Luận văn Đặc trưng môđun tựa nội xạ bởi tính chất (1-C1 )

ột môđun con tối đại trong M sao cho N e⊆ K. Hệ quả. Bao đóng của môđun luôn tồn tại. Chứng minh. Thật vậy cho H⊆M. Ta chứng minh luôn tồn tại bao đóng của H trong M. Đặt S={K⊆M/H e⊆ K} - S khác rỗng vì H∈S 5 - Sắp thứ tự của S theo quan hệ ⊆ . Lấy tập con của S, sắp thứ tự tuyến tính là K1⊆K2 ⊆…⊆Kn⊆… (1) Đặt A= ∞ 1 Ki, ta thấy A là cận trên của (1). Ta chứng minh A∈S hay H e⊆ A. Lấy x∈A và x≠ 0 suy ra tồn tại n để x∈Kn, mà H e⊆ Kn suy ra Rx∩H≠ 0 suy ra H e⊆ A suy ra A∈S. Vậy mỗi tập sắp thứ tự tuyến tính đều có cận trên. Theo Bổ đề Zorn suy ra S có phần tử tối đại là K. Ta chứng minh K là bao đóng của H. Do K∈S suy ra H e⊆ K, nếu tồn tại B⊆M sao cho K e⊆ B suy ra H e⊆ B suy ra B∈S điều này mâu thuẩn với giả thiết tính tối đại của K suy ra B=K. Ví dụ. Xét Z- môđun, 2Z có bao đóng là Z 1.1.5.Định nghĩa. Cho môđun M và N,H⊆M. Môđun H được gọi là một phần bù giao của N trong M nếu H là môđun tối đại trong các môđun con của M thỏa mãn H∩N=0. 1.1.6.Định nghĩa (1) Một môđun M khác không được gọi là môđun đơn trong trường hợp nó không có những môđun con không tầm thường. (2) Cho họ (Mi)i ∈I là một tập hợp những môđun con đơn của M. Nếu M là tổng trực tiếp của tập hợp này, thì M=⊕ ∈Ii Mi là một sự phân tích nửa đơn của M. Một môđun M được gọi là môđun nửa đơn trong trường hợp nó có một sự phân tích nửa đơn. 1.1.7.Định nghĩa (1) Một môđun M được gọi là không thể phân tích được trong trường hợp nó khác không và không có những hạng tử trực tiếp không tầm thường. 6 (2) Một hạng tử trực tiếp K của M được gọi là một hạng tử trực tiếp tối đại của M nếu và chỉ nếu K có một bù hạng tử trực tiếp không phân tích được N trong M. (3) Một sự phân tích M=⊕ ∈Ii Mi của một môđun M như một tổng trực tiếp của những môđun con khác không (Mi)i∈I được gọi là bù hạng tử trực tiếp (bù hạng tử trực tiếp tối đại) trong trường hợp cho mọi hạng tử trực tiếp K của M có tập hợp con J của I với M = KM jJj ⊕ ⊕∈ 1.1.8.Định nghĩa. Cho hai môđun I và J. (1) Môđun I được gọi là J-nội xạ (J-injective) nếu với mỗi đơn cấu môđun g:K → J và với mỗi đồng cấu môđun f: K → I thì có một đồng cấu môđun f *:J → I (f * là một mở rộng của f theo đơn cấu g) sao cho f *.g = f (2) Môđun I được gọi là tựa nội xạ (quasi-injective) nếu I là I- nội xạ Ví dụ: i) Z–môđun q là Z nội xạ ii) Z–môđun Z không phải là Z nội xạ 1.1.9. Định nghĩa. Cho hai môđun P và J. (1)Môđun P được gọi là J-xạ ảnh (J- projective) nếu với mỗi toàn cấu g:J →K và với mỗi đồng cấu h:P → K thì có một đồng cấu h*:P → J sau cho g.h*= h 7 I K J f g f* (2) Môđun P được gọi là tựa xạ ảnh (quasi-projective) nếu P là P-xạ ảnh 1.1.10. Định nghĩa. Cho môđun M. Ta thường xét các điều kiện sau: (C1) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong hạng tử trực tiếp của M. Nói cách khác, mọi môđun con đóng trong M là một hạng tử trực tiếp của M. (C2) Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và A là một hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M. (C3) Nếu những môđun con của A và B là các hạng tử trực tiếp của M và A∩B=0 thì A⊕B cũng là hạng tử trực tiếp của M. (1-C1) Mọi môđun con đều của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M. (1) Một môđun M được gọi là CS-môđun (hay Extending) nếu M thỏa mãn điều kiện (C1). (2) Một môđun M được gọi là (1-C1)-môđun nếu M thỏa mãn điều kiện (1-C1). (3) Một môđun M được gọi là liên tục (hay continuous) nếu M thỏa mãn các điều kiện (C1) và (C2). (4) Một môđun M được gọi là tựa liên tục (hay quasi-continuous) nếu M thỏa mãn các điều kiện (C1) và (C3). 8 P KJ h g h* 1.1.11.Định nghĩa. Cho họ các môđun (Ai/i∈I). Khi đó tích đềcác { }Ii,iAia/)ia(Ii iA ∈∈=∏∈ cùng với các phép toán cộng và phép nhân vô hướng theo thành phần (ai)+ (bi)=(ai+bi); (ai)r =(air), là một môđun. Môđun này được gọi là tích trực tiếp của họ (Ai/i∈I). Trường hợp Ai = A, Ii∈∀ , ta ký hiệu IA Ii i A =∏ ∈ . Phép chiếu Pj : ∏∈Ii i A → Aj là một R-đồng cấu môđun, Ij∈∀ (ai) aj 1.1.12.Định nghĩa. Môđun A được gọi là tổng trực tiếp trong của một họ các môđun con (Ai/i∈I) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: (1) A = ∑ ∈Ii i A , (2) Ij;0ji i AjA ∈∀=∑≠ ∩ 1.1.13.Định nghĩa. Một họ {Ai/i∈I} các môđun con của M được gọi là hạng tử trực tiếp địa phương của M nếu ∑ ∈Ii i A là tổng trực tiếp và ∑ ∈Ji i A là hạng tử trực tiếp của M với mỗi tập con hữu hạn J của I. Nếu ∑ ∈Ii i A là tổng trực tiếp của M thì hạng tử trực tiếp địa phương là hạng tử trực tiếp. 9 1.2.Một số tính chất của môđun nội xạ 1.2.1.Mệnh đề. Cho N là A-môđun nội xạ. Nếu B⊆A thì N là B-nội xạ và N là B A -nội xạ. Chứng minh. i) Ta chứng minh N là B-nội xạ. Với mọi môđun X⊆B ta có X⊆A. Mà N là A-nội xạ nên với mỗi đồng cấu NX: →ϕ luôn mở rộng được thành đồng cấu NA:h → sao cho hi=α . Chọn NB: →ψ sao cho i.h=ψ . Khi đó ψ là một mở rộng của ϕ nên N là B -nội xạ ii) Ta chứng minh N là B A -nội xạ. Giả sử B X là môđun con của B A và NB X: →ϕ là đồng cấu bất kỳ. Gọi pi là đồng cấu tự nhiên từ A vào B A và 'pi là thu hẹp của pi trên X. ( pipi =' x). Ta xét biểu đồ sau: 10 ϕ ψ h∃ AX N i B i 'pi θ∃ pi A B X N ϕ B A X i Vì N là A- nội xạ nên tồn tại NA: →θ sao cho i.. ' θ=piϕ . Ta có B⊆ A và )B(i.)B( θ=θ (do B⊆X = )B('ϕpi = 0)0( =ϕ ) Vậy B⊆Kerθ hay Kerpi ⊆Kerθ . Do pi là toàn cấu nên có thể chọn NB A: →ψ sao cho θ=ψpi , Xx∈∀ thì Ax∈ ta có )Bx()x()x(i.)x()x()]x([)Bx( ' +ϕ=ϕpi=θ=θ=ψpi=piψ=+ψ Vậy ψ là mở rộng của ϕ hay N là B A -nội xạ. 1.2.2.Mệnh đề. Môđun N là A -nội xạ khi và chỉ khi N là aR-nội xạ, ∈∀a A Chứng minh. )(⇒ ∈∀a A thì aR⊆A nên theo Mệnh đề 1.2.1,N là aR-nội xạ )(⇐ Bây giờ ta giả sử N là aR-nội xạ ∈∀a A, ta sẽ chứng minh N là A- nội xạ. Gọi X là môđun con của A và NX: →ϕ là đồng cấu bất kỳ. Xét tập S gồm tất cả các cặp (B,ψ ), trong đó X⊆B⊆A và NB: →ψ là mở rộng của ϕ quan hệ thứ tự trên S là quan hệ ⊆ . (X,ϕ ) S∈ nên S khác rỗng, S thỏa Bổ đề Zorn. Vậy ta có thể tìm được cặp (B,ψ ) tối đại theo nghĩa X⊆B⊆A và NB: →ψ là đồng cấu mở rộng của ϕ . Ta chứng minh B cốt yếu trong A. Giả sử B không cốt yếu trong A, khi đó có môđun Y⊆A, Y≠0 sao cho B∩Y=0. Khi đó X⊆B⊕Y⊆A. Xác định đồng cấu NYB: →⊕θ như sau )b(0)b()y()b()yb( ψ=+ψ=θ+θ=+θ . Như vậy θ là mở rộng của ψ và là mở rộng của ϕ . Do đó (B,ψ ) ),YB( θ⊕⊆ mâu thuẫn với (B,ψ ) tối đại. 11 Giả sử B≠A, ta xét phần tử a∈A-B. Đặt K ={ }Bar:Rr ∈∈ . Do aK = aR∩B nên K ≠0 (Vì AB e⊆ ) Ta xác định đồng cấu µ như sau: NaK: →µ sao cho )()( akak ψµ = Do N là aR- nội xạ nên µ có thể mở rộng được thành NaR:v → Ta xác định NaRB: →+λ như sau )ar(v)b()arb( +ψ=+λ ,λ là ánh xạ , vì giả sử có b’+ar’=b+ar ⇔ (b’-b) +(ar’-ar) = 0 Ta có λ (b’+ar’ )-λ (b+ar ) = )ar(v)b()ar(v)b( '' −ψ−+ψ =ψ (b’-b) +v(ar’-ar). Vì (b’-b) +a(r’-r) = 0 nên ta có a(r’-r) B∈ . Suy ra (r’-r) K∈ do đó v(ar’ –ar) =ψ (ar’-ar) Do đó λ (b’+ar’ )-λ (b+ar ) = )arar()bb( '' −ψ+−ψ =ψ (b’-b+ar’-ar) = 0)0( =ψ . Vậy λ (b’+ar’ )=λ (b+ar ). Dễ dàng kiểm tra λ là đồng cấu và λ là mở rộng của ϕ . Vậy (B,ψ )∈(B+aR,λ ) điều này trái với (B,ψ ) tối đại. Vậy B=A và ψ : A → N là mở rộng của ϕ hay N là A-nội xạ. 1.2.3.Mệnh đề. Môđun N là i Ii A⊕ ∈ - nội xạ nếu và chỉ nếu N là Ai -nội xạ, Ii∈∀ Chứng minh. (⇒ ) N là i Ii A⊕ ∈ -nội xạ mà Ai ⊆ iIi A⊕ ∈ , Ii∈∀ nên theo Mệnh đề 1.2.1, N là Ai -nội xạ, Ii∈∀ . (⇐ ) Giả sử N là Ai -nội xạ, Ii∈∀ . Đặt A= i Ii A⊕ ∈ , X ⊆A và NX: →ϕ là đồng cấu. Tương tự chứng minh Mệnh đề 1.2.2, bằng Bổ đề Zorn chúng ta có thể giả sử ϕ không thể mở rộng thành đồng cấu từ X’ vào N với bất kỳ môđun X’ ⊆A mà X’ chứa X. Khi đó X e⊆ A. Do X ≠A nên Ij∈∃ và a∈Aj sao cho a∉X. Vì N là Aj-nội xạ nên N là aR-nội xạ theo Mệnh đề 1.2.1 12 Lý luận tương tự Mệnh đề 1.2.2, ta có thể mở rộng ϕ thành NaRX: →+ψ , điều này trái với sự tối đại của ϕ . Vậy N là A-nội xạ. 1.2.4.Mệnh đề [3, Proposition 1.6]. ∏ Λ∈α αM là A-nội xạ nếu và chỉ nếu αM là A-nội xạ, Λ∈∀α 1.2.5.Mệnh đề [3, Theorem 1.7]. Cho họ các môđun { }Λ∈αα :M những điều kiện sau là tương đương (1) α α M⊕ Λ∈ là A-nội xạ (2) i Ii M⊕ ∈ là A-nội xạ với mọi tập con đếm được I⊆A (3) αM là A-nội xạ Λ∈∀α và mọi cách chọn mi∈ )(, NiM i ∈α với Λ∈iα sao cho 0 1 0 am i i ≥ ∞ =  với ∈a A, dãy tăng )( 0 Nnm ni i ∈ ≥  dừng. 1.2.6.Mệnh đề [3, Corollary 1.8]. i Ii M⊕ ∈ là A nội xạ nếu và chỉ nếu Mi là A- nội xạ, Ni∈∀ và mọi cách chọn mi∈ iM sao cho 0 1 0 am i i ≥ ∞ =  với ∈a A, dãy tăng )( 0 Nnm ni i ∈ ≥  dừng. Cho họ R- môđun { }Λ∈αα :M .Ta có các điều kiện sau (A1) Mọi cách chọn Λ∈iα , Ni∈∀ và mi∈ )(, NiM i ∈α thì dãy )(0 Nnm ni i ∈ ≥  dừng. (A2) Mọi cách chọn )( Λ∈∈ ααMx và mi∈ )(, NiM i ∈α với Λ∈iα , Ni∈∀ sao cho 00 xmi ≥ thì dãy tăng )( 0 Nnm ni i ∈ ≥  dừng. (A3) Mọi cách chọn Λ∈iα , Ni∈∀ và mi∈ )(, NiM i ∈α ,nếu dãy 0im là dãy tăng nó là dãy dừng. 13 Rõ ràng (A1) ⇒ (A2) ⇒ (A3) 1.2.7.Mệnh đề [3, Propossition 1.9]. Cho M = α α M⊕ Λ∈ .Khi đó M( )α−Λ là αM -nội xạ với mọi Λ∈α nếu và chỉ nếu αM là βM -nội xạ với mọi Λ∈≠ βα và thỏa mãn (A2) 1.2.8.Mệnh đề [3, Propossition 1.10]. Cho α α M⊕ Λ∈ là nội xạ nếu và chỉ nếu αM là nội xạ và thỏa mãn (A1) 1.2.9.Mệnh đề. Nếu K là môđun con của M và L là phần bù giao của K, khi đó (1) L là môđun con đóng trong M (2) L⊕K là môđun con cốt yếu của M Chứng minh. (1) Ta chứng minh L đóng trong M. Thật vậy, gọi N là môđun con của M sao cho L e⊆ N. Nếu N≠L thì L∩ K=0, L tối đại nên N∩K≠0. Mà N∩K⊆N và L e⊆ N nên (N∩K)∩L=N∩ (K∩L) ≠0. Vì K∩L = 0 nên ta có điều vô lý. Do đó N=L hay L là môđun con đóng trong M. (2) Ta chứng minh L⊕K e⊆ M. Thật vậy, lấy 0≠N ⊆M, nếu N∩ (K⊕L)=0 thì N∩K=0 và N∩L =0. Do đó (N⊕L)∩K=0 (vì nếu n+l=k thì n=k-l, hay n∈N và n∈K⊕L và do đó n=0 và k-l =0). Lúc đó theo tính tối đại của L thì N⊕L =L hay N= 0. Điều này mâu thuẫn với giả thiết 0≠N. Vậy N∩ (K ⊕L) ≠0 hay L⊕K e⊆ M. 14 CHƯƠNG 2. ĐẶC TRƯNG MÔĐUN TỰA NỘI XẠ BỞI TÍNH CHẤT (1-C1) 2.1.Một số tính chất của môđun tựa nội xạ 2.1.1.Bổ đề. Cho A và N là các môđun. Khi đó môđun N là A-nội xạ nếu và chỉ nếu NA⊆ψ với mọi ))(),(( NEAEHom∈ψ . Chứng minh. Vì E(N) là nội xạ nên ta chỉ cần chứng minh với mọi ))N(E),A(E(Hom∈ψ . Giả sử X⊆A và ϕ :X → N là một đồng cấu. Từ E(N) là nội xạ ϕ được mở rộng đến ψ :E(A) → E(N). Mặt khác NA ⊆ψ suy ra ϕ được mở rộng tới một đồng cấu từ A vào N. Vì vậy N là A-nội xạ. Ngược lại,với mọi ))N(E),A(E(Hom∈ψ . ta giả sử X={ }N)a(:Aa ∈ψ∈ . Từ giả thiết, N là A-nội xạ, ψ x có thể mở rộng được tới đồng cấu v:A → N. Ta khẳng định rằng, N 0A)v( =ψ−∩ . Thật vậy, giả sử n∈N, a∈A sao cho n= )a)(v( ψ− . Khi đó ta có Nn)a(v)a( ∈−=ψ vì thế a∈X. Suy ra rằng n = )a()a(v ψ− = 0)a()a( =ψ−ψ tức là N 0A)v(0A)v( =ψ−⇒=ψ−∩ vì N e⊆ E(N). Do đó NvAA ⊆=ψ 15 E(N) ϕ ψN AX 2.1.2.Hệ quả [3, Corollary 1.14]. Mọi môđun M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu fM ⊆M với mọi f∈End(E(M)) 2.1.3.Hệ quả. Cho A và B nội xạ lẫn nhau (A là B-nội xạ và B là A-nội xạ). Nếu E(A)≅E(B) thì A≅B. Thực tế mọi đẳng cấu từ E(A) đến E(B) thu hẹp thành đẳng cấu từ A đến B. Trong trường hợp này A và B là tựa nội xạ. Chứng minh. Giả sử g:E(A) → E(B) là một đẳng cấu. Vì B là A-nội xạ nên theo Bổ đề 2.1.1, g(A) ⊆B. Tương tự g -1(B)⊆A. Ta lại có B=(gg-1)(B)=g(g-1(B)) ⊆ g(A) ⊆B. Vậy g(A) = B,Vì vậy g A:A → B là một đẳng cấu, hay A≅B. Ta lại có A là B-nội xạ, B≅A nên A là A-nội xạ, có nghĩa là A là môđun tựa nội xạ. 2.1.4.Mệnh Đề [3, Proposition 1.17]. M1⊕M2 là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu Mi là Mj nội xạ (i,j= 1,2). Đặc biệt, hạng tử trực tiếp của môđun tựa nội xạ là tựa nội xạ. Chứng minh. Sử dụng Mệnh đề 1.2.3 và Mệnh đề 1.2.4 2.1.5.Mệnh đề [3, Proposition 1.18]. Cho M = α α M⊕ Λ∈ . Những điều kiện sau là tương đương (1) M là tựa nội xạ (2) αM là tựa nội xạ và M( )α−Λ là αM - nội xạ Λ∈∀α (3) αM là βM -nội xạ Λ∈∀ βα , và thỏa mãn (A2) Chứng minh. Sử dụng Mệnh đề 1.2.7 và Mệnh đề 2.1.4 16 E(N) N AX x v ψ 2.1.6.Hệ quả [3, Proposition 1.19]. i Ii M⊕ = là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu Mi là Mj nội xạ (i,j=1,2,3,…,n). M n là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M là nội xạ. Chứng minh. Sử dụng Mệnh đề 2.1.5 17 2.2.Một số tính chất lớp CS-môđun và (1-C1)-môđun 2.2.1.Hệ quả. Cho môđun M. Nếu M là CS-môđun thì M là (1-C1)-môđun Chứng minh. Giả sử M là CS-môđun theo định nghĩa CS-môđun, mỗi môđun con của M cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M. Do vậy, mỗi môđun con đều cũng cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M, từ đó dẫn đến M là (1-C1)–môđun theo Định nghĩa 1.1.10. 2.2.2.Bổ đề . Giả sử M là môđun nào đó, khi đó ta có: i) Cho A là môđun con tùy ý của M. Nếu A đóng trong hạng tử trực tiếp của M thì A đóng trong M. ii) Mọi hạng tử trực tiếp của M đóng trong M. Chứng minh. i) Giả sử 21 MMM ⊕= và A đóng trong M1, ta chứng minh A đóng trong M. Thật vậy, xét phép chiếu 121 MMM: →⊕pi Giả sử eA ⊆ B M⊆ ta chứng minh A = B. Ta có: 1MA ⊆ suy ra 0MA 2 =∩ vì thế Api là đơn cấu. Do đó ( ) ( ) 1e MB ⊆pi⊆pi= AA . Vì A đóng trong M1 nên ( ) BAB ⊆=pi cho nên ( ) .BB1 ⊆pi− Suy ra ( ) 0BB1 =∩pi− mà ta có BA e⊆ suy ra ( ) ( ) 0B1 =pi− . Hay ( ) 1MBB ⊆pi= . Do A đóng trong M1 nên ta có A = B. Vậy A đóng trong M. ii) Giả sử A là hạng tử trực tiếp của M ta có BAM ⊕= . Lấy MN ⊆ sao cho NA e⊆ thì BNBA e ∩⊆∩ . Từ đó BN0 e ∩⊆ suy ra 0BN =∩ Xét phép chiếu ABA: →⊕pi ta có ( ) BKer =pi mà 0BN =∩ nên B0)ker(N pi⇒=pi∩ là đơn cấu. Vì thế N nhúng đơn cấu vào môđun A mà NANA =⇒⊆ . Vậy A đóng trong M 2.2.3. Hệ quả. Hạng tử trực tiếp của (1-C1) – môđun là (1-C1) – môđun. 18 Chứng minh. Giả sử MA ⊕⊂ hay BAM ⊕= , M thoả (1-C1). Ta thấy A đóng trong M ta chứng minh A là (1-C1)–môđun. Thật vậy, lấy bất kỳ môđun T đều đóng trong A. Do A đóng trong M và sử dụng Bổ đề 2.2.2 ta có T đóng trong M. Mà M là (1-C1)–môđun nên MT ⊕⊂ KTM ⊕=⇒ với MK ⊆ . Mặt khác BAM ⊕= và AT ⊆ , suy ra tồn tại môđun MKAC ⊆∩= thỏa mãn ( ) { }0TKA =∩∩ , suy ra ( ) ATKA =+∩ ( ) TKAA ⊕∩=⇒ hay ATTCA ⊕⊆⇒⊕= , do đó A là (1-C1) – môđun 2.2.4.Bổ đề. Nếu M là (1-C1)–môđun, khi đó mỗi môđun con đóng của M là (1-C1)–môđun. Chứng minh. Giả sử N là môđun con đóng của M và U là môđun con đóng đều nào đó của N (Do môđun con A đóng trong môđun con B mà môđun B đóng trong môđun C thì môđun A đóng trong môđun C). Khi đó U đóng trong M. Vì M là (1-C1)–môđun nên U là hạng tử trực tiếp của M nghĩa là XUM ⊕= với X là môđun con nào đó của M. Vì NU ⊆ nên theo luật modunlar ta có ( )NXUN ∩⊕= . Như vậy U là hạng tử trực của N suy N là (1-C1)–môđun 2.2.5.Hệ quả. Nếu M là (1-C1)–môđun thì mọi hạng tử trực tiếp của M cũng là (1-C1)–môđun Chứng minh. Gọi môđun con N là một hạng tử trực tiếp của M và U là môđun con đóng đều trong N. Khi đó, theo Bổ đề 2.2.4 thì U đóng trong M. Vì M là (1-C1)–môđun nên U là môt hạng tử trực tiếp của M, khi đó ta có M=U⊕U/ với U/ là một môđun con nào đó của M. Vì U⊆N nên theo luật modunlar ta có N=U⊕ (N∩U/). Vậy U là một hạng tử trực tiếp của N. Hay N là (1-C1) –môđun. 19 2.2.6.Mệnh đề. Giả sử M là (1-C1)–môđun và UX ⊕ là một môđun con đóng của M, trong đó X là hạng tử trực tiếp của M và U là môđun đều. Khi đó UX ⊕ là hạng tử trực tiếp của M. Chứng minh. Vì A là hạng tử trực tiếp của M do đó 1MXM ⊕= với M1 là môđun con của M. Gọi 1MM: →pi là phép chiếu tự nhiên. Giả sử V là mở rộng cốt yếu của ( )Upi trong M1, vì 0XU =∩ do đó Upi là một đơn cấu nên ta có ( ) UU ≅pi , do đó ( )Upi là môđun đều. Như vậy V là một môđun con đóng đều của M1. Do M1 là hạng tử trực tiếp của M, M là (1-C1)-môđun, M1 cũng là (1-C1)-môđun. Ta thấy ( ) ( )( ) UXUV 11 ⊕⊇pipi⊇pi −− (vì ( ) 0X =pi ). Ta sẽ chứng minh ( ) UXV1 ⊕⊆pi− . Thật vậy, lấy ( )Vx 1−pi∈ thì ( ) Vx ∈pi mà 1m'xx += với 11 Mm,X'x ∈∈ do vậy ( ) Vmx 1 ∈=pi . Từ đó suy ra VXm'xx 1 ⊕∈+= hay VX)V(UX 1 ⊕⊆pi⊆⊕ − (*). Ta sẽ chứng minh rằng UX⊕ là cốt yếu trong VX⊕ . Thật vậy, gọi ( ) VUXZ ∩⊕= . Lấy 0u,UXux ≠⊕∈+ . Theo (*) ta có VXux ⊕∈+ hay v'xux +=+ , do đó v= x – x’ và 0≠V nên suy ra 0Z ≠ . Bởi vì V đều nên VZ e⊆ . Từ đó ta có ( ) ( )VXZX e ⊕⊆⊕ . Nhưng ( ) ( )UXZX ⊕⊆⊕ nên ( ) ( )VXUX e ⊕⊆⊕ . Theo giả thiết UX⊕ là đóng nên VXUX ⊕=⊕ . Vì 1MXM ⊕= và V là hạng tử trực tiếp của M1 nên 2MVXM ⊕⊕= với M2 là môđun con của M1. Suy ra VX⊕ là hạng tử trực tiếp của M nghĩa là UX⊕ là hạng tử trực tiếp của M. 2.2.7.Mệnh đề. Giả sử 21 MMM ⊕= trong đó M1 và M2 là các (1-C1)- môđun. Khi đó M là (1-C1)-môđun nếu và chỉ nếu mọi môđun con đóng đều K của M là hạng tử trực tiếp của M, trong đó 01 =∩MK hoặc 02 =∩MK 20 Chứng minh. Giả sử M là (1-C1)-môđun. Lúc đó K của M là môđun con đóng đều của M thỏa mãn 0MK 1 =∩ hoặc 0MK 2 =∩ , rõ ràng ta có K là hạng tử trực tiếp của M. Ngược lại, nếu mọi môđun con đóng đều K với 0MK 1 =∩ hoặc 0MK 2 =∩ là hạng tử trực tiếp của M, ta sẽ chứng minh M là (1-C1)-môđun. Giả sử L là môđun con đóng đều của M. Khi đó tồn tại phần bù H trong L sao cho e2ML ⊆∩ H, ta có H đóng đều trong M. Theo giả thiết thì 0MH 1 =∩ nên 'HHM ⊕= là môđun con nào đó của M. Theo luật modunlar ta có ( )'HLHL ∩⊕= . Hơn nữa 'HL∩ đóng trong L, L đóng trong M, nên 'HL∩ đóng trong M. Vì vậy, theo giả thiết ( ) 0M'HL 2 =∩∩ do đó HL∩ là hạng tử trực tiếp của H’, nghĩa là ( ) XHL'H ⊕∩= với X là môđun con của H’. Mà 'HHM ⊕= suy ra ( ) MLX'HLHM ⊕=⊕∩⊕= hay L là hạng tử trực tiếp của M. Vậy M là (1-C1)-môđun. 2.2.8.Bổ đề. Cho M1 và M2 là các môđun và 21 MMM ⊕= . Khi đó M2 là M1 nội xạ nếu và chỉ nếu với mọi môđun con N của M sao cho 02 =∩MN , tồn tại môđun con M’ của M sao cho '2 MMM ⊕= và 'MN ⊆ Chứng minh. Giả sử rằng mọi môđun con N của M, với 0MN 2 =∩ , đều tồn tại môđun con M’ của M sao cho 'MMM 2 ⊕= và MN ⊆ . Cho 1ML ⊆ và 2ML:g → là đồng cấu. Đặt ( ){ }LxxgxH ∈−= \ . Khi đó H là môđun của M và 0MH 2 =∩ . Theo giả thiết tồn tại môđun con H’ của M sao cho 'HMM 2 ⊕= và 'HH ⊆ . Giả sử 2MM: →pi là phép chiếu chính tắc (đối với tổng trực tiếp 'HMM 2 ⊕= ) 21 Khi đó 21M MM:1 →pi=γ và với bất kỳ Lx∈ ta có: ( ) ( ) ( ){ } ( )( ) ( ) ( ) ( )xgxgxgxgxxgxgxx =pi=pi+−pi=+−pi=γ . Như vậy γ là mở rộng của g trên M1. Vậy M2 là M1 nội xạ. Ngược lại, nếu M2 là M1 nội xạ, gọi ipi là các phép chiếu tự nhiên ii MM: →pi .Xét biểu đồ giao hoán sau, trong đó N2N1 ; pi=βpi=α . Do M2 là M1 nội xạ nên tồn tại đồng cấu 21 MM: →ϕ sao cho β=αϕ Đặt ( ){ }1Mx/xx'M ∈ϕ+= ta có: 22 Mx{M'M ∈=+ hoặc }Mx 1∈ = M1+M2 . Hơn nữa với bất kỳ 2Mx0 ∈≠ thì 0M'M'Mx 2 =∩⇒∉ . Như vậy ta có 2M'MM ⊕= . Ta lại có với bất kỳ Ny∈ thì y = 0 hoặc y ∉ M2, nên 'My∈ suy ra rằng 'MN ⊆ 2.2.9.Bổ đề. Cho R là một vành và M là một R-môđun sao cho nMMMM ⊕⊕⊕= ...21 là một tổng trực tiếp hữu hạn những môđun Mi với i=1,2,…,n, trong đó { }niM i ,...,1, = là họ các môđun nội xạ lẫn nhau. Khi đó M là (1-C1)-môđun khi và chỉ khi Mi là (1-C1)-môđun với mọi i = 1,2,…, n. Chứng minh. Điều kiện cần theo Hệ quả 2.2.3, ta thấy M là (1-C1)-môđun thì Mi cũng là (1-C1)-môđun, mọi i = 1,2,…,n. Ngược lại, giả thiết rằng Mi, với mỗi i = 1,2,…,n là các (1-C1)-môđun nội xạ lẫn nhau, ta sẽ chứng minh M là (1-C1)-môđun bằng phương pháp qui nạp theo n. Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp n=2. Giả sử 21 MMM ⊕= . 22 N α M 1 β M 2 ϕ Gọi K là một môđun con đóng đều trong M. Vì M1và M2 là những hạng tử trực tiếp của M nên K∩M1=0 hoặc K∩M2=0. Không làm mất tính tổng quát ta giả sử K∩M2=0. Khi đó, bởi vì M2 là M1- nội xạ nên theo Bổ đề 2.2.8, tồn tại môđun con L của M sao cho M =L⊕ M2 và K⊆L. Đặt 121 MMM: →⊕pi là phép chiếu tự nhiên, thì với phần tử bất kỳ x∈L tồn tại x1∈M1, x2∈M2 sao cho x=x1+x2. Khi đó ta có pi (x)=pi (x1+x2)=x1 Cho pi (x) =pi ( x1 + x2) =x1=0 thì x = 0+x2, và vì L∩M2=0 nên x =x2=0 hay ker )( Lpi = 0. Như vậy Lpi là một đơn cấu. Bây giờ ta xét phần tử x/1∈M1. Vì M=L⊕M2 nên tồn tại x/2∈M2, x/∈L sao cho x/1 = x/ + x/2⇒x/ = x/1- x/2 . Khi đó pi (x/) = pi (x/1- x/2 )= x/1 hay Lpi là toàn cấu . Vậy Lpi là đẳng cấu hay L ≅M1. Gọi K/ là một môđun con của M1 mà K≅K/. Vì K là môđun đóng đều trong M nên K đóng đều trong L và điều này dẫn đến K/ đóng đều trong M1. Do M1 là (1-C1)-môđun nên K/ ⊕⊂ M1, nghĩa là M1= K/ ⊕U/. Gọi U là môđun con của L mà U ≅U/ . Ta sẽ chứng minh rằng L = K ⊕U. Thật vậy, lấy phần tử bất kỳ x∈U∩K⊆L. Khi đó, vì Lpi là đẳng cấu nên Lpi (x) ∈ Lpi (U∩K) ⊆ Lpi (U)∩ Lpi (K) =U/∩K/= 0 hay x=0 Vậy U∩ K=0. Bây giờ lấy phần tử bất kỳ x ∈L thì Lpi (x) =x/∈M1. Khi đó có x1∈K/, x2 ∈U/ sao cho Lpi (x) = x/ =x/1+x/2. Điều này dẫn đến tồn tại duy nhất phần tử x1∈K, x2∈U sao cho x/1 = Lpi (x1), x/2= Lpi (x2). Như vậy Lpi (x) = x/ = x/1+x/2= Lpi (x1) + Lpi (x2) = Lpi (x1+x2) hay x =x1+x2. Vậy L=K⊕U. Khi đó ta có M= L⊕M2 =K⊕U⊕M2 hay K ⊕⊂ M. Hay M là (1-C1)- môđun. 23 2.2.10.Bổ đề. Giả sử K là hạng tử trực tiếp của môđun M. Khi đó, ta có K là phần bù giao của môđun con N trong M ⇔ 0=∩ NK và MNK e⊆⊕ Chứng minh. Giả sử K là phần bù giao của môđun N và K là hạng tử trực tiếp của M khi đó 0NK =∩ và theo Mệnh đề 1.2.9 ta có NK⊕ là cốt yếu trong M. Ngược lại, giả sử N, K là các môđun con của M và K là hạng tử trực tiếp của M với 0NK =∩ ; MNK e⊆⊕ . Khi đó tồn tại môđun con K/ của M sao cho 'KKM ⊕= Giả sử tồn môđun con K1 của M sao cho 1KK ⊆ và 0NK1 =∩ . Khi đó ( )'KKK'KKKMKK 1111 ∩⊕=⊕∩=∩= . Giả sử có 'KKy0 1 ∩∈≠ . Trước hết knyr0 +=≠ trong đó 0NKNkyr 1 =∩∈=− . Bởi vậy 0'KKkyr =∩∈= . Mâu thuẫn này chứng tỏ 0'KK1 =∩ và K =K1. Như vậy K là phần bù giao của N trong M. 2.2.11.Mênh đề. Giả sử R- là một vành và M là một R-môđun sao cho nMMMM ⊕⊕⊕= ...21 là tổng trực tiếp của những môđun đều Mi và sự phân tích đó là bù hạng tử trực tiếp đều. Giả thiết với mọi nji ≤≠≤1 , mọi đơn cấu Mi → Mj là một đẳng cấu. Khi đó các phát biểu sau là tương đương. (1)M là (1-C1)-môđun (2) ji MM ⊕ là (1-C1)-môđun với mọi nji ≤≠≤1 Chứng minh. (1) ⇒ (2) hiển nhiên theo Hệ quả 2.2.3 (2) ⇒ (1) Giả sử mọi môđun ji MMA ⊕= là (1-C1)-môđun với nji1 ≤≠≤ . Gọi iMK ⊂ (K là môđun đều) và f: K → Mj là một đồng cấu. Đặt ( ){ } ji MMKx:xfxU ⊕⊂∈−= , thì KU ≅ (do phép chiếu tự nhiên iji MMM: →⊕pi có ( ) KU =pi ) là môđun con đều của A. 24 Lấy jMUy ∩∈ thì tồn tại Kx∈ sao cho y = x – f(x), và suy ra ( ) 0KMxfyx j =∩∈+= Do đó y = 0 và dẫn đến 0MU j =∩ . Bởi vì A là (1-C1)-môđun nên tồn tại môđun con A'U ⊕⊂ sao 'UU e⊆ . Do sự phân tích là bù hạng tử trực tiếp đều nên chúng ta có: iM'UA ⊕= hoặc jM'UA ⊕= Trường hợp 1: iM'UA ⊕= . Gọi ipi là phép chiếu từ iM'U⊕ đến Mi gọi iMi pi=ϕ . Khi đó vì 'UU e⊆ nên U’ đóng đều trong A và khi đó 0M'U j =∩ . Như vậy ϕ là một đơn cấu, và từ giả thiết suy ra ϕ là một đẳng cấu. Điều đó có nghĩa jM'UA ⊕= . Ta gọi iMjpi=α , trong đó jjj MM'U: →⊕pi là phép chiếu chính tắc. Khi đó với mọi ( ) ( )( )xfxxfx,Kx −+=∈ , trong đó ( ) jMxf ∈ và ( ) 'Uxfx ∈− . Từ đó ta có ( ) ( ) ( )( )]xfx)x(f[ iMi x iMi x −+pi=pi=α ( )( ) ( )( ) ( )xfxfxiMixfiMi =−pi+pi= Có nghĩa là α là một mở rộng của f hay Mj là Mi nội xạ. Trường hợp 2: jM'UA ⊕= gọi jjj MM'U: →⊕pi là phép chiếu và gọi iMj pi=β . Khi đó ( ) ( )xfxfxx,Mx i +−=∈∀ trong đó ( ) jMxf ∈ và ( ) 'Uxfx ∈− . Từ đó ta có ( ) ( )( ) ( )[ ] ( )xfxfxfxx =+−β=β , nghĩa là β là một mở rộng của f hay Mj là Mi nội xạ. Như vậy, môđun ( )ni1M i ≤≤ là nội xạ lẫn nhau và do đó áp dụng Bổ đề 2.2.9 ta có M là (1-C1)-môđun. 2.3.Một số đặc trưng của môđun tựa nội xạ bởi tính chất (1-C1) 25 2.3.1.Bổ đề. Cho M= i Ii M⊕ ∈ là sự phân tích bù trực tiếp của những môđun đều Mi khi đó M(J)= jJj M⊕ ∈ là sự phân tích bù trực tiếp với mọi tập con J của IChứng minh. Đặt U là tổng trực tiếp của các môđun đều của M(J). Khi đó U là tổng trực tiếp các môđun đều của M.Vậy U = i Ii M⊕ ∈ . Giả sử tồn tại tập hợp con K của I, sao cho M=U⊕M(K). Nên U ⊆ M(J). Vậy chúng ta có thể đặt M(J) = U ⊕ X. Khi đó X = M(K) ∩M(J) .Từ đó dễ thấy rằng X = M(T) với T = K∩ J. Như vậy M(J) = jJj M⊕ ∈ là sự phân tích bù trực tiếp của các môđun đều. 2.3.2.Định lí. Cho M = i Ii M⊕ ∈ thỏa mãn các điều kiện sau: (a) Tất cả Mi là các môđun đều (b) Sự phân tích của M là sự phân tích bù trực tiếp các môđun đều (c) Với mọi i,j ∈I, i≠ j, Mi không là các môđun con của Mj, khi đó các phát biểu sau là tương đương. (i) M là môđun tựa liên tục; (ii) M có tính chất (1-C1); (iii) M(J) là M(K)-nội xạ với mọi tập con J và K của I sao cho J∩K=ø Chứng minh. (i) ⇒ (ii) là hiển nhiên theo Định nghĩa 1.1.10 (iii) ⇒ (i) theo [3,Theorem 2.13] (ii) ⇒ (iii) theo [3,Proposition 1.5], bây giờ ta chỉ cần chứng minh với mỗi k∈K, M(J) là Mk-nội xạ. Cho U là môđun con của MK và α là một đồng cấu từ U vào M(J). Chúng ta mở rộng đồng cấu α trong HomR(Mk,M(J)). Vậy M(J)⊕Mk là (1-C1) –môđun, từ đó tồn tại tổng trực tiếp X của M(J) ⊕Mk sao cho {x-α (x);x ∈U} e⊆ X. 26 Vậy X là môđun đều và theo Bổ đề 2.3.1, M(J) ⊕Mk là sự phân tích bù trực tiếp các môđun đều, điều đó xảy ra một trong hai trường hợp sau: 1) M(J)⊕Mk với mọi tập c