Luận văn Giao thoa coulomb - Hadron năng lượng cao

([ ] ) 1 ( ) i N C N N N s q F q f q F q i dq f q q q q i f q F q q d q q F q                               (2.4) Bây giờ chúng ta dễ dàng đi xác định biên độ tán xạ góc của các hadron '2 2 2 ' '2 2 1 ( , ) . ([ 2 cos ]) / ( ) 2 NN NF q q d F q qq q F q      (2.5) biểu thức này có tính chất là: 2(0, ) 1 N F q  (2.6) Tiếp tục, chúng ta có:       2 '2 ' 2 2 '2 2 ' '2 ' 2 2 2 0 ' 2 '2 '2 2 '2 '2 '2 '2 2 2 '2 0 0 '2 '2 '2 2 2 '2 2 '2 ' 0 ( ) ([ ] ) ( ) 1 [ ( , ) 1] ( ) , 1 .ln ln , ln [ ( , ) ( ) ( )] N N N NN N f q F q q f q d q dq F q q q F q q f q F q q q dq q F q q f q dq q F q q f q f q                                         (2.7) Sử dụng biểu thức này, thì biểu thức (2.4) trở thành: 14       2 2 2 2 2 2 '2 ' 2 '2 2 '2 ' '2 '2 '2 2 2 '2 2 '2 2 0 0 2 '2 2 2 2 2 '2 2 '2 '2 2 ' 2 2 2 0 ( ) ( ) ( ) 1 ln [ ( )] . ln , ( ) ( ) ( ) 1 ln [ ( ) ( , )] i N C NN i NN C N s F q f q q q q i F q i dq f q dq q F q q f q f q q s q F q f q F q i dq f q F q q q q q                                                    (2.8) So sánh lại với biểu thức (0.1), chúng ta thấy rằng: '2 '2 2 '2 '2 2 ' '2 0 ln [ ( ) ( , )] Nq d dq f q F q q q dq     (2.9) Thực tế là q2 là nhỏ so với thang đo là nghịch đảo kích thước proton, vì thế chúng ta có thể tổng quát hóa phép gần đúng: '2 2 '2( , )] ( ) / (0) N N NF q q F q F (2.10) Từ đó suy ra biểu thức tổng quát cuối cùng của pha  : '2 '2 2 '2 '2 '2 0 ln [ ( ) ( ) / (0)]N N q d dq f q F q F q dq     (2.11) 2.2. Hệ số dạng điện từ khi xung lƣợng truyền rất nhỏ Sự tham số hóa biên độ tán xạ các hadron ở bậc thấp của q2 được cho bởi biểu thức (1.3). Dạng tham số thích hợp của hệ số tương tác điện từ là: [2] 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ; 0.71f q GeV q         (2.12) Thêm vào đó dạng gần đúng bậc thấp theo q2 của hệ số tương tác điện từ là 22 2 /( ) qf q e  (2.13) Sử dụng (2.13), cho pha tán xạ ta thu được: 15   ' 2 2 ' 2 2 ' 2 2 '2 '2 4 / /2 2 '2 0 8 '2 22 0'2 0 2 2 ln 1 8 ln( ) ln(1 ) 2 q Bq B q q d dq e e q dq dq e K Bq q Bq B                             (2.14) Nói cách khác đối với hệ số dạng lưỡng cực thì pha có dạng: 2 2 ln( ) ( ) 2 2 Bq B g       (2.15) trong đó: 2 3 2 1 11 2 ( ) (1 ) ( ) 2 6 6 3 6 zz z z zg z z e E z       (2.16) và ( )1E z là biểu thức tích phân [8]: 1 1 ( ) zt dt E z e t    (2.17) Hai kết quả này có thể được so sánh bằng cách chọn tham số B, tham số góc. Với B = 13 GeV-2 thì phần tán xạ  của (2.14) bằng  ln / .2Bq 2 0 62     , còn hệ số dạng lưỡng cực của (2.15) bằng  ln / .2Bq 2 0 60     . Rõ ràng sự khác nhau ở đây là không đáng kể. So sánh thêm với cách tham số hóa của mô hình Wu – Yang [19] trong tán xạ đàn tính pp thấy rằng trong mô hình này tiết diện tán xạ tỉ lệ với lũy thừa bậc 4 của hệ số tương tác điện từ. Trong mô hình này thì B và 2 liên hệ với nhau bởi hệ thức 2B 8  . Khi đó pha giao thoa tham số mũ của (0.4) bằng:  ln / ln2Bq 2 2     , còn pha giao thoa lưỡng cực của (2.15) bằng:  ln / ( ln / )2Bq 2 4 363 140        . Số hạng cuối cùng trong ngoặc gần bằng – 0.63, nó không sai khác nhiều lắm so với – ln2 = -0.69. Tất nhiên trong mô hình của Wu – Yang cũng không xem xét một cách chính xác, thậm chí cho các mục đich của họ vì rằng tham số B phụ thuộc vào xung lượng s chứ không phải là 2 . Do sự khác nhau giữa biểu thức (2.14) và (2.15) là nhỏ, biểu thức (2.14) đơn giản hơn thích hợp và tiện lợi cho việc tính toán pha tán xạ  . 16 Chƣơng 3 - PHA CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ COULOMB - HADRON CẢI BIẾN Việc hiệu chỉnh biên độ tán xạ Coulomb - Hadron trong gần đúng Born có tính đến tương tác điện từ được biểu diễn bởi số hạng ( )2 2f q . Thêm vào đó nó đã làm thay đổi pha của biên độ tán xạ. Ở chương này chúng ta không lặp lại cách hiệu chỉnh số hạng gần đúng Born một cách đơn giản như phần trên nữa mà chúng ta đi hiệu chỉnh biên độ tán xạ bằng cách khai triển biểu thức biên độ tán xạ (2.1) theo hằng số tương tác  . 3.1. Phép khai triển Born eikonal Để xác định các bổ chính cho biểu thức (2.1), ta trở lại mô hình eikonal, các biểu thức (1.2), (1.3), khai triển theo chuỗi Born eikonal: 2 2 . 2 ( )( ) [ 1] 4 iq b i b eik s F q d be e i     (3.1)  22 . 2 . 2 4 1 2 ( ) ... 1 4 2 [2 ( ) 2 ( ) ...] 4 iq b iq b bs d be i b i s d be i b b i                      (3.2) 2 2 ' '2 ' 2( ) ( ) ([ ] ) ... 2 Born Born Born i F q d q F q F q q s     (3.3) Xét một ví dụ: Biên độ tán xạ thuần túy chỉ có tương tác Coulomb thì: 2 2 2 ( )Born s F q q      (3.4) Số hạng gần đúng Born bậc 2 là:     2 2 ' '2 2 ' 2 2 1 2 2 ' '2 ' 2 2 2 0 1 2 2 2 2 2 2 0 1 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 [ 2 ] 1 2 [ 1 ] i s d q s q q q i s dx d q s q qq x xq i s dx p s p xq x                           17       1 2 2 2 2 0 2 4 2 2 2 2 2 22 4 2 2 2 4 2 2 1 2 1 41 2ln ( )( ) ln 2 4 4 i s dx s p xq x q q q xi s q s i s qq q q x q q q                         (3.5) Với bậc này thì ta có biên độ tán xạ eikonal bằng: 2 22 2 2 ln / 2 2 ( ) (1 ln / ) i qeik s s F q i q e q q          (3.6) Biểu thức này hoàn toàn phù hợp với (1.12). 3.2. Biểu thức của pha khi kể thêm bổ chính của hệ số dạng điện từ Tiếp theo chúng ta xét trường Coulomb với hệ số dạng (form factor). Để cho đơn giản chúng ta lấy: 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )Born s L F q q L q       (3.7) Nó đưa đến hiệu chỉnh trạng thái bậc thấp của q2 nếu chúng ta chọn: / 2 2L 4  . Số hạng gần đúng Born bậc hai trong mô hình eikonal có thể được xác định bằng kỹ thuật giản đồ Feynman như chúng ta đã làm ở trên: 2 2 2 2 2 ' '2 2 '2 2 ' 2 ' 2 2 11 1 2 2 2 ' '2 2 '2 2 ' 2 2 ' 2 2 4 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ). 2 [ ][ ][( ) ][( ) ] ( ) .6{(1 )( ) ( ) [( ) ] [( ) ]} 2 eik y zz i F q sL d q s q q L q q q q L i sL dz dy dx d q x y z q x q L y q q z q q L s                                     (3.8) Thay thế: ' ( )q p y z q   và tiến hành lấy tích phân theo p, chúng ta tìm được:     11 1 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 4 11 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 0 0 0 ( ) ( ) . 2 .6 { (1 ) ( ) 1 } ( ) ( ) .2{ [( ) ( ) ] (1 ) ( )} 2 y zz eik y zz eik i F q sL dz dy dx dp s p x z x z L q y z y z i F q sL dz dy dx q y z y z x z x z s                                          (3.9) Dễ dàng lấy tích phân theo x: 18 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) .{[ ([ ] [ ] ) (1 )] 2 [ ([ ] [ ] ) (1 ) ] } z eik i F q sL dz dy q y z y z y L y s L q y z y z z L z                        (3.10) Như vậy chúng ta định nghĩa: 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 ( , , ) .{[ [( ) ( ) ] (1 )} z I q L dz dy q y z y z y L y L               (3.11) thì: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) [ ( , , ) ( , , )] 2 eik i F q sL I q L I q L s       (3.12) Trong biểu thức (3.11), đặt t = y + z thì 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 0 1 ( , , ) .{ [ (1 )} ] 1 {[ ( ) ] [ ( ) (1 )] I q L dt dy q t t y L y L dt q t t L q t t t L t L                            (3.13) Định nghĩa: 1 2 2 2 2 2 2 2 1 0 ( , , ) [ ( ) (1 )]J q L dt q t t t L t       (3.14) Chúng ta có hệ thức liên quan: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( , , ) [ ( , , ) ( , , )] ( ) I q L J q L J q L L L       (3.15) và: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) [ ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )] 2 ( ) eik i F q sL J q L J q L J q J q L L s L             (3.16) Dễ dàng xác định được 2 2 2( , , )J q L . Kết quả là:       1 2 2 2 2 2 2 2 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 0 1 ( , , ) 1 1 1 [ ( , , ) ] ( ) .ln ( , , ) [ ( , , ) ] ( ) J q L dt q t t t L t S q L q L dt S q L S q L q Lq t q L t L                           (3.17) với: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( , , ) ( ) 4 ( , , )S q L q L L q S q L       (3.18) 19 Đặc biệt : 2 2 2 2 2 2( , , ) ( , , )J q L J q L  . Luôn nhớ rằng L  nên: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , , ) ( ) q L S q L q L q L        (3.19) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( , , ) ln q L J q L q L L      (3.20) Nói cách khác: 4 2 2 2 2 2 2 2 2 24 2 2 ( 4 )2 ( , , ) ln 44 q q L q J q L L L qq q L     (3.21) 2 2 2 2 2 2 2 ( , , ) ln q J q q     (3.22) Chúng ta quan tâm đến pha của biên độ tán xạ Coulomb cải biến trong vùng q2 rất nhỏ so với L2. Như vậy chúng ta có phép gần đúng sau: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( , , ) ln ln q L J q L q L L q      (3.23) 2 2 2 2 1 ( , , )J q L L L  (3.24) 2 2 2 2 2 2 2 ( , , ) ln q J q q     (3.25) Chúng ta tìm được: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ln ln ( ) 2 L q q L q J q L J q J q L L q L q L q L                (3.26) Sử dụng (3.16) và cộng thêm số hạng Born chúng ta có gần đúng eikonal bậc 2 theo  : 2 2 2 2 2 2 (1) (2) 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 ln ln 2 eik s L q L q F q i q L q q L q L                          (3.27) Như vậy thì thêm vào biểu thức pha Coulomb (1.12) còn có thêm một số hạng pha v mới, nó sẽ không xuất hiện trong hạt điểm: 20 2 2 2 2 2 ln 2 q L q L q L    (3.28) Kết quả cuối cùng cho pha tán xạ là: 2 2 2 2 2 2 2 2 8 4 2 ln ln 1 ln 2 4 TOT Bq q q B q                     (3.29) thu được từ biểu thức (2.14) và (3.28), với chú ý là /2 2L 4  . Pha của tán xạ như là một hàm của q2 (hình 3.1). Vấn đề quan trọng là suy ra kết quả của West – Yennie, (2.14), (2.15) từ biên độ tán xạ Coulomb nhờ có các hệ số ảnh hưởng lên pha (3.28). Sự đóng góp của v vào pha tán xạ được biểu diễn trên hình 3.2. 21  Đường đậm biểu diễn kết quả đầy đủ pha tán xạ theo (3.30)  Đường gạch biểu diễn pha tán xạ không có đóng góp của thừa số dạng vào biên độ tán xạ Coulomb. Hàm v (q 2) thu được từ sự ảnh hưởng của thừa số dạng vào pha của tương tác điện từ. Mặc dù có sự khá khác nhau về cấu trúc nhưng chúng ta cũng đã suy lại được kết quả cơ bản của West – Yennie (0.8) và (1.18). Các cách tiếp cận này là khác nhau về mặt kỹ thuật nhưng về tinh thần cơ bản thì là giống nhau, chúng đều bỏ quả cùng một vài đóng góp vào biên độ tán xạ không cần thiết, những đóng góp này hoàn toàn không làm thay đổi đến tính chất của biên độ tán xạ. Đặc biệt trong cách tính này của chúng ta còn thỏa mãn thêm các tính chất của nhiễu xạ các nuclon ảnh hưởng đến quá trình tán xạ, chứ không đơn thuần chỉ là tán xạ đàn hồi. Về kết quả, chúng tôi không đồng ý với kết luận của West và Yennie rằng có sự không chắc chắn về mặt lý thuyết trong kết quả này. Tuy nhiên, chúng ta hoàn toàn có thể yên tâm khi nhìn vào các kết quả này, như pha của biên độ tán xạ Coulomb với hệ số dạng là không lớn. 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 q 2 GeV 2 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 q 2 GeV 2 Hình 3.1: Đồ thị của pha tán xạ toàn phần, TOT , theo q 2 (GeV 2) với giá trị 213B GeV  và .   2 20 71 GeV . Hình 3.2: Đồ thị mô tả sự đóng góp của v (q 2 ) vào pha tán xạ toàn phần   TOT v 22 Việc xét thêm sự ảnh hưởng của thừa số dạng của tương tác điện từ vào biên độ tán xạ có tính thuyết phục hơn so với kết quả của West – Yennie. Nó dẫn đến kết quả đặc biệt ngắn gọn (3.29). Trái với những kết quả hiệu chỉnh trước đó cho biên độ tán xạ sẽ thu được kết quả rất nhỏ. 23 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu tán xạ các nucleon trong hạt nhân ở vùng năng lượng cao dưới sự ảnh hưởng của tổng hai thế là thế tương tác Coulomb và thế tương tác mạnh các hadron trong mô hình eikonal hiện tượng luận của West và Yennie. Pha của biên độ tán xạ eikonal được suy ra từ biên độ tán xạ trong gần đúng Born và hệ số dạng điện từ được kể thêm trong tính toán biên độ và các pha tán xạ. Những kết quả chủ yếu thu được trong luận văn bao gồm: 1. Nhận được biểu thức giải tích cho pha tán xạ eikonal của biên độ tán xạ mà các hadron tham gia cùng một lúc vào hai loại tương tác là tương tác Coulomb và tương tác mạnh. 2. Đã thu được biểu thức cho pha giao thoa Coulomb - hadron tổng quát hơn khi tương tác Coulomb được kể thêm hệ số dạng điện từ của nucleon. 3. Đã chứng minh rằng sự ảnh hưởng của hệ số dạng điện từ làm xuất hiện thêm một số hạng mới ln 2 2 2 2 2 2 4q 2q v 4q      trong pha giao thoa Coulomb – hadron năng lượng cao mà nó không xuất hiện trong hạt điểm của nucleon. Các kết quả thu được ở trên có thể mở rộng cho việc tính số để so sánh với các số liệu thực nghiệm thu được từ LHC (Large Hadron Collider) hiện nay. Mục tiêu này sẽ được phát triển tiếp cho các quá trình nghiên cứu tiếp theo. 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt. 1. Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội. 2. Nguyễn Xuân Hãn. (1996), Cở sở lý thuyết trường lượng tử, Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội. 3. Nguyễn Quang Khang, Đavưđov A. X. (1974), Cơ học lượng tử, tập II, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, tr. 468. Tiếng Anh. 4. Abramowitz Eds. M., Stegun I. (1970), “Handbook of Mathematical Functions”, National Bureau of Standards, pp. 358. 5. Ann. (1979), “The interplay between spin effects and Coulombichadronic interference has been investigated by N.H. Buttimove”, E. Gotsmann, Phys. 121, 285. 6. Bethe H. A. (1958), “Scattering and Polarization of Protons by Nuclei”, Annals of Physics 3, 190-240. 7. Brown L. S., “Elementary hadronic processes and heavy ion interactions”, J.S. Godfrey: unpublished; J.S. Godfrey: Yale University thesis, unpublished. 8. Eden R. J. (1967), “High Enrgy Collissions of Elementary Particles”, Cambridge Univ. Press, Cambridge. 9. Franco V. (1973), “Coulomb and hadronic Scattering in elastic high – enegy nucleon collisins”, Phys. Rev. D7, 215 – 218. 10. Germond J. F, Wilkin C. (1977), “Why are the diffraction Minima in   and   Scatterubg from 12C so different?”, Phys. Lett 68B, 229-233. 11. Hohler et all. (1976), “Analysis of electromagnetic nucleon form factors”, Nucl. Phys. B 114, pp. 505. 25 12. Islam M. M. (1967), “Bethe’s Formula for Coulomb – Nuclear Interference”, Phys. Rev. 162, 1426 – 1428. 13. Leader E. (1978), “Spin-dependent phenomena induced by electromagnetic – hadronic interference at high energies”, Phys. Rev. D 18, 694. 14. Locher M. P. (1967), “Relativistic treatment ò structure in the Coulomb interference problem”, Nucl. Phys. B 2, 525 – 531. 15. Martin A. (1982), “What do we learn from proton-antiproton diffrative scattering at the CERN colliders”, Z. Phys. C-Particles and Fields 15, 91, 185- 191. 16. Nguyen Suan Han, Le Hai Yen and Nguyen Nhu Xuan (2011), “Functionl Integration and High Energy Scattering of Particles with Snomalous Magnetic Moments in Quantum Field Theory”, arXiv: 0368084[hep-th]. 17. See, for example, W.K.H. Panofsky in. (1968): “Proceedings of the Heidelberg International Conference on Elementary Particles”, ed. H. Filthuth, p. 376. Amsterdam: North Holland. 18. Soding P. (1965), “The Lagacy of Leon Van Hove”, Phys. Letters 18, 285. 19. West G. B., Yennie D. R. (1966), “Coulomb interference in High – Energy pp and scattering”, Phys, Rev. 172, 1413-1422 (1968). Related discussions for high energy hadron-hadron scattering are given by J. Rix, R.M. Thaler: Phys. Rev. 152, 1357. 20. Wu T. T., Yang C.N. (1965), “Statistical physics, High Energy, codensed Matter and mathematical physics”, Phys. Rev. 137,B708. 26 PHỤ LỤC A - PHA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ DẠNG GAUSS Để xác định pha  của số hạng lưỡng cực (2.12) và biên độ tán xạ hadron dạng Gauss chúng ta làm như sau. Theo phương trình (1.10), đầu tiên chúng ta xét phép gần đúng: ' 2'2 2 / 2( , ) N BqF q q e (A.1) Sử dụng (2.9) và định nghĩa biến không thứ nguyên , 2 2 2 q B 2       và '2 2 q z   , chúng ta có thể viết: 4 0 ln [ (1 ) ]z d dz z e z dz       (A.2) Lấy đạo hàm hai vế theo  , sau đó lấy tích phân từng phần: 4 ( )e E        (A.3) với [10]: 1 ( ) zt n n e E z dt t     (A.4) cho 0 ; ln / lnz d dz z e dz            (A.5) Với 0.577  là hằng số Euler. Bây giờ  được xác định bằng cách tính tích phân: 4 ( )dzE z   (A.6) và điều chỉnh  là hằng số độc lập để phù hợp với (A.5). Từ định nghĩa (A.4) dễ dàng suy ra mối liên hệ [11]: 1( ), 1 n n dE E z n dz    (A.7) 1 1 ' [ ( ) ] 1 ( ) z zd E z e E z e dz z   (A.8) 1 1 ( ) [ ( )], 1 1 z n nE z e zE z n n      (A.9) 27 Sử dụng (A.7) và (A.8), chúng ta tìm được: 4 4 3 2 1( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ln ( ) zdze E z e E E E E C                (A.10) Lặp lại biểu thức (A.9), suy ra: 2 2 2 4 1 11 2 ( ) [1 ] ( ) ln( ) ( ) 2 6 6 3 6 zdze E z e E C                   (A.11) Sử dụng khai triển: 1 2 3 1 2! 3! ( ) [1 ...] ze E z z z z z       (A.12) Thì vế phải (A.11) trở thành: 2 3 4 10 40 ln( ) ( ) ...C           (A.13) Như vậy theo (A.5) ( ) lnC      , cùng với: 2 3 2 1 11 2 ln {[1 ] ( ) } 2 6 6 3 6 e E                   (A.14) Kết quả này có thể được so sánh với kết quả thu được từ phep tham số hóa hàm số mũ hệ số dạng (2.14) bằng cách khai triển. Hệ số lưỡng cực bằng: 2 2 2 4 8 40 ln ... 2 Bq B B              (A.15) Trong khi đó hàm mũ được suy ra bằng: 2 2 2 2 8 32 ln ... 2 Bq B B              (A.16) Thực tế là các khai triển này là không chính xác lắm khi 2B 10  . Các số hạng tiếp theo trong khai triển của ( ' , )N 2 2F q q , (2.10) và (2.11), đưa đến sự đóng góp thêm vào biên độ tán xạ. Chúng dễ dàng được tính: 4 4 0 0 ln / [ (1 ) ] (1 ) zzddz z ze z dz e z dz                (A.17) 28 4( )e E   (A.18) Sử dụng giá trị chuẩn của B và 2 thì (A.18) trở thành: 21 .(0.12) 2 Bq  (A.19) Một sự bổ chính không đáng kể. 29 PHỤ LỤC B - CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ Xét chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm tán xạ ( )U r . Giả thiết ( )U r là trường đối xứng không phụ thuộc vào góc  . Khi đó trong cơ học lượng tử, quá trình tán xạ của hạt có thể được mô tả bởi nghiệm của phương trình Schrodinger: 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 U r r E r m            . B.1. Phƣơng pháp khai triển theo sóng riêng phần Phương trình Schrodinger: 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 U r r E r m            . (B.1.1) Để giải phương trình này, ta đặt tâm tán xạ vào ở gốc tọa độ 0, chọn hướng của các dòng hạt tới dọc theo trục Oz. Ta thấy rằng ở xa tâm tán xạ hạt không không chịu tác dụng nên nó chuyển động tự do nên chuyển động của nó được mô tả bởi sóng phẳng như sau: ( ) ikzin r e  (B.1.2) Ở gần tâm tán xạ hạt sẽ bị tán xạ. Hàm thế U(r) mô tả tương tác của hạt với tâm lực có thể giả thiết rằng hàm này chỉ khác không trong một miền không gian hữu hạn r a nào đó mà ta gọi là miền tác dụng lực . Khi đó hàm sóng bị thay đổi và chuyển động của các hạt tán xạ phải được mô tả bởi một hàm cầu phân kỳ: ( ) ( , ) ikr out e r f r    (B.1.3) Biên độ sóng phân kì f(,) trong công thức (B.1.3) được gọi là biên độ tán xạ. Hàm sóng toàn phần mô tả chuyển động của hạt tới và hạt tán xạ ở khoảng cách lớn (r>a) đối với tâm tán xạ bằng tổng của sóng tới in và sóng tán xạ out : ( ) ( , ) ikr ikz er e f r     (B.1.4) 30 Với ( )r là nghiệm của phương trình Schrodinger (B.1.1) ở trên. Trong biểu thức (B.1.4), số hạng thứ nhất được viết trong tọa độ Đề các, mô tả chuyển động của hạt tới, còn số hạng thứ hai trong toạ độ cầu mô tả chuyển động của hạt tán xạ trong toạ độ cầu. Ta có thể biểu diễn bằng hình vẽ sau: Mặt khác, nghiệm của phương trình Schrodinger (B.1.1) trong trường hợp ( )U r đối xứng trục (đối với z) không phụ thuộc góc có thể viết dưới dạng: 0 ( , ) ( ) (cos )l l l r b R r P      , (B.1.5) ở đây, l b là hệ số không đổi được xác định bởi các điều kiện biên và điều kiện chuẩn hoá. (cos )lP  là đa thức Legendre được xác định bởi công thức:  21( ) 1 2 ! l l l l l d P x x l dx       . (B.1.6) Ta đi giải phương trình Schrodinger để tìm ra phương trình xuyên tâm của ( )lR r như sau: Từ phương trình (B.1.1) ta có: 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 2 r U r E r m         2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 m r E U r r       (B.1.7) Thay biểu thức (B.1.5) vào phương trình (B.1.7), ta có: Các sóng phẳng tới Các sóng cầu tán xạ 31 2 ,2 2 1 ( ) 1 ( ) ( ) 0 d d r r r r r dr dr r               (B.1.8) Trong đó 2 , 2 2 1 1 sin sin sin d d d d d d                  Và  2 2 ( ) m E U r   Giải phương trình dưới dạng tách biến: ( , , ) ( ) ( , )r R r Y     (B.1.9) Thay (B.1.9) vào (B.1.8), ta được hệ phương trình sau: 2 ,2 , 2 2 2 0 0 1 0 d dR r Ydx dx r R Y Y Y d dR r R r dx dx r                                        Với điều kiện     0, ; , 2 , ( 1)Y Y Y l l                (B.1.20) Quay về phương trình với R ta thu được phương trình xuyên tâm của ( )lR r dạng: 2 2 2 1 0 d dR r R R r dr dr r            22 2 2 1 ( 1) 2 ( ) 0 d dR l l m r R E U r R r dr dr r          . (B.1.21) Trong toán học ta biết rằng 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình trên là những hàm cầu Bessel ( , )lj k r và ( , )ly k r , có dạng: 32   1 sin ( ) 1 cos l l l l l l d z j z z z dz z d z y z z z dz z                                (B.1.22) ở đây ta đặt z =kr. Nếu xét trong tiệm cận gần đúng khi z tương ứng với r nghĩa là ta chỉ xét các chuyển động vô hạn, ta có: sin( ) 2( ) cos( ) 2( ) l l lz j z z lz y z z             (B.1.23) Khi đó nghiệm của phương trình (B.1.21) được viết bằng tổng 2 nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình (B.1.23). sin( ) cos( ) 2 2( ) ( ) ( )l l l l l l l l lkr kr R r A j kr B y kr A B kr kr              (B.1.24) Ở đây l A và l B là các hằng số thỏa mãn: cosl l lA C  ; sinl l lB C   (B.1.25) và l là độ dịch chuyển pha. Thay (B.1.25) vào (B.1.24) ta có: 22 0 ( , ) 1 2 liikb i s f s t d be e        hay sin( ) 2( ) l l l lkr R r C kr     (B.1.25) Thay (B.1.10) vào (B.1.5), khi đó nghiệm của phương trình schrodinger (B.1.1) được viết lại: 33 0 0 sin( ) 2( ) (cos ) ( ) (cos ) l l l l l l l l lkr r C P R r C P kr               . (B.1.26) Các hệ số l C phải chọn như thế nào để hàm sóng có dạng: ( )ikz ikzfe e r     (B.1.27) Đến đây, ta nhận thấy rằng để cân bằng (B.1.26) và (B.1.27) thì hàm sóng của phương trình (B.1.26) phải được biểu diễn bởi 2 tổng ikze và ( ) ikzf e r  Với số hạng thứ nhất, ta sẽ khai triển hàm sóng phẳng ikze theo các sóng cầu ( ) ikzf e r  ở khoảng cách lớn bằng cách sử dụng các đa thức Legendre: cos 0 ( ) (cos )ikz ikr l l l e e f r P      , (B.1.28) Trong đó ( )lf r các hệ số khai triển, đó là các hàm mà ta cần tìm dạng của nó. Để đơn giản, ta đặt x = cos(), thay vào (B.1.28) ta có: 0 ( ) ( )ikrx l l l e f r P x    . (B.1.29) Nhân cả 2 phương trình trên với ' ( ) l P x và lấy tích phân theo x trong khoảng từ -1 đến (n +1) (tương ứng với  biến thiên từ  đến 0) 1 1 ' ' 01 1 ( ) ( ) ( ) ( )ikrx l l l l l e P x dx f r P x P x dx       . (B.1.30) Sử dụng tính chất của các đa thức Legendre: 1 ,