Luận văn Chỉnh hóa bài toán truyền nhiệt ngược với nguồn phi tuyến

p s t p A A u u t u p t p e p p e F p s dsε ε ε ε ε χ ϕ χ− −= − ∫ (2.5) 24 hay ( ) ( )  ( ) ( ) 21, 2 T t p ipx Au x t e p e p dpε ε ϕ χ π +∞ − −∞ = ∫ ( )  ( ) ( ) 2 , 1 , 2 x T s t p ipx Au u t e F p s e p dsdpε ε ε χ π +∞ − −∞ − ∫ ∫ (2.6) Chúng ta sẽ chứng minh tính chỉnh của bài toán ( )Pϕ , đánh giá sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ, từ dữ liệu đo đạc xây dựng một hàm số hội tụ về nghiệm chính xác ( ),u x t , (khi 0ε → ). 2.4.1. Các kết quả chính Đầu tiên ta sẽ tìm một số điều kiện của f sao cho (2.5) được xác định. Tích phân trong vế phải của (2.5) được xác định đúng nếu , xu uF thuộc ( ) ( )( )20, ;L T L R∞ . Thật vậy, ta có Bổ đề 1. Lấy 0k > , lấy [ ]: 0,f R T R R R× × × → là một hàm liên tục thỏa mãn ( ) ( ) ( ), , , , , ', ' ' 'f x y v w f x y v w k v v w w− ≤ − + − , trong đó [ ], , , ', ' , 0,x v w v w R y T∈ ∈ . Nếu [ ] ( )( ) [ ] ( )( )2 20,0 0, , , , 0, ,F C T L R V W C T L R∈ ∈ thì ( ) ( )( )2, 0, ,V WF L T L R∞∈ . Hơn nữa, với [ ] ( )( )11, 0, ,V V C T H R∈ , 0 t T≤ ≤ , ta có  ( )  ( ) ( ) ( ) 1 1 2 22 , , 1 1 ., ., 2 ., ., x xV V V V F t F t k V t V t− ≤ − . Chứng minh. Vì ( ) ( ) ( )( ), , , , , , ,V WF x t f x t V x t W x t= và ( ) ( )0,0 , , ,0,0F x t f x t= nên theo giả thiết với mỗi 0 t T≤ ≤ , ta có ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ), 0,0, , , , , , , , ,0,0V WF x t F x t f x t V x t W x t f x t− = − ( ) ( )( ), 0 , 0k V x t W x t≤ − + − . Suy ra ( ) ( ) ( ) ( )( ), 0,0, , , ,V WF x t F x t k V x t W x t≤ + + . Từ đây, ta có ( ) ( ) ( ) ( ), 0,0., ., ., .,V WF t F t k V t k W t≤ + + . 25 Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ), 0,0 0 0 0 ., sup ., sup ., sup .,V W t T t T t T F t F t k V t k W t ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ + + . Mặt khác, vì [ ] ( )( ) [ ] ( )( )2 20,0 0, , , , 0, ,F C T L R V W C T L R∈ ∈ , nên ( ) ( )( )2, 0, ,V WF L T L R∞∈ . Bất đẳng thức cuối cùng của bổ đề 1 có thể được chứng minh bằng định lý Plancherel.  ( )  ( ) 1 1 2 , ,., .,x xV V V VF t F t− ( ) ( ) 1 1 2 , ,., .,x xV V V VF t F t= − ( ) ( ) 1 1 2 , ,, ,x xV V V VF x t F x t dx +∞ −∞ = −∫ ( ) ( ) ( ) ( )( )22 1 1, , , ,x xk V x t V x t V x t V x t dx +∞ −∞ ≤ − + −∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 1 1 1 1 , , , , 2 , , . , , +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ −∞  = − + −   + − −   ∫ ∫ ∫ x x x x k V x t V x t dx V x t V x t dx V x t V x t V x t V x t dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 2 1 1 ., ., ., ., 2 , , . , , x x x x V t V t V t V t k V x t V x t dx V x t V x t dx +∞ +∞ −∞ −∞  − + −    ≤  + − −    ∫ ∫ ( Bất đẳng thức Holder) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ( ) ( ) ) 2 22 1 1 1 1 ., ., ., ., 2 ., ., . ., ., = − + − + − − x x x x k V t V t V t V t V t V t V t V t ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 22 21 1 1 12 ., ., ., ., 2 ., .,x xk V t V t V t V t k V t V t≤ − + − = − (Bất đẳng thức 2ab≤ a2 + b2).  Bây giờ, ta sẽ đưa ra một số ước lượng được sử dụng trong những phần tiếp theo. Đặt 26 11 lnbε α ε  = +     (2.7) Ta có Bổ đề 2. Lấy 0 1ε và lấy 0 t s T≤ ≤ ≤ . Ta có ( ) ( ) ( ) 2s t p t s Ae pε αχ ε− −≤ , và ( ) ( ) ( ) 221 s t p t sAp e p bε α εχ ε − −+ ≤ . Chứng minh. • Nếu p Aε∉ thì ( ) 0A pεχ = nên bổ đề hiển nhiên đúng. • Nếu p Aε∈ thì ( ) 1A pεχ = , nên ta có ( ) ( ) ( ) 2 2s t p s t p Ae p eεχ − −= . Vì c p cε ε− ≤ ≤ nên 2 20 p cε≤ ≤ , suy ra ( ) ( )2 2s t p s t ce e ε− −≤ . Thay 1lncε α ε  =     , ta được ( ) ( )2 1lns ts t pe e α ε −− ≤ hay ( ) ( ) 2s t p t se αε− −≤ . Tương tự, ta có 2 21 1p cε+ ≤ + , suy ra 21 p bε+ ≤ . Từ đây, suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 22 21 1s t p t s t sAp e p p bε α α εχ ε ε − − −+ ≤ + ≤ .  2.4.2. Tính chỉnh của bài toán ( )Pϕ Bây giờ ta nghiên cứu tính chỉnh của bài toán ( )Pϕ . Các hàm như trong (2.5) thường được gọi là các hàm giới hạn. Trong bài báo tiên phong [21], Zimmerman đã nghiên cứu một lớp các phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính trong không gian các hàm giới hạn. Với giả thiết rằng ( ) 2 2,f u w A u A wα β≤ + , 27 tác giả đã nghiên cứu sự tồn tại địa phương và tính ổn định của bài toán được đề cập. Trong bài báo hiện nay, ta có một điều kiện khác yếu hơn là ( ) ( ) ( ), , , , ,0,0f x t u w f x t k u w≤ + + . Tuy nhiên, phương pháp Zimmerman có thể được dùng để chứng minh kết quả tồn tại toàn cục cho bài toán. Để chứng minh tính chỉnh của bài toán ( )Pϕ , ta sẽ chia chứng minh thành hai bước. Bước 1. Ta sẽ chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán ( )Pϕ . Thật vậy, ta xét Định lý 2.4.1. Lấy 0 1ε< < , ( )2L Rϕ ∈ và lấy f là hàm như trong bổ đề 1. Khi đó bài toán ( )Pϕ có nghiệm duy nhất [ ] ( )( )10, ;u C T H Rε ∈ . Chứng minh. Với [ ] ( )( )10, ;w C T H R∈ , ta đặt ( )( ) ( ) ( )  ( ) ( ) 2 , 1 1, , , 2 2 x T s t p ipx w w A t Q w x t x t e F p s e p dsdp ε ψ χ π π +∞ − −∞ = − ∫ ∫ , trong đó ( ) ( )  ( ) ( ) 2 , T t p ipx Ax t e p e p dpεψ ϕ χ +∞ − −∞ = ∫ . Trước hết ta chứng minh rằng ( ) [ ] ( )( )10, ;Q w C T H R∈ . Thật vậy, ta có ( ) ( ) ( ) ( )  ( ) ( ) ( )  ( ) 2 2 ,, ,x T T t p s t p A A w w t Q w p t p e p p e F p s ds ε ε χ ϕ χ− −= − ∫ . Sử dụng bổ đề 1, ta có thể kiểm tra trực tiếp ( ) ( ),Q w p t [ ] ( )( )20, ;C T L R∈ . Do đó, theo định lý Plancherel thì ( ) [ ] ( )( )10, ;Q w C T H R∈ với mọi [ ] ( )( )10, ;w C T H R∈ . Với mỗi [ ] ( )( )1, 0, ;w v C T H R∈ , ta sẽ chứng minh bằng quy nạp ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 1 2 ., ., 2 1 !! mm m m m m T t k aQ v t Q w t m ε−− ≤ − 2||| |||v w− , (2.8) trong đó ( ) ( )2 1 !! 1.3... 2 1m m− = − và 2Ta b αε εε −= . Thật vậy, với 1m = , ta có 28 ( )( ) ( )( ) 2 1 ., .,Q v t Q w t− ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2., ., ., .,x xQ v t Q w t Q v t Q w t= − + −  ( )( )  ( )( )  ( )( )  ( )( ) 2 2 ., ., ., .,x xQ v t Q w t Q v t Q w t= − + −  ( )( )  ( )( )  ( )( )  ( )( ) 2 2 , , , ,x xQ v p t Q w p t dp Q v p t Q w p t dp +∞ +∞ −∞ −∞ = − + −∫ ∫ ( )  ( )( )  ( )( ) 2 21 , ,p Q v p t Q w p t dp +∞ −∞ = + −∫ ( ) ( )  ( )  ( )( )2 2 2 , ,1 , ,x x T s t p A w w v v t p e p F p s F p s ds dp ε χ +∞ − −∞ = + −∫ ∫ . Theo bổ đề 2, do ( ) ( ) ( ) 221 s t p t sAp e p bε α εχ ε − −+ ≤ , nên ta có ( )( ) ( )( ) 2 1 ., .,Q v t Q w t− ( )  ( )  ( )( ) 2 2 , ,, ,x x T t T w w v v t b F p s F p s ds dpαεε +∞ − −∞ ≤ −∫ ∫ ( )  ( )  ( ) 22 2 , ,1 . , ,x x T T t T w w v v t t b ds F p s F p s ds dpαεε +∞ − −∞   ≤ −    ∫ ∫ ∫ (bất đẳng thức Holder) ( ) ( )  ( )  ( ) 22 , ,, ,x x T t T w w v v t T t b F p s F p s dsdpαεε +∞ − −∞ = − −∫ ∫ ( ) ( )  ( )  ( ) 22 , ,., .,x x T t T w w v v t T t b F s F s dsαεε −≤ − −∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 222 1 2 ., ., T t T t k T t b w s v s dsαεε −≤ − −∫ (theo bổ đề 1) ( )22 22 Tk T t b αεε −≤ − 2||| |||v w− ( ) 222k T t aε= − 2||| |||v w− (vì ( )2 2t T Tb b aα αε ε εε ε − −≤ = và ( ) ( ) 2 1 ., .,w s v s− ≤ 2||| |||v w− ). Suy ra (2.8) đúng với 1m = . 29 Giả sử (2.8) đúng với m j= , tức là ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 1 2 ., ., 2 1 !! jj j j j j T t k aQ v t Q w t j ε−− ≤ − 2||| |||v w− . Ta sẽ chứng minh (2.8) đúng với 1m j= + , sử dụng giả thiết quy nạp và thực hiện các bước biến đổi tương tự như trên ta có ( )( ) ( )( ) 21 1 1 ., .,j jQ v t Q w t+ +− ( )( )( ) ( )( )( ) 2 1 ., .,j jQ Q v t Q Q w t= − ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 222 1 2 ., ., T t T j j t k T t b Q v s Q w s dsαεε −≤ − −∫ ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 22 ||| ||| 2 1 !! jj j jT t T t T s k a k T t b v w ds j α ε εε − −≤ − − −∫ (giả thiết quy nạp) ( ) ( )( ) 2 2 2 222 ||| ||| 2 1 !! jj j jT t T s k a k T t a v w ds j ε ε − ≤ − − −∫ ( )( )α αε ε εε ε− −≤ =2 2v× t T Tb b a ( ) ( ) ( ) ( ) 2 11 1 222 ||| ||| 2 1 !! jj j T j t T t k a v w T s ds j ε ++ +− = − − − ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 12 11 1 22 ||| ||| . 2 1 !! 2 1 jjj jT t k a T t v w j j ε +++ +− − = − − + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 11 1 22 ||| ||| 2 1 !! j jj jT t k a v w j ε + ++ +− = − + . Suy ra (2.8) đúng với 1m j= + . Lấy sup hai vế của (2.8) theo t , ta được ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22||| ||| ||| ||| 2 1 !! m m m m m m T k aQ v Q w v w m ε− ≤ − − , hay ( ) ( ) ( ) 2||| ||| ||| ||| 2 1 !! m m m m m m aQ v Q w T k v w m ε− ≤ − − . (2.9) Vì ( ) 2lim 0 2 1 !! m m m m m aT k m ε →∞ = − , 30 nên từ (2.9) suy ra với mỗi ε cố định sẽ tồn tại một số 0m đủ lớn nguyên dương sao cho 0mQ là ánh xạ co ngặt trong [ ] ( )( )10, ;C T H R . Suy ra phương trình ( )0mQ w w= có một nghiệm duy nhất [ ] ( )( )10, ;u C T H Rε ∈ , tức là ( )0mQ u uε ε= . Mặt khác, ta chứng minh ( )Q u uε ε= . Thật vậy, ta có ( )( ) ( ) ( )( ) ( )0 0 01m m mQ Q u Q u Q Q u Q uε ε ε ε+= = = . Từ đây, do tính duy nhất nghiệm của phương trình ( )0mQ w w= suy ra ( )Q u uε ε= . Vậy bước 1 đã được chứng minh.  Bước 2. Để có được một kết quả ổn định cho nghiệm của bài toán ( )Pϕ , ta xét Định lý 2.4.2. Lấy 0 1ε< < , ( )2, g L Rϕ ∈ và lấy f là hàm như trong bổ đề 1. Nếu [ ] ( )( )1, 0, ;u v C T H R∈ tương ứng là các nghiệm của bài toán ( )Pϕ , ( )gP thì ( )22 2 1 22||| ||| 2 T k Tk Tu v b e gαε ε ϕ − + − ≤ − . Chứng minh. Từ (2.5) và (2.6), ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 1 ., ., ., ., ., .,x xu t v t u t v t u t v t− = − + −  ( ) ( )  ( )  ( ) 22 ., ., ., .,x xu t v t u t v t= − + − 1 2K K≤ + , trong đó ( ) ( ) ( )  ( )  ( )( )2 2 2 1 2 1 T t p AK p e p p g p dpεχ ϕ +∞ − −∞ = + −∫ , ( ) ( ) ( )  ( )  ( )( )2 2 2 2 , ,2 1 , ,x x T s t p A u u v v t K p e p F p s F p s ds dp ε χ +∞ − −∞ = + −∫ ∫ . Thật vậy, ta có  ( ) ( )  ( ) ( ) 2 2 ., ., , ,u t v t u p t v p t dp +∞ −∞ − = −∫  , và 31  ( )  ( )  ( )  ( ) 2 2 ., ., , ,x x x xu t v t u p t v p t dp +∞ −∞ − = −∫  ( ) ( )( ) 2 , ,ip u p t v p t dp +∞ −∞ = −∫   ( ) ( ) 2 2 , ,p u p t v p t dp +∞ −∞ = −∫  . Suy ra  ( ) ( )  ( )  ( ) 22 ., ., ., .,x xu t v t u t v t− + − ( )  ( ) ( ) 2 21 , ,p u p t v p t dp +∞ −∞ = + −∫  ( ) ( ) ( )  ( )  ( )( ) ( ) ( )  ( )  ( )( )2 2 2 2 , ,1 , ,x x T T t p s t p A A u u v v t p p e p g p p e F p s F p s ds dp ε ε χ ϕ χ +∞ − − −∞ = + − − −∫ ∫ ( ) ( ) ( )  ( )  ( )( )2 2 22 1 T t p Ap e p p g p dpεχ ϕ +∞ − −∞ ≤ + −∫ ( ) ( ) ( )  ( )  ( )( )2 2 2 , ,2 1 , ,x x T s t p A u u v v t p e p F p s F p s ds dp ε χ +∞ − −∞ + + −∫ ∫ ( )− ≤ +2 2 2v× 2 2a b a b . Ta ước lượng K1, K2. Từ bổ đề 2, ta có ( )  ( )  ( ) 22 1 2 t TK b p g p dpαεε ϕ +∞ − −∞ ≤ −∫ ( ) 222 t Tb gαεε ϕ −= − ( ) ( ) ( )( )ε αεχ ε− −+ ≤22v× 1 s t p t sAp e p b . ( ) ( )  ( )  ( )( )2 2 2 2 , ,2 1 , ,x x T s t p A u u v v t K p e p F p s F p s ds dp ε χ +∞ − −∞ = + −∫ ∫  ( )  ( )( ) 2 2 , ,2 , ,x x T t s u u v v t b F p s F p s ds dpα αεε ε +∞ − −∞ ≤ −∫ ∫ ( )  ( )  ( ) 2 2 2 , ,2 , ,x x T t s u u v v t T t b F p s F p s dsdpα αεε ε +∞ − −∞ ≤ − −∫ ∫ (Vì theo bất đẳng thức Holder, ta có 32  ( )  ( )( )  ( )  ( )( )22 2, , , ,, , 1 . , ,x x x x T T T s s u u v v u u v v t t t F p s F p s ds ds F p s F p s dsα αε ε− −− ≤ −∫ ∫ ∫ , suy ra  ( )  ( )( ) ( )  ( )  ( ) 2 2 2 , , , ,, , . , ,x x x x T T s s u u v v u u v v t t F p s F p s ds T t F p s F p s dsα αε ε− −− ≤ − −∫ ∫ .). Từ bổ đề 1, ta có ( )  ( )  ( ) 2 2 2 2 , ,2 ., .,x x T t s u u v v t K T t b F s F s dsα αεε ε −≤ − −∫ ( ) ( ) ( ) 22 2 2 1 4 ., ., T t s t k T t b u s v s dsα αεε ε −≤ − −∫ , nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 222 2 2 2 1 1 ., ., 2 4 ., ., T t T t s t u t v t b g k T t b u s v s dsα α αε εε ϕ ε ε − −− ≤ − + − −∫ . Suy ra ( ) ( ) ( ) ( )2 222 2 2 2 1 1 ., ., 2 4 ., ., T t T s t u t v t b g k Tb u s v s dsα α αε εε ε ϕ ε − − −− ≤ − + −∫ . Áp dụng bất đẳng thức Gronwall cho hàm ( ) ( ) 22 1 ., .,t u t v tαε − − , ta có ( ) ( ) ( ) ( )( )21., ., 2 exp 2 t Tu t v t b b k T T t gαε εε ϕ −− ≤ − − ( ) ( )( ) 22 1 222 T t k Tk T T tb e gαε ε ϕ − − +−= − ε α ε   = +      1 thÕ 1 lnb ( ) [ ] 22 2 1 222 , 0,T k Tk Tb e g t Tαε ε ϕ − + ≤ − ∀ ∈ ( )≤ − ≤v× 0 T t T . Lấy sup hai vế theo t, ta được ( )22 2 1 22||| ||| 2 T k Tk Tu v b e gαε ε ϕ − + − ≤ − . Bất đẳng thức này chứng tỏ nghiệm của bài toán ổn định. Vậy bước 2 được chứng minh.  2.4.3. Sự chỉnh hóa và các ước lượng sai số Trong phần này, ta sẽ phát biểu và chứng minh một số kết quả chỉnh hóa dưới các điều kiện giả thiết cho trước trên nghiệm đúng u của bài toán (2.2). Trước tiên, ta có 33 Định lý 2.4.3. Lấy 0β ≥ , lấy , fϕ là các hàm như trong định lý 2.4.1. Giả sử rằng bài toán (2.2) có một nghiệm [ ] ( )( )10, ;u C T H R∈ , thỏa ( ) ( )  ( )2 222 0 : sup 1 ,t p t T A p e u p t dpβ +∞ + ≤ ≤ −∞   = + < +∞    ∫ . (2.10) Khi đó, với mọi [ ]0,t T∈ ta có ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 1 ., ., exp t k T T tu t u t A k T T t α βε ε + − −− ≤ − , trong đó ta kí hiệu uε là nghiệm duy nhất của bài toán ( )Pϕ . Chứng minh. Ta có ( ) ( ) 2 1 ., .,u t u tε− ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ., ., ., .,x xu t u t u t u t ε ε= − + −  ( )  ( )  ( )  ( ) 2 2 ., ., ., .,x xu t u t u t u t ε ε= − + −  ( )  ( )  ( )  ( )( ) 22 , , , ,u p t u p t dp ip u p t u p t dpε ε +∞ +∞ −∞ −∞ = − + −∫ ∫ ( )  ( )  ( ) 2 21 , ,p u p t u p t dpε +∞ −∞ = + −∫ ( ) ( )( ) ( )  ( ) ( )  ( ) ( ) ( )  ( ) 2 2 2 2 2 , , 1 1 , , x x T t p A T T s t p s t p u u A u u t t p e p p dp e F p s ds p e F p s ds ε ε ε ε χ ϕ χ − +∞ − − −∞ − = + − + ∫ ∫ ∫ ( ) ( )  ( )  ( )( ) ( )  ( ) ε ε ε ε +∞ − −∞ +∞ −∞   + − ∈  =   + ∉  ∫ ∫ ∫ 2 2 2 ,, 2 2 1 , , nÕu 1 , nÕu xx T s t p u uu u t p e F p s F p s ds dp p A p u p t dp p A ( ) ( )( )  ( ) 2 21 1 ,Ap p u p t dpεχ +∞ −∞ = + −∫ 34 ( ) ( ) ( )  ( )  ( )( )2 2 2 ,, 1 , , xx T s t p A u uu u t p e p F p s F p s ds dpε ε ε χ +∞ − −∞ + + −∫ ∫ 1 2I I= + , trong đó ( ) ( )( )  ( ) 2 2 1 1 1 ,AI p p u p t dpεχ +∞ −∞ = + −∫ , ( ) ( ) ( )  ( )  ( )( )2 2 2 2 ,, 1 , , xx T s t p A u uu u t I p e p F p s F p s ds dpε ε ε χ +∞ − −∞ = + −∫ ∫ . Ước lượng I1, ta có ( )  ( ) 2 2 1 1 , p c I p u p t dp ε≥ = +∫ ( ) ( ) ( )  ( ) 2 2 22 221 ,t p t p p c e p e u p t dp ε β β− + + ≥ = +∫ , trong đó cε được xác định trong (2.3). Với p cε> nên ta có ( ) ( )( ) ( )22 22exp 2t p te t cβ α βεβ ε− + +≤ − + = ε α ε   =      1 v× lnc . Suy ra ( ) ( ) ( )  ( )2 22 22 1 1 , t t pI p e u p t dpα β βε +∞ + + −∞ ≤ +∫ ( )2 t Aα βε +≤ . Ước lượng I2. Ta chú ý ( ) ( ) ( )  ( )  ( )( )2 2 2 2 ,, 1 , , xx T s t p A u uu u t I p e p F p s F p s ds dpε ε ε χ +∞ − −∞ = + −∫ ∫ ( ) ( )  ( )  ( )( )2 2 2 ,, 1 , , xx T s t p A u uu u t p e p F p s F p s ds dpε ε ε χ +∞ − −∞ = + −∫ ∫ . Từ bổ đề 2, ta có  ( )  ( )( ) 2 2 2 ,, , , xx T t s u uu u t I b F p s F p s ds dpε εα αεε ε +∞ − −∞ ≤ −∫ ∫ ( )  ( )  ( ) 2 2 2 ,, , , xx T t s u uu u t T t b F p s F p s dsdpε εα αεε ε +∞ − −∞ ≤ − −∫ ∫ (Bất đẳng thức Holder) 35 ( )  ( )  ( ) 2 2 2 ,, ., ., xx T t s u uu u t T t b F s F s dsε εα αεε ε −≤ − −∫ . Từ bổ đề 1, suy ra ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 1 2 ., ., T t s t I k T t b u s u s dsα α εεε ε −≤ − −∫ . Suy ra ( ) ( ) 2 1 ., .,u t u tε− ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 1 2 ., ., T t t s t A k T t b u s u s dsα β α α εεε ε ε + −≤ + − −∫ . Nhân hai vế cho 2tαε − , ta được ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 2 1 1 ., ., 2 ., ., T t s t u t u t A k Tb u s u s dsα ε αβ α εεε ε ε − −− ≤ + −∫ . Áp dụng bất đẳng thức Gronwall cho hàm ( ) ( ) 22 1 ., .,t u t u tα εε − − , ta có ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 1 ., ., exp 2tu t u t A b k T T tα βε εε +− ≤ − . Mặt khác ( )( )2exp 2b k T T tε − ( )21exp 2 2 ln k T T tα ε    = + −        ε α ε   = +      1 v× 1 lnb ( ) ( ) 2 22 2k T T t k T T te αε− − −= . Suy ra ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 22 2 2 1 ., ., t k T T t k T T tu t u t A eα βε ε + − − −− ≤ . Từ đây, ta có ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 1 ., ., t k T T t k T T tu t u t A eα βε ε + − − −− ≤ . Định lý được chứng minh.  Nhận xét 2.4.4. 1. Nếu 0β = trong (2.10), 0f ≡ và nếu ta có giả thiết trước đó ( ) ( )1.,0u H R∈ , thì điều kiện (2.10) là hợp lý. Chứng minh. Trong trường hợp này, ta có  ( )  ( )2 , ,0tpe u p t u p= . 36 Thật vậy, ta có  ( ) ( )  ( ) ( )  ( ) 2 2 ,, ,x T T t p s t p u u t u p t e p e F p s dsϕ− −= − ∫ . Suy ra  ( )  ( )  ( )  ( )2 2 2 2,, ,x T tp Tp sp Tp u u t e u p t e p e F p s ds e pϕ ϕ= − =∫ (Vì 0f ≡ nên , 0xu uF ≡ ), mà  ( )  ( )  ( )  ( )2 2 2, 0 ,0 , x T Tp sp Tp u uu p e p e F p s ds e pϕ ϕ= − =∫ , nên  ( )  ( )2 , ,0tpe u p t u p= . Từ đây, vì ( ) ( )1,0u x H R∈ nên ta có ( )  ( ) ( )  ( )2 2 2 2 2 21 , 1 ,0tpp e u p t dp p u p dp +∞ +∞ −∞ −∞ + = +∫ ∫  ( ) ( ) 2 22 1 1 .,0 .,0p u u= + = (vì ( ) ( ) ( )2 2 2 1 .,0 .,0 .,0xu u u= +  ( )  ( ) 22 .,0 .,0xu u= +  ( )  ( ) 2 2 ,0 ,0u p dp ipu p dp +∞ +∞ −∞ −∞ = +∫ ∫ ( )  ( )  ( ) 22 2 21 ,0 1 .,0p u p dp p u +∞ −∞ = + = +∫ ). Do đó điều kiện (2.10) là hợp lý.  2. Nếu 2 2k Tβ > thì ( ) ( )0 1lim .,0 .,0 0u u ε ε→ − = . Chứng minh. Vì 2 2k Tβ > nên ( )2 2 0k Tα β − > , từ đây suy ra ( ) ( ) 2 2 2 2 0lim exp 0 k TA k T α βε ε − → = . Do đó 37 ( ) ( )0 1lim .,0 .,0 0u u ε ε→ − = .  Điều này chứng tỏ nếu 2 2k Tβ > thì nghiệm xấp xỉ rất tốt khi 0t = . 3. Nếu 0β = thì ( ),u x tε là một xấp xỉ tốt của ( ),u x t khi ( )2 0t k T T t− − > , tức là 2 2 21 k T t T k T < ≤ + . 4. Nếu ( ), ,f f x t u= không phụ thuộc vào xu , sử dụng kỹ thuật chứng minh của định lý 2.4.3 (nhưng dễ hơn) thì ta có thể chứng minh được rằng ( ) ( ) ( )., ., tu t u t M α βε ε +− ≤ , với 2 2k TM Be= , trong đó ( )  ( ) 2 22 0 : sup ,t p t T B e u p t dpβ +∞ + ≤ ≤ −∞   = < +∞    ∫ . Trong trường hợp này, ta thấy sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ về nghiệm chính xác là rất tốt với tốc độ hội tụ là ( )tα βε + . Trong trường hợp dữ liệu đo không chính xác, ta có đánh giá sau Định lý 2.4.5. Lấy , fϕ là các hàm như trong định lý 2.4.1 và 2 2k Tβ > . Giả sử bài toán (2.2) có một nghiệm [ ] ( )( )10, ;u C T H R∈ , thỏa ( ) ( )  ( )2 2 2 0 : sup 1 ,t p t T A p e u p t dpβ +∞ + ≤ ≤ −∞   = + < +∞    ∫ . Lấy ( )0,1δ ∈ và ( )2L Rδϕ ∈ là một dữ liệu đo được sao cho δϕ ϕ δ− ≤ . Khi đó từ δϕ , ta có thể xây dựng một hàm [ ] ( )( )10, ;z C T H Rδ ∈ thỏa ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 1., ., 2 1 lnk T k Tz t u t Ae eδ νµ δ δ   − ≤ + +      , (2.11) 38 với mọi [ ]0,t T∈ , trong đó ( ) 2 2 2 2 2 2 2, k TT k T T k T βµ α β ν β − = + + = + + . Chứng minh. Lấy uε là nghiệm của bài toán ( )Pϕ và ,uε δ là nghiệm của bài toán ( )Pϕδ . Từ định lý (2.4.3), ta có ( ) ( ) ( ) 2 22 2 1 ., ., k Tk Tu t u t Ae α βε ε −− ≤ , (2.12) với mọi [ ]0,t T∈ . Từ định lý 2.4.2, ta có ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2, 2 1 ., ., 2 T k Tk Tu t u t b e αε ε δ ε δε ϕ ϕ − + − ≤ − ( ) 2 22 2 222 T k Tk Tb e αεδ ε − + ≤ , (2.13) trong đó bε được xác định trong (2.7). Vậy từ (2.12), (2.13), ta suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , 1 1 1 ., ., ., ., ., .,u t u t u t u t u t u tε δ ε ε ε δ− ≤ − + − ( ) ( ) 2 2 2 22 2 2 2 222k T T k Tk T k TAe b eα β αεε δ ε − − + ≤ + . Chọn ( ) ( ) 2 2 1 T k Tα β ε ε δ δ + + = = , 10 e δ< < , ,α β sao cho ( )2 2 1T k Tα β + + > . Khi đó 1ln 1 δ > , ( ) ( ) 2 2 2 2 1 T k T T k T α β α β < + + + + hay ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 T k T T k T α β β < + + + + . Suy ra ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2, 22 21 1 1., ., 2 1 lnk T k Tu t u t Ae e T k T ε δ δ νδ β δ     − ≤ + +    + +     39 ( )2 2 2 2212 1 lnk T k TAe e νµ δ δ   ≤ + +      . Đặt ( ) ( ) ( ),, ,z x t u x tε δ δδ = , với mọi x R∈ , [ ]0,t T∈ . Khi đó, ta có bất đẳng thức (2.11).  40 CHƯƠNG 3: BÀI TOÁN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN CÓ CHỨA ĐẠO HÀM CẤP MỘT VỚI BIẾN KHÔNG GIAN HAI CHIỀU Bây giờ, ta sẽ mở rộng bài toán trong không gian hai chiều. Bằng cách làm tương tự như trong không gian một chiều ta cũng sẽ thu được những kết quả tương tự. 3.1. Định nghĩa Cho T là một số dương, ta xét bài toán tìm một nghiệm ( ), ,u x y t , ( ) [ ], , 0,x y t R R T∈ × × , thỏa hệ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , , , , , , , , , 0, , , , , t x yu u f x y t u x y t u x y t u x y t x y t R R T u x y T x yϕ  − ∆ = ∈ × ×  = (3.1) trong đó ( ) ( ), , , , , , ,x y f x y t v w zϕ là các hàm cho trước. Bài toán được gọi là bài toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến có chứa đạo hàm cấp một với biến không gian hai chiều. 3.2. Biến đổi Fourier của bài toán (3.1) Ta sẽ ký hiệu ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , : , , , , , , , , , , ,u v wF x y t f x y t u x y t v x y t w x y t= . Bằng cách sử dụng biến đổi Fourier, ta có thể viết lại hệ (3.1) trên ở dạng sau  ( ) ( )( )  ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 , ,, , , , ,x y T T t m n s t m n u u u t u m n t e m n e F m n s dsϕ− + − += − ∫ , (3.2) trong đó  ( ) ( ) ( )1 2 2 1 2 1 2 1, , , , 2 i m n R g m n t g t e d dξ ξξ ξ ξ ξ π − += ∫ . Thật vậy, bằng cách khai triển Fourier tổng quát theo biến x, ta được ( ) ( ) ( ), , , , , ,imx imx imxt xx yyu x y t e dx u x y t e dx u x y t e dx +∞ +∞ +∞ − − − −∞ −∞ −∞ − −∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( )( ), , , , , , , , , , , +∞ − −∞ = ∫ imxx yf x y t u x y t u x y t u x y t e dx . Tích phân từng phần và với giả thiết rằng 41 ( ) ( )lim , , lim , , 0xx xu x y t u x y t→±∞ →±∞= = , ta có ( ) ( )2, , , ,imx imxu x y t e dx m u x y t e dx t +∞ +∞ − − −∞ −∞ ∂ + ∂ ∫ ∫ ( ), , imxyyu x y t e dx +∞ − −∞ − ∫ ( ), , , ,x y imxu u uF x y t e dx +∞ − −∞ = ∫ . Tiếp tục khai triển Fourier tổng quát theo biến y, ta được ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2, , , ,i mx ny i mx ny R R u x y t e dxdy m u x y t e dxdy t − + − +∂ + ∂ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 , , i mx nyyy R u x y t e dxdy− +− ∫ ( ) ( ) 2 , , , ,x y i mx ny u u u R F x y t e dxdy− += ∫ . Tích phân từng phần và với giả thiết rằng ( ) ( )lim , , lim , , 0yy yu x y t u x y t→±∞ →±∞= = , Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2, , , ,i mx ny i mx ny R R u x y t e dxdy m n u x y t e dxdy t − + − +∂ + + ∂ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 , , , ,x y i mx ny u u u R F x y t e dxdy− += ∫ . Suy ra  ( ) ( )  ( )  ( )2 2 , ,, , , , , ,x yt u u uu m n t m n u m n t F m n t+ + = . Nhân hai vế với ( ) 2 2m n te + , ta được ( )  ( ) ( )  ( ) 2 2 2 2 , ,, , , ,x y m n t m n t u u u t e u m n t e F m n t+ +  =    . Lấy tích phân 2 vế trên đoạn [ ],t T , ta được ( )  ( ) ( )  ( ) 2 2 2 2 , ,, , , ,x y Ts T m n s m n s u u u s t t e u m n s e F m n s ds = + + = = ∫ ( )  ( ) ( )  ( ) ( )  ( ) 2 2 2 2 2 2 , ,, , , , , ,x y T m n T m n t m n s u u u t e u m n T e u m n t e F m n s ds+ + +− = ∫ ( )  ( ) ( )  ( ) ( )  ( ) 2 2 2 2 2 2 , ,, , , , ,x y T m n T m n t m n s u u u t e m n e u m n t e F m n s dsϕ+ + +− = ∫ 42 ( )  ( ) ( )  ( ) ( )  ( ) 2 2 2 2 2 2 , ,, , , , ,x y T m n t m n T m n s u u u t e u m n t e m n e F m n s dsϕ+ + += − ∫ . Từ đây, ta có  ( ) ( )( )  ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 , ,, , , , ,x y T m n T t m n s t u u u t u m n t e m n e F m n s dsϕ+ − + −= − ∫ . 3.3. Tính không chỉnh của bài toán (3.2) Ta chú ý rằng trong (3.2), các nhân tử xấu là ( )( ) ( )( )2 2 2 2, , 0T t m n s t m ne e t s T− + − + < < < . Vì ( )( ) 2 2s t m ne − + → +∞ rất nhanh khi m và n →∞ nên nghiệm của bài toán (3.2) không ổn định. Ta xét một ví dụ với 0F ≡ . Thật vậy, với 0ϕ = thì  ( ), , 0u m n t = . Đặt ( ) ( ), ,= +∞ × +∞kB k k . Lấy  ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 0 nÕu , , , nÕu , . k t T m n k k m n B km n e m n B m n ϕ − +  ∉ =  ∈  + Theo định lý Plancherel, ta có   22ϕ ϕ ϕ ϕ− = −k k ( )( ) ( ) 2 2 22 3 +∞ +∞ − + = +∫ ∫ t T m n k k ke dmdn m n ( ) ( ) 242 3 1+∞ +∞−≤ +∫ ∫ k t T k k k e dmdn m n ( ) ( ) ( )2 24 42 2 1 1 0 42 +∞ − −= = → +∫ k t T k t T k k e dn ke k n khi k →+∞ , [ )∀ ∈ 0,t T . Nghiệm ứng với dữ liệu đo 43  ( ) ( ) ( ) ( )3 2 0 nÕu , , , , nÕu , . k k k m n B ku m n t m n B m n  ∉ =  ∈  + Ta có ( ) ( )  ( )  ( ) ( ) 222 3.,., .,., .,., .,., +∞ +∞ − = − = +∫ ∫i k k k ku t