TRANG BÌA PHỤ i
LỜI CAM ĐOAN ii
LỜI CẢM ƠN iii
MỤC LỤC iv
MỞ ĐẦU 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ KHÔNG GIAN G - METRIC 3
1.1. Không gian G - Metric 3
1.2. Một số tính chất cơ sở của không gian G - metric 4
1.3. Sự hội tụ và ánh xạ liên tục trong không gian G - metric 7
Chương 2. ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ GIÃN
TRONG KHÔNG GIAN G - METRIC 10
2.1. Điểm bất động đối với ánh xạ giãn trong không gian G-metric 10
2.2. Điểm bất động chung đối với các ánh xạ giãn trong không gian
G-metric 19
KẾT LUẬN 34
TÀI LIỆU THAM KHẢO 35
41 trang |
Chia sẻ: honganh20 | Ngày: 26/02/2022 | Lượt xem: 375 | Lượt tải: 1
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Định lí điểm bất động đối với ánh xạ giãn trong không gian G - Metric, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
=
, ,
( ) lim ( , , ) 0.
n m mn m m n
c G u u u
® ¥ ³
=
, ,
( ) lim ( , , ) 0.
n m mn m m n
d G u u u
® ¥ >
=
,
( ) lim ( , , ) 0.
n n mn m
e G u u u
® ¥
=
, ,
( ) lim ( , , ) 0.
n n mn m m n
f G u u u
® ¥ ³
=
, ,
( ) lim ( , , ) 0.
n n mn m m n
g G u u u
® ¥ >
=
1 1
( ) lim ( , , ) 0
n n nn
h G u u u
+ +® ¥
= và
1, ,
lim ( , , ) 0
n n mn m m n
G u u u
+® ¥ >
= .
Định nghĩa 1.3.7. Một không gian G - metric ( , )E G được gọi là G - đầy đủ
(hay không gian G - metric đầy đủ) nếu mỗi dãy G - Cauchy trong( , )E G đều
G - hội tụ trong ( , )E G .
Định nghĩa 1.3.8. Cho ( , )E G và ( , )E G¢ ¢ là các không gian G - metric và ánh
xạ :f E E ¢® . Khi đó f được gọi là G - liên tục tại một điểm a EÎ
nếu với 0e > tùy ý, tồn tại 0d > sao cho ,u v EÎ ; ( , , )G a u v d< kéo theo
( ( ), ( ), ( )) .G f a f u f v e¢ < Hàm f là G - liên tục trên E khi và chỉ khi nó là
G - liên tục tại mọi a EÎ .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN
Mệnh đề 1.3.9. Cho ( , )E G và ( , )E G¢ ¢ là các không gian G - metric. Ánh xạ
:f E E ¢® được gọi là G - liên tục tại một điểm u EÎ khi và chỉ khi nó là
G - liên tục theo dãy tại u ; nghĩa là, khi { }
n
u là G - hội tụ đến u thì ( ( ))
n
f u
là G - hội tụ đến ( )f u .
Định lý 1.3.10. Nếu ( , )E G là không gian G - metric thì hàm ( , , w)G u v liên
tục theo cả ba biến của nó, nghĩa là, nếu , , wu v EÎ và { },{ },{ }
n n n
u v w EÍ
sao cho
m
u u® ,
m
v v® và w w
m
® thì { ( , , w )} ( , , w)
m m m
G u v G u v® .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN
CHƯƠNG 2
ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ GIÃN
TRONG KHÔNG GIAN G-METRIC
2.1. Điểm bất động đối với ánh xạ giãn trong không gian G-metric
Định nghĩa 2.1.1. Cho ( , )E G là không gian G - metric và :S E E® . S gọi
là ánh xạ giãn nếu 1a$ > sao cho với mọi , , wu v EÎ , ta có
( , , w) ( , , w)G Su Sv S G u va³ .
Ví dụ 2.1.2. Cho : ( , ) ( , )S G G®¡ ¡ là ánh xạ được xác định bởi
5 3
( )
5 2 3
u khi u
S u
u khi u
ìï £ï= í
ï + >ïî
và ( , , w) max{| |,| w |,| w |}G u v u v v u= - - - . Khi đó ( , )G¡ là không
gian G - metric và S là ánh xạ giãn.
Định lí 2.1.3.Cho ( , )E G là không gian G - metric đầy đủ. Giả sử tồn tại một
hằng số 1a > và :S E E® là toàn ánh, sao cho với mọi , , wu v EÎ
( , , w) ( , , w)G Su Sv S G u va³ (2.1).
Khi đóS có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh.Theo giả thiết, nếu Su Sv= , thì 0 ( , , ) ( , , )G Su Sv Sv G u v va= ³
,suy ra ( , , ) 0G u v v = , do đó u v= . Vì vậy, S là đơn ánh và khả nghịch.
Giả sử h là ánh xạ nghịch đảo của S . Khi đó
( , , w) ( ( ), ( ), ( w)) ( , , w)G u v G S hu S hv S h G hu hv ha= ³ .
Do đó, với , , wu v E" Î , ta có ( , , w) ( , , w)G hu hv h kG u v£ , ở đó 1 /k a= .
Áp dụng Định lí 1.1[6], ! ; ( )u E h u u$ Î = . Nhưng, ( ( )) ( )u S h u S u= = . Do
đóu là điểm bất động của S .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN
Giả sử, tồn tại v u¹ sao cho Sv v= , khi đó ta có
( ( )) ( )Sv v S h v h Sv= = = ,
vì vậy Sv là điểm bất động của h . Do tính duy nhất nên u Sv v= = . Vậyu là
điểm bất động duy nhất của S .
Định lí 2.1.4.Giả sử( , )E G là không gian G - metric đầy đủ và 1a$ > và
:S E E® là toàn ánh, sao cho với mọi ,u v EÎ
( , , ) ( , , )G Su Sv Sv G u v va³ . (2.2)
Khi đó S có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh.Theo giả thiết,nếu Su Sv= , thì 0 ( , , ) ( , , )G Su Sv Sv G u v va= ³ ,
suy ra ( , , ) 0G u v v = , do đó u v= , suy raS là đơn ánh, nên là song ánh, do đó
S là khả nghịch. Giả sửh là ánh xạ nghịch đảo của S . Khi đó
( , , ) ( ( ), ( ), ( )) ( , , )G u v v G S hu S hv S hv G hu hv hva= ³ .
Như vậy với mỗi ,u v EÎ ta có ( , , ) ( , , )G hu hv hv kG u v v£ , ở đó 1 /k a= .
Áp dụng Định lí 1.2[6] đối với ánh xạ nghịch đảo h , và dùng phương pháp
tương tự trong chứng minh của Định lí 2.1.3, ta kết luận S có điểm bất động
duy nhất.
Hệ quả 2.1.5.Cho ( , )E G là không gian G - metric đầy đủ. Nếu tồn tại 1a >
và :S E E® là toàn ánh, sao cho với mọi , , wu v EÎ
( , , w) { ( , w, w) ( , w, w)}G Su Sv S G u G va³ + , (2.3)
thì S có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh.Kết quả suy ra từ Định lí 2.1.4, bằng cách lấyw v= trong (2.3).
Định lí 2.1.6.Cho ( , )E G là không gian G - metric đầy đủ, và :S E E® toàn
ánh thỏa mãn điều kiện sau đây với mọi , , wu v EÎ
( , , ) ( , , )
( , , w) max ( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
G u w w G v w w
G Su Sv S G w v v G u v v
G w u u G v u u
a
ì üï ï+ï ïï ïï ï³ +í ý
ï ïï ï+ï ïï ïî þ
(2.4)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN
trong đó 1a > . Khi đó S có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh.Từ điều kiện (2.4) suy raS là đơn ánh và khả nghịch. Giả sử h là
ánh xạ nghịch đảo của S . Theo điều kiện (2.4) , , wu v E" Î , ta có
( , , w) ( ( ), ( ), ( w))G u v G S hu S hv S h=
( , w, w) ( , w, w)
max ( w, , ) ( , , )
( w, , ) ( , , )
G hu h h G hv h h
G h hv hv G hu hv hv
G h hu hu G hv hu hu
a
ì üï ï+ï ïï ïï ï³ +í ý
ï ïï ï+ï ïï ïî þ
(2.5)
Nhưng, theo (G5) ta có
( , w, w) ( , w, w)
max ( w, , ) ( , , ) ( , , w)
( w, , ) ( , , )
G hu h h G hv h h
G h hv hv G hu hv hv G hu hv h
G h hu hv G hv hu hu
ì üï ï+ï ïï ïï ï+ ³í ý
ï ïï ï+ï ïï ïî þ
. (2.6)
Do đó, (2.5) kéo theo
( , , w) ( , , w)G hu hv h aG u v£ , trong đó 1 /a a= . (2.7)
Áp dụng Định lí 1.1[6] đối với điều kiện (2.7), !u E$ Î sao cho ( )h u u= .
Nhưng ( ( )) ( )u S h u S u= = , điều này chứng tỏu là điểm bất động của S .
Để chứng minh u duy nhất, ta sử dụng chứng minh tương tự trong Định lí 2.1.3.
Định lí 2.1.7.Cho ( , )E G là không gian G - metric đầy đủ không đối xứng và
:S E E® là toàn ánh thỏa mãnđiều kiện sau với mọi , , wu v EÎ
( , , ) ( , , )
( , , w) max ( , w, w) (w, , )
(w, , ) ( , w, w)
G u v v G v u u
G Su Sv S G u G u u
G v v G v
a
ì üï ï+ï ïï ïï ï³ +í ý
ï ïï ï+ï ïï ïî þ
, (2.8)
trong đó 2
3
a > . Khi đóS có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh.Giả sử S thỏa mãn điều kiện (2.8).Khi đó S là đơn ánh và khả
nghịch. Trong điều kiện (2.8), lấyw v= . Khi đó với mọi , , wu v EÎ , ta có
( , , ) { ( , , ) ( , , )}G Su Sv Sv G u v v G v u ua³ + ,(2.9)
từ (G5) suy ra
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 2 ( , , )G u v v G v v u G v u u G u v u G v u u= £ + = .
Do đó
1
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
2
G u v v G u v v G v u u G u v v+ £ + ,
suy ra
3
( , , ) ( , , ) ( , , )
2
G u v v G v u u G u v v£ + . (2.10)
Kết hợp (2.9) và (2.10) ta nhận được
3
( , , ) ( , , )
2
G Su Sv Sv G u v v
a
³ .(2.11)
Gọih là ánh xạ nghịch đảo của S .Khi đó áp dụng (2.11) ta được
3
( , , ) ( ( ), ( ), ( )) ( , , )
2
G u v v G S hu S hv S hv G hu hv hv
a
= ³ (2.12)
với mọi ,u v EÎ . Vì
2
3
a > nên ta có ( , , ) ( , , )G hu hv hv G u v vb£ (2.13)
với
2
3
b
a
= và 1b < .Khi đó, theo Định lí 1.2[6], !u E$ Î sao cho ( )h u u=
, nhưng ( ( )) ( )u S h u S u= = , chứng tỏ rằng u là điểm bất động của S .
Để chứng minh tính duy nhất, giả sử v u¹ sao cho ( )S v v= , từ (2.8) ta có
3
( , , ) ( , , ) { ( , , ) ( , , )} ( , , )
2
G u v v G Su Sv Sv G u v v G v u u G u v v
a
a= ³ + ³ .
Nhưng
3
1
2
a
> , nên ( , , ) ( , , )G u v v G u v v> . Mâu thuẫn này suy rau v= .
Định lí 2.1.8.Cho ( , )E G là không gian G - metric đầy đủ không đối xứng và
:S E E® là toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọi , , wu v EÎ
( , , ) { ( , , ), ( , , )}G Su Sv Sv max G u v v G v u ua³ với 1k > . (2.14)
Khi đó S có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh.Vì { ( , , ), ( , , )} ( , , )max G u v v G v u u G u v v³ , nên theo (2.14), ta có
( , , ) ( , , )G Su Sv Sv G u v va³ ,với mọi , , wu v EÎ .(2.15)
Theo Định lí 2.1.4, S có điểm bất động duy nhất.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN
Hệ quả 2.1.9.Cho ( , )E G là không gianG - metricđầy đủ không đối xứng và
:S E E® là toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọi , , wu v EÎ
( , , ), ( , , )
( , , w) max ( , w, w), (w, , )
(w, , ), ( , w, w)
G u v v G v u u
G Su Sv S G u G u u
G v v G v
a
ì üï ïï ïï ïï ï³ í ý
ï ïï ïï ïï ïî þ
(2.16)
với 1a > . Khi đó S có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh.Suy ra từ Định lí 2.1.8 bằng cách lấy w v= .
Hệ quả 2.1.10.Cho ( , )E G là không gian G - metric đầy đủ và :S E E® là
toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọi , , wu v EÎ
( , , ) { ( , , ) ( , , w)}G Su Sv Sv G u Su Su G Su va³ + với 1a > . (2.17)
Khi đóS có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh. Theo (G5), ta có
( , , ) ( , , w) ( , , w)G u Su Su G Su v G u v+ ³ .
Khi đó điều kiện (2.17) trở thành
( , , w) ( , , w)G Su Sv S G u va³ , với mọi , , wu v EÎ
và kết luận được suy ra từ Định lí 2.1.3.
Định lí 2.1.11.Cho ( , )E G là không gian G - metric đầy đủ và :S E E® là
toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọi , , wu v EÎ
( , , w) ( , , w) ( , , ) ( , , ) (w, w,Sw)G Su Sv S aG u v bG u u Su cG v v Sv dG³ + + + ,
trong đó 1a b c d+ + + > và 1b c+ < .(2.18)
Khi đó S có một điểm bất động.
Chứng minh .Lấy
0
u EÎ , vì S là toàn ánh nên tồn tại
1
u
sao cho
1
1 0
( )u S u-Î
. Lập luận tương tự ta có thể lấy
1
1
( ),
n n
u S u-
-
Î ( 2, 3, 4,...)n = . Nếu
1m m
u u
-
= với m nào đó, thì
m
u là điểm bất động của S . Giả sử
1n n
u u
-
¹ với
mỗi n , khi đó từ (2.18) ta có
1 1 1
1 1 1 1
( , , ) ( , , )
( , , ) ( ) ( , , ) ( , , ).
n n n n n n
n n n n n n n n n
G u u u G Su Su Su
aG u u u b c G u u u dG u u u
- - +
+ - - +
=
³ + + +
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN
Do đó
1 1 1
(1 ( )) ( , , ) ( ) ( , , )
n n n n n n
b c G u u u a d G u u u
- - +
- + ³ + ,
suy ra
1 1 1
1 ( )
( , , ) ( , , )
n n n n n n
b c
G u u u G u u u
a d+ - -
- +
£
+
. (2.19)
Đặt
1 ( )b c
q
a d
- +
=
+
. Khi đó 1q < và bằng cách lặp lại áp dụng của (2.19), ta
có
1 1 0 0
( , , ) ( , , )n
n n n
G u u u q G u u u
+
£ .(2.20)
Khi đó với mọi , ,n m n mÎ <¥ , bằng cách sử dụng liên tiếp bất đẳng thức
(G5) và (2.20) ta được
1 1 1 2 2
( , , ) G( , , ) G( , , )
m n n m m m m m m
G u u u u u u u u u
- - - - -
£ + +
2 3 3 1
( , , ) ... ( , , )
m m m n n n
G u u u G u u u
- - - +
+ +
1 2
0 1 1 0 1 1
( ... ) ( , , ) ( , , )
1
n
m m n qq q q G u u u G u u u
q
- -£ + + + £
-
.
Do đó
,
lim ( , , ) 0
m n nn m
G u u u
® ¥
= và { }
n
u là dãy G - Cauchy. Vì( , )E G là không
gian đầy đủ, nên tồn tại u EÎ sao cho { }
n
u làG - hội tụ tới u .
Lấy 1( )v S u-Î ,ta có
1
( , , ) ( , , )
n n
G u u u G Su Sv Sv
+
=
1 1
( , , ) ( , , ) ( ) ( , , )
n n n n
aG u v v bG u u u c d G v v u
+ +
³ + + + .
Vì ( , , ) 0
n
G u u u ® khin ® ¥ , nên ta có
( ) ( , , ) 0c d G v v u+ = và ( , , ) 0
n
aG u v v ® khi n ® ¥ .
Điều này là không thể xảy ra cho cả hai 0c d+ = và 0a = . Do đó
1. Nếu 0c d+ ¹ thì ( , , ) 0G v v u = , suy rau v=
2. Nếu 0a ¹ thì ( , , ) 0
n
aG u v v ® khi n ® ¥ , suy ra
n
u v® .
Do đó trong cả hai trường hợp ta đều có u v= , nhưng Sv u= , nên
Sv u v= = . Vậy v là điểm bất động của S .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN
Nếu 1a < thì điểm bất động của S là không duy nhất, vì ánh xạ đồng nhất
thỏa mãn điều kiện (2.18). Tuy nhiên nếu 1a > thì điểm bất động là duy nhất.
Hệ quả 2.1.12.Cho ( , )E G là không gian G - metric đầy đủ và :S E E® là
toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọi , , wu v EÎ
( , , w) ( , , w) { ( , , )
( , , ) (w, w, w)}
G Su Sv S G u v G u u Su
G v v Sv G S
a b³ +
+ + (2.21)
với 1
2
3 1,a b b+ > < . Khi đó S có điểm bất động.
Chứng minh. Trong Định lí 2.1.11, nếu a a= và b c d b= = = , thì điều kiện
(2.18) trở thành điều kiện (2.21), do đó theo Định lí 2.1.11, S có điểm bất động.
Định lí 2.1.13.Cho ( , )E G là không gian G - metric đầy đủ và :S E E® là
toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọi , , wu v EÎ
( , w, w), ( , w, w), (w, , )
( , , w) min
( , , ), (w, , ), ( , , )
G u G v G v v
G Su Sv S
G u v v G u u G v u u
a
ì üï ïï ï³ í ý
ï ïï ïî þ
(2.22)
với 2a > . Khi đó S có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh. Như trong Định lí 2.1.11, tồn tại một dãy { }
n
u với
1n n
u u
-
¹ và
1n n
Su x
-
= . Khi đó theo (2.22) ta có
1 1 1
( , , ) ( , , )
n n n n n n
G u u u G Su Su Su
- - +
=
1
1
1 1 1 1
( , , ), ( , , )
min ( , , ), ( , , )
( , , ), ( , , )
n n n n n n
n n n n n n
n n n n n n
G u u u G u u u
G u u u G u u u
G u u u G u u u
a
+
+
+ + + +
ì üï ïï ïï ïï ï³ í ý
ï ïï ïï ïï ïî þ
(2.23)
Từ tính chất G - metric ta có
1 1 1
( , , ) 2 ( , , )
n n n n n n
G u u u G u u u
+ + +
£ , do đó (2.23)
trở thành
1 1 1 1 1
1
( , , ) min { ( , , ), ( , , )}
( , , ).
2
n n n n n n n n n
n n n
G u u u G u u u G u u u
G u u u
a
a
- - + + +
+
³
³
Suy ra
1 1 1
2
( , , ) ( , , )
n n n n n n
G u u u G u u u
a+ - -
£ .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN
Đặt
2
q
a
= , khi đó 1q < . Bằng cách tương tự trong chứng minh Định lí 2.1.11,
ta thấy rằng dãy { }
n
u là G - Cauchy và do tính đầy đủ của ( , )E G , dãy { }
n
u là
G - hội tụ tới u EÎ . Vì S là G - liên tục, nên
1n n
Su u Su
-
= ® khi n ® ¥ .
Do đó Su u= . Vậyu là điểm bất động của S .
Để chứng minh tính duy nhất, ta giả sử cóv u¹ sao cho Sv v= , khi đó (2.22)
kéo theo
( , , ) min { ( , , ), ( , , )},G u v v G u v v G v u ua³
do đó
( , , ) ( , , )G u v v G v u ua³
bằng cách tương tự ta được
( , , ) ( , , ),G v u u G u v va³
suy ra
2( , , ) ( , , )G u v v G u v va³ .
Từ đó u v= vì 2a > .W
Định lí 2.1.14. Cho ( , )E G là không gian G - metric đầy đủ và :S E E® là
toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọiu EÎ
2 3 2( , , ) ( , , )G Su S u S u G u Su S ua³ với 1a > . (2.24)
Khi đó S có một điểm bất động.
Chứng minh. Tương tự như trongĐịnh lí 2.1.11, tồn tại một dãy { }
n
u với
1n n
u u
-
¹ và
1n n
Su u
-
= . Khi đó (2.24) trở thành
2 3
1 2 3
2
1 2
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
n n n n n n
n n n n n n
G u u u G Su S u S u
G u Su S u G u u ua a
- - -
- -
=
³ = ,(2.25)
do đó
1 2 1 2 3
1
( , , ) ( , , )
n n n n n n
G u u u G u u u
a- - - - -
£
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN
Đặt
1
q
a
= , thì 1q < . Bằng cách tương tự trong chứng minh của Định lí 2.1.11,
suy ra { }
n
u là dãy G - Cauchy và do tính đầy đủcủa ( , )E G , suy ra dãy { }
n
u là
G - hội tụ tới u EÎ .
VìS là G - liên tục, nên
1n n
Su u Su
-
= ® khi n ® ¥ . Do đó Su u= .Vậy
u là điểm bất động của S .
Định lí 2.1.15.Cho ( , )E G là không gian G - metric đầy đủvà :S E E® là
toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọi , , wu v EÎ
( , , w) max { ( , , ), ( , , ), (w, w, w)}G Su Sv S G u Su Su G v Sv Sv G S Sa³
với 1a > . (2.26)
Khi đó S có một điểm bất động.
Chứng minh. Như trong Định lí 2.1.11, tồn tại một dãy { }
n
u với
1n n
u u
-
¹ và
1n n
Su u
-
= . Khi đó (2.26) trở thành
1 1 1
( , , ) ( , , )
n n n n n n
G u u u G Su Su Su
- - +
=
1 1 1 1 1
max{ ( , , ), ( , , ), ( , , )}
n n n n n n n n n
G u u u G u u u G u u ua
+ - - - -
³
1
( , , )
n n n
G u u ua
+
= , (2.27)
suy ra
1 1 1
1
( , , ) ( , , )
n n n n n n
G u u u G u u u
a+ - -
£
Đặt
1
q
a
= , thì 1q < . Tương tự trong chứng minh của Định lí 2.1.11, ta thấy
rằng dãy { }
n
u là G - Cauchy và do tính đầy đủ của ( , )E G , dãy { }
n
u là G -
hội tụ tới u EÎ . Đặt 1( )v S u-Î , từ (2.26) ta có,
1 1
( , , ) ( , , ) max{ ( , , ), ( , , )}
n n n n n
G u u u G Su Sv Sv G u u u G v Sv Sva
+ +
= ³
1
max{ ( , , ), ( , , )}
n n n
G u u u G v u ua
+
= .
Vì ( , , ) 0
n
G u u u ® khi n ® ¥ , nên ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN
( , , ) 0G y u ua = và
1
( , , ) 0
n n n
G u u ua
+
® khi n ® ¥ .
Do đó, ( , , ) 0G v u u = , suy rau v= .
Nhưng Sv u= , nênSv u v= = . Vậyv là điểm bất động của S .
2.2.Điểm bất động chung đối với các ánh xạ giãn trong không gian G-
metric
Định nghĩa 2.2.1. Cặp( , )R S các tự ánh xạ trên không gian G - metric ( , )E G
gọi là nửa tương thích nếu lim ( , , ) 0
n
n
G RSu Su a
® ¥
=
với mọi a EÎ và { }
n
u EÌ
sao cho lim lim
n n
n n
Ru Su u
® ¥ ® ¥
= = .
Điều này nghĩa là nếu lim lim
n n
n n
Ru Su u
® ¥ ® ¥
= = thì lim
n
n
RSu Su
® ¥
= .
Định lý 2.2.2.Cho ( , )E G không gian G - metric đầy đủ, , :R S E E® là
các ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau:
( )a ( ) ( )R E S EÌ
( )b ( , , ) ( , , )G Ru Rv Rv aG Sv Sv Su³ { }min ( , , ), ( , , )b G Su Rv Rv G Su Rv Rv+
với mọi ,u v EÎ và 1, 2, 1a b a b> > + >
( )c R hoặc S liên tục.
( )d Cặp ( , )R S là nửa tương thích.
Khi đó R và S có điểm bất động chung duy nhất trongE .
Chứng minh. Lấy
0
u EÎ tùy ý. Vì ( ) ( )R E S EÌ nên tồn tại
1
u sao cho
1 0 0
Ru Su v= = . Bằng quy nạp, ta có thể xác định dãy
1n n n
Ru Su v
+
= = .
Sử dụng (b) với
1
,
n n
u u v u
+
= = , ta có đánh giá sau
1 1 1 1
( , , ) ( , , )
n n n n n n
G Ru Ru Ru a Su Su Su
+ + + +
³ +
{ }1 1 1 1min ( , , ), ( , , )n n n n n nb G Su Ru Ru G Su Ru Su+ + + ++ ,
suy ra
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN
1 1 1
( , , ) ( , , )
n n n n n n
G v v v aG v v v
- + +
³ +
{ }1min ( , , ), ( , , )n n n n n nb G v v v G v v v ++ .
Do đó
1 1 1
( , , ) ( , , )
n n n n n n
G v v v aG v v v
- + +
³ .
Suy ra
1 1
1
( , , ) ( , , )
n n n n n n
G v v v G v v v
a+ -
£
Đặt
1
p
a
= ,ta có
1 1
( , , ) ( , , )
n n n n n n
G v v v pG v v v
+ -
£ (2.28)
Tương tự ta nhận được
1 2 1 1
( , , ) ( , , )
n n n n n n
G v v v pG v v v
- - - -
£ .
Kết hợp với (2.28) ta được
2
1 1 2 1 1
( , , ) ( , , )
n n n n n n
G v v v p G v v v
+ + - - -
£ .
Bằng quy nạp ta có
1 1 0 1 1
( , , ) ( , , )n
n n n
G v v v p G v v v
+ +
£ .
Ta sẽ chứng minh dãy { }
n
v là dãy Cauchy
Sử dụng (G5), với n m> ta có
1 1 1
( , , ) ( , , ) ( , , )
m n n m m m m n n
G v v v G v v v G v v v
+ + +
£ +
1 1 1 2 2 2
( , , ) ( , , ) ( , , )
m m m m m m m n n
G v v v G v v v G v v v
+ + + + + +
£ + +
.
1 1 1 2 2
1
( , , ) ( , , )
... ( , , ) ( , , )
m m m m m m
n n n n n n
G v v v G v v v
G v v v G v v v
+ + + + +
-
£ + +
+ +
1 1
0 1 1 0 1 1 0 1 1
( , , ) ( , , ) ... ( , , )m m np G v v v p G v v v p G v v v+ -£ + + + .
Vì m n< , nên đặt n m k= + thì ta có
1 1
0 1 1 0 1 1 0 1 1
( , , ) ( , , ) ( , , ) ... ( , , )m m m k
m n n
G v v v p G v v v p G v v v p G v v v+ + -£ + + +
2 1
0 1 1
(1 ... ) ( , , )m kp p p p G v v v-£ + + + +
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN
0 1 1
1
( , , )
1
k
m pp G v v v
p
æ ö- ÷ç ÷ç£ ÷ç ÷-ç ÷è ø
0 1 1
1
( , , )
1
mp G v v v
p
æ ö
÷ç ÷£ ç ÷ç ÷-è ø
.
Vì 1p < nên ( ), , 0m n nG v v v ® khi n ® ¥ . Do đó { }nv là dãy Cauchy. Vì
( , )E G là không gian đầy đủ, nên lim w
n
v S= . Khi đó có thể viết
1
lim w
n
Su
+
= , và lim w
n
Su = .
Trường hợp 1.R là ánh xạ liên tục. Vì lim lim w
n n
Su Ru= = , nên
lim w
n
RRu R= và lim w
n
RSu R= .
Vì ( , )R S là nửa tương thích và lim w
n
Su = , nên lim w
n
SRu R=
Sử dụng ( )b với ,
n n
u u v Ru= = , ta có
1 1 1
( , , ) ( , , )
n n n n n n
G Ru RRu RRu a SRu SRu Su
+ + +
³ +
{ }min ( , , ), ( , , )n n n n n nb G Su RRu RRu G Su RRu SRu+
Cho n ® ¥ , ta được
{ }( , , ) ( w, w, w) min (w, w, w), (w, w, w)G z Fz Fz aG R R b G R R G R R³ +
( ) ( w, w, w)a b G R R³ + .
Suy ra
( w, w, w)( 1) 0G R R a b+ - £ .
Vì 1a b+ > , nên ( w, w, w) 0G R R £ . Suy ra w wR = .
Sử dụng ( )b với , w
n
u u v= = ta có
{ }( , w, w) ( w, w, w) min ( , w, w), ( , w, w)n n nG Ru R R a S S b G Su R R G Su R S³ +
.
Cho n ® ¥ , ta được
{ }(w,w, w) ( w, w, w) min (w, w, w), (w, w, w)G aG S S b G G S³ + ,
suy ra
0 ( w, w, w)aG S S³ .
Vì 0a > nên ( w, w, w) 0G S S £ , suy ra w wS = . Do đó w w wR S= = .
Vậy w là điểm bất động chung của S và R .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN
Trường hợp 2.S là ánh xạ liên tục. Vì lim lim w
n n
Su Ru= = ,nên
lim w
n
SSu S= và lim w
n
SRu S= .
Vì ( , )R S là nửa tương thích và lim w
n
Ru = , nên lim w
n
RSu S= .
Sử dụng ( )b với ,
n n
u u v Su= = , ta có
( ) ( ), , , ,n n n n n nG Ru RSu RSu aG SSu SSu Su³ +
( ) ( ){ }min , , , , ,n n n n n nb G Su RSu RSu G Su RSu SSu+ .
Cho n ® ¥ , ta được
( ) ( ) ( ) ( ){ }w, w, w w, w, w min w, w, w , w, w, wG S S aG S S b G S S G S S³ +
( ) (w, w, w)a b G S S³ + .
Suy ra
(w, w, w)( 1) 0G S S a b+ - £ .
Vì( 1) 0a b+ - > , nên ( )w, w, w 0G S S £ . Do đó w wS = .
Lại sử dụng ( )b với , w
n
u u v= = , ta có
{ }( , w, w) ( w, w, ) min ( , w, w), ( , w, w)n n n nG Ru R R aG S S Su b G Su R R G Su R R³ +
Cho n ® ¥ ta được
{ }(w, w, w) (w, w, w) min (w, w, w), (w, w, w)G R R aG b G R R G R³ +
{ }(w, w, w) min (w, w, w), ( w, w, w)G R R b G R R G R³
Theo Mệnh đề 1.2.3, ta có
(w, w, w) 2 (w, w, w)G R R G R£ ,
suy ra
1
(w, w, w) (w, w, w)
2
G R G R R³ .
Khi đó
1
(w, w, w) min (w, w, w), (w, w, w)
2
G R b G R R G R R
ì üï ïï ï³ í ý
ï ïï ïî þ
.
Do đó
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN
(w, w, w) (w, w, w)
2
b
G R R G R R³ .
Suy ra
(w, w, w)( 2) 0G R R b - £
Vì 2b > nên (w, w, w) 0G R R £ , suy ra w wR = . Vậy w w wR S= = .
Tính duy nhất. Giả sử u là điểm bất động khác của R và S . Khi đó
Ru Su u= = .
Sử dụng (b) với w,u v u= = , ta có
{ }( w, , ) ( , , w) min ( w, , ), ( w, , )G R Ru Ru aG Su Su S b G S Ru Ru G S Ru Ru³ +
.
Thay Ru Su u= = vào bất đẳng thức trên ta được
{ }(w, , ) ( , , w) min (w, , ), (w, , )G u u aG u u b G u u G u u³ +
( , , w) (w, , )aG u u bG u u³ + .
Do đó
(w, , )( 1) 0G u u a b+ - £ .
Vì ( 1) 0a b+ - > nên ( , , w) 0G u u £ . Suy ra wu = . Vậyw là điểm bất động
chung duy nhất của R và S .
Định lý 2.2.3.Cho ( , )E G không gian G - metric đầy đủ, , :R S E E® là
các ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau:
( )a ( ) ( )R E S EÌ
( )b ( w, , ) ( , , ) ( , , )G R Sv Sv aG Sv Sv Rv bG Ru Su Su³ + +
{ }min ( , , ), ( , , )c G Su Rv Rv G Su Rv Sv+
với mọi 1, 0 1, 1a b a b> và với mọi 1, 2c a c> + > .
( )c R hoặc S là liên tục.
( )d Cặp ( , )R S là nửa tương thích.
Khi đó R và S có điểm bất động chung duy nhất trongE .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN
Chứng minh. Lấy
0
u EÎ tùy ý . Vì ( ) ( )R E S EÌ , nên tồn tại
1
u sao cho
1 0 0
Ru Su v= = . Bằng quy nạp có thể xác định dãy
1n n n
Ru Su v
+
= = .
Sử dụng (b) với
1
,
n n
u u v u
+
= = , ta có
1 1 1 1 1
( , , ) ( , , ) ( , , )
n n n n n n n n n
G Ru Ru Ru aG Su Su Ru bG Fx Tx Tx
+ + + + +
³ +
{ }1 1 1 1min ( , , ), ( , , )n n n n n nc G Su Ru Ru G Su Ru Su+ + + ++
1 1 1 1
( , , ) ( , , ) ( , , )
n n n n n n n n n
G v v v aG v v v bG v v v
- + + -
³ + +
{ }1min ( , , ), ( , , )n n n n n nc G v v v G v v v ++
1 1 1
( , , ) ( , , )
n n n n n n
aG v v v bG v v v
+ + -
³ + .
Do đó
1 1 1
( , , )(1 ) ( , , )
n n n n n n
G v v v b aG v v v
- + +
- ³ .
Suy ra
1 1 1
1
( , , ) ( , , )
n n n n n n
b
G v v v G v v v
a+ + -
-
£ .
Vì 1a b+ > , nên
1
1
b
a
-
< . Đặt
1 b
q
a
-
= , ta được
1 1 1
( , , ) ( , , )
n n n n n n
G v v v qG v v v
+ + -
£ . (2.29)
Tương tự ta có
1 2 1 1
( , , ) ( , , )
n n n n n n
G v v v qG v v v
- - - -
£ .
Do đó kết hợp với (2.29) suy ra
2
1 1 2 1 1
( , , ) ( , , )
n n n n n n
G v v v q G v v v
+ + - - -
£
Bằng quy nạp, ta được
1 1 0 1 1
( , , ) ( , , )n
n n n
G v v v q G v v v
+ +
£ (2.30)
Theo Định lý 2.2.2, { }
n
v là dãy Cauchy. Vì ( , )E G là không gian đầy đủ nên
lim w
n
v = . Khi đó ta có
1
lim w, lim w
n n
Ru Su
+
= = .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN
Trường hợp 1. R là ánh xạ liên tục. Vì lim lim w
n n
Ru u= = , nên
lim ) w
n
RRu R= và lim w
n
RSu R= .
Vì ( , )R S là nửa tương thích và lim w
n
Su = , nên lim w
n
SRu R= .
Bây giờ sử dụng (b) với
1
,
n n
u Ru v u
+
= = , ta có
1 1
( , , )
n n n
G RRu Ru Ru
+ +
³
1 1 1
( , , ) ( , , )
n n n n n n
aG Su Su Ru bG RRu SRu SRu
+ + +
+
{ }1 1 1 1min ( , , ), ( , , )n n n n n nc G SRu Ru Ru G SRu Ru Su+ + + ++ .
Cho n ® ¥ , ta được
( w, w, w) (w, w, w) ( w, w, w)G R aG bG R R R³ +
{ }min ( w, w, w), ( w, w, w) ( w, w, w)c G R G R cG R+ ³ .
Do đó
( w, w, w)(1 ) 0G R c- ³ .
Vì 1c > nên 1 0c- £ , suy ra ( w, w, w) 0G R £ . Do đó w wR = .
Bây giờ sử dụng (b) với , w
n
u u v= = ta có
( , w, w) ( w, w, w) ( , , )
n n n n
G Ru R R aG S S S bG Ru Su Su³ +
{ }min ( , w, w), ( , w, w)n nc G Su R R G Su R S+ .
Cho n ® ¥ , ta đ
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- luan_van_dinh_li_diem_bat_dong_doi_voi_anh_xa_gian_trong_kho.pdf