Luận văn Các phương pháp tiếp cận vi mô Ginzburg - Landau

∑ p (1− 2n¯) 2J(g − p)Gp,f + (1− 2n¯) δ(t− t′)δgf , (2.46) phương trình này không còn chứa hàm Green bậc cao hơn nữa. Thực hiện phép biến đổi Fourier đối với hàm Green Gg,f (t) =  +∞ −∞ Gg,f (E)e−iEtdE, (2.47) và viết lại phương trình (2.46) dưới dạng EGg,f = 1 2pi (1− 2n¯) δgf + [2µBH + (1− 2n¯) 2J(0)]Gg,f −∑ p (1− 2n¯) 2J(g − p)Gp,f (2.48) 68 2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm Giải phương trình này ta nhận được hàm Green Gq(E) = 1 2pi 1− 2n¯ E − Eq (2.49) trong đó Gq(E) là ảnh Fourier của Gg,f (E) Gg,f (E) = 1 N ∑ q ei(g−f)qGq(E), (2.50) và Eq = 2µBH + (1− 2n¯) 2 (J(0)− J(q)) , J(q) = ∑ f J(f)eifq. (2.51) Từ đây ta cũng nhận được hàm tương quan và 〈 b†f (t′), bg(t) 〉 = 1 N ∑ q ei(g−f)qe−iEq(t−t ′) 1− 2n¯ e Eq θ − 1 (2.52) từ phương trình này ta có thể xác định tham số độ từ hóa σ σ = 〈 Szg 〉 = 1− 2n¯, (2.53) thỏa mãn phương trình 1 σ = v (2pi)3  coth 1 + σ (1− i(q)) τ dq (2.54) trong đó h, τ, i(q) tương ứng là từ trường, nhiệt độ, tích phân trao đổi không thứ nguyên được xác định như sau h = µBH J(0) ,τ = θ J(0) , i(q) = J(q) J(0) . (2.55) 2.2. Phương pháp tích phân phiếm hàm Phương pháp tích phân phiếm hàm đã được áp dụng rộng rãi trong vật lý lý thuyết trong những thập niên gần đây. Phương pháp này được xây dựng trên khái niệm tích phân theo các quỹ đạo mà Feynman đưa vào vật lý để phát biểu lại cơ học lượng tử 69 2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm bằng ngôn ngữ quen thuộc hơn. Sau đó nó đã được sử dụng trong vật lý thống kê và cuối cùng cho lý thuyết trường lượng tử. Nó có một loạt tính chất ưu việt hơn các phương pháp khác như: sự tổng quát, thuận tiện cho những lớp rộng rãi các hệ, bao gồm cả những hệ không chính tắc, lượng tử hóa các trường vật lý phức tạp. Các quy tắc về kỹ thuật giản đồ Feynman đã được phát triển trong điện động lực học lượng tử đầu tiên dựa trên tích phân quỹ đạo. Ưu việt của nó ở chỗ nó cho phép thiết lập sự tổng quát của lý thuyết trường và vật lý thống kê lượng tử, cùng với việc sử dụng các phương pháp tính toán vượt ra khỏi lý thuyết nhiễu loạn thông thường. Điều này cho phép khả năng nghiên cứu các cấu trúc phức tạp của cả hai lý thuyết trên và đặc biệt là các lý thuyết trường chuẩn trong việc mô tả tương tác của các hạt cơ bản. Trong mục này chúng tôi có hai mục tiêu: (i) Tính hàm phân bố của hệ. Động cơ là chỉ ra rằng các trung bình lượng tử của các hệ nhiều hạt trong cân bằng nhiệt động có thể được tính bằng cách sử dụng tích phân phiếm hàm theo các cấu hình trường. (ii) Thực hiện phép biến đổi HS-để cung cấp một hình thức luận nghiêm khắc, chặt chẽ ở đó lý thuyết hiện tượng luận GL có thể được liên hệ với một lý thuyết vi mô cơ bản. 2.2.1. Biến số Grassmann Theo đòi hỏi của thống kê Fermi-Dirac tích phân phiếm hàm cho các hệ fermion phải chứa các hàm phản giao hoán. Để phù hợp với đặc điểm này ta cần thiết phải đưa vào các biến phản giao hoán gọi là các biến số Grassmann. Đại số Grassmann được xây dựng bằng một tập hợp các hàm sinh, ký hiệu là {ψα} với α = 1, . . . , n, phản giao hoán ψαψβ + ψβψα = 0, (2.56) đặc biệt ψ2α = 0 (2.57) Cơ sở của đại số Grassmann được tạo ra bởi tất cả các tích khác nhau của các hàm sinh Vì một số trong đại số Grassmann là một tổ hợp tuyến tính với các hệ số phức của các số {1, ψα1 , ψα1ψα2 , . . . , ψα1ψα2 · · ·ψαn} trong đó quy ước rằng các chỉ số αi được xắp thứ tự α1 < α2 < . . . < αn. Số chiều của một đại số Grassmann với n hàm sinh là 2n bởi vì các phần tử cơ sở khác nhau được sinh ra bởi hai khả năng bao gồm 0 hoặc 1 lần xuất hiện trong mỗi tích n hàm sinh. Vì vậy, một biểu diễn ma trận của các số Grassmann đòi hỏi các ma trận có tối thiểu 2n × 2n chiều. Trong một đại số với một số chẵn n = 2p các hàm sinh, có thể định nghĩa một sự liên hợp các toán tử theo cách 70 2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm sau. Chọn một tập hợp p hàm sinh ψα và với mỗi hàm sinh ψα ta liên hợp với nó một hàm sinh, ký hiệu là ψ∗α, các tính chất sau xác định sự liên hợp: (ψα)∗ = ψ∗α; (ψ∗α) ∗ = ψα, (2.58) nếu λ là một số phức thì (λψα)∗ = λ∗ψ∗α, (2.59) và với tích bất kỳ các hàm sinh (ψα1ψα2 · · ·ψαn)∗ = ψ∗αnψ∗αn−1 · · ·ψ∗α1 . (2.60) Phép lấy đạo hàm theo biến Grassmann được định nghĩa đồng nhất với phép đạo hàm theo biến số phức ngoại trừ thứ tự lấy đạo hàm. Toán tử đạo hàm ∂ψ tác dụng lên ψ phải là phản giao hoán đến tận khi nó sát với ψ, chẳng hạn ∂ ∂ψ (ψ∗ψ) = −ψ∗ ∂ ∂ψ (ψ) = −ψ∗ (2.61) Phép lấy tích phân theo các biến Grassmann được định nghĩa là một phép ánh xạ tuyến tính có các tính chất cơ bản của tích phân thông thường khi các hàm triệt tiêu ở vô cùng là: tích phân của một vi phân chính xác thì bằng không. Điều này kéo theo tích phân của 1 bằng 0, vì 1 là đạo hàm của ψ. Chỉ có tích phân của ψ là không triệt tiêu vì ψ không là một đạo hàm,  dψ1 = 0;  dψψ = 1 (2.62) Dễ dàng chứng minh được tích phân Gaussian cho các biến Grassmann được cho bởi biểu thức  dψ∗dψe−ψ ∗Aψ = detA (2.63) trong đó A là một ma trận Hecmit. 71 2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm 2.2.2. Hamiltonian và hình thức luận Trong hình thức luận tích phân phiếm hàm, hàm phân bố của hệ nhiều hạt tại nhiệt độ tuyệt đối T có dạng tổng quát: Z = Tr exp {−β [H − µN ]} =  [Dψ] [ Dψ¯ ] exp { −  β 0 dτL [ ψ, ψ¯, τ ]} , (2.64) trong đó L [ ψ, ψ¯, τ ] là Lagrangian được cho bởi L [ ψ, ψ¯, τ ] =L0 [ ψ, ψ¯, τ ] +Lint [ ψ, ψ¯, τ ] , (2.65) với L0 [ ψ, ψ¯, τ ] =  dx ∑ σ ψ¯σ(x, τ) [ ∂ ∂τ − ∇ 2 2m − µ ] ψσ(x, τ) (2.66) và Lint [ ψ, ψ¯, τ ] = ∑ αβγδ  dy  dz ψ¯α(y, τ)ψ¯β(z, τ)Vαβγδ(y− z)ψδ(z, τ)ψγ(y, τ) (2.67) lần lượt là Lagrangian tự do và Lagrangian tương tác, còn β = 1 kBT , τ là thời gian ảo có giá trị từ 0 đến β, µ là thế hóa học. Gọi F0 là hàm phân bố của hệ fermions tự do, ta có F0 =  DψDψ¯ exp − β  0 dτL0 [ ψ, ψ¯, τ ] =  DψDψ¯ exp − β  0 dτ  dx ∑ σ ψ¯σ(x, τ) [ ∂ ∂τ − ∇ 2 2m − µ ] ψσ(x, τ)  (2.68) Đưa vào các kí hiệu {x, τ} −→ x; {x′, τ ′} −→ x′ β  0 dτ  dx −→  dx; β  0 dτ ′  dx′ −→  dx′ δ(x− x′)δ(τ − τ ′) −→δ(x− x′) G(x− x′, τ − τ ′) −→G(x− x′), (2.69) 72 2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm hàm phân bố của hệ fermion tự do (2.68) được viết lại như sau F0 =  DψDψ¯ exp { −  dx ∑ σ ψ¯σ(x) [ ∂ ∂τ − ∇ 2 2m − µ ] ψσ(x) } . (2.70) Đưa vào phiếm hàm sinh F0 [η, η¯] =  DψDψ¯ exp { −  dx ∑ σ ψ¯σ(x) [ ∂ ∂τ − ∇ 2 2m − µ ] ψσ(x) } × exp [  dx ∑ σ ( ψ¯σ(x)ησ(x) + η¯σ(x)ψσ(x) )] , (2.71) và gọi Gσσ′(x− x′) là nghiệm của phương trình [ ∂ ∂τ − ∇ 2 2m − µ ] Gσσ′(x− x′) = δσσ′δ(x− x′), (2.72) tịnh tiến các biến tích phân của phiếm hàm (2.71) ψσ(x) −→ ψσ(x)−
dx′Gσσ′(x− x′)ησ′(x′) ψ¯σ(x) −→ ψ¯σ(x)−
dx′ η¯σ′(x′)Gσ′σ(x′ − x), (2.73) [ ψ¯σ(x)−  dx′ η¯σ′(x′)Gσ′σ(x′ − x) ]( ∂ ∂τ − ∇ 2 2m − µ ) × [ ψσ(x)−  dx′′Gσσ′′(x− x′′)ησ′′(x′′) ] = ψ¯σ(x) ( ∂ ∂τ − ∇ 2 2m − µ ) ψσ(x)−  dx′ η¯σ′(x′)Gσ′σ(x′ − x) ( ∂ ∂τ − ∇ 2 2m − µ ) ψσ(x) − ψ¯σ(x) ( ∂ ∂τ − ∇ 2 2m − µ )  dx′′Gσσ′′(x− x′′)ησ′′(x′′) +  dx′ η¯σ′(x′)Gσ′σ(x′ − x) ( ∂ ∂τ − ∇ 2 2m − µ )  dx′′Gσσ′′(x− x′′)ησ′′(x′′) = ψ¯σ(x) ( ∂ ∂τ − ∇ 2 2m − µ ) ψσ(x)− η¯σ(x)ψσ(x)− ψ¯σ(x)ησ(x) +  dx′ η¯σ′(x′)Gσ′σ(x′ − x)ησ(x), (2.74) 73 2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm ta nhận được F0 =  DψDψ¯ exp { −  dx ∑ σ ψ¯σ(x) [ ∂ ∂τ − ∇ 2 2m − µ ] ψσ(x) } × exp {  dx ∑ σ ( ψ¯σ(x)ησ(x) + η¯σ(x)ψσ(x) )} × exp { −  dx  dx′ ∑ σσ′ η¯σ′(x′)Gσ′σ(x′ − x)ησ(x) } (2.75) Từ (2.75) và (2.71) ta có thể viết F0 [η, η¯] = F0 exp {  dx  dx′ ∑ σσ′ η¯σ(x)Gσσ′(x− x′)ησ′(x′) } . (2.76) Hàm phân bố của hệ fermion có tương tác khi đó được biểu diễn qua phiếm hàm sinh của hệ fermion tự do như sau Z = exp − β  0 Hint [ δ δηβ(x) , δ δη¯α(x) ] dτ F0 [η, η¯] |η=η¯=0 (2.77) 2.2.3. Áp dụng cho hệ siêu dẫn BCS Nhằm chỉ ra phương pháp chung để liên hệ lý thuyết GL với một lý thuyết vi mô cơ bản, trong mục này chúng tôi mô tả một số tính toán chi tiết của chính các tác giả bằng công cụ tích phân phiếm hàm trên mô hình siêu dẫn BCS. Đối với hệ siêu dẫn BCS, Hamiltonian của hệ cho bởi H = H0 +H1 H0 = ∑ σ={↑↓}  dxψ†σ (x) ( −∇ 2 2m − µ ) ψσ (x) H1 = −g2 ∑ αβ  dydzψ†α (y)ψ † β (z)ψβ (z)ψα (y) (2.78) trong đó g2 là một hằng số tương tác dương (tương tác hút) giữa các điện tử có spin hướng lên (↑) và hướng xuống (↓) còn µ là thế hóa học. 74 2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm Hàm phân bố của hệ siêu dẫn là Z =  DψDψ¯ exp − β  0 dτL0 [ ψ, ψ¯, τ ] × exp g2 ∑ αβ β  0 dτ  dy  dz ψ¯α(y, τ)ψ¯β(z, τ)ψβ(z, τ)ψα(y, τ)  . (2.79) Đưa vào trường phụ vô hướng phức Φβα(z,y, τ),Φ∗αβ(y, z, τ) phản đối xứng dưới sự hoán vị đồng thời các tọa độ không gian và các chỉ số spin Φβα(z,y, τ) =− Φαβ(y, z, τ), Φ∗αβ(y, z, τ) =− Φ∗βα(z,y, τ), (2.80) và đặt ZΦ0 =  DΦDΦ∗ exp[−κ2 β  0 dτ  dy  dz ∑ αβ Φ∗αβ(y, z, τ)Φβα(z,y, τ)] (2.81) trong đó κ là hằng số có thứ nguyên của khối lượng được đưa vào để có thứ nguyên đúng với Φ, dĩ nhiên kết quả vật lý sẽ không phụ thuộc vào κ. Trong phiếm hàm (2.81) thực hiện phép dịch chuyển các biến tích phân κΦβα(z,y, τ) −→ κΦβα(z,y, τ)− gψβ(z, τ)ψα(y, τ) κΦ∗αβ(x,y, τ) −→ κΦ∗αβ(x,y, τ)− gψ¯α(y, τ)ψ¯β(z, τ), (2.82) Dưới sự trợ giúp của phép biến đổi HS, tương tác 4-fermion có thể được biểu diễn dưới dạng trường phụ liên hợp của cặp fermion như sau exp − β  0 dτH1(ψ¯, ψ)  = 1ZΦ0  DΦDΦ∗ exp −κ2  dτ  dy  dz∑ αβ Φ∗αβ(y, z, τ)Φβα(z,y, τ)  × exp gκ ∑ αβ β  0 dτ  dy  dz [ ψ¯α(y, τ)ψ¯β(z, τ)Φβα(z,y, τ) + Φ∗αβ(y, z, τ)ψβ(z, τ)ψα(y, τ) ] (2.83) 75 2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm Hàm phân bố (2.79) trở thành Z = 1ZΦ0  DΦDΦ∗ exp −κ2  dτ  dy  dz∑ αβ Φ∗αβ(y, z, τ)Φβα(z,y, τ)  ×  DψDψ¯ exp − β  0 dτL0 [ ψ, ψ¯, τ ] × exp gκ∑ αβ β  0 dτ  dy  dz ψ¯α(y, τ)ψ¯β(z, τ)Φβα(z,y, τ) + Φ∗αβ(y, z, τ)ψβ(z, τ)ψα(y, τ)  = 1ZΦ0  DΦDΦ∗F [Φ,Φ∗] × exp −κ2  dτ  dy  dz∑ αβ Φ∗αβ(y, z, τ)Φβα(z,y, τ)  , (2.84) trong đó F [Φ,Φ∗] =  DψDψ¯ exp − β  0 dτL0 [ ψ, ψ¯, τ ] × exp gκ∑ αβ β  0 dτ  dy  dz ψ¯α(y, τ)ψ¯β(z, τ)Φβα(z,y, τ) + Φ∗αβ(y, z, τ)ψβ(z, τ)ψα(y, τ)  (2.85) Biểu thức này mô tả hệ fermion hiệu dụng bậc hai kết cặp với các trường phụ được đưa vào bởi phép biến đổi HS. Các trường phụ mới thỏa mãn điều kiện Φαβ(y, z, τ) = gψα(y, τ)ψβ(z, τ), (2.86) và tuân theo tính chất hermitan Φαβ(y, z, τ)∗ = Φ∗βα(z,y, τ). (2.87) 76 2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm Bởi vì δ δη¯α(y) exp {  dx ∑ σ ( ψ¯σ(x)ησ(x) + η¯σ(x)ψσ(x) )} = ψα(y) exp {  dx ∑ σ ( ψ¯σ(x)ησ(x) + η¯σ(x)ψσ(x) )} (2.88) δ δηα(y) exp {  dx ∑ σ ( ψ¯σ(x)ησ(x) + η¯σ(x)ψσ(x) )} = −ψ¯α(y) exp {  dx ∑ σ ( ψ¯σ(x)ησ(x) + η¯σ(x)ψσ(x) )} (2.89) δ2 δη¯β(z)δη¯α(y) exp {  dx ∑ σ ( ψ¯σ(x)ησ(x) + η¯σ(x)ψσ(x) )} = −ψσ(y)ψβ(z) exp {  dx ∑ σ ( ψ¯σ(x)ησ(x) + η¯σ(x)ψσ(x) )} (2.90) δ2 δηβ(z)δηα(y) exp {  dx ∑ σ ( ψ¯σ(x)ησ(x) + η¯σ(x)ψσ(x) )} = −ψ¯α(y)ψ¯β(z) exp {  dx ∑ σ ( ψ¯σ(x)ησ(x) + η¯σ(x)ψσ(x) )} (2.91) cho nên nếu thực hiện sự thay thế ψ¯α(y)ψ¯β(z) −→− δ 2 δηβ(z)δηα(y) ψα(y)ψβ(z) −→− δ 2 δη¯β(z)δη¯α(y) (2.92) 77 2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm ta có thể viết lại (2.85) như sau: F [Φ,Φ∗] =  DψDψ¯ exp { −  dx ∑ σ ψ¯σ(x) [ ∂ ∂τ − ∇ 2 2m − µ ] ψσ(x) } × exp gκ∑ αβ  dy  dz [ ψ¯α(y)ψ¯β(z)Φβα(z, y) + Φ∗αβ(y, z)ψβ(z)ψα(y) ] = exp gκ∑ αβ  dy  dz [ − δ 2 δηβ(z)δηα(y) Φβα(z, y) − Φ∗αβ(y, z) δ2 δη¯β(z)δη¯α(y) ]F0 [η, η¯] ∣∣∣∣ η=η¯=0 = F0 exp −gκ∑ αβ  dy  dz [ δ2 δηβ(z)δηα(y) Φβα(z, y) + Φ∗αβ(y, z) δ2 δη¯β(z)δη¯α(y) ] × exp {  dx  dx′ ∑ σσ′ η¯σ(x)Gσσ′(x− x′)ησ′(x′) } ∣∣∣∣ η=η¯=0 (2.93) Trong khai triển hàm mũ chứa Φ,Φ∗ của biểu thức (2.93) các số hạng bậc m của nó có dạng (a+ b)m, sau khi các phép lấy đạo hàm được thực hiện ta đặt η = η¯ = 0 thì trong (2.93) chỉ còn lại các số hạng bậc chẵn chứa số bằng nhau các hàm Φ và Φ∗ F [Φ,Φ∗] =F0 ∞∑ n=0 (gκ)2n 1(2n)! (2n)! n!n! ∑ αβ  dy  dzΦ∗βα(z, y) δ2 δη¯α(y)δη¯β(z) n × ∑ α′β′  dy′  dz′ δ 2 δηβ′(z′)δηα′(y′) Φα′β′(z′, y′) n × exp {  dx  dx′ ∑ σσ′ η¯σ(x)Gσσ′(x− x′)ησ′(x′) } ∣∣∣∣ η=η¯=0 (2.94) Vì các chỉ số tọa độ và spin đều biến thiên theo cùng một quy luật nên để đơn giản cách viết ta chỉ viết theo chỉ số spin và quy ước khi một chỉ số được lặp lại hai lần trong một biểu thức tích thì có nghĩa là lấy tổng theo chỉ số đó, khi đó một số bậc đầu tiên (xem chi tiết trong phụ lục A) của (2.94) là: F (2) = 2F0(gκ)2 ( Φ∗GΦGT ) = F0(2gκ)2 (1 2Φ ∗GΦGT ) , (2.95) 78 2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm F (4) = 2F0(gκ)4 {( Φ∗GΦGT )2 − 2 (Φ∗GΦGTΦ∗GΦGT)} = F0(2gκ)4 { 1 2! (1 2Φ ∗GΦGT )2 + ( −14Φ ∗GΦGTΦ∗GΦGT )} , (2.96) F (6) =F0(gκ)6 13!3! { 48 ( Φ∗GΦGT )3 − 288 (Φ∗GΦGT) (Φ∗GΦGTΦ∗GΦGT) + 384 ( Φ∗GΦGTΦ∗GΦGTΦ∗GΦGT )} =F0(2gκ)6 { 1 3! (1 2Φ ∗GΦGT )3 + (1 2Φ ∗GΦGT )( −14Φ ∗GΦGTΦ∗GΦGT ) + (1 6Φ ∗GΦGTΦ∗GΦGTΦ∗GΦGT )} , (2.97) F (8) = F0(2gκ)8 { 1 4! (1 2Φ ∗GΦGT )4 + 12 (1 2Φ ∗GΦGT )2 ( −14Φ ∗GΦGTΦ∗GΦGT ) + 12 ( −14Φ ∗GΦGTΦ∗GΦGT )2 + (1 2Φ ∗GΦGT )(1 6Φ ∗GΦGTΦ∗GΦGTΦ∗GΦGT ) + ( −18Φ ∗GΦGTΦ∗GΦGTΦ∗GΦGTΦ∗GΦGT )} (2.98) Lưu ý rằng: 1 + ∞∑ n=1 F (2n) =F0 exp { 1 2(2gκ) 2 ( Φ∗GΦGT ) − 14(2gκ) 4 ( Φ∗GΦGTΦ∗GΦGT ) + 16(2gκ) 6 ( Φ∗GΦGTΦ∗GΦGTΦ∗GΦGT ) − 18(2gκ) 8 ( Φ∗GΦGTΦ∗GΦGTΦ∗GΦGTΦ∗GΦGT ) + · · · } , (2.99) ta nhận được kết quả: F [Φ,Φ∗] =F0 exp { 1 2Tr ln [ 1 + (2gκ)2 ( Φ∗GΦGT )]} (2.100) 79 2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm Như vậy hệ hiệu dụng bậc hai F [Φ,Φ∗] ở trên có thể được tính một cách chính xác bằng phương pháp tích phân phiếm hàm theo các biến Grassmann của các điện tử và có thể biểu diễn dưới dạng hình thức như (2.100). Bây giờ đưa vào một hàm nguồn cho trường Φ có dạng Z [j, j∗] = 1ZΦ0  DψDψ¯DΦDΦ∗ exp − β  0 dτL0 [ ψ, ψ¯, τ ] × exp −κ2  dτ  dx  dy∑ αβ Φ∗αβ(y, z, τ)Φβα(z,y, τ)  × exp gκ∑ αβ β  0 dτ  dy  dz [ ψ¯α(y, τ)ψ¯β(z, τ)Φβα(z,y, τ) + Φ∗αβ(y, z, τ)ψβ(z, τ)ψα(y, τ) ] × exp gκ∑ αβ β  0 dτ  dy  dz [ j∗αβ(y, z, τ)Φβα(z,y, τ) + Φ∗αβ(y, z, τ)jβα(y,x, τ) ] (2.101) Hàm phân bố bây giờ là Z = Z [j, j∗] ∣∣∣ j=j∗=0 (2.102) Đặt (2.85) vào (2.101), ta có Z [j, j∗] = 1ZΦ0  DΦDΦ∗F [Φ,Φ∗] exp −κ2  dτ  dy  dz∑ αβ Φ∗αβ(y, z, τ)Φβα(z,y, τ)  × exp gκ ∑ αβ β  0 dτ  dy  dz [ j∗αβ(y, z, τ)Φβα(z,y, τ) + Φ∗αβ(y, z, τ) jβα(z,y, τ) ] (2.103) 80 2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm Lại đặt (2.100) vào (2.103), và áp dụng công thức tính tích phân Gaussian ta có Z [j, j∗] = F0ZΦ0  DΦDΦ∗ exp { 1 2Tr ln [ 1 + (2gκ)2 ( Φ∗GΦGT )]} exp { −κ2Φ∗Φ + gκ [j∗Φ + Φ∗j] } = F0ZΦ0  DΦDΦ∗ exp { 1 2Tr ln [ 1 + (2gκ)2 ( δ δj G δ δj∗ GT )]} exp { −κ2Φ∗Φ + gκ [j∗Φ + Φ∗j] } = F0ZΦ0 exp { 1 2Tr ln [ 1 + (2gκ)2 ( δ δj G δ δj∗ GT )]}  DΦDΦ∗ exp { −κ2Φ∗Φ + gκ [j∗Φ + Φ∗j] } = F0ZΦ0 exp { 1 2Tr ln [ 1 + (2gκ)2 ( δ δj G δ δj∗ GT )]} exp { g2j∗j } (2.104) Để tính hàm nguồn Z [j, j∗] ta viết nó dưới dạng Z [j, j∗] = F0ZΦ0 exp { 1 2Tr ln [ 1 + χ2 ( δ δj G δ δj∗ GT )]} exp { g2j∗j } = F0ZΦ0 exp { 1 2χ 2 ( G δ δj∗ GT δ δj ) − 14(χ 2)2 ( G δ δj∗ GT δ δj G δ δj∗ GT δ δj ) + 16(χ 2)3 ( G δ δj∗ GT δ δj G δ δj∗ GT δ δj G δ δj∗ GT δ δj ) + · · · } exp { g2j∗V j } = F0ZΦ0 exp { ∞∑ n=1 1 2n(−1) n−1(χ2)nG δ δj∗ GT δ δj · · ·G δ δj∗ GT δ δj︸ ︷︷ ︸ An } exp { g2j∗V j } = F0ZΦ0 ∞∑ N=0 Z(N) [ δ δj∗ , δ δj ] exp { g2j∗V j } = ∞∑ N=0 ZN [j, j∗] . (2.105) Có thể chứng minh (để chi tiết xem phụ lục B) được số hạng đạo hàm bậc thứ N theo 81 2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm cặp ( δ δj∗ , δ δj ) có dạng sau Z(N) [ δ δj∗ , δ δj ] = AN + 1 2! (Aq1Aq2) + 1 3! (Aq1Aq2Aq3) + · · ·+ 1 m! Aq1 · · ·Aqm︸ ︷︷ ︸ m + · · ·+ 1 N ! A1 · · ·A1︸ ︷︷ ︸ N = N∑ m=1 1 m! ∑ P ∏ i 1 ki! (Aqi) ki = { N∑ m=1 1 m! ∑ P ∏ i 1 ki! (Ωqi)ki } δλ1σ1 . . . δλ2N−1σ2N−1 ×  δ δj∗ σ ′ 1σ ′ 2 δ δjσ2λ1 · · · δ δj∗ σ ′ 2N−1σ ′ 2N δ δjσ2Nλ2N−1  (2.106) trong đó ∑ qiki = N,∑ ki = m, P là số hoán vị có thể có của các {Aqi} trong tích. Và khi đó (để chi tiết xem phụ lục C) tác dụng của số hạng đạo hàm bậc thứ N theo cặp ( δ δj∗ , δ δj ) lên hàm mũ exp { g2jα1α2Vα1α2α′1α ′ 2 j∗ α ′ 1α ′ 2 } có kết quả là  δ δj∗ σ ′ 2N−1σ ′ 2N δ δjσ2Nλ2N−1 · · · δ δj∗ σ ′ 1σ ′ 2 δ δjσ2λ1  exp{g2jα1α2Vα1α2α′1α′2j∗α′1α′2 } =  1N ! ∑ P(β′1···β′N) ∑ P (α1···αN ) ( g2V ) αNβ ′ N · · · ( g2V ) α1β′1 + 1 N ! ×N ∑ P(β′1···β′N) ∑ P (α1···αN ) ( g2V ) αNβ ′ N · · · ( g2V ) α2β′2 ( g2V j∗ ) α1 ( g2j V ) β′1 + · · · + 1 N ! N (N − 1)! ∑ P(β′1···β′4) ∑ P (α1···α4) ( g2V ) αNβ ′ N × ( g2V j∗ ) αN−1 ( g2j V ) β′N−1 · · · ( g2V j∗ ) α1 ( g2j V ) β′1 + 1 N ! × 1 N ! ∑ P(β′1···β′4) ∑ P (α1···α4) ( g2V j∗ ) αN ( g2j V ) β′N · · · ( g2V j∗ ) α1 ( g2j V ) β′1  × exp { g2jα1α2Vα1α2α′1α ′ 2 j∗ α ′ 1α ′ 2 } 82 2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm = ∆N(γ1 · · · γN , α1 · · ·αN)  1N ! ( g2V )N + · · · + 1(N − k)! ( g2V )N−k ( 1 k! )2 [( g2V j∗ ) ( g2jV )]k + · · · + ( 1 N ! )2 [( g2V j∗ ) ( g2jV )]N  ×∆N(γ′1 · · · γ′N , β′1 · · · β′N) exp { g2jα1α2Vα1α2α′1α ′ 2 j∗ α ′ 1α ′ 2 } = ∆N  N∑ k=0 1 (N − k)! ( g2V )N−k ( 1 k! )2 [( g2V j∗ ) ( g2jV )]k ∆N × exp { g2jα1α2Vα1α2α′1α ′ 2 j∗ α ′ 1α ′ 2 } (2.107) Đặt (2.107) và (2.106) vào trong (2.105) ta có ZN [j, j∗] = F0ZΦ0 { N∑ m=1 1 m! ∑ P ∏ i 1 ki! (Ωqi)ki } × δλ1σ1 . . . δλ2N−1σ2N−1 ×∆N(γ1 · · · γN , α1 · · ·αN) ×  N∑ k=0 1 (N − k)! ( g2V )N−k ( 1 k! )2 [( g2V j∗ ) ( g2jV )]k ∆N(γ′1 · · · γ′N , β′1 · · · β′N) × exp { g2jα1α2Vα1α2α′1α ′ 2 j∗ α ′ 1α ′ 2 } (2.108) trong đó ∆N(γ1 · · · γN , α1 · · ·αN) = ∑ P (α1···αN ) δγ1α1 . . . δγNαN ∆N(γ′1 · · · γ′N , β′1 · · · β′N) = ∑ P(β′1···β′N) δγ′1β′1 . . . δγ′Nβ′N (2.109) và σ2nσ2n−1 ≡βn σ′2nσ ′ 2n−1 ≡β′n (2.110) 83 2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm Thay σ2nλ2n−1 ≡ αn rồi thực hiện tính toán ta được δλ1σ1 . . . δλ2N−1σ2N−1 ×∆N(γ1 · · · γN , α1 · · ·αN) =δλ1σ1 . . . δλ2N−1σ2N−1 ∑ P (α1···αN ) δγ1α1 . . . δγNαN =δλ1σ1 . . . δλ2N−1σ2N−1 ∑ P (σ2λ1,···σ2Nλ2N−1) δγ1(σ2λ1) · · · δγN (σ2Nλ2N−1) = ∑ P (σ2σ1···σ2Nσ2N−1) δγ1(σ2σ1) · · · δγN (σ2Nσ2N−1) = ∑ P (β1···βN ) δγ1β1 · · · δγNβN =∆N(γ1 · · · γN , β1 · · · βN). (2.111) Vậy khai triển bậc N đầy đủ của Z [j, j∗] trong biểu thức (2.105) có dạng ZN [j, j∗] = F0ZΦ0 { N∑ m=1 1 m! ∑ P ∏ i 1 ki! (Ωqi)ki } ×∆N(γ1 · · · γN , β1 · · · βN) ×  N∑ k=0 1 (N − k)! ( g2V )N−k ( 1 k! )2 [( g2V j∗ ) ( g2jV )]k ∆N(γ′1 · · · γ′N , β′1 · · · β′N) × exp { g2jα1α2Vα1α2α′1α ′ 2 j∗ α ′ 1α ′ 2 } (2.112) 2.2.4. Phiếm hàm Ginzburg-Landau một thành phần Từ (2.84) và (2.100) suy ra tác dụng hiệu dụng bằng Seff =  dτ  dy  dz12Tr ∞∑ n=1 (−1)n−1 n [ (2gκ)2 ( Φ∗GΦGT )]n −  dτ  dy  dz ∑ αβ κ2 |Φαβ|2 (2.113) Bậc hai của tác dụng hiệu dụng được cho bởi S2 [Φ∗,Φ] =  dτ  dy  dz12Tr [ (2gκ)2 ( Φ∗GΦGT )] −  dτ  dy  dz ∑ αβ κ2 |Φαβ|2 84 2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm (2.114) Trong không gian xung lượng, biểu thức này được viết lại dưới dạng S2 [Φ∗,Φ] = 2g2κ2 T V ∑ q,ων Φ∗(q,ων)L(q,ων)Φ(−q,− ων) (2.115) với L(q,ων) = T V Gα1σ1σ1(k, ωn)G α2 σ2σ2(k− q, ωn − ων)− 1 2g2 = T V ∑ k,ωn 1 iωn − k . 1 i(ωn − ων) + k−q − 1 2g2 = 1 V ∑ k 1 k−q + k − iων [ 1 exp(βk) + 1 − 1exp(−βk−q) + 1 ] − 12g2 = 12 1 V ∑ k 1 k−q + k − iων [ tanh ( k 2T ) + tanh ( k−q 2T )] − 12g2 (2.116) Tại q = 0, ων = 0 ta có L(0, 0) = 12 1 V ∑ k 1 k tanh ( k 2T ) − 12g2 ≈ N(0)  ∞ 0 d  tanh (  2T ) − 12g2 . (2.117) ở đây từ dòng thứ nhất sang dòng thứ hai ta đã sử dụng gần đúng 1 V ∑ k · · · →  d3k (2pi)3 · · · = 4pi (2pi)3  k2dk ≈ N(0)  d (2.118) với N(0) = mkF2pi2 = 3n 4µ . (2.119) Lưu ý rằng nhiệt độ Fermi TF = mk2F/2mkB trong hầu hết các vật liệu ở quanh mức 10000K. Tích phân theo  hội tụ theo hàm số logarith. Tuy nhiên, đây lại là một đặc điểm không có ý nghĩa vật lý của gần đúng cục bộ của tương tác giả định giữa các điện tử. Như ta đã lập luận ở trên, tương tác hút giữa các điện tử được gây ra bởi trao đổi 85 2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm phonon. Tuy nhiên phonon có các tần số hầu hết ở bậc của tần số Debeye ωD, một đại lượng được coi như một ngưỡng trong tất cả các tích phân năng lượng
d, giới hạn chúng trong một khoảng  ∈ (0, ωD) , được gây ra bởi cấu trúc mạng của hệ. Nhiệt độ TD = ~ωD/kB vào bậc 1000K và vì vậy là khá lớn khi so sánh với nhiệt độ đặc trưng mà ở đó tính siêu dẫn được thiết lập. Nhưng bởi vì nó là một bậc nhỏ hơn bậc của TF , nên tương tác hút giữa các điện tử chỉ có hiệu lực giữa các trạng thái trong phạm vi một lớp mỏng lân cận bề mặt của khối cầu Fermi. Với ngưỡng ωD, phương trình (2.117) mang lại L(0, 0) ≈ N(0)  ∞ 0 d  tanh (  2T ) − 12g2 = N(0) log ( ωD T 2eγ pi ) − 12g2 , (2.120) trong đó γ là hằng số Euler γ = 0.577 . (2.121) Biểu thức L(0, 0) trong (2.120) triệt tiêu ở nhiệt độ tới hạn được xác định bởi Tc = 2eγ pi ωD.e −1/N(0)2g2 = 1.13ωD.e−1/N(0)2g 2 . (2.122) Theo Tc, phương trình (2.120) có thể viết lại dưới dạng L(0, 0) = N(0) log ( Tc T ) = N(0) ( 1− T Tc ) (2.123) Nếu hệ đủ gần nhiệt độ tới hạn thì tất cả các số hạng tương tác bậc cao ngoại trừ S4 [Φ∗,Φ] đều trở nên không thích đáng. Và trong S4 chỉ có đóng góp không phụ thuộc vào xung lượng, tần số là quan trọng. Biểu thức của số hạng bậc bốn là S4 [Φ∗,Φ] = −  dτ  dy  dz14Tr [ (2gκ)4 ( Φ∗GΦGTΦ∗GΦGT )] (2.124) 86 2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm Trong không gian xung lượng, biểu thức này có dạng S4 [Φ∗,Φ] = −14(2gκ) 4T ∑ σi=↑,↓ ∑ ωn, ωνi k,q Gσ1σ1(k, ωn)Φσ1σ2(q1, ων1) ×GTσ2σ2(k− q1, ωn − ων1)Φ∗σ2σ3(q2, ων2) ×Gσ3σ3(k− q1 − q2, ωn − ων1 − ων2)Φσ1σ2(q3, ων3) ×GTσ4σ4(k− q1 − q2 − q3, ωn − ων1 − ων2 − ων3) × Φ∗σ4σ1(−q1 − q2 − q3,−ων1 − ων2 − ων3) = −A4 (2gκ) 4 ∑ σi=↑,↓ |Φσ1σ2(0, 0)|4 (2.125) Hệ số A có thể được tính như sau A = T ∑ ωn,k Gσ1σ1(k, ωn)GTσ2σ2(k, ωn)Gσ3σ3(k, ωn)G T σ4σ4(k, ωn) = T ∑ ωn,k 1 (ω2n + 2(k)) 2 ≈ N(0)T ∑ ωn  d 1 (ω2n + 2) 2 = N(0)pi2T ∑ ωn 1 |ωn|3 = N(0) 7ζ(3) 8 (piT )2 = 6N(0)  2 0 v2F ≈ 10−3 k 3 F TFT 2 . (2.126) Khai triển tác dụng hiệu dụng theo theo các trường phụ Φ tới bậc bốn đủ để nhận được các kết quả có ý nghĩa vật lý. Các tính toán tường minh ở trên chỉ ra rằng với Φ không phụ thuộc vào không gian và thời gian ta nhận được ở gần nhiệt độ tới hạn một mật độ năng lượng tự do GL cho siêu dẫn như sau fL = α(T ) |Φ|2 + β(T ) |Φ|4 (2.127) với α(T ) ' 2g2κ2N(0) ( T Tc − 1 ) . (2.128) β(T ) = (gκ)4N(0) 7ζ(3) 2 (piT )2 (2.129) 87 2.3 Thảo luận 2.3. Thảo luận Chúng tôi kết thúc chương này bằng cách đưa ra một vài nhận xét so sánh tính hữu ích của các phương pháp khác nhau. Trong các phương pháp hàm Green, kỹ thuật giản đồ chắc chắn là rất mạnh mẽ. Nó cho phép người ta thực hiện các xấp xỉ khá tốt trong đó người ta chọn một lớp giản đồ nhất định và tính tổng chúng, thường cho tất cả các bậc trong lý thuyết nhiễu loạn. Đôi khi nó cũng cho thấy được một ý tưởng sơ bộ về tầm quan trọng của các số hạng mà người ta đã bỏ qua. Và, bằng cách xem xét các tính chất giải tích của tất cả các giản đồ, người ta có thể chứng minh một hoặc hai kết quả chính xác cho tất cả các bậc của lý thuyết nhiễu loạn. Tuy nhiên, có một khó khăn rất quan trọng đó là chúng ta không biết chúng ta có thể tin tưởng vào lý thuyết nhiễu loạn đến mức nào. Như đã thấy trong tài liệu tham khảo [66], các tác giả đã thực hiện rất nhiều liên kết với các số hạng trong khai triển nhiễu loạn, và chúng ta không nên làm điều này trừ khi chúng ta biết chuỗi đó hội tụ tuyệt đối. Hơn nữa, chúng ta biết rằng trong một số trường hợp, chẳng hạn như siêu dẫn, chuỗi không hội tụ. Chính vì lý do này mà các phương pháp phương trình chuyển động ngay từ đầu được ưu tiên hơn. Phương pháp tích phân phiếm hàm là một công cụ hiệu quả trong lý thuyết trường lượng tử. Ưu điểm chính của phương pháp này ở chỗ nó thể hiện mối liên hệ giữa lý thuyết lư