Luận văn Cải tiến phương pháp dạy học với yêu cầu tích cực hóa hoạt động học tập theo hướng giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề qua việc tổ chức dạy học phương trình và hệ phương trình đại số lớp 10

ữ đẹp, v.v… # Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp - Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả. - Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hoá, lật ngược vấn đề,… và giải quyết nếu có thể. Trong các bước trên thì bước 2 trình bày ở trên là không thể thiếu. V. Các biện pháp sư phạm tương thích giúp giáo viên thực hiện quy trình đánh giá tính khả thi và hiệu quả giảng dạy # Nhằm giúp giáo viên sử dụng được thuận lợi tiến trình xây dựng quy trình dạy học phát huy tính tích cực của học sinh, các biện pháp sư phạm được sắp xếp theo 3 giai đoạn của quy trình dạy học: - Tri giác, phát hiện vấn đề - Giải quyết vấn đề - Kiểm tra - vận dụng # Trong giai đoạn 2 lại được sắp xếp tương ứng với 3 cấp độ dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề. ( tham khảo Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh, Nguyễn Sĩ Đức). 1. Tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh khi tri giác, phát hiện vấn đề - Giải bài tập vào lúc mở đầu ( bài toán khái niệm ). - Hướng dẫn áp dụng phép tương tự. - Gợi ý thay đổi một số bộ phận của vấn đề đã giải quyết. - Gợi ý áp dụng mẫu hay mô hình quen thuộc. - Hướng dẫn dùng phép quy nạp, thực nghiệm. - Phân tích sự tối nghĩa và mâu thuẫn. - Yêu cầu khái quát hoá, trừu tượng hoá. 2. Tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh khi giải quyết vấn đề - Trình bày kiến thức theo kiểu nêu vấn đề. - Trao đổi thảo luận thông qua hệ thống câu hỏi - Hướng dẫn đặt giả thuyết. - Hướng dẫn tự nghiên cứu tìm tòi từng phần. - Sử dụng phương pháp suy diễn. - Sử dụng phân tích và tổng hợp. - Gợi ý dùng phép tương tự. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên: Huỳnh Quốc Thanh Trang 25 - Tìm nguyên nhân của hiện tượng. - Tạo ra và hướng dẫn giải quyết mâu thuẫn. - Tổ chức cho học sinh hoạt động độc lập nghiên cứu. 3. Tích cực hoá hoạt động của học sinh khi vận dụng kiến thức - Phát triển tư duy trên cơ sở những lí thuyết đã nhận thức. - Khái quát hoá. - Đặc biệt hoá. - Dùng phép tương tự. - Kết hợp đặc biệt hoá, khái quát hoá và tương tự. - Toán học hoá các tình huống thực tiễn. - Cho học sinh phát hiện lối giải có sai lầm và được thử thách thường xuyên với những bài toán dễ mắc sai lầm. - Cho học sinh được tiếp cận nhiều hơn với những dạng bài toán mở (những bài toán có thể phát biểu khái quát hoá ). # Trong hệ thống trên đây, biện pháp sử dụng phép tương tự được xây dựng ở cả 3 giai đoạn của quy trình dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề. # Sự khác biệt giữa chúng là mục đích của hành động: phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề và vận dụng, sau đó là cách thức hiện. Để phát hiện hai đối tượng nhận thức là tương tự nhau thì chúng phải phù hợp với nhau trong các quan hệ rõ ràng và các bộ phận tương ứng rõ ràng. # Các giải quyết vấn đề mới có thể tương tự với cách giải quyết đã biết hướng đi ở cách suy nghĩ, còn biện pháp tương tự ở giai đoạn thứ 3 lại có tính chất thu hẹp phạm vi tìm kiếm lời giải của bài toán ban đầu. VI. Áp dụng vào việc dạy học giải phương trình và hệ phương trình đại số Bài toán 1: Thiết kế bài phương trình đại số có chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối Các dạng cơ bản: A B= và A B= trong đó A, B là các biểu thức đối với x 1. Bước 1: Tri giác vấn đề # Tạo tình huống gợi vấn đề - Hỏi định nghĩa và các tính chất của dấu giá trị tuyệt đối ,x x∀ ∈ ? 0 0x = khi nào ? Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên: Huỳnh Quốc Thanh Trang 26 a b a b+ = + khi nào ? a b− như thế nào với b a− ? - Nhắc lại cách khử dấu giá trị tuyệt đối bằng định nghĩa: a a a ⎧= ⎨−⎩ khi khi 0 0 a a ≥ < - Nhắc lại cách giải phương trình bậc nhất: 0ax b+ = và phương trình bậc hai 2 0ax bx c+ + = - Áp dụng tìm nghiệm của phương trình 2 23 2 9 10x x x− + = − - Khi giải bất kì một phương trình nào ta phải biến đổi phương trình đó về phương trình đã biết cách giải, đó là phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, sau đó dùng công thức nghiệm của các phương trình đó để giải và đưa đến kết quả. Nhưng khi một phương trình nào đó có chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối chẳng hạn phương trình 3 9 8x x− = + (1) thì liệu ta có thể đưa nó về phương trình bậc nhất hoặc phương trình bậc hai được không? Nếu được thì ta sẽ giải quyết như thế nào và bài toán dạng này được giải quyết ra sao? # Giải thích và chính xác hóa vấn đề - Nhận xét phương trình (1) và dự đoán dạng cơ bản của phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối - Đưa ra dạng cơ bản của phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối A B= và A B= trong đó A, B là các biểu thức đối với x # Phát biểu vấn đề và đặt mục đích giải quyết vấn đề đó Ta tìm phương pháp giải phương trình có chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối với dạng cơ bản A B= và A B= trong đó A, B là các biểu thức đối với x 2. Bước 2: Giải quyết vấn đề # Phân tích vấn đề Bây giờ ta xét một phương trình cụ thể là phương trình (1) Giải phương trình 3 9 8x x− = + - Nhận xét về các vế của phương trình (1)? Trả lời: ở các vế của phương trình (1) biểu thức chứa x nằm dưới dấu giá trị tuyệt đối. - Quy tắc cơ bản để có thể giải một phương trình? Trả lời: Biến đổi phương trình đã cho về dạng phương trình đã biết cách giải đó là phương trình bậc nhất hoặc phương trình bậc hai. - Trong trường hợp phương trình (1) ta có thể biến đổi như thế nào? Trả lời: Dùng định nghĩa về dấu giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối ở 2 vế Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên: Huỳnh Quốc Thanh Trang 27 của phương trình. Tức là 3 9 8 3 9 8 3 9 8 x x x x x x − = +⎡− = + ⇔ ⎢ − = − −⎣ và các phương trình này ta đã biết cách giải. - Câu hỏi đặt ra là nếu phương trình chỉ có một vế chứa dấu giá trị tuyệt đối chẳng hạn 3 3 5x x− = − thì ta sẽ làm như thế nào? Trả lời: Ta cũng khử dấu giá trị tuỵêt đối bằng định nghĩa. Nhưng do vế trái của phương trình không âm nên ta cần thêm điều kiện là vế phải không âm. Tức là 3 5 0 3 3 5 3 3 5 3 5 3 x x x x x x x − ≥⎧⎪− = − ⇔ − = −⎡⎨⎢⎪ − = −⎣⎩ và ta cũng đã biết cách giải hệ này. # Đề xuất và lựa chọn hướng giải quyết - Từ các trường hợp cụ thể ta có thể đi đến phương pháp giải phương trình dạng A B= và A B= trong đó A, B là các biểu thức đối với x như thế nào? - Trả lời: o Dùng định nghĩa để khử dấu giá trị tuyệt đối của phương trình. o Thu gọn phương trình vừa khử dấu giá trị tuyệt đối. o Giải phương trình đó và kết luận nghiệm. # Thực hiện việc giải quyết vấn đề - Giải phương trình A B= (1a) ( )1 A Ba A B =⎡⇔ ⎢ = −⎣ - Giải phương trình A B= (1b) ( ) 0 1 B b A B A B ≥⎧⎪⇔ =⎡⎨⎢⎪ = −⎣⎩ hoặc ( ) 0 1 0 A A B b A A B ⎡ ≥⎧⎨⎢ =⎩⎢⇔ ⎢ <⎧⎢⎨ = −⎢⎩⎣ 3. Bước 3: Kiểm tra - vận dụng # Kiểm tra lại quá trình giải quyết vấn đề # Khẳng định lại vấn đề Kiến thức mới cần lĩnh hội: phương pháp giải phương trình có chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối dạng A B= và A B= trong đó A, B là các biểu thức đối với x. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên: Huỳnh Quốc Thanh Trang 28 Vận dụng trực tiếp Giải các phương trình sau: a) 26 5 9x x x− = + + b) 21 1x x− = − c) 31 1x x x− = + + Giải a) 26 5 9x x x− = + + (1) 2 2 2 2 2 6 5 9 4 15 0 3 6 (1) 6 3 0 6 5 9 6 3 0 3 6 x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎡ ⎡− = + + + + = = − +⇔ ⇔ ⇔ + + = ⇔ ⎢⎢ ⎢− = − − − + + =⎢ ⎢ = − −⎢⎣ ⎣ ⎣ Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm là 3 6x = − + và 3 6x = − − b) 21 1x x− = − (2) { } { } { } 22 2 2 2 2 2 1 01 0 1 0 1; 2(2) 0;11 1 2 0 1;01 1 0 xx x x xx x x x xx x x x ⎧ − ≥⎧ ⎧− ≥ − ≥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎡ ∈ −⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈⎡ ⎡− = − + − =⎨ ⎨ ⎨⎢⎢ ⎢⎪ ⎪ ⎪ ∈− = − + − =⎢ ⎢ ⎢⎣ ⎣ ⎪⎣⎩ ⎩ ⎩ Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm là 0x = và 1x = c) 31 1x x x− = + + (3) 3 3 3 3 3 3 3 3 1 0 1 0 1 0 0(3) 01 1 2 0 21 1 2 0 x x x x x x x xx x x x x xx x x x ⎧ ⎧ ⎧+ + ≥ + + ≥ + + ≥⎪ ⎪ ⎪ =⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =⎡ ⎡ ⎡− = + + + =⎨ ⎨ ⎨⎢ ⎢ ⎢⎪ ⎪ ⎪ = −− = − − − + =⎢ ⎢ ⎣⎣ ⎣ ⎩⎩ ⎩ Vậy phương trình có nghiệm là 0x = . ĐỀ XUẤT HƯỚNG GIẢI QUYẾT KHÁC Cách 2: Ta có thể giải phương trình có dạng A B= trong đó A, B là các biểu thức đối với x bằng phương pháp biến đổi hệ quả. Tức là từ phương trình ban đầu ta bình phương hai vế của chúng để khử dấu giá trị tuyệt đối, nhưng sẽ dẫn đến một phương trình hệ quả. Vì vậy sau khi giải phương trình cuối cùng ta phải kiểm tra lại các nghiệm đó bằng cách thay vào phương trình ban đầu rồi mới kết luận nghiệm của phương trình đã cho. VÍ DỤ ÁP DỤNG Giải phương trình 1 2 1x x− = − Giải 1 2 1x x− = − (1) Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên: Huỳnh Quốc Thanh Trang 29 ( ) ( )2 2 2 2 2 0 (1) 1 2 1 2 1 4 4 1 3 2 0 2 3 x x x x x x x x x x =⎡⎢⇒ − = − ⇒ − + = − + ⇒ − = ⇒ ⎢ =⎣ Thay lần lượt 0x = và 2 3 x = vào phương trình (1) ta thấy 0x = không thoả mãn phương trình (1) còn 2 3 x = thì thoả mãn. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là 2 3 x = . Nghiên cứu vấn đề: Khi gặp các phương trình mà biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối có bậc từ 2 trở lên thì ta cần áp dụng cách 1 để giải vì khi ta sử dụng cách 2 thì sẽ dẫn đến một phương trình bậc cao mà loại phương trình này ta chưa biết được cách giải. ĐỀ XUẤT HƯỚNG GIẢI QUYẾT KHI GẶP BÀI TOÁN KHÔNG Ở DẠNG CƠ BẢN Khi gặp bài tóan không ở dạng cơ bản chẳng hạn như bài toán có nhiều dấu giá trị tuyệt đối ta sẽ giải bằng cách xét dấu phân miền VÍ DỤ ÁP DỤNG Giải phương trình 3 2 5 2 3 2 x x x x − − =+ + − Giải 3 2 5 2 3 2 x x x x − − =+ + − (1) Ta có bảng xét dấu sau x −∞ 2 3 − 0 3 2 +∞ x - - 0 + + 2 3x+ - 0 + + + 3 2x− + + + 0 - Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên: Huỳnh Quốc Thanh Trang 30 ( ) 2 3 2 0 (1) 3 2 5 2 3 2 x x x x x x ⎧ + + − ≠⎪⇔ ⎨ − − = + + −⎪⎩ (1 ) (1 ) a b ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 2 5 2 3 2 9 23 2 20 03 3 3 2 5 2 3 2 21 3 (1 ) 3 30 0 2 2 23 33 2 5 2 3 2 33 22 19 33 2 5 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x b x x xx x x x xx xx x x x ⎡⎧ ⎡⎧< −⎪⎢ < −⎪⎢⎨⎢ ⎨⎪ − + = − − + −⎢ ⎪ = −⎩ ⎩⎢⎧⎢ ⎧− ≤ < − ≤ <⎪ ⎪⎢⎨ ⎨⎢⎪ ⎪− + = + + − =⎢⎩ ⎩⇔ ⇔⎢⎧ ⎧⎢ ≤ < ≤ <⎪⎪⎢ ⎨⎨⎢ ⎪⎪ =− − = + + − ⎩⎩⎢⎢ ⎧⎧ ≥⎪≥⎢⎪ ⎨⎨⎢ ⎪ = −⎪⎢ ⎩− + − = + + − ⎣⎩⎣ 2 3 23 9 2 0 3 23 1 7 9 330 232 3 23 3 2 3 19 x x x xx xx x x x ⎡⎧ < −⎪⎢⎨⎢ ⎢⎪ = −⎢ ⎢⎩⎢ ⎢⎧⎢ ⎢ − ≤ <⎪⎢ ⎢⎨ ⎡ = −⎢ ⎢⎪ ⎢=⎩⎢ ⎢⇔ ⇔ ⎢⎢ ⎢⎧ ⎢ =≤ <⎪⎢ ⎢ ⎢⎣⎨⎢ ⎢⎪ =⎢ ⎢⎩⎢ ⎢⎧⎢ ⎢ ≥⎪⎢ ⎢⎨⎢ ⎢⎪ = −⎩⎣ Thay lần lượt 23 9 x = − và 3 23 x = vào (1a) ta thấy cả 2 đều thoả. Vậy nghiệm của phương trình là 23 9 x = − và 3 23 x = . Bài tập củng cố Giải phương trình 1 8 3 2x x x+ − = − ĐỀ XUẤT HƯỚNG GIẢI QUYẾT KHI GẶP BÀI TOÁN KHÔNG Ở DẠNG CƠ BẢN Hướng giải quyết: Đặt ẩn phụ. VÍ DỤ ÁP DỤNG Giải phương trình: 2 2 1 14 2 6 0x x x x + + − − = Giải 2 2 1 14 2 6 0x x x x + + − − = (1) Đặt 12t x x = − , thì 0t ≥ Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên: Huỳnh Quốc Thanh Trang 31 Ta có 2 2 2 22 2 1 14 4 4 4t x t x x x = + − ⇔ + = + Phương trình (1) trở thành: 2 2 0t t+ − = , 0t ≥ 0 12 1 t tt t ≥⎧⎪⇔ ⇔ == −⎡⎨⎢⎪ =⎣⎩ Với 1t = ta có: 2 2 2 2 2 110 2 1 2 1 01 22 1 2 1 12 1 2 1 0 1 2 x xx x x x x x x xx x x x x x x ⎡ = ∨ = −≠⎧ ⎢⎡ ⎡+ = − + =⎪+ = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⎢⎢ ⎢⎨ + = + = − + + =⎢ ⎢ ⎢⎪ ⎣ ⎣⎩ = − ∨ =⎢⎣ Vậy tập nghiệm của phương trình là: 1 11; 1; ; 2 2 S ⎧ ⎫= − −⎨ ⎬⎩ ⎭ . Bài tập củng cố Giải các phương trình sau: a) ( )21 4 9x x+ = + b) 2 4 3 2 4 0x x x+ − + + = Bài toán 2: Thiết kế bài phương trình đại số có chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai Các dạng cơ bản: A B= và A B= , trong đó A, B là các biểu thức đối với x. 1. Bước 1: Tri giác vấn đề # Tạo tình huống gợi vấn đề - Nêu cách giải phương trình bậc nhất 0ax b+ = và phương trình bậc hai 2 0ax bx c+ + = . - Cách giải phương trình có chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối ở dạng cơ bản A B= và A B= trong đó A, B là các biểu thức đối với x. - Áp dụng giải phương trình 3 1 2 3 0x x− − − = - Nhắc lại định nghĩa và tính chất của dấu căn bậc hai; x có nghĩa khi nào? - Ta đã biết cách giải phương trình có chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối. Thế thì trong trường hợp ẩn của phương trình không nằm trong dấu giá trị tuyệt Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên: Huỳnh Quốc Thanh Trang 32 đối mà lại nằm trong một kí hiệu toán học khác chẳng hạn như dấu căn bậc hai thì ta có cách giải quyết không? Ví dụ như phương trình 1 2 5x x+ = − (1) thì ta có giải chúng được không? Nếu được thì giải quyết ra sao? # Giải thích và chính xác hoá vấn đề - Nhận xét về phương trình (1) và dự đoán về dạng cơ bản của phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai. - Đưa ra dạng cơ bản của phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai A B= và A B= , trong đó A, B là các biểu thức đối với x. # Phát biểu vấn đề và đặt mục đích giải quyết vấn đề Ta cần tìm cách giải phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai với hai dạng cơ bản là A B= và A B= , trong đó A, B là các biểu thức đối với x và nghiên cứu sâu vấn đề để có thể giải bất kì một phương trình nào có chứa ẩn trong dấu căn thức ( căn bậc lớn hơn hai). 2. Bước 2: Giải quyết vấn đề # Phân tích vấn đề - Bắt đầu từ trường hợp cụ thể ta xét phương trình (1) - Giải phương trình 1 2 5x x+ = − (1) - Nhìn vào hai vế của phương trình (1) có nhận xét gì? Trả lời: vế trái và vế phải của phương trình (1) đều có ẩn nằm dưới dấu căn bậc hai. - Như ta đã biết phương pháp chung để giải một phương trình là biến đổi để đưa phương trình cần giải về các dạng phương trình mà ta đã biết cách giải chẳng hạn như phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai. Vậy làm thế nào để đưa phương trình (1) về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai? Trả lời: Ta có thể khử dấu căn bậc hai ở cả hai vế của phương trình sau đó biến đổi nó. - Dựa vào những điều đã học về căn bậc hai ta có thể khử dấu căn bậc hai của phương trình (1) như thế nào? Trả lời: Bình phương hai vế của phương trình (1). - Sau khi khử dấu căn bậc hai và giải ra nghiệm thì những nghiệm đó có phải là nghiệm thực sự của phương trình không? Trả lời: Có thể xảy ra trường hợp khi ta thế nghiệm vừa tìm được vào phương trình (1) thì biểu thức dưới dấu căn bậc hai âm do đó sẽ có nghiệm không là nghiệm thực sự của phương trình. - Câu hỏi đặt ra là làm thế nào để xác định được nghiệm của phương trình (1)? Trả lời: Trước khi bình phương hai vế ta phải tìm miền xác định của phương trình (1), sau khi tìm được nghiệm ta sẽ thử lại với điều kiện trên. # Đề xuất và lựa chọn hướng giải quyết Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên: Huỳnh Quốc Thanh Trang 33 - Từ trường hợp cụ thể ta có thể đi đến cách giải phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai ở dạng cơ bản A B= và A B= , trong đó A, B là các biểu thức đối với x như thế nào? - Trả lời: o Tìm điều kiện xác định của phương trình o Khử dấu căn bậc hai o Biến đổi phương trình về dạng giải được và đi đến kết quả. # Chú ý ( )2 2x x≠ # Thực hiện việc giải quyết vấn đề - Giải phương trình A B= (1a) MXĐ: 0 0 A B ≥⎧⎨ ≥⎩ (1 )a A B⇔ = Ta có thể ghép chung điều kiện như sau: ( ) 01 Aa A B ≥⎧⇔ ⎨ =⎩ hoặc ( ) 01 Ba A B ≥⎧⇔ ⎨ =⎩ - Giải phương trình A B= (1b) ( ) 201 Bb A B ≥⎧⇔ ⎨ =⎩ 3. Bước 3: Kiểm tra - Vận dụng # Kiểm tra lại quá trình giải quyết vấn đề. # Khẳng định lại vấn đề Kiến thức mới cần lĩnh hội: Phương pháp giải phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai dạng cơ bản A B= và A B= , trong đó A, B là các biểu thức đối với x. Vận dụng trực tiếp Giải các phương trình sau: a) 2 12 8x x x+ − = − b) 23 2 5 5x x x− = + − Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên: Huỳnh Quốc Thanh Trang 34 Giải a) 2 12 8x x x+ − = − (1) ( ) ( )2 2 22 8 0 8 1 12 64 1612 8 x x x x x xx x x − ≥⎧ ≤⎧⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ + − = − ++ − = −⎪ ⎩⎩ 88 76 7617 76 17 17 xx x x x ≤⎧≤⎧ ⎪⇔ ⇔ ⇔ =⎨ ⎨= =⎩ ⎪⎩ Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 76 17 x = b) 23 2 5 5x x x− = + − (2) ( ) 2 2 3 3 0 3 1 2 1 43 2 5 5 2 6 8 0 4 x x x x x xx x x x x x ≤⎧− ≥ ≤ =⎧ ⎧ ⎡⎪⇔ ⇔ ⇔ ⇔=⎡⎨ ⎨ ⎨ ⎢ = −− = + − + − = ⎣⎢⎩ ⎩ ⎪ = −⎣⎩ Vậy phương trình có hai nghiệm là 1x = và 4x = − . ĐỀ XUẤT HƯỚNG GIẢI QUYẾT KHÁC Cách 2: Ta có thể giải phương trình có dạng A B= trong đó A, B là các biểu thức đối với x bằng phương pháp biến đổi hệ quả. Tức là từ phương trình ban đầu ta bình phương hai vế của chúng để khử dấu căn bậc hai, nhưng sẽ dẫn đến một phương trình hệ quả. Vì vậy sau khi giải phương trình cuối cùng ta phải kiểm tra lại các nghiệm đó bằng cách thay vào phương trình ban đầu rồi mới kết luận nghiệm của phương trình đã cho. VÍ DỤ ÁP DỤNG Giải các phương trình sau: a) 24 2 10 3 1x x x+ + = + b) 5 6 6x x+ = − Giải a) 24 2 10 3 1x x x+ + = + (1) (1) có tập xác định ( ) ( )22 2 21 4 2 10 3 1 4 2 10 9 6 1x x x x x x x⇒ + + = + ⇒ + + = + + 2 1 5 4 9 0 9 5 x x x x =⎡⎢⇒ + − = ⇒ ⎢ = −⎣ Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên: Huỳnh Quốc Thanh Trang 35 Thay lần lượt 1x = và 9 5 x = − vào (1) chỉ có giá trị 1x = cho ta giá trị của hai vế bằng nhau. Giá trị 9 5 x = − bị loại. Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là 1x = . b) 5 6 6x x+ = − (2) Điều kiện: 6 5 x ≥ − ( ) 2 2 152 5 6 12 36 17 30 0 2 x x x x x x x =⎡⇒ + = − + ⇒ − + = ⇒ ⎢ =⎣ Thay lần lượt 15x = và 2x = vào (2) chỉ có giá trị 15x = cho ta giá trị của hai vế bằng nhau. Giá trị 2x = bị loại. Vậy phương trình (2) có nghiệm duy nhất là 15x = . # Chú ý: Khi gặp phương trình có nhiều dấu căn bậc hai ta cũng có thể sử dụng phương pháp bình phương hai vế để giải. VÍ DỤ ÁP DỤNG Giải phương trình sau: 1 4 9x x x x− + = + − + Giải 1 4 9x x x x− + = + − + (1) Điều kiện xác định của phương trình: 0 0 1 0 1 0 4 0 4 9 0 9 x x x x x x x x x ≥ ≥⎧ ⎧⎪ ⎪− ≥ ≥⎪ ⎪⇔ ⇔ ≥⎨ ⎨+ ≥ ≥ −⎪ ⎪⎪ ⎪+ ≥ ≥ −⎩ ⎩ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 1 9 4 1 2 9 2 9 2 5 2 4 1 0 0 2 9 5 4 4 9 4 9 5 4 00 0 0 9 9 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x ≥⎧⎪⇔ + + = + + + ⇔ ⎨ + + + = + + + +⎪⎩ ≥ ≥⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨+ + = + + + + + + = + +⎪ ⎪⎩ ⎩ ⎧ ≥≥⎧ ⎪⎪⇔ ⇔ − = ⇔ =⎨ ⎨+ = −⎪ ⎪⎩ + =⎩ Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là 0x = . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên: Huỳnh Quốc Thanh Trang 36 ĐỀ XUẤT HƯỚNG GIẢI QUYẾT KHI GĂP BÀI TOÁN KHÔNG Ở DẠNG CƠ BẢN Hướng giải quyết: Giải bằng cách tìm tập xác định của phương trình. Để giải các phương trình bằng cách này trước hết ta tìm tập xác định D của phương trình, rồi dùng các phép biến đổi tương đương trên D để rút gọn các phương trình đã cho. Trong trường hợp D=∅ ta kết luận ngay phương trình vô nghiệm, nếu { }0D x= thì ta chỉ cần thay 0x vào hai vế của phương trình xem nó có phải là nghiệm hay không. VÍ DỤ ÁP DỤNG Giải các phương trình sau: a) 4 4 4x x x− − = − + b) 2 1 2 3x x x+ − = + − Giải a) 4 4 4x x x− − = − + (1) TXĐ: 4 0 4 4 4 0 4 x x x x x − ≥ ≤⎧ ⎧⇔ ⇔ =⎨ ⎨− ≥ ≥⎩ ⎩ Thay 4x = vào (1) ta thấy 4x = là nghiệm của phương trình. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là 4x = . b) 2 1 2 3x x x+ − = + − (2) TXĐ: 1 0 1 3 0 3 x x x x x − ≥ ≤⎧ ⎧⇔ ⇔ ∈∅⎨ ⎨− ≥ ≥⎩ ⎩ Vậy phương trình (2) vô nghiệm. ĐỀ XUẤT HƯỚNG GIẢI QUYẾT KHI GẶP BÀI TOÁN KHÔNG Ở DẠNG CƠ BẢN ™ Hướng giải quyết: Đặt ẩn phụ. Ta biến đổi biểu thức có trong phương trình, đặt ẩn phụ để chuyển phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai. VÍ DỤ ÁP DỤNG Giải các phương trình sau: a) ( )( ) 24 1 3 5 2 6x x x x+ + − + + = b) 2 22 6 12 7 0x x x x− + − + = Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên: Huỳnh Quốc Thanh Trang 37 Giải a) ( )( ) 24 1 3 5 2 6x x x x+ + − + + = (1) ( ) 2 2 2 2 1 5 4 3 5 2 6 5 2 3 5 2 4 0 x x x x x x x x ⇔ + + − + + = ⇔ + + − + + − = Đặt 2 5 2t x x= + + thì 0t ≥ ( ) 2 11 3 4 0 4 t t t t = −⎡⇔ − − = ⇔ ⎢ =⎣ 1t = − loại vì 0t ≥ . Với 4t = ta được: 2 2 2 75 2 4 5 2 16 5 14 0 2 x x x x x x x x = −⎡+ + = ⇔ + + = ⇔ + − = ⇔ ⎢ =⎣ Vậy phương trình có hai nghiệm là 7x = − và 2x = . b) 2 22 6 12 7 0x x x x− + − + = (2) Đặt 26 12 7 0t x x t= − + ⇒ ≥ . Ta có: 2 2 2 2 76 12 7 2 6 tt x x x x −= − + ⇒ − = Khi đó: ( ) 2 2 172 0 6 7 0 76 tt t t t t = −⎡−⇔ + = ⇔ − + + = ⇔ ⎢ =⎣ 1t = − loại vì 0t ≥ . Với 7t = ta được: 2 2 2 2 6 12 7 7 6 12 7 49 6 12 42 0 1 2 2 2 7 0 1 2 2 x x x x x x x x x x − + = ⇔ − + = ⇔ − − = ⎡ = −⇔ − − = ⇔ ⎢ = +⎢⎣ Vậy phương trình có hai nghiệm là 1 2 2x = − và 1 2 2x = + . ™ Hướng giải quyết: dùng hệ phương trình để giải phương trình (dạng khó) VÍ DỤ CỤ THỂ Giải phương trình sau: 2 5 5x x+ + = Giải Ta có 2 25 5 5 5x x x x+ + = ⇔ + = − Xét ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 5 5 5 5 5 1 05 y y y x y y x x y x y x y y x y xx y y x y x ≥ ≥ ≥⎧⎧ ⎧⎧ + = ⎪⎪ ⎪⎪ ⇔ − = − ⇔ − = ⇔ − =⎨ ⎨ ⎨ ⎨− =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ + − + =− = + = −⎩ ⎩ ⎩ Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên: Huỳnh Quốc Thanh Trang 38 2 2 0 0 1 5 5 y y y x y x x y x y ⎧ ⎧≥ ≥⎪ ⎪⇔ = − ∨ = +⎨ ⎨⎪ ⎪− = − =⎩ ⎩ 2 2 0 0 1 5 0 4 0 y y y x y x x x x x ⎧ ⎧≥ ≥⎪ ⎪⇔ = − ∨ = +⎨ ⎨⎪ ⎪− − = + − =⎩ ⎩ 0 0 1 21 1 21 1 17 1 17; ; 2 2 2 2 1 y y x x y x y x ≥ ≥⎧ ⎧⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ − − + − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇔ ∈ ∨ ∈⎨ ⎨ ⎬ ⎨ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪= − = +⎩ ⎩ 1 1 21 1 17 2 2 y x y x x x = − = +⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨− − += =⎪ ⎪⎩ ⎩ Do đó, 2 1 21 1 175 5 ; 2 2 x x x ⎧ ⎫− − +⎪ ⎪+ = − ⇔ ∈⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là 1 21 2 x −= và 1 17 2 x − += . ĐỀ XUẤT HƯỚNG GIẢI QUYẾT KHI GẶP BÀI TOÁN CÓ CHỨA CĂN BẬC BA ™ Một số lưu ý: - 3 A có nghĩa khi và chỉ khi A có nghĩa - 3 A luôn cùng dấu với A. - ( )33 3 3A A A= = ™ Hướng giải quyết: Dùng các phép biến đổi đại số để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình giải được như phương trình bậc nhất hoặc phương trình bậc hai. VÍ DỤ CỤ THỂ Giải phương trình sau: 3 3 31 2 0x x x+ + + + = Giải 3 3 31 2 0x x x+ + + + = (1) Ta có ( ) 3 3 31 2 1x x x⇔ + + = − + ( ) ( )3 33 3 32 1x x x⇔ + + = − + Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên: Huỳnh Quốc Thanh Trang 39 ( ) ( ) ( )2 23 3 3 33 2 3 2 2 1x x x x x x x⇔ + + + + + + = − + ( ) ( ) ( ) ( )3 332 1 3 2 2 1x x x x x x⇔ + + + + + = − + ( ) ( ) ( )3 331 2 2 0x x x x x⇔ + + + + + = ( ) ( ) ( )331 2 1 0x x x x⇔ + + + − + = ( )2 3 23 31 1 2 0x x x x⎛ ⎞⇔ + + − + =⎜ ⎟⎝ ⎠ 3 3 2 3 2 1 0 2 1 2 x x x x x ⎡ + =⇔ ⎢⎢ + + = +⎣ 1 0 1x x⇔ + = ⇔ = − Vậy (1) có 1 nghiệm duy nhất 1x = − . ™ Hướng giải quyết khác: đặt ẩn phụ. VÍ DỤ CỤ THỂ Giải phương trình sau: 3 312 4 4x x− + + = Giải 3 312 4 4x x− + + = (1) 9 Cách 1: Đặt 3 4t x= + với x∈ thì t∈ . Khi đó 3 4x t= − Phương trình (1) trở thành: ( )33 12 4 4t t− − + = 3 3 3 2 316 4 16 64 48 12t t t t t t⇔ − = − ⇔ − = − + − 2 4 4 0 2t t t⇔ − + = ⇔ = Do đó 3 4 2 4 8 4x x x+ = ⇔ + = ⇔ = Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất 4x = 9 Cách 2: ( ) ( )33 31 12 4 64x x⇔ − + + = ( ) ( ) ( ) ( )2 23 33 312 4 3 12 4 3 4 12 64x x x x x x⇔ − + + + − + + + − = ( )3 3 3 33 12 4 12 4 48x x x x⇔ − + − + + = Thế 3 312 4 4x x− + + = ta được ( )( )312 12 4 48x x− + = ( )( ) 3 212 4 4 8 16 0 4x x x x x⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ = Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên: Huỳnh Quốc Thanh Trang 40 Thay 4x = vào phương trình (1) ta thấy thoả. Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất 4x = . Bài toán 3: Thiết kế bài hệ phương trình gồm phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai. Dạng: 2 2 0 ax by c Ax By Cxy Dx Ey F + =⎧⎨ + + + + + =⎩ trong đó 2 2 0a b+ ≠ và 2 2 0A B+ ≠ . 1. Bước 1: Tri giác vấn đề # Tạo tình huống gợi vấn đề - Hỏi dạng tổng quát của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 I 2 a x b y c a x b y c ⎧ + =⎪⎨ + =⎪⎩ trong đó 2 21 1 0a b+ ≠ và 2 22 2 0a b+ ≠ - Nêu lại các cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trên o Sử dụng định thức Đặt 1 1 2 2 a b D a b = ; 1 1 2 2 x c b D c b = ; 1 1 2 2 y a c D a c = Khi đó nếu 0D ≠ , hệ có nghiệm duy nhất y D D y= D xDx⎧ =⎪⎪⎨⎪⎪⎩ nếu D=0 và D 0x ≠ ( hoặc 0yD ≠ ) thì hệ vô nghiệm nếu 0x yD D D= = = thì hệ có vô số nghiệm o Sử dụng phương pháp thế o Sử dung phương pháp cộng - Nếu ta thay một phương trình của hệ (I) thành phương trình dạng 2 2 0Ax By Cxy Dx Ey F+ + + + + = thì hệ trên sẽ trở thành hệ như thế nào và ta có còn sử dụng các cách giải hệ (I) để áp dụng vào việc giải hệ mới được không? Nếu được thì ta sẽ giải như thế nào? # Giải thích và chính xác hoá vấn đề Dạng tổng quát của hệ phương trình gồm phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai 2 ẩn là: Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên: Huỳnh Quốc Thanh Trang 41 2 2 0 ax by c Ax By Cxy Dx Ey F + =⎧⎨ + + + + + =⎩ ( )II trong đó x, y là các ẩn, a, b, c, A, B, C, D, E, F là các hệ số, 2 2 0a b+ ≠ và 2 2 0A B+ ≠ # Phát biểu vấn đề Ta cần tìm phương pháp giải hệ phương trình ( )II 2. Bước 2: Giải quyết vấn đề # Phân tích vấn đề Bây giờ ta xét một hệ phương trình cụ thể ( ) ( )2 2 2 1 1 5 7 2 x y x xy y ⎧ + =⎪⎨ − + =⎪⎩ -