Luận văn Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hoà dưới

. Định lý 1.2.7. Cho là một tập con mở của n . ( )i Cho ,u v là các hàm đa điều hoà dưới trong và 0v . Nếu : là lồi, thì ( / )v u v là đa điều hoà dưới trong . 9 ( )ii Cho ( )u PSH , ( )v PSH , và 0v trong . Nếu : là lồi và tăng dần, thì ( / )v u v là đa điều hoà dưới trong . ( )iii Cho , ( )u v PSH , 0u trong , và 0v trong . Nếu : 0, 0, là lồi và (0) 0, thì ( / ) ( )v u v PSH . Định nghĩa 1.2.8. Một miền bị chặn n được gọi là miền siêu lồi nếu tồn tại một hàm đa điều hoà dưới âm, liên tục : ( ,0) sao cho với 0c : ( ) c z z c . 1.3. Hàm đa điều hoà dƣới cực đại Định nghĩa 1.3.1. Cho là một tập con mở của n và :u là hàm đa điều hoà dưới. Ta nói rằng u là cực đại nếu với mỗi tập con mở compact tương đối G của , và với mỗi hàm nửa liên tục trên v trên G sao cho ( )v PSH G và v u trên G , đều có v u trong G. Sau đây là một số tính chất của hàm đa điều hoà dưới cực đại: Mệnh đề 1.3.2. Cho n là mở và :u là hàm đa điều hoà dưới. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: )i Với mỗi tập con mở compact tương đối G của và mỗi hàm ( )v PSH , nếu lim inf( ( ) ( )) 0, z u z v z với mọi G , thì u v trong G ; )ii Nếu ( )v PSH và với mỗi 0 tồn tại một tập compact K sao cho u v trong \K , thì u v trong . 10 )iii Nếu ( )v PSH , G là một tập con mở compact tương đối của , và u v trên G thì u v trong G ; )iv Nếu ( )v PSH , G là một tập con mở compact tương đối của , và lim inf( ( ) ( )) 0, z u z v z với mỗi G , thì u v trong G ; ( )v u là hàm cực đại. 1.4. Toán tử Monge-Ampère phức Cho u là đa điều hoà dưới trên miền n . Nếu 2( )u C thì toán tử: 2 1 , : ... 4 !det n c c c n j k j k nn u dd u dd u dd u n dV z z , với dV là yếu tố thể tích trong n gọi là toán tử Monge-Ampe. Toán tử này có thể xem như độ đo Radon trên , tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact 0 ( )C trên 0 n cC dd u . Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dưới bị chặn địa phương trên thì tồn tại dãy 1 ( ) ( ) m m u PSH C sao cho m u u và n c m dd u hội tụ yếu tới độ đo Radon trên tức là: 0 lim , n c mm dd u d C . 11 Hơn nữa không phụ thuộc vào việc chọn dãy m u như trên, ta ký hiệu: ( )c ndd u và gọi là toán tử Monge-Ampe của u . Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampe. Mệnh đề 1.4.1. Giả sử j là dãy các độ đo Radon trên tập mở n hội tụ yếu tới độ đo Radon . Khi đó )i Nếu G là tập mở thì ( ) lim inf ( ) jj G G . )ii Nếu K là tập compact thì ( ) lim sup ( ) jj K K . )iii Nếu E compact tương đối trong : ( ) 0E thì ( ) lim ( ) jj E E . Chứng minh. )i Ta có ( ) sup ( ) :G K K G . Giả sử K G là tập compact. Lấy 0 ( )C G , 0 1 và 1 trên K . Khi đó ( ) ( ) lim ( ) lim inf ( ) j jj j K G . Từ đó ( ) lim inf ( ) jj G G . )ii Ta có 0( ) ( ) : , ,K inf V V K V V V . Giả sử V là một lân cận mở của K và 0 ( )C V , 0 1 và 1 trên K . Khi đó ( ) ( ) lim ( ) lim sup ( ) j jj j V K . Từ đó ( ) lim sup ( ) jj K K . 12 )iii Viết E IntE E . Khi đó ( ) (int ) lim inf (int ) lim inf ( ) j jj j E E E E . Mặt khác ( ) lim sup ( ) lim sup ( ) j jj j E E E . Từ đó ( ) lim sup ( ) jj E E . Vậy ( ) lim ( ) jj E E . Mệnh đề 1.4.2. Giả sử n là miền bị chặn và , ( ) ( ) loc u v PSH L sao cho , 0u v trên và lim ( ) 0 z u z . Giả sử T là ( 1, 1)n n dòng dương, đóng trên . Khi đó c cvdd u T udd v T . Đặc biệt, nếu lim ( ) 0 z v z thì c cvdd u T udd v T . Chứng minh. Chú ý rằng cdd u T và cdd v T là các độ đo Borel dương trên . Với 0 , đặt ,u max u . Khi đó 0u và là hàm đa điều hòa dưới trên và u tăng tới 0 khi giảm về 0. Từ định lí hội tụ đơn điệu Lebesgue ta có 0 lim ( )c cudd v T u u dd v T và 1/0 ( ) lim ( )c c j u u dd v T u u dd v T . 13 Do lim ( ) 0 z u z nên 0u u là tập compact tương đối trong . Lấy miền ' sao cho 0u u . Khi đó với j đủ lớn, 1/ 0 ( ) j u u C và do giả thiết T là ( 1, 1)n n dòng dương, đóng trên nên cdd u T là ( , )n n dòng dương, đóng với mọi ( ) ( ) loc u PSH L , suy ra 1/ 1/ ( ) (( ) )c c j j u u dd v T vdd u u T ' ' 1/ 1/ \ (( ) ) (( ) )c c j j vdd u u T vdd u u T ' ' 1/ 1/ ( ) (( ) )c c j j vdd u T vdd u T ' 1/ ( )c j vdd u T . Nhưng 1/ 1/ ( ) ( )c c j j dd u T dd u T hội tụ yếu tới cdd u T . Khi đó 1/ ( )c j vdd u T hội tụ yếu tới cvdd u T . Vậy ' ' ' 1/ lim ( ) ( )c c c jj vdd u T inf vdd u T u u dd v T . Từ đó cho 0 suy ra c cvdd u T vdd u T . Cho ta được bất đẳng thức cần chứng minh. 1.5. Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor Định lý 1.5.1. Giả sử n là miền bị chặn và , ( ) ( )u v PSH L sao cho lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z . Khi đó 14 ( ) ( )c n c n u v u v dd v dd u . (1.1) Chứng minh. Trước tiên, theo giả thiết có lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z . Điều này có nghĩa là với mọi 0 tồn tại K sao cho \z K thì ( ) ( )u z v z . Hơn nữa khi thay u bởi , >0u , thì u v u v khi 0. Nếu bất đẳng thức (1.1) đúng trên u v thì cho 0 suy ra (1.1) đúng trên u v . Vì vậy có thể giả sử liminf ( ( ) ( )) 0 z u z v z . Vậy u v . )a Giả sử ,u v là các hàm liên tục. Khi đó u v là tập mở, ,u v liên tục trên và u v trên . Với 0 , đặt max ,u u v . Từ giả thiết lim inf( ( ) ( )) z u z v z nên ( ) ( )u z v z hay ( ) ( ) ( )u z v z v z với z gần biên . Vậy ( )u u z gần biên và u v trên . Theo công thức Stokes ta có ( ) ( )c n c ndd u dd u hay ( ) ( )c n c n u v u v dd u dd u . Vì u v nên ( ) ( )c n c ndd u dd v . Vậy 0 ( ) lim inf ( ) ( )c n c n c n u v u v u v dd v dd u dd u . 15 )b Giả sử ,u v tùy ý và là miền sao cho / 2u v . Tồn tại hai dãy j u và k v các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của giảm tới u và v sao cho j k u v trên với mọi ,i k . Có thể coi 1 , 0 j k u v . Lấy 0 và giả sử G là tập mở sao cho , n C G , ,u v là các hàm liên tục trên \G . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm liên tục trên sao cho v trên \F G . Ta có ( ) lim ( ) j c n c n j u v u v dd v dd v . Nhưng j j u v u G và vì j u là tập mở nên ( ) ( ) ( ) lim ( ) j j j c n c n c n c n kk Gu v u u v dd v dd v dd v dd v , vì , n C G và ( )c n k dd v hội tụ yếu tới ( )c ndd v . Từ j j u u v G và j j k u v u v suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) j j j k c n c n c n c n k k k k Gu u v u v dd v dd v dd v dd v . Áp dụng )a vào các hàm liên tục j u và k v ta thu được ( ) ( ) j k j k c n c n k j u v u v dd v dd u . 16 Do đó ( ) lim inf lim inf ( ) 2 j j c n c n jj k u v u v dd v dd u lim sup ( ) 2 j c n jj u v dd u . Hơn nữa ( ) ( ) j j c n c n j j u v u v F dd u dd u và do u v F là tập compact và j u v u v nên ta có lim sup ( ) ( ) ( ) j c n c n c n jj u v F u vu v F dd u dd u dd u . Do 0 tùy ý nên ta được ( ) ( )c n c n u v u v dd v dd u . Từ đó với mọi 0 ta có ( ) ( ( )) ( )c n c n c n u v u v u v dd v dd u dd u . Nhưng u v u v và u v u v khi 0. Do đó ( ) ( )c n c n u v u v dd v dd u . 17 Hệ quả 1.5.2. Giả sử n là miền bị chặn và , ( ) ( )u v PSH L sao cho u v và lim ( ) lim ( ) 0 z z u z v z . Khi đó ( ) ( ) ( ) ( )c n c ndd v dd u . Hệ quả 1.5.3. Giả sử n là miền bị chặn và , ( ) ( )u v PSH L sao cho lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z . Giả sử ( ) ( )c n c ndd u dd v trên . Khi đó u v trên . Hệ quả 1.5.4. Giả sử n là miền bị chặn và , ( ) ( )u v PSH L sao cho lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z và ( ) ( )c n c ndd u dd v . Khi đó u v . 1.6. Các lớp năng lƣợng và các lớp năng lƣợng có trọng trong n Định nghĩa 1.6.1. Miền bị chặn n gọi là miền siêu lồi nếu tồn tại một hàm đa điều hoà dưới âm, liên tục : ( ,0) sao cho với 0c : ( )z z c . Kí hiệu ( )PSH là lớp các hàm điều hòa dưới âm trên . Dưới đây giả sử n . Ta có các định nghĩa sau Định nghĩa 1.6.2. 0 ( ) ( ) ( ) : lim ( ) 0, ( )c n z PSH L z dd . 0 ( ) ( ) : { } ( ), j j PSH , sup ( )c n j j dd  . 18 Định nghĩa 1.6.3. Cho : là hàm tăng. 0 ( ) ( ) : ( ), j j u PSH u u u trong và thoả mãn sup ( ) ( )c n j j j u dd u Định lí 1.6.4. Cho : là hàm tăng thỏa mãn ( ) và (0) 0 . Cố định ( )u và đặt ax( , )ju m u j . Khi đó với mỗi tập Borel B , ta có lim ( )( ) ( )( )j c j n c n j B B u dd u u dd u . Hơn nữa nếu ( ) j j u là một dãy giảm bất kì trong ( ) hội tụ tới u sao cho sup ( )( )c n j j j u dd u thì lim ( )( ) ( )( )c n c n j jj u dd u u dd u . Định lý 1.6.5. Cho : là hàm không giảm sao cho t . Khi đó ( ) ( ).Nói riêng, với ( )u tuỳ ý, toán tử Monge-Ampere phức ( )c ndd u hoàn toàn xác định và 1( ) (( ) ).c nu L dd u Mệnh đề 1.6.6. Cho : là hàm không giảm sao cho t . Khi đó nếu tồn tại dãy ( ) ( ) k u sao cho sup ( )( ) ,c n k k k u dd u thì hàm lim kk u u và do đó ( )u . 19 Chƣơng 2 DƢỚI THÁC TRIỂN CỰC ĐẠI CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI 2.1. Độ đo Monge - Ampère của dƣới thác triển cực đại Trước khi xét dưới thác triển từ một miền siêu lồi đến n , chúng ta cần đến một k ết quả về dưới thác triển tới một tập siêu lồi lớn hơn . Cho nD là hai miền siêu lồi bị chặn (mở và liên thông ) và ( )u D là một hàm cho trước . Khi đó , u có một dưới thác triển ( )u , nghĩa là u u trên D (xem [10]). Do đó , ta có thể định nghĩa dưới thác triển cực đại của u bởi ˆ sup ( ) : 0, |Du v PSH v v u (2.1). Từ [6] suy ra rằng ˆ ( )u . Định lý dưới đây đưa ra một sự mô tả độ đo Monge - Ampère của dưới thác triển cực đại . Trước tiên ta cần Bổ đề cơ bản sau Bổ đề 2.1.1.([4]) Giả sử j là một dãy độ đo dương xác định trên D với khối lượng bị chặn đều và với m ỗi 0 tồn tại một số 0 sao cho với mọi E D với cap( )E ta có ( )j E với mọi j . Nếu lim j và , ( )f g PSH D thì { } { } lim inf jj f g f g d d . Định lý 2.1.2. Cho D . Với mọi ˆ( ), ( ),u D u ta có ˆ( ) ( )c n c nDdd u dd u và ˆ{ } ˆ( ) 0c n u u dd u . Chứng minh. Phát biểu thứ nhất của định lý đã được chứng minh trong [7]. Lưu ý rằng hàm uˆ được xác định bởi (2.1) là hàm đa điều hòa dưới nếu u là một hàm liên tục trên D . Từ đó, dễ dàng chỉ ra trong trường hợp này ta có 20 ˆ{ } ˆ( ) 0c n u u dd u . Bây giờ, giả sử ( )u L D và lấy một dãy hàm liên tục ju trên D giảm dần về u . Khi đó ˆju giảm đến uˆ và dãy ˆ{ }ju bị chặn đều trên vì ˆ ˆ 0ju u trên . Do đó, độ đo Monge - Ampère ˆ( ) c n jdd u được làm trội đều bởi dung lượng Monge - Ampère. Vì vậy, nếu đặt ˆ( )c nj jdd u thì có thể áp dụng Bổ đề 2.1.1 để khẳng định rằng với mọi 0s ta có ˆ ˆ ˆ{ } { } { } ˆ ˆ ˆ( ) lim inf ( ) lim inf ( ) 0 s s j j c n c n c n j jj j u u u u u u dd u dd u dd u , do lưu ý ở phần đầu chứng minh này ˆ{ } ˆ( ) 0 j j c n j u u dd u . Để kết thúc chứng minh trong trường hợp này ta chỉ cần cho s . Nếu ( )u D ta xét max{ , }ju u j . Khi đó, với mỗi 0t cố định ta có 1 max / , 1 ( ) 1 max / , 1 ( ) ,c n c nju t dd u u t dd u khi j . Chú ý rằng hàm 1 max / ; 1u t triệt tiêu trên u t và bị chặn trên bởi 1. Hơn nữa, với bất kỳ j t ta có u t u j và dãy độ đo 1 dd n c ju j u tăng tới độ đo 1 dd n c u u (xem [3]). Do đó với j t ta nhận được 1 max / ; 1 dd 1 dd 1 dd n n n c c c j ju j u u t u u u . Từ đó suy ra với mỗi t cố định, dãy độ đo 21 1 max / ; 1 dd n c j ju t u và do đó 1 max / ; 1 dd n c ju t u thỏa mãn đòi hỏi của Bổ đề 2.1.1, vì thế với mỗi s và t cố định ta nhận được ˆ ˆ ˆ ˆ1 max / ; 1 dd lim inf 1 max / ; 1 dd s s n n c c jj u u u u u t u u t u ˆ ˆ lim inf dd lim inf dd 0 s s j n n c c j jj j u u u u u u . Cho t . Khi đó vì 1 max / ; 1 1 u u t khi t nên từ bất đẳng thức trước suy ra ˆ ˆdd 0 n c u u u . Cho s ta có điều phải chứng minh Chú ý 2.1.3. Ta có ˆ ˆ1 ( ) 1 ( )c n c n u u dd u dd u . Thật vậy, bất đẳng thức " " suy ra từ Định lý 2.1.2 và ngược lại suy từ bất đẳng thức Demailly [2]. 2.2. Thế vị trên miền Kahler Trong phần này trình bày việc thiết lập một vài kết quả cơ bản trong lý thuyết đa thế vị trên các đa tạp Kahler compact cùng với biên, nghĩa là trên các miền thuộc một đa tạp Kahler compact. 2.2.1. Nguyên lý so sánh Mục đích của phần này là trình bày một dạng nửa toàn cục của nguyên lý so sánh bao gồm dạng địa phương từ lý thuyết đa thế vị trên các miền siêu lồi bị chặn trong n cũng như một dạng toàn cục từ lý thuyết về các đa tạp Kahler compact (xem [12]). 22 Cho X là một đa tạp Kahler n chiều và là dạng Kahler trên X . Xét các hàm - đa điều hòa dưới bị chặn trên các miền Kahler trong X cùng với biên. Với miền D X tùy ý, ký hiệu ( , )PSH D là tập các hàm - đa điều hòa dưới trên D . Theo định nghĩa, nếu là đa điều hòa dưới trên D thì hàm u p là hàm đa điều hòa dưới địa phương trên D , ở đó p là thế vị đa điều hòa dưới địa phương của , nghĩa là cdd p . Do đó dòng cdd kết hợp với là một dòng dương đóng xác định toàn cục trên D có thể được viết một cách địa phương là cdd u . Do vậy theo Bedford và Taylor [4], p hoàn toàn xác định một dòng dương đóng song bậc ( , )p p trên D . Tổng quát hơn, nếu 1,........., q là các hàm - đa điều hòa dưới bị chặn trên D thì theo qui nạp ta có thể định nghĩa tích 11 ( ,........... ) ......... qq T (2.2) là một dòng dương đóng song chiều ( , )n p n p trên D . Hơn nữa các dòng này triệt tiêu trên các tập đa cực. Chúng ta bắt đầu từ “phiên bản địa phương” của nguyên lý so sánh suy ra từ tính tựa liên tục của các hàm đa điều hòa dưới (xem [4]). Mệnh đề 2.2.1.1. Cho T là dòng dương đóng song chiều ( , ),(1 )p p p n dạng (2.2) và , ( , ) ( )PSH D L D . Khi đó 1 sup , 1 p p c cdd T dd T theo nghĩa yếu của độ đo Borel trên D . Nói riêng 1 sup , 1 p p c cdd T dd T theo nghĩa yếu của độ đo Borel trên D . Để biểu diễn công thức tích phân từng phần, ta cần xét các miền đặc biệt. 23 Định nghĩa 2.2.1.2 Ta nói rằng một miền D X là tựa siêu lồi nếu D có một hàm vét cạn đa điều hòa dưới âm, liên tục : 1,0D . Chú ý rằng một miền bất kỳ D X với biên trơn được cho bởi 0D r , ở đó r là trơn trong một lân cận của D , là miền tựa siêu lồi bởi vì với 0 đủ nhỏ, hàm r là - đa điều hòa dưới trên một lân cận của D và là hàm vét cạn bị chặn đối với D . Để ý rằng một miền như vậy có thể là giả lõm. Ở đây chúng ta sẽ chỉ xét các miền tựa siêu lồi D thỏa mãn n n D X (2.3) Định nghĩa 2.2.1.3. Cho một miền tựa siêu lồi D , ta định nghĩa lớp các hàm thử 0 ,D là lớp các hàm ( , ) ( )PSH D L D sao cho lim 0 z D và ( )c n D dd . Chú ý rằng với hàm trơn âm h tùy ý có giá compact trong D , thì 0 ,h D với 0 đủ nhỏ. Hơn nữa, nếu là một hàm đa điều hòa dưới xác định đối với D thì với 0 1t tùy ý, 0( , )t D . Bổ đề 2.2.1.4. Cho T là dòng dương đóng song chiều ( , ),(1 )p p p n kiểu (2.2) và , ( , ) ( )PSH D L D sao cho 0 trên D . Khi đó p pT T và nếu trên D thì p p D D T T . Nói riêng, nếu ( , ) ( )PSH D L D và 0 tại biên, thì p p D D T T . 24 Chứng minh: Nhắc lại điều kiện ( ) 0 nghĩa là với 0 tùy ý , D . Vì thế thay bởi và cho 0 , ta có thể giả sử rằng D . Khi đó hàm sup , ( , ) ( )v PSH D L D trùng với ở gần biên của D . Điều này suy ra p p c c D D dd v T dd T (2.4). Thật vậy, sử dụng phép chính qui hóa địa phương của hàm đa điều hòa dưới ta được ( ) ( )c p c pdd v T dd T dS , theo nghĩa dòng trên D , ở đó 1 1( ) ..... ( )c c p c pS d v dd v dd T xác định một dòng có các hệ số đo được và với giá compact trong D . Do đó theo định nghĩa vi phân của dòng , ta có 0 D dS với hàm thử tùy ý mà 1 trong q lân cận của giá của S . Điều này suy ra đẳng thức (2.4). Bây giờ theo Mệnh đề 2.2.1.1, ta nhận được p pvT T . Khi đó sử dụng đẳng thức (2.4) và Mệnh đề 2.2.1.1 lần nữa, ta được p p pv v D T T T p pv D T T p p D T T . 25 Suy ra p pT T . Áp dụng kết quả này cho và và cho 0 , ta nhận được bất đẳng thức cần chứng minh. Để nhận được bất đẳng thức thứ 2, ta có thể giả sử , 0 trên D . Áp dụng bất đẳng thức trên đối với và t với 0 1t và chú ý rằng n c n ndd t t . Khi đó cho 1t ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Nếu 0m ta đặt 0 1T và với 1m ta đặt 1 : ..... mm u u T trong đó 1 0....... ,mu u D . Như vậy mT là dòng dương đóng trên D . Khi đó ta có kết quả sau đây: Hệ quả 2.2.1.5. 1) Lớp 0( , )D là lồi và thỏa mãn điều kiện 0 0( , ), ( , ) sup , ( , )D u PSH D u D . 2) Cho , 1p q là các số nguyên sao cho p q n và ký hiệu m n p q . Khi đó với tùy ý 0, ( , )D ta có p q p q p qm m m D D D T T T (2.5). 3) Nếu 1 0....... ( , )n D thì 1 1 1 ....... 2 n j n n n jD D . Chứng minh. Giả sử 0( , )D và ,u PSH D và ký hiệu , sup ,u u . 26 Vì , 0u nên từ Bổ đề 2.2.1.4 suy ra dd , n n c n D D D u . Do đó 0( , ) ( , )u D . Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức (2.5). Thật vậy, theo Bổ đề 2.2.1.4 ta có p q p q p qm m m D T T T . Áp dụng kết quả này với 0 ta được p q p qm m D D T T . Tương tự ta được p q p qm m D T T . Do đó nếu chọn 0 sao cho 0p q mT và cho giảm về 0 thì ta được p q p q p qm m m D D D T T T . Tính lồi của 0( , )D được suy trực tiếp từ bất đẳng thức cuối cùng vì với 0, ( , )D và 0 1t ta có 0 1 1 nn n pc p p n p p n dd t t t t p . Theo bất đẳng thức ở trên, với 0m ta suy ra 1 n c n n D D D dd t t . 27 Để nhận được bất đẳng thức cuối cùng chúng ta thực hiện phép qui nạp áp dụng bất đẳng thức ở trên. 2.2.2. Công thức tích phân từng phần Để chứng minh công thức tích phân từng phần, ta cần dạng nửa toàn cục của định lý hội tụ cổ điển của Bedfod và Taylor đối với lớp 0( , )D . Mệnh đề 2.2.2.1. Cho 0( ),......,( )nj j là dãy các hàm đa điều hòa dưới bị chặn đều địa phương trong lớp 0( , )D , hội tụ đơn điệu đến 0 0,........., ( , ) n D tương ứng. khi đó các dòng dương 1( ) .... ( )c c nj j jS dd dd , 1( ) .... ( )c c nS dd dd có các khối lượng toàn phần bị chặn đều trong D và 0 1lim ( )( ) .... ( )c c nj j jj D dd dd 0 1( )( ) .... ( )c c n D dd dd . Chứng minh. Trước tiên theo Bedfod và Taylor ta có 0 0( ) ( )j jS S trên D (xem [4]). Từ giả thiết suy ra với 0 cho trước, tồn tại một tập mở D D sao cho 0 0j và 0 0 trên \D D . Khi đó 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )j j j j D D DD S S S S đều theo j . Ở đây chúng ta sử dụng giả thiết các dòng jS có khối lượng bị chặn đều trên D theo Bổ đề 2.2.1.4. Bây giờ, để ý rằng ta luôn có thể chọn miền D sao cho độ đo dương 0 0 ( )S triệt tiêu trên biên D của nó. Khi đó vì các độ đo dương 0( )j j jS hội tụ yếu đến 0 trong D nên suy ra 28 0 0 0( ) lim inf ( ) limsup ( ) ( ) ( )j jj j D D D D D , điều này chứng tỏ rằng tích phân thứ nhất ở vế phải hội tụ đến 0 và mệnh đề được chứng minh. Bây giờ, chúng ta chứng minh công thức tích phân từng phần dưới đây được sử dụng trong phần tiếp theo. Bổ đề 2.2.2.2. Cho 1 1( ) ...... ( ) c c nT dd u dd u trong đó 1 1 0,........, ( , )nu u D . Giả sử 0, ( , ).u v D Khi đó c c D D udd v T vdd u T và v u D D D u T v T u v T . Chứng minh. Ký hiệu ( , ) c cH u v udd v T vdd u T . Khi đó theo Mệnh đề 2.2.1.1 dòng ( . )H u v có khối lượng toàn phần hữu hạn trong D . Từ công thức Stokes suy ra rằng nếu ,u v là các hàm - đa điều hòa dưới bị chặn trên D sao cho u u và v v ở gần biên D thì ( , ) ( , ) D D H u v H u v . Thật vậy, để ý rằng vì , , ,u v u v là các hàm tựa đa điều hòa dưới bị chặn trên D , nên từ lý thuyết địa phương suy ra các dòng c cS ud v T vd v T và c cS ud v T vd u T được xác định với hệ số đo được trên D sao cho ( , )c cdS udd v T vdd u T H u v và ( , )c cdS udd v T vdd u T H u v theo nghĩa yếu của dòng trên D . 29 Vì S S có giá compact trong D , nên suy ra ( ) 0 D d S S . Khi đó ( , ) ( , ) D D H u v H u v . Bây giờ với 0 đủ bé, đặt sup ,u u v và sup ,v v u và chú ý ;u u v v gần D . Do đó theo chú ý ở trên, với 0 đủ bé ta có ( , ) ( , ) D D H u v H u v . Vì 0, ( , )u v D , nên 0u v trên D , suy ra 0u v trên D . Bây giờ với 0 đủ bé, ta có ( , ) c cH u v u dd v T v dd u T . Vì max ,u g u v và v g nên theo Mệnh đề 2.2.1.1 suy ra 0 0 lim limc c c D D D u dd v T gdd g T v dd u T . Từ đó suy ra công thức tích phân từng phần: c c D D udd v T vdd u T . Bây giờ áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có ( ) ( )c cv u D D D D u T v T u dd v T v dd u T ( )c c D D D D udd v T u T vdd u T v T D u v T . 30 2.3. Dƣới thác triển của các hàm tựa đa điều hòa dƣới 2.3.1. Các lớp năng lượng Monge-Ampère có trọng Định nghĩa 2.3.1.1. Ta nói rằng ( , )D nếu tồn tại một dãy giảm ( )j , 0( , )j D hội tụ đến trên D sao cho sup j n j D . Để ý rằng ( , )D là tập lồi và 0( , ) ( , )D D . Lớp ( , )D là tương tự lớp được định nghĩa bởi Cegrell trong [6]. Cho D là một miền siêu lồi, ở đó dạng có một thế vị đa điều hòa dưới q trên D với giá trị biên bằng 0 và giả sử ( )D là lớp được định nghĩa trong [6]. Khi đó nếu ( , )D thì ( )u q D . Hiện nay chúng ta không biết khi nào toán tử Monge-Ampère hoàn toàn xác định trên lớp ( , )D nhưng ta có thể xác định khối lượng Monge-Ampère của hàm ( , )D nhờ bổ đề sau. Bổ đề 2.3.1.2. Giả sử ( , )D là một hàm cố định. Khi đó hằng số ( ) lim ( ) sup ( ) n nc c D j jj j D D M dd dd không phụ thuộc vào dãy giảm ( )j , 0( , )j D hội tụ đến . Hơn nữa nếu ( , )PSH D và 0 thì ( , )D . Chứng minh. Lấy một dãy ( )j j xác định đối với . Theo Bổ đề 2.2.1.4 ta có ( dd )c nj D j là dãy tăng và theo định nghĩa nó bị chặn, vì vậy giới hạn ( )DM là tồn tại. Ta chỉ cần chỉ ra rằng nó không phụ thuộc vào dãy ( )j . Giả sử ( )j là dãy giảm khác gồm các hàm trong lớp 0( , )D hội tụ tới trong D . Cố định 0 và j . Theo định lý liên tục Bedford-Taylor ([4]), ta có 31 sup , n n c c j k jdd dd yếu trên D khi k . Suy ra tồn tại jk sao cho sup , j n n c c j k j D D dd dd . Theo Bổ đề 2.2.1.4, ta có sup , ( ) j j n n c c j k k D D D dd dd M . Từ đó suy ra ( ) n c j D D dd M , kéo theo sup ( ) n c j D j D dd M . và phần thứ nhất của bổ đề được chứng minh. Bây giờ, đặt sup ,j j . Khi đó theo Bổ đề 2.2.1.4 , 0( )j D và ( ) n n c c j j D D D dd dd M . Vì ( )j giảm tới nên suy ra ( , )D và từ phần thứ nhất của chứng minh ta kết luận rằng ( ) ( )D DM M Bây giờ chúng ta xét lớp năng lượng Monge-Ampère có trọng hữu hạn (Xem [12]). Một hàm trọng là hàm tăng : sao cho ( )t t với 0t và ( ) . Đối với một hàm trọng tuỳ ý ta kết hợp với lớp ( , )D các hàm đa điều hòa dưới ( , )PSH D mà đối với nó tồn tại một dãy ( )j , 0( , )j D , j sao cho sup ( ) j n j j D . 32 Trong trường hợp của chúng ta hàm trọng là lồi. Từ công thức (IBP), ta có thể suy ra bất đẳng thức cơ bản dưới đây (Xem [12]). Mệnh đề 2.3.1.3. Cho : là hàm trọng lồi. Khi đó với 0, ( , )D tùy ý, , ta có ( ) 2 ( )n n n D D . Ta có thể chỉ ra rằng toán tử Monge-Ampère phức là hoàn toàn xác định và liên tục trên các dãy giảm thuộc lớp ( , )D , ở đó : là một hàm lồi tăng (Xem [12], [11]). Mệnh đề 2.3.1.4. Toán tử Monge-Ampère phức là hoàn toàn xác định trên lớp ( , )D . Hơn nữa, nếu ( ) ( , )j D là dãy giảm hội tụ đến ( , )D , thì dãy độ đo Monge-Ampère ( ) j n hội tụ yếu đến n trên D . Hơn nữa với bất kỳ ( , ) ( )h PSH D L D , ta có lim j n n j D D h h . Sử dụng công thức tích phân từng phần, bất đẳng thức cơ bản và lập luận tương tự như [12] dưới đây, ta có kết quả sau Mệnh đề 2.3.1.5. Cho ( , )PSH D . Giả sử tồn tại dãy 0( , )j D giảm đến ( , )PSH D và thỏa mãn sup ( ) j n j j D . Khi đó ( , )D và lim ( ) ( ) j n n jj D D . 33 2.3.2. Định lý dưới thác triển tổng quát Định lý 2.3.2.1. Cho D là miền tựa siêu lồi thỏa mãn điều kiện (2.3). Giả sử ( , )D sao cho ( ) nD X M . Khi đó tồn tại một hàm ( , )PSH X sao cho trên D . Chứng minh : Giả sử 0( , )j D là một dãy giảm hội tụ đến trên D . Theo Bổ đề 2.3.1.2 ta có ( ) n c j D D dd M . Trước hết giả sử rằng ( ) nD X M . Khi đó, theo [12] tồn tại 1 ,ju X với sup 1j X u sao cho ( ) 1 ( )c n c n nj D j jdd u dd trên X , ở đó 0j được chọn sao cho khối lượng tổng cộng ở cả hai phía là bằng nhau. Cố định j . Vì ;j j j ju x D u D và j là bị chặn, nên suy ra sj j j ju u D với 1s đủ lớn, ở đó sup ,sj ju u s . Khi đó theo nguyên lý so sánh (Bổ đề 2.2.1.4) suy ra s s j j j j n n c s c j j u u dd u dd . Nhắc lại rằng 1 1 j j n n c s c j ju s u s dd u dd u (Xem [12]). 34 Do đó j j j j n n c c j j u u dd u dd . Suy ra 0j jVol u và khi đó j ju trên D . Do sự chuẩn hóa của ju , hàm lim sup ,j j u u PSH X và thỏa mãn u trên D . Bây giờ, giả sử ( , )D với ( ) nD X M và xét một dãy giảm 0( ) ( , )j D hội tụ đến với các khối lượng Monge-Ampère b