Luận văn Các vành frobenius, tựa frobenius và tính xạ ảnh, nội xạ của các module trên chúng

ơng đương, /R radR là vành nửa đơn. 1.2.3.2. Định lý: Mọi vành địa phương là nửa địa phương. Mọi vành atin trái (hoặc phải) là nửa địa phương. 1.2.3.3. Định lý Bass: Cho R là vành nửa địa phương, a R∈ , B là ideal trái của R. Nếu .R a B R+ = thì lớp a+B chứa một đơn vị của R. 1.2.4. Lũy đẳng 1.2.4.1. Định nghĩa lũy đẳng trong một vành: Cho vành R. Phần tử e R∈ gọi là lũy đẳng nếu 2 .e e= Nếu e lũy đẳng thì 1f e= − cũng lũy đẳng và gọi là lũy đẳng bù của e. Định lý: (1) .R R e R f= ⋅ ⊕ ⋅ (2) .R e R f R= ⋅ ⊕ ⋅ (3) { } { }: , : .eRe r R er r re fRf r R fr r rf= ∈ = = = ∈ = = 1.2.4.2. Lũy đẳng nguyên thủy: Mệnh đề: Cho lũy đẳng khác không e R∈ , các điều sau tương đương: (1) eR không phân tích được như là R-module phải. (2) Re không phân tích được như là R-module trái. (3) Vành eRe không có lũy đẳng không tầm thường. 10 (4) e không có phân tích dạng α β+ trong đó ,α β là các lũy đẳng trực giao khác không trong R. Nếu lũy đẳng 0e ≠ thỏa mãn một trong các điều kiện trên, ta nói e là lũy đẳng nguyên thủy của R. 1.2.4.3. Lũy đẳng địa phương: Mệnh đề: Cho tùy ý lũy đẳng e R∈ , các điều sau tương đương: (1) eR không phân tích được mạnh như là R-module phải. (2) Re không phân tích được mạnh như là R-module trái. (3) eRe là vành địa phương. Nếu lũy đẳng e thỏa mãn một trong các điều kiện trên, ta nói e là lũy đẳng địa phương. (Rõ ràng, một lũy đẳng địa phương là lũy đẳng nguyên thủy). Hệ quả: Cho 0e ≠ là lũy đẳng tùy ý của R. Nếu R là nửa đơn (đơn, nơte trái, atin trái) thì eRe cũng nửa đơn (đơn, nơte trái, atin trái). 1.2.4.4. Lũy đẳng bất khả quy: Định nghĩa: Lũy đẳng 0e ≠ gọi là bất khả quy phải (trái) nếu eR (Re) là ideal phải (trái) tối tiểu của R. Tính chất: Nếu e là bất khả quy phải thì eRe là vành chia. Hệ quả: (1) Lũy đẳng bất khả quy phải là lũy đẳng địa phương. (2) Nếu R nửa đơn, khi đó một lũy đẳng là bất khả quy phải nếu và chỉ nếu nó địa phương, nếu và chỉ nếu nó nguyên thủy. 1.2.4.5. Định lý: 11 Cho e là một phần tử lũy đẳng trong R, kí hiệu , / .J radR R R J= = Các điều sau tương đương: (1) e lũy đẳng địa phương trong R. (2) e lũy đẳng bất khả quy phải trong R . (3) e lũy đẳng bất khả quy trái trong R . (4) eR/eJ là R-module phải đơn. (5) eJ là module con tối đại duy nhất của eR. 1.2.4.6. Lũy đẳng đẳng cấu : Cho e, f là lũy đẳng trong vành R. Các điều sau tương đương: (1) eR fR≅ đẳng cấu R-module phải. (2) Re Rf≅ đẳng cấu R-module trái. (3) Tồn tại ,a eRf b fRe∈ ∈ sao cho , .e ab f ba= = (4) Tồn tại ,a b R∈ sao cho , .e ab f ba= = Nếu e và f thỏa các điều kiện trên, ta nói chúng là lũy đẳng đẳng cấu, kí hiệu e f≅ . 1.2.4.7. Định lý: Cho e R∈ là một lũy đẳng và I radR⊆ là một ideal của R. Nếu e nguyên thủy trong /R R I= thì e nguyên thủy trong R. Chiều ngược lại đúng nếu lũy đẳng của R có thể được nâng lên R. (Nghĩa là: nếu e R∈ lũy đẳng thì tồn tại f R∈ lũy đẳng sao cho f e= ) 1.2.5. Vành nửa hoàn thiện 1.2.5.1. Định nghĩa vành nửa hoàn thiện: Vành R được gọi là nửa hoàn thiện nếu R nửa địa phương và lũy đẳng trong /R radR có thể được nâng lên R. 12 1.2.5.2. Định lý: /eR eR eJ≅ là module phải đơn trên R (và do đó trên R), eJ là module con tối đại duy nhất của eR, do dó ( ) .rad eR eJ= 1.2.6. Vành tự nội xạ Vành R được gọi là tự nội xạ phải nếu module RR nội xạ. Định lý: Giả sử j j R A=∏ với jA là vành. Khi đó R tự nội xạ phải nếu và chỉ nếu jA tự nội xạ phải với mọi i. 1.3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT TRÊN MODULE VÀ VÀNH 1.3.1. Vành Dedekin Vành Dedekin (hay miền Dedekin) là một vành giao hoán trong đó mọi ideal khác không đều khả nghịch. Định lý: Nếu S là vành Dedekin và SΒ ⊂ là ideal khác không, khi đó /R S= Β là vành tự nội xạ. 1.3.2. Mở rộng cốt yếu 1.3.2.1. Định nghĩa: R-module phải RE M⊇ được gọi là mở rộng cốt yếu của M nếu mọi module con khác không của E giao với M đều không tầm thường. Ta cũng nói M là module con cốt yếu của E. Mở rộng cốt yếu RE M⊇ được gọi là tối đại nếu không có module con thực sự nào chứa E có thể là mở rộng cốt yếu của M. 13 1.3.2.2. Bổ đề: (1) Một module RM nội xạ nếu và chỉ nếu nó không có mở rộng cốt yếu thực sự nào. (2) Mọi module RM đều có một mở rộng cốt yếu tối đại. 1.3.2.3. Bao nội xạ: Cho module M I⊆ , các mệnh đề sau tương đương: (1) I là mở rộng cốt yếu tối đại trên M. (2) I nội xạ và cốt yếu trên M. (3) I nội xạ tối tiểu trên M. Nếu module M I⊆ thỏa mãn các tính chất (1), (2), (3) ở trên thì ta nói I là một bao nội xạ của M. 1.3.2.4. Tính chất: Bất kì module M nào cũng có một bao nội xạ. 1.3.3. Định lý Bass, Papp Với vành R, các mệnh đề sau tương đương: (1) Tổng trực tiếp các R-module phải nội xạ thì nội xạ. (2) Tổng trực tiếp đếm được các R-module phải nội xạ thì nội xạ. (3) R là vành nơte phải. Hệ quả: Cho vành R, các mệnh đề sau tương đương: (1) R là vành nơte phải. (2) Mọi module nội xạ RM là tổng trực tiếp của các module con không phân tích được. 14 1.3.4. Module đều 1.3.4.1. Định nghĩa: Một module khác không RM được gọi là đều nếu với bất kì hai module con khác không của M giao nhau không tầm thường. 1.3.4.2. Các định nghĩa tương đương: M là module đều nếu mọi module con khác không của M không phân tích được. M là module đều nếu mọi module con khác không của của M là cốt yếu trong M. 1.3.4.3. Định lý: Mọi module đơn là đều. Mọi module đều thì không phân tích được. 1.3.4.4. Chiều đều: Ta nói R-module RM có chiều đều n, kí hiệu .dimu M n= , nếu có một module con cốt yếu V M⊆ là tổng trực tiếp của n module con đều. Nếu không tồn tại số tự nhiên n như vậy, ta viết .dim .u = ∞ 1.3.5. Module con kì dị 1.3.5.1. Định nghĩa: Cho M là module phải trên vành R. Phần tử m M∈ được gọi là kì dị nếu ideal phải ( )ann m cốt yếu trong RR . Tập hợp ( )Z M các phần tử kì dị của M là một module con, gọi là module con kì dị của M. Module M được gọi là module kì dị nếu ( )Z M M= và gọi là không kì dị nếu ( ) 0Z M = . 15 1.3.5.2. Định lý: Cho R là vành tự nội xạ phải. Khi đó: (1) ( )RradR Z R= . (2) R/radR là vành chính quy von Neumann. (3) R/radR là vành tự nội xạ phải. 1.3.6. Vành Kasch 1.3.6.1. Định nghĩa: Vành R được gọi là Kasch phải nếu mỗi R-module phải đơn V có thể được nhúng trong RR . Vành Kasch trái được định nghĩa tương tự. 1.3.6.2. Mệnh đề: Với bất kì ideal phải tối đại m R⊂ , các điều sau tương đương: (1) /R m nhúng trong .RR (2) ( ); .rm ann x x R= ∈ (3) ( ) 0.lann m ≠ (4) ( )( ).r lm ann ann m= 1.3.7. Module không xoắn 1.3.7.1. Định nghĩa: Module RB gọi là không xoắn nếu và chỉ nếu: với bất kì 0b ≠ trong B, tồn tại ( )hom ,Rf B R∈ sao cho ( ) 0.f b ≠ 1.3.7.2. Định lý: (1) B không xoắn nếu và chỉ nếu ánh xạ tự nhiên **:i B B→ là đơn ánh. Nếu i là đẳng cấu thì module B gọi là phản xạ. 16 (2) Mọi module con của module tự do phải thì không xoắn. Vì thế mọi module phải xạ ảnh cũng như ideal phải thì không xoắn. 1.3.8. Một số định lý khác 1.3.8.4. Định lý: Cho R là một vành atin giao hoán. Kí hiệu 1,..., nV V là các R-module phải đơn. Đặt ( )i iE E V= và 1 ... .nM E E= ⊕ ⊕ Khi đó: (1) M là R-module trung thành. (2) M hữu hạn sinh với ( ) ( ).R Rlength M length R= (3) Với mọi N là R-module hữu hạn sinh thì ( )E N cũng hữu hạn sinh. 1.3.8.1. Định lý Mewborn-Winton: Nếu vành R thỏa điều kiện ACC trên các linh hóa tử phải (tức là các ideal phải có dạng ( )rann X với X là tập con của R) thì ( )RR là một ideal lũy linh. 1.3.8.2. Định lý: Cho ( )R RI E M= với M là R-module và ( )H End R= . Các mệnh đề sau tương đương: (1) .dim .Ru M < ∞ (2) .dim .Ru I < ∞ (3) I là tổng trực tiếp hữu hạn của các module không phân tích được. (4) I là tổng trực tiếp hữu hạn của các module không phân tích được mạnh. (5) H là vành nửa hoàn thiện. (6) H là vành nửa địa phương. Hệ quả: Cho R là vành tự nội xạ phải. Các mệnh đề sau tương đương: (1) .dim .Ru R < ∞ 17 (2) RR là tổng trực tiếp hữu hạn các ideal phải không phân tích được. (3) R nửa hoàn thiện. (4) R nửa địa phương. (5) R không có tập hợp các lũy đẳng khác không trực giao vô hạn. 1.3.8.3. Định lý: Đặt ( )RH End I= với I là một R-module phải nội xạ và , .f h H∈ Khi đó .f H h∈ nếu và chỉ nếu ker ker .h f⊆ 18 CHƯƠNG II CÁC VÀNH TỰA FROBENIUS VÀ FROBENIUS 2.1. VÀNH TỰA FROBENIUS Trong phần này ta sẽ có hai mục chính. Đầu tiên là định nghĩa vành tựa Frobenius cùng các cấu trúc bên trong. Sau đó là tính chất của các module trên đó như tính xạ ảnh, nội xạ, đối ngẫu 2.1.1. Các định nghĩa cơ bản Chúng ta đã biết sơ qua về cấu trúc của vành tự nội xạ phải. Với một vành tự nội xạ phải R, hai điều kiện hữu hạn (chiều đều của RR hữu hạn và không tồn tại tập hợp các lũy đẳng khác không trực giao vô hạn) là tương đương. Điều này dẫn tới sự kiện R là nửa địa phương (thậm chí nửa hoàn thiện). Tuy nhiên điều này vẫn khác xa so với R là nơte phải. Để thu được những định lý cấu trúc mạnh hơn trên vành tự nội xạ phải, chúng ta tận dụng điều kiện chuỗi tăng trên các ideal phải. Dẫn đến một trong những lớp vành quan trọng nhất, vành tựa Frobenius. 2.1.1.1. Định nghĩa vành tựa Frobenius: Vành tựa Frobenius (QF) là vành nơte phải và tự nội xạ phải. Vành tựa Frobenius có các định nghĩa tương đương, điều này thể hiện qua định lý dưới đây. 2.1.1.2. Định lý: Cho R là vành bất kì, các mệnh đều sau là tương đương: (1) R là vành nơte phải và tự nội xạ phải. 19 (2) R là vành nơte trái và tự nội xạ phải. (3) R vành nơte phải và thỏa điều kiện linh hóa kép sau: (3a) ( )r lann ann A A= với bất kì ideal phải A R⊆ . (3b) ( )' 'l rann ann A A= với bất kì ideal trái 'A R⊂ . (4) R là vành atin (hai phía) và thỏa các điều kiện (3a), (3b). Chú ý rằng điều kiện (4) ở trên đối xứng trái-phải. Do đó định lý kéo theo những mệnh đề tương tự cho (1), (2) và (3). Vành QF cũng có thể được định nghĩa là nơte trái (phải) tự nội xạ trái, hoặc nơte trái thỏa điều kiện linh hóa. Điều kiện (3a) (tương ứng (3b)) đơn giản là thừa nhận rằng mọi ideal phải (trái) là một linh hóa phải (trái). Để chứng minh định lý, chúng ta phân biệt ideal phải và trái. Kí hiệu A, B là ideal phải và A’, B’ là ideal trái của vành R. Chứng minh: ( ) ( )4 3 .⇒ Nếu R là atin phải thì theo định lý Hopkins-Levitzki (xem 1.2.1.5), nó là nơte phải. ( ) ( )3 1 .⇒ Giả sử đã có (3). Với hai ideal phải A, B, ta có: ( ) ( ) ( ) .r l l r l r lann ann A ann B ann ann A ann ann B A B+ = ∩ = ∩ (2.1) Lấy linh hóa trái hai vế, ta được: ( ).l l lann A ann B ann A B+ = ∩ (2.2) Để thấy rằng RR nội xạ, ta áp dụng tiêu chuẩn Baer (xem 1.1.9(2)). Lấy ( )hom ,R Rg C R∈ với C là ideal phải tùy ý. Ta có 1 . n i i C c R = = ∑ Để chứng minh g là một phép nhân trái bởi phần tử của R, ta sử dụng phương pháp quy nạp. 20 Với n=1, đặt ( )1d g c= . Khi đó ( )1 0rd ann c⋅ = kéo theo ( )( )1 1l rd ann ann Rc Rc∈ = (do 3b). Do đó 2 ,d yc y R= ∈ . Phép nhân trái bởi y mở rộng cho g. Giả sử n>1 và 2 n i i B c R = = ∑ . Khi đó 1|g c R là phép nhân trái bởi y R∈ và theo giả thiết quy nạp |g B là phép nhân trái bởi x R∈ . Trên 1c R B∩ , phép nhân trái bởi x y− là ánh xạ không. Do (2.2) suy ra: ( ) ( )1 1 .l l lx y ann c R B ann c R ann B− ∈ ∩ = + (2.3) Ta có ( )1' '; ' , 'l lx y x y x ann B y ann c R− = − ∈ ∈ . Đặt ' 'z x x y y= − = − , ta có thể mở rộng g tới RR bằng cách sử dụng phép nhân trái bởi z. ( ) ( )1 2 .⇒ Vành thương /R radR là nơte phải và chính quy von Neumann (xem 1.3.5.2), do đó nó là nửa đơn (xem 1.2.1.8). Mặt khác, áp dụng định lý Mewborn-Winton (xem 1.3.8.1) và 1.3.5.2, radR là một ideal lũy linh. Do đó R là vành nửa nguyên sơ (xem 1.2.1.5), suy ra R atin phải. Để chỉ ra rằng R là nơte trái, ta kiểm tra ACC cho chuỗi các ideal trái hữu hạn sinh 1 2' ' ...A A⊆ ⊆ . Bằng DCC trên các ideal phải, ta có 1' ' ...r n r nann A ann A += = . Do đó: ( ) ( )1' ' ...l r n l r nann ann A ann ann A += = (2.4) Bằng bước 2 bên dưới, ta có 1' ' ...n nA A += = ( ) ( )2 4 .⇒ Ta chia làm nhiều bước. Bước 1: Nếu RR nội xạ thì (2.2) vẫn đúng. Ta chỉ cần chứng minh ( ).l l lann A ann B ann A B+ ⊇ ∩ Lấy ( )lx ann A B∈ ∩ . Định nghĩa : Rf A B R+ → bởi ( ) ;f a b xb+ = với ,a A b B∈ ∈ . Ánh xạ được định nghĩa tốt vì: 0a b+ = và b A B∈ ∩ suy ra 0xb = . Do RR nội xạ nên tồn tại y R∈ thỏa ( )xb y a b= + với mọi ,a A b B∈ ∈ . 21 Với b=0 thì ly ann A∈ , với a=0 thì lx y ann B− ∈ . Cộng lại ta được l lx ann A ann B∈ + . Bước 2: Nếu RR nội xạ thì ( )' 'l rann ann A A= với bất kì ideal trái hữu hạn sinh A’. Đầu tiên xét trường hợp đặc biệt ' ;A Rc c R= ∈ . Ta cần chứng minh bất kì ( )( )l rd ann ann Rc∈ thuộc Rc . Định nghĩa : Rg cR R→ bởi ( ) ;g cx dx x R= ∀ ∈ . Ánh xạ này được định nghĩa tốt (và do đó là R-đồng cấu) bởi vì: nếu 0cx = thì ( )rx ann Rc∈ và do đó 0dx = . Sử dụng tính nội xạ của RR một lần nữa, tồn tại y R∈ thỏa ;dx ycx x R= ∀ ∈ . Đặc biệt d yc Rc= ∈ . Với mọi 1 ' n i i A Rc = = ∑ , ta có: ( ) ( ) ( )( ) 1 11 ' '. n n n l r l i l i i i ii ann ann A ann Rc ann ann Rc Rc A = ==  = = = =    ∑ ∑ Trong phần sau chúng ta sẽ giả sử rằng R là nơte trái cũng như tự nội xạ phải. Khi đó Bước 2 chứng minh được (3b) cho tất cả ideal trái A’. Bước 3: R là atin trái. Dựa vào định lý Hopkins-Levitzki, ta cần chứng minh R là nửa nguyên sơ. Vì /R radR là nơte trái, và chính quy von Neumann, nó là nửa đơn. Còn phải chỉ ra tính lũy linh của J radR= . Xét chuỗi ( ) ( )2 ...r rann J ann J⊆ ⊆ . Vì các iJ là ideal, do đó là linh hóa tử của chúng cũng là ideal. Ta có ( ) ( )1 ...n nr rann J ann J += = . Lấy linh hóa trái hai vế (sử dụng Bước 2) ta được 1n nJ J += . Áp dụng bổ đề Nakayama (xem 1.2.1.7), ta thấy 0nJ = . Bước 4: R là vành Kasch trái. (xem 1.3.6.1) Điều này chứng minh được bằng cách áp dụng các tính chất tương tự trái về vành Kasch (xem 1.3.6.2) và dùng (3b) cho ideal trái tối đại. Bước 5: R là vành Kasch phải. Để thấy được điều này, gọi 1 2', ',..., 'mA A A là các thành phần thuần nhất của ( )Rsoc R . Ideal ( )' ' 0;i l iB ann J A i= ∩ ≠ ∀ , ở đây J radR= . Xét 0 'i ia A≠ ∈ . Nếu 22 1' 0, 0i iB a x= ≠ với 1x J∈ , thì 1 2 0ia x x ≠ với 2x J∈ . Điều này dẫn đến mâu thuẫn vì J lũy linh. Từ ' 0iB J = ta thấy rằng 'iB chứa ideal phải tối tiểu, kí hiệu là iV (nhắc lại R/J nửa đơn). Với i j≠ thì Vi và Vj không đẳng cấu với nhau, vì nếu i jV V≅ , bằng cách nhân trái với r R∈ : ' 'j i i iV rV rA A= ⊆ ⊆ dẫn tới mâu thuẫn. Vì R/J có m module trái đơn và do đó có m module phải đơn, mỗi module phải đơn thì đẳng cấu với i RV R⊆ . Bước 6: Cho tùy ý module phải RM khác không thì ( )hom , 0R RM R ≠ . Để chỉ ra điều này chú ý rằng MJ M≠ với J radR= (vì J lũy linh). /M MJ là module phải trên vành /R J nửa đơn, ta có thể ánh xạ nó vào một module đơn RV . Nhúng V vào RR (Bước 5), ta được đồng cấu khác không từ M vào R. Bước 7: (3a) đúng cho mọi ideal phải A. Thật vậy, đặt ( ) /r lM ann ann A A= , xét ( )hom ,R Rf M R∈ . Có thể thấy rằng f là đồng cấu từ ( )r l Rann ann A R→ triệt tiêu trên A. Vì RR nội xạ, điều này được cho bằng phép nhân trái với y R∈ . Nhưng 0yA = kéo theo ( )0; r lyx x ann ann A= ∀ ∈ và 0f ≡ . Áp dụng bước 6 có M=0. Bước 8: Vì R có ACC trên các linh hóa trái nên nó có DCC trên các linh hóa phải. Do (3a) mọi ideal phải là linh hóa phải. Vậy R atin phải. Từ điều kiện linh hóa kép, (3a) và (3b), ta rút ra được các hệ quả sau. 2.1.1.3. Hệ quả: Cho R là vành QF, các ánh xạ ' 'rA ann A và lA ann A định nghĩa ngược nhau là các phản đẳng cấu giữa các ideal trái và ideal phải của R. 2.1.1.4. Hệ quả: Cho R là vành QF với J radR= . Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ).l R R rann J soc R soc R ann J= = = 23 Chứng minh: Sử dụng bước 5 ở trên. Nếu V là ideal phải của R đẳng cấu với iV thì phải có ;iV rV r R= ∈ , do đó ' 'i iV rA A⊆ ⊆ . Suy ra 'i iA A⊆ cho các thành phần thuần nhất iA của ( )Rsoc R chứa iV . Do tính đối xứng trái-phải nên 'i iA A= và ( ) ( )R Rsoc R soc R= . Các đẳng thức khác dễ dàng suy ra từ sự kiện R atin và định lý 1.2.1.6. 2.1.2. Tính xạ ảnh và nội xạ Sau đây, chúng ta sẽ đề cập đến đặc trưng rất đẹp khác của các vành QF, về module xạ ảnh và nội xạ trên chúng. Qua đó thấy được bản chất trên vành QF, lớp các module xạ ảnh trùng với lớp các module nội xạ. 2.1.2.1. Định lý Với vành R bất kì, các điều sau tương đương: (1) R là QF. (2) Một R-module phải là xạ ảnh nếu và chỉ nếu nó là nội xạ. Chứng minh: ( ) ( )1 2 .⇒ Cho RI nội xạ. Vì R nơte phải, i iI I≅ ⊕ với các module nội xạ không phân tích được { }iI (xem 1.3.3). Xét 0 i ia I≠ ∈ . Vì R atin phải nên ia R chứa một module con đơn iV . Tính không phân tích được của iI kéo theo ( )i iE V I= . Theo Bước 5, iI nhúng được trong module nội xạ RR , ( )i iI E V= đẳng cấu với một số hạng trực tiếp của RR . Do đó iI xạ ảnh và i iI I≅ ⊕ . Cho RP xạ ảnh. Khi đó P Q⊕ là một module tự do ( )JR với tập chỉ số J. Vì R nơte phải nên ( )J j J RR R∈= ⊕ là nội xạ và RP nội xạ. 24 ( ) ( )2 1 .⇒ Vì RR xạ ảnh nên nó nội xạ do (2). Tổng trực tiếp của các module xạ ảnh thì xạ ảnh, kéo theo tổng trực tiếp các module nội xạ thì nội xạ. Theo định lý Bass, Papp (xem 1.3.3) R nơte phải và là QF theo định lý 2.1.1.2. Chúng ta sẽ phát triển thêm một vài tính chất của vành QF. Trước tiên nhắc lại: module RM được gọi là không xoắn nếu với mọi 0 m M≠ ∈ tồn tại ( )* hom ,R Rf M M R∈ = sao cho ( ) 0f m ≠ . Nói cách khác ánh xạ **M M→ là đơn ánh. Một module không xoắn RM được gọi là phản xạ nếu đơn ánh **M M→ là đẳng cấu (R-module phải) (xem 1.3.7). 2.1.2.2. Định lý Cho R là một vành QF. Khi đó: (1) Mọi module RM có thể được nhúng trong một module tự do và không xoắn. (2) Mọi module hữu hạn sinh RM đều phản xạ. (3) R-module (trái hoặc phải) M hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu M* hữu hạn sinh. Chứng minh: (1) Bao nội xạ E(M) là xạ ảnh (theo định lý trên), do đó nó nhúng trong một module tự do F. ( )M E M F⊆ ⊆ kéo theo M không xoắn (vì F không xoắn). (2) Giả sử RM hữu hạn sinh. Xét dãy khớp: 0 0K F M→ → → → ở đây nF R= . Vì RR nội xạ nên hàm tử đối ngẫu ( )hom ,R RR− khớp từ RM vào RM . Tương tự ( )hom ,R R R− cũng khớp từ RM vào RM . Do đó chúng ta có biểu đồ giao hoán: ** ** ** 0 0 0 0 K F M K F M α γ β → → → → ↓ ↓ ↓ → → → → 25 α là một đẳng cấu. Tính toàn ánh của β kéo theo tính toàn ánh của γ . Vì M không xoắn nên γ là một đẳng cấu. (3) Xét module phải RM . Nếu RM hữu hạn sinh, ta có thể lấy toàn ánh F M→ như trong (2). Lấy đối ngẫu lần thứ nhất ta có đơn ánh ( )* * nRM F R→ = . Vì R là một vành nơte trái nên *M hữu hạn sinh. Ngược lại giả sử *M hữu hạn sinh. Khi đó **M hữu hạn sinh. Do (1), M nhúng vào **M . R là vành nơte phải kéo theo M cũng hữu hạn sinh. 2.1.3. Tính đối ngẫu Toán tử đối ngẫu * là một hàm tử khớp phản biến từ RM vào RM và một hàm tử tương tự từ RM vào RM . Kí hiệu R fgM và fgR M là các phạm trù con module hữu hạn sinh. Ta thấy rằng hàm tử đối ngẫu kép là tự nhiên tương đương với hàm tử đồng nhất trên fgRM và fg R M . Ta có một “đối ngẫu hoàn chỉnh”: fg fg R RM M giữa hai phạm trù module hữu hạn sinh. 2.1.3.1. Hệ quả Cho R là vành QF và M là R-module phải. Khi đó M đơn (tương ứng hữu hạn sinh không phân tích được) nếu và chỉ nếu M* đơn như là R-module trái (tương ứng hữu hạn sinh không phân tích được). Cho fgRM ∈M . Với module con A M⊆ , kí hiệu: ( ){ }* : 0 .A f M f A⊥ = ∈ = A⊥ là một module con của M*. Tương tự với module con *'A M⊆ , kí hiệu: ( )'' kera AA a ⊥ ∈ =  . 26 'A ⊥ là một module con của M. Khi đó, dựa vào đối ngẫu hoàn chỉnh, ta có một loạt các tính chất sau. 2.1.3.2. ( )* * */ , / .A M A A M A⊥ ⊥≅ ≅ 2.1.3.3. , ' '.A A A A⊥⊥ ⊥⊥= = 2.1.3.4. ( ) ( ), .A B A B A B A B⊥ ⊥⊥ ⊥ ⊥ ⊥+ = ∩ ∩ = + 2.1.3.5. ( ) ( )' ' ' ' , ' ' ' ' .A B A B A B A B⊥ ⊥⊥ ⊥ ⊥ ⊥+ = ∩ ∩ = + 2.1.3.6. A B≅ trong RM nếu và chỉ nếu * */ /M A M B⊥ ⊥≅ trong RM . 2.1.3.7. / /M A M B≅ trong RM nếu và chỉ nếu A B ⊥ ⊥≅ trong RM . 2.1.3.8. Mệnh đề Cho M xạ ảnh hữu hạn sinh trên vành QF R và A, B là các module con của M. Khi đó bất kì R-đẳng cấu :h A B→ mở rộng thành R-tự đẳng cấu của M. Chứng minh: Vì RM cũng nội xạ nên h mở rộng thành tự đồng cấu của M, cũng kí hiệu bởi h. Đặt ( )RH End M= là vành nửa địa phương (xem 1.3.8.2). Gọi A’ là ideal trái của H bao gồm các tự đồng cấu triệt tiêu trên A. Ta chỉ ra 'H Hh A= + . Áp dụng định lý Bass (xem 1.2.3.3), có đơn vị ( ); 'u h v U H v A= + ∈ ∈ . Vì ( ) 0v A = nên | |u A h A= . Để chứng minh khẳng định trên, chỉ cần tìm một sự phân tích ; , 'MId f g f Hh h A= + ∈ ∈ . Với ( )kerC h= ta có 0A C∩ = . Sử dụng tính nội xạ của M, tồn tại g H∈ thỏa | Cg C Id= và | 0g A = . Khi đó 'g A∈ và Mf Id g= − là ánh xạ không trên C. Từ đó suy ra f Hh∈ . (xem 1.3.8.3) 2.1.3.9. Định lý 27 Cho M xạ ảnh hữu hạn sinh trên vành QF R và A, B là các module con của M. Các điều sau là tương đương: (1) A B≅ trong RM . (2) * */ /M A M B⊥ ⊥≅ trong RM . (3) / /M A M B≅ trong RM . (4) A B⊥ ⊥≅ trong RM . Chứng minh: Từ 2.1.3.6 và 2.1.3.7 ta có ( ) ( ) ( ) ( )1 2 , 3 4⇔ ⇔ . Từ 2.1.3.8 ta có ( ) ( )1 3⇒ . Áp dụng 2.1.3.8 với ,A B⊥ ⊥ trong module xạ ảnh hữu hạn sinh M*, ta được ( ) ( )4 3⇒ . 2.1.3.10. Hệ quả Cho hai ideal phải A, B trong vành QF R. A B≅ nếu và chỉ nếu / /R A R B≅ , nếu và chỉ nếu l lann A ann B≅ , nếu và chỉ nếu / /l lR ann A R ann B≅ . Khi A, B là ideal, A B≅ trong RM nếu và chỉ nếu A B= . Để hoàn tất tính chất đối ngẫu, ta trình bày một vài điểm về song module. Nếu A R⊆ là một ideal thì A và R/A đều là (R,R)-song module. Với mọi (R,R)- song module M, ta có thể xây dựng đối ngẫu ( )* hom ,R R R RM M R= mang những tính chất tự nhiên của song module. Tương tự ( )* hom ,R R R RM M R= cũng là (R,R)-song module. Trong vành QF R, kí hiệu ( )soc R chỉ ideal ( ) ( )R Rsoc R soc R= và nhắc lại ( ) r lsoc R ann J ann J= = với J radR= . Chúng ta cũng viết R cho (R,R)-song module /R J . 28 2.1.3.11. Mệnh đề Với bất kì vành QF R, ta có đẳng cấu (R,R)-song module ( ) ( ) ( )* * .RRsoc R R R≅ ≅ Chứng minh: Nhờ tính đối xứng, chỉ cần chỉ ra đẳng cấu thứ nhất song module ( ) ( ) ( )* / / /l l rRsocR R ann socR R ann ann J R J R≅ = = = . Lấy đối ngẫu ta được đẳng cấu ( ) ( )*Rsoc R R≅ . 2.1.4. Vành tựa Frobenius giao hoán Bây giờ ta xét trường hợp giao hoán. Vành QF giao hoán không biểu lộ sự tinh tế của vành QF thông thường, vành QF giao hoán có thuận lợi và dễ dàng nghiên cứu hơn. Chúng ta có định lý đặc trưng cho các vành này. Định lý: Với bất kì vành giao hoán R, các mệnh đề sau tương đương: (1) R là QF. (2) R là vành atin và ( )soc R bao gồm không hơn một bản sao của mỗi R-module đơn). (3) 1 sx...xR R R≅ với Ri là vành atin địa phương với một nền đơn. Chứng minh: ( ) ( )1 2 .⇒ Giả sử ( )soc R chứa A B⊕ với A, B là các R-module đơn đẳng cấu. Đặt : A Bϕ → là R-đẳng cấu. Vì RR nội xạ nên ϕ là phép nhân bởi một phần tử .r R∈ Nhưng khi đó B rA A= ⊆ (mâu thuẫn). ( ) ( )2 3 .⇒ 29 Giả sử 11 ... se e= + + là một hợp thành của 1 trong tổng các lũy đẳng nguyên thủy trực giao. Đặt .i iR e R= Theo định lý 1.2.4.5, mỗi Ri là một vành atin địa phương và R đẳng cấu với tích trực tiếp của các vành 1x...x .sR R Vì Ri chỉ có một module đơn nên (2) kéo theo R i có một nền đơn. ( ) ( )3 1 .⇒ Cho 1 n i i R R = =∏ với iR là vành. Ta có: R là QF nếu và chỉ nếu iR là QF với mọi i. Từ đó ta cần chứng minh mỗi Ri là QF. Ta có thể giả sử R địa phương với ( )V soc R= đơn. Vì R là atin nên mỗi ideal khác không chứa một ideal tối tiểu, đó phải là V. Do đó R là mở rộng cốt yếu của V và R được chứa trong bao nội xạ ( )V .RE E= Bây giờ V là R-module đơn duy nhất, vì thế ( ) ( ).R Rlength E length R= Vậy phải có .R E= Điều này chỉ ra rằng R tự nội xạ nên là QF. Ta thử tìm một vài ví dụ cụ thể về vành QF. 2.1.5. Ví dụ (1) Gọi R là vành các ma trận có dạng 0 x y z       trên vành 0.k ≠ Có thể kí hiệu . 0 k k R k   =     a) Ta chứng minh R không tự nội xạ phải. Xét ideal A gồm các phần tử có dạng 0 . 0 0 a      Định nghĩa :f A R→ bởi 0 0 0 0 0 0 a f a     =        . Dễ dàng chứng minh được f là R-đồng cấu. 30 Giả sử f có thể mở rộng được tới R, khi đó tồn tại ma trận 0 x y R z   ∈    để ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a x y a xa f a k z        = = ∀ ∈              Điều này không thể xảy ra. Vậy RR không nội xạ. b) Ta chứng minh R không Kasch phải. Xét ideal phải tối đại 0 0 k k m  =     và 0 ' . 0 k m k   =     Ta có hai R-module phải đơn /V R m= và ' / '.V R m= ( ) ( )' 0, ' 0.l lann m m ann m= ≠ = Do đó V’