Luận văn Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trung học cơ sở

rong yêu cầu sẽ là duy nhất. Bên cạnh đó, dựa vào tính chất đặc trưng của việc xác định nhân tử chung trong kỹ thuật NTCτ , chúng tôi kiểm định kết quả phân tích trên vành nhân tử hóa, phát hiện thấy tất cả các đa thức nhân tử là phần tử bất khả quy trên vành đa thức hệ số nguyên. Từ đây, chúng tôi mô hình hoá một quy tắc của hợp đồng didactic ứng với yêu cầu PTĐTTNT trong bài học này về phía học sinh như sau : QT-HS 1: Đứng trước yêu cầu phân tích đa thức thành nhân tử, nếu đa thức đã cho có hệ số nguyên thì học sinh có trách nhiệm phân tích thành tích các đa thức bất khả quy có các hệ số nguyên. Tuy nhiên, đối với đa thức có hệ số hữu tỉ, khi phân tích thành tích các đa thức có hệ số hữu tỉ ta có thể có nhiều đáp số. Vậy câu hỏi nghiên cứu có thể đặt ra: CH-GV: Giáo viên mong đợi học sinh trả lời thế nào trong trường hợp phân tích đa thức có hệ số hữu tỉ thành nhân tử? 2.1.2. Vai trò công cụ của kỹ thuật PTĐTTNT bằng cách đặt nhân tử chung Phân tích các KNV ngay sau kiểu nhiệm vụ “Phân tích đa thức thành nhân tử” (PTĐTTNT) trong cùng một bài học, cho phép quan sát vai trò công cụ của KNV PTĐTTNT. Nghĩa là ta có thể trả lời cho các câu hỏi toán học và sư phạm: tại sao phải phân tích đa thức thành nhân tử? Tại sao kiểu phân tích này được mong đợi mà không phải kiểu phân tích khác? Một số dạng bài toán trong bài học này có thể được mô hình hóa thành hai kiểu nhiệm vụ: 28 kiểu nhiệm vụ thứ nhất “T-tìm x: tìm giá trị của x thỏa một đẳng thức cho trước”; kiểu nhiệm vụ thứ hai “T-tính GT: tính giá trị một biểu thức” (ngầm ẩn không dùng MTBT). Tuy nhiên, chúng tôi chỉ tập trung vào kiểu nhiệm vụ thứ nhất. Đối với kiểu nhiệm vụ thứ hai, chúng tôi cho rằng sự sống của nó khá mờ nhạt với sự xuất hiện của MTBT. Đối với T-tìm x, chúng tôi tìm thấy hai dạng cơ bản: tìm x để P(x)=0 và tìm x để P(x)=Q(x), trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức một biến. ?2. Tìm x sao cho 3x2-6x=0 Gợi ý. Phân tích đa thức 3x2-6x thành nhân tử ta được 3x(x-2). Tích trên bằng 0 khi một trong các nhân tử bằng 0. [GK8.1, tr.18] Và: 24. Tìm x, biết: a) b) x+1 = (x+1)2 c) [BT8.1, tr.8] Với đáp số sau: 24. a) b) x=-1 ; x=0 c) [BT8.1, tr.18] Tính đến thời điểm này: HS chỉ biết thế nào là nghiệm của một đa thức (chương trình toán 7). Việc tổng hợp lại các nhiệm vụ liên quan đến KNV T-tìm x, cụ thể “Tìm x,biết ...” theo chúng tôi là cần thiết để tìm kiếm câu trả lời cho câu hỏi vừa đặt ra: Bảng 2.2: Liệt kê các nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ T-tìm x trong bài học 6. Ví dụ và bài tập Đáp số 0x6x3 2 =− GK8.1, tr.18 Phân tích đa thức xx 63 2 − thành nhân tử )2(3 −xx . Tích trên bằng 0 khi một trong khi các nhân tử bằng 0. GK8.1, tr.18 2x,0x == GV8.1, tr.25 02000x)2000x(x5 =+−− GK8.1, tr.19 2000x, 5 1x ;0)2000x)(1x5( == =−− GV8.1, tr.26 0x13x3 =− GK8.1, tr.19 13x,0x ;13x,0x ;0)13x(x,0x13x 2 23 ±== == =−=− GV8.1, tr.26 0x5x 2 =+ BT8.1, tr.8 5 1x;0x;0)x51(x −===+ BT8.1, tr.18 29 2)1x(1x +=+ BT8.1, tr.8 ;0x;1x =−= BT8.1, tr.18 0xx 3 =+ BT8.1, tr.8 0x = BT8.1, tr.18 Có thể nói, kiểu bài tập này đóng một vai trò về mặt sinh thái giải thích cho tính hợp thức của T-nhantu. Các nhiệm vụ thuộc kiểu T-Tìm x có một ràng buộc là trong kĩ thuật giải, QT-HS1 không bị “phá vỡ”. 2.2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức 2.2.1. Sự tiến triển của quy tắc hợp đồng didactic QT-HS 1 Xem xét bài toán PTĐTTNT trong nội dung bài học này, chúng tôi sẽ xem xét sự tồn tại của QT-HS1 đã phát biểu trong phần trước có tiến triển gì hay không. Đặc biệt với sự xuất hiện của một kĩ thuật mới, kĩ thuật dùng hằng đẳng thức. Ngoài ra, câu hỏi nghiên cứu CH-GV1 cũng được xem xét xem có hay không các yếu tố để trả lời cho nó. Để thuận tiện cho việc theo dõi, chúng tôi xin nhắc lại: QT-HS 1: Đứng trước yêu cầu phân tích đa thức thành nhân tử, nếu đa thức đã cho có hệ số nguyên thì học sinh có trách nhiệm phân tích thành tích các đa thức bất khả quy có các hệ số nguyên. Tuy nhiên, đối với đa thức có hệ số hữu tỉ, khi phân tích thành tích các đa thức có hệ số hữu tỉ ta có thể có nhiều đáp số. Vậy câu hỏi nghiên cứu có thể đặt ra : CH-GV 1: Giáo viên mong đợi học sinh trả lời thế nào trong trường hợp phân tích đa thức có hệ số hữu tỉ thành nhân tử? Sau bài học : “Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung”, KNV PTĐTTNT một lần nữa được GK8.1 đề cập với ba nhiệm vụ như sau: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 322 81)2);44) xcxbxxa −−+− Giải )421)(21()2(181) )2)(2()2(2) )2(22.244) 2333 222 2222 xxxxxc xxxxb xxxxxa ++−=−=− +−=−=− −=+−=+− Cách làm như các ví dụ trên gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. [1.Ví dụ, GK8.1, tr.19] Bài học này có cấu trúc tương tự với bài học trước đó, theo trình tự: ví dụ, cách làm, gọi tên 30 cách làm. Theo đó, GK8.1 gọi tên: “Cách làm như ví dụ trên gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức”, chúng tôi gọi tắt là PTĐTTNT-HĐT. Ví dụ trích dẫn cho thấy QT-HS 1 được phát biểu trong bài học trước có sự tiến triển. Trường hợp a) và c), đáp số vẫn tôn trọng quy tắc của hợp đồng. Nhưng trường hợp b) thì đáp số có hệ số trong R. Mục tiêu bài học này trong GV8.1 là: A. MỤC TIÊU - HS hiểu được cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. - HS biết vận dụng các hằng đẳng thức đã học vào việc phân tích đa thức thành nhân tử. [GV8.1, tr.26] Vậy đâu là tập hợp các hằng đẳng thức cần nhớ được GV8.1 nhấn mạnh trong A. Mục tiêu? Cũng ở GV8.1, chúng tôi tìm thấy trong phần gợi ý dạy học: B. GỢI Ý DẠY HỌC Hoạt động 1. GV cho HS viết các hằng đẳng thức dưới dạng: .......BAB2A ;)BA(BAB2A 22 222 =+− +=++ ......BA ......BA ......BAB3BA3A ......BAB3BA3A ......BA 33 33 3223 3223 22 =− =+ =−+− =+++ =− Sau đó cho HS giải các ví dụ như SGK hoặc các ví dụ tương tự. [GV8.1, tr. 26] Như vậy, thể chế yêu cầu vận dụng bảy HĐT đáng nhớ đã học trước đó: )2)(()7 )2)(()6 33)()5 33)()4 ))(()3 2)()2 2)()1 2233 2233 32233 32233 22 222 222 BABABABA BABABABA BABBAABA BABBAABA BABABA BABABA BABABA ++−=− +−+=+ −+−=− +++=+ +−=− +−=− ++=+ [GK8.1, tr.16] Các nhiệm vụ thuộc T-nhantu trong nội dung bài học “Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức”: Bảng 2.3 :Liệt kê nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ T-nhantu trong bài học 7. Ví dụ và bài tập Đáp số 31 Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 322 x81)c2x)b;4x4x)a −−+− GK8.1, tr.19 )x4x21)(x21()x2(1x81)c )2x)(2x()2(x2x)b )2x(22.x2x4x4x)a 2333 222 2222 ++−=−=− +−=−=− −=+−=+− GK8.1, tr.19 ?1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử ;x9)yx()b;1x3x3x)a 2223 −++++ GK8.1, tr.20 );yx4)(x2y()b;)1x()a 3 +−+ GV8.1, tr.26 43. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 223 22 y64x 25 1)d 8 1x8)c x2510)b9x6x)a −− −−++ GK8.1, tr.20 )y8x 5 1)(y8x 5 1()d) 4 1xx4)( 2 1x2()c )5x(hay)x5()b)3x()a 2 222 +−++− −−−−+ GV8.1, tr.27 44. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 27x27x9x)e yxy6yx12x8)d)ba()ba()c )ba()ba()b; 27 1x)a 23 322333 333 +−+− +++−++ −+++ GK8.1, tr.20 3 322 222 )x3()e )yx2()d)b3a(a2)c )ba3(b2)b) 9 1x 3 1x)( 3 1x()a − ++ ++−+ GV8.1, tr.27 26. Phân tích thành nhân tử : 6622 yx)c;25x4)b;9x)a −−− BT8.1, tr.9 )yxyx)(yx)(yxyx)(yx()c );5x2)(5x2()b );3x)(3x()a 2222 +−+++− +− +− BT8.1, tr.18 27. Phân tích thành nhân tử : xy4y4x)c;x9x6)b;yxy6x9)a 22222 ++−−++ BT8.1, tr.9 222 )y2x()c;)3x()b;)yx3()a +−−+ BT8.1, tr.18 28. Phân tích thành nhân tử : xyz3zyx)c ;)1x()1x3()b;)yx()yx()a 333 2222 −++ +−+−−+ BT8.1, tr.9 ;)1x2(x4)b;xy4)a + )c có nhiều cách giải. Có thể sử dụng bài 31 (SGK). Ta có : ),(3)( 333 yxxyyxyx +−+=+ do đó xyz3zyx 333 −++ ).yzxzxyzyx)(zyx( )zyx(xy3]z)yx(z)yx)[(zyx( ]xyz3)yx(xy3[]z)yx[( 222 22 33 −−−++++= ++−++−+++= −+−+++= 7.1. Phân tích đa thức 22 y9x4 − thành nhân tử BT8.1, tr.9 (D) )y3x2)(y3x2( +− BT8.1, tr.19 Từ Bảng 2.3, chúng tôi tiến hành quy đổi về phần trăm tỷ lệ xuất hiện của đa thức trong “bài toán PTĐTTNT-HĐT” dựa trên đặc trưng hệ số của chúng. Bảng 2.4: Bảng quy đổi tỉ lệ phần trăm các đa thức trong bài toán PTĐTTNT-HĐT. GK8.1 BT8.1 32 Vành đa thức Số NV Tỉ lệ (%) Số NV Tỉ lệ(%) ĐT-Z 11 78,57 10 100 ĐT-Q 3 21,43 0 0 ĐT-R Kết quả phân tích ĐT-Z 10 71,43 (10/14) 10 100 ĐT-Q 3 21,43 0 0 ĐT-R 1 7,14 0 0 Nhận xét: Trong KNV T-nhantu, sự xuất hiện ĐT-Q ngày càng tăng, nhưng ĐT-Z vẫn giữ vai trò thường trực, cụ thể ở GK8.1 chiếm 78,57% và BT8.1 chiếm 100%, ĐT-R không hiện diện nhưng nó lại có mặt trong kết quả phân tích ĐT-Z thành nhân tử. Và kể từ sau ví dụ, các nhiệm vụ thuộc KNV T-nhantu đã không tạo cơ hội cho nó xuất hiện. Điểm chú ý khi quay trở nhiệm vụ T-tìm x trong Bảng 2.2, cụ thể: Tìm x, biết 0x13x3 =− [GK8.1, tr.19] Quan sát lời giải của thể chế: .13x,0x ;13x,0x 0)13x(x;0x13x 2 23 ±== == =−=− [GV8.1, tr.26] Rõ ràng, việc tìm x ở đa thức nhân tử 13x 2 − được thực hiện dựa trên tính chất căn bậc hai, nó cũng có thể giải quyết theo hướng đặt nhân tử chung bằng kĩ thuật HĐT. Chúng tôi thắc mắc: Tại sao thể chế không đặt loại nhiệm vụ này ngay sau bài học 7 nhằm tạo cơ hội cho việc áp dụng kĩ thuật HĐT vừa nêu. Phải chăng việc đặt nhân tử chung bằng kĩ thuật HĐT không là lựa chọn của thể chế đối với đa thức có dạng ax2-b, trong đó a và b không đồng thời là số chính phương. Thay vào đó là việc vận dụng kĩ thuật Rac - dùng tính chất căn bậc hai như trong hai luận văn liên quan đến việc dạy học phương trình bậc hai một ẩn của hai tác giả (Nguyễn Ái Quốc,2006) và (Nguyễn Thị Thanh Thanh, 2009) đề cập. Điều này cho phép củng cố giả thuyết của chúng tôi về sự tồn tại của hợp đồng didactic QT- HS 1 đến thời điểm này mặc dù có biến động khi xuất hiện kĩ thuật mới, nhưng với nhiệm vụ liên quan đến nó rất ít (1 nhiệm vụ). Chúng tôi cho rằng ảnh hưởng của nó lên QT-HS1 là khá mờ nhạt. QT-HS1 dự đoán vẫn không thay đổi trong bài học này. 33 QT-HS 1: Đứng trước yêu cầu phân tích đa thức thành nhân tử, nếu đa thức đã cho có hệ số nguyên thì học sinh có trách nhiệm phải ưu tiên phân tích thành tích các đa thức bất khả quy có các hệ số nguyên. Câu hỏi nghiên cứu CH-GV 1 : Giáo viên mong đợi học sinh trả lời thế nào trong trường hợp phân tích đa thức có hệ số hữu tỉ thành nhân tử ? Vẫn chưa được thể chế trả lời. Chẳng hạn, đáp số )1x4x16)(1x4( 8 1 8 1x8 23 ++−=− có được giáo viên chấp nhận không? 2.2.2. Phân tích đa thức thành nhân tử với vai trò công cụ trong kiểu nhiệm vụ T- tìm x KNV T-tìm x vẫn ở hai dạng cơ bản: “Tìm x để P(x)=0” và “Tìm x để P(x)=Q(x)”, có thể thấy rõ trong bảng tổng hợp sau: Bảng 2.5 : Liệt kê nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ T-tìm x trong bài học 7. Ví dụ và bài tập Đáp số 45. Tìm x, biết : 0 4 1xx)b0x252)a 22 =+−=− GK8.1, tr.20 2 1x)b 5 2x)a =±= GV8.1, tr.27 30. Tìm x, biết : .25x10x)b;0x25,0x)a 23 −=−=− BT8.1, tr.9 .5x)b. 2 1x; 2 1 x0; x,0) 4 1x(x)a 2 ==−===− BT8.1, tr.18 7.2. Tìm x, biết : 01x6x12x8)b;1x4x4)a 232 =+++−=− Bài tập bổ sung, BT8.1, tr.9 2 1x;0)1x2()b 2 1x;0)1x2()a 32 −==+==− BT8.1,tr.19 Số lượng các nhiệm vụ có đa thức tập trung trong vành đa thức hệ số nguyên và hữu tỉ với tỉ lệ phần trăm quy đổi sau: Bảng 2.6 : Bảng quy đổi tỉ lệ phần trăm các đa thức trong nhiệm vụ ở Bảng 2.5. GK8.1 BT8.1 Dạng P(x) hoặc P(x)-Q(x) Số NV Tỉ lệ Số NV Tỉ lệ ĐT-Z 1 50% (1/2) 3 75% (3/4) ĐT-Q 1 50% 1 25% ĐT-R Kết quả phân tích ĐT-Z 2 50% ĐT-Q 1 25% ĐT-R 34 Không được chỉ rõ 2 100% 1 25% Nhận xét: Phần trăm quy đổi cho thấy ĐT-Z và ĐT-Q vẫn giữ vị trí thường trực trong các nhiệm vụ liên quan đến T-nhantu. T-tìm x trong Bảng 2.5 có 2 nhiệm vụ, trong đó một nhiệm vụ [45a, GK8.1, tr.20] tương đồng với đa thức ở ví dụ b) ban đầu-đa thức b) được phân tích nhân tử chứa hệ số vô tỉ, đa thức còn lại thuộc ĐT-Q. Nhưng ở đây thể chế đã không thể hiện rõ quan điểm lựa chọn PTĐTTNT đối với 45a. Điều này giúp chúng tôi củng cố giả thuyết về sự tồn tại của QT-HS1 và tính hợp lí của câu hỏi nghiên cứu CH-GV 1. 2.3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử 2.3.1. Sự tiến triển quy tắc hợp đồng didactic QT- HS 1 Mở đầu KNV PTĐTTNT trong bài học này, GK8.1 trình bày hai ví dụ, sau đó hình thành định nghĩa về cách làm: Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : yxyxx 332 −+− Gợi ý. - Các hạng tử có nhân tử chung hay không ? - Làm thế nào để xuất hiện nhân tử chung ? Giải. ))(3( )3()3( )3()3(33 22 yxx xyxx yxyxxyxyxx +−= −+−= −+−=−+− Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : xzyzxy +++ 632 Giải. Ta có thể nhóm các hạng tử một cách thích hợp như sau : )2)(3( )3()3(2 )3()62(632 zyx xzxy xzzyxyxzyzxy ++= +++= +++=+++ Cách làm như ví dụ trên được gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử. [GK8.1, tr.21] Như vậy các đa thức được xét có thể là các đa thức đa biến. Các hạng tử của mỗi đa thức trong cả hai ví dụ vừa không tồn tại nhân tử chung (NTC) vừa không đồng dạng với vế khai triển của bất kỳ hằng đẳng thức (HĐT) nào. Lúc này, cả hai kỹ thuật NTCτ và HDTτ dường như bị vô hiệu hóa. Câu hỏi gợi ý cho kĩ thuật mới được GK8.1 đưa ra: “Các hạng tử có nhân tử chung hay không ?”, “Làm sao xuất hiện nhân tử chung?”. Chúng tôi đặt tên cho kĩ thuật mới sẽ làm rõ là NHTτ . 35 Cách làm GK8.1 cho thấy được bài toán PTĐTTNT trong yêu cầu là sự lồng ghép của hai bài toán PTĐTTNT-NTC mà giữa chúng tồn tại một NTC liên kết. Ví dụ 1, hai bài toán PTĐTTNT-NTC có được do sự bắt cặp hai hạng tử một cách tuyến tính trên dấu hiệu NTC. Tuy nhiên, nếu bắt cặp tuyến tính như thế, hai đa thức con trong đa thức ở ví dụ 2 lại không thể liên kết với nhau vì không tồn tại NTC. Lúc này, cụm từ “nhóm một cách thích hợp” nhanh chóng được chỉ ra ở đầu lời giải. Theo đó, bài toán PTĐTTNT-NTC trong mỗi nhiệm vụ thực hiện dựa trên cách nhóm các hạng tử một cách thích hợp theo dấu hiệu NTC. Đối với một đa thức có thể có nhiều cách nhóm hạng tử thích hợp. Chẳng hạn ở ví dụ 1, ta có thể phân tích bằng cách nhóm khác : ).3)(( )(3)( )33()(33 22 −+= +−+= −−++=−+− xyx yxyxx yxxyxyxyxx [GK8.1, tr.21] Ta thấy rằng việc nhóm các hạng tử được thực hiện nhờ vào tính chất giao hoán và kết hợp các hạng tử trong mỗi đa thức. Nhưng nhóm hạng tử thích hợp được hiểu đầy đủ như thế nào? Dựa vào tiêu chí nào để đánh giá cách nhóm đó là thích hợp? Theo GV8.1: Khi giảng dạy cần lưu ý HS nhóm các hạng tử thích hợp. Cụm từ thích hợp mang ý nghĩa : - Mỗi nhóm đều có thể phân tích được - Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích phải tiếp tục được. [] Trong phần 2 có thể cho thêm bài : Phân tích 22 96 yxx −++ nhân tử. Sau khi giải xong, GV lưu ý HS rằng nếu ta nhóm thành các nhóm như sau : )3)(3()6()9()6( 22 yyxxyxx +−++=−++ Thì việc phân tích tiếp là không thực hiện được. [GV8.1, tr.28] Như vậy, ràng buộc của thể chế là “mỗi nhóm đều phân tích được”. Tuy nhiên, “mỗi nhóm” không nhất thiết phải là nhóm đa thức một biến trong đa thức cần phân tích. So với các kỹ thuật τNTC và τHDT, kỹ thuật τNHT ít có tính chất thuật toán hơn. Một số ví dụ của SGK cho thấy nó có thể là sự lựa chọn giữa τNTC và τHDT một cách “phù hợp”. Để có thể làm rõ những ràng buộc của các đa thức trong bài học này và nhắm vào việc xem xét sự tiến triển của QT-HS 1 trong hoàn cảnh mới cũng như câu hỏi CH-GV 1 có được 36 trả lời hay không, chúng tôi thống kê lại các nhiệm vụ. Bảng 2.7: Liệt kê nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ T-nhantu trong bài học 8. Ví dụ và bài tập Đáp số Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : yxyxx 332 −+− GK8.1, tr.21 ))(3( )3()3( )3()3(33 22 yxx xyxx yxyxxyxyxx +−= −+−= −+−=−+− ta có thể phân tích bằng cách nhóm khác : ).3)(( )(3)( )33()(33 22 −+= +−+= −−++=−+− xyx yxyxx yxxyxyxyxx GK8.1, tr.21 Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : xzyzxy +++ 632 GK8.1, tr.21 )2)(3( )3()3(2 )3()62(632 zyx xzxy xzzyxyxzyzxy ++= +++= +++=+++ GK8.1, tr.21 ?2 Hãy phân tích đa thức x9xx9x 234 −+− thành nhân tử. GK8.1, tr.22 Bạn An làm đúng, bạn Thái và bạn Hà cũng làm đúng nhưng chưa phân tích hết vì còn có thể phân tích tiếp được ).1)(9( )9)(1( )1(9)1( )99()(99 2 22 22 324234 +−= −+= +−+= +−+=−+− xxx xxx xxxx xxxxxxxx GV8.1, tr.28 47. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử yxxyxc yxyzxzbyxxyxa 5533) )(5)) 2 2 +−− +−+−+− GK8.1, tr.22 ))(53() ))(5()))(1() yxxc yxzbyxxa −− +−−+ GV8.1, tr.28 48. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 2222 22222 22) 3363);44) tztzyxyxc zyxyxbyxxa −+−+− −+++−+ GK8.1, tr.22 ))(() ))((3) )2)(2( )2()44() 2222 tzyxtzyxc zyxzyxb yxyx yxyxxa −+−+−− ++−+ ++−+= −+=−++ GV8.1, tr.27 31. Phân tích đa thức thành nhân tử : .2) ;) 222 22 zyxyxb yyxxa −+− −−− ))(() )1)(() zyxzyxb yxyxa +−−− −−+ 37 BT8.1, tr.10 BT8.1, tr.19 32. Phân tích đa thức thành nhân tử : xyzzxxzzyyzyxxyc xyayxaab ayaxyxa 2)()()() ;) ;55) 23 ++++++ +−− −+− BT8.1, tr.10 ))(() )5)(() 2 xayab ayxa −− +− )c Có nhiều cách giải, có thể thực hiện phép tính rồi nhóm lại thích hợp. Chẳng hạn, biểu thức biến đổi thành : ))()(( ))(( )()()( )(])([])([ 2 zyyxzx xzyzyxyzx zxxzzyxyzzyxxy zxxzxyzzyyzxyzyxxy +++= ++++= +++++++= +++++++ BT8.1, tr.19 Phân tích thành nhân tử 8.1. yyxxb xyxa −+− ++− 33 22 ) 144) BT8.1, tr.19 Phân tích thành nhân tử 8.1. )1)(() )12)(12() 22 −+−+ ++−+ yxyxyxb yxyxa BT8.1, tr.19 Theo Bảng 2.7, đa thức trong 16 nhiệm vụ đều là đa thức hệ số nguyên. Đáp số mà thể chế đưa ra đều là tích các đa thức bất khả quy về tích các đa thức hệ số nguyên đa biến. Chỉ có 1 trong 16 nhiệm vụ là đa thức một biến. Nhiệm vụ này lại là một hoạt động và nó chứng tỏ sự hợp lí của QT-HS 1 mà chúng tôi đã phát biểu về mong đợi của thể chế đối với kiểu nhiệm vụ T-nhantu. ?2. Khi thảo luận nhóm, một bạn ra đề bài : Hãy phân tích đa thức xxxx 99 234 −+− thành nhân tử. Bạn Thái làm như sau : )99(99 23234 −+−=−+− xxxxxxxx Bạn Hà làm như sau : ).)(9()9()9( )9()9(99 33 234234 xxxxxxx xxxxxxxx +−=−+−= −+−=−+− Bạn An làm như sau : ).1)(9()9)(1( )1(9)1()99()(99 222 22324234 +−=−+= +−+=+−+=−+− xxxxxx xxxxxxxxxxxx Hãy nêu ý kiến của em về lời giải của các bạn. [GK8.1, tr.22] Lời giải đáp của GV8.1, trang 28 : ?2. Bạn An làm đúng, bạn Thái và bạn Hà cũng làm đúng nhưng chưa phân tích hết vì còn có thể phân tích tiếp được. Với cách làm của bạn Thái và bạn Hà có thể phân tích tiếp để có kết quả cuối cùng như kết quả của bạn An. 38 [GV8.1, tr.28] Từ những gì phân tích được chúng tôi phát biểu lại QT-HS 2 như là sự tiến triển của QT- HS 1. QT-HS 2: Đứng trước yêu cầu phân tích đa thức một biến, hai biến hay ba biến thành nhân tử, nếu đa thức đã cho có hệ số nguyên thì học sinh có trách nhiệm phải ưu tiên phân tích thành tích các đa thức bất khả quy có các hệ số nguyên. Câu hỏi nghiên cứu CH-GV 1 vẫn chưa có câu trả lời: Giáo viên mong đợi học sinh trả lời thế nào trong trường hợp phân tích đa thức có hệ số hữu tỉ thành nhân tử? 2.3.2. Phân tích đa thức thành nhân tử với vai trò công cụ trong kiểu nhiệm vụ T- tìm x KNV T-tìm x tuy có hai dạng cơ bản: “tìm x để P(x)=0” và “tìm x để P(x)=Q(x)”, nhưng dạng “tìm x để P(x)=0” vẫn chiếm ưu thế hơn. Bảng 2.8: Liệt kê nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ T-tìm x trong bài học 8. Ví dụ và bài tập Đáp số 50. Tìm x, biết : .03)3(5) ;02)2() =+−− =−+− xxxb xxxa GK8.1, tr.23 .3; 5 1) 2;1) == =−= xxb xxa GV8.1, tr.28 Đáp số được nêu trong Bảng 2.8 không đề cập đến kết quả phân tích thành nhân tử. Tuy nhiên, việc dừng lại ở các đa thức bất khả quy có hệ số nguyên hoàn toàn có thể đưa đến đáp số. 2.4. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp 2.4.1. Sự tiến triển của quy tắc hợp đồng QT-HS 2 Trong bài học này GK8.1 cũng bắt đầu với KNV PTĐTTNT quen thuộc : Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 223 5105 xyyxx ++ Gợi ý - Đặt nhân tử chung ? - Dùng hằng đẳng thức ? - Nhóm nhiều hạng tử ? 39 - Hay có thể phối hợp các phương pháp trên ? Giải. 222223 )(5)2(55105 yxxyxyxxxyyxx +=++=++ Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 92 22 −+− yxyx Giải. )3)(3(3)( 9)2(92 22 2222 +−−−=−−= −+−=−+− yxyxyx yxyxyxyx [GK8.1, tr.23] Như vậy, nếu phải mô hình hóa thành một kĩ thuật τ thì ta có thể viết τ = τNTC và/hay τHDT và/hay τNHT mà không có tính thứ tự. Sách giáo viên cũng nhấn mạnh điều này : HS cần biết phối hợp các phương pháp phân tích đã học vào giải loại toán phân tích đa thức thành nhân tử, vì vậy GV cần lưu ý HS nêu nhận xét các đa thức và tìm hướng giải thích hợp. [GV8.1, tr.28] Ở bài học này, chúng ta thấy sự xuất hiện của đa thức 3 biến. Bài 48. Phân tích các đa thức thành nhân tử : 2222 22 22) 44) tztzyxyxc yxxa −+−+− +−+ [GK8.1, tr.22] Nhiệm vụ thuộc kiểu T-nhantu bằng kĩ thuật phối hợp nhiều phương pháp: Bảng 2.9: Liệt kê nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ T-nhantu trong bài học 9. Ví dụ và bài tập Đáp số 223 5105 xyyxx ++ Ví dụ 1, GK8.1, tr.23 2 22223 )(5 )2(55105 yxx yxyxxxyyxx += ++=++ GV8.1, tr.28 92 22 −+− yxyx Ví dụ 1, GK8.1, tr.23 )3)(3(3)( 9)2(92 22 2222 +−−−=−−= −+−=−+− yxyxyx yxyxyxyx GK8.1, tr.29 xyxyxyyx 2422 233 −−− ?1, GK8.1, tr.23 )1)(1(2 ])1([2)12(2.1? 2222 ++−−= +−=−−− yxyxxy yxxyyyxxy GV8.1, tr.29 xxx +− 23 2 51a, GK8.1, tr.24 51a. 22 )1()12( −=+− xxxxx GV8.1, tr.29 22 2242 yxx −++ 51b, GK8.1, tr.24 51b. )1)(1(2])1[(2 22 yxyxyx ++−+=−+ GV8.1, tr.29 162 22 +−− yxxy 51c, GK8.1, tr.24 51c. )4)(4()(4 22 yxyxyx −++−=−− GV8.1, tr.29 234 2 xxx ++ 34a. 22 )1( +xx 40 34a, BT8.1, tr.10 BT8.1, tr.19 yyxyyxxx −+++− 3223 33 34b, BT8.1, tr.10 34b. )1)(1)(( ++−++ yxyxyx BT8.1, tr.19 222 205105 zyxyx −+− 34c, BT8.1, tr.10 34c. )2)(2(520)(5 22 zyxzyxzyx +−−−=−− BT8.1, tr.19 yxxyx −−+ 55 2 35b, BT8.1, tr.10 35b. ))(15( yxx +− BT8.1, tr.19 9.1. Phân tích đa thức xx 84 + thành nhân tử ta được kết quả là : ).4x22)(xx(x(D) );4x42)(xx(x(C) )4x22)(xx(xB)( );4x42)(xx(x(A) 2 2 2 2 +−+ +−+ +++ +++ Hãy chọn kết quả đúng. Chọn (D). Nhận xét: 100% đa thức trong yêu cầu phân tích ở Bảng 2.9 là đa thức có hệ số nguyên. Kết quả phân tích đều đưa về đa thức có hệ số nguyên có tối đa ba biến. Với sự xuất hiện của một đa thức 3 biến, chúng tôi củng cố giả thuyết về sự tồn tại của QT- HS 2. QT-HS 2: Đứng trước yêu cầu phân tích đa thức (một biến, hai biến hay ba biến) thành nhân tử, nếu đa thức đã cho có hệ số nguyên thì học sinh có trách nhiệm phải ưu tiên phân tích thành tích các đa thức bất khả quy có các hệ số nguyên. Câu hỏi nghiên cứu CH-GV 1 vẫn chưa có câu trả lời. Giáo viên mong đợi học sinh trả lời thế nào trong trường hợp phân tích đa thức có hệ số hữu tỉ thành nhân tử ? 2.4.2. Phân tích đa thức thành nhân tử với vai trò công cụ trong kiểu nhiệm vụ T- tìm x Vai trò công cụ của bài toán PTĐTTNT trong bài học này vẫn được mô hình hóa với KNV quen thuộc: T-tìm x dựa trên các nhiệm vụ được GK8.1 và BT8.1 chỉ ra: Bảng 2.10 :Liệt kê nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ T-tìm x trong bài học 9. Ví dụ và bài tập Đáp số 37a. Tìm x, biết 1)1(5 −=− xxx BT8.1, tr.10 37a. 5 1;1 == xx BT8.1, tr.19 41 37b. Tìm x, biết 05)5(2 2 =−−+ xxx BT8.1, tr.10 37b. 2;5 =−= xx BT8.1, tr.19 Như vậy chúng ta cũng không thấy có tình huống nào phá vỡ quy tắc hợp đồng cuối cùng đã phát biểu. 2.5. Kết luận Chúng tôi đã thực hiện một phân tích thể chế dạy học Toán 8 xoay quanh kiểu nhiệm vụ T- nhantu: Phân tích đa thức thành nhân tử. Kết quả phân tích chương 1 cho thấy, vành đa thức ngầm ẩn xác định tập các đa thức trong KNV T-nhantu tập trung chủ yếu ở vành ĐT-Z và vành ĐT-Q, trong đó vành ĐT-Q có tính chất bao quát hơn. Kết quả phân tích chương 2 cho phép trả lời câu hỏi Q2, Q3 đồng thời làm sáng tỏ phần nào các câu hỏi đặt ra ở cuối chương 1: - Các kết quả phân tích đa thức thành nhân tử còn tập trung vào hai vành này không (vành đa thức hệ số nguyên-hữu tỉ)? - Với những lựa chọn ngầm ẩn của thể chế có hình thành lên HS những quan niệm nào trong thực hành giải toán liên quan đến KNV T-nhantu? Bằng những kết quả có được trong chương này, cho phép trả lời các câu hỏi trên một cách tóm tắt như sau : Đặc trưng KNV T-nhantu trong chương trình là không chỉ định rõ các đa thức nhân tử được xác định trên vành nào. Tuy nhiên, kết quả phân tích nhân tử nhận được phụ thuộc chủ yếu vào vành đa thức xác định đa thức ban đầu trong yêu cầu phân tích.