Luận văn Điểm bất động của ánh xạ đa trị và những kết quả xấp xỉ bất biến

+ ∈ , { }nk M⊂ , M có tính chất (N) Ví dụ: Cho [ )1,M = ∞ với mêtric thực thông thường Định nghĩa 24 3, 2 1 ,Tx x Ix x x M= − = − ∈ Thì ,I T là R-giao hoán dưới yếu nhưng không giao hoán trên M ,I T không giao hoán trên M ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 4 2 1 3 8 7 4 3 2 4 3 1 32 48 17 x M TIx T x x x TIx ITx ITx I x x x x ∀ ∈ = − = − − = − ⇒ ≠ = − = − − = − +  ,I T là R-giao hoán dưới yếu trên M 12 [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 22 2 2 2 2 2 , 0;1 , 1 4 3 1 ; 24 48 24 24 1 1 ; 2 1 4 3 1 2 4 4 2 2 1 4 3 1 2 4 2 4 4 3 3 1 2 1 1 4 3 2 1 x M k q F I kTx k q kx k k q d ITx TIx x x x d kTx k q Ix x kx k k q x x x kx k k q x x x kx k k q x k x q x ∀ ∈ ∈ ∈ + − = − + − = − + = − + − = − − + + − = − + + − − − + + − = − + + − − + + − = − + − − − ≥ − Vì [ ) ( ) [ ] ( )( )2 1; 1 4 4 4 4 0 1 4 3 0 1 4 3 02 1 1 1 01 2 0;1 1 1 0 x M x x x q x q k x qq F I q q q q q k k k ∀ ∈ = ∞ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ − ≥  = ⇒ − − ≥  ⇒ − − − ≥∈ ⇒ = − ⇔ ⇒ ≤ ⇒ − ≥  = −    ∈ ⇒ ≤ ⇒ − ≥  Chọn 12R = ta có ( ) ( )( ); 12 1 ;d ITx TIx d kTx k q Ix≤ + − Cho M là tập con của không gian định chuẩn X và { }x x MF f ∈= là họ hàm [ ]: 0,1xf M→ mà ( )1 ,xf x x M= ∀ ∈ Họ F gọi là liên tục điểm (yếu) nếu 0t t→ trong [ ]0,1 , 0x x→ ( 0x x→ yếu) trong M thì ( ) ( ) 0 0x x f t f t→ ( ( ) ( ) 0 0x x f t f t→ yếu) trong M Thấy rằng nếu M X⊆ là q-hình sao và ( ) ( )1xf t t q tx= − + thì F là họ co liên tục tại điểm và liên tục yếu tại điểm với ( )t tφ = Như vậy lớp các tập con của X mà co và liên tục chứa trong lớp các tập hình sao và chứa lớp các tập lồi. 13 1.11. Một số định nghĩa Một ánh xạ :T M X→ là (i) T demiclosed (đóng một phần) tại 0 nếu mỗi dãy { }nx M⊂ hội tụ yếu về x và { }nTx hội tụ mạnh về 0 thì 0Tx = (ii) T cô đặc nếu T liên tục và mỗi tập con khác rỗng bị chặn B của M với ( ) ( )0,B T Bα > bị chặn và ( )( ) ( )T B Bα α< , trong đó ( ) { }inf 0B rα = > B được phủ bởi những tập có đường kính nhỏ hơn hoặc bằng r. (iii) T hemicompact (nửa compact) nếu mỗi dãy { }nx M⊂ có một dãy con hội tụ khi ( ), 0p n nd x Tx khi n→ →∞ (iv) T demi compact (compact một phần) nếu T liên tục và mỗi dãy bị chặn { }nx M⊂ mà { }n nTx x− hội tụ trong X, có một dãy con hội tụ. (v) T liên tục hoàn toàn nếu mỗi dãy { }nx M⊂ hội tụ yếu về x thì { }nTx hội tụ về { }Tx Cho ánh xạ :I M M→ và u X∈ , Al-Thagafi định nghĩa các tập ( ) ( ) ( ){ }: IIM Mi C u x M x P u= ∈ ∈ ( ) ( ) ( ) ( )I IM M Mii D u P u C u= ∩ ở đây ( ) ( ) ( ){ }: , ,MP u x M d x u dist u M= ∈ = là tập xấp xỉ tối ưu của \u X M∈ , ở đây ( ) ( ){ }, , :dist u M inf d y u y M= ∈ 14 CHƯƠNG II: MỘT SỐ KẾT QUẢ XẤP XỈ BẤT BIẾN VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CẶP ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN Sử dụng định lí 1 của Pant 2.1. Định lí 2.1 Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và , :T I X X→ là những ánh xạ R-giao hoán yếu mà ( ) ( )T X I X⊂ và ( ) ( ), , ,d Tx Ty d Ix Iy Ix Iy< ≠ . Nếu T hoặc I liên tục thì ( ) ( )F T F I∩ ≠∅ ( có ít nhất một điểm chung). 2.2. Định lí 2.2 Cho T , I là những tự xạ trên tập con M của không gian định chuẩn ( ), . pX . Giả sử M có họ ánh xạ co và liên tục { }x x MF f ∈= mà ( )( ) ( ) ( ) ( ), , 0,1x I xI f f x Mα α α= ∈ ∈ . Giả sử T là I-không giãn và M IM= , T và I là R-giao hoán dưới yếu. Nếu T liên tục thì T và I có điểm bất động chung nếu thỏa một trong các điều kiện sau: (i) M đầy đủ, cl(T(M)) compact (ii) M compact (iii) M đầy đủ, F(I) bị chặn và T là ánh xạ compact (iv) M đầy đủ, bị chặn và I là ánh xạ demi compact (v) *X tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, T liên tục hoàn toàn (vi) *X tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, I và T liên tục yếu và họ { }x x MF f ∈= liên tục yếu thay cho liên tục Chứng minh Đặt 1n n n λ = + và định nghĩa ( ) ( ) ,n nT xT x f x Mλ= ∈ . 15 Nhận xét rằng nT là một tự xạ xác định tốt trên M. Vì [ ]0 1 0;1 1n n n n n λ λ λ= ⇒ < < ⇒ ∈ + ( ) ( ) : :n n nT x T M M T M M x Tx M x T x f λ → → ⊂ =  Họ { }x x MF f ∈= với [ ]: 0;1 1 , xf M x x M → ∀ ∈ Cho , ,x y M x y∈ ≠ Ta có họ { }x x MF f ∈= co nên tồn tại hàm ( ) ( ): 0;1 0;1φ → Thỏa ( ) ( )( ) ( ) ( ); ;pp x y pd f t f t t d x yφ≤    Nên ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2.0 , , , ,pp n n p Tx n Ty n n p p pd T x T y d f f d Tx Ty d Tx Ty Tx Tyλ λ φ λ= ≤ < = − Vì T liên tục và bất đẳng thức (2.0) nên nT liên tục trên M. Như vậy , ,n nT x T y x y M≠ ∈ , T là I-không giãn ( ) ( ); ;p pd Tx Ty d Ix Iy⇒ ≤ Nên ( ) ( ), ,p n n pd T x T y d Ix Iy≤ Nhưng ( )( ) ( ) ( )x I xI f fα α= (giả thiết) ,T I là R giao hoán dưới yếu ( ) ( )( ); ;p p Tx nd ITx TIx Rd f Ixλ⇒ ≤ với mỗi x M∈ Với ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )n n n n nTI x T x IT xT Ix f IT x I f fλ λ λ= = = Và vì tính chất của họ F cho ta ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ); ,pp n n n pTI x IT xd f f d TIx ITxλ λ φ λ≤ Nên 16 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) , , , , , , p n n p n n p n nTI x T x TI x IT x p p p n p n p Tx n n p n d T Ix IT x d f I f d f f d TIx ITx Rd f Ix Rd T x Ix λ λ λ λ φ λ φ λ λ φ λ = = ≤ ≤ = Điều này cho thấy nT và I là ( )( ) p nφ λ R-giao hoán yếu trên M với mỗi 1n ≥ và ( ) ( )nT M M I M⊂ = Sử dụng kết quả trên và định lí 2.1 ta chứng minh định lí 2.2 (i) ( ), pX d là không gian mêtric đầy đủ nT và I là ( )( ) p nφ λ R-giao hoán yếu trên M với mỗi 1n ≥ ( ) ( ) ( ) ( )n nT M M I M T M I M⊂ = ⇒ ⊂ ( ) ( ), ,p n n pd T x T y d Ix Iy khi Ix Iy≤ ≠ nT liên tục Nên theo định lí 2.1 với mỗi 1n ≥ có một nx M∈ mà n n n nx T x Ix= = Vì cl(T(M)) compact, { }nTx có dãy con { }mTx hội tụ về z khi m →∞ Tính liên tục của F cho ta ( ) ( ) ( )1= = → = →∞mm n m m zT xx T x f f z khi mλ Vì T liên tục nên mTx Tz khi m→ →∞ Do đó ( )Tz z z F z= ⇒ ∈ Từ TM IM⊂ thì ,z Tz Iy y M= = ∈ Thêm nữa, ( ) ( ) ( ), , ,p m p m p md Tx Ty d Ix Iy d x z≤ = Cho m →∞ được ( ) ( ) ( ), , 0 , 0p p pd Tz Ty d z z d Tz Ty Tz Ty≤ = ⇒ = ⇒ = Do đó z Iy Tz Ty= = = Từ T và I là R-giao hoán dưới yếu nên ( ) ( ) ( ) ( ) , , , 0 , 0 = ≤ = ⇒ = ⇒ = p p p p d Tz Iz d TIy ITy Rd Ty Iy d Tz Iz Tz Iz Khi đó z Tz Iz= = 17 Vậy ( ) ( )z F T F I∈ ∩ (ii) Vì M compact nên M đầy đủ, T liên tục Suy ra ( )clT M compact Nên theo (i) ta có ( ) ( )z F T F I∈ ∩ (iii) Theo định lí 2.1, với mỗi 1n ≥ có nx M∈ mà n n n nx T x Ix= = Vì T compact và { }nx bị chặn trong ( )F I , nên { }nTx có dãy con { }mTx hội tụ về →∞z khi m Vì F liên tục nên ta có ( ) ( ) ( )1= = → = →∞mm n m m zT xx T x f f z khi mλ Khi đó → →∞mTx Tz khi m do đó có giới hạn ( )= ⇒ ∈Tz z z F T Từ TM IM⊂ thì ,= = ∈z Tz Iy y M (kết quả như (i)) (iv) Như trong (i), với mỗi 1n ≥ có nx M∈ mà n n n nx T x Ix= = . Do { }nx bị chặn và { }n nx Ix− hội tụ về 0, vì I demi compact (compact một phần), { }nx có dãy con{ }mx hội tụ đến z khi m →∞ Vì T liên tục, { }mTx hội tụ về Tz khi m →∞ Ngoài ra, ( ) ( ) ( )1= = → = →∞mm n m m TzT xx T x f f Tz khi mλ Do tính duy nhất của giới hạn, ta có ( )Tz z z F T= ⇒ ∈ Từ TM IM⊂ thì ,= = ∈z Tz Iy y M (kết quả như (i)) (v) Theo định lí 2.1, với mỗi 1n ≥ có nx M∈ mà n n n nx T x Ix= = Do M compact yếu nên { }nx có dãy con { }mx hội tụ yếu về y M khi m∈ →∞ Vì T liên tục hoàn toàn, { }mTx hội tụ về { }Ty khi m →∞ Ngoài ra, ( ) ( ) ( )1= = → = →∞mm n m m TyT xx T x f f Ty khi mλ Do 2mTx T y khi m→ →∞ Nên 2 z z= ⇒ =T y Ty T với ( )z = ∈Tz F T 18 Như trong (i), ta sẽ có ( )z∈F I (vi) Theo định lí 2.1, với mỗi 1n ≥ có nx M∈ mà n n n nx T x Ix= = Tập M compact yếu nên { }nx có dãy con { }mx hội tụ yếu về y M khi m∈ →∞ I liên tục yếu nên Iy y= Từ T liên tục yếu nên mTx hội tụ yếu về Ty khi m →∞ và họ ánh xạ F liên tục yếu nên ta có ( ) ( )= = mm n m mT xx T x f λ hội tụ yếu đến ( )1T yf Ty khi m= →∞ Sử dụng tính chất Hausdorff của tôpô yếu ta được y Ty= . Theo (i) ta có kết quả cần chứng minh 2.3. Định lí 2.3 Cho T, I là các tự xạ trên M là tập con của không gian định chuẩn ( ), . pX . Giả sử M có tính chất (N) với ( )q F I∈ , I thỏa mãn điều kiện (C) , T là I-không giãn và M = IM. Cho T và I là R-giao hoán dưới yếu trên M. Nếu T liên tục thì T và I có điểm bất động chung nếu thỏa một trong các điều kiện sau: (i) M đầy đủ, cl(T(M)) compact (ii) M compact (iii) M đầy đủ, F(I) bị chặn và T là ánh xạ compact (iv) M đầy đủ, bị chặn và I là ánh xạ demicompact (v) *X tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, T liên tục hoàn toàn. (vi) *X tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, I và T liên tục yếu (vii) *X tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, I liên tục yếu, I-T demiclosed tại 0 (viii) *X tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, I liên tục yếu và X thỏa điều kiện Opial (ix) M đầy đủ, bị chặn và T là ánh xạ hemicompact 19 (x) M đầy đủ, bị chặn và T là ánh xạ cô đặc. Chứng minh Lập :nT M M→ ( ) ( ) ( )2.1 1n n nT x k Tx k q= + − Trong đó x M∈ , { }nk là dãy số thực hội tụ về 1 và 0 1nk< < Vì tập M có tính chất (N) nên ( )1n nk Tx k q M+ − ∈ và T liên tục Nên nT là tự xạ xác định tốt và liên tục trên M M có tính chất (N) với ( )q F I M∈ ⊂ nên có một dãy số thực cố định 1 ,0 1n nk k→ Ánh xạ I có tính chất (C) trên tập M nên ( )( ) ( )1 1n n n nI k q k Tx k Iq k ITx− + = − + với mỗi x M∈ và 1n > T là I-nonexpansive ( ) ( ); ; , , ,p pd Tx Ty d Ix Iy x y M x y⇒ ≤ ∈ ≠ Với , ,x y M x y∈ ≠ ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2.2 , , ,pp n n n p pd T x T y k d Tx Ty d Tx Ty≤ < Cho ,x y M∈ và n nT x T y≠ , T là I không giãn và (2.2) cho ta ( ) ( ), ,p n n pd T x T y d Ix Iy< Vì I thỏa điều kiện (C) và Iq q= , nên với x M∈ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) , 1 , 1 , 1 , , p p n n p n n n n n p p p n p n n p n d T Ix IT x d k TIx k q k ITx k q k d TIx ITx k Rd k Tx kn q Ix k Rd T x Ix = + − + − ≤ ≤ + − = ( ) ( ) ( ), ,pp n n n p nd T Ix IT x k Rd T x Ix⇒ ≤ Như vậy nT và I là ( ) p nk R-giao hoán yếu trên M với ( ) ( )1, nn T M M I M≥ ⊂ = 20 (i) Theo định lí 2.1, với 1n ≥ có dãy nx M∈ mà n n n nx T x Ix= = Do cl(T(M)) compact, { }nTx có dãy con { }mTx hội tụ đến z M khi m∈ →∞ Khi 1k → thì ( )1m m m m m mx T x k Tx k q z= = + − → khi m →∞ Nên mTx Tz→ khi m →∞ do đó z Tz= Nhưng TM IM⊂ Vì vậy z Tz Iy= = với y M∈ Thêm nữa ( ) ( ) ( ), , ,p m p m p md Tx Ty d Ix Iy d x z≤ = Qua giới hạn khi m →∞ ta có được ( ) ( ) ( )0 , , 0 ,p p pd Tz Ty d z z d Tz Ty Tz Ty≤ ≤ = ⇒ ⇒ = Suy ra z Tz Ty Iy= = = Do T, I là R-giao hoán dưới yếu nên ( ) ( ) ( ), , , 0p p pd Tz Iz d TIy ITy Rd Ty Iy Tz Iz≤ ≤ = ⇒ = Từ đây ( ) ( )z F T F I∈ ∩ (ii) - (iv) Giống như định lí 2.2 (v) Như trong định lí 2.2 (v) chúng ta có thể tìm một dãy con{ }mx của dãy { }nx hội tụ yếu đến y M∈ khi m →∞ Vì T là liên tục hoàn toàn, nên dãy { }mTx hội tụ về Ty khi m →∞ Khi 1nk → , ( )1m m m m m mx T x k Tx k q Ty= = + − → khi m →∞ Vì thế 2mTx T y→ khi m →∞ và 2T y Ty= hay w wT = với w Ty= Như trong (i) ta có được ( )w F I∈ (vi) Như trong (v), có dãy nx M∈ thỏa n n n nx T x Ix= = Dãy { }nx có một dãy con { }mx hội tụ yếu đến y M∈ khi m →∞ Khi 1mk → ( )1m m m m m mx T x k Tx k q= = + − hội tụ yếu đến Ty khi m →∞ Nên Ty y= 21 Như trong (i) ta có được ( )y F I∈ (vii) Như trong (v), có dãy nx M∈ thỏa n n n nx T x Ix= = Dãy { }nx có một dãy con { }mx hội tụ yếu đến y M∈ khi m →∞ Nên Iy y= Vì T liên tục yếu nên mTx hội tụ yếu đến Ty khi m →∞ Nhưng M bị chặn Vì ( ) ( ) ( )( )2.3 1 0m m m m mI T x x Tx k x q− = − = − − → khi m →∞ Vì ( )I T− democlosed tại 0 nên ( ) 0I T y− = và Ty Iy y= = Như trong (i) ta có được ( )y F I∈ (viii) Như trong (v), có dãy nx M∈ thỏa n n n nx T x Ix= = Dãy { }nx có một dãy con { }mx hội tụ yếu đến y M∈ khi m →∞ Nên Iy y= Vì (2.3) nên 0m mIx Tx− → khi m →∞ Nếu Iy Ty≠ thì ( ) ( )liminf I , liminf I ,p m p md x Iy d x Ty< ( ) ( ) ( ) ( ) liminf I , liminf T , liminf T , liminf I , p m m p m p m p m d x Tx d x Ty d x Ty d x Iy ≤ + = ≤ Dẫn tới mâu thuẫn. Vì vậy Iy Ty= Nên ( ) ( )y F I T I∈ ∩ (ix) Dãy { }mx bị chặn và vì (2.3) nên ( ), 0p m md x Tx → khi m →∞ Vì T là hemicompact nên { }mx hội tụ đến y M∈ khi m →∞ Do mTx hội tụ đến Ty khi m →∞ và vì (2.1) nên { }mx hội tụ đến Ty khi m →∞ Do đó y Ty= . Như trong (i) ta sẽ có y Ty Iy= = (x) Mỗi ánh xạ cô đặc trên tập con bị chặn hoàn toàn của không gian metric là hemicompact do hệ quả của K.K.Tan và X.Z.Yaun. 22 Tương tự đi đến (ix). Ta biết rằng mỗi tập M là q-hình sao có một họ hàm liên tục và co; một họ hàm liên tục yếu { }x x MF f ∈= xác định bởi ( ) ( )1xf k kx k q= + − với ( ), 0;1x M k∈ ∈ . Nếu I affine và Iq q= thì có ( )( ) ( ) ( )x I xI f k f k= với ( ), 0;1x M k∈ ∈ . Nếu thêm mỗi T-bất biến hình sao thỏa tính chất (N) và nếu I affine và Iq q= , thì I thỏa điều kiện (C). Do đó ta có kết quả. 2.4. Định lí 2.4 Cho M là tập con của không gian định chuẩn ( ), . pX và ,T I là các tự xạ trên M . Giả sử rằng q M∈ , M là q-hình sao, I là affine, T là I không giãn, Iq q= và M IM= Giả sử rằng ,T I là những ánh xạ giao hoán R-dưới yếu Nếu T liên tục thì T và I có một điểm bất động nếu thỏa một trong mười điều kiện của định lí 2.3 2.5. Định lí 2.5 Cho T, I là những tự xạ trên không gian định chuẩn ( ), . pX , tập con M của X thỏa ( ) ( ) ( ),T M M u F T F I∂ ⊂ ∈ ∩ Giả sử ( )IMD D u= khác rỗng, D ID= , T là I không tự giãn trên D u∪ và I không giãn trên ( )MP u u∪ Thì D là T-bất biến Hơn nữa nếu D có họ ánh xạ co và liên tục { } ∈= x x DF f mà ( )( ) ( ) ( ) [ ], , 0,1x I xI f f x Dα α α= ∈ ∈ và T và I là R-giao hoán yếu trên D Thì ( ) ( ) ( )MP u F I F T∩ ∩ ≠∅ nếu thỏa một trong các điều kiện sau: (i) D đầy đủ, cl(T(D)) compact 23 (ii) D compact (iii) D đầy đủ, F(D) bị chặn và T là ánh xạ compact (iv) D đầy đủ, bị chặn và I là ánh xạ demicompact (v) *X tách điểm của X, X đầy đủ, D compact yếu, T liên tục hoàn toàn (vi) *X tách điểm của X, X đầy đủ, D compact yếu, I và T liên tục yếu và họ { }xF f= liên tục yếu thay cho liên tục điểm Chứng minh Lấy y D∈ Thì Iy D∈ do ( )I D D= Từ định nghĩa của D và y M∈∂ và vì ( )T M M∂ ⊂ , ta có Ty M∈ Nhưng T là I-không tự mở rộng trên D u∪ , và vì ( ) ( ) ( ) ( )2.4 , , ,p p pd Ty u d Ty Tu d Iy u= ≤ Từ Ty M∈ và ( )MIy P u∈ vì (2.4) cho ta ( )MTy P u∈ Nhưng I không tự mở rộng trên ( )MP u u∪ , vì thế chúng ta thu được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , ,p p p p p pd ITy u d ITy Iu d Ty u d Ty Tu d Iy Iu d Iy u= ≤ = ≤ = Vì vậy ( )MITy P u∈ Điều này cho ta ( )IMTy C u∈ và Ty D∈ Nên D là T-bất biến nên tất cả các điều kiện của định lí 2.2 thỏa mãn Nên ( ) ( ) ( )MP u F I F T∩ ∩ ≠∅ cho mỗi điều kiện (i)-(vi) 2.6. Định lí 2.6 Cho T, I là những tự xạ trên không gian định chuẩn ( ), . pX , tập con M của X thỏa ( ) ( ) ( ),T M M u F T F I∂ ⊂ ∈ ∩ 24 Giả sử ( )IMD D u= khác rỗng, D ID= , T là I-không giãn trên D u∪ và I không giãn trên ( )MP u u∪ Thì D là T-bất biến Hơn nữa nếu D có tính chất (N) với Iq q= , I thỏa điều kiện (C) và T và I là R- giao hoán dưới yếu trên D Thì ( ) ( ) ( )MP u F I F T∩ ∩ ≠∅ nếu thỏa một trong các điều kiện (i)-(x) trong định lí 2.4 mà D thay thế M Chứng minh Như trong định lí 2.5 D là T-bất biến Nên tất cả các điều kiện của định lí 2.3 thỏa mãn Vậy ( ) ( ) ( )MP u F I F T∩ ∩ ≠∅ nếu thỏa một trong các điều kiện (i)-(x) Chú ý Nếu ( )( ) ( )MI P u PM u⊂ , thì ( ) ( )IM MP u C u⊂ Do đó ( ) ( )IMD u PM u= . Nếu ( )( ) ( )I IM MI C u C u⊂ thì ( )( ) ( )( ) ( )I I IM M MI D u I C u D u⊂ ⊂ Như vậy định lí 2.5 và 2.6 vẫn đúng cho ( )MD P u= cũng như ( )IMD C u= 25 CHƯƠNG III: ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CẶP ÁNH XẠ ĐA TRỊ 3.1. Định lí 3.1 Cho ( ),X d là không gian mêtric đầy đủ và lồi theo mêtric và K là tập con đóng khác rỗng của X . Nếu ánh xạ ( ):F K CB X→ thỏa điều kiện ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , , , 3.0 , max , , , , , 1 5 2, ,0 , 1 2 1 d x y D x Fy D y Fx H Fx Fy h D x Fx D y Fy a a h hx y K h a h +  ≤   +  − + ∈ < < ≥ + + Nếu ,Fx K x K⊆ ∀ ∈∂ thì F có điểm bất động trong K . Chứng minh Hệ quả của Nadler [10] Cho ( ), ,A B CB X x A∈ ∈ . Khi đó, với mỗi số dương α , tồn tại y B∈ sao cho ( ) ( ), ,d x y H A B α≤ + Đặt ( )1h hα = + Xây dựng dãy { }nx trong K như sau Cho 0x K∈ , xác định ( )'1 0x F x∈ Nếu '1x K∈ , đặt ' 1 1x x= Nếu '1x K∉ thì có điểm 1x K∈∂ sao cho ( ) ( ) ( )' '0 1 1 1 0 1, , ,d x x d x x d x x+ = Khi 1x K∈ theo hệ quả chọn '2 1x Fx∈ sao cho ( ) ( )' '1 2 0 1, ,d x x H Fx Fx α≤ + Nếu '2x K∈ , đặt ' 2 2x x= 26 Trường hợp còn lại '2 ∉x K chọn 2x thỏa ( ) ( ) ( )' '1 2 2 2 1 2, , ,d x x d x x d x x+ = Theo cách trên ta thu được hai dãy số { } { }', 1, 2,3,...n nx x n = thỏa ( ) ( ) ' 1 ' ' 1 1 ) ) , , + + − ∈ ≤ + n n n n n n n i x Fx ii d x x H Fx Fx α ' 1 1) n niii x x+ += nếu ' 1nx K+ ∈ hoặc ( ) ( ) ( )' '1 1 1 1) , , ,n n n n n niv d x x d x x d x x+ + + ++ = nếu ' 1nx K+ ∉ và 1nx K+ ∈∂ Đặt { }{ } { }{ } ' ' : , 1, 2,... : , 1, 2,... i n i i i n i i P x x x x i Q x x x x i = ∈ = = = ∈ ≠ = Nhận xét: Nếu nx Q∈ , với mỗi n, thì 1nx P− ∈ ' 1n n n nx Q x x Fx −∈ ⇒ ≠ = Nếu 'nx K∈ thì 'n nx x= mâu thuẫn với ∈nx Q Nên ' ,n nx K x K∉ ∈∂ Nếu '1 1 1 1n n n nx K x x x P− − − −∈ ⇒ = ⇒ ∈ Nếu ( ) ( )'1 1n n nx K x F x F K K− −∈∂ ⇒ = ⊂ ∂ ⊂ Mâu thuẫn với giả thiết nx Q∈ ) Vậy nx Q∈ , với mỗi n, thì 1nx P− ∈ Với 2n ≥ ta đánh giá ( )1,n nd x x + Trường hợp 1: 1,n nx x P+ ∈ , từ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , 3.0 , max , , , , , d x y D x Fy D y Fx H Fx Fy h D x Fx D y Fy a a h +  ≤   +  27 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , max , , , , , , , , max , , , , , , max , , , , n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n d x x d x x H Fx Fx d x x D x Fx D x Fx h D x Fx D x Fx a a h d x x d x x d x x h d x x d x x a a h d x x h d x x d x x a h α α α + + − − − − − − − − + − + − + − + = ≤ + +  ≤ +  +  +  ≤ +  +   ≤  + nα  +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , max , , , , , max , , , 1 1, ax , , 1 1 n nn n n n n n n n n nn n nn n n n n n n n n hd x x d x x hd x x hd x x a h hd x x a h hd x x h a a hhd x x m hd x x h a h α α α ααα αα − + + − + − + − − −   ≤ + + +  +   + + ≤ +  −   + ≤ + = +  − −  ( ) ( )1 1, , 1 n n n n nd x x hd x x h α + −⇒ ≤ + − (3.1) Trường hợp 2: 1,n nx P x Q+∈ ∈ , từ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , 3.0 , max , , , , , d x y D x Fy D y Fx H Fx Fy h D x Fx D y Fy a a h +  ≤   +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 1 1 1 1 1 1 1 1 ' 1 11 ' ' 1 1 1 1 , , , , , , max , , , , , ,, max , , , , , , max , , , 1 + + − − − − − − − +− − − − − ≤ ≤ + +  ≤ +  +    ≤ +  +    + + ≤ + − n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n nn n nn n n d x x d x x H Fx Fx d x x D x Fx D x Fx h D x Fx D x Fx a a h d x xd x x h d x x d x x a a h hd x x a h hd x x h a α α α ααα        ( ) ( )1 1 1, ax , , 1 1− − + ≤ + = +  − −  n n n n n n a hhd x x m hd x x h a h αα ( ) ( )1 1, , 1 n n n n nd x x hd x x h α + −⇒ ≤ + − (3.2) 28 Trường hợp 3: 1,n nx Q x P+∈ ∈ (chia ra 2 trường hợp nhỏ) ' 1 1 1n n nx P x x+ + +∈ ⇒ = nx Q∈ cho ta 1nx P− ∈ Vì X lồi theo mêtric nên Nếu ( ) ( ) ( ){ } ( )' '1 1 1 1 1, ax , , , ,n n n n n n n nd x x m d x x d x x d x x+ − + + +≤ = (3.3) Từ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , 3.0 , max , , , , , d x y D x Fy D y Fx H Fx Fy h D x Fx D y Fy a a h +  ≤   +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 1 1 1 1 1 1 1 1 ' 1 11 ' 1 1 , , , , , , max , , , , , , ,, max , , , , , n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n d x x d x x H Fx Fx d x x D x Fx D x Fx h D x Fx D x Fx a a h d x x d x xd x x h d x x d x x a a h α α α + + − − − − − − − +− − + ≤ ≤ + +  ≤ +  +   + ≤ +  +   ( ) ( ) ( )' '1 1') , , , n n n n n n n n n x K Do iv x Q d x x d x x d x x x K − − ∈∂∈ ⇒ ⇒ + = ∉ Từ ( ) ( )'1 1, ,n n n nd x x d x x− −≤ và ( ) ( )' '1, ,n n n nd x x d x x−≤ Nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' 1 1 1 1 1 1 ' 1 1 , , , , , , , , , , − + − + − + − + + ≤ + + = + + = + n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n d x x d x x d x x d x x d x x d x x d x x d x x d x x d x x Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 1 1' 1 1 1 ' 1' 1 , , , max , , , , , max , , , 1 − + + − + − −  + ≤ +  +    + + ≤ +  −   n n n n n n n n n n n nn n nn n n d x x d x x d x x h d x x d x x a h hd x x a h hd x x h a α ααα 29 ( ) ( ) ( ) ( ) ' 1' 1 ' 1 , max , , , 1 , 1 − − −  + + ≤ +  −   ≤ + − nn n nn n n n n n hd x x a h hd x x h a hd x x h ααα α Từ 1 ,n nx P x Q− ∈ ∈ , kết hợp với trường hợp 2 ta được ( ) ( ) 1 2 1 2 1, , 1 1 n n n n n nd x x h d x x h h h α α− + − −≤ + +− − (3.4) Nếu ( ) ( ) ( ){ } ( )'1 1 1 1 1 1, ax , , , ,n n n n n n n nd x x m d x x d x x d x x+ − + + − +≤ = ( ) ( ) ( ) ( )' '1 1 1 1 1, , , ,n n n n n n n nd x x d x x d x x d x x+ − + − +≤ ≤ + (3.5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 1 1 1 1 1 ' 1 1 1 ' 1 11' ' 1 1 1 1 , , , , , , , , , max , , , , , ,, , max , , , , , max 1 , − − − − − − − − − +− − − + − ≤ + +     ≤ + +     +    ≤ + +  +   ≤ + n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n d x x H Fx Fx d x x D x Fx D x Fx ad x x h D x Fx D x Fx a h d x x d x xd x x d x x h d x x d x x a a h h d x x α α α ( ) ( ) ( ) ' 1 1' , , , , 1 − +  + + +  − +   n n n n nn n n d x x d x x h h a h αα α Sử dụng (3.5) và những chứng minh trong 3 trường hợp ta có được ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' '1 1 1 , , , n n n n n n n n hd x x a h hd x x a h d x x a a α α− − + + + + + ≤ ≤ Vì vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 1' 1 1 ' 1 1 2 1 , , ax 1 , , , 1 1 , 1 1 , 1 1 nn n nn n n n n n n n n n n n hd x x a h d x x m h d x x h a h d x x h hh h d x x h h ααα α α α − + − − − − −  + + ≤ + +  −   ≤ + + − ≤ + + + − − 30 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1, 1 , 1 1 n n n n n n hd x x h h d x x h h α α− + − −⇒ ≤ + + +− − (3.6) Đặt ( ) ( ){ } 1 2 0 1 1 2ax , , ,m d x x d x xδ α − = Chứng minh kết quả ( ) ( )21, 3 , 1+ ≤ + ≥ n n nd x x n nα δ (3.7) bằng phương pháp qui nạp Ta có 1 5 2 1 10 , 3, 3 2 3 1 1 hh h h − + + < < < < < − − Nếu 2 3,x x trong (3.2) hoặc (3.3) xảy ra thì ( ) 1/21 1 , 1 1 −< = + < = < + hh h h h h α α ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1/2 2 1/2 2 3 1 2, , 3 3 31 −≤ + ≤ + < + < + − d x x hd x x h h h α α δ α α α δ α α δ Từ (3.4) và (3.6) Nếu 2 3,x x thỏa mãn (3.6) thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3/2 2 1/2 2 3 1 2 1 , 1 , 3 3 3 3 6 1 1 h d x x h h d x x h h α α α δ α α α α δ α α δ + ≤ + + + ≤ + + = + + < + − − Trong tất cả các trường hợp ( ) ( )2 3, 6d x x α δ≤ + Theo giả thiết qui nạp nếu (3.2), (3.3) thỏa mãn (giả sử qui nạp đúng tới n - 1) thì ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 2 2 1 1, , 3 1 3 31 n nn n n n n nd x x hd x x h n nh α α δ α α δ − + −≤ + ≤ + − + ≤ +− Nếu (3.6) thỏa mãn thì 31 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 112 2 2 2 2 1 , 1 , 1 1 3 2 3 3 3 2 3 3 3 n n n n n n n n n n n n n h d x x h h d x x h h n n n α α α δ α α α δ α α α δ − + − − −− + ≤ + + + − −   ≤ + − + + = + − + + ≤ +    Từ (3.7) suy ra, với m n> , ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1, , 3 i im m m n m i i i n i n i n d x x d x x iδ α α − − − + = = = ≤ ≤ +∑ ∑ ∑ Và { }nx là dãy Cauchy nên hội tụ về p { }knx là dãy con của { }nx mà mỗi phần tử đều thuộc P. Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , max , , , , , , , , max , , , , , k k k k k k k k k k k n n n n n n n n n n n d x p D x Fp D p Fx H Fx Fp h D x Fx D p Fp a a h d x p D x Fp d p x h d x x D p Fp a a h − − − − − − − − −  + ≤   +    + ≤   +   Cho k →∞ được ( ) ( ), ,H p Fp hD p Fp≤ Từ đó ( ) ( ), ,H p Fp D p Fp= suy ra p Fp∈ 3.2. Định lí 3.2 Cho ( ),X d là không gian mêtric đầy đủ và lồi theo mêtric và K tập con đóng khác rỗng của X . Nếu các ánh xạ ( ), :F G K CB X→ thỏa điều kiện ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , , , 3.8 , max , , , , , 2 2, ,0 , 1 3 1 d x y D x Gy D y Fx H Fx Gy h D x Fx D y Gy a a h hx y X h a h +  ≤   +  ∈ < < ≥ + + Nếu , ,Fx K Gx K x K⊆ ⊆ ∀