Luận văn Giản đồ pha điện tử ở mô hình anderson – hubbard lấp đầy một nửa

ại (Hình 1.3.c). * Sự phụ thuộc của mật độ trạng thái vào tỷ số U/T như hình 1.4. Hình 1.3. Bức tranh chuyển pha kim loại – điện môi Mott trong trường hợp lấp đầy một nửa U/T (F) (U/T)C Hình 1.4. Sự phụ thuộc của mật độ trạng thái tại mức Fermi vào tỷ số U/T.  T0 T0+U () F  T0 T0+U () F  T0 T0+U () F a) ρ(εF) = 0 b) ρ(εF) = 0 c) ρ(εF) ≠ 0 16 Khi U tăng thì ρ giảm từ một giá trị hữu hạn đến không. Như vậy, hàm ρ liên tục tại điểm chuyển pha. Vì vậy mô hình suy ra từ Hamiltonian Hubbard như trên cho ta chuyển pha liên tục hay chuyển pha bậc 2. Tuy nhiên, điều này chỉ đúng tại nhiệt độ bằng 0K. 1.3. CHUYỂN PHA KIM LOẠI ĐIỆN MÔI ANDERSON Không cần bất cứ tương tác nào, bất trật tự tự nó cũng có thể dẫn tới chuyển pha kim loại – điện môi, và nó được gọi là chuyển pha kim loại - điện môi Anderson, hay là định xứ Anderson. Chúng ta có thể hình dung về điều này như sau: Khi không có bất trật tự, tinh thể tuần hoàn và trạng thái riêng của điện tử là các trạng thái Bloch, độ dẫn là đạn đạo. Nếu bất trật tự xuất hiện ở mức độ yếu, độ dẫn trở thành khuếch tán do sự tán xạ, và lý thuyết Drude thông thường hữu dụng. Tuy nhiên, nếu bất trật tự đủ lớn, nó có thể bẫy các điện tử nhờ tán xạ nhiều lần, dẫn tới không còn sự dẫn điện nữa. Bằng cách như vậy, bất trật tự có thể tạo nên MIT. Vì rằng các điện tử là các sóng lượng tử, sẽ thích hợp khi cho rằng định xứ Anderson là một hiệu ứng giao thoa hơn là một sự va chạm nhiều lần giữa các hạt. Ta cũng có nhận xét thêm rằng cách thức trên có thể được áp dụng không chỉ cho các điện tử mà còn cho bất kỳ một loại sóng khác. Sự sắp xếp ngẫu nhiên của các điểm mạng có thể được xem như một thế ngẫu nhiên bổ sung vào thế tuần hoàn ban đầu của tinh thể (Hình 1.5) Hiệu ứng tương tự có thể được thực hiện qua việc bơm các tạp chất mà ở đó sự sai khác giữa thế do các nguyên tử tạp phân bố ngẫu nhiên và do các Hình 1.5. Sơ đồ hiệu ứng của bất trật tự. Đạn đạo Khuếch tán Định xứ Bất trật tự 17 nguyên tử của mạng tinh thể có thể được xem như thế bổ sung ngẫu nhiên. Nếu nồng độ pha tạp thấp, và do vậy thang năng lượng của thế bổ sung ngẫu nhiên nhỏ, thì hiệu ứng của nó có thể tính theo nhiễu loạn, và mô hình Drude mô tả sự khuếch tán áp dụng rất tốt. Mặt khác, khi nồng độ pha tạp đủ lớn, thang năng lượng của thế ngẫu nhiên lớn hơn động năng, thì các điện tử sẽ bị bẫy bởi các tạp. Trong một hệ cô đặc tất nhiên các kích thích nhiệt có thể bứt các điện tử khỏi bẫy, vì thế hiện tượng này chỉ dẫn đến chuyển pha thực sự sắc nét tại nhiệt độ không tuyết đối. Tại nhiệt độ hữu hạn ta chỉ có thể tìm thấy sự xuyên chéo (crossover) (Hình 1.6.b). Phân loại chuyển pha Mott rõ ràng không phải là vấn đề tầm thường. Vào cuối những năm 1970 Mott cho rằng nếu mô hình Drude hữu dụng thì bất trật tự chỉ làm giảm quãng đường tự do trung bình mà nó không thể nhỏ hơn hằng số mạng a. Điều này dẫn tới độ dẫn Drude tối thiểu, dẫn tới giả thiết chuyển pha là loại một. Tuy nhiên, một vài năm sau, độ dẫn nhỏ hơn giới hạn Mott đã được tìm thấy ở bán dẫn pha tạp, Si: P. Trên hình 1.6.a chỉ ra rằng độ dẫn giảm rất nhanh ở gần nồng độ pha tạp tới hạn, và nó có thể nhỏ hơn hai bậc so với giới hạn Mott, dẫn tới giả thiết chuyển pha là loại hai. Hình 1.6.b Hình 1.6. Độ dẫn của hệ mất trật tự. (a) kết quả từ thực nghiệm sử dụng bán dẫn pha tạp Si:P cho thấy chuyển pha loại hai. (b) Sơ đồ dáng điệu điển hình của độ dẫn như là hàm của bất trật tự 9. (a) T > 0 T = 0 W Wc  (b) 18 chỉ ra sơ đồ hành xử của độ dẫn như là hàm của trật tự. Nếu bất trật tự, W, nhỏ (miền kim loại), tại T=0 ta thấy độ dẫn giảm khi bất trật tự tăng. Độ dẫn tiến tới không tại giá trị bất trật tự tới hạn Wc, và với W > Wc nó vẫn bằng không, nghĩa là ta có miền điện môi. Một trong những mô hình đơn giản nhất mô tả hệ mất trật tự là mô hình liên kết chặt được Anderson xem xét sau đây: ( )† . . .= − + + i j i i ij i H t a a H c n Trong đó ngụ ý chỉ tính đến tương quan giữa các nút lân cận nhất, thông thường đơn vị của năng lượng được lấy là tích phân nhảy nút t = 1, yếu tố chéo i là ngẫu nhiên, tuân theo phân bố đều có độ rộng W, đối xứng qua điểm 0. Vì rằng Hamiltonian đối xứng theo năng lượng, vì thế trong nhiều trường hợp chỉ cần xét E  0. Nếu W đủ lớn, số hạng chéo của Hamiltonian chiếm ưu thế, và các trạng thái định xứ tại nút mạng. Nếu W nhỏ, các yếu tố không chéo (động năng) chiếm ưu thế, và các trạng thái lan truyền khắp cả hệ. Tuy nhiên, trong trường hợp này cũng có những trạng thái định xứ trong hệ được ngăn cách với trạng thái lan truyền bởi ngưỡng linh động Ec (Hình 1.7). Lý do tồn tại ngưỡng linh động có thể được giải thích như sau: Giả sử có trạng thái định xứ trong miền năng lượng của các trạng thái lan truyền. Theo lý thuyết nhiễu loạn, với sự thay đổi vô cùng bé của bất trật tự ngẫu Hình 1.7. Cấu trúc điển hình của vùng mất trật tự. Ec ký hiệu biên linh động ngăn cách giữa các trạng thái lan truyền và định xứ. 19 nhiên thì trạng thái định xứ sẽ lại (kết hợp) với các trạng thái lan truyền để tạo nên một trạng thái lan truyền mới. Thậm chí không có một chứng minh chặt chẽ đối với các trạng thái định xứ nằm gần đuôi vùng và các trạng thái lan truyền nằm ở giữa vùng, nhưng hầu như điều đó đã xảy ra. Mặt khác, tiếp cận mỗi đuôi vùng, khi vượt quá năng lượng tới hạn E, ta có gọi là đuôi Lisfschitz chứa các trạng thái định xứ mạnh. Trong miền này mật độ trạng thái giảm nhanh, điển hình theo hàm mũ ( ) ( )( )( ) .  −  − = B E E DOS E Ae Hình 1.7 giải thích vì sao một vật liệu mất trật tự với vùng không lấp đầy có thể là một chất điện môi. Nếu mức Fermi EF nằm ở miền định xứ, các điện tử gần EF định xứ mạnh do sự dẫn điện không thể xảy ra. Bây giờ ta thay đổi mức Fermi, chẳng hạn đặt vào đây một điện thế, ta có thể dịch EF đến miền lan truyền, khi đó ta có thể đo được một độ dẫn hữu hạn. Trong việc tính toán lý thuyết đôi khi sẽ là thuận lợi hơn nếu ta ấn định năng lượng E và thay đổi bất trật tự. Khi bất trật tự tăng, các ngưỡng linh động bắt đầu dịch chuyển về tâm vùng, và nó đạt tới giá trị năng lượng kiểm định tại một giá trị của năng lượng, Wc(E). Đường cong Wc(E) thường được gọi là đường cong ngưỡng linh động, và với mô hình mô tả bởi Hamiltonian nó được cho trên hình 1.8 Hình 1.8. Bất trật tự giới hạn như là hàm của năng lượng, Wc(E), hay là đường cong biên linh động của mô hình Anderson 10. 20 Khi bất trật tự tăng ngưỡng linh động chuyển động ra xa tâm vùng, tuy nhiên trong lúc đó vùng cũng mở rộng ra khi bất trật tự tăng. Sau đó nó trở lại, và chuyển động nhanh, dẫn tới trong một khoảng rộng, 0  E  4.0, ngưỡng linh động gần như không đổi. Tại giá trị tới hạn, Wc  16.5, ngưỡng linh động đạt giá trị 0. Điểm này thường được gọi là điểm tới hạn của hệ, vì khi bất trật tự vượt giá trị này, W > Wc, toàn vùng chỉ chứa các trạng thái định xứ. Quỹ đạo của ngưỡng linh động là liên tục, do vậy số trạng thái lan truyền thay đổi một cách liên tục theo bất trật tự nếu như mật độ trạng thái là liên tục. Bởi vì các trạng thái lan truyền gắn liền với độ dẫn của hệ, từ đó suy ra rằng độ dẫn cũng thay đổi liên tục theo bất trật tự, nghĩa là một lần nữa ta có chuyển pha kim loại hai. 21 CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT MÔI TRƯỜNG ĐIỂN HÌNH CHO ĐỊNH XỨ ANDERSON 2.1. SƠ LƯỢC VỀ HÀM GREEN [11] 2.1.1. Định nghĩa hàm Green trễ Gr và hàm Green sớm Ga. ( ) ( ) ( ) ( )' ' ', , .   −  = − −   rG t t i t t A t B t (2.1.1) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ', , .   −  = −   aG t t i t t A t B t (2.1.2) Trong đó ( )x là hàm bậc thang, tức là 𝜃(𝑥) = { 1 𝑣ớ𝑖 𝑥 > 0 0 𝑣ớ𝑖 𝑥 < 0 là hàm bước Heaviside. Ở đây ... là kí hiệu lấy trung bình thống kế của hệ, tức là ( )1 ,−= HX Tr e X Z trong đó H là Hamiltonian của hệ, 1 T  = là nhiệt độ nghịch đảo và ( )HZ Tr e −= là hàm phân hoạch của hệ. ( )A t và ( )'B t là toán tử phụ thuộc thời gian trong biểu diễn Heisenberg và tiến hóa theo quy luật ( ) ( )'; . − −= =iHt iHt iHt iHtA t e Ae B t e Be (2.1.3) Ký hiệu  ... − là giao hoán tử hay phản giao hoán tử, có nghĩa là  , . − = −A B AB BA (2.1.4) 22 Với 1 = tương ứng với giao hoán tử  ,A B AB BA= − . Trong đó A, B là các toán tử boson hay có dạng boson( toán tử có dạng boson là toán tử có dạng là tích số của các toán tử boson hay có dạng là tích số của số chẵn lần các toán tử fermion) Với 1 = − tương ứng với phản hoán tử  ,A B AB BA= + . Trong A, B là các toán tử fermion hay có dạng fermion (toán tử có dạng fermion là toán tử có dạng là tích số của số lẻ lần các toán tử fermion) Từ định nghĩa ta thấy hàm Green trẽ luôn bằng 0 khi t t và hàm Green sớm luôn bằng 0 khi t t . Hàm Green trễ và hàm Green sớm còn được ký hiệu như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , . = r ar a G t t A t B t (2.1.5) Ký hiệu này thường được gọi là ký hiệu của Zubarev đưa ra năm 1960. Đối với hệ cân bằng (tức là Hamiltonian không phụ thuộc vào thời gian) hàm Green hai thời gian chỉ phụ thuộc vào hiệu số giữa hai thời gian Ta xét hàm Green trễ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) , , .       = − −      = − − − rG t t i t t A t B t i t t A t B t B t A t (2.1.6) Mặt khác ta có: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 1 1 .    −  − − −  − − −−  =  =  =  H H iHt iHt iHt iHt iH t t iH t tH A t B t Tr e A t B t Tr e e Ae e Be Tr e e Ae B (2.1.7) 23 Như vậy hàm Green trễ (2.1.6) chỉ phụ thuộc vào hiệu t t− . Tương tự như vậy cho hàm Green sớm. Như vậy đối với hệ cân bằng thì hàm Green hai thời gian chỉ phụ thuộc vào hiệu số giữa hai thời gian ( ) ( ),G t t G t t = − . Vì vậy ta có thể sử dụng phép biến đổi Fourier thuận nghịch ( ) ( ) ( ). 2     − − − − =  i t td G t t G e (2.1.8) ( ) ( ) .  − =  i tG dtG t e (2.1.9) 2.1.2. Tính hàm Green bằng phương trình chuyển động. Phương trình chuyển động cho hàm Green hai thời gian có thể nhận được bằng cách lấy đạo hàm theo thời gian cho hàm Green. Xét hàm Green trễ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , G t t t t A t i A t B t i i B t t t t    − −   −  −    = −        ( ) ( )   ( )  ( ) ( ), , , G t t i t t A B i t t A H t B t t     − −  −     = − − −   ( ) ( )    ( ) ( ), , . −  −   = − +  G t t i t t A B A H t B t t (2.1.10) Với hàm Green sớm ta cũng thu được phương trình chuyển động giống như vậy. Phương trình (2.1.10) được gọi là phương trình chuyển động cho hàm Green theo thời gian. Lấy ảnh Fourier cho phương trình (2.1.10) ta thu được 24    , , .   − = +A B A B A H B (2.1.11) Phương trình (2.1.11) được gọi là phương trình chuyển động cho hàm Green nhưng viết dưới dạng tần số. 2.1.3. Ví dụ: Tính hàm Green của hệ điện tử không tương tác từ phương trình chuyển động. Xét hệ các hạt fermion không tương tác có Hamiltonian như sau: † 0 .  = k kk k H c c (2.1.12) Trong đó † k c  và k c  là toán tử sinh và hủy hạt fermion có xung lượng k , k  là hệ thức tán sắc của hạt fermion. Phương trình chuyển động cho hàm Green fermion có dạng  † † † † , , 1 , .            = +    = +   k k kk k k k k c c c c c H c c H c (2.1.13) Vì toán tử † k c  , k c  là toán tử fermion nên 1=− . Tính giao hoán tử giữa k c  và H    ( ) † † † † , , , , , .                    = =       = − = =     k k p ps p k psps ps ps ps p k ks k psps ps ps sp k p ps k k ps c H c c c c c c c c c c c c c c (2.1.14) Thay (2.1.14) vào (2.1.13) ta thu được phương trình chuyển động như sau: 25 † †1 .      = + k k kk k c c c c (2.1.15) Phương trình này tự khép kín và ta thu được nghiệm của phương trình (2.1.15) là † 1 .      = −k k k c c (2.1.16) 2.1.4. Tính chất của hàm Green không phụ thuộc vào thời gian. Xét hàm Green có dạng ( ) 1 .= − G z z H Nếu toán tử H có phổ gián đoạn thì ( ) 1 .=   −  n n nn G z z E Hay trong r - biểu diễn thì ( ) * , ; .         =  −   n n nn r r G r r z z E Vì trị riêng của H là nE trong tổng và E trong tích phân luôn là thực, do đó hàm Green ( )G z giải tích khắp nơi trên mặt phẳng phức trừ những điểm z trùng với trị riêng của H trên trục thực. Nếu z trùng với trị riêng gián đoạn nE của H thì hàm ( )G z không xác định. Tuy nhiên tại các lân cận z E i =  thì hàm Green luôn giải tích với mọi 0  dù nhỏ. Khi đó ta có hai hàm Green giới hạn 0 , ; lim , ; .   + →     =         G r r E G r r E i Các hàm Green , ;G r r E       có quan hệ trực tiếp với mật độ trạng thái. Đó là đại lượng quan trọng nhất trong vật lý chất rắn. Sử dụng đồng nhất thức ta được: 26 ( ) 0 1 1 lim , +→   =     y P i x x iy x trong đó P là ký hiệu trị chính, ta có thể viết lại yếu tố chéo của G dưới dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * 0 , ; lim .    +  →    = −    −    n n n n n nn n r r G r r E i E E r r E E i Sau khi tích phân theo r ta được: ( ) ( ) 1 .  = − −   n nn n TrG E P i E E E E Theo định nghĩa, mật độ trạng thái ( ) ( )nnE E E = − . So sánh với phương trình trên ta được ( ) ( )  1 Im .  =E TrG E (2.1.17) 2.2. LÝ THUYẾT MÔI TRƯỜNG ĐIỂN HÌNH 2.2.1. Lý thuyết trung bình động cho hệ đồng nhất. Lý thuyết trung bình động được phát biểu vào cuối những năm 1980 tới đầu những năm 1990. Những công trình tiên phong do Metzer và Vollhard 12 và Miiller – Hartmann 13 thực hiện. Các bước phát triển tiếp theo thuộc về Georges và Kotliar 14 và Jarrel 15. Ý tưởng chính của lý thuyết trường trung bình động (DMFT) được trình bày như sau: Dựa vào hình 2.1 27 Hình 2.1. Trong lý thuyết trường trung bình, môi trường của một nút nhất định được biểu diễn bằng một môi trường hiệu dụng, được biểu thị bằng “hàm phổ hốc của nó” i(). Trong một hệ mất trật tự, i() cho các nút khác nhau có thể khác nhau, phản ánh hiệu ứng định xứ Anderson. Trong mạng có tương tác, một nút mạng được lấy ra và các nút mạng khác được ánh xạ vào một bể các hạt không tương tác. Như vậy mô hình mạng đã được ánh xạ sang mô hình “tạp”, bao gồm một nút duy nhất có tương tác (“tạp”) được liên kết với một bể hạt không tương tác. Bằng cách giải mô hình tạp ta có thể nhận được các trạng thái của nút riêng lẻ này. Vì tính đối xứng tịnh tiến của mạng, trạng thái của một nút riêng lẻ được cho là trạng thái của tất cả các nút khác, và do vậy ta thu được trạng thái của mạng. Quá trình này được lặp lại cho đến khi đạt tới lời giải tự hợp. Ta xét DMFT thông qua việc áp dụng nó cho mô hình Hubbard. Mô hình có Hamiltonian được xác định bởi công thức: † † ij .        = + +  i j i i ii i ij i i H t c c U n n c c (2.2.1) Khi đó mô hình tạp Anderson (AIM) tương ứng có dạng ( ) † 0 0 0 0 0 † † † 0 0 ,              = + + + +    Anderson k k k kk k k k H c c Un n V c c c c c c (2.2.2) trong đó hai số hạng đầu tiên mô tả mức định xứ với năng lượng 0 và tương tác Coulomb. Số hạng thứ ba mô tả sự liên kết giữa tạp và bể không 28 tương tác, số hạng cuối cùng là năng lượng của bể này. Sự liên kết giữa tạp và bể có thể được mô tả thông qua hàm lai ( ) , trong đó ( ) 2 , .      = −  k k k V (2.2.3) Hàm Green địa phương không tương tác (tự do, U =0) có thể viết như sau: ( ) ( )10 .    − = + −g (2.2.4) Từ đây hàm Green tương tác có dạng: ( ) ( ) 1 ,     = + − − AndersonG (2.2.5) trong đó ( ) là năng lượng riêng. Mô hình tạp có thể giải số, cũng như bằng gần đúng giải tích. Trong trường hợp giải số, vòng lặp tự hợp có thể viết như sau: (2.27) (2.28) 0 . = ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯→ lat Anderson G G latG g (2.2.6) Cách tính cụ thể như sau: Chúng ta bắt đầu từ lời giải của AIM có chứa năng lượng riêng ( ) . DMFT giả thiết năng lượng riêng của mô hình mạng cũng định xứ và không phụ thuộc vào k và nó bằng năng lượng riêng của tạp: ( ) ( ),lat k    . Như vậy, hàm Green một nút của mạng được cho bởi: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, , ,            = = = + − −    ik lat lat lat k G G k e G k d (2.2.7) 29 trong đó ( ) ( )k k     = − là mật độ trạng thái của bể. Điều kiện tự hợp là lat AndersonG G= , nghĩa là chúng ta đòi hỏi hàm Green của mạng và hàm Green của tạp tương ứng phải bằng nhau. Phương trình tự hợp có thể viết như sau: ( ) ( ) ( )1 10latG g   − −= − (2.2.8) Hàm Green tự do của tạp 0g chứa đựng thông tin của bể (của một nút) tạo thành từ tất cả các nút mạng còn lại. Nó tương tự như trường Weiss hiệu dụng ở lý thuyết trường trung bình Weiss đối với mô hình Ising. Thay cho trường Weiss tĩnh, trường hiệu dụng có dạng hàm số của  , chính vì vậy phương pháp này được gọi là lý thuyết trung bình động. ‘Hàm Weiss’ ( )0g  được xem như “hàm bể ” là vì lý do sau. Từ phương trình (2.2.8), bể của mô hình tạp Anderson, xác định bởi 10g − , có thể được tính qua latG và  (bước 2 ở (2.2.6)). Vấn đề mấu chốt và quan trọng nhất là bước 3 ở (2.2.6), ở bước này ta phải giải bài toán hiệu dụng một nút. Qua đó ta sẽ tính được ( ) . Như thế vòng lặp được khép kín và quá trình lặp được tiếp tục cho đến khi đạt được lời giải tự hợp. Có nhiều phương pháp khác nhau, cả về giải tích đến tính số, để giải bài toán hiệu dụng một nút (2.2.2) như phương pháp mô phỏng Monte-Carlo, phương pháp chéo hóa chính xác, phương pháp nhiễu loạn lặp, phương pháp phương trình chuyển động. Ở đây có hai gần đúng được thực hiện. Thứ nhất là lời giải được giả thiết cho hệ đồng nhất và có bất biến tịnh tiến. Thứ hai là năng lượng riêng được giả thiết định xứ ( ) ( ) ,, ,i j i jr r  =  . Metzner và Vollhard 12 chứng tỏ rằng các gần đúng này trở thành chính xác tại giới hạn số chiều bằng vô cùng →d . Để đảm bảo thế năng và động năng có cùng một bậc khi 30 →d , người ta hiệu chỉnh thông số nhảy nút như sau *t t  → , trong đó  là số phối vị của mạng, đại lượng cũng tiến tới vô cùng khi →d . Trong hình 2.2.a thể hiện kết quả DMFT cho mô hình Hubbard. Hệ có số lẻ điện tử trên mỗi nút theo như lý thuyết vùng năng lượng, là kim loại nhưng do tính đến tương quan mạnh, hệ là điện môi. Trong trạng thái kim loại xuất hiện đỉnh cộng hưởng, đó là hệ quả của kích thích chuẩn hạt, xuất hiện xung quanh năng lượng Fermi. Chiều cao của nó là không đổi, nhưng độ rộng của nó trở nên nhỏ hơn khi tăng thế Coulomb trên nút và tại giá trị = cU U đỉnh biến mất. Khe năng lượng được hình thành. Tại chuyển pha Mott có sự cạnh tranh giữa độ rộng của vùng 2t với tương tác điện tử - điện tử U. Sự hình thành khe gắn với việc biến mất của trọng số tái chuẩn hóa Z và sự phân kỳ khối lượng của chuẩn hạt. Hình 2.2.b là giản đồ pha của mô hình Hubbard lấp đầy một nửa. Đường nét liền mô tả chuyển pha loại I ở nhiệt độ cao và kết thúc với điểm tới hạn loại II khi nhiệt độ giảm (điểm này được gọi là điểm chuyển pha Mott). Hai đường nét đứt tạo thành miền mà ở đó đồng tồn tại hai trạng thái kim loại và điện môi. Tại nhiệt độ 0T = sự chuyển pha liên tục xảy ra. a) b) Hình 2. 2. a) Mật độ trạng thái ( ) Im .G  =− Kết quả của DMFT cho d → , tại nhiệt độ 0T = và với tỉ số * 1,2.5,3,4=U t (từ trên xuống). b) Đồ thị của DMFT cho mô hình Hubbard trong hệ lấp đầy một nửa. *T t là nhiệt độ, *U t là thế Coulomb trên nút 16. 31 DMFT cho kết quả tốt trong việc khảo sát tại lân cận của chuyển pha Mott trong hệ sạch, rất tốt để dự đoán tính chất của các oxit kim loại chuyển tiếp, hệ Fermi nặng, và điện môi Kondo. Nó cũng đưa ra được thông số trật tự động lực học, đặc trưng cho sự khác biệt định lượng của các pha. Mặt khác, DMFT không cho kết quả tốt khi miêu tả hiện tượng bị chi phối bởi thăng giáng không gian. 2.2.2. Lý thuyết môi trường điển hình cho định xứ Anderson Như đã chỉ ra ở phần 2.2.1 đại lượng trọng tâm của lý thuyết trường trung bình động là ( )i  (ở phần này các nút mạng có thể không tương đương với nhau do có bất trật tự nên chỉ số nút i được viết thêm vào ( ) ) và ( )i  còn được gọi là hàm hốc địa phương. Theo quan điểm vật lý, đối tượng này biểu diễn các trạng thái khả dĩ mà một điện tử có thể nhảy vào từ một nút i cho trước. Như vậy nó cung cấp một thông số trật tự tự nhiên để mô tả chuyển pha kim loại - điện môi. Tất nhiên, hình thức của nó có thể thay đổi căn bản bởi tương tác điện tử - điện tử hoặc bất trật tự, phản ánh sự thay đổi tương ứng với động lực học của điện tử. Theo quy tắc vàng Fermi, tốc độ chuyển dời đến các nút lân cận tỉ lệ thuận với mật độ trạng thái cuối, điều này dẫn tới hệ sẽ ở trạng thái điện môi khi ( )i  có khe cấm tại mức Fermi. Ở trường hợp chuyển pha Mott khi không có bất trật tự, khe cấm này là hệ quả trực tiếp của tương tác Coulomb trên một nút lớn và nó là như nhau đối với mọi nút mạng. Tình hình trở nên phức tạp hơn ở trường hợp định xứ do bất trật tự gây ra, như đã được chỉ ra trong công trình tiên phong của Anderson 17. Ở đây trung bình của đại lượng ( )i  không có khe cấm và nó không thể là thông số trật tự. Thật vậy, ở điện môi Anderson, môi trường được tạo nên từ một điện tử ở một nút cho trước có thể khác xa với giá trị trung bình của nó. Ở trường hợp này hàm hốc điển hình ( )i  bao gồm hàng loạt đỉnh của hàm detta, phản ánh sự tồn tại của các trạng thái định xứ (liên kết) của điện tử. Và như thế một nút điển hình được nhúng trong một môi trường có khe cấm ở mức Fermi, dẫn đến một pha điện môi. Cần nhấn mạnh là sự định xứ và độ rộng của các vùng cấm thay đổi mạnh từ nút này đến nút 32 khác. Sự thăng giáng mạnh của các hàm ( )i  vẫn tiếp tục ở phía kim loại của chuyển pha, tại đó mật độ phổ điển hình ( )exp lntyp i =  có thể nhỏ hơn nhiều so với giá trị trung bình i của chúng. Rõ ràng là hàm phân bố đầy đủ cần để đặc trưng cho hệ. Thay cho các trung bình đơn giản, ở đây toàn bộ hàm phân bố đóng vai trò thông số trật tự, và nó thay đổi một cách định tính khi chuyển pha. Vậy là, trái với các hệ sạch (không có bất trật tự) các thông số trật tự của hệ mất trật tự có đặc tính của các hàm phân bố và chúng thay đổi định tính khi chuyển pha. Một lý thuyết mở rộng DMFT đưa thêm vào thăng giáng của bất trật tự trong không gian với các bậc ngẫu nhiên đầy đủ, được gọi là lý thuyết trung bình động thống kê, đã được Dobrosavljevic và Kotliar xây dựng 18. Lý thuyết này mô tả tốt các chuyển pha kim loại – điện môi Mott và Anderson trong hệ tương quan và mất trật tự, tuy nhiên việc tính toán lại quá phức tạp và đòi hỏi nhiều tài nguyên máy tính. Để khắc phục nhược điểm trên Dobrosavljevic và các cộng sự đã phát triển lý thuyết trường trung bình điển hình cho hệ bất trật tự 19. Theo lý thuyết này, mật độ trạng thái điển hình (TDOS) được lấy gần đúng là trung bình nhân theo các cấu hình ngẫu nhiên khả dĩ, thay cho trung bình cộng ở DMFT thông thường. Họ chứng tỏ được rằng TDOS triệt tiêu tại bất trật tự tới hạn và nó có thể dùng làm thông số trật tự cho định xứ Anderson. Sau đây là nội dung chính của lý thuyết này ở mô hình liên kết chặt không tương tác với năng lượng nút i được phân bố ngẫu nhiên theo hàm ( )P  . Giống như ở DMFT, mỗi nút mạng được nhúng vào môi trường hiệu dụng với năng lượng riêng địa phương ( ) . Hàm Green địa phương tương ứng có dạng: ( ) ( ) 1 , .     − = − −   i iG (2.2.9) Ở đây “hàm hốc” được cho bởi 33 ( ) ( )( ),   = −o (2.2.10) và hàm hốc với 0i = là ( ) ( )1 .   = −o oG (2.2.11) Hàm Green mạng: ( ) ( ) ,      +  − = − o oG d (2.2.12) là biến đổi Hilbert của mật độ trạng thái trần o đặc trưng cho cấu trúc vùng. Cho trước một môi trường hiệu dụng với năng lượng riêng ( ) , chúng ta có thể đánh giá thông số trật tự mà ta chọn là TDOS được cho bởi ( ) ( ) ( ) exp ln , ,      = typ i i id P (2.2.13) trong đó ( ) ( ) 1 , Im ,i iG      =− là mật độ trạng thái địa phương. Hàm Green tương ứng với ( )typ  được tính thông qua biến đổi Hilbert ( ) ( ) .       + −  = − typ typG d (2.2.14) Cuối cùng, chúng ta đóng vòng lặp bằng cách đặt hàm Green của môi trường hiệu dụng bằng hàm Green tương ứng với thông số trật tự địa phương, nghĩa là ( ) ( )( ) ( )e .   = − =ff o typG G G (2.2.15) 34 Chú ý là thủ tục được xác định từ các phương trình (2.2.9) – (2.2.15) không hề đặc biệt. Cách thức như vậy có thể sử dụng cho mọi lý thuyết được đặc trưng bởi năng lượng riêng địa phương. Điều đặc