Luận văn Định lý forelli đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức

nh trên ∆2. Ivashkovich và Shiffman đã chỉ ra rằng X có tính chất Hartogs nếu và chỉ nếu với mọi ánh xạ chỉnh hình f : H2(r)→X đều thác triển chỉnh hình trên Δ2. Lớp của các không gian phức có tính chất thác triển Hartogs là rất lớn. Fujimoto đã chứng tỏ rằng lớp của các không gian phức có tính chất thác triển Hartogs chứa lớp các không gian phức taut. Adachi, Suzuki và Yoshida đã chỉ ra rằng lớp này cũng chứa lớp các nhóm Lie phức. Shiffman cũng chứng minh được rằng lớp này chứa lớp các đa tạp phức Hecmit đầy với độ cong tiết diện chỉnh hình không dương. Đặc biệt, Ivaskovich đã chứng tỏ rằng một đa tạp K�̈�hler phức lồi chỉnh hình có tính chất thác triển Hartogs nếu và chỉ nếu nó không chứa các đường cong hữu tỉ. Đỗ Đức Thái đã tổng quát hóa kết quả này của Ivaskovich đối với không gian K�̈�hler phức lồi chỉnh hình. Định nghĩa 1.5.2 Giả sử M là một không gian phức. i) Một tập con mở A của M được gọi là kiểu Hartogs (kiểu H) nếu tồn tại một ánh xạ song chỉnh hình từ A vào tập con giải tích của một không gian phức có tính chất thác triển Hartogs. ii) Không gian M được gọi là không gian kiểu Hartogs nếu với mỗi p ∈ M tồn tại một lân cận Wp của p với rp >0 và một lân cận Sp của p kiểu (H). Sao cho với mỗi f ∈ Hol(Δ,M), nếu f(0)∈ Wp thì f(𝐴𝑟𝑝) ⊂ Sp. Lớp các không gian phức kiểu Hartogs là rộng hơn lớp không gian phức có tính chất thác triển Hartogs. Dễ thấy nó chứa các lớp các không gian phức có tính chất thác triển Hartogs và các không gian phức hyperbolic. 9 Tính chất 1.5.1 1. Nếu M, N là các không gian phức kiểu Hartogs thì M  N cũng là không gian phức kiểu Hartogs. 2. Mọi không gian phức con của một không gian phức kiểu Hartogs cũng là kiểu Hartogs. 1.6. Không gian K�̈�hler phức 1.6.1. Dạng K�̈�𝒉𝒍𝒆𝒓[3] Định nghĩa 1.6.1. Giả sử 𝑋 là một không gian phức tổng quát, χ là một 𝐶∞ (𝑞, 𝑞)-dạng thực trên 𝑋. i) χ được gọi là 𝐶∞ (𝑞, 𝑞) - dạng dương nếu tồn tại một phủ mở 𝒰= {𝑈𝛼} của X mà với mỗi α, phép nhúng 𝑗𝛼: 𝑈𝛼 → 𝐺𝛼 nhúng Uα vào một miền con Gα trong ℂ 𝑛𝛼 và một C∞ dạng dương χα kiểu (𝑞, 𝑞) trên 𝐺𝛼 sao cho jα ∗ χα = χ|𝑈𝛼. ii) Một 𝐶∞ (1,1)-dạng dương trên X được gọi là một dạng Hecmit trên X. iii) Một dạng Hecmit X được gọi là dạng K�̈�hler nếu ở trong định nghĩa trên mọi χα đều là dạng đóng. 1.6.2. Không gian K�̈�hler [11] Định nghĩa 1.6.2 Một không gian phức cùng với một dạng Kähler trên nó được gọi là một không gian K�̈�ℎ𝑙𝑒𝑟. Bổ đề 1.6.1 Giả sử X là một không gian phức và χ là 𝐶∞ dạng thực dương kiểu (q,q) trên X với 𝑞 > 0. Cho E là tập con của 𝐶𝑞(𝑋) sao cho ⋃ |𝐴|𝐴∈𝐸 chứa trong tập con compact của X. Khi đó E là bị chặn nếu và chỉ nếu tập {∫𝐴𝜒: 𝐴 ∈ 𝐸} là bị chặn. 10 Ivaskovich đã chứng minh rằng một đa tạp K�̈�ℎ𝑙𝑒𝑟 lồi chỉnh hình có tính chất thác triển Hartog nếu và chỉ nếu mọi ánh xạ chỉnh hình 𝜎: ℂ𝑃1 → 𝑋 là hằng. Dựa vào kết quả của Ivaskovich chúng ta có những tính chất của không gian K�̈�hler lồi chỉnh hình sau đây. Định lý 1.6.2 Cho X là một không gian K�̈�ℎ𝑙𝑒𝑟 lồi chỉnh hình. Khi đó, X có tính chất thác triển Hartog nếu và chỉ nếu mọi ánh xạ chỉnh hình 𝜎: ℂ𝑃1 → 𝑋 là hằng. Chứng minh. Cho 𝑀 = {𝑧 ∈ 𝑈 ⊂ ℂ2: 𝜑(𝑧) = 0} là một siêu mặt giả lồi mạnh, trong đó U là một miền trong ℂ2 và 𝜑 là một 𝐶2 - hàm trên 𝑈. Đặt 𝑈+ = {𝑧 ∈ 𝑈: 𝜑(𝑧) > 0}. Gọi 𝑓: 𝑈+ → 𝑋 là một ánh xạ chỉnh hình. Chúng ta có thể chứng minh được rằng f có thể thác triển thành ánh xạ chỉnh hình vào một lân cận của mỗi điểm thuộc vào 𝑈+. Với mỗi 𝑛 ta đặt 𝐵𝑛 = {𝑧 ∈ ℂ 2: ‖𝑧‖ < 1 2⁄ }, 𝑈𝑛 + = 𝐵𝑛 ∩ 𝑈 + và đặt 𝐵 = ⋃ 𝑓(𝑈𝑛 + 𝑛 ). Ta sẽ chứng minh rằng B chỉ chứa một điểm. Với mỗi 𝑧 ∈ 𝑈+, đặ𝑡 ∆𝑧 𝑛= {𝑤: = 0} ∩ 𝑈𝑛 +. Ta có các bổ đề sau: Bổ đề 1.6.2 Nếu 𝑈+ là đủ nhỏ thì sup{𝑉𝑜𝑙 𝑓(∆𝑧 𝑛): 𝑧 ∈ 𝑈+/2} < +∞. Bổ đề 1.6.3 Với mọi dãy {∆𝑧𝑗 𝑛 } (n cố định) hội tụ đến ∆0 𝑛, tồn tại một dãy con {∆𝑧𝑗𝑘 𝑛 } sao cho {𝑓(∆𝑧𝑗𝑘 𝑛 } hội tụ đến tập giải tích A có chiều 1 trong Y với 𝜕𝐴 ⊂ 𝑓(𝜕∆0 𝑛). Ngoài ra ánh xạ 𝑓|∆01\{0} vào X có thể thác triển thành một ánh xạ chỉnh hình vào ∆0 1. 11 Vì vậy, theo Bổ đề 1.6.3, 𝐴 = 𝑓(∆0 1) ∪ ⋃ 𝐵𝑗 ∞ 𝑗=1 , trong đó 𝐵𝑗 là các tập con giải tích compact trong 𝑋. Hiển nhiên ⋃ 𝐵𝑗 ∞ 𝑗=1 chứa trong một tập compact trong 𝑋. Do đó tồn tại 𝑞 ∈ 𝑋 và một lân cận 𝑈 của 𝑞 sao cho 𝐵𝑗 ∩ 𝑈 ≠ ∅, 𝑣ớ𝑖 𝑚ỗ𝑖 𝑗 ≥ 1. Chúng ta có thể giả thiết rằng tồn tại ánh xạ phủ giải tích 𝜃 từ 𝑈 vào 𝐵𝑘, trong đó 𝑘 = 𝑑𝑖𝑚𝑋 và 𝐵𝑘 = {𝑧 ∈ ℂ𝑘: ‖𝑧‖ < 1} với 𝜃(𝑞) = 0. Đặt 𝐵�̃� = 𝜃(𝐵𝑗). Theo Định lý ánh xạ riêng, 𝐵�̃� là tập con giải tích của 𝐵 𝑘 với mọi 𝑗 ≥ 1. Do đó theo định lý Alexander, ta có 𝑉𝑜𝑙 𝐵�̃� ≥ 𝑐. 𝜋, với mọi 𝑗 ≥ 1. Điều này là không thể, vì 𝑉𝑜𝑙 (⋃ 𝐵�̃� ∞ 𝑗=1 )< +∞. Gọi 𝜌 là một metric xác định tô pô của 𝑋 và 𝑆 là một đường cong phức compact trong 𝑋. Đặt ∑(𝑠) = {𝑥1, , 𝑥𝑛} và 𝜀 > 0 sao cho 𝐵(𝑥𝑗 , 𝜀) = {𝑥 ∈ 𝑋: 𝜌(𝑥, 𝑥𝑗) < 𝜀} là các lân cận rời nhau của 𝑥𝑗. Đặt 𝑈𝜀 = ⋃ 𝐵𝑗 𝑛 𝑗=1 (𝑥𝑗 , 𝜀), 𝑆𝜀 = 𝑆\𝑈𝜀̅̅ ̅, 𝑌𝜀 = 𝑌\𝑈𝜀̅̅ ̅ . Chú ý rằng 𝑆𝜀 là một đa tạp Stein đóng trong 𝑌𝜀. Do đó, tồn tại một lân cận Stein 𝑊𝜀 của 𝑆𝜀 trong 𝑌𝜀. Đặt 𝑒: 𝑊𝜀 → ℂ 𝑛 là một ánh xạ nhúng. Chúng ta có bổ đề tiếp theo. Bổ đề 1.6.4 Giả sử rằng, với mỗi 𝛿 > 0,tồn tại một đĩa giải tích 𝑓: �̅� → 𝑋 sao cho 3 điều kiện sau được thỏa mãn: i. 𝑆𝜀 chứa trong một 𝛿 −lân cận 𝑓(�̅�) 𝛿 𝑐ủ𝑎 𝑓(�̅�); ii. 𝑚𝑖𝑛{𝜌(𝑥, 𝑦): 𝑥 ∈ 𝑓(𝜕𝐷), 𝑦 ∈ 𝑆𝜀} > 2𝛿; iii. 𝑓(�̅�) ∩ 𝜕(𝑆𝜀) 𝛿 ⊂ (𝜕𝑆𝜀) 𝛿. Khi đó 𝑆 ≅ 𝐶𝑃1; Chứng minh. 12 Kí hiệu 𝜋: 𝑁 → 𝑒(𝑆𝜀) là phân thớ chuẩn tắc của 𝑒(𝑆𝜀) trong ℂ 𝑛. Khi đó, với 𝛿 > 0 đủ nhỏ, tồn tại một lân cận 𝑁𝛿 của 𝑒(𝑆𝜀) trong N và 𝑉𝛿 của 𝑒(𝑆𝜀) trong ℂ𝑛 và một ánh xạ song chỉnh hình 𝜑: 𝑁𝛿 → 𝑉𝛿 sao cho 𝜑|𝑒(𝑆𝜀) = 𝐼𝑑. Đặ𝑡 �̃� = 𝜋 ∘ 𝜑−1: 𝑉𝛿 → 𝑒(𝑆𝜀). Dễ thấy rằng �̃�2 = �̃�. Theo giả thiết, tồn tại một đĩa giải tích 𝑓: �̅� → 𝑋 sao cho 𝑓(�̅�) ⊃ 𝑆𝜀, 𝑓(𝜕𝐷) ∩ 𝑒 −1(𝑉𝛿) = ∅ và 𝑓(�̅�) ∩ 𝑒−1(𝜕𝑉𝛿) ⊂ 𝑒 −1 ∘ �̃�−1(𝜕𝑒(𝑆𝜀)). Khi đó ánh xạ 𝑓(𝐷) ∩ 𝑒−1(𝑉𝛿) 𝜋1 → 𝑆𝜀, ở đó 𝜋1 = 𝑒 −1 ∘ �̃� ∘ 𝑒, là toàn ánh riêng. Từ đó suy ra 𝜋1𝑓: 𝐺 = 𝑓 −1[𝑓(𝐷) ∩ 𝑒−1(𝑉𝛿)] → 𝑆𝜀 là một ánh xạ phủ giải tích. Do đó ta có 𝐻1(𝑆, 𝑍) = 0 , tức là 𝑆 ≅ ℂ𝑃1. Từ Bổ đề 1.6.4, ta có Bổ đề 1.6.5 𝐵𝑗 là đường cong hữu tỉ với mọi 𝑗 ≥ 1. Theo các Bổ đề 1.6.3 và Bổ đề 1.6.5 Ta có, 𝑓: 𝑈+ → 𝑋 có thể thác triển thành ánh xạ chỉnh hình trên một lân cận của �̅�+. Định lý được chứng minh. ∎ 1.7 Không gian Stein [4] Kí hiệu: 𝑋 𝒪 là bó các mầm hàm chỉnh hình trên đa tạp 𝑋. 𝒪 𝑋 vành các mầm hàm chỉnh hình trên 𝑋. Định nghĩa 1.7.1 Một không gian vành (𝑋, 𝑋 𝒪) được gọi là một không gian giải tích nếu với mọi 𝑥 ∈ 𝑋 có một lân cận U sao cho (𝑈,𝑋 𝒪)|U là đẳng cấu tới một không gian vành (𝑌,𝑌 𝒪), ở đó Y là một đa tạp con của một miền trong ℂ 𝑛 ,𝑌 𝒪 = (𝑛𝒪/ℱ|𝑌) ở đó ℱ là bó idean của Y. Định nghĩa 1.7.2 Cho (X, 𝒪) là một không gian giải tích. 13  X được gọi là lồi chỉnh hình nếu mọi tập compact K của X, 𝐾 ̂là compact.  X được gọi là không gian Stein nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: a) X có một tô pô đếm được. b) X là lồi chỉnh hình. c) Cho 𝑥 ∈ 𝑋, có 𝑓1, , 𝑓𝑛 ∈ 𝒪𝑋 sao cho 𝑟𝑎𝑛𝑘𝑥(𝑓1, , 𝑓𝑛) = 𝑑𝑖𝑚𝑡𝑥𝑋. d) Cho 𝑥 ≠ 𝑦 ∈ 𝑋, có 𝑓 ∈ 𝒪𝑋 sao cho 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑦). Ví dụ 1.7.1 1. ℂ𝑛 rõ ràng là một không gian Stein. 2. 𝐶ho X là một không gian giải tích và (a), (b), (c) thỏa mãn (tức là không gian con giải tích của ℂ𝑛). Cho 𝑓1, , 𝑓𝑘 ∈ 𝒪𝑋 sao cho tập {𝑥 ∈ 𝑋; |𝑓𝑖(𝑥)| ≤ 1}. là tập compact. Khi đó 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑋; |𝑓𝑖(𝑥)| < 1} là không gian Stein. 3. Nếu X là một miền Reiman trên ℂ𝑛 thì bao chỉnh hình E(X) của nó là đa tạp Stein. 4. Mọi không gian giải tích một chiều không compact đều là không gian Stein. Định nghĩa 1.7.2 Cho (𝑋,𝑋 𝒪) là một không gian giải tích. Một miền Oka – Weil trên X là một tập mở compact tương đối W sao cho tồn tại một ánh xạ chỉnh hình 𝜑 được xác định trong một lân cận của �̅�, và lấy giá trị trong ℂ𝑛, sao cho 𝜑|𝑊 là một ánh xạ song chỉnh hình từ W vào một đa tạp con đóng của ∆(0; 1) 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 ℂ𝑛. Mệnh đề 1.7.1 Cho (𝑋,𝑋 𝒪) là một không gian giải tích Stein. Cho K là một tập con compact lồi chỉnh hình của X. Nếu U là lân cận của K, thì tồn tại một miền Oka – Weil W, xác định bởi các hàm toàn cục, sao cho 𝐾 ⊂ 𝑊 ⊂ �̅� ⊂ 𝑈. Định lý 1.7.1 Cho (𝑋,𝑋 𝒪) là một không gian Stein, và K là tập con lồi chỉnh hình của X. Khi đó tồn tại các hàm 𝑓1, , 𝑓𝑡 ∈ 𝒪𝑋 sao cho, nếu 𝒜 là đại số các đa thức 14 trong 𝑓1, , 𝑓𝑡 thì khi đó K là A-lồi. Hơn nữa 𝒜 là trù mật trong 𝒪(𝐾) (trong đó A là một đại số các hàm chỉnh hình trên X). Hệ quả 1.7.1 Cho (𝑋,𝑋 𝒪) là một không gian Stein và Y là một tập con mở của X. Khi đó các khẳng định sau là tương đương: 1. (𝑌,𝑋 𝒪|𝑌) là một không gian Stein, và 𝒪𝑋 là trù mật trong 𝒪𝑌 trên 𝑌; 2. Nếu 𝐾 là tập con compact của 𝑌, thì 𝐾(𝒪𝑌, 𝑌) = 𝐾(𝒪𝑋, 𝑋); 3. 𝑌 là 𝒪𝑋 − 𝑙ồ𝑖. Định lý 1.7.2 Giả sử (𝑋,𝑋 𝒪) là một không gian giải tích, và 𝑋 = ⋃ 𝑋𝑖 với 𝑋𝑖 ⊂ 𝑋𝑖+1. Giả sử (𝑋𝑖 ,𝑋 𝒪|𝑋𝑖) là một không gian Stein và là 𝒪𝑋𝑖+1- lồi. Khi đó X là một không gian Stein. Chứng minh. Trước tiên, chúng ta chứng minh rằng với mọi i, 𝒪𝑋|𝑋𝑖 là trù mật trong 𝒪𝑋𝑖. Gọi 𝐾0 là tập con compact của 𝑋𝑖. Chọn các tập compact 𝐾𝑗 ⊂ 𝑋𝑖+𝑗 sao cho 𝐾𝑗+1 ⊃ 𝐾𝑗 ⊃ 𝐾0, với mọi 𝑗 > 0 và 𝑋 = ⋃ 𝐾𝑗. Với 𝑓0 ∈ 𝒪𝑋𝑖 . Bằng phương pháp quy nạp, chúng ta chọn một dãy {𝑓𝑗} sao cho 𝑓𝑗 ∈ 𝒪𝑋𝑖+𝑗 và ‖𝑓𝑗 − 𝑓𝑗−1‖𝐾𝑗−1 < 2 −𝑗𝜀. Chọn 𝑓1 sao cho 𝑓1 ∈ 𝒪𝑋𝑖+1 và ‖𝑓1 − 𝑓‖𝐾0 < 𝜀 2⁄ . Nếu 𝑓1, , 𝑓𝑘 đã được chọn, vì 𝒪𝑋𝑖+𝑘+1|𝑋𝑖+𝑘 là trù mật trong 𝑋𝑖+𝑘 ,, tồn tại 𝑓𝑘+1 ∈ 𝒪𝑋𝑖+𝑘+1 sao cho ‖𝑓𝑘+1 − 𝑓𝑘‖𝐾𝑘 < 2 −𝑘+1𝜀. Bây giờ, dãy {𝑓𝑗; 𝑗 ≥ 𝑘} hội tụ đều trên 𝐾𝑘. Vì vậy 𝑓 = 𝑙𝑖𝑚𝑓𝑗 là một hàm chỉnh hình hoàn toàn xác định trên 𝑋, và ‖𝑓 − 𝑓0‖𝐾 ≤ ∑ ‖𝑓𝑗 ∞ 𝑗=1 − 𝑓𝑗+1‖ < 𝜀. 15 Do đó, 𝑋 là lồi chỉnh hình với 𝐾 là một tập con compact của 𝑋. Tồn tại 𝑖 sao cho 𝐾 ⊂ 𝑋𝑖. Khi đó 𝐾(𝒪𝑋𝑖 , 𝑋𝑖) là compact. Theo Hệ quả 1.7.1 𝐾 (𝒪𝑋𝑖+𝑗 , 𝑋𝑖+𝑗) = 𝐾(𝒪𝑋𝑖 , 𝑋𝑖), với mọi 𝑗 . Lấy 𝑦 ∈ 𝐾(𝒪𝑋, 𝑋). Khi đó với mỗi 𝑗, 𝑦 ∈ 𝑋𝑖+𝑗 , vì vậy 𝑦 ∈ 𝐾(𝒪𝑋, 𝑋𝑖+𝑗). Vì 𝒪𝑋 là trù mật trong 𝒪𝑋𝑖+𝑗 nên ta có 𝑦 ∈ 𝐾(𝒪𝑋𝑖+𝑗 , 𝑋𝑖+𝑗) = 𝐾(𝒪𝑋𝑖 , 𝑋𝑖). Vì vậy 𝐾(𝒪𝑋, 𝑋) = 𝐾(𝒪𝑋𝑖 , 𝑋𝑖) là compact. Giả sử x, y là hai điểm phân biệt trong 𝑋. Tồn tại 𝑖 sao cho 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋𝑖. Tồn tại 𝑓 ∈ 𝒪𝑋𝑖 sao cho 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑦). Vì vậy tồn tại 𝑓 ′ ∈ 𝒪𝑋 đủ gần 𝑓 sao cho 𝑓′(𝑥) ≠ 𝑓′(𝑦) Do đó 𝒪𝑋 là tách các điểm. Cho 𝑥 ∈ 𝑋𝑖, và 𝑧1, , 𝑧𝑛 là tọa độ địa phương trong lân cận U của x. Vì 𝑋𝑖, là không gian Stein, tồn tại các hàm 𝑓1, , 𝑓𝑛 ∈ 𝒪𝑋𝑖 sao cho ma trận (𝜕𝑓𝑖|𝜕𝑧𝑗)(𝑥) là không kì dị. Vì hàm 𝑓 → (𝜕𝑓𝑖|𝜕𝑧𝑗)(𝑥) là liên tục theo tô pô hội tụ đều trên 𝒪𝑋𝑖 , nếu 𝑔1, , 𝑔𝑛 là đủ gần 𝑓1, , 𝑓𝑛, ma trận (𝜕𝑔𝑖|𝜕𝑧𝑗)(𝑥) cũng là không kì dị. Nếu chúng ta chọn 𝑔𝑖 ∈ 𝒪𝑋, thì chúng xác định tọa độ địa phương tại 𝑥. Khi đó, vì 𝑋𝑖 là tách nên 𝑋 có một tô pô tách được. Do đó 𝑋 là không gian Stein.∎ 16 Chương 2 ĐỊNH LÝ FORELLI ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀO KHÔNG GIAN PHỨC Trong chương này ta dùng một số kí hiệu như sau: Giả sử la là một đường thẳng phức qua điểm gốc của ℂ𝑛. Khi đó trong ℂ𝑛, tập la được cho bởi {𝑡(𝑎1 , , 𝑎𝑛): 𝑡 ∈ ℂ}. Do đó ta có thể xét la như 1 điểm a = [𝑎1: : 𝑎𝑛] trong ℙ 𝑛−1(ℂ). Cho 𝑧 = (𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) ∈ ℂ 𝑛, đặt ‖𝑧‖ = (|𝑧1| 2 + ⋯ + |𝑧𝑛| 2)1/2 . Với mỗi R >0 đặt 𝔹𝑟 𝑛 = 𝔹𝑛(0, 𝑅)={𝑧 ∈ ℂ𝑛 : ‖𝑧‖ < 𝑅}, 𝔹𝑛 = 𝔹1 𝑛. 2.1. Không gian phức có tính chất Forelli Định nghĩa 2.1.1 Cho M là một không gian phức. Ta nói rằng 𝑀 có tính chất Forelli đối với hình cầu đơn vị 𝔹𝑛 trong ℂ𝑛 (viết tắt M có tính chất (FP)) nếu điều kiện sau được thỏa mãn: Bất kì một ánh xạ 𝑓: 𝔹𝑛 → 𝑀 chỉnh hình trên giao của 𝔹𝑛 với mọi đường thẳng phức l đi qua điểm gốc, và f là khả vi lớp 𝐶∞ trong lân cận của điểm gốc, thì 𝑓 là chỉnh hình trong 𝔹𝑛. Ví dụ 2.1.1 i) Mặt phẳng phức ℂ có tính chất Forelli. ii) Đỗ Đức Thái và Phạm Ngọc Mai [13] đã chỉ ra rằng mọi không gian phức kiểu Stein đều có tính chất Forelli. Bổ đề 2.1.1 [7] Cho M là một không gian phức, 𝑈, 𝑉 là tập mở trong ℂ𝑚,ℂ𝑛 tương ứng và K là tập compact liên thông trong ℂ𝑛 chứa V. Cho f: U× 𝑉→M là ánh xạ chỉnh 17 hình. Nếu 𝑓𝑧: {𝑧} × 𝐾 → 𝑀 thác triển chỉnh hình tới K với mọi z ∈ 𝑈 thì tồn tại tập con đa cực đóng E của U và một ánh xạ chỉnh hình 𝑓 : (U \ E) × 𝐾 → 𝑀 sao cho f =𝑓 trên (U \ E)× 𝑉. Chứng minh. Kí hiệu 𝐸 là tập các điểm 𝑧 ∈ 𝑈 sao cho 𝑓 không thác triển chỉnh hình lên một lân cận (trong 𝑈 × ℂ𝑛) của {𝑧} × 𝐾. Khi đó 𝐸 là tập con của 𝑈. Chúng ta phải chứng minh E là tập đa cực. Chúng ta có thể phủ 𝑋 bởi tập hợp đếm được {𝑋𝑘}k∈N các đa tạp con của hình cầu Euclid. Vì hình cầu trong 𝐶𝑑 có thể nhúng riêng trong 𝐶2𝑑+1, chúng ta có thể xem mỗi 𝑋𝑘 như một đa tạp con đóng trong không gian Euclid. Đặt 𝒟 là một cơ sở đếm được sao cho tô pô của ℂ𝑛 bao gồm các đa đĩa và kí hiệu {𝐷𝑗}𝑗∈𝑛 là tập các đa đĩa trong 𝒟 có giao khác rỗng với 𝐾. Với các số nguyên dương 𝑗1,. . ., 𝑗𝑟, 𝑘1,. . .,𝑘𝑟 (𝑟 ≥ 1) kí hiệu N(𝑟; 𝑗1, , 𝑗𝑟 , 𝑘1, 𝑘𝑟) là tập các f ∈ Hol(𝑉, 𝑋) sao cho f thác triển chỉnh hình tới 𝐷𝑗1∪. . .∪ 𝐷𝑗𝑟 và 𝑓(𝐷𝑗𝛼)⊂ 𝑋𝑘𝛼 , với 1 ≤ 𝛼 ≤ 𝑟. Giả sử ngược lại E không phải là một tập đa cực. Khi đó tồn tại các số nguyên dương 𝑗1, , 𝑗𝑟 , 𝑘1, , 𝑘𝑟 (r≥1) sao cho 𝐷𝑗1∪. . .∪𝐷𝑗𝑟 ⊃ 𝐾 và nếu chúng ta cho 𝐸′ tập các điểm của 𝑧 ∈ 𝐸 sao cho 𝑓𝑧 ∈ 𝑁(𝑟; 𝑗1, , 𝑗𝑟 , 𝑘1, , 𝑘𝑟), thì 𝐸 ′ không là tập đa cực. Chọn đa đĩa 𝐷𝛼 ′ ⊆ 𝐷𝑗𝛼 , 𝑣ớ𝑖 1 ≤ 𝛼 ≤ 𝑟, sao cho 𝐷1 ′ ∩ ∩ 𝐷𝑟 ′ ⊃ 𝐾. Bằng các hoán đổi 𝐷𝛼 ′ (và 𝑘𝛼) chúng ta có thể giả thiết rằng V∩𝐷1 ′≠∅ và 𝐷𝛼−1 ′ ∩ 𝐷𝛼 ′ ≠ ∅ , với 2 ≤ 𝛼 ≤ 𝑟. Đặt 𝑉0 = 𝑉 và 𝑉𝛼=V∪ 𝐷1 ′ ∪ ∪ 𝐷𝛼 ′ với 1 ≤ 𝛼 ≤ 𝑟. Bằng cách quy nạp chúng ta xây dựng các tập mở 𝑈𝛼 ⊂ 𝑈 sao cho 𝑈𝛼 ∩ 𝐸 ′ không là tập đa cực và f thác triển chỉnh hình tới 𝑈𝛼 × 𝑉𝛼 , với 0 ≤ 𝛼 ≤ 𝑟. Chúng ta bắt đầu với 𝑈0 = 𝑈. Theo quy nạp ta cho 1 ≤ 𝛼 ≤ 𝑟 và giả sử 𝑈𝛼−1 được xây dựng với các tính chất ở trên. Chọn một đa đĩa mở 𝐷𝛼 " ⊆ 𝐷𝛼 ′ ∩ 18 𝑉𝛼−1 và kí hiệu 𝑓:̃ 𝑈𝛼−1 × 𝑉𝛼−1 → 𝑋 là một thác triển chỉnh hình tới f. Theo định nghĩa của 𝐸′, 𝑓((𝐸′ ∩ 𝑈𝛼−1) × 𝐷𝛼′̅̅ ̅̅ ) ⊂ 𝑋𝑘𝛼. Do đó, tồn tại một tập mở 𝑈𝛼 ′ ⊂ 𝑈𝛼−1 sao cho 𝑈𝛼 ′ ⊃ 𝐸′ ∩ 𝑈𝛼−1 và 𝑓(𝑈𝛼 ′ × 𝐷𝛼" ̅̅ ̅̅ ) ⊂ 𝑋𝑘𝛼. Khi đó 𝐸 " = 𝐸′ ∩ 𝑈𝛼−1 = 𝐸 ′ ∩ 𝑈𝛼 ′ , không là một tập đa cực. Đồng nhất 𝑋𝑘𝛼 với một đa tạp con của 𝐶𝑑( cho một vài số nguyên dương 𝑑) và đặt 𝑔 = 𝑓|𝑈𝛼 ′ × 𝐷𝛼 " : 𝑈𝛼 ′ × 𝐷𝛼 " → 𝑋𝑘𝛼 ⊂ 𝐶 𝑑 . Theo định nghĩa của 𝐸′, 𝑔𝑧 có một thác triển chỉnh hình 𝑔𝑧 ′ : 𝐷𝛼′̅̅ ̅̅ →𝐶 𝑑 với mọi 𝑧 ∈ 𝐸′. Vì 𝐸′ không là tập đa cực, nên theo kết quả của Bedford và Taylor, tồn tại một điểm 𝑧0 ∈ 𝐸 ′ sao cho 𝐸" là L - chính quy địa phương tại 𝑧0. Vì vậy, tồn tại một lân cận liên thông 𝑈𝛼 ⊂ 𝑈𝛼 ′ của 𝑧0 và một ánh xạ chỉnh hình 𝑔 ′: 𝑈𝛼 × �̅�𝛼 ′ → ℂ𝑑 sao cho 𝑔′ = 𝑔 trên 𝑈𝛼 × 𝐷𝛼 ′′. Theo nguyên tắc đồng nhất ta có 𝑔′: 𝑈𝛼 × 𝐷𝛼 ′ → 𝑋𝑘𝛼 ⊂ 𝑋. Vì 𝐸 " là L - chính quy địa phương tại 𝑧0, 𝐸 " ∩ 𝑈𝛼 không là tập đa cực. Theo định nghĩa của 𝐸′, ánh xạ 𝑔′ trùng với f trên tập (𝐸" ∩ 𝑈𝛼)×(𝐷𝛼 ′ ∩ 𝑉𝛼−1) và do đó 𝑔 ′ trùng với f trên 𝑈𝛼 × (𝐷𝛼 ′ ∩ 𝑉𝛼−1). Vậy ta đã tìm được thác triển chỉnh hình của f tới 𝑈𝛼 × 𝑉𝛼. Chứng minh quy nạp kết thúc. Vì 𝑉𝑟 ⊃ 𝐾, 𝑓 thác triển chỉnh hình đến 𝑈𝑟 × 𝐾 và do đó 𝑈𝑟 ∩ 𝐸 = ∅. Điều này là mâu thuẫn với 𝑈𝑟 ∩ 𝐸 ′không là tập đa cực. Vì vậy 𝐸 là tập đa cực. Định lý 2.1.1 [14] Giả sử M là không gian phức và 𝔹𝑛 là hình cầu đơn vị mở của ℂ𝑛. Giả sử f: 𝔹𝑛 →M là ánh xạ thỏa mãn f là chỉnh hình trên giao của 𝔹𝑛 với mọi đường thẳng phức đi qua gốc và f thuộc lớp cuả 𝐶∞trong lân cận cuả điểm gốc. Khi đó tồn tại một tập con đa cực S của ℙ𝑛−1(ℂ) sao cho f là chỉnh hình trong một lân cận của 𝔹𝑛 ∪ {𝑙: 𝑙 ∈ 𝑆 }. Chứng minh. Theo định lý Forelli, tồn tại 𝑟0 > 0 sao cho: (1) 𝑓 là chỉnh hình trong 𝔹𝑟0 𝑛 . 19 Đặt 𝔹∗ 𝑛 = 𝔹𝑛\ {𝑧𝑛 = 0}. Xét ánh xạ chỉnh hình 𝜑: 𝔹∗ 𝑛 → ℂ𝑛 được cho bởi 𝜑(𝑧1, , 𝑧𝑛) = ( 𝑧1 𝑧𝑛 , , 𝑧𝑛−1 𝑧𝑛 , 𝑧𝑛). Đặt 𝜑(𝔹∗ 𝑛) = 𝑇 𝑣à xác định 𝜑1:𝔹∗ 𝑛 → 𝑇 𝑏ở𝑖 𝜑1(𝑧) = 𝜑(𝑧) sao cho 𝑧𝜖 𝔹∗ 𝑛 . Khi đó 𝜑1 là song chỉnh hình. Đặt 𝑔 = 𝑓 °𝜑1 −1 ∶ 𝑇 → 𝑀 và TR,h = {𝑡 = (𝑡′ , 𝑧𝑛) ∈ 𝑇: ‖𝑡 ′‖ < 𝑅 𝑣à 0 < |𝑧𝑛| 2 < ℎ 1+𝑅2 )} sao cho 𝑅 > 0 và 0 < h ≤ 1. {𝑇𝑅,ℎ} là tích của hai tập mở nên nó cũng là một tập mở. Hiển nhiên khi ℎ tăng thì bán kính tập mở thứ hai cũng tăng. Do đó {𝑇𝑅,ℎ} là họ của các tập con mở tăng khi ℎ tăng và 𝑇 =∪ {𝑇𝑅,1: 𝑅 ∈ 𝑄+ ∗ }. Từ (1) ta có 𝑔 là chỉnh hình trong 𝑇𝑅,𝑟02 với mọi 𝑅 > 0. Định nghĩa ∆̃𝑅=�̅�√1|(1+𝑅2) = {𝑧 ∈ 𝐶: |𝑧| ≤ √1/(1 + 𝑅 2)}, SR = {𝑤′ ∈ 𝔹𝑅 𝑛−1: 𝑔 không thác triển đến mọi lân cận của (𝑤′ × ∆̃𝑅) ∩ 𝜑1(𝔹∗ 𝑛)}. Theo định nghĩa trên, phần bù của 𝑆𝑅 là tập mở cho nên 𝑆𝑅 là đóng. Chúng ta phải chứng minh 𝑆𝑅 là đa cực. Thật vậy, theo giả thiết và vì 1 1+‖𝑤′‖2 > 1 1+𝑅2 với mọi 𝑤′ ∈ 𝔹𝑅 𝑛−1, Ta có ánh xạ 𝑔𝑤′(𝑤𝑛) = 𝑔(𝑤 ′, 𝑤𝑛) = 𝑓(𝑤𝑛𝑤 ′, 𝑤𝑛) là chỉnh hình trên lân cận của ∆̃𝑅. Theo Bổ đề 2.1.1 tồn tại một tập con đa cực đóng 𝑆𝑅 ′ của 𝔹𝑅 𝑛−1 sao cho g thác triển thành ánh xạ chỉnh hình �̃� : (𝔹𝑅 𝑛−1\ 𝑆𝑅 ′ ) × ∆̃𝑅) → 𝑀. Rõ ràng SR⊂ 𝑆𝑅 ′ và do đó SR là đa cực. Đặt �̃�R = SR× ∆̃R và �̃� = ∪𝑅∈𝑄+∗ �̃�R . Rõ ràng 𝑆 ̃là tập con đa cực của T. 20 Lấy một điểm bất kì 𝑧 = (𝑧′, 𝑧𝑛) ∈ 𝑇\�̃�. Vì T = ∪𝑅∈𝑄+∗ TR,1, nên tồn tại R∈ 𝑄+ ∗ sao cho z∈ 𝑇R,1. Mặt khác, theo định nghĩa của SR và �̃�R,ta có z’∉ 𝑆R. Vì vậy g thác triển chỉnh hình trên lân cận của (𝑧′ × ∆̃R)∩ 𝑇. Điều đó có nghĩa là g là chỉnh hình trên lân cận mở của 𝑧. Từ đó suy ra g là chỉnh hình trên lân cận mở của T \ �̃�. Xét ánh xạ 𝑝 ∶ ℂ𝑛 → ℂ𝑛−1 được cho bởi (𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) ↦ (𝑧1, . . . , 𝑧𝑛−1) và đặt 𝑇∗= {𝑧: 𝑧 ∈ 𝑇 𝑣à 𝑝(𝑧) ∉∪𝑅∈𝑄+∗ 𝑆𝑅}. Vì 𝑇∗ ⊂ 𝑇\�̃� nên 𝑔 là chỉnh hỉnh trên một lân cận mở của 𝑇∗. Hơn nữa 𝔹𝑛 = ∪𝑗=1 𝑛 (𝔹𝑛\ {𝑧𝑗 = 0})∪ 𝔹𝑟0 𝑛 nên 𝑓 là chỉnh hình trên một lân cận mở của 𝔹𝑛 \ ∪𝑎∈𝑆 la trong đó 𝑆 là đa cực trong ℙ 𝑛−1(ℂ). 2.2. Định lý Forelli đối với không gian phức kiểu Hartogs Để chứng minh định lý Forelli đối với không gian phức kiểu Hartogs ta cần một số kết quả sau: Định lý 2.2.1 [14] Cho 𝑈, 𝑉 là tập mở trong ℂ𝑚, ℂ𝑛 tương ứng và K là tập compact liên thông trong ℂ𝑛chứa V. X là một không gian giải tích phức f:U×V→ 𝑋 là ánh xạ chỉnh hình. Nếu 𝑓𝑧 thác triển chỉnh hình tới K với mọi z∈ U. Khi đó tồn tại một tập con đóng E có độ đo 0 trong U và một ánh xạ chỉnh hình 𝑓:̃ (𝑈\𝐸) × 𝐾 → 𝑋 sao cho 𝑓 = 𝑓 trên (𝑈\𝐸) × 𝑉. Chứng minh [7]: Kí hiệu E là tập các điểm 𝑧 ∈ 𝑈 sao cho 𝑓 thác triển chỉnh hình lên một lân cận (trong 𝑈 × ℂ𝑛) của {𝑧} × 𝐾. Khi đó 𝐸 là tập con của 𝑈. Giả sử 𝐸 có độ đo dương. Như trong chứng minh của Bổ đề 2.1.1. Ta chọn 𝐸′ là tập các điểm của 𝑧 ∈ 𝐸 sao cho 𝑓𝑧 ∈ 𝑁(𝑟; 𝑗1, , 𝑗𝑟 , 𝑘1, , 𝑘𝑟) sao cho 𝐸 ′ có độ đo dương và vì vậy 𝐸′ không là một tập đa cực. Định lý 2.2.1 được chứng minh hoàn toàn tương tự như chứng minh Bổ đề 2.1.1 ∎ 21 Bổ đề sau chỉ ra một lớp các không gian phức có tính chất (HEP). Bổ đề 2.2.1 [7] Giả sử X là không gian giải tích phức. Khi đó các khẳng định sau là tương đương: i. X có tính chất (HEP) ii. Nếu D là một miền trong ℂ2 và 𝑝 ∈ 𝜕𝐷 sao cho D có 𝐶2 biên tại p và D không giả lồi Levi tại p thì mọi ánh xạ chỉnh hình 𝑓: 𝐷 → 𝑋 thác triển thành một ánh xạ chỉnh hình trên một tập mở chứa 𝐷 ∪ {𝑝}. iii. Nếu D là một miền trong một đa tạp Stein �̃� sao cho �̃� là bao chỉnh hình của D thì mọi ánh xạ chỉnh hình 𝑓: 𝐷 → 𝑋 có thể thác triển chỉnh hình tới �̃�. Bổ đề 2.2.2 [7] Cho U, V có miền tương ứng trong ℂ𝑀, ℂ𝑁 , cho 𝑉0 là một tập mở của V, và cho E là tập con đóng có độ đo 0 trong U. Khi đó bao chỉnh hình của U×𝑉0 ∪ (𝑈\𝐸) × 𝑉 chứa U×V. Bổ đề 2.2.3 [7] Giả sử M là không gian phức có tính chất thác triển Hartogs (HEP). Giả sử U,V là miền xác định trong ℂ𝑛,ℂ𝑚 tương ứng và giả sử V0 là 1 tập con mở của V. Nếu f: U × 𝑉0 → 𝑀 là ánh xạ chỉnh hình thì fz thác triển chỉnh hình đến V cho tất cả các điểm z ∈ 𝑈. Khi đó f là thác triển chỉnh hình đến U × 𝑉. Chứng minh. Xét một miền tùy ý 𝑉′ với 𝑉0 ⊂ 𝑉 ′ ⊆ 𝑉. Theo Định lý 2.2.1 tồn tại một tập con đóng 𝐸 có độ đo 0 trong 𝑈 sao cho 𝑓 thác triển chỉnh hình đến tập 𝐷 = 𝑈×𝑉0 ∪ (𝑈\𝐸) × 𝑉 ′. Theo Bổ đề 2.2.2 bao chỉnh hình �̃� của 𝐷 chứa U×𝑉′. Vì vậy theo Bổ đề 2.2.1, 𝑓 thác triển chỉnh hình đến 𝑈 × 𝑉′. Vì 𝑉′ là tùy ý nên định lý được chứng minh.∎ Forelli đã chứng minh được kết quả đáng chú ý sau đây: 22 Định lý 2.2.2 [14] (Định lý Forelli) Nếu f là một hàm được xác định trong hình cầu đơn vị 𝔹𝑛 ⊂ ℂ𝑛, chỉnh hình trên giao của 𝔹𝑛 với mỗi đường thẳng phức l đi qua điểm gốc và nếu f khả vi lớp 𝐶∞trong lân cận của điểm gốc thì f chỉnh hình trong 𝔹𝑛. Đỗ Đức Thái và Phạm Ngọc Mai đã chứng minh định lý Forelli đối với không gian phức kiểu Hartogs sau: Định lý 2.2.3 [14] Giả sử M là một không gian phức kiểu Hartogs . Khi đó M có tính chất Forelli Chứng minh. Theo Định lý 2.2.2 (Forelli), tồn tại 𝑟 > 0 sao cho 𝑓 là chỉnh hình trong 𝔹𝑟0 𝑛 . Đặt 𝑟∗ = sup{𝑟 ∈ (0,1): 𝑓 là chỉnh hình trong 𝔹𝑟 𝑛}. Khi đó 𝑓 là chỉnh hỉnh trong 𝔹𝑟∗ 𝑛 . Giả sử 𝑟∗ > 1. Bước 1 . Lấy 𝑝0 ∈ 𝜕𝔹𝑟∗ 𝑛 . Với điểm 𝑓(𝑝0) ∈ 𝑀 lấy 𝑊0 = 𝑊𝑓(𝑝0), r0= 𝑟𝑓(𝑝0), S0 = 𝑆𝑓(𝑝0) như trong định nghĩa kiểu Hartogs 1.5.2 (ii), tức là với mỗi 𝜑 ∈ 𝐻𝑜𝑙(∆, 𝑀) nếu 𝜑(0) ∈ 𝑊0 thì 𝜑(∆𝑟0) ⊂ 𝑆0. Vì lim 𝛼→1− ||𝑝||(1−𝛼) 1−𝛼(𝑟∗)2 = 0 < 𝑟0 nên tồn tại 𝛼0∈ (0,1) sao cho 0 02 0 *(1 ) 1 ( *) r r r      , 0 0 0W( )f p  . Hơn nữa, vì lim 𝑝→𝑝0 ‖𝑝‖(1−𝛼0) 1−𝛼0‖𝑝‖2 = 𝑟∗(1−𝛼0) 1−𝛼0(𝑟∗)2 < r0, nên tồn tại 𝔹(𝑝0, 𝛿) ⊂ 𝔹 𝑛 sao cho ‖𝑝‖(1 − 𝛼0)/(1 − 𝛼0‖𝑝‖ 2) < 𝑟0, với mỗi 𝑝 ∈ 𝔹(𝑝0,𝛿) và 𝑓(𝛼0𝔹(𝑝0, 𝛿)) = 𝑓 (𝔹(𝛼0𝑝0, 𝛼0, 𝛿)) ⊂ 𝑊0. 23 Bây giờ chúng ta chứng minh rằng 𝑓(𝔹(𝑝0, 𝛿)) ⊂ 𝑆0. Thực vậy, lấy 𝑝 ∈ 𝔹(𝑝0, 𝛿). Xét ánh xạ 𝑀�̈�𝑏𝑖𝑢𝑠 ψ: ∆→ ∆ đượ𝒄 cho bởi 𝜓(𝑧) = 𝑧 − ‖𝛼0𝑝‖ 1 − ‖𝛼0𝑝‖𝑧 Đặt 𝜓(‖𝑝‖) = 𝑝’. Xét ánh xạ 𝜑: ∆→ 𝔹𝑛 được cho bới 𝜑(𝑧) = 𝑧𝑝/||𝑝|| và ánh xạ hợp thành 𝛷 ≔f∘ 𝜑 ∘ 𝜓−1 : ∆→ 𝑀. Khi đó 𝛷(0) = 𝑓(𝛼0𝑝) ∈ 𝑊0, 𝛷(𝑝 ′) = 𝑓(𝑝). Mặt khác, vì |𝑝’| = ‖𝑝‖(1 − 𝛼0) 1 − 𝛼0‖𝑝‖2 < 𝑟0, nên ta có 𝑝’ ∈ ∆𝑟0 và do đó 𝛷(𝑝 ′) = 𝑓(𝑝) ∈ 𝑆0. Bước 2. Ta sẽ chứng minh rằng, mỗi 𝑝0 ∈ 𝔹𝑟∗ 𝑛 , tồn tại 𝛿𝑝0 > 0 sao cho thu hẹp của f trên 𝔹(𝑝0, 𝛿𝑝0) là chỉnh hình. Không mất đi tính tổng quát chúng ta có thể giả thiết 𝑝0 = (0, . . . ,0, 𝑟 ∗). Do 𝑓, 𝜑1 −1 là ánh xạ chỉnh hình và 𝑔 = 𝑓 ∘ 𝜑1 −1 nên theo định nghĩa của 𝑇 và 𝑇𝑅,ℎ ta có g là chỉnh hình trên 𝑇𝑅,(𝑟∗)2 với mọi 𝑅 > 0. Theo bước 1, vì 𝜑1 là song chỉnh hình nên tồn tại 𝛿 > 0 sao cho g(𝔹(𝑝0, 𝛿) chứa trong tập con S0 kiểu Hartogs. Chú ý rằng 𝜑1(𝑝0) = 𝑝0. Lấy 𝛿1 > 0 đủ nhỏ sao cho ∆𝛿1 𝑛−1 × ∆(𝑝0,𝛿1) ⊂ 𝐵(𝑝0, 𝛿). Vì lim 𝛿→0+ (𝑟∗)2 1+(𝑛−1)𝛿2 = (𝑟∗)2 > (𝑟∗ − 𝛿1 4 )2, tồn tại 𝜎2 > 0 sao cho (𝑟 ∗)2 1 + (𝑛 − 1)𝜎2 2 > (𝑟 ∗ − 𝜎1 4 )2, 0 < 𝛿2 < 𝛿1. 24 Do đó ∆𝜎2 𝑛−1 × ∆(𝑟∗ − 𝜎1 2 , 𝛿1 4 ) ⊂ ∆𝛿2 𝑛−1 × ∆(𝑟∗,𝛿1)⊂ 𝔹(𝑝0, 𝛿) và ∆𝛿2 𝑛−1 × ∆(𝑟∗ − 𝛿1 2 , 𝛿1 4 ) ⊂ 𝑇𝛿2,(𝑟∗)2. Theo Bổ đề 2.2.2, 𝑔 là chỉnh hình trong ∆𝛿2 𝑛−1 × ∆(𝑟∗, 𝛿1). Vì vậy 𝜑1 là ánh xạ song chỉnh hình. Bước 3. Cho mỗi 𝑝 ∈ 𝔹𝑟∗ 𝑛̅̅ ̅̅ ̅ đặt 𝛿𝑝 = sup{𝛿: 𝑓 là chỉnh hình trong 𝔹(𝑝, 𝛿)}. Theo bước 2, 𝛿𝑝 là một số dương. Mặt khác, theo bất đẳng thức tam giác ta có |𝛿𝑝0 − 𝛿𝑝1| ≤ ‖𝑝0 − 𝑝1‖, ∀𝑝0, 𝑝1 ∈ 𝔹𝑟∗ 𝑛̅̅ ̅̅ ̅. Từ đó suy ra hàm 𝛿: 𝔹𝑟∗ 𝑛̅̅ ̅̅ ̅→ℝ∗ + là liên tục. Do đó min𝑝∈𝔹𝑟∗ 𝑛̅̅ ̅̅ ̅𝛿(𝑝) = 𝛿𝑟∗ > 0. Khi đó f là chỉnh hình trong 𝔹𝑟∗+𝛿𝑟∗ 𝑛 ⊋ 𝔹𝑟∗ 𝑛 . Điều này là mâu thuẫn với giả sử 𝑟∗ = sup{𝑟 ∈ (0,1): 𝑓 là chỉnh hình trong 𝔹𝑟 𝑛}. ∎ 2.3. Định lý Forelli đối với đa tạp K�̈�hler phức compa