Luận văn Động học của phương trình kolmogorov chịu nhiễu markov

.2) và hệ: x˙(t) = xa(−,x,y)y˙(t) = yb(−,x,y) (2.3) Trong suốt bản luận văn này, chúng tôi giả sử rằng trong cả 2 hệ (2.2) và (2.3), các hệ số a(±,x,y) ,b(±,x,y) thỏa mãn các giả thiết sau: 14 Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo. Giả thiết 2.1. 1. ∂a(±,x,0)∂x 0. 2. a(±,0,0)> 0, limx→∞ a(±,x,0)< 0. 3. ∂b(±,0,y)∂y 0. 4. b(±,0,0)> 0, limy→∞ b(±,0,y)< 0. Giả sử hệ (2.2) có một nghiệm duy nhất (x+ (t,x0,y0) ,y+ (t,x0,y0)), kí hiệu là (x+ (t) ,y+ (t)) (tương tự với (2.3) có nghiệm duy nhất (x− (t,x0,y0) ,y− (t,x0,y0)), kí hiệu: (x− (t) ,y− (t))), bắt đầu từ (x0,y0) ∈ R2+. Trong suốt bản luận văn này, giả thiết rằng những nghiệm đó xác định trên [0,∞). Hơn nữa, giả sử rằng, Giả thiết 2.2. Tồn tại tập compact D ⊂ R2+ bất biến đối với cả hai hệ (2.2) ,(2.3). Hơn thế nữa, ∀(x,y) ∈ R2+, tồn tại T > 0 sao cho (x+ (t) ,y+ (t)) ∈ D,(x− (t) ,y− (t)) ∈ D,∀t > T . Ta chú ý rằng Giả thiết 2.2 sẽ được thỏa mãn nếu a(±,x,y)< 0,b(±,x,y)< 0 khi x hoặc y đủ lớn. Để thuận tiện cho lập luận, chúng tôi giả sử ξ0 = + . Đầu tiên, chúng ta xét hai hệ trên biên u˙(t) = u(t)a(ξt ,u(t) ,0) ,u(0) ∈ [0,∞), (2.4) v˙(t) = v(t)a(ξt ,0,v(t)) ,v(0) ∈ [0,∞). (2.5) Với giả thiết 2.1, tồn tại duy nhất một số u+ thỏa mãn a(+,u+,0) = 0 và một số u− thỏa mãn a(−,u−,0) = 0. Trong trường hợp u+ 6= u− chúng ta giả sử rằng u+ < u− và đặt h+ = h+ (u) = ua(+,u,0) , h− = h− (u) = ua(−,u,0) . Điều này có nghĩa là (xem [21]), nếu u(t) là nghiệm của hệ (2.4) thì (ξt ,u(t)) là một quá trình Markov với toán tử vi phân L cho bởi:Lg(+,u) =−α (g(+,u)−g(−,u))+h + (u) ddug(+,u) , Lg(−,u) = β (g(+,u)−g(−,u))+h− (u) ddug(−,u) . Miền xác định của L là các hàm g(i,x) xác định trên E× (0,∞), khả vi liên tục tại x. 15 Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo. Mật độ dừng (µ+,µ−) của (ξt ,u(t)) có thể được tìm thấy từ phương trình Fokker–Planck−αµ + (u)+βµ− (u)− ddu [h+µ+ (u)] = 0 αµ+ (u)−βµ− (u)− ddu [h−µ− (u)] = 0 (2.6) Phương trình (2.6) có một nghiệm dương duy nhất cho bởi µ+ (u) = θF (u) u |a(+,u,0)| , µ − (u) = θF (u) u |a(−,u,0)| (2.7) Trong đó: F (u) = exp ( − ∫ u u′ ( α τa(+,τ,0) + β τa(−,τ,0) ) dτ ) , u ∈ [u+,u−] ,u′ = u++u− 2 , θ = {∫ u− u+ ( p F (u) u |a(+,u,0)| +q F (u) u |a(−,u,0)| ) du }−1 . Như vậy, quá trình (ξt ,u(t)) có một phân phối dừng duy nhất với mật độ (µ+,µ−) (xem chi tiết trong [4]). Hơn nữa, với hàm liên tục bất kỳ f : E×R→ R với∫ u− u+ ( p f (+,u)µ+ (u)+q f (−,u)µ− (u))du< ∞, Chúng ta có: lim t→∞ 1 t ∫ t 0 f (ξs,u(s))ds= ∫ u− u+ ( p f (+,u)µ+ (u)+q f (−,u)µ− (u))du. (2.8) Tương tự như vậy, tồn tại duy nhất v+ sao cho b(+,0,v+) = 0 (tương tự v− sao cho b(−,0,v−) = 0). Nếu v+ 6= v−, phương trình (2.5) cũng có một phân phối dừng duy nhất với mật độ (ν+,ν−) cho bởi: ν+ (v) = ζG(v) v |b(+,0,v)| , ν − (v) = ζG(v) v |b(−,0,v)| , (2.9) trong đó G(v) = exp ( − ∫ v v′ ( α τb(+,0,τ) + β τb(−,0,τ) ) dτ ) , v ∈ [v+,v−] ,v′ = v++ v− 2 , và ζ = (∫ v− v+ ( p G(v) v |b(+,0,v)| +q G(v) v |b(−,0,v)| ) dv )−1 . 16 Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo. Hơn nữa, theo giả thiết 2.1, với |ε| đủ nhỏ (ε có thể âm), tồn tại duy nhất u+ε thỏa mãn a(+,u+ε ,0) = ε và u−ε thỏa mãn a(−,u−ε ,0) = ε . Để đơn giản, ta viết u+ (hoặc u−) thay cho u+0 (hoặc u − 0 ). Xét phương trình: u˙ε (t) = uε (t)(a(ξt ,uε (t) ,0)− ε) . (2.10) Phương trình (2.10) cũng có một phân phối dừng duy nhất với mật độ (µ+ε ,µ−ε ) cho bởi: µ+ε (u) = θεFε (u) u |a(+,u,0)− ε| ,µ − ε (u) = θεFε (u) u |a(−,u,0)− ε| ,u ∈ [ u+ε ,u − ε ] , (2.11) ở đó Fε (u) = exp ( − ∫ u u′ ( α τ (a(+,τ,0)− ε) + β τ (a(−,τ,0)− ε) ) dτ ) , và θε = (∫ u−ε u+ε ( p Fε (u) u |a(+,u,0)− ε| +q Fε (u) u |a(−,u,0)− ε| ) du )−1 . Chúng ta xác định (ν+ε ,ν−ε ) đơn giản như cách xác định (µ+ε ,µ−ε ) . ν+ε (v) = ζεGε (v) v |b(+,0,v)− ε| , ν−ε (v) = ζεGε (v) v |b(−,0,v)− ε| ,v ∈ [ v+ε ,v − ε ] , ở đó Gε (v) = exp ( − ∫ v v′ ( α τ (b(+,0,τ)− ε) + β τ (b(−,0,τ)− ε) ) dτ ) , và ζε = (∫ v−ε v+ε ( p Gε (v) v |b(+,0,v)− ε| +q Gε (v) v |b(−,0,v)− ε| ) dv )−1 . Bổ đề 2.1.1. lim ε→0 ( µ+ε ,µ − ε ) = ( µ+,µ− ) , lim ε→0 ( ν+ε ,ν − ε ) = ( ν+,ν− ) . Chứng minh. Do a(+,x,0) là một hàm giảm, khả vi liên tục và u+ε là nghiệm của phương trình a(+,u+ε ,0) = ε , nên u+ε liên tục giảm trong ε và trong lân cận của 0. Để đơn giản, chúng tôi chứng minh bổ đề này cho trường hợp ε > 0. Trường hợp ε < 0 chứng minh tương tự. Cho M > 0 là một số dương sao cho D⊂ [0,M)× [0,M) và cho m= max i∈E × max 06u6M −da(i,u,0) du . 17 Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo. Với mọi ε0 > 0 tồn tại một ε1 < ε0 sao cho u+− ε0 < u+ε ,u−− ε0 < u−ε , với mọi ε < ε1. Hơn nữa, ∣∣∣∣∣ ∫ u−ε u+ε Fε (u) u |a(+,u,0)− ε|du− ∫ u− u+ F (u) u |a(+,u,0)|du ∣∣∣∣∣ 6 ∣∣∣∣∫ u−−ε0u++ε0 Fε (u)u |a(+,u,0)− ε|du− ∫ u−−ε0 u++ε0 F (u) u |a(+,u,0)|du ∣∣∣∣ + ∣∣∣∣∫ u++ε0u+ε Fε (u)u |a(+,u,0)− ε|du− ∫ u++ε0 u+ F (u) u |a(+,u,0)|du ∣∣∣∣ + ∣∣∣∣∣ ∫ u−ε u−−ε0 Fε (u) u |a(+,u,0)− ε|du− ∫ u− u−−ε0 F (u) u |a(+,u,0)|du ∣∣∣∣∣ . Theo định lý Lagrange, với u ∈ [u+ε ,u−ε ], ta có −(a(+,u,0)− ε) = |a(+,u,0)− ε|6 m(u−u+ε ) . Hơn nữa, αu > α M với u + ε < u< u ′. Khi đó, − ∫ u′ u αdτ τ (a(+,τ,0)− ε) > ∫ u′ u αdτ Mm ( u−u+ε ) > (Mm)−1α ln |u′−u+ε |∣∣u−u+ε ∣∣ , Kéo theo exp ( −∫ uu′ αdττ(a(+,τ,0)−ε))6 |u−u+ε |(Mm)−1α|u′−u+ε |(Mm)−1α với u+ε < u< u′. Hơn nữa, do hàm βu(a(−,u,0)−ε) liên tục trong [u + ε ,u ′] , ∣∣∣∣ Fε (u)u(a(+,u,0)− ε) ∣∣∣∣= exp ( −∫ uu′ αdττ(a(+,τ,0)−ε)) .exp(−∫ uu′ βdττ(a(−,τ,0)−ε)) u |a(+,u,0)− ε| 6 K ∣∣u−u+ε ∣∣m−1α−1 Với mọi u ∈ (u+ε ,u′), trong đó K là một hằng số dương thích hợp. Do đó,∣∣∣∣∫ u++ε0u+ε Fε (u)duu(a(+,u,0)− ε) ∣∣∣∣ 6 ∫ u++εu+ε K ∣∣u−u+ε ∣∣(Mm)−1α−1 du = K (Mm)−1α ( u+−u+ε + ε0 )(Mm)−1α < K (Mm)−1α (2ε0)(Mm) −1α tiến tới 0 khi ε0→ 0, và∣∣∣∣∫ u++ε0u+ F (u)duua(+,u,0) ∣∣∣∣6 K (Mm)−1αε(Mm)−1α0 → 0 khi ε0→ 0. Vậy nên, ∣∣∣∣∫ u++ε0u+ε Fε (u)u |a(+,u,0)− ε|du− ∫ u++ε0 u+ F (u) u |a(+,u,0)|du ∣∣∣∣→ 0 khi ε0→ 0. 18 Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo. tương tự như vậy∣∣∣∣∣ ∫ u−ε u−−ε0 Fε (u) u |a(+,u,0)− ε|du− ∫ u− u−−ε0 F (u) u |a(+,u,0)|du ∣∣∣∣∣→ 0 khi ε0→ 0. Nếu ta cố định ε0,∣∣∣∣∫ u−−ε0u++ε0 Fε (u)u |a(+,u,0)− ε|du− ∫ u−−ε0 u++ε0 F (u) u |a(+,u,0)|du ∣∣∣∣→ 0 khi ε → 0. Tương tự với a(−,u,0) cố định. Kết hợp những yếu tố này, ta được θε → θ khi ε → 0. Bằng cách sử dụng các biểu thức (2.11) , ta suy ra lim ε→0 ( µ+ε ,µ − ε ) = ( µ+,µ− ) . Chứng minh tương tự ta cũng được lim ε→0 ( ν+ε ,ν − ε ) = ( ν+,ν− ) . Nếu u+ = u− (tương tự v+ = v−), quá trình (ξt ,u(t)) có một phân phối dừng duy nhất với mật độ tổng quát µ+ (u) = µ− (u) = δ (u−u+), (tương tự đối với quá trình (ξt ,v(t)), ν+ (v) = ν− (v) = δ (v− v+) ), ở đó δ (.) là hàm Dirac. Cho 06 ε 6 N, ta đặt Hε,N = [ε,N]× [ε,N] và λ1 = ∫ [v+,v−] (pa(+,0,v)ν+ (v)+qa(−,0,v)ν− (v))dv, λ2 = ∫ [u+,u−] (pb(+,u,0)µ+ (u)+qb(−,u,0)µ− (u))du. (2.12) Định lí 2.1.2. Với x0 > 0,y0 > 0 bất kỳ. a. Nếu λ1 > 0 thì tồn tại một δ1 > 0 sao cho limsup t→∞ x(t,x0,y0)> δ1, h.c.c. b.Trong trường hợp λ2 > 0 thì tồn tại một δ2 > 0 sao cho limsup t→∞ y(t,x0,y0)> δ2, h.c.c. 19 Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo. Chứng minh. Dễ dàng chứng minh được ý (a) với trường hợp u+ = u−. Cho u+ 6= u− và λ1 > 0. Cho M là một số được cho trong chứng minh của bổ đề 2.1.1 và L= max i∈E;(x,y)∈H0,M {∣∣∣∣∂a(i,x,y)∂x ∣∣∣∣ , ∣∣∣∣∂a(i,x,y)∂y ∣∣∣∣ , ∣∣∣∣∂b(i,x,y)∂x ∣∣∣∣ , ∣∣∣∣∂b(i,x,y)∂y ∣∣∣∣} . Theo (2.8), ta được lim t→∞ 1 t ∫ t 0 (v−ε (s)− vε (s))ds= = ∫ u−−ε u+−ε ( pν+−ε +qν − −ε ) du− ∫ u−ε u+ε ( pν+ε +qν − ε ) du. Từ bổ đề 2.1.1 ta được lim ε→0 lim t→∞ 1 t ∫ t 0 (v−ε (s)− vε (s))ds= 0, (2.13) Kéo theo, tồn tại một ε > 0 sao cho limt→∞ 1t ∫ t 0 (v−ε (s)− vε (s))ds< λ12L . Bây giờ ta cần chỉ ra rằng limsupt→∞ x(t)> δ1 với xác suất 1, ở đó δ1 := min { ε L , δ 2L } . Giả sử trái lại, có một tập B đo được với P(B)> 0 thỏa mãn limsupt→∞ x(t,ω)< δ1, với ω ∈ B bất kỳ. Khi đó, tồn tại một T > 0 sao cho x(t,x0,y0) T . Tính chất này kéo theo |b(ξt ,x(t) ,y(t))−b(ξt ,0,y(t))|< δ1L6 ε . Do đó, y(b(ξt ,0,y(t))− ε)< y˙(t) = yb(ξt ,x(t) ,y(t))< y(b(ξt ,0,y(t))+ ε) . Từ đó, theo định lý so sánh vε (t) T, Trong đó vε ,v−ε là các nghiệm của phương trình v˙= v(b(ξ ,0,v)− ε) và phương trình v˙= v(b(ξ ,0,v)+ ε) tương ứng với điều kiện v−ε (T ) = vε (T ) = y(T,x,y). Hơn nữa, |a(ξt ,0,y(t))−a(ξt ,0,v(t))|6 L |y(t)− v(t)|< L(v−ε (t)− vε (t)) , |a(ξt ,x(t) ,y(t))−a(ξt ,0,y(t))|6 Lx(t) ,∀t > T. 20 Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo. Từ những bất phương trình trên và (2.13), ta được limsup t→∞ 1 t ∫ t 0 |a(ξs,x(s) ,y(s))−a(ξs,0,y(s))|ds6 lim t→∞ L t ∫ t T x(s)ds< Lδ1 < λ1 2 , limsup t→∞ 1 t ∫ t 0 |a(ξs,0,y(s))−a(ξs,0,v(s))|ds6 lim t→∞ L t ∫ t T (v−ε (s)− vε (s))ds< λ12 . Như vậy, bằng cách sử dụng hệ thức x˙ x −a(ξt ,0,v) = a(ξt ,x,y)−a(ξt ,0,v) = = a(ξt ,x,y)−a(ξt ,0,y)+a(ξt ,0,y)−a(ξt ,0,v) , Ta được ∣∣∣∣limsup t→∞ 1 t ∫ t 0 x˙ x ds− lim t→∞ 1 t ∫ t 0 a(ξs,0,v)ds ∣∣∣∣< λ1. Do x(t) giới nội, limsup t→∞ 1 t ∫ t 0 x˙ x ds= limsup t→∞ lnx(t)− lnx(0) t 6 0. Nói cách khác, theo luật số lớn, lim t→∞ 1 t ∫ t 0 a(ξs,0,v(s))ds = ∫ ( pa(+,0,v)ν+ (v)+qa(−,v,0)ν− (v))dv = λ1 > 0. Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Như vậy, limsupt→∞ x(t)> δ1 h.c.c. Ý (b) chứng minh tương tự. Định lý được chứng minh. Từ bây giờ, giả sử rằng λ1 > 0,λ2 > 0. Bằng giả thiết a(±,0,0) > 0,b(±,0,0) > 0 và định lý 2.1.2, tồn tại một số δ > 0 sao cho limsupx(t)> δ , limsupy(t)> δ và a(±,x,y)> 0,(±,x,y) > 0 nếu 0 0,(±,x,y) > 0 nếu 0 < x,y 6 δ kéo theo tồn tại một T > 0 sao cho một trong hai x(t)> δ hoặc y(t)> δ ,∀t > T . Vì vậy, không mất tính tổng quát, giả sử rằng x(t)> δ hoặc y(t)> δ ,∀t > 0. Bổ đề 2.1.3. Với xác suất 1, tồn tại vô số các sn= sn (ω)> 0 sao cho sn> sn−1, limn→∞ sn=∞ và x(sn)> δ ,y(sn)> δ ,∀n ∈ N. Chứng minh. Ta xây dựng 2 chuỗi ngẫu nhiên (tn)↗ ∞,(t ′n)↗ ∞ với t0 = t ′0, và với n ∈ N, tn = inf { t >max { t ′n−1,n } : x(t)> δ } , t ′n = inf{t >max{tn,n} : y(t)> δ} với quy ước rằng inf∅= ∞. Do limsupx(t)> δ , limsupy(t)> δ h.c.c, P { tn−1 6 t ′n−1 6 tn 6 t ′n<∞,∀n ∈ N } = 1 và do x(tn)> δ ,y(t ′n)> δ ,∀n ∈ N. Nếu y(tn) > δ thì ta chọn sn = tn. Trong trường hợp, nếu y(tn) < δ thì ta đặt sn = inf{t > tn : y(t)> δ}. Do y(t ′)> δ ,sn 6 t ′n, hơn nữa, y(t) δ ,∀tn 6 t < sn. Do đó, x(sn)> δ ,y(sn)> δ . Bổ đề được chứng minh. 21 Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo. 2.2 Tập ω- giới hạn. Từ các khái niệm trong [6], ta định nghĩa (ngẫu nhiên) tập ω- giới hạn của các quỹ đạo bắt đầu từ tập B đóng như sau Ω(B,ω) = ⋂ T>0 ⋃ t>T (x(t, .,ω) ,y(t, .,ω))B. Đặc biệt, tập ω-giới hạn của quỹ đạo bắt đầu từ một giá trị ban đầu (x0,y0) là: Ω(x0,y0,ω) = ⋂ T>0 ⋃ t>T (x(t,x0,y0,ω) ,y(t,x0,y0,ω)). Khái niệm này khác với định nghĩa về tập ω đưa ra trong [9] nhưng nó là gần nhất với một tập ω- giới hạn của một hệ động lực tất định. Trong trường hợp này Ω(x0,y0,ω) là hằng số hầu chắc chắn, nó tương tự như khái niệm về điểm hấp dẫn yếu và điểm hấp dẫn được đưa ra trong [14, 22]. Mặc dù, nói chung, tập ω- giới hạn trong ý nghĩa này không có tính chất bất biến, nhưng khái niệm này phù hợp với mục đích của chúng tôi mô tả gần đúng dáng điệu quỹ đạo của nghiệm với giá trị ban đầu đã cho. Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng dưới một số điều kiện, Ω(x0,y0,ω) là tất định, có nghĩa là, nó là hằng số gần như chắc chắn. Hơn nữa, nó cũng độc lập với giá trị ban đầu (x0,y0). Để biết thêm về dáng điệu của các nghiệm của hệ (2.1), chúng ta xét một số trường hợp cụ thể. Trước hết, ta đặt xn = x(τn,x,y) ;yn = y(τn,x,y) ; Fn0 = σ (τk : k 6 n) ;F∞n = σ (τk− τn : k > n) . Điều đó cho thấy rằng (xn,yn) là Fn0 - đo được và nếu ξ0 cho trước thì F n 0 độc lập với F ∞ n . 2.2.1 Trường hợp 1: cả hai hệ tất định là ổn định. Giả thiết 2.3. Trên miền trong của góc phần tư R2+ , cả hai hệ (2.2),(2.3) có những trạng thái dương ổn định toàn cục tương ứng là ( x∗+,y∗+ ) , ( x∗−,y∗− ) . Bổ đề 2.2.1. Cho giả thiết 2.3 được thỏa mãn và cho M là một số được cho trong chứng minh của bổ đề 2.1.1. Khi đó, với ε > 0, tồn tại σ (ε) sao cho x± (t)> σ (ε) ,y± (t)> σ (ε) ,∀t > 0,(x± (0) ,y± (0)) ∈ Hε,M. Chứng minh. Theo bổ đề 1.1.1, tồn tại T ∗ > 0 sao cho x± (t)> x∗± 2 ,y± (t)> y∗± 2 ,∀t > T ∗, với(x± (0) ,y± (0)) ∈ Hε,M. 22 Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo. Đặt σ (ε) := 12 min { mini∈E x∗i 2 ,mini∈E y∗i 2 ,εe KT ∗ } , trong đó K = min { 0,a(i,x,y) ,b(i,x,y) : i ∈ E,(x,y) ∈ H0,M } . Dễ dàng thấy được rằng x± (t)> σ (ε) ,y± (t)> σ (ε) ,∀t > 0. Bổ đề 2.2.2. Giả sử giả thiết 2.3 được thỏa mãn. Khi đó, với δ được nói đến ở trên, với xác suất 1, tồn tại vô số các k = k (ω) ∈ N sao cho x2k+1 > σ (σ (δ )) ,y2k+1 > σ (σ (δ )) . Chứng minh. Theo bổ đề 2.1.3, tồn tại một dãy (sn)↗∞ sao cho x(sn)> δ ,y(sn)> δ ,∀n ∈ N. Đặt kn := max{k : τk 6 sn}. Từ bổ đề 2.2.1, ta thấy rằng xkn+1 > σ (δ ) ,ykn+1 > σ (δ ) . Áp dụng Bổ đề 2.2.1 một lần nữa, ta được xkn+2 > σ (σ (δ )) ,ykn+2 > σ (σ (δ )). Rõ ràng, tập {kn+1 : n ∈ N}⋃{kn+2 : n ∈ N} chứa vô hạn các số lẻ. Bổ đề 2.2.2 được chứng minh. 2.2.2 Trường hợp 2: Một hệ ổn định và một hệ song ổn định. Giả thiết 2.4. Hệ (2.2) có trạng thái dương ổn định toàn cục ( x∗+,y∗+ ) . Còn (u−,0) ,(0,v−) là những trạng thái ổn định địa phương của hệ (2.3). Bổ đề 2.2.3. Cho giả thiết 2.4 được thỏa mãn. Khi đó, a.Với mỗi ε > 0,x+ (t)> σ (ε) ,y+ (t)> σ (ε) ,∀t > 0, với (x+ (0) ,y+ (0)) ∈ Hε,M, ở đó σ (ε) là một số đã được cho trong bổ đề 2.2.1. b.Với mỗi 0 0 sao cho nếu x− (0) δ thì x− (t) δ ,∀t > 0; nếu x− (0)> δ ,y− (0) δ ,y− (t) 0. Chứng minh. Ý (a) đã được chứng minh trong 2.2.1. Chúng ta chứng minh ý (b). Cho 0 < ε 6 δ , do điểm (0,v−) là ổn định địa phương, tồn tại δ1 > 0 sao cho nếu (x− (0) ,y− (0)) ∈ [0,δ1)× (v−−δ1,v−+δ1) thì (x− (t) ,y− (t)) ∈ [0,ε)× (v−− ε,v−+ ε) ,∀t > 0. Hơn nữa từ tính chất b(−,0,y) > 0 khi 0 < y < v− và b(−,0,y)< 0 khi v− < y, suy ra lim t→∞v− (t) = v − ở đó v− (t) là một nghiệm của phương trình v˙− (t) = v− (t)b(−,0,v− (t)), với v− (0) > 0. Vì vậy, do sự phụ thuộc liên tục của nghiệm trong điều kiện ban đầu, với mỗi δ 6 v 6 M, tồn tại các số δv > 0,Tv > 0 sao cho nếu (x− (0) ,y− (0)) ∈ [0,δv)× (v−δv,v+δv) thì (x− (Tv) ,y− (Tv)) ∈ [0,δ1)× (v−−δ1,v−+δ1). Điều này kéo theo (x− (t) ,y− (t)) ∈ [0,ε)× (v−− ε,v−+ ε) ,∀t > Tv. 23 Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo. Do [δ ,M] là compact, theo định lý Heine- Borel, tồn tại một tập hữu hạn {v1,v2, ...,vn} ⊂ [δ ,M] sao cho [δ ,M]⊂⋃ni=1 (vi−δvi,vi+δvi), và nếu (x− (0) ,y− (0)) ∈ n⋃ i=1 [0,δvi)× (vi−δvi,vi+δvi) thì (x− (t) ,y− (t)) ∈ [0,ε)× (v−− ε,v−+ ε) ,∀t >maxiTvi. Đặt δ2 =mini δvi , ta thấy rằng nếu 06 x− (0) δ ,∀t >maxiTvi. Lặp lại quá trình trên và sử dụng tính phụ thuộc liên tục của các nghiệm trong điều kiện ban đầu, ta được 0 < σ¯− (ε) < δ2 sao cho nếu 0 6 x− (0) < σ¯− (ε) ,δ < y− (0) 6 M ta có x− (t) δ ,∀t > 0 nếu 0 6 x− (0) < σ¯− (ε) ,δ < y− (0)6M. Một cách tương tự, ta có thể áp dụng cho điểm (u−,0) để tìm σˆ− (ε)> 0 sao cho x− (t)> δ ,y− (t) 0 nếu δ < x− (0)6M,06 y− (0)< σˆ− (ε). Đặt σ− (ε) = min{σ¯− (ε) , σˆ− (ε)}, ta có điều phải chứng minh. Bổ đề 2.2.4. Nếu giả thiết 2.4 được thỏa mãn thì, với xác suất 1, tồn tại vô số các k= k (ω)∈ N sao cho x2k+1 > ε,y2k+1 > ε , ở đó ε = min{σ (δ ) ,σ− (δ )} . Chứng minh. Ta chú ý rằng ε 6 σ− (δ )6 δ . Bổ đề 2.1.3 nói rằng có một dãy (sn)↗ ∞ sao cho x(sn)> δ ,y(sn)> δ ,∀n ∈ N. Nếu τ2k 6 sn 6 τ2k+1 ta có x(τ2k+1)> σ (δ ) ,y(τ2k+1)> σ (δ ) theo ý (a.) của bổ đề 2.2.3. Nếu τ2k+1 6 sn 6 τ2k+2 thì ξsn =−. Nó xảy ra từ ý (b.) của bổ đề 2.2.3 rằng x(τ2k+1) > σ− (δ ) ,y(τ2k+1) > δ hoặc x(τ2k+1) > δ ,y(τ2k+1) > σ− (δ ). Trong kết luận, ta nhận được x2k+1 > ε,y2k+1 > ε. Bổ đề được chứng minh. 2.2.3 Trường hợp 3: Một hệ ổn định toàn cục và một hệ triệt tiêu. Giả thiết 2.5. Hệ (2.2) có trạng thái dương ổn định toàn cục ( x∗+,y∗+ ) . Còn trạng thái (u−,0) hoặc trạng thái (0,v−) là ổn định và hút tất cả các nghiệm (x− (t) ,y− (t)) của hệ (2.3) với các giá trị ban đầu x− (0) > 0 và y− (0) > 0 (để thuận tiện, ta giả sử (u−,0) có tính chất này). Bổ đề 2.2.5. Cho giả thiết 2.5 được thỏa mãn. Khi đó, a.Với mỗi ε > 0, ta có x+ (t)> σ (ε) ,y+ (t)> σ (ε) ,∀t > 0, với (x+ (0) ,y+ (0)) ∈ Hε,M và nếu x− (0)> ε thì x− (t)> σ (ε). b.Với mỗi 0 0 sao cho nếu x− (0)> δ ,y− (0)6 σ− (ε) thì x− (t)> δ ,y− (t) 0. 24 Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo. Chứng minh. Ta chứng minh bổ đề này tương tự như chứng minh bổ đề 2.2.1 và 2.2.3. Bổ đề 2.2.6. Nếu giả thiết 2.5 được thỏa mãn thì, với xác suất 1, tồn tại vô số các k= k (ω)∈ N sao cho x2k+1 > ε,y2k+1 > ε , ở đó ε = min{σ (σ (δ )) ,σ (σ− (δ ))} . Chứng minh. Theo bổ đề 2.1.3, tồn tại một dãy (sn)↗∞ sao cho x(sn)> δ ,y(sn)> δ ,∀n ∈ N. Nếu τ2k 6 sn σ (δ ) > ε,y(τ2k+1) > σ (δ ) > ε , theo ý (a) của bổ đề 2.2.5. Nếu τ2k−1 6 sn σ (δ ). Nếu y2k > σ− (δ ) thì x2k+1 > σ (min{σ (δ ) ,σ− (δ )})> ε, y2k+1 > σ (min{σ (δ ) ,σ− (δ )})> ε. Trong trường hợp y2k δ phải xảy ra. Nếu max{y(t) : τ2k 6 t 6 τ2k+1}> σ− (δ ) , ta chọn t1 = min{t ∈ [τ2k,τ2k+1] : y(t)> σ− (δ )}. Do x(t1)> δ , suy ra x2k+1 > σ (σ− (δ ))> ε,y2k+1 > σ (σ− (δ ))> ε . Nếu y(t) δ ,∀τ2k 6 t 6 τ2k+1, thì y2k+1 < σ− (δ ) kéo theo y(t) < δ ,∀τ2k+1 6 t 6 τ2k+2... Tiếp tục quá trình này, chúng ta hoặc tìm được một số lẻ 2m+ 1 > n sao cho x2m+1 > ε,y2m+1 > ε hoặc được y(t) τ2k. Điều này mâu thuẫn với bổ đề 2.1.3. Bổ đề được chứng minh. Hiện tại chúng ta đang mô tả quỹ đạo dáng điệu động học của các nghiệm của hệ (2.1). Để đơn giản, ta ký hiệu pi+t (x,y) = (x+ (t,x,y) ,y+ (t,x,y)) là nghiệm của hệ (2.2) (tương tự pi−t (x,y) = (x− (t,x,y) ,y− (t,x,y)) là nghiệm của hệ (2.3)) với giá trị ban đầu (x,y). Đặt S= { (x,y) = piρ(n)tn ...pi ρ(1) t1 ( x∗+,y ∗ + ) : 0< t1 < t2 < ... < tn;n ∈ N } (2.14) ở đó ρ (k) = (−1)k . Định lí 2.2.7. Giả sử rằng (2.2) có một trạng thái ổn định toàn cục ( x∗+,y∗+ ) và tồn tại ε và M sao cho ε < x2n+1,y2n+1 <M xảy ra thường xuyên vô hạn với xác suất 1. Khi đó, (a) Với xác suất 1, tập đóng S¯ của S là một tập con của tập ω – giới hạn Ω(x0,y0,ω) . (b) Nếu tồn tại t0 > 0 sao cho điểm (x¯0, y¯0) = pi−t0 ( x∗+,y∗+ ) thỏa mãn điều kiện sau đây det a(+, x¯0, y¯0) a(−, x¯0, y¯0) b(+, x¯0, y¯0) b(−, x¯0, y¯0)  6= 0, (2.15) Thì, với xác suất 1, tập đóng S¯ của S là một tập ω – giới hạn Ω(x0,y0,ω). 25 Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo. Hơn thế nữa, S¯ hút tất cả các nghiệm dương với bất kỳ giá trị ban đầu (x0,y0) ∈ intR2+, giá trị γ (ω) = inf { t > 0 : (x(s,x0,y0,ω) ,y(s,x0,y0,ω)) ∈ S¯,∀s> t } là hữu hạn bên ngoài tập P - không. Nhận xét. Giả thiết tồn tại t0 > 0 sao cho điểm (x¯0, y¯0) = pi−t0 ( x∗+,y∗+ ) thỏa mãn (2.15) là tương đương với điều kiện: tồn tại một điểm (x,y) ∈ {pi−t (x∗+,y∗+) : t > 0} sao cho đường{ pi+t (x,y) : t > 0 } không chứa trong { pi−t ( x∗+,y∗+ ) : t > 0 } . Chứng minh. Ký hiệu H := Hε,M. Chúng ta xây dựng một dãy các thời điểm dừng η1 = inf{2k+1 : (x2k+1,y2k+1) ∈ H} , η2 = inf{2k+1> η1 : (x2k+1,y2k+1) ∈ H} , ... ηn = inf{2k+1> ηn−1 : (x2k+1,y2k+1) ∈ H} ... Dễ dàng nhận thấy {ηk = n} ∈F n0 với mỗi k,n. Vì vậy {ηk = n} độc lập vớiF∞n nếu ξ0 cho trước. Theo giả thiết, ηn < ∞, h.c.c, với mọi n. (a). Với mỗi k ∈ N và s> 0, t > 0, cho Ak = { σnk+1 t } . Chúng ta có P(Ak) = P { σnk+1 t } = ∞ ∑ n=0 P { σnk+1 t|ηk = 2n+1 } P{ηk = 2n+1} = ∞ ∑ n=0 P{σ2n+2 t|ηk = 2n+1}P{ηk = 2n+1} = ∞ ∑ n=0 P{σ2n+2 t}P{ηk = 2n+1} = ∞ ∑ n=0 P{σ2 t}P{ηk = 2n+1} = P{σ2 t}> 0. Tương tự, P ( Ak ⋂ Ak+1 ) = P { σnk+1 t,σnk+1+1 t } = ∑ 06l<n<∞ P { σnk+1 t,σnk+1+1 t|ηk = 2l+1,ηk+1 = 2n+1 } ×P{ηk = 2l+1,ηk+1 = 2n+1} = ∑ 06l<n<∞ P{σ2l+2 t,σ2n+2 t|ηk = 2l+1,ηk+1 = 2n+1} ×P{ηk = 2l+1,ηk+1 = 2n+1} 26 Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo. = ∑ 06l<n<∞ P{σ2n+2 t}P{σ2l+2 t|ηk = 2l+1,ηk+1 = 2n+1} ×P{ηk = 2l+1,ηk+1 = 2n+1} = ∑ 06l<n<∞ P{σ2 t}P{σ2l+2 t|ηk = 2l+1,ηk+1 = 2n+1} ×P{ηk = 2l+1,ηk+1 = 2n+1} = P{σ2 t} ∑ 06l<n<∞ P{σ2l+2 t|ηk = 2l+1,ηk+1 = 2n+1} ×P{ηk = 2l+1,ηk+1 = 2n+1} = P{σ2 t} ∞ ∑ l=0 P { σnk+1 t|ηk = 2l+1 }×P{ηk = 2l+1} = P{σ2 t}2 ... Như vậy, P(Ak ⋃ Ak+1) = 1− (1−P{σ2 t})2. Tiếp tục theo cách này, chúng ta có được P ( n⋃ i=k Ai ) = 1− (1−P{σ2 t})n−k+1 . Hơn nữa, P ( ∞⋂ k=1 ∞⋃ i=k Ai ) = P { ω : σηn+1 t, thường là vô hạn với n } = 1 Cố định s> 0. Theo nguyên lý so sánh, từ hệ thức x˙(t) = xa(ξt ,x,y)>−mx(t) ;x(τηk)> ε y˙(t) = yb(ξt ,x,y)>−my(t) ;y(τηk)> ε, Suy ra x(t+ τηk)> εe−mt ,y(t+ τηk)> εe−mt ,∀t > 0, ở đó m= sup(x,y)∈H0,M |a(−,x,y) ,b(−,x,y)|. Hơn nữa xηk+1 > ε1,yηk+1 > ε1, với ε1 := εe −ms,σηk+1 < s. Giả sử rằng Uδ là δ - lân cận của ( x∗+,y∗+ ) . Theo bổ đề 1.1.1, tồn tại T > 0 sao cho nếu t > T,(x,y) ∈ Hε1,M thì (x+ (t,x,y) ,y+ (t,x,y)) ∈ Uδ . Suy ra, ( xηk+2,yηk+2 ) ∈ Uδ với σηk+1 T. Ta được (x2k+3,y2k+3)∈Uδ với vô hạn k. Điều này có nghĩa là ( x∗+,y∗+ )∈Ω(x0,y0,ω) h.c.c. Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng ∣∣pi−t (x∗+,y∗+) : t > 0∣∣⊂Ω(x0,y0,ω) h.c.c. Cho t1 > 0 là một số tùy ý và (x˜0, y˜0) := pi−t1 ( x∗+,y∗+ ) . Do tính liên tục của các nghiệm trong những điều kiện ban đầu, với mỗi lân cận Nδ1 của (x˜0, y˜0), tồn tại 0 0 sao cho nếu (u,v) ∈Uδ2 ( x∗+,y∗+ ) thì pi−t (u,v) ∈Uδ1, 27 Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo. với mỗi t2 < t < t3. Đặt ζ1 = inf { 2k+1 : (x2k+1,y2k+1) ∈Uδ2 ( x∗+,y ∗ + )} , ζ2 = inf { 2k+1> ζ1 : (x2k+1,y2k+1) ∈Uδ2 ( x∗+,y ∗ + )} , ... ζn = inf { 2k+1> ζn−1 : (x2k+1,y2k+1) ∈Uδ2 ( x∗+,y ∗ + )} ... Theo chứng minh trên, ta suy ra ζk < ∞ và limk→∞ ζk = ∞ h.c.c. Do {ζk = n} ∈F n0 ,{ζk} độc lập vớiF∞n nên suy ra, P { σζk+1 ∈ (t2, t3) } = ∞ ∑ n=0 P { σζk+1 ∈ (t2, t3) |ζk = 2n+1 } P{ζk = 2n+1} = ∞ ∑ n=0 P{σ2n+2 ∈ (t2, t3) |ζk = 2n+1}P{ζk = 2n+1} = ∞ ∑ n=0 P{σ2n+2 ∈ (t2, t3)}P{ζk = 2n+1} = ∞ ∑ n=0 P{σ2 ∈ (t2, t3)}P{ζk = 2n+1} = P{σ2 ∈ (t2, t3)} . Tiếp tục theo cách này, ta được P { σζk+1 ∈ (t2, t3) ,σζk+1+1 ∈ (t2, t3) } = P{σ2 ∈ (t2, t3)}2 , ... Bằng cách lập luận tương tự, ta được P { ω : σζn+1 ∈ (t2, t3) thường là vô hạn với n } = 1. Điều này có nghĩa là ( xζk ,yζk ) ∈Uδ2 (x∗+,y∗+) và t2 < σζk+1 < t3, kéo theo (xζk+1,yζk+1) ∈ Nδ1 , với k ∈ N. Suy ra (x˜0, y˜0) ∈ Ω(x0,y0,ω) h.c.c. Tương tự, với mỗi t > 0, quỹ đạo{ pi+s pi − t ( x∗+,y∗+ ) : s> 0 }⊂Ω(x0,y0,ω). Bằng phương pháp quy nạp, chúng ta kết luận rằng S là tập con của Ω(x0,y0). Do Ω(x0,y0,ω) là tập đóng, nên ta có S¯⊂Ω(x0,y0,ω) h.c.c. (b). Cho (x¯0, y¯0) = pi−t0 ( x∗+,y∗+ ) là một điểm trong intR2+ thỏa mãn điều kiện (2.15) . Do sự tồn tại và phụ thuộc liên tục vào các điều kiện ban đầu của các nghiệm, tồn tại 2 số a> 0 và b> 0 sao cho hàm ϕ (s, t) = pi+t pi − s (x¯0, y¯0) = pi + t pi − s+t0 ( x∗+,y ∗ + ) là xác định và khả vi liên tục trong (−a,a)× (−b,b) . 28 Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo. Chúng ta chú ý rằng det ( ∂ϕ ∂ s ∂ϕ ∂ t ) |(0,0) = det x¯0a(+, x¯0, y¯0) x¯0a(−, x¯0, y¯0) y¯0b(+, x¯0, y¯0) y¯0b(−, x¯0, y¯0)  = x¯0y¯0 det a(+, x¯0, y¯0) a(−, x¯0, y¯0) b(+, x¯0, y¯0) b(−, x¯0, y¯0)  6= 0 Do đó, theo định lý Hàm ngược, tồn tại 0< a1 < a , 0< b1 < b sao cho ϕ (s, t) là một đồng phôi giữaV = (−a1,