Luận văn Điều khiển phi tuyến hệ thống ball plate

   2 2 2 21 1cos cos sin 2 2 b y x y x x y y x y y x J J J mg x R R                                sin cos cosx x yy R      (2-18) Thay phương trình (2-18) vào phương trình Euler- Lagrange sau: 0 0 x x x y y y L L t x x L L t y y L L t L L t                                                    2 2 2 2cos sin sin sin cos sin cosx y x y x y x y x x y x x L m x g x y R y x                       2 sin sin sin cosy y y x x y x y x x L m y g R x x y                   sin sin cos sin cosy x y y x x L mg x y R             2 2 2 2cos sin cos sin cos cosy x x y x x y x x y x y L m R x Ry yx                   2 2 2 2sin sin sin cos siny x y x y x y x y x xRy xy Rx Rx xy                sin cos cos cos sinb y x y x y x J y mg x R R           2 sin sin cosb b x y x y x y x x J JL m x mR m y y y t x RR                                  2 cos cos sin sin cosb b y x y x x y x y x y x x J JL m y mR m x x x y RR                                  14    2cos cos sin 2 cos sinbx b x y x x x y x x x x JL J J y y R t R                      2 2 2 2 2 22 cos 2 cos sin siny y y x y x x x y xm yy y R R x              2 2 22 sin 2 cos sin sin cos siny x y x x x x x x x xxx x Ry Ry yx               2cos sin 2 cos sin 2 cos sin sinx x y x x y x x x xRy xy Rx Rx xy              2 22 cos 2 sin 2 cos cosy x x y x x x x x xRx Rx xy xy                22 sin sinbx b x x x y x y x y JL J J mR x m xx x Ry Ry t R                          2cos os os os siny x x y x y x y x y x x xRy yx c xy c xy c xy R                  (2-19) Phương trình động học có thể thu được:  22 sin sin cos sinb b x y x y x x x x J J m x mR m y y x g RR                           2 2sin cos sin 0ây x y x x xx y R          2 2 cos cos (2 sin sin 2 cos sin sin ) 0 b b y x y x x y x y x y x x y y y x x J J m y mR m x x RR x y g R                                        2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( cos ) ( cos sin 2 cos sin ) (2 cos 2 cos sin sin 2 sin sin 2 cos sin sin cos cos b x b y x y y y x y y y x x x y x y y y x y x y y x y y y y y y y y J J J y y R m yy R y R R x xx yx x Ry Ry Ry                                                2 2 2 sin cos 2 cos sin 2 cos sin 2 cos 2 sin 2 cos sin ) ( sin sin cos sin cos ) y y y x y y x y y x y y x y y y y y y x y x x y x xy xy Rx Rx Rx Rx xy xy mg x y R                                      2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) sin (2 2 sin sin 2 cos cos cos sin cos sin sin cos ) ( cos cos cos sin )                                                 b b y b y x y y y x y x y x y x y y x y y x y y x y x y x y x y J J J J mR x y m xx x Ry Ry R R xy xy R R x Rx Rx mg x R  2 20y 15 Ở đây, toàn bộ hệ thống bóng trên đĩa là 1 mô hình phi tuyến phức tạp nên việc thiết kế hệ thống hết sức khó khăn. Bình thường, đối với hoạt động của hệ thống bóng trên đĩa ta chỉ quan tâm đến sự di chuyển xung quanh 2 trục x, y nên khi tách sự di chuyển ở từng trục x, y thì mô hình gồm 2 hệ thống bóng và thanh. Xét hệ thống bóng và thanh cho trục Y ta có mô hình toán như sau: Hình 2-4: Hệ thống bóng và thanh. Ta có phương trình trạng thái của hệ thống bóng và thanh 2 2 sin 0b by y y J J m y my mg RR               2 2 cosby b y y y y J J J my myy y mgy R          (2-21) Trong hệ thống bóng và thanh do góc quay nhỏ nên thông số b J R nhỏ hơn nhiều so với các thông số khác. Vì vậy bỏ qua thông số này và phương trình (2-21) được rút gọn lại: 2 2 sin 0b y y J m y my mg R             2 2 cosy b y y y yJ J my myy mgy        (2-22) Như đã trình bày ở trên hệ thống bóng trên đĩa gồm 2 hệ thống bóng và thanh cho 2 trục x,y nên phương trình trạng thái cho hệ thống bóng trên đĩa khi kết hợp phương trình (2-22) và (2-20) như sau: 16   2 2 2 sin 0 2 cos sin b x x x b x x x x x J m x mx mg R J J mx mxx mgx mgR                       (2-23)   2 2 2 sin 0 2 cos sin b y y y b y y y y y J m y my mg R J J my myy mgy mgR                       (2-24) Hình 2-5: Liên kết các khớp nối với đĩa. Các phương trình năng động học trong trục x và trục y giống hệt nhau. Ngoài ra, các bộ chấp hành cơ chế điều khiển nghiêng của tấm trong trục x và trục y giống hệt nhau. Trong phần sau đây, chỉ có bóng, hệ thống thanh và cơ chế truyền động trong trục x sẽ được thảo luận. Độ nghiêng của tấm là một mối liên kết các thanh như thể hiện trong hình 2-5, trong đó τx ’ là mô-men xoắn được tạo ra bởi động cơ, và là mô-men xoắn τx tác dụng lên tấm. Dựa trên phân tích lực, ta có : (2-25) Góc x và góc  đủ nhỏ để l.sinx = d.sin. Từ đó có thể suy ra : 17 Vì l = d nên: Từ phương trình (2-25) có thể viết lại là: 2 2cos , cosx x x y y y        (2-26) Quan hệ giữa moment xoắn động cơ với góc  của bảng và điện áp cấp cho động cơ (chứng minh sau) Hình 2-6: Sơ đồ hợp giảm tốc động cơ. 2 2 g b g b a a a K K K K V R R    (2-27) Thay phương trình (2-26), (2-27) vào phương trình (2-23), (2-24) ta được: 2 2 ( ) sin 0b x x J m x mx mg R      2 2 ( ) sin 0b y y J m y my mg R      2 2 2 2( ) 2 cos sin ( )cos g bx g bx x b x x x x x x x ax ax K K K K J J mx mxx mgx mgR V R R             2 2 2 2( ) 2 cos sin ( )cos g by g by y b y y y y y y y ay ay K K K K J J my myy mgy mgR V R R             (2-28) Thể hiện dạng ma trận:      ,M q q V q q q G q Q   (2-29) 18 Trong đó: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cos 0 0 0 cos                                                    T x y b b x b x b x y g bx x x ax g by y y ay q x y J m R J mM R J J my J J mx mx my K K mx mxxV R K K mx myy R sin sin ( cos sin ) ( cos sin )                    x y x x y y mg mg G mg x R mg y R 2 2 2 2 0 0 ( cos ) ( cos )                       g bx x x ax g by y y ay K K VQ R K K V R Đặt biến trạng thái: 1 2 3 4 1 2 3 4             x x y y x x x x x x y y y y y y (2-30) Phương trình không gian trạng thái của hệ thống cho trục X: 19 1 2 2 2 1 4 3 2 2 3 4 2 2 2 4 4 3 1 2 4 1 3 32 1 sin 1 ( )cos 2 cos sin b b g bx g bx x ax axx b x x m mg x x x x J J m m R R x x K K K K x V x x mx x x mgx x mgR x R RJ J mx                    (2-31) Phương trình không gian trạng thái của hệ thống cho trục Y: 1 2 2 2 1 4 3 2 2 3 4 2 2 2 4 4 3 1 2 4 1 3 32 1 sin 1 ( )cos 2 cos sin b b g by g by y ay ayy b y y m mg y y y y J J m m R R y y K K K K y V y y my y y mgy y mgR y R RJ J my                    (2-32) Đặt: 1 2 1 1 ( ) x b C x J J mx    1 2 1 1 ( ) y b D y J J my    2 b m E J m R   Phương trình (2-31), (2-32) rút gọn lại như sau: 1 2 2 2 1 4 3 ' 1 3 4 4 0 ( sin ) 0 0 0 1 x x x E x x g x u x x x                                     (2-33) Với 20 2 2 ' 2 1 1 4 3 1 2 4 1 3 3( ) ( ) cos 2 cos sin g bx g bx x ax ax K K K K u C x V x x mx x x mgx x mgR x R R            1 2 2 2 1 4 3 ' 2 3 4 4 0 ( sin ) 0 0 0 1 y y y E y y g y u y y y                                     (2-34) Với 2 2 ' 2 2 1 4 3 1 2 4 1 3 3( ) ( ) cos 2 cos sin g by g by x ay ay K K K K u D y V y y my y y mgy y mgR y R R            Để thuận lợi cho việc tính điện áp cấp cho động cơ ta đặt 1 2 x y u V u V   Ta có:     21 1 1 4 3 1 2 4 1 3 32 1 3 1 cos cos sin cos x x u u C x G x x Hx x x Ix x J x C x F x         (2-35)     22 2 1 4 3 1 2 4 1 3 32 1 3 1 cos cos sin cos y y u u D y G y y Hy y y Iy y J y D y F y         (2-36) Trong đó: 2 2 2 2 , , , , 2 , , g bx g bx g by g by x x y y ax ax ay ay K K K K K K K K F G F G H m I mg J mgR R R R R        21 CHƢƠNG 3: THIẾT KẾ VÀ THỰC HIỆN THUẬT TOÁN ĐIỀU KHIỂN BÓNG TRÊN ĐĨA. 3.1 GIỚI THIỆU: Hệ thống bóng trên đĩa là một hệ thống phi tuyến khó kiểm soát. Khi quả bóng lăn tự do theo hai chiều, do các yếu tố phi tuyến và các yếu tố không chắc chắn của mô hình, chuyển động của quả bóng dễ dàng bị vọt lố làm cho mô hình không ổn định và không kiểm soát được mục tiêu mong muốn. Do đó, việc sử dụng 1 bộ điều khiển truyền thống, chẳng hạn như bộ điều khiển PID, làm cho hệ thống khó kiểm soát. Khi đó, ta sử dụng bộ điều khiển LQR (Linear Quadratic Regulator) để kiểm soát được cân bằng của hệ thống, ngoài ra việc sử dụng bộ điều khiển cuốn chiếu (Backstepping Control) giúp cho hệ thống cân bằng, ổn định và đạt được quỹ đạo mong muốn. 3.2 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN LQR CHO HỆ THỐNG BÓNG TRÊN ĐĨA: 3.2.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT LQR: Bộ điều khiển phản hồi không gian trạng thái (state space feedback control) được thực hiện theo 2 cách: Thứ nhất là sử dụng phương pháp đặt cực. Thứ hai là sử dụng phương pháp điều khiển tuyến tính hóa LQR. Phương pháp đặt cực chủ yếu thông qua việc sử dụng các biến trạng thái phản hồi sau khi hệ thống ổn định để điểu khiển cực vòng kín cho các vị trí mong muốn. Phương pháp tuyến tính hóa LQR kiểm soát được giá trị phản hồi tối ưu K để hệ thống cân bằng ổn định và kiểm soát năng lượng tối thiểu. Chẳng hạn phương trình trạng thái của hệ thống (State Equation) như (3-1):      x t Ax t Bu t  (3-1) Hệ thống điều khiển tối ưu được thể hiện ở hình (3-1), khi thời gian 0t  , hệ thống điều khiển mong muốn (System Control Input) u(t), khi thời gian t  , tín 22 hiệu x(t) tiến về 0, ta cần tối ưu hóa thiết kế điều khiển để đạt được mục tiêu điều khiển. Hình 3-1: Sơ đồ tối ưu hóa hệ thống điều khiển. Định nghĩa hàm chỉ tiêu chất lượng:         0 T TJ x t Qx t u t Ru t dt      (3-2) Từ phương trình (3-2) ta có Q và R là ma trận trọng số của x(t) và u(t). 0 TQ Q  , ma trận bán xác định dương. 0 TR R  , ma trận xác định dương. Tìm ma trận Q và R sao cho hàm chỉ tiêu chất lượng J nhỏ nhất, từ đó đạt được mục tiêu điều khiển ổn định, và được gọi là điều khiển LQR. Ta có tín hiệu điều khiển như sau:    u t Kx t  (3-3) Trong đó 1 TK R B P , với p là nghiệm của phương trình Riccati từ phương trình (3_4) 1 0T TA P AP PBR B P Q    (3-4) Chọn Q, R để tìm ra ma trận K kiểm soát tín hiệu điều khiển u(t) cho hệ thống hoạt động hiệu quả. Từ đó ta thiết kế bộ điều khiển cân bằng LQR cho hệ thống bóng trên đĩa từ phương trình không gian trạng thái. 23 3.2.2. THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN LQR CHO HỆ THỐNG BÓNG TRÊN ĐĨA: Định nghĩa biến cho hệ thống bóng trên đĩa như phương trình (3-5):  1 2 3 4 5 6 7 8 TT x x y yx x x x x x x x x x x y y         (3-5) Từ phương trình (2-27) ta có: 1 2x x 2 1 6 5 2 2 2 sin b b mx x mg x x J J m m R R     3 4x x 2 3 8 7 4 2 2 sin b b mx x mg x x J J m m R R     5 6x x     2 2 2 2 6 5 5 6 1 2 6 1 5 52 1 1 cos cos 2 cos sinbx bxg x g ax axx b K K x K x V K x x mx x x mgx x mgR x R RJ J mx             7 8x x     2 2 2 2 8 7 7 8 3 4 8 3 7 72 3 1 cos cos 2 cos sin by by g y g ay ayy b K K x K x V K x x mx x x mgx x mgR x R RJ J mx              (3-6) Phương pháp thiết kế bộ điều khiển LQR chỉ áp dụng cho các hệ thống tuyến tính, để thiết kế bộ điều khiển LQR cho hệ thống cân bằng bóng trên đĩa ta cần tuyến tính hóa hệ thống phi tuyến này. Hệ thống bóng trên đĩa chỉ cân bằng ở vị trí trung tâm nên các góc x , y gần như bằng 0. Như vậy, ta có thể xem các giá trị sau là gần đúng: sin x x  , sin y y  , cos 1x  , cos 1y  ,   0x x   ,   0y y   , 0x  , 0y  , 0x  , và 0y  . Ta có phương trình sau. 24   1 2 2 1 5 3 4 4 1 7 5 6 6 2 3 4 6 5 1 6 5 7 8 8 7 8 9 8 5 3 6 7 x y x x x P x x x x P x x x x P PV P x P x P x x x x P PV P x P x P x                   (3-7) Với: 1 2 b mg P J m R   , 2 1 x b P J J   , 3 bx g ax K P K R  , 2 2 4 bx g ax K P K R  , 5P mg , 6P mgR , 7 1 y b P J J   8 by g ay K P K R  , 2 2 9 by g ay K P K R  Ta có moment quán tính của quả bóng: 2 2 5 bJ mR , moment quán tính của đĩa theo trục x:   21 12 x p xJ m plate , moment quán tính của đĩa theo trục y:   21 12 y p yJ m plate , bảng (3-1) thể hiện các tham số của hệ thống tuyến tính bóng trên đĩa. Bảng 3-1: Bảng Tham số LQR của hệ thống bóng trên đĩa 25 Tham số Giá trị Đơn vị Tham số Giá trị m 0.13 Kg 1P 7 pm 1.52 Kg 2P 70.006 xplate 0.335 m 3P 0.0321 yplate 0.265 m 4P 0.009 R 0.0368 m 5P 1.274 bJ 57.042 10 2.kg m 6P 0.0469 xJ 0.0142 2.kg m 7P 111.5376 yJ 0.0089 2.kg m 8P 0.0327 G 9.81 2/ secm 9P 0.0092 gK 4.5 bxK 0.062 V/(rad/sec) axR 8.6939  byK 0.0628 V/(rad/sec) ayR 8.6379  0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 89.1808 0 0 0 3.2819 0.6268 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 142.0989 0 0 0 5.2292 1.0312 x x                            26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.2464 0 0 0 0 3.6491 x y V V                              (3-8) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 y x                          (3-9) Chọn giá trị Q và R thích hợp: 25000 0 0 0 0 0 0 0 0 320 0 0 0 0 0 0 0 0 28000 0 0 0 0 0 0 0 0 220 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 Q                          (3-11) 0.0004 0 0 0.0004 R        (3-12) Sau đó thực hiện thiết kế bộ điều khiển LQR trên Matlab, và nhận được phản hồi tốt nhất với ma trận K: 3 3 3 3 3 3 7.9455 10 1.9011 10 0 0 1.2474 10 59.8093 0 0 0 0 8.4056 10 1.8434 10 0 0 1.1929 10 55.8769 K                (3-13) 27 3.2.3. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG LQR CHO HỆ THỐNG BÓNG TRÊN ĐĨA: Từ phương trình không gian trạng thái (công thức 3-6), ta có sơ đồ khối mô phỏng bộ điều khiển LQR cho hệ thống bóng trên đĩa ở hình 3-2 và hình 3-3. Sơ đồ mô phỏng tuyến tính hóa của hệ thống dùng bộ điều khiển LQR: Hình 3-2: Sơ đồ khối mô phỏng tuyến tính hóa dùng bộ điều khiển LQR. Chọn giá trị ban đầu cho mô phỏng    , , , 0.07,0.09,0,0x yx y     ta có kết quả mô phỏng:  Vị trí và vận tốc của bóng trên trục X : 28 Hình 3-3: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục X dùng LQR với    , , , 0.07,0.09,0,0x yx y     của phương trình tuyến tính hóa.  Vị trí và vận tốc của bóng trên trục Y: 29 Hình 3-4: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục Y dùng LQR với    , , , 0.07,0.09,0,0x yx y     của phương trình tuyến tính hóa. Sơ đồ mô phỏng phương trình không gian trạng thái của hệ thống dùng bộ điều khiển LQR: 30 Hình 3-5: Sơ đồ khối mô phỏng phương trình trạng thái dùng bộ điều khiển LQR 31 Chọn giá trị ban đầu cho mô phỏng    , , , 0.07,0.09,0,0x yx y     ta có kết quả mô phỏng:  Vị trí và vận tốc của bóng trên trục X : Hình 3-6: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục X dùng LQR với    , , , 0.07,0.09,0,0x yx y     của phương trình trạng thái. 32  Vị trí và vận tốc của bóng trên trục Y: Hình 3-7: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục Y dùng LQR với    , , , 0.07,0.09,0,0x yx y     của phương trình trạng thái. 33 Chọn ngõ vào tín hiệu đặt là sóng sin : 0.07sin4x t cho vị trí bóng trên trục X ta được kết quả mô phỏng:  Vị trí và vận tốc của bóng trên trục X : Hình 3-8: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục X dùng LQR với    , , , 0.07sin 4 ,0.09,0,0x yx y t   của phương trình trạng thái. 34  Vị trí và vận tốc của bóng trên trục Y: Hình 3-9: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục Y dùng LQR với    , , , 0.07sin 4 ,0.09,0,0x yx y t   của phương trình trạng thái. 35 Chọn ngõ vào tín hiệu đặt là sóng sin : 0.07sin 4y t cho vị trí bóng trên trục Y ta được kết quả mô phỏng:  Vị trí và vận tốc của bóng trên trục X : Hình 3-10: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục X dùng LQR với    , , , 0.07,0.09sin 4 ,0,0x yx y t    của phương trình trạng thái. 36  Vị trí và vận tốc của bóng trên trục Y: Hình 3-11: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục Y dùng LQR với    , , , 0.07,0.09sin 4 ,0,0x yx y t    của phương trình trạng thái. 37 Qua kết quả mô phỏng hệ thống bóng trên đĩa sử dụng bộ điều khiển LQR cho thấy hệ thống vẫn ổn định tại tín hiệu đặt nhưng tín hiệu ra không bám sát tín hiệu đặt. Hệ thống ổn định là có thể chấp nhận được. Như vậy bộ điều khiển LQR chỉ đáp ứng tương đối cho hệ thống phi tuyến bóng trên đĩa, cần áp dụng thuật toán tốt hơn bộ điều khiển tuyến tính hóa LQR này. 3.3 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN BACKSTEPPING CHO HỆ THỐNG BÓNG TRÊN ĐĨA: Bộ điều khiển thích nghi BackStepping về cơ bản là thiết kế thêm một tích hợp trên mỗi biến trạng thái. Ý tưởng thiết kế liên quan đến các trạng thái tiếp theo như điều khiển ảo, và điều khiển ảo có thể giúp ổn định trạng thái hiện tại, vì thế trạng thái sau sẽ kiểm soát trạng thái trước đó, và cứ tiếp tục như vậy. Bộ điều khiển trạng thái cuối cùng sẽ kiểm soát toàn bộ hệ thống. Dựa trên khái niệm này, hệ thống sẽ trở thành một cơ cấu phản hồi mới, và được gọi là một hệ thống phản hồi nghiêm ngặt thông số (parametric-strict-feedback). Trong tình trạng như vậy, hệ thống sẽ áp dụng một thủ tục đệ quy để áp dụng hàm Lyapunov liên tục khác nhau để chứng minh sự ổn định hệ thống và giải quyết điều khiển. Vì vậy, khi một hệ thống phi tuyến được chuyển thành dạng phản hồi thông số nghiêm ngặt (parametric-strict- feedback), luật điều khiển thích nghi Backstepping có thể được áp dụng cho việc thiết kế bộ điều khiển. 3.3.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT: Xét hệ thống phi tuyến theo thời gian:  1 2 1 1x x x  (3-14a)  2 3 2 1 2, x x x x (3-14b) .........  1 1 1 2 1, ,....,n n n nx x x x x    (3-14c)    1 2 1, ,...., ,n n n nx x u x x x x    (3-14d) 38 Với xi là biến trạng thái,  1 2, ,...., T nx x x x là vector trạng thái với   0x  , x là một hệ số của hàm điều khiển,  1 2, ,...., , 1,2,3,...,i ix x x R i n   . Phần này sẽ thảo luận về quy trình thiết kế bộ điều khiển Backstepping theo thời gian với hệ thống phi tuyến. Việc thiết kế bộ điều khiển Backstepping dựa trên lý thuyết ổn định Lyapunov, một khi bộ điều khiển thu được, sự ổn định của hệ thống có thể chấp nhận là tốt. Quá trình thiết kế được chia thành nhiều bước, và mỗi bước có 1 qui chuẩn riêng và bộ điều khiển của hệ thống sẽ thu được ở bước cuối cùng. Hình 3-12: Sơ đồ thuật toán điều khiển Backstepping. Hệ thống được mô tả bởi phương trình (3-14), với 1x là ngõ ra hệ thống và dy là tín hiệu đặt, các bước tiến hành thiết kế như sau:  Bƣớc 1: Giả sử, 1 là hàm ổn định, và hàm này có thể ổn định hệ thống con của phương trình (3-14a) dưới điều kiện 2 1x  . Nhưng 2x là ngõ vào điều khiển ảo và 2 1x  . Một hàm báo sai số 1e cần được xác định để phù hợp với yêu cầu này: 1 1 d e x y  (3-15a) 2 2 1 e x   (3-15b) Trong phương trình (3-15a), nếu 1e tiến về 0 thì dy có thể được bám bởi 1x . Bằng cách đạo hàm 1e theo thời gian: 1 1 2 1 2 1 1d d d e x y x y e y           Để chứng minh sự ồn định của phương trình trên, chọn hàm Lyapunov 1V : 39 2 1 1 1 2 V e , và lấy đạo hàm theo thời gian:  1 1 1 1 2 1 1 dV e e e e y      (3-16) Giả sử hàm ổn định 1 : 1 1 1 1 d c e y     , với 1 0c  . Và thay thế vào phương trình (3-16), ta có: 2 1 1 1 1 2V c e e e   (3-17a) 1 1 1 2 e c e e   (3-17b) Vì 2x là ngõ vào điều khiển ảo, và một hệ số bổ sung 1 2e e xuất hiện trong phương trình (3-17a), vì thế cho 1V không xác định và hệ thống con không ổn định. Hệ số 1 2e e phải được loại bỏ để chắc rằng 1V là xác định âm.  Bƣớc 2: Giả sử rằng, hệ thống con của 2x có thể ổn định dưới điều kiện 3 2 x  , với hàm ổn định 2 được tìm thấy. Nhưng thật ra, 3 x là ngõ vào điều khiển ảo, và 3 2x  Vì thế, một hàm báo sai số 3e được định nghĩa như sau: 3 3 2 e x   (3-18) Trong phương trình này, nếu 3e tiến về không thì hệ thống con của 2x ổn định. Bằng cách đạo hàm 2e theo thời gian: 2 2 1 e x   1 1 1 3 2 1 1 1 1 1 1 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 2 1 1 1 d d d d d d d d d d d d x x y y x y y x x y y x x y y e x y y x x y y                                                          (3-19) Để ổn định hệ thống con của 2x bằng cách chọn hàm Lyapunov 2V : 40 2 2 2 1 1 2 V e V  , sau đó đạo hàm 2V theo thời gian ta có: 2 2 2 1 V e e V  2 1 1 1 11 1 2 3 2 3 2 2 2 1 1 1 d d d d c e e e e e x y y x x y y                             (3-20) Ta định nghĩa hàm ổn định 2 : 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1 d d d d c e e x y y x x y y                        , với 2 0c  . Cuối cùng phương trình (3-19) và (3-20) được viết lại như sau: 2 2 2 1 3 e c e e e    (3-21) 2 2 2 1 1 2 2 2 3V c e c e e e    (3-22) Từ phương trình (3-22), 2V không xác định, bước tiếp theo là loại bỏ hệ số 2 3e e .  Bƣớc 3: Giả sử rằng, hàm ổn định 3 được tìm thấy với hệ thống con của 3x là ổn định dưới điều kiện 4 3x  . Thật ra, 4x là ngõ vào điều khiển ảo, và 4 3x  . Vì thế, một hàm báo sai số 4e được định nghĩa như sau: 4 4 3 e x   (3-23) Trong phương trình này, nếu 4e tiến về không thì hệ thống con của 3x ổn định. Bằng cách đạo hàm 3e theo thời gian: 3 3 2 e x   2 2 2 2 24 3 1 2 1 2 d d d d d d x x x y y y x x y y y                        2 2 2 2 2 2 24 3 2 1 3 2 1 1 2 2 d d d d d d x x x y y y x x x x y y y                                  2 2 2 2 2 2 24 3 3 2 1 3 2 1 1 2 2 d d d d d d e x x y y y x x x x y y y                                    (3-24) 41 Để chứng minh sự ổn định của hệ thống con 1 2,e e và 3e , chọn hàm Lyapunov 3V : 2 3 3 2 1 2 V e V  (3-25) Sau đó lấy đạo hàm phương trình (3-25) và lấy phương trình (3-22) và (3-24) thay thế vào phương trình (3-27) ta được: 2 2 23 3 3 2 1 1 2 2 3 4 3 2 3 3 2 1 2 2 2 2 2 2 1 3 2 1 2 2                                            d d d d d d V e e V c e c e e e e e x x x y y y x x x y y y (3-26) Chọn hàm ổn định 3 : 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 2 1 3 2 1 2 2 2 d d d d d d c e e x x y y y x x x x y y y                                     (3-27) Với 3 0c  , từ phương trình (3-24) và (3-26) ta có thể sắp xếp lại như sau: 2 2 2 3 1 1 2 2 3 3 3 4V c e c e c e e e     (3-28) 3 3 3 3 4 e c e e e    (3-29) Bởi vì 4x là ngõ vào điều khiển ảo nên phương trình (4-28) chứa hệ số bổ sung 3 4e e . Vì thế, 3V không xác định, hệ thống đòi hỏi bước tiếp theo để loại bỏ hệ số 3 4e e của phương trình (4-28).  Bƣớc 4: Hệ thống con của 4 5 4x x   được ổn định nếu hàm ổn định 4 được tìm thấy. Do 5x là ngõ vào điều khiển ảo và hàm 5 4x  . Vì thế, một hàm báo sai số được định nghĩa: 5 5 4 e x   (3-30) Trong phương trình (3-30), nếu 5e tiến về 0 thì hệ thống con của 4 5 4x x   được ổn định. Phương trình (3-23) được viết như sau: