 1
,1
a -
=
p p m p
j
D p , ở đó
( ) 2( , ) 2 (( 1) / ) 1a -= + + - -mp m p p p p .
Chứng minh. Với 0
1
(, ), ,¼ WÎ E
m m
u v v , đặt
1 1
( , , , ) ( ) .b -
W
- Ù Ù Ù¼ = ¼ò
p c c n m
m m
F u v v dd v dd vu
Theo Định lý 4.1 [13] chỉ cần chứng minh
1
1 1
1 1 1 1
( , , , ( ) ( , , , , , )) ) ( ,+ +
-
¼ Ā ¼ ¼
p
p p
m m m
F u v v a p F u v v F u v v (2.2)
trong đó ( ) 1 =a p nếu 1 p = và 1( ) -=
p
pa p p nếu 1.p >
Đặt
1 1
. c c n m
m
T dd v dd v b -
-
Ù Ù¼Ù= Khi 1=p , (2.2) trở thành
1 1
2 2( ) ( ) ( ) ,( ) ( )
W W W
Ù Ā Ù Ù- - -ò ò ò
c c cdd v T dd u dd v TvTu u
đây là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Trong trường hợp 1p > , lặp lại phép
chứng minh của Mệnh đề 1.3.5, để nhận được
1( ) ( ) ( ) .-
W W
- - -Ù Ā Ùò ò
p c p cu udd v T p dd u Tv
Theo bất đẳng thức Holder ta nhận được
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
17
1 1
( ) (( ( .)) ( ) )
-
W W W
Ù - -Ā Ù- Ùò ò ò
p
p c p c p cp pdd v T p dd u T dd u Tu u v (2.3)
Bằng cách thay đổi u và v ta được
1 1
(( ) ( ) ) .() ( )
-
W W W
- - -Ù Ā Ù Ùò ò ò
p
p c p c p cp pdd u T p dd v T dd v Tv u v (2.4)
Kết hợp (2.3) và (2.4) ta có điều phải chứng minh. W
Từ Bổ đề 2.1.8 có thể làm trội
0 1 1
( )p c c n m
m
u dd u dd u b -
-
W
¼Ù Ù Ùò bởi
( )
jp
e u , 0,...=j m nếu 1.p ³ Để có các đánh giá tương tự khi (0,1)Îp có thể
tham khảo trong [8].
Bổ đề 2.1.9. Cho 0 , ( )
m
u v Î W E và 0 1.p< < Nếu T là m - dòng dương đóng
có dạng
1
c c n m
m k
T dd v dd v b -
-
Ù Ù Ù= ¼ , ở đó ( ) ¥WÎ Ç
j m loc
u SH L , thì
2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )c c cp k p k p ku dd v u dd u v dd vT T T
W W W
Ā- Ù - -+Ù Ùò ò ò .
Chứng minh. Ta sẽ dựa theo chứng minh Mệnh đề 2.5 trong [8].
Đặt ( ) ( ) :pt tc - -= - - ®¡ ¡ và chú ý rằng (2 ) ( ), 0t t tc cÿ "ÿĀ < . Khi đó
0
( ) ( )( ) ( )( ) c k c ku dd v T t dd v T u t dtc c
W
- ¥
ÿ- Ù Ù= <ò òo
0
2 ( )( ) ( 2 ) .c kt dd v T u t dtc
- ¥
ÿĀ <Ùò
Vì ( 2 ) ( ) ( ),u t u v t v t< Ì < + È < nên ta được
0
( ) 2 ( )( ) ( 2( ) )c k c ku dd v T t dd v T u v t dtc c
W
- ¥
ÿ- Ù Ā < +Ù +ò òo
2 ( ) .( ) c kv dd v Tc
W
+ - Ùò o
Theo nguyên lý so sánh ta nhận được
( ) ( ) ( ) ( ).c k c kdd v T u v t dd u T u v t< + Ā < +Ù Ù
Từ đó và chú ý ( ) ( )u v t v t< + Ì < suy ra điều phải chứng minh. W
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
18
Mệnh đề 2.1.10. Giả sử 0 1p< < . Khi đó tồn tại 0
p
C > sao cho
10 0
0 max( ) ( ),.p c c n m
m p jpj m
T dd dd C ej jj j b -
Ā ĀW
- ¼Ù Ù Ù ÙĀ Āò
với mọi 0
0
0 ( ), ,
m m
j j³ ¼ Î WE .
Chứng minh. Áp dụng Bổ đề 2.1.9 với
0 1
, u vj j= = và
2
c c n m
m
T dd ddj j b -Ù Ù Ù= ¼ ta có đánh giá sau đây
0 1 0 0 1
2 2( ) ( ) ( 1)p c p c p cdd T dd d TT dj j j j j
W W W
- Ā - +Ù Ù - Ùò ò ò (2.5)
Tiếp theo, ta giả sử
0 1
j j= . Đặt
1
m
i
i
u e j
=
= å , trong đó 0e > khá bé.
Chú ý rằng
1
( ) .c m n m m c c n m
m
dd du d ddb e j j b- -Ù Ù Ù Ù³ ¼ (2.6)
Điều này là đủ để điều chỉnh ( ) ( ), 1p
i m
uH i mj
W
- Ā Āò . Một lần nữa sử
dụng Bổ đề 2.1.9 ta được
2( ) ( ) ( ) (2 )
i m p p
p
i
H e eu uj j
W
- Ā +ò ,
trong đó ( )( ) ( )
p
p m
u ue u H
W
= -ò .
Do tính chất dưới cộng tính và tính thuần nhất của pt t® , ta có
1
( ) ( )( )
m
p p
p m
j
j
ue u e Hj
W
=
Ā -òå
từ đó
1 1
2
.
1 2
( ) ( ) ( )
m m
p
i m p ip
i i
H e
m
uj j
eW
= =
- Ā -
-
òå å (2.7)
Từ (2.5), (2.6) và (2.7) ta nhận được
( )0 1 1
4
max ,
1
(
2
)p c c n m
m im p i m
m
dd dd e
m
c
j j j b j
e e
-
Ā ĀW
- ¼ Ā
é ù-ê úû
Ù Ù
ë
Ùò
từ đó suy ra kết quả cần chứng minh. W
Từ Bổ đề 2.1.8 và Mệnh đề 2.1.10 suy ra kết quả sau đây
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
19
Hệ quả 2.1.11. Cho dãy 0( )) (
j m
u Ì WE và 0p > . Nếu ( ,)
j jp
usup e < + ¥ thì
1
( )2 j p
j m
j
u u
¥
-
=
Î= Wå E .
Bây giờ ta có thể chứng minh tính lồi của các lớp Cegrell.
Định lý 2.1.12. Ký hiệu E là một trong các lớp 0 ,( ) ( )W WE E
m m
, ( )WF
m
, ( )WEp
m
,
( ) , WF p
m
1.p > Khi đó chúng là lồi và hơn nữa nếu , ( )
m
v u SH -Î Î WE , u v³
thì u Î E .
Chứng minh. Xét lớp ( )W . Giả sử 0, ( )Î W E
m
u v . Ta sẽ chứng minh
( )
( ) 0
m
u tv
H u v
=
+ =ò đối với 0t > hầu khắp nơi.
Thật vậy, hàm ( ) ( ), 0f t u tv tm= là giảm và liên tục phải, vì
( )
m
vH um = + là độ đo Borel. Thực tế là ( ) , 0f t t suy ra từ
nguyên lý so sánh như sau
( )
1
( ) ( )
tm m
u tv u u v
t
u v u vH Hæ ö+ ÷ç ÷< < +ç ÷ç ÷çè ø
+ Ā+=ò ò
( )
1
1
( ) .
m
t mmu u v
t
t
H u
t
æ ö+ ÷ç ÷< +ç ÷ç ÷çè ø
+
Ā < + ¥ò
Do đó,
0
0
lim ( ) ( )
t t
f t u t vm
-®
= Ā kéo theo tập { }0 / ( ) 0I t u tvm m == > >
trùng với tập các điểm gián đoạn của f . Vì hàm sau cùng là giảm, nên ta suy ra
I
m
là không quá đếm được. Vậy
( )
( ) 0
m
u tv
H u v
=
+ =ò đối với 0t > hầu khắp nơi.
Bây giờ cố định 0t > và áp dụng nguyên lý so sánh một lần nữa ta có
( ) ( )0 0
( ) ( ) ( )
m m m
u tv u tv
u v u vH H H u v
W -
+ + += +ò ò ò
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
20
( )
1
1
( ) ( )
t m m
u u v t v u v
t
H u Hv u væ ö+ ÷ç ÷< + + < +ç ÷ç ÷çè ø
++= +ò ò
1
(1 )
(1 )
(1 )( ) ( )
m
m
t
u u v t v um v
m m
t
t
uH t H
t
v
+
< + + < +
+
Ā + + < + ¥ò ò
(
(1 )
(1 )) ( )
m
m
m mm
t
H t Hu v
t W W
+
Ā + + < + ¥ò ò
Như vậy, 0( )+ Î W E
m
u v , từ đó 0( )WE
m
là lồi.
Bây giờ, giả sử 0( )WÎ E
m
u và ) (-Î W
m
v SH . Đặt max( , )w = u v ta sẽ
chứng minh rằng ( )
m
H w có khối lượng hữu hạn. Cố định 0( )WÎ E
m
h sao cho
1 h m- Ā Ā . Lấy tích phân từng phần ta nhận được
( ) ( ).
m m
H uhH hw
W W
³ò ò
Cho 1h ¯ - ta được ( ) ( ) .
m m
H H uw
W W
Ā < + ¥ò ò
Lập luận tương tự có thể được sử dụng để chứng minh kết quả đối với các lớp
, ( ) ( )W WE F
m m
.
Bây giờ xét các lớp ( )WEp
m
. Giả sử (, ) Î WEp
m
u v và
, j j
u v là hai dãy trong
0( )WE
m
giảm đến ,u v tương ứng và thỏa mãn :
( )( ) ( )max , ( ) ) .(p pj mj j j jmsu u u v vp H H
W W
- ¥- < +ò ò
Ta chứng minh
( ) ( )
p
j mj j j j
s vup Hu u v
W
- + ¥- < +ò .
Theo bất đẳng thức Holder vấn đề còn lại là điều chỉnh các số hạng
( ) ( ) ( )p c k c m k n m
j jj
dd u du vd b- -
W
- Ù Ùò
và
( ) ( ) ( ) .p c k c m k n m
j j j
v vdd u dd b- -
W
- Ù Ùò
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
21
Tích phân sau cùng suy ra từ Bổ đề 2.1.8 và Mệnh đề 2.1.10
Bây giờ giả sử ( ), ( )p
m m
u SH v-Î W Î WE và u v³ . Lấy dãy 0
)( ( )
j m
v Ì WE và
0
( ( ) ( ))
j m
u CW ÇÌ WE sao cho
, ,
j j j j
v v u u u v³] ] và
( ) j p jsup e v < + ¥ .
Nếu 1p ³ , thì theo Mệnh đề 2.1.8 ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ..
p m
p m p m p
p m p pj j j j j
e H cu v e eu v u+ +
W
-Ā Āò
Khi đó ta kết luận ( )
j p j
usup e < + ¥ và ( )Î WEp
m
u .
Nếu 0 1p< < với mỗi j , đặt
( )p
j j
h v= - - . Khi đó
j
h bị chặn, m - điều hoà
dưới và triệt tiêu trên biên. Lấy tích phân từng phần ta được
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
j j j jp m jm j p
u h u hH H veve
W W
Ā Ā =- -ò ò
Kết hợp hai bước ở trên ta nhận được các kết quả đối với lớp ( )WF p
m
. W
2.2. Toán tử Hessian phức
Trong phần này ta chứng minh toán tử Hessian phức ( )
m
H u được xác
định tốt với mọi
0
( ) ( )p
m m
p
u
>
Î W WE EU . Trước tiên ta chứng minh rằng các hàm
liên tục trong 0( )WE
m
có thể được sử dụng như là hàm test.
Bổ đề 2.2.1. 0 0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m m
C C C¥ W Ì W Ç W - W Ç WE E .
Chứng minh. Cố định
0
( )Cc ¥Î W và 00 ( )
m
y> Î WE . Chọn 0A > đủ lớn sao
cho
2
Ac + z là hàm đa điều hòa dưới. Lấy , a b Î R sao cho
2
) A .( cc
W
< < + <a inf sup z b
Xét
2
1
max( , )j c y= + -A z b B và
2
2
max( , )j y= -A z b B , ở đó B đủ
lớn sao cho y < -B a b trong suppc . Dễ kiểm tra 0
1 2
, ( )j j Î WE
m
và
1 2
c j j= - . Suy ra điều phải chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
22
Định lý 2.2.2. Giả sử 0( ), 1, ,p
m
u p mÎ W = ¼E và 0( ) ( )Ì WEp
j j m
g sao cho
,p p
j
g u p¯ " . Khi đó dãy các độ đo 1 2c c c m n m
j j j
dd g dd g dd g b -Ù Ù Ù Ù¼ hội tụ
yếu đến độ đo Radon dương 1c c m n mdd u dd u b -Ù Ù¼Ù , giới hạn yếu này
không phụ thuộc vào việc chọn dãy ( )p
j
g
Chứng minh. Trước tiên, giả sử ( )
W
< + ¥ò
p
j m j
sup H g . Khi đó với mỗi
0( ),
m
h Î WE 1 2c c c m n m
j j j
hdd g dd g dd g b -
W
Ù Ù Ù Ù¼ò là dãy giảm. Hơn nữa
( )( ( ) .) W
W W
³ > - ¥ò ò
p p
m j m j
H g inf h sup H gh
Như vậy ta thấy rằng
1 2c c c m n m
j j j
hdd g dd g dd g b -
W
Ù Ù Ù Ù¼ò tồn tại với mọi
0 ( )
m
h Î WE .
Như là hệ quả, 1 2c c c m n m
j j j
dd g dd g dd g b -Ù Ù Ù Ù¼ là dãy hội tụ yếu. Bây giờ
giả sử ( )p
j j
v là dãy khác cũng giảm tới , 1, .pu p m= ¼ Ta có
1 2 b -
W
Ù Ù¼ Ù Ù =ò
c c c m n m
j j j
hdd v dd v dd v
1 2 c c c m n m
j j j
v dd h dd v dd v b -
W
Ù Ù Ù= ¼Ùò
1 2 c c c m n m
j j
u dd h dd v dd v b -
W
Ù Ù Ù³ ¼Ùò
11
1 2 lim b -
® + ¥ W
Ù= ¼Ù Ù Ùò
c c c m n m
s j js
g dd h dd v dd v
11
2 1 . li ..m b -
® + ¥ W
Ù Ù Ù Ù ³= ¼ò
c c c m n m
j s js
v dd h dd dd vg
1 21 2
1 2 lim lim lim b -
® + ¥ ® + ¥ ® + ¥ W
Ù Ù³ Ù¼ Ù¼ ò
m
m
c c c m n m
j s s ss s s
h dd g dd g dd g
1 2 lim .b -
® + ¥ W
Ù Ù Ù Ù= ¼ò
c c c m n m
s s ss
hdd g dd g dd g
Từ điều này ta kết luận 1 2lim b -
® + ¥ W
Ù Ù Ù Ù¼ò
c c c m n m
j j jj
hdd v dd v dd v tồn tại và
giới hạn này không bé hơn 1 2lim b -
® + ¥ W
Ù Ù Ù¼ Ùò
c c c m n m
j j jj
dd g dd g dd g .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
23
Bằng cách hoán vị
p
j
g và p
j
v ta nhận được đẳng thức.
Vấn đề còn lại là bỏ đi giả thiết ( )p
j m j
sup H g
W
< + ¥ò . Không mất tính tổng
quát ta giả sử
p
j
g liên tục. Cho K là tập con compact của W. Phủ K bởi W
q
,
1, ,= ¼q N và cố định ( ) , 1, , ; 1, , pq
j j
h p m q N= ¼ = ¼ là dãy hội tụ tới pu
trong
q
W như trong định nghĩa của ( ).
m
WE
Đặt
1
.w
=
= å
N
p pq
j j
j
h Ta có thể xắp xếp lại dãy pq
j
h sao cho p p
j j
w gĀ trên .U q
q
W
Dễ thấy 0 ( )p
j m
w Î WE và (sup )
W
< + ¥ò
p
m j
j
H w . Đặt
max )( , =p p p
j j j
v g w ,
ta được (sup )
W
< + ¥ò
p
m j
j
H v và =p p
j j
v g gần K . W
Hệ quả 2.2.3. Giả sử
1
, , ( )
m m
u u¼ Î WF và 0
1
, , ( ) ( )j j
m m
u u Cμ W Ç WE
giảm tới
1
, ,
m
u u¼ tương ứng sao cho
,
( )p
j p m j
sup H u
W
< + ¥ò .
Khi đó với mỗi 0( ) ( )
m
Cj Î W Ç WE ta có
1 1
lim .c j c j n m c c n m
m mj
dd u dd u dd u dd uj b j b- -
® + ¥ W W
¼ = ¼Ù Ù Ù Ù Ù Ùò ò
Chứng minh: Ta có
1
sup c j c j n m
m
j
dd u dd u b -
W
Ù Ù Ù¼ < + ¥ò (2.8).
Cố định 0e > đủ bé và xét max( , ).
e
j j e= Hàm
e
j j- là liên tục với giá
compact trong W. Từ Định lý 2.2.2 suy ra
1 1
( (lim ) ) .c j c j n m c c n m
m mj
dd u dd u dd u dd u
e e
j j b j j b- -
® + ¥ W W
Ù Ù Ù Ù Ù- = Ù¼ - ¼ò ò
Chú ý rằng .
e
j eĀ Sử dụng (2.8) ta được kết quả cần chứng minh. W
Hệ quả 2.2.4. Giả sử 0( ) ( )
j m
u Ì WE giảm tới u sao cho
( ) .
j m j
sup uH
W
< + ¥ò
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
24
Khi đó với mỗi 0 ( )
m
h Î WE ta có
) ).( (
m mj
h hHu uH ®
Chứng minh. Với mỗi hàm test c , hàm hc là nửa liên tục trên. Như vậy,
( ) ( ) (lim . ) ( )
m mjj
h u hinf H uHc c
® + ¥ W W
- ³ -ò ò
Cho Q là điểm tụ tuỳ ý của dãy ( .)) (
m j
H uh- Theo bất đẳng thức trên suy ra
( ) .( )
m
h H uQ ³ - Hơn nữa, từ Hệ quả 2.2.3 suy ra dãy ( ) ( )
m j
Hh u
W
-ò tăng tới
(( )) .
m
uh H
W
-ò Điều này kéo theo khối lượng toàn phần của Q bé hơn hoặc
bằng khối lượng toàn phần của ( )( )
m
h H u- do đó các độ đo này bằng nhau. W
Các lập luận tương tự có thể sử dụng cho các lớp ( ), 0p
m
E pW > . Ta có:
Định lý 2.2.5. Cho 1, , ( ), 0m
m
pu u pμ W >E và 0( ) ( )i
j j m
g Ì WE sao cho
, 1, ...,i i
j
g u i m" =¯ và
,
( .)
ji j p
igsup e < + ¥
Khi đó dãy độ đo 1 2c c c m n m
j j j
dd g dd g dd g b -Ù Ù Ù Ù¼ hội tụ yếu đến một độ đo
Radon dương mà không phụ thuộc vào cách chọn dãy ( ).i
j
g Khi đó ta định
nghĩa 1 2 mc c c n mu udd dd dd u b -¼Ù Ù Ù Ù là giới hạn yếu đó.
Chứng minh. Cố định 0 ( )
m
h Î WE . Khi đó
1 2 c c c m n m
j j j
hdd g dd g dd g b -
W
Ù Ù Ù Ù¼ò
là giảm. Từ Bổ đề 2.1.8 và Mệnh đề 2.1.10 ta nhận được
1 2( ) .c c c m n m
j j j j
sup h dd g dd g dd g b -
W
¼- Ù ÙÙ Ù < + ¥ò
Như vậy giới hạn 1 2c c c m n m
j j j j
lim hdd g dd g dd g b -
W
Ù ÙÙÙ¼ò tồn tại với mỗi
0 ( )
m
h Î WE . Điều này kéo theo sự hội tụ của dãy
1 2c c c m n m
j j j
dd g dd g dd g b -Ù Ù Ù Ù¼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
25
theo Bổ đề 2.2.1. Để chứng minh phần còn lại ta lặp lại phép chứng minh của
Định lý 2.2.2. W
Hệ quả 2.2.6. Cho
1
, , ( ), 0
m m
pu u pμ W >E và 0
1
, , ( )j j
m m
u u μ WE là các dãy
hàm giảm tới
1
, ,
m
u u¼ tương ứng sao cho
( ) ( ), .
p
j j
j k k m k
sup u H u
W
- < + ¥ò
Khi đó với mỗi 0( ) ( )
m
Cj Î W Ç WE ta có
1 1
.lim c j c n m c c
m
n m
mj
judd u dd dd u dd uj b j b- -
® + ¥ W W
¼ ¼Ù Ù Ù = Ù Ù Ùò ò
Chứng minh. Như trong chứng minh của Hệ quả 2.2.3, ta có
1 1
( (lim ) ) .c j c j n m c c n m
m mj
dd u dd u dd u dd u
e e
j j b j j b- -
® + ¥ W W
Ù Ù Ù Ù Ù- = Ù¼ - ¼ò ò
Do đó chỉ cần chứng minh rằng
1
(m 0,li ) c j jc n m
j m
dd u dd u
e
j b -
® + ¥ W
- Ù Ù Ù =¼ò
trong đó ax( , ).m
e
j j e= - Số hạng ở vế trái bị trội bởi
1
1
( ) .p p c j c j n m
m
dd u dd u
e
e bj- -
W
- Ù Ù Ù¼ò
Ta biết
e
j j= gần biên của .W Như vậy
( )( ) ( ) ( )p pp m me H e He e ejj j j
W W
= - Ā- ò ò
Áp dụng Bổ đề 2.1.8 và Mệnh đề 2.1.10, ta có điều phải chứng minh. W
2.3. Tích phân từng phần
Từ Định lý 2.2.2 và Hệ quả 2.2.3 ta chứng minh công thức tích phân từng
phần của hàm trong các lớp ( ), 0p
m
pW >E và ( ).
m
WF
Định lý 2.3.1.Giả sử
1
, , ,
p m
u v j j¼ Î F và 1
1
.c c n m
p
T dd ddj j b - -¼Ù Ù Ù=
Khi đó .c cudd v T vdd u T
W W
Ù = Ùò ò
Chứng minh. Cho
1 1
, , ,j j
j j m
u v j j
-
¼ là các dãy trong 0( ) ( )
m
CW Ç WE giảm tới
1 1
, , ,
m
u v j j
-
¼ tương ứng sao cho khối lượng toàn phần bị chặn đều:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
26
, ,c c
j j j j j j
sup dd T sup dd Tu v
W W
Ù < + Ù¥ < + ¥ò ò
trong đó
1 1
.c j c j n m
j m
T dd ddj j b -
-
= Ù¼ Ù Ù
Từ Định lý 2.2.2 suy ra c c
j j j
dd u T dd u T® ÙÙ . Với mỗi k Î ¥ cố định và
j k> tuỳ ý ta có
.c c c
k k k k j j j j j
v dd u T v dd u T v dd u T
W W W
Ù ³ ³Ù Ùò ò ò
Khi đó dãy các số thực c
j j
v dd u T
W
Ùò giảm tới { }a Î È - ¥R nào đó. Cho
j ® + ¥ ta nhận được ,c
k
v dd u T a
W
Ù ³ò từ đó ta thu được
.cvdd u T a
W
Ù ³ò Với mỗi k cố định ta cũng có
limc c c
k k j jj
vdd u T v dd u T v dd u T
® + ¥W W W
Ù Ā Ù = Ùò ò ò
c
k k k
v dd u T
W
Ā Ùò
Suy ra ,cu Tvdd a
W
Ù =ò ta có điều phải chứng minh. W
Ta có kết quả sau đối với các lớp ( ), 0p
m
pW >E nhờ lập luận tương tự.
Định lý 2.3.2. Tích phân từng phần thực hiện được trong ( ), 0p
m
pW >E . Chính
xác hơn, giả sử , ( ), 0p
m
u v pÎ W >E và T là m - dòng dương đóng có dạng
1 1
,c c n m
m
T dd ddj j b -
-
¼Ù Ù Ù= trong đó ( ),
j m
p jj Î W "E . Khi đó
.c cudd v T vdd u T
W W
Ù = Ùò ò
2.4. Nguyên lý so sánh
Trong phần này ta chứng minh nguyên lý so sánh có hiệu lực trong lớp
( ), 0p
m
pW >E .
Bổ đề 2.4.1. Cho E Ì W là tập mở và ( ), 1p
m
pj Î W ³E Khi đó
( )( ) ( ) .jj + +Āò
p m
p m p m
m m p
E
EH Cap e
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
27
Chứng minh. Giả sử E là tập compact tương đối trong W. Kí hiệu
, ,m E
u u
W
=
là hàm m - cực trị của E trong W. Khi đó 0 ( )
m
u Î WE và 1u = - trong E . Từ
Bổ đề 2.1.8 ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
p
p
m
m p
E
m p
m m p p
H u H e u ej j j+ +
W
- ĀĀò ò
( ) ( ) ( ) ( )( ) .
p m p m
m p p m p m p m
m p m p
H u e Cap E ej j+ + + +
W
Ā =ò W
Bổ đề 2.4.2. Cho E Ì W là tập mở và 0( )
m
j Î WE và 0 1p< < . Khi đó với
mỗi 0e > đủ bé ta có
( )
1
( ) ( ) ( ) (2 2 .)
m
p
m m m p
E
E EH Cap Cap e
e
ej j
-
Ā +ò
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thế giả sử E WÐ . Cho u là hàm
m - cực trị của E đối với .W Đặt ( ) ( )
m m
a E uCap H
W
= = ò . Nếu 0a = ta có
đẳng thức xảy ra. Như vậy, ta giả sử 0a > . Áp dụng Bổ đề 2.1.9 ta được
( )) )/( (
p
p
m m
E
H a u a He ej j
W
Ā -ò ò
( ) ( ) 2 / 2
p p
p p
a e u a a ee e e jĀ + 1 2 2 ( .)m p
p
a a ee e j-Ā + W
Định lý 2.4.3. Cho , ( ), 0p
m
u v pÎ W >E và đặt { }A u v= > . Khi đó
( )( , ) .( )A m A mH H max u vu =I I
Chứng minh. Lấy 0( ) ( )
j m
u Ì WE giảm tới u như trong định nghĩa của ( )
m
p WE .
Từ Mệnh đề 1.4.9 ta thu được
( )) )( ( ,
j j
jA m A m j
H H max u vu =I I (2.9),
ở đó { }.j jA u v= > Đặt ( , 0).j jmax u vy -= Khi đó
max( , 0)
j
u vy y -¯ = , tất cả các hàm ở đó đều là hàm tựa liên tục.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
28
Cố định 0d > và đặt ,
j
j
j
g g
y y
y d y d
=
+
=
+
. Nhân (2.9) với
j
g ta thu được
( )( ) ( , )mjj m j jg H g H max uu v= (2.10)
Bây giờ, giả sử
0
( )Cc ¥Î W là hàm test và cố định 0e > . Khi đó tồn tại
tập mở U Ì W sao cho ( )
m
Cap U e< và tồn tại các hàm số ,
j
j j liên tục trong
W mà nó trùng với ,
j
y y tương ứng trên \ .K U= W Sự hội tụ đơn điệu
j
y y¯ kéo theo
j
j hội tụ đều tới j trên K SuppcÇ , điều này kéo theo sự
hội tụ đều của
j
j
j
h
j
j d
=
+
đến h
j
j d
=
+
trên K SuppcÇ .
Trong các lập luận tiếp theo, ta lấy C là hằng số dương không phụ thuộc
vào , .j e Vì ,
j j
g h bị chặn đều, nên theo Bổ đề 2.4.1 và Bổ đề 2.4.2 ta có
( ) ( ) ( ) .
j m j m
U
j jmj
g H h H C H Cu u uc c e
W W
- Ā Āò ò ò (2.11)
Ta cũng thu được
( ) ( ) ( )
m m m
U
gH hH C Hu u uc c
W W
- Āò ò ò
( )lim
jmj U
C inf uH C e
® + ¥
Ā Āò
(2.12)
Hơn nữa, do h liên tục trên W và ,( ) ( )
m mj
H Hu u® nên ta có
( ) ( )lim ( ) 0
m j mj
h H Hu uc
® + ¥ W
- =ò
Từ đó, ta được
( ) (lim sup lim sup) ( ) .
j m j m j mj j j
u uH hH uh h h Hcc c
® + ¥ ® + ¥W W W
- Ā -ò ò ò
Vì
j
h hội tụ đều tới h trên K suppcÇ , nên ta có
( ) ( ) ( )
j m j m j m
U K
j j j
h h H h h H hu u H uhc c c
W
- = - + -ò ò ò
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
29
( )
( .) . ( )
m j mL K su jpj pU
C H H uh hu
c
c
¥ Ç W
Ā + -ò ò
Từ hai bất đẳng thức trên ta thu được
(lim sup . ) ( )
j m j mj
h H hHu u Cc c e
® + ¥ W W
- Āò ò (2.13)
Từ (2.11), (2.12) và (2.13) suy ra
lim su (p ) ( ) .
jj m mj
g H gu uH Cc c e
W W
- Āò ò
Ta chứng tỏ ( ) ( )
j m mj
g H gHu u® Theo cách tương tự, ta nhận được
max( , ))( (max( , ))
j m j m
ug u v gH vH ®
và do đó
( ) (max( , ))
m m
ugH uH vg= .
Cho 0d ® thì 1g ® , từ đó suy ra điều phải chứng minh. W
Định lý 2.4.4. Giả sử , ( ), 0p
m
u v pÎ W >E sao cho u vĀ trên W. Khi đó
( ) ( ).
m m
u vH H
W W
³ò ò
Chứng minh. Cho ( ),( )
j j
u v là hai dãy trong 0( )
m
WE giảm tới ,u v tương ứng,
0( ) ( ).
m
h CÎ W Ç WE Giả sử , .
j j
u v jĀ " Tích phân từng phần ta được
( ) ( ) ( ) ( ).
m j jm
h v h uH H
W W
- Ā -ò ò
Khi đó theo Hệ quả 2.2.6 ta có
( ) (i ) ( ) ( )l m
jm mj
h v Hh vH
® + ¥ W W
-=-ò ò
và
( ) ( ) ( ) (li )m .
jm mj
h uH h H u
® + ¥ W W
-=-ò ò
Từ đó suy ra
( ) ( ) ( ) ( ).
m m
h v H uH h
W W
Ā- -ò ò
Cho 1h -] ta có điều phải chứng minh W
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
30
Định lý 2.4.5. Nếu ( )p
m
u Î WE thì ( ) ( ) ( .)p
p m
e Hu u u
W
= - < + ¥ò Nếu ( )
i
j j
u
0( ), 0,..., ;
m
i mÌ W =E
( )i j p
j m
u u¯ Î WE thì
0 1 1( ) ( ) .c c m n m c c m n
j
m
j j
u udd u dd u dd u dd ub b- -
W W
- Ù Ù Ù - Ù¼Ù Ù¼ò òZ
Chứng minh. Từ Định lý 2.2.5 suy ra
1 1c c m n m c c m n m
j j j
T dd u dd u T dd u dd ub b- -¼ == Ù Ù Ù Ù Ù Ù¼ý
Hơn nữa, vì 0
0
)( ( )
j
u u-- Z và các hàm đều nửa liên tục dưới, nên ta có
0 0( ) .( )
jj j
lim inf Tu u T
W W
-³-ò ò
Như vậy, điều này là đủ để chứng minh rằng
0 0( ) ,( .)
j j
T ju u T
W W
Ā- - "ò ò
Giả sử 0( ) ( )
m
h CÎ W Ç WE : 0 .u hĀ Tích phân từng phần và áp dụng Hệ quả
2.2.6 ta được ) ( )(
j j
h T
W
-ò Z ( )Th
W
-ò , suy ra điều phải chứng minh. □
Định lý 2.4.6. Nếu 0p > và , ( )p
m
u v Î WE thì
{ } { }
( ) ( ).
m m
u v u v
H vu H
> >
Āò ò
Chứng minh. Cố định
0
( ) ( )h CÎ W Ç WE . Độ đo ( )
m
H v triệt tiêu trên các tập
m - cực. Như trong chứng minh của Mệnh đề 2.1.12 với hầu khắp r , ta có thể
chỉ ra rằng
{ }
( ) .( ) 0
m
v ru
Hh v
=
- =ò
Từ đó suy ra
{ }
( ) 0( )
m
u v
Hh v
=
- =ò . Từ Định lý 2.4.3 ta nhận được
{ } { }
( )( ) max( , )m mu v u vH H u vu> >=I I và
{ } { } ( )( ) max( , )m mu v u vH H u vv< <=I I .
Hơn nữa, như trong chứng minh của Định lý 2.4.4, ta có thể chứng minh
( ) (max( , )) ( ) ( ).
m m
h H u v h H u
W W
- Ā -ò ò
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
31
Từ đó ta nhận được
{ } { }
( )( ) ( ) ma ( , )( ) xm m
u v u v
H H u vh u h
> >
-=-ò ò
( )
{ }
max( , ) (max( ,( )))
m m
u v
H u v hH u vh
W <
Ā +-ò ò
{ } { }
( ) ( ) ( ) ( )( )
m m m
u v u v
H hHh v hv vH
W > >
Ā + = --ò ò ò
Cho 1h ¯ - ta được điều phải chứng minh. W
Định lý 2.4.7. Cho , ( ) ( 0)p
m
u v pÎ W >E sao cho )( ) (
m m
H Hu v³ . Khi đó
u vĀ trong W .
Chứng minh. (Phản chứng) Giả sử tồn tại
0
z Î W sao cho
0 0
( ) ).(v z u z< Lấy
h là hàm vét cạn của W và chọn 0R > sao cho
0
, .z z R z- Ā " Î W Cố định
e đủ bé sao cho 2
0
( ) .h z Re< - Hàm vét cạn
{ }
2
2
0
( ) ( ), ( ) .P z max h z z z Re= - -
là liên tục trong W và thoả mãn ( ) m n
m
PH e b³ gần
0
.z Lấy 0h > đủ nhỏ sao
cho
0 0 0
( ) ( ) ( ).v z u z P zh< +
Độ đo Lebesgue của tập
{ } 0/ ( ) ( ) ( ) ( , )T z v z u z P z B zh d= Î W Điều
này suy ra ) 0.(
m
T
PH >ò Như vậy, Định lý 2.4.6 cho ta
( ) ( ).m m
T T
H u P H vh+ Āò ò
Hơn nữa,
( ) ( ( .) )mm m m
T T T
uH u P H H Ph h+ ³ +ò ò ò
Suy ra
( )( ) ( ) .m
m m m
TT T
H v uH H Ph³ +ò òò
Mâu thuẫn với giả thiết )( ) (
m m
H Hu v³ . Vậy u vĀ trong W. W
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- luan_van_cac_lop_cegrell_cua_ham_m_dieu_hoa_duoi_va_phuong_t.pdf