Luận văn Định lí điểm bất động đối với ánh xạ giãn trong không gian G - Metric

= , , ( ) lim ( , , ) 0. n m mn m m n c G u u u ® ¥ ³ = , , ( ) lim ( , , ) 0. n m mn m m n d G u u u ® ¥ > = , ( ) lim ( , , ) 0. n n mn m e G u u u ® ¥ = , , ( ) lim ( , , ) 0. n n mn m m n f G u u u ® ¥ ³ = , , ( ) lim ( , , ) 0. n n mn m m n g G u u u ® ¥ > = 1 1 ( ) lim ( , , ) 0 n n nn h G u u u + +® ¥ = và 1, , lim ( , , ) 0 n n mn m m n G u u u +® ¥ > = . Định nghĩa 1.3.7. Một không gian G - metric ( , )E G được gọi là G - đầy đủ (hay không gian G - metric đầy đủ) nếu mỗi dãy G - Cauchy trong( , )E G đều G - hội tụ trong ( , )E G . Định nghĩa 1.3.8. Cho ( , )E G và ( , )E G¢ ¢ là các không gian G - metric và ánh xạ :f E E ¢® . Khi đó f được gọi là G - liên tục tại một điểm a EÎ nếu với 0e > tùy ý, tồn tại 0d > sao cho ,u v EÎ ; ( , , )G a u v d< kéo theo ( ( ), ( ), ( )) .G f a f u f v e¢ < Hàm f là G - liên tục trên E khi và chỉ khi nó là G - liên tục tại mọi a EÎ . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN Mệnh đề 1.3.9. Cho ( , )E G và ( , )E G¢ ¢ là các không gian G - metric. Ánh xạ :f E E ¢® được gọi là G - liên tục tại một điểm u EÎ khi và chỉ khi nó là G - liên tục theo dãy tại u ; nghĩa là, khi { } n u là G - hội tụ đến u thì ( ( )) n f u là G - hội tụ đến ( )f u . Định lý 1.3.10. Nếu ( , )E G là không gian G - metric thì hàm ( , , w)G u v liên tục theo cả ba biến của nó, nghĩa là, nếu , , wu v EÎ và { },{ },{ } n n n u v w EÍ sao cho m u u® , m v v® và w w m ® thì { ( , , w )} ( , , w) m m m G u v G u v® . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN CHƯƠNG 2 ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ GIÃN TRONG KHÔNG GIAN G-METRIC 2.1. Điểm bất động đối với ánh xạ giãn trong không gian G-metric Định nghĩa 2.1.1. Cho ( , )E G là không gian G - metric và :S E E® . S gọi là ánh xạ giãn nếu 1a$ > sao cho với mọi , , wu v EÎ , ta có ( , , w) ( , , w)G Su Sv S G u va³ . Ví dụ 2.1.2. Cho : ( , ) ( , )S G G®¡ ¡ là ánh xạ được xác định bởi 5 3 ( ) 5 2 3 u khi u S u u khi u ìï £ï= í ï + >ïî và ( , , w) max{| |,| w |,| w |}G u v u v v u= - - - . Khi đó ( , )G¡ là không gian G - metric và S là ánh xạ giãn. Định lí 2.1.3.Cho ( , )E G là không gian G - metric đầy đủ. Giả sử tồn tại một hằng số 1a > và :S E E® là toàn ánh, sao cho với mọi , , wu v EÎ ( , , w) ( , , w)G Su Sv S G u va³ (2.1). Khi đóS có điểm bất động duy nhất. Chứng minh.Theo giả thiết, nếu Su Sv= , thì 0 ( , , ) ( , , )G Su Sv Sv G u v va= ³ ,suy ra ( , , ) 0G u v v = , do đó u v= . Vì vậy, S là đơn ánh và khả nghịch. Giả sử h là ánh xạ nghịch đảo của S . Khi đó ( , , w) ( ( ), ( ), ( w)) ( , , w)G u v G S hu S hv S h G hu hv ha= ³ . Do đó, với , , wu v E" Î , ta có ( , , w) ( , , w)G hu hv h kG u v£ , ở đó 1 /k a= . Áp dụng Định lí 1.1[6], ! ; ( )u E h u u$ Î = . Nhưng, ( ( )) ( )u S h u S u= = . Do đóu là điểm bất động của S . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN Giả sử, tồn tại v u¹ sao cho Sv v= , khi đó ta có ( ( )) ( )Sv v S h v h Sv= = = , vì vậy Sv là điểm bất động của h . Do tính duy nhất nên u Sv v= = . Vậyu là điểm bất động duy nhất của S . Định lí 2.1.4.Giả sử( , )E G là không gian G - metric đầy đủ và 1a$ > và :S E E® là toàn ánh, sao cho với mọi ,u v EÎ ( , , ) ( , , )G Su Sv Sv G u v va³ . (2.2) Khi đó S có điểm bất động duy nhất. Chứng minh.Theo giả thiết,nếu Su Sv= , thì 0 ( , , ) ( , , )G Su Sv Sv G u v va= ³ , suy ra ( , , ) 0G u v v = , do đó u v= , suy raS là đơn ánh, nên là song ánh, do đó S là khả nghịch. Giả sửh là ánh xạ nghịch đảo của S . Khi đó ( , , ) ( ( ), ( ), ( )) ( , , )G u v v G S hu S hv S hv G hu hv hva= ³ . Như vậy với mỗi ,u v EÎ ta có ( , , ) ( , , )G hu hv hv kG u v v£ , ở đó 1 /k a= . Áp dụng Định lí 1.2[6] đối với ánh xạ nghịch đảo h , và dùng phương pháp tương tự trong chứng minh của Định lí 2.1.3, ta kết luận S có điểm bất động duy nhất. Hệ quả 2.1.5.Cho ( , )E G là không gian G - metric đầy đủ. Nếu tồn tại 1a > và :S E E® là toàn ánh, sao cho với mọi , , wu v EÎ ( , , w) { ( , w, w) ( , w, w)}G Su Sv S G u G va³ + , (2.3) thì S có điểm bất động duy nhất. Chứng minh.Kết quả suy ra từ Định lí 2.1.4, bằng cách lấyw v= trong (2.3). Định lí 2.1.6.Cho ( , )E G là không gian G - metric đầy đủ, và :S E E® toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau đây với mọi , , wu v EÎ ( , , ) ( , , ) ( , , w) max ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) G u w w G v w w G Su Sv S G w v v G u v v G w u u G v u u a ì üï ï+ï ïï ïï ï³ +í ý ï ïï ï+ï ïï ïî þ (2.4) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN trong đó 1a > . Khi đó S có điểm bất động duy nhất. Chứng minh.Từ điều kiện (2.4) suy raS là đơn ánh và khả nghịch. Giả sử h là ánh xạ nghịch đảo của S . Theo điều kiện (2.4) , , wu v E" Î , ta có ( , , w) ( ( ), ( ), ( w))G u v G S hu S hv S h= ( , w, w) ( , w, w) max ( w, , ) ( , , ) ( w, , ) ( , , ) G hu h h G hv h h G h hv hv G hu hv hv G h hu hu G hv hu hu a ì üï ï+ï ïï ïï ï³ +í ý ï ïï ï+ï ïï ïî þ (2.5) Nhưng, theo (G5) ta có ( , w, w) ( , w, w) max ( w, , ) ( , , ) ( , , w) ( w, , ) ( , , ) G hu h h G hv h h G h hv hv G hu hv hv G hu hv h G h hu hv G hv hu hu ì üï ï+ï ïï ïï ï+ ³í ý ï ïï ï+ï ïï ïî þ . (2.6) Do đó, (2.5) kéo theo ( , , w) ( , , w)G hu hv h aG u v£ , trong đó 1 /a a= . (2.7) Áp dụng Định lí 1.1[6] đối với điều kiện (2.7), !u E$ Î sao cho ( )h u u= . Nhưng ( ( )) ( )u S h u S u= = , điều này chứng tỏu là điểm bất động của S . Để chứng minh u duy nhất, ta sử dụng chứng minh tương tự trong Định lí 2.1.3. Định lí 2.1.7.Cho ( , )E G là không gian G - metric đầy đủ không đối xứng và :S E E® là toàn ánh thỏa mãnđiều kiện sau với mọi , , wu v EÎ ( , , ) ( , , ) ( , , w) max ( , w, w) (w, , ) (w, , ) ( , w, w) G u v v G v u u G Su Sv S G u G u u G v v G v a ì üï ï+ï ïï ïï ï³ +í ý ï ïï ï+ï ïï ïî þ , (2.8) trong đó 2 3 a > . Khi đóS có điểm bất động duy nhất. Chứng minh.Giả sử S thỏa mãn điều kiện (2.8).Khi đó S là đơn ánh và khả nghịch. Trong điều kiện (2.8), lấyw v= . Khi đó với mọi , , wu v EÎ , ta có ( , , ) { ( , , ) ( , , )}G Su Sv Sv G u v v G v u ua³ + ,(2.9) từ (G5) suy ra Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 2 ( , , )G u v v G v v u G v u u G u v u G v u u= £ + = . Do đó 1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 2 G u v v G u v v G v u u G u v v+ £ + , suy ra 3 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 2 G u v v G v u u G u v v£ + . (2.10) Kết hợp (2.9) và (2.10) ta nhận được 3 ( , , ) ( , , ) 2 G Su Sv Sv G u v v a ³ .(2.11) Gọih là ánh xạ nghịch đảo của S .Khi đó áp dụng (2.11) ta được 3 ( , , ) ( ( ), ( ), ( )) ( , , ) 2 G u v v G S hu S hv S hv G hu hv hv a = ³ (2.12) với mọi ,u v EÎ . Vì 2 3 a > nên ta có ( , , ) ( , , )G hu hv hv G u v vb£ (2.13) với 2 3 b a = và 1b < .Khi đó, theo Định lí 1.2[6], !u E$ Î sao cho ( )h u u= , nhưng ( ( )) ( )u S h u S u= = , chứng tỏ rằng u là điểm bất động của S . Để chứng minh tính duy nhất, giả sử v u¹ sao cho ( )S v v= , từ (2.8) ta có 3 ( , , ) ( , , ) { ( , , ) ( , , )} ( , , ) 2 G u v v G Su Sv Sv G u v v G v u u G u v v a a= ³ + ³ . Nhưng 3 1 2 a > , nên ( , , ) ( , , )G u v v G u v v> . Mâu thuẫn này suy rau v= . Định lí 2.1.8.Cho ( , )E G là không gian G - metric đầy đủ không đối xứng và :S E E® là toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọi , , wu v EÎ ( , , ) { ( , , ), ( , , )}G Su Sv Sv max G u v v G v u ua³ với 1k > . (2.14) Khi đó S có điểm bất động duy nhất. Chứng minh.Vì { ( , , ), ( , , )} ( , , )max G u v v G v u u G u v v³ , nên theo (2.14), ta có ( , , ) ( , , )G Su Sv Sv G u v va³ ,với mọi , , wu v EÎ .(2.15) Theo Định lí 2.1.4, S có điểm bất động duy nhất. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN Hệ quả 2.1.9.Cho ( , )E G là không gianG - metricđầy đủ không đối xứng và :S E E® là toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọi , , wu v EÎ ( , , ), ( , , ) ( , , w) max ( , w, w), (w, , ) (w, , ), ( , w, w) G u v v G v u u G Su Sv S G u G u u G v v G v a ì üï ïï ïï ïï ï³ í ý ï ïï ïï ïï ïî þ (2.16) với 1a > . Khi đó S có điểm bất động duy nhất. Chứng minh.Suy ra từ Định lí 2.1.8 bằng cách lấy w v= . Hệ quả 2.1.10.Cho ( , )E G là không gian G - metric đầy đủ và :S E E® là toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọi , , wu v EÎ ( , , ) { ( , , ) ( , , w)}G Su Sv Sv G u Su Su G Su va³ + với 1a > . (2.17) Khi đóS có điểm bất động duy nhất. Chứng minh. Theo (G5), ta có ( , , ) ( , , w) ( , , w)G u Su Su G Su v G u v+ ³ . Khi đó điều kiện (2.17) trở thành ( , , w) ( , , w)G Su Sv S G u va³ , với mọi , , wu v EÎ và kết luận được suy ra từ Định lí 2.1.3. Định lí 2.1.11.Cho ( , )E G là không gian G - metric đầy đủ và :S E E® là toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọi , , wu v EÎ ( , , w) ( , , w) ( , , ) ( , , ) (w, w,Sw)G Su Sv S aG u v bG u u Su cG v v Sv dG³ + + + , trong đó 1a b c d+ + + > và 1b c+ < .(2.18) Khi đó S có một điểm bất động. Chứng minh .Lấy 0 u EÎ , vì S là toàn ánh nên tồn tại 1 u sao cho 1 1 0 ( )u S u-Î . Lập luận tương tự ta có thể lấy 1 1 ( ), n n u S u- - Î ( 2, 3, 4,...)n = . Nếu 1m m u u - = với m nào đó, thì m u là điểm bất động của S . Giả sử 1n n u u - ¹ với mỗi n , khi đó từ (2.18) ta có 1 1 1 1 1 1 1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( , , ). n n n n n n n n n n n n n n n G u u u G Su Su Su aG u u u b c G u u u dG u u u - - + + - - + = ³ + + + Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN Do đó 1 1 1 (1 ( )) ( , , ) ( ) ( , , ) n n n n n n b c G u u u a d G u u u - - + - + ³ + , suy ra 1 1 1 1 ( ) ( , , ) ( , , ) n n n n n n b c G u u u G u u u a d+ - - - + £ + . (2.19) Đặt 1 ( )b c q a d - + = + . Khi đó 1q < và bằng cách lặp lại áp dụng của (2.19), ta có 1 1 0 0 ( , , ) ( , , )n n n n G u u u q G u u u + £ .(2.20) Khi đó với mọi , ,n m n mÎ <¥ , bằng cách sử dụng liên tiếp bất đẳng thức (G5) và (2.20) ta được 1 1 1 2 2 ( , , ) G( , , ) G( , , ) m n n m m m m m m G u u u u u u u u u - - - - - £ + + 2 3 3 1 ( , , ) ... ( , , ) m m m n n n G u u u G u u u - - - + + + 1 2 0 1 1 0 1 1 ( ... ) ( , , ) ( , , ) 1 n m m n qq q q G u u u G u u u q - -£ + + + £ - . Do đó , lim ( , , ) 0 m n nn m G u u u ® ¥ = và { } n u là dãy G - Cauchy. Vì( , )E G là không gian đầy đủ, nên tồn tại u EÎ sao cho { } n u làG - hội tụ tới u . Lấy 1( )v S u-Î ,ta có 1 ( , , ) ( , , ) n n G u u u G Su Sv Sv + = 1 1 ( , , ) ( , , ) ( ) ( , , ) n n n n aG u v v bG u u u c d G v v u + + ³ + + + . Vì ( , , ) 0 n G u u u ® khin ® ¥ , nên ta có ( ) ( , , ) 0c d G v v u+ = và ( , , ) 0 n aG u v v ® khi n ® ¥ . Điều này là không thể xảy ra cho cả hai 0c d+ = và 0a = . Do đó 1. Nếu 0c d+ ¹ thì ( , , ) 0G v v u = , suy rau v= 2. Nếu 0a ¹ thì ( , , ) 0 n aG u v v ® khi n ® ¥ , suy ra n u v® . Do đó trong cả hai trường hợp ta đều có u v= , nhưng Sv u= , nên Sv u v= = . Vậy v là điểm bất động của S . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN Nếu 1a < thì điểm bất động của S là không duy nhất, vì ánh xạ đồng nhất thỏa mãn điều kiện (2.18). Tuy nhiên nếu 1a > thì điểm bất động là duy nhất. Hệ quả 2.1.12.Cho ( , )E G là không gian G - metric đầy đủ và :S E E® là toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọi , , wu v EÎ ( , , w) ( , , w) { ( , , ) ( , , ) (w, w, w)} G Su Sv S G u v G u u Su G v v Sv G S a b³ + + + (2.21) với 1 2 3 1,a b b+ > < . Khi đó S có điểm bất động. Chứng minh. Trong Định lí 2.1.11, nếu a a= và b c d b= = = , thì điều kiện (2.18) trở thành điều kiện (2.21), do đó theo Định lí 2.1.11, S có điểm bất động. Định lí 2.1.13.Cho ( , )E G là không gian G - metric đầy đủ và :S E E® là toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọi , , wu v EÎ ( , w, w), ( , w, w), (w, , ) ( , , w) min ( , , ), (w, , ), ( , , ) G u G v G v v G Su Sv S G u v v G u u G v u u a ì üï ïï ï³ í ý ï ïï ïî þ (2.22) với 2a > . Khi đó S có điểm bất động duy nhất. Chứng minh. Như trong Định lí 2.1.11, tồn tại một dãy { } n u với 1n n u u - ¹ và 1n n Su x - = . Khi đó theo (2.22) ta có 1 1 1 ( , , ) ( , , ) n n n n n n G u u u G Su Su Su - - + = 1 1 1 1 1 1 ( , , ), ( , , ) min ( , , ), ( , , ) ( , , ), ( , , ) n n n n n n n n n n n n n n n n n n G u u u G u u u G u u u G u u u G u u u G u u u a + + + + + + ì üï ïï ïï ïï ï³ í ý ï ïï ïï ïï ïî þ (2.23) Từ tính chất G - metric ta có 1 1 1 ( , , ) 2 ( , , ) n n n n n n G u u u G u u u + + + £ , do đó (2.23) trở thành 1 1 1 1 1 1 ( , , ) min { ( , , ), ( , , )} ( , , ). 2 n n n n n n n n n n n n G u u u G u u u G u u u G u u u a a - - + + + + ³ ³ Suy ra 1 1 1 2 ( , , ) ( , , ) n n n n n n G u u u G u u u a+ - - £ . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN Đặt 2 q a = , khi đó 1q < . Bằng cách tương tự trong chứng minh Định lí 2.1.11, ta thấy rằng dãy { } n u là G - Cauchy và do tính đầy đủ của ( , )E G , dãy { } n u là G - hội tụ tới u EÎ . Vì S là G - liên tục, nên 1n n Su u Su - = ® khi n ® ¥ . Do đó Su u= . Vậyu là điểm bất động của S . Để chứng minh tính duy nhất, ta giả sử cóv u¹ sao cho Sv v= , khi đó (2.22) kéo theo ( , , ) min { ( , , ), ( , , )},G u v v G u v v G v u ua³ do đó ( , , ) ( , , )G u v v G v u ua³ bằng cách tương tự ta được ( , , ) ( , , ),G v u u G u v va³ suy ra 2( , , ) ( , , )G u v v G u v va³ . Từ đó u v= vì 2a > .W Định lí 2.1.14. Cho ( , )E G là không gian G - metric đầy đủ và :S E E® là toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọiu EÎ 2 3 2( , , ) ( , , )G Su S u S u G u Su S ua³ với 1a > . (2.24) Khi đó S có một điểm bất động. Chứng minh. Tương tự như trongĐịnh lí 2.1.11, tồn tại một dãy { } n u với 1n n u u - ¹ và 1n n Su u - = . Khi đó (2.24) trở thành 2 3 1 2 3 2 1 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) n n n n n n n n n n n n G u u u G Su S u S u G u Su S u G u u ua a - - - - - = ³ = ,(2.25) do đó 1 2 1 2 3 1 ( , , ) ( , , ) n n n n n n G u u u G u u u a- - - - - £ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN Đặt 1 q a = , thì 1q < . Bằng cách tương tự trong chứng minh của Định lí 2.1.11, suy ra { } n u là dãy G - Cauchy và do tính đầy đủcủa ( , )E G , suy ra dãy { } n u là G - hội tụ tới u EÎ . VìS là G - liên tục, nên 1n n Su u Su - = ® khi n ® ¥ . Do đó Su u= .Vậy u là điểm bất động của S . Định lí 2.1.15.Cho ( , )E G là không gian G - metric đầy đủvà :S E E® là toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọi , , wu v EÎ ( , , w) max { ( , , ), ( , , ), (w, w, w)}G Su Sv S G u Su Su G v Sv Sv G S Sa³ với 1a > . (2.26) Khi đó S có một điểm bất động. Chứng minh. Như trong Định lí 2.1.11, tồn tại một dãy { } n u với 1n n u u - ¹ và 1n n Su u - = . Khi đó (2.26) trở thành 1 1 1 ( , , ) ( , , ) n n n n n n G u u u G Su Su Su - - + = 1 1 1 1 1 max{ ( , , ), ( , , ), ( , , )} n n n n n n n n n G u u u G u u u G u u ua + - - - - ³ 1 ( , , ) n n n G u u ua + = , (2.27) suy ra 1 1 1 1 ( , , ) ( , , ) n n n n n n G u u u G u u u a+ - - £ Đặt 1 q a = , thì 1q < . Tương tự trong chứng minh của Định lí 2.1.11, ta thấy rằng dãy { } n u là G - Cauchy và do tính đầy đủ của ( , )E G , dãy { } n u là G - hội tụ tới u EÎ . Đặt 1( )v S u-Î , từ (2.26) ta có, 1 1 ( , , ) ( , , ) max{ ( , , ), ( , , )} n n n n n G u u u G Su Sv Sv G u u u G v Sv Sva + + = ³ 1 max{ ( , , ), ( , , )} n n n G u u u G v u ua + = . Vì ( , , ) 0 n G u u u ® khi n ® ¥ , nên ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN ( , , ) 0G y u ua = và 1 ( , , ) 0 n n n G u u ua + ® khi n ® ¥ . Do đó, ( , , ) 0G v u u = , suy rau v= . Nhưng Sv u= , nênSv u v= = . Vậyv là điểm bất động của S . 2.2.Điểm bất động chung đối với các ánh xạ giãn trong không gian G- metric Định nghĩa 2.2.1. Cặp( , )R S các tự ánh xạ trên không gian G - metric ( , )E G gọi là nửa tương thích nếu lim ( , , ) 0 n n G RSu Su a ® ¥ = với mọi a EÎ và { } n u EÌ sao cho lim lim n n n n Ru Su u ® ¥ ® ¥ = = . Điều này nghĩa là nếu lim lim n n n n Ru Su u ® ¥ ® ¥ = = thì lim n n RSu Su ® ¥ = . Định lý 2.2.2.Cho ( , )E G không gian G - metric đầy đủ, , :R S E E® là các ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau: ( )a ( ) ( )R E S EÌ ( )b ( , , ) ( , , )G Ru Rv Rv aG Sv Sv Su³ { }min ( , , ), ( , , )b G Su Rv Rv G Su Rv Rv+ với mọi ,u v EÎ và 1, 2, 1a b a b> > + > ( )c R hoặc S liên tục. ( )d Cặp ( , )R S là nửa tương thích. Khi đó R và S có điểm bất động chung duy nhất trongE . Chứng minh. Lấy 0 u EÎ tùy ý. Vì ( ) ( )R E S EÌ nên tồn tại 1 u sao cho 1 0 0 Ru Su v= = . Bằng quy nạp, ta có thể xác định dãy 1n n n Ru Su v + = = . Sử dụng (b) với 1 , n n u u v u + = = , ta có đánh giá sau 1 1 1 1 ( , , ) ( , , ) n n n n n n G Ru Ru Ru a Su Su Su + + + + ³ + { }1 1 1 1min ( , , ), ( , , )n n n n n nb G Su Ru Ru G Su Ru Su+ + + ++ , suy ra Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN 1 1 1 ( , , ) ( , , ) n n n n n n G v v v aG v v v - + + ³ + { }1min ( , , ), ( , , )n n n n n nb G v v v G v v v ++ . Do đó 1 1 1 ( , , ) ( , , ) n n n n n n G v v v aG v v v - + + ³ . Suy ra 1 1 1 ( , , ) ( , , ) n n n n n n G v v v G v v v a+ - £ Đặt 1 p a = ,ta có 1 1 ( , , ) ( , , ) n n n n n n G v v v pG v v v + - £ (2.28) Tương tự ta nhận được 1 2 1 1 ( , , ) ( , , ) n n n n n n G v v v pG v v v - - - - £ . Kết hợp với (2.28) ta được 2 1 1 2 1 1 ( , , ) ( , , ) n n n n n n G v v v p G v v v + + - - - £ . Bằng quy nạp ta có 1 1 0 1 1 ( , , ) ( , , )n n n n G v v v p G v v v + + £ . Ta sẽ chứng minh dãy { } n v là dãy Cauchy Sử dụng (G5), với n m> ta có 1 1 1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) m n n m m m m n n G v v v G v v v G v v v + + + £ + 1 1 1 2 2 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) m m m m m m m n n G v v v G v v v G v v v + + + + + + £ + + . 1 1 1 2 2 1 ( , , ) ( , , ) ... ( , , ) ( , , ) m m m m m m n n n n n n G v v v G v v v G v v v G v v v + + + + + - £ + + + + 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 ( , , ) ( , , ) ... ( , , )m m np G v v v p G v v v p G v v v+ -£ + + + . Vì m n< , nên đặt n m k= + thì ta có 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ... ( , , )m m m k m n n G v v v p G v v v p G v v v p G v v v+ + -£ + + + 2 1 0 1 1 (1 ... ) ( , , )m kp p p p G v v v-£ + + + + Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN 0 1 1 1 ( , , ) 1 k m pp G v v v p æ ö- ÷ç ÷ç£ ÷ç ÷-ç ÷è ø 0 1 1 1 ( , , ) 1 mp G v v v p æ ö ÷ç ÷£ ç ÷ç ÷-è ø . Vì 1p < nên ( ), , 0m n nG v v v ® khi n ® ¥ . Do đó { }nv là dãy Cauchy. Vì ( , )E G là không gian đầy đủ, nên lim w n v S= . Khi đó có thể viết 1 lim w n Su + = , và lim w n Su = . Trường hợp 1.R là ánh xạ liên tục. Vì lim lim w n n Su Ru= = , nên lim w n RRu R= và lim w n RSu R= . Vì ( , )R S là nửa tương thích và lim w n Su = , nên lim w n SRu R= Sử dụng ( )b với , n n u u v Ru= = , ta có 1 1 1 ( , , ) ( , , ) n n n n n n G Ru RRu RRu a SRu SRu Su + + + ³ + { }min ( , , ), ( , , )n n n n n nb G Su RRu RRu G Su RRu SRu+ Cho n ® ¥ , ta được { }( , , ) ( w, w, w) min (w, w, w), (w, w, w)G z Fz Fz aG R R b G R R G R R³ + ( ) ( w, w, w)a b G R R³ + . Suy ra ( w, w, w)( 1) 0G R R a b+ - £ . Vì 1a b+ > , nên ( w, w, w) 0G R R £ . Suy ra w wR = . Sử dụng ( )b với , w n u u v= = ta có { }( , w, w) ( w, w, w) min ( , w, w), ( , w, w)n n nG Ru R R a S S b G Su R R G Su R S³ + . Cho n ® ¥ , ta được { }(w,w, w) ( w, w, w) min (w, w, w), (w, w, w)G aG S S b G G S³ + , suy ra 0 ( w, w, w)aG S S³ . Vì 0a > nên ( w, w, w) 0G S S £ , suy ra w wS = . Do đó w w wR S= = . Vậy w là điểm bất động chung của S và R . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN Trường hợp 2.S là ánh xạ liên tục. Vì lim lim w n n Su Ru= = ,nên lim w n SSu S= và lim w n SRu S= . Vì ( , )R S là nửa tương thích và lim w n Ru = , nên lim w n RSu S= . Sử dụng ( )b với , n n u u v Su= = , ta có ( ) ( ), , , ,n n n n n nG Ru RSu RSu aG SSu SSu Su³ + ( ) ( ){ }min , , , , ,n n n n n nb G Su RSu RSu G Su RSu SSu+ . Cho n ® ¥ , ta được ( ) ( ) ( ) ( ){ }w, w, w w, w, w min w, w, w , w, w, wG S S aG S S b G S S G S S³ + ( ) (w, w, w)a b G S S³ + . Suy ra (w, w, w)( 1) 0G S S a b+ - £ . Vì( 1) 0a b+ - > , nên ( )w, w, w 0G S S £ . Do đó w wS = . Lại sử dụng ( )b với , w n u u v= = , ta có { }( , w, w) ( w, w, ) min ( , w, w), ( , w, w)n n n nG Ru R R aG S S Su b G Su R R G Su R R³ + Cho n ® ¥ ta được { }(w, w, w) (w, w, w) min (w, w, w), (w, w, w)G R R aG b G R R G R³ + { }(w, w, w) min (w, w, w), ( w, w, w)G R R b G R R G R³ Theo Mệnh đề 1.2.3, ta có (w, w, w) 2 (w, w, w)G R R G R£ , suy ra 1 (w, w, w) (w, w, w) 2 G R G R R³ . Khi đó 1 (w, w, w) min (w, w, w), (w, w, w) 2 G R b G R R G R R ì üï ïï ï³ í ý ï ïï ïî þ . Do đó Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN (w, w, w) (w, w, w) 2 b G R R G R R³ . Suy ra (w, w, w)( 2) 0G R R b - £ Vì 2b > nên (w, w, w) 0G R R £ , suy ra w wR = . Vậy w w wR S= = . Tính duy nhất. Giả sử u là điểm bất động khác của R và S . Khi đó Ru Su u= = . Sử dụng (b) với w,u v u= = , ta có { }( w, , ) ( , , w) min ( w, , ), ( w, , )G R Ru Ru aG Su Su S b G S Ru Ru G S Ru Ru³ + . Thay Ru Su u= = vào bất đẳng thức trên ta được { }(w, , ) ( , , w) min (w, , ), (w, , )G u u aG u u b G u u G u u³ + ( , , w) (w, , )aG u u bG u u³ + . Do đó (w, , )( 1) 0G u u a b+ - £ . Vì ( 1) 0a b+ - > nên ( , , w) 0G u u £ . Suy ra wu = . Vậyw là điểm bất động chung duy nhất của R và S . Định lý 2.2.3.Cho ( , )E G không gian G - metric đầy đủ, , :R S E E® là các ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau: ( )a ( ) ( )R E S EÌ ( )b ( w, , ) ( , , ) ( , , )G R Sv Sv aG Sv Sv Rv bG Ru Su Su³ + + { }min ( , , ), ( , , )c G Su Rv Rv G Su Rv Sv+ với mọi 1, 0 1, 1a b a b> và với mọi 1, 2c a c> + > . ( )c R hoặc S là liên tục. ( )d Cặp ( , )R S là nửa tương thích. Khi đó R và S có điểm bất động chung duy nhất trongE . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN Chứng minh. Lấy 0 u EÎ tùy ý . Vì ( ) ( )R E S EÌ , nên tồn tại 1 u sao cho 1 0 0 Ru Su v= = . Bằng quy nạp có thể xác định dãy 1n n n Ru Su v + = = . Sử dụng (b) với 1 , n n u u v u + = = , ta có 1 1 1 1 1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) n n n n n n n n n G Ru Ru Ru aG Su Su Ru bG Fx Tx Tx + + + + + ³ + { }1 1 1 1min ( , , ), ( , , )n n n n n nc G Su Ru Ru G Su Ru Su+ + + ++ 1 1 1 1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) n n n n n n n n n G v v v aG v v v bG v v v - + + - ³ + + { }1min ( , , ), ( , , )n n n n n nc G v v v G v v v ++ 1 1 1 ( , , ) ( , , ) n n n n n n aG v v v bG v v v + + - ³ + . Do đó 1 1 1 ( , , )(1 ) ( , , ) n n n n n n G v v v b aG v v v - + + - ³ . Suy ra 1 1 1 1 ( , , ) ( , , ) n n n n n n b G v v v G v v v a+ + - - £ . Vì 1a b+ > , nên 1 1 b a - < . Đặt 1 b q a - = , ta được 1 1 1 ( , , ) ( , , ) n n n n n n G v v v qG v v v + + - £ . (2.29) Tương tự ta có 1 2 1 1 ( , , ) ( , , ) n n n n n n G v v v qG v v v - - - - £ . Do đó kết hợp với (2.29) suy ra 2 1 1 2 1 1 ( , , ) ( , , ) n n n n n n G v v v q G v v v + + - - - £ Bằng quy nạp, ta được 1 1 0 1 1 ( , , ) ( , , )n n n n G v v v q G v v v + + £ (2.30) Theo Định lý 2.2.2, { } n v là dãy Cauchy. Vì ( , )E G là không gian đầy đủ nên lim w n v = . Khi đó ta có 1 lim w, lim w n n Ru Su + = = . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN Trường hợp 1. R là ánh xạ liên tục. Vì lim lim w n n Ru u= = , nên lim ) w n RRu R= và lim w n RSu R= . Vì ( , )R S là nửa tương thích và lim w n Su = , nên lim w n SRu R= . Bây giờ sử dụng (b) với 1 , n n u Ru v u + = = , ta có 1 1 ( , , ) n n n G RRu Ru Ru + + ³ 1 1 1 ( , , ) ( , , ) n n n n n n aG Su Su Ru bG RRu SRu SRu + + + + { }1 1 1 1min ( , , ), ( , , )n n n n n nc G SRu Ru Ru G SRu Ru Su+ + + ++ . Cho n ® ¥ , ta được ( w, w, w) (w, w, w) ( w, w, w)G R aG bG R R R³ + { }min ( w, w, w), ( w, w, w) ( w, w, w)c G R G R cG R+ ³ . Do đó ( w, w, w)(1 ) 0G R c- ³ . Vì 1c > nên 1 0c- £ , suy ra ( w, w, w) 0G R £ . Do đó w wR = . Bây giờ sử dụng (b) với , w n u u v= = ta có ( , w, w) ( w, w, w) ( , , ) n n n n G Ru R R aG S S S bG Ru Su Su³ + { }min ( , w, w), ( , w, w)n nc G Su R R G Su R S+ . Cho n ® ¥ , ta đ