Luận văn Giải tích ngẫu nhiên và ứng dụng trong thị trường tài chính

t là một quá trình Poisson tiêu chuẩn (λ = 1) thì Mt = Nt − t. 1.5 Quá trình Markov Lớp các quá trình Markov rất rộng, bao gồm các quá trình có đặc tính là diễn biến tương lai khi đã biết hiện tại thì không phụ thuộc vào diễn biến trong quá khứ. Đặc tính này gọi là tính chất Markov, hay tính chất mất trí nhớ (loss of memory). Nói một cách chính xác hơn, ta có 1.5.1 Định nghĩa (a) Một quá trình ngẫu nhiên (Xt, t ≥ 0) được gọi là một quá trình Markov, nếu với mọi thời điểm bất kỳ 0 ≤ t1 < t2 < ... < tn−1 < tn, ta có: P {Xtn ≤ xn|Xt1 = x1, Xt2 = x2, ..., Xtn−1 = xn−1} = P {Xtn ≤ xn|Xtn−1 = xn−1} (b) Cho A là một khoảng trên đường thẳng thực. Khí đó hàm số P (x, s; t, A) xác định bởi P (x, s; t, A) = P {Xt ∈ A|Xs = x} , s < t, được gọi là hàm xác suất chuyển, hoặc hàm chuyển, hoặc xác suất chuyển. 21 CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN (c) Một quá trình Markov có không gian trạng thái hữu hạn hoặc đếm được thì gọi là một xích Markov. 1.5.2 Phương trình Chapman-Kolmogorov Cho Xt là một quá trình Marlov. Khi đó với mọi 0 ≤ s ≤ u ≤ t, mọi x ∈ R và mọi A ∈ BR thì hàm chuyển thỏa mãn điều kiện: P (x, s; t, A) = ∫ P (x, s; u, dy)P (y, u; t, A) (C −K) Điều kiện (C −K) được gọi là phương trình Chapman-Kolmogorov. 1.5.3 Chú ý (a) Hai quá trình Markov điển hình là chuyển động Brown và quá trình Poisson. (b) Quá trình Lévy (quá trình có số gia độc lập và dừng) là một quá trình Markov. (c) Một quá trình Markov cũng có thể là một quá trình Gauss hoặc có thể không. Khi một quá trình vừa là Gauss vừa là Markov thì người ta gọi đó là một quá trình Gauss-Markov. Chuyển động Brown là một quá trình Gauss- Markov. Nhưng quá trình Poisson tuy là Markov nhưng không phải là Gauss. Một quá trình Gauss qui tâm với hàm tương quan cho bởi R (t, s) = 1 2 (|t|α + |s|α − |t− s|α) (0 ≤ α ≤ 2) nói chung không phải là một qua trình Markov (với α 6= 1). Người ta gọi đó là một chuyển động Brown phân thứ, nó mô tả những quá trình có trí nhớ lâu dài. Ngoài ra, ta cũng biết rằng các quá trình Xt = |Wt| và Xt = eWt (vớiWt là chuyển động Brown thường) không phải là các quá trình Gauss nhưng là Markov; trong khi đó thì quá trình Xt = t∫ 0 Wsds tuy không phải là Markov nhưng lại là một quá trình Gauss. 22 Chương 2 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Tích phân ngẫu nhiên và Phương trình vi phân ngẫu nhiên là những yếu tố cơ bản cấu thành môn Giải tích ngẫu nhiên. Chương này nói về tích phân ngẫu nhiên Itô và tích phân ngẫu nhiên Stratonovich, định nghĩa Phương trình vi phân ngẫu nhiên và lời giải, định lý tồn tại duy nhất lời giải cùng một vài ví dụ minh họa. Phần I TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN 2.1 Tích phân Ito 2.1.1 Mục đích Ta biết rằng một hàm thực F (t) được gọi là có biến phân giới nội (hay còn gọi là biến phân hữu hạn) trên đoạn [a, b] nếu tồn tại một hằng số C sao cho với 23 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN mọi phân hoạch của đoạn ấy a = t0 < t1 < ... < tn = b thì có bất đẳng thức n∑ k=1 |F (tk)− F (tk−1)| ≤ C Ngoài ra, ta cũng biết rằng, muốn xây dựng tích phân b∫ a f (t) dF (t) trong Giải tích toán học, ta phải luôn luôn giả thiết rằng F (t) có biến phân giới nội trên [a, b]. Bây giờ, choWt là một chuyển động Brown và xét một quỹ đạo của nó t→Wt, (Ta hiểu một quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên W (t, ω) như là hàm một biến t→Wt khi ta cố định một yếu tố ngẫu nhiên ω; mỗi ω ∈ Ω cho ta một quỹ đạo, tức một hàm thực của t). Nhiều bài toán dẫn đến nhu cầu phải tính toán một loại tích phân có dạng tạm ký hiệu là I = b∫ a f (t, ω) dWt trong đó f (t, ω) là một quá trình ngẫu nhiên nào đó, còn Wt là chuyển động Brown nói trên. Thế nhưng, hầu hết các quỹ đạo Wt của chuyển động Brown W(t,ω) đều không có biến phân giới nội trên [a, b]. Do đó không thể xây dựng tích phân b∫ a f (t, ω) dWt như đã làm trong Giải tích toán học được. Năm 1941, nhà toán học Nhật Kyushu Itô đã đưa ra một cách xây dựng tích phân dựa trên nguyên tắc ánh xạ đẳng cự. Tích phân đó mang tên ông. 2.1.2 Định nghĩa tích phân Itô Cho f(t, ω) là một quá trình ngẫu nhiên sao cho E [ f2 (t, ω) ] < ∞ với mọi t và Wt là một chuyển động Brown tiêu chuẩn (một chiều), tất cả quỹ đạo của f và của W là xác định trên đoạn a ≤ t ≤ b. Xét một phân hoạch của đoạn [a, b]: a = t0 < t1 < ... < tn = b và lập tổng tích phân Sn (ω) = n−1∑ i=0 f (ti, ω) [W (ti+1, ω)−W(ti, ω)] 24 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN trong đó f(ti, ω) là giá trị của f(t, ω) tại đúng đầu mút bên trái của đoạn nhỏ ti, ti+1 và không thể thay thế f(ti, ω) bằng giá trị f(si, ω) tại một điểm si bất kỳ thuộc đoạn ti, ti+1 như vẫn làm trong định nghĩa tích phân tất định được. Ta làm mịn phân hoạch của đoạn [a, b], tức là xét các phân hoạch mau dần sao cho mỗi khoảng ti, ti+1 đều thu nhỏ dần: max 0≤i≤n−1 |ti+1 − ti| → 0 Khi đó, nếu tồn tại một biến ngẫu nhiên S∗(ω) sao cho E |Sn (ω)− S∗ (ω)|2 → 0 khi n→∞ thì S∗(ω) được gọi là tích phân Itô của quá trình f(t, ω) trên đoạn [a, b] và ký hiệu là I = b∫ a f (t, ω) dWt . Giới hạn S∗ (ω) nói trên chính là giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình của Sn (ω) và thường kí hiệu là l.i.m. n→∞ Sn (ω) (l.i.m. = limit in mean: giới hạn theo trung bình). Điều đó có nghĩa là Sn → S∗ trong L2(Ω,F , P ) khi n→∞. Vậy ta có: Định nghĩa Tích phân Itô của quá trình ngẫu nhiên f(t, ω) là giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình sau đây nếu nó tồn tại: I = b∫ a f (t, ω) dWt = l.i.m. max|ti+1−ti|→0 ∑ f (ti, ω) [Wti+1 −Wti] Chú ý: (a) Nếu trong tích phân trên, ta đặt a = 0 và b = t > 0 thì ta có tích phân Itô t∫ 0 f (s, ω) dWs phụ thuộc vào cận trên là t và từ nay, ta chỉ xét tích phân này. 25 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN (b) Những quá trình ngẫu nhiên f(t, ω) nào thì có tích phân Itô? Người ta đã chứng minh được rằng đó là các quá trình f(t, ω) thỏa mãn các điều kiện sau đây: (i) Đo được đối với σ-trường tích B[0,t] × F và thích nghi đối với Ft = FWt , trong đó B[0,t] là σ-trường Borel trên [0, t] và FWt là σ-trường sinh bởi chuyển động Brown Wt đã cho. (ii) E b∫ a f2 (t, ω) dt <∞, b∫ a f2 (t, ω) dt ∈ L1(Ω,F , P ). Ngoài ra, nếu kí hiệu G là σ-trường sinh ra bởi các quá trình liên tục trái thì mỗi g đo được đối với G được gọi là một quá trình khả đoán. và người ta cũng chứng minh rằng, với mọi quá trình f(t, ω) thỏa mãn 2 điều kiện (i) và (ii) nói trên thì bao giờ cũng tồn tại một quá trình khả đoán g(t, ω) sao cho f(t, ω) = g(t, ω) hầu khắp nơi đối với độ đo tích dt× dP . Các tính chất quan trọng của tích phân Itô (a) E t∫ 0 f (s, ω) dWs = 0, t ∈ [a, b] (b) E ∣∣∣∣ t∫ 0 f (s, ω) dWs ∣∣∣∣2 = E [ t∫ 0 f2 (s, ω) ds ] (tính chất đẳng cự) (c) Bản thân tích phân Itô Xt = t∫ 0 f (s, ω) dWs là một Martingale đối với σ- trường FWt . 2.1.3 Vi phân ngẫu nhiên Itô và Công thức Itô Vi phân Itô Giả sử rằng X = (Xt, t ≥ 0) là một quá trình ngẫu nhiên sao cho: (a) Hầu hết các quỹ đạo t→ Xt là liên tục. (b) Hầu chắc chắn Xt có biểu diễn: Xt = X0 + t∫ 0 h (s, ω) ds+ t∫ 0 f (s, ω) dWs (∗) 26 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN trong đó h và f là các quá trình ngẫu nhiên đo được dần sao cho các tích phân trong biểu diễn tồn tại thì ta nói rằngX là một quá trình Itô và có vi phân Itô dX. Vi phân Itô dX là một biểu thức hình thức được viết như sau: dXt = h (t, ω) dt+ f (t, ω) dWt (∗∗) hay dX = hdt+ fdW Khi ta viết ra một vi phân có dạng (∗∗), ta hiểu rằng điều đó có nghĩa là ta có hệ thức (∗) hầu chắc chắn. Công thức Itô Công thức Itô thực chất là công thức đổi biến trong Giải tích ngẫu nhiên: Từ một quá trình ngẫu nhiên Itô (Xt) nếu ta biến đổi thành (Yt) với Yt = g(t, Xt) thì vi phân dY sẽ tính ra sao. Công thức này rất cần thiết để tính tích phân ngẫu nhiên, để thực hiên các phép biến đổi ngẫu nhiên và giải các phương trình vi phân ngẫu nhiên. Định lý Cho X là một quá trình Itô với dX = hdt + fdW . Giả thử g(t, x) : R2 → R là một hàm hai biến khả vi liên tục theo biến thứ nhất t, hai lần khả vi liên tục theo biến thứ hai x. Khi đó quá trình ngẫu nhiên Yt = g(t, Xt) là một quá trình Itô có vi phân Itô cho bởi: (I1) dYt = ∂g ∂t (t, Xt) dt+ ∂g ∂x (t, Xt) dXt + 1 2 ∂2g ∂x2 (t, Xt) f 2 (t, ω) dt Đó là công thức Itô có dạng tương đương sau: (I2) Yt = g (0, X0) + t∫ 0 ∂g ∂s (s,Xs) ds+ + t∫ 0 ∂g ∂x (s,Xs) dXs + 1 2 t∫ 0 ∂2g ∂x2 (s,Xs) f 2 (s, ω) ds 27 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Chú ý: (a) Trong các công thức (I1) và (I2) thì dX coi như đã biết, và ta có thể thay dX = hdt + fdW . (b) Trong khi thực hiện các tính toán trên các vi phân, ta có thể áp dụng các qui ước sau: dt.dt = 0, dt.dW = dW.dt = 0, dW.dW = dt. 2.1.4 Các thí dụ. Thí dụ 1. Tính tích phân I = t∫ 0 WsdWs Chọn Xt =Wt và g(t, x) = x2. Khi đó: Yt = g (t, Xt) = g (t,Wt) = W 2 t g (t, x) = x2 ⇒ ∂g∂t = 0, ∂g∂x = 2x, ∂ 2g ∂x2 = 2 . Ngoài ra, vì Xt =Wt = t∫ 0 1.dWs cho nên f ở đây bằng 1. Áp dụng công thức Itô (I2) ta được Yt = W 2 t = t∫ 0 2WsdWs + 1 2 t∫ 0 2.ds = 2 t∫ 0 WsdWs + t. Do đó t∫ 0 WsdWs = 1 2 W2t − t 2 . Thí dụ 2. Tính tích phân I = t∫ 0 f (s) dWs trong đó f là một hàm tất định, khả vi cấp 1. Chon g(t, x) = f(t).x, do đó Yt = f(t)Xt = f(t)Wt. ∂g ∂t = f ′ (t) x, ∂g ∂x = f (t) , ∂2g ∂x2 = 0. 28 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Theo công thức Itô (I1), ta có dYt = f ′ (t)Xtdt+ f (t) dXt + 0 hay là d [f (t)Wt] = Wtdf (t) + f (t) dWt. Vậy t∫ 0 f (s) dWs = f (t)Wt − t∫ 0 Wsdf (s). Đó là công thức tích phân từng phần của tích phân ngẫu nhiên Itô trong trường hợp hàm dưới dấu tích phân là tất định. Chú ý rằng, theo giả thiết f là khả vi nên nó có biến phân giới nội trên đoạn [0, t] và do đó tích phân t∫ 0 Wsdf (s) là có nghĩa. • Trong trường hợp tổng quát, nếu f(t, ω) là một quá trình ngẫu nhiên với quỹ đạo có biến phân giới nội, thì ta có công thức tich phân từng phần sau: t∫ 0 f (s,ω) dWs = f (t, ω)Wt − t∫ 0 Wsdf (s)− [f,W]t trong đó [f,W]t là một quá trình ngẫu nhiên được xác định bởi: [f,W]t = giới hạn theo xác suất của một tổng Sn(f,W ) trong đó Sn (f,W) = n−1∑ k=0 [f (tk+1)− f (tk)] [ Wtk+1 −Wtk ] , với mọi phân hoạch 0 = t0 < t1 < ... < tn = t, Khi mà max 0≤k≤n−1 |tk+1 − tk| → 0. [f,W ] được gọi là biến phân bậc hai của quá trình f và W như ta sẽ định nghĩa dưới đây, ở mục 2.2.2 2.2 Tích phân ngẫu nhiên Stratonovich 2.2.1 Khái niệm và định nghĩa Với định nghĩa tích phân Itô nêu ở phần trên, thì giá trị của quá trình f trong tổng tích phân Sn lấy tại đầu một bên trái tk của mỗi đoạn nhỏ [tk, tk+1] của 29 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN phân hoạch 0 = t0 < t1 < ... < tn = t: Sn = n−1∑ k=0 f (tk) [ Wtk+1 −Wtk ] . Bây giờ, thay vì cho đầu mút trái, ta chọn điểm chính giữa tk + tk+1 2 của mỗi đoạn nhỏ đó, thì ta đi tới định nghĩa của một loại tích phân ngẫu nhiên mới, gọi là tích phân Stratonovich. Định nghĩa Tích phân Stratonovich được định nghĩa bởi giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình của tổng Sn với Sn = n−1∑ k=0 f ( tk + tk+1 2 ) [ Wtk+1 −Wtk ] . Khi max 0≤k≤n−1 |tk+1 − tk| → 0, và kí hiệu bởi t∫ 0 f (s, ω) ◦ dWs 2.2.2 Biến phân bậc hai của hai quá trình ngẫu nhiên Định nghĩa Cho Xt và Yt là hai quá trình liên tục, xác định với t ≥ 0. Ta gọi biến phân bậc hai của hai quá trình ấy và ký hiệu là [X, Y ] là một quá trình ngẫu nhiên xác định bởi một giới hạn hầu chắc chắn sau đây, nếu nó tồn tại: [X, Y ]t h.c.c = lim max|tk+1−tk|→0 n−1∑ k=0 ( Xtk+1 −Xtk ) ( Ytk+1 − Ytk ) với mọi phân hoạch 0 = t0 < t1 < ... < tn = t. Nếu X = Y thì ta dùng kí hiệu [X,X ] = [X ]. Tính chất (a) [X, Y ]0 = 0 30 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN (b) [X, Y ] = [Y,X ] (c) [a1X1 + a2X2, Y ] = a1[X1, Y ] + a2[X2, Y ]. Biến phân bậc hai của một số quá trình (a) Nếu W là một chuyển động Brown tiêu chuẩn thì [W ]t = t. (b) NếuX là một quá trình Poisson tiêu chuẩn thì martingale Poisson Yt = Xt−t có biến phân bậc hai là [Y ]t = t. (c) Nếu X và Y là hai quá trình Itô cho bởi: X = X0 + t∫ 0 h1 (s, ω) ds+ t∫ 0 f1 (s, ω) dWs, Y = Y0 + t∫ 0 h2 (s, ω) ds+ t∫ 0 f2 (s, ω) dWs thì [X, Y ]t = t∫ 0 f1 (s, ω) f2 (s, ω) ds. Liên hệ giữa tích phân Stratonovich và tích phân Itô t∫ 0 f (s, ω) ◦ dWs = t∫ 0 f (s, ω) dWs + 1 2 [f,W]t . Công thức kiểu Newton-Leibnitz đối với tích phân Stratonovich Giả sử h(x) là một hàm một biến khả vi liên tục với nguyên hàm là U(x) thì người ta có thể chứng minh được công thức t∫ t0 h (Ws) ◦ dWs = U (Wt)− U (Wt0) . (Thực ra, cả hai vế đều bằng t∫ t0 h (Ws) dWs + 1 2 t∫ t0 h ′ (Ws) ds). 31 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Do công thức trên, có thể áp dụng được các quy ước của tích phân xác định trong Giải tích cổ điển cho tích phân Stratonovich, chẳng hạn t∫ 0 Ws ◦ dWs = 12W2t t∫ 0 eWs ◦ dWs = eWt − 1, ... Cũng như vậy, đôi khi việc tính một tích phân Itô sẽ trở nên dễ dàng hơn nếu ta chuyển sang tích phân Stratonovich, thí dụ: t∫ 0 WsdWs = t∫ 0 Ws ◦ dWs − [W,W]t = 1 2 W2t − t Phần II PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 2.3 Định nghĩa phương trình và lời giải Xét một hệ thức vi phân ngẫu nhiên dXt = b (t, Xt) dt+ σ (t, Xt) dWt (2.3.1) trong đó b(t, x) và σ(t, x) là những hàm hai biến đo được: [0, T ]× R → R, Wt là chuyển động Brown tiêu chuẩn. Nếu xem Xt là một quá trình ngẫu nhiên phải tìm, thì hệ thức (2.3.1) được gọi là một phương trình vi phân ngẫu nhiên. • Một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt(ω), t ∈ [0, T ]) được gọi là một lời giải của phương trình (2.3.1) với điều kiện ban đầu X0 = Z, (2.3.2) trong đó Z là một biến ngẫu nhiên cho trước, độc lập với W = (Wt, t ≥ 0) sao cho E(Z2) <∞, nếu X thỏa mãn các giả thiết sau: (i) Xt là thích nghi với Ft = FWt = σ(Ws, s ≤ t), và là đo được đối với σ-trường tích B[0,T ] × Ft, 32 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN (ii) E t∫ 0 X2t dt <∞, ∀t ∈ [0, T ] . (iii) Xt thỏa mãn các hệ thức (2.3.1) và (2.3.2). • Giả thử X = (Xt, t ∈ [0, T ]) là một lời giải của phương trình (2.3.1)-(2.3.2). Ta nói rằng lời giải đó là duy nhất nếu điều sau đây được thực hiện: Giả thử có một quá trình Y = (Yt, t ∈ [0, T ]) cũng là một lời giải của phương trình trên thì khi đó P { sup 0≤t≤T |Xt − Yt| = 0 } = 1. (2.3.3) 2.4 Định lý tồn tại và duy nhất Nếu tồn tại một hằng số K > 0 sao cho với mọi t ∈ [0, T ] với mọi x, y ∈ R sao cho |b (t, x)− b (t, y)|+ |σ (t, x)− σ (t, y)| ≤ K |x− y| (2.4.1) |b (t, x)|2 + |σ (t, x)|2 ≤ K2 (1 + |x|2) (2.4.2) hay với hằng số C > 0 ta có: |b (t, x)|+ |σ (t, x)| ≤ C (1 + |x|) thì khi đó tồn tại một lời giải X = (Xt, t ∈ [0, T ]) của phương trình (2.3.1) với điều kiện ban đầu (2.3.2) và lời giải đó là duy nhất theo nghĩa (2.3.3). 2.4.1 Sự duy nhất Sự duy nhất sẽ được chứng minh dựa vào sự đẳng cự Itô và Điều kiện Lipschitz (2.4.1). Giả thử X1(t, ω) = Xt(ω) và X2 (t, ω) = X̂t (ω) là lời giải với các điều kiện ban đầu Z và Ẑ, tức là X1(0, ω) = Z(ω), X2(0, ω) = Ẑ(ω), ω ∈ Ω. 33 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Thực ra ở đây ta chỉ cần tới trường hợp Z = Ẑ nhưng ta sẽ đưa vào một ước lượng tổng quát hơn sau đây, sẽ có ích về sau, liên quan tới tính liên tục Feller. Đặt a(s, ω) = b(s,Xs)− b(s, X̂s) và γ(s, ω) = σ(s,Xs)− σ(s, X̂s). Khi đó ta có: E [∣∣∣Xt − X̂t∣∣∣2] = E [(Z − Ẑ + t∫ 0 ads+ t∫ 0 γdWs )2] ≤ 3E [∣∣∣Z − Ẑ∣∣∣2] + 3E [( t∫ 0 ads )2] + 3E [( t∫ 0 γdWs )2] (do bất đẳng thức Cauchy) ≤ 3E [∣∣∣Z − Ẑ∣∣∣2] + 3 (1 + t) .K2 t∫ 0 E ∣∣∣Xs − X̂s∣∣∣2 ds . bởi vì: theo (2.4.1) |a|+ |γ| ≤ K.|X − X̂|, do đó a2 hoặc γ2 ≤ a2 + γ2 ≤ (|a|+ |γ|)2 ≤ K2.|Xs − X̂s|2. Vậy hàm v (t) = E [∣∣∣Xt − X̂t∣∣∣2] , 0 ≤ t ≤ T, thỏa mãn v (t) ≤ F + A. t∫ 0 v (s) ds, trong đó F = 3E ∣∣∣Z − Ẑ∣∣∣2 và A = 3 (1 + T )K2. Đặt ω (t) = t∫ 0 v (s) ds. Khi đó ω ′ (t) ≤ F + A.ω(t). Do Đó, vì ω(0) = 0 nên ω(t) ≤ F A (eAt − 1). Theo bất đẳng thức tìm được ở trên v (t) ≤ F + A.ω(t), ta có v(t) ≤ F. exp(At) hay là E ∣∣∣Xt − X̂t∣∣∣2 ≤ F.exp(At) Bây giờ ta giả thiết rằng Z = Ẑ. Khi đó F = 0 và do đó v(t) = 0 với mọi t ≥ 0. Từ đó ta có P [∣∣∣Xt − X̂t∣∣∣ = 0 ∀t ∈ Q ∩ [0, T ]] = 1 trong đó Q là tập hợp các số hữu tỉ. Do tính liên tục hầu khắp nơi của ánh xạ t→ |Xt − X̂t| ta suy ra rằng P { Xt (ω) = X̂t (ω) ∀t ∈ [0, T ] } = 1 34 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN hay P { Xt (ω) = X̂t (ω)∀t ∈ [0, T ] } = 1X1 (ω) = X̂2 (ω) h.c.c 2.4.2 Sự tồn tại Ta sẽ chứng minh sự tồn tại lời giải của (2.3.1) theo một phương pháp tương tự đối với phương trình vi phân thường, bằng cách dùng phép lặp Picard: • Đầu tiên, ta định nghĩa: Y (0)t = X0 và Y (k) t = Y (k) t (ω) một cách Quy nạp như sau: Y (k+1) t = X0 + t∫ 0 b ( s, Y (k) s ) ds+ t∫ 0 σ ( s, Y (k) s ) dWs (1) Khi đó, tính toán tương tự như đối với phần duy nhất ở trên, ta có : E ∣∣∣Y (k+1)t − Y (k)t ∣∣∣ ≤ (1 + T ) 3K2 t∫ 0 E ∣∣∣Y (k)s − Y (k−1)s ∣∣∣2 ds (2) với k ≥ 1, t ≤ T và E ∣∣∣Y (1)t − Y (0)t ∣∣∣2 ≤ 2C2t2 (1 + EX20)+ 2C2t (1 + EX20) ≤ 2C2T.t (1 + EX20)+ 2C2t (1 + EX20) = A1t, trong đó hằng số A1 chỉ phụ thuộc vào C, T và EX20 . Do đó, theo (2) ta có : E ∣∣∣Y (2)t − Y (1)t ∣∣∣2 ≤ (1 + T ) .3K2. t∫ 1 A1.tdt = (1 + T ) .3K 2.A1︸ ︷︷ ︸ A2 . t2 2! Quy nạp theo k, ta có : E ∣∣∣Y (k+1)t − Y (k)t ∣∣∣2 ≤ Ak+12 .tk+1(k + 1)! ; k ≥ 0, t ∈ [0, T ] (3) trong đó A2 là một hằng số chỉ phụ thuộc C,K, T và EX20 . • Bây giờ, với mỗi ω cố định thuộc Ω, ta có sup 0≤t≤T ∣∣∣Y (k+1)t − Y (k)t ∣∣∣ ≤ t∫ 0 ∣∣∣b(s, Y (k)s )− b(s, Y (k−1)s )∣∣∣ ds+ + sup 0≤t≤T ∣∣∣∣ t∫ 0 [ σ ( s, Y (k) s ) − σ ( s, Y (k−1) s )] dWs ∣∣∣∣ 35 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Theo Bất đẳng thức Martingale của Doob P ( sup 0≤t≤T |Mt| ≥ λ ) ≤ 1 λp E |Mt|p thì ta có P ( sup 0≤t≤T ∣∣∣Y (k+1)t − Y (k)t ∣∣∣ ≥ 2−k) ≤ ≤ P {[ T∫ 0 ( b ( s, Y (k) s ) − b ( s, Y (k−1) s )) ds ]2 > ( 1 2k+1 )2} + +P  sup 0≤t≤T ∣∣∣∣∣∣ t∫ 0 [ σ ( s, Y (k) s ) − σ ( s, Y (k−1) s )] dWs ∣∣∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸ martingale > 12k+1  ≤ ≤ 22k+2.T. T∫ 0 E ∣∣∣b(s, Y (k)s )− b(s, Y (k−1)s )∣∣∣2 ds+ +22k+2. T∫ 0 E ∣∣∣σ (s, Y (k)s )− σ (s, Y (k−1)s )∣∣∣2 ds ≤ ≤ 22k+2.K2 (T + 1) T∫ 0 Ak2t k k! dt ≤ ≤ (4A2T )k+1(k+1)! nếu A2 ≥ 4K2 (T + 1) Do đó, theo bổ đề Borel-Cantelli, ta có P ( sup 0≤t≤T ∣∣∣Y (k+1)t − Y (k)t ∣∣∣ > 12k với vô số k ) = 0 Vậy với hầu hết ω, tồn tại một k0 = k0(ω) sao cho sup 0≤t≤T ∣∣∣Y (k+1)t − Y (k)t ∣∣∣ k0(ω) Do đó dãy Y (n) t (ω) = Y (0) t (ω) + n−1∑ k=0 [ Y (k+1) t (ω)− Y (k)t (ω) ] hội tụ đều với hầu hết mọi ω (hội tụ đều h.k.n.). Ký hiệu giới hạn đó bởi Xt = Xt(ω). Khi đó : Xt { là t - liên tục với hầu hết ω bởi vì Y nt là t - liên tục h.k.n ∀n là Ft − đo được ∀t, vì Y nt là Ft − đo được ∀t, ∀n. 36 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN • Giới hạn trong không gian đủ L2(P ): Cho m > n ≥ 0 là các số nguyên. Theo (3) ta có : E (∣∣∣Y (m)t − Y (n)t ∣∣∣2) = ∥∥∥Y (m)t − Y (n)t ∥∥∥2 L2(P ) = [∥∥∥∥m−1∑ k=n [ Y (k+1) t − Y (k)t ]∥∥∥∥ L2(P ) ]2 ≤ [ m−1∑ k=n ∥∥∥Y (k+1)t − Y (k)t ∥∥∥ L2(P ) ]2 = [ m−1∑ k=n E (∣∣∣Y (k+1)t − Y (k)t ∣∣∣2) 12 ]2 ≤ ( ∞∑ k=n (A2T ) k+1 (k+1)! ) → 0 khi n→∞ Do đó { Y (n) t } hội tụ trong L2(P ) đến một giới hạn mà ta ký hiệu là Yt : Y (n) t L2(P )→ n→∞ Yt. Vậy tồn tại một dãy con của { Y (n) t (ω) } hội tụ theo từng điểm đến Yt(ω), tức là |Y (n)t (ω) − Yt(ω)| → 0, và do đó ta phải có Yt = Xt hầu chắc chắn. • Việc còn lại là phải chứng minh rằng Yt thỏa mãn phương trình vi phân (2.3.1) đã cho : Với mọi n, ta có Y (n+1) t = X0 + t∫ 0 b ( s, Y (n) s ) ds+ t∫ 0 σ ( s, Y (n) s ) dWs (4) -Ta đã có Y (n+1)t → Xt khi n→∞ và sự hội tụ là đều theo t ∈ [0, T ] với hầu hết ω. Theo (4) và bổ đề Fatou ta có E  T∫ 0 ∣∣∣Xt − Y (n)t ∣∣∣2dt  ≤ lim sup m→∞ E T∫ 0 ∣∣∣Y (m)t − Y (n)t ∣∣∣2dt→ 0(n→∞) -Ta chứng minh A ≡ t∫ 0 σ ( s, Y (n) s ) dWs L2(P )→ t∫ 0 σ (s,Xs) dWs := W 37 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Thực vậy: ‖A−W‖2L2(P ) = E [( t∫ 0 ( σ ( s, Y (n) s ) − σ (s,Xs) ) dWs )2] = = E t∫ 0 ∣∣∣σ (s, Y (n)s )− σ (s,Xs)∣∣∣2 ds. theo phép đẳng cự Itô : E ∣∣∣∣∣∣ t∫ 0 f (s, ω) dWs ∣∣∣∣∣∣ 2 = E t∫ 0 |f (s, ω)|2 ds ma ta lại có Y ns hội tụ đều tới Xs hầu chắc chắn do đó vế trái → 0. -Ta cũng có t∫ 0 b ( s, Y (n) s ) ds L2(P )→ t∫ 0 b (s,Xs) ds vì theo bất đẳng thức Ho¨lder (∫ fg )2 ≤ ∫ f2g2 áp dụng cho g = 1:( t∫ 0 f )2 ≤ t t∫ 0 f2, ở đây ta có : ∣∣∣∣∣∣ t∫ 0 ( b ( s, Y (n) s ) − b (s,Xs) ) ds ∣∣∣∣∣∣ 2 ≤ t. t∫ 0 ∣∣∣b(s, Y (n)s )− b (s,Xs)∣∣∣2 ds cho nên E ∣∣∣∣∣∣ t∫ 0 ( b ( s, Y (n) s ) − b (s,Xs) ) ds ∣∣∣∣∣∣ 2 ≤ t.E t∫ 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣b ( s, Y (n) s ) − b (s,Xs)︸ ︷︷ ︸ dần đến 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 ds Do đó, qua giới hạn trong L2(P ) cả hai vế của (4), ta nhận thấy Xt thỏa mãn phương trình (2.3.1) với điều kiện ban đầu (2.3.2) đã cho{ dXt = b (t, Xt) dt+ σ (t, Xt) dWt, X0 = Z (PT ) Điều đó hoàn tất chứng minh Định lý Tồn tại và Duy nhất lời giải của phương trình vi phân ngẫu nhiên. 38 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 2.5 Tính Markov của lời giải Lời giải của một phương trình vi phân ngẫu nhiên nói trên bao giờ cũng là một quá trình Markov. Điều đó được khẳng định bởi Định lý sau đây Định lý Giả thử X = Xt là một quá trình ngẫu nhiên thỏa mãn phương trình dXt = b (t, Xt) dt+ σ (t, Xt) dWt (2.3.1) trong đó các hệ số b (t, x) và σ (t, x) thỏa mãn các điều kiện tồn tại và duy nhất lời giải như đã nêu trong Định lý trên. Khi đó X = Xt là một quá trình Markov mà xác suất chuyển xác định bởi P(x, s; t,A) = P{Xxs (t) ∈ A} trong đó Xxs (t) là lời giải của phương trình (2.3.1) với điều kiện ban đầu x lấy tại một thời điểm ban đầu s < t, tức là Xs = x; nói cách khác Xxs (t) là lời giải duy nhất của phương trình Xxs (t) = x+ t∫ s b (u,Xxs (u)) du+ t∫ s σ (u,Xxs (u)) dWu Chú ý: (a) Theo định nghĩa, bất kỳ một lời giải nào của phương trình (2.3.1) đều là một quá trình thích nghi với FWt = σ(Ws, s ≤ t). (b) Phương trình (2.3.1) có thể xem như một sự mô tả các diễn biến của một hệ động lực với trạng thái của hệ là (Xt). Người ta hay nói rằng hệ động lực này bị chi phối, bị không chế, hay bị lái (driven) bởi chuyển động Brown Wt, trong đó hệ số b(t, Xt) được gọi là độ dịch chuyển (drift), và hệ số σ(t, Xt) được gọi là độ biến động (volatility) của hệ. (c) Không phải là lời giải của bất cứ phương trình vi phân ngẫu nhiên nào cũng là một quá trình khuếch tán. 39 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN (d) Một điều rất quan trọng trong thực hành kỹ thuật toán tài chính là : làm sao để lời giải của một phương trình vi phân ngẫu nhiên nào đó phải là một martingale. Và người ta có kết quả quan trọng sau đây: Định lý. Giả thử (Xt) là lời giải của phương trình vi phân ngẫu nhiên dX = b (t, X) dt+ σ (t, X) dW, trong đó σ (t, x) là liên tục và E T∫ 0 σ2 (t, X) dt <∞ Khi đó, quá trình (Xt) là một martingale nếu và chỉ nếu độ dịch chuyển bằng 0, tức là b (t, x) ≡ 0. 40 Chương 3 VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH Chương này trình bày về các quá trình giá tài sản tài chính như là các quá trình ngẫu nhiên. Các khái niệm độ chênh thị giá, thị trường đầy đủ và phương pháp định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá, các hợp đồng tài chính và đặc biệt đề cập đến mô hình quyền chọn Black-Scholes. Phần I QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH 3.1 Phương án đầu tư Từ nay ta quy các tài sản cơ bản vào hai loại chính là cổ phiếu và trái phiếu và gọi chung là chứng khoán cơ bản. Với mỗi chứng khoán S (Security), ta xem giá của nó là một quá trình ngẫu nhiên {S (t)} trên một không gian xác suất có lọc (Ω,F , (Ft) , P ), trong đó Ft là một họ các σ−trường thể hiện một luồng thông tin của thị trường. 41 CHƯƠNG 3. VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH 3.1.1 Phương án đầu tư, Phương án mua và bán Phương án đầu tư Một phương án đầu tư là tổ hợp của một số hữu hạn các chứng khoán với các trọng số nào đấy. Giả sử có n chứng khoán với giá trị tại thời điểm t là: S1(t), S2(t), ..., Sn(t). Một phương án đầu tư là một cách chọn ra α1(t) chứng khoán S1(t), ..., αn(t) chứng khoán Sn(t) tại mỗi thời điểm t để đầu tư. Vậy giá trị của phương án ấy tại thời điểm t, ký hiệu bởi V α(t) được xác định bởi V α (t) = α1 (t)S1 (t) + ...+ αn (t)Sn (t) = n∑ i=1 αi (t)Si (t) (3.1.1) Vì giá chứng khoán S1(t), S2(t), ..., Sn