Luận văn Hàm chọn của một số lớp ánh xạ đa trị và ứng dụng

F De  với mọi x Ve . Ta còn phải chứng minh ( ) ( ( , )f x F D B xe e  (0, ), .B x Wee   Lấy x We và định nghĩa số 23 max{ : ( ) 0}p j jr r xj  . Bởi vì supp ij  ( , )i iB x r và ( ) 0j xj  nên dẫn đến ( , )j jx B x r , vì vậy: | | | | | | 2j p j p j p px x x x x x r r r        Do đó ( , )j jz B x r  ta có: | | | | | | 2 3p j j p j p pz x z x x x r r r        Suy ra ( , 3 )p pz B x r điều này dẫn đến ( , ) ( , 3 )j j p pB x r B x r và ta cũng có 3 ( , )p pr xd e nên ( , )px B x d với ( , ).pxd d e Ta lại có: ( ( , )) ( ( , ) (0, )j j j p py F D B x r F D B x Fx Bd e      . Từ đây ta được (0, )j py Fx B e  với mọi j sao cho ( ) 0j xj  . Do vậy: 1 ( ) ( ). (0, ) m i i pi f x x y Fx Be j e   Cuối cùng, để kết thúc chứng minh ta chọn tùy ý lân cận Ve của D sao cho V We e , khi đó ta có : conv( ( ))f V F De e  là một hàm liên tục hữu hạn chiều và thỏa mãn ( ) ( ( , )) (0, )f x F D B x Be e e   trên Ve .  Nhận xét rằng khi ta có hai tập con compact rời nhau 1 2,D D của  , thì Định lý 1.3.1 cho ta thấy rằng với e đủ nhỏ ta tìm được hai lân cận không giao nhau 1 2,V Ve e của 1 2,D D sao cho 1 1( ) conv( ( ));f V F De e  và ( ) ( ( , ))if x F D B xe e   (0, )B e trên iVe với 1,2;i  chẳng hạn chọn e sao cho 2 inf{| |:x ye   1 2, }x D y D  và ( , )xd e e . Do 1 1{ : ( , ) };V x X x De r e   2 { :V x Xe   2( , ) }x Dr e khi đó rõ ràng 1 2V Ve e   . Nói một cách rõ hơn, với giả thiết như Định lý 1.3.1 thì với 0e  tồn tại một lân cận Ve của D và một hàm liên tục hữu hạn chiều : conv( ( ))f V F De e  sao cho với mọi x Ve tồn tại y D và z Fy sao cho | |x y e  và | ( ) |f x ze e  . Bởi ý nghĩa của hệ quả này dẫn đến một điều rất tự nhiên để định nghĩa bậc tôpô của ánh xạ đa trị F nửa liên tục trên với Fx lồi đóng. 24 1.4 Bậc tôpô của ánh xạ đa trị - điểm bất động 1.4.1 Bậc tôpô của ánh xạ đa trị Mệnh đề 1.4.1. Cho X là không gian Banach thực, X  là một tập mở bị chặn và : 2 \XF   là ánh xạ nửa liên tục trên, Fx lồi đóng với mọi .x   Nếu ( )F  là compact tương đối và x Fx với mọi x   thì tồn tại 0 0e  sao cho ( )x f xe với mọi x   và 0(0, ),e e trong đó fe tồn tại từ Định lý 1.3.1. Chứng minh. Giả sử rằng kết luận không đúng, khi đó tồn tại 0je  và jx   sao cho ( )j jx f xe . Do Định lý 1.3.1 tồn tại jy và j jz Fy sao cho: | |j j jx y e (1.5) | ( ) | j j j f x ze e  (1.6) Vì ( ) jj j x f xe nên từ (1.6) ta được: | |j j jx z e  (1.7) Vì ( )F  là tập compact tương đối nên dãy { } ( )jz F  có một dãy con hội tụ, do đó không mất tính tổng quát có thể giả sử rằng 0jz z . Từ đây và điều kiện (1.7) cho ta 0jx z và bởi vậy do điều kiện (1.5) ta được 0jy z . Bây giờ do tính nửa liên tục trên của F và cũng do j jz Fy ta có 0 0z Fz . Hơn nữa để ý rằng { }jx   là tập đóng và dãy 0jx z nên 0z   . Điều này mâu thuẫn với sự kiện x Fx với mọi x   .  Định nghĩa 1.4.1. Cho X là không gian Banach thực X  là một tập mở bị chặn và : 2 \XF   là ánh xạ nửa liên tục trên có giá trị lồi đóng. Giả sử rằng ( )F  là tập compact tương đối và ( )x F  với mọi x   . Khi đó ta định nghĩa bậc Leray-Schauder của ánh xạ đa trị F như sau: 0 deg( , , 0) lim deg( , , 0)I F I fee     (1.8) 25 với fe được xác định như trong Định lý 1.3.1. Ta thấy rằng Định nghĩa 1.4.1 là hợp lý. Bởi do Mệnh đề 1.4.1 nên tồn tại 0 0e  sao cho ( )x f xe với mọi x   và 0(0, )e e . Khi đó rõ ràng ( )fe  là compact. Do đó sự tồn tại của deg( , , 0)I fe  là hợp lý với mọi 0(0, )e e . Ta nhận xét rằng tồn tại số 1 0e e sao cho ( ) (1 ) ( )tf x t f x xe d   với mọi ( , ) [0,1]t x   và 1, (0, )e d e . Thật vậy, giả sử tồn tại 0, 0, 0j j jt t e d   và jx   sao cho ( ) (1 ) ( )j jj j j j jt f x t f x xe d   Do nhận xét của Định lý 1.3.1, tồn tại 1 2,j jy y và 1 1 2 2,j j j jz Fy z Fy  thỏa mãn: 1 2 1 2| | , | | , | | , | | j jj j j j j j j j j j j j y x y x z f x z f xe de d e d        Do ( )F  là tập compact tương đối nên dãy { }jx có một dãy con hội tụ, không mất tính tổng quát giả sử rằng 0jx x   bởi vậy 1 0jy x và 2 0jy x . Kết quả là dãy 1{ }jz có một dãy con hội tụ, giả sử là 1 1 0jz z Fx  và tương tự dãy 2{ }jz cũng có một dãy con hội tụ và cũng giả sử là 2 2 0jz z Fx  . Khi đó ta có 1 2 0 0(1 )tz t z x Fx    , điều này mâu thuẫn với giả thiết ( )x F  với mọi x   . Từ Định nghĩa 1.4.1, ta thấy rằng bậc Leray-Shauder của ánh xạ đa trị được định nghĩa thông qua bậc Leray-Shauder của ánh xạ đơn trị compact trên một tập mở bị chặn cho nên cũng tương tự như đối với các ánh xạ đơn trị ta có các tính chất sau: Mệnh đề 1.4.2. Bậc đã định nghĩa từ Định nghĩa 1.4.1, có các tính chất: a) (Tính chuẩn tắc) deg( , , 0) 1 0 ;I     b) (Tính giải được) Nếu deg( , , 0) 0I F   thì tồn tại :x x Fx   . 26 c) (Tính đồng luân) Cho : [0,1] 2 \XtF   là ánh xạ compact, nửa liên tục trên, tF x lồi đóng và tx F x với mọi ( , ) [0,1]t x   . Khi đó ta có deg( , , 0)tI F  không phụ thuộc [0,1]t  . d) (Tính cộng tính) Nếu 1 2,  là hai tập com mở rời nhau của  và 1 20 ( )( \( ))I F     thì: 1 2deg( , , 0) deg( , , 0) deg( , , 0)I F I F I F        Chứng minh. a) Hiển nhiển từ tính chất bậc Leray-Shauder của các ánh xạ đơn trị. b) Giả sử ngược lại, mọi x   ta đều có x Fx . Do Fx compact nên tồn tại 0xe  sao cho ( , ) xx Fxr e . Suy ra với mọi (0, )xe e thì do Mệnh đề 1.4.1 nên fe không có điểm bất động do vậy deg( , , 0) 0I fe   . Dẫn đến deg( , , 0)I F  0 lim( , , 0) 0I fee    . Điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết. Như vậy nếu có deg( , , 0) 0I F   thì tồn tại x   sao cho x Fx . c) Với mỗi , [0,1]t u  và 0e  . Gọi t fe và ufe là các ánh xạ tồn tại từ Định lý 1.3.1, theo tính chất đồng luân của bậc Leray-Shauder của ánh xạ đơn trị ta có được: deg( , , 0) deg( , , 0) t u I f I fe e     . Suy ra 0 0lim deg( , , 0) lim deg(tt u I f Iee e     , , 0) u fe  . Hay deg( , , 0) deg( , , 0).t uI F I F     d) Vì 1 2,  là hai tập com mở rời nhau của  và 1 20 ( )( \( ))I F     hơn nữa Fx compact nên 1 20 ( )( \( ))I fe     , với e đủ nhỏ và fe là ánh xạ tồn tại từ Định lý 1.3.1. Ta có 1 2deg( , , 0) deg( , , 0) deg( , , 0).I f I f I fe e e        Suy ra 1 20 0 0lim deg( , , 0) lim deg( , , 0) lim deg( , , 0)I f I f I fe e ee e e          Vậy 1 2deg( , , 0) deg( , , 0) deg( , , 0)I F I F I F        .  27 Bây giờ, với g là một độ đo phi compact trong 1.2.2, ta sẽ định nghĩa bậc tôpô của ánh xạ đa trị g - co trên một tập mở, bị chặn tại một điểm y bất kỳ. Cho X là không gian Banach X  là mở, bị chặn : 2 \XF   là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên và Fx lồi đóng với mọi x   . Cho g là một độ đo phi compact a hoặc b . Giả sử F là một ánh xạ đa trị g - co nghiêm ngặt, tức là ( ( )) ( )F B Bg g với mọi B  và với 1k  . Giả sử rằng 0 ( )( )I F   . Giống như định nghĩa bậc tôpô cho ánh xạ đơn trị đã biết trước đây, ta định nghĩa deg( , , 0) 0I F   nếu x Fx trên  và trong trường hợp 1( ) (0)I F    , ta lại định nghĩa các tập 0 conv ( ),C F  1conv ( )n nC F C   với 1n  và 0 nnC C  là tập compact lồi thỏa mãn 1( ) (0)I F C    và ( )F C C   . Khi đó áp dụng Định lý 1.3.1 cho D C  có lân cận mở Ve của ,D trong đó { :V x Xe   ( , ) }x Dr e và một ánh xạ compact hữu hạn chiều : conv ( )f V F D Ce e   sao cho ta có ( ) ( ( , )) (0, )f x F D B x Be e e   trên Ve . Ta chứng tỏ rằng fe không có điểm bất động trên ( )Ve  nếu 0e  đủ nhỏ. Thật vậy: Giả sử trái lại ( ) nn n x f xe với 0ne  và ( ) ( )n nnx V Ve e      ( ) n Ve  . Trước tiên, ta chú ý rằng nnx Ve   vì nếu không sẽ dẫn đến ( ) nn n x f xe  conv ( )F D C , tức là nx D Ve  . Bởi vậy ta có nx   với mọi n và nx  (0, )n nFy B e với ny D và | |n n nx y e  . Do đó không mất tính tổng quát giả sử 0ny x và 0nx x   , vì D là compact. Do vậy 0 0x Fx , bởi vì F là nửa liên tục trên và 0Fx là đóng, điều này mâu thuẫn với x Fx trên D . Do vậy deg( , , 0)I f Ve e  được xác định với mọi 28 0e  đủ nhỏ và nó là một số nguyên độc lập với cách chọn của Ve và fe thỏa mãn các điều kiện ở trên. Bởi vậy ta có thể đưa ra định nghĩa bậc tôpô của ánh xạ đa trị g - co trên một tập mở, bị chặn tại một điểm y bất kỳ như sau: Định nghĩa 1.4.2. Cho X là không gian Banach, X  là tập mở, bị chặn, : 2 \XF   là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, g - co nghiêm ngặt với Fx lồi, đóng mọi x   và ( )( )y I F   . Khi đó: Nếu 1( ) ( )I F y   thì ta lấy deg( , , ) 0I F y   . Nếu 1( ) ( )I F y   thì ta lấy deg( , , ) deg( , , )I F y I f V ye e     với Ve và fe có được bởi Định lý 1.3.1. Cũng chú ý rằng trong Định nghĩa 1.4.2 ở trên ta đã sử dụng lập luận như đã trình bày nhưng lần này được tổng quát cho một điểm y bất kỳ, tức là: 0 conv( ( ) );C F y   1conv( ( ) );n nC F C y   0 ;nnC C  D C  với 1n  và ( , , ) 0F ye e   đủ nhỏ. Chú ý rằng Fx là compact thực sự vì Fx đóng và ( ) ({ }) 0Fx k xg g  . Rõ ràng bậc này trùng với bậc đã được định nghĩa đối với ánh xạ đơn trị g - co nghiêm ngặt đã biết trước đây. Từ Định nghĩa 1.4.2 và tính chất của bậc, hiển nhiên rằng bậc tôpô đã định nghĩa có được các tính chất sau đây: Mệnh đề 1.4.3. Với F và  được xác định như trong Định nghĩa 1.4.2, khi đó bậc tôpô của ánh xạ đa trị g - co nghiêm ngặt có các tính chất sau: a) deg( , , ) 1I y  với .y   b) 1 2deg( , , ) deg( , , ) deg( , , )I F y I F y I F y        với bất kỳ 1 2,  là các tập con mở không giao nhau của  và 1 2( )( \( )).y I F     29 c) deg( ( , ), , )I H t y   là độc lập đối với [0,1]t J  khi ta xét đồng luân : 2 \XH J   thỏa mãn ( , )H t x là lồi đóng, H là nửa liên tục trên và là g - co nghiêm ngặt với ( )( ).y I H J   1.4.2 Điểm bất động của ánh xạ đa trị Trong phần này, ta sẽ sử dụng bậc tôpô của ánh xạ đa trị đã được xây dựng và tính chất bất biến đồng luân, ta sẽ xem xét điều kiện tồn tại điểm bất động của lớp các ánh xạ đa trị. Định lý 1.4.2. Cho X là không gian Banach, D X bị chặn, ánh xạ đa trị : 2 \XF D   là nửa liên tục trên và là g - co nghiêm ngặt, Fx lồi, đóng với mọi x D . Khi đó Fix( )F   nếu một trong các điều kiện sau được thực hiện: a) D mở và 0 0( )x x x Fxl   trên D với mọi 1l  và với 0 .x D b) D lồi đóng và ( ) .F D D Chứng minh. a) Đặt [0,1]J  , không mất tính tổng quát giả sử 0 0x  . Hiển nhiên ( , )H t x  tFx là compact lồi và H là g - co nghiêm ngặt trên J D . Ta chứng minh H là nửa liên tục trên trên J D . Lấy tùy ý A X là đóng, ta chứng minh 1( )H A {( , )t x  : ( , ) }J D H t x A    là đóng. Thật vậy, lấy bất kỳ dãy ( , )n nt x  1( )H A , giả sử 0( , ) ( , )n nt x t z . Do 1( , ) ( )n nt x H A   nên ( , ) ,n nH t x A n    tức là ta có ,n nt Fx A n    . Khi đó với mỗi n , chọn n ny Fx sao cho { }n nt y A . Bởi vì ({ : 1}) ({ : 1}) 0n ny n k x ng g    , do đó dãy { }ny có dãy con hội tụ là 0kny y cho nên 0 0 0 0( , )k kn nt y t y t Fz H t z   . Mặt khác do A là tập đóng, dãy { } k kn n t y A và 0 0k kn nt y t y nên 0 0 0( , )t y H t z A  vậy 1( )H A là đóng. Từ đây dẫn đến H là nửa liên tục trên. Do đó áp dụng Mệnh đề 30 1.4.3 (c) về tính bất biến đồng luân ta có deg( , , 0)I F D  deg( , , 0) 1I D  dẫn đến Fix( )F   . b) Ta có thể quy về (a) theo cách thông thường bởi vì với một ánh xạ co :R X C D  thì F R là ánh xạ đa trị, nửa liên tục trên, compact từ X vào 2 \D  . Chú ý rằng do D lồi đóng và ( )F D D nên dẫn đến x Fxl  trên D với mọi 1l  .  Từ Định lý 1.4.2, ngay lập tức ta có một hệ quả sau, nó là một công cụ cơ bản được ứng dụng trong việc tìm kiếm sự cân bằng đối với các bài toán kinh tế. Hệ quả 1.4.1. Cho  1( ) : 1 , : 2 \nnni iiD x x x f D        là ánh xạ nửa liên tục trên với ( )f D bị chặn và ( )f x lồi đóng với mọi x D . Giả sử thêm ( ), 0f x x 〈 〉 trên ,D tức là , 0, ( )y x y f x  〈 〉 trên .D Khi đó tồn tại x D sao cho ( ) nf x    . Trong đó ,y x〈 〉 là tích vô hướng trong . n Chứng minh. Do ( )f D bị chặn nên có thể coi ( ) (0, )f D B r và định nghĩa : (0, ) 2 \Dg B r   bởi ( ) { : , min , }y Dg z x D x z y z  〈 〉 〈 〉 Ta sẽ chứng minh ( )g z là compact, lồi với mọi (0, )z B r và g là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên. Thật vậy, do ( )g z D nên ( )g z bị chặn với mọi z . Hơn nữa, cố định (0, )z B r , đặt min ,y Da y z 〈 〉 và xét tùy ý dãy 0{ } ( ),n nx g z x x  . Khi đó bởi vì ánh xạ :Dj   , định bởi ( ) ,x x zj  〈 〉 là ánh xạ liên tục nên lim ( )nn xj 0( )xj hay 0lim , ,nn x z x z 〈 〉 〈 〉 . Nhưng bởi vì ta có { } ( )nx g z do đó ,nx z〈 〉 min ,y D y z a 〈 〉 . Vậy 0,x z a〈 〉 . Suy ra 0 ( )x g z do đó ( )g z đóng. Vì ( )g z  nD   là đóng và bị chặn nên nó là compact. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh ( )g z lồi. 1 2, ( ), [0,1]x x g z t    , ta có: 1 2 1 2(1 ) , , (1 ) , (1 )tx t x z t x z t x z ta t a a        〈 〉 〈 〉 〈 〉 . 31 Do đó 1 2(1 ) ( )tx t x g z   . Vậy ( )g z lồi với mọi (0, )z B r . Bây giờ lấy tùy ý A D là đóng và dãy 1{ } ( )nz g A   , giả sử 0nz z . Do 1( )nz g A   nên ( ) ,ng z A n    . Vì vậy với mỗi n ta chọn ( )n ny g z A  . Vì { }ny là dãy trong A compact nên có dãy con hội tụ, không mất tính tổng quát ta có thể coi 0ny y A  . Mặt khác ( )n ny g z nên , min ,n n y D ny z y z〈 〉 〈 〉 và ta có 0,ny y 0nz z nên 0 0, ,n ny z y z〈 〉 〈 〉 và 0min , min ,y D n y Dy z y z 〈 〉 〈 〉 . Dẫn đến 0 0 0, min ,y Dy z y z〈 〉 〈 〉 . Vậy 0 0( )y g z cho nên theo kết quả ở trên ta có 0 0( )y g z A  hay 0( )g z A   , tức là 1 0 ( )z g A   . Vậy 1( )g A đóng nên g là nửa liên tục trên. Chú ý rằng ta sẽ có được điều cần chứng minh nếu ta tìm x và z sao cho ( )x g z và ( )z f x . Thật vậy, vì ( )z f x nên theo giả thiết ta có ,z x 〈 〉 0 và ( )x g z nên 0 , min ,y Dx z y z 〈 〉 〈 〉 đưa đến 0 ,y z 〈 〉 với mọi y D . Đặc biệt với y lần lượt bằng 1 2, ,..., ne e e điều này có nghĩa 0 ( )z f x  . Vậy ( ) nz f x   . Bây giờ một cặp ( , )x z như vậy là một điểm bất động của ánh xạ đa trị : (0, ) 2 \ nDF D B r    , được định nghĩa bởi ( , ) ( ) ( )F x z g z f x  . Ánh xạ F như vậy hoàn toàn thỏa mãn giả thiết của trường hợp (b) trong Định lý 1.4.2, như vậy điểm bất động thực sự tồn tại, do đó có x D sao cho ( ) nf x    .  Để xét ví dụ áp dụng trước tiên ta nhắc lại ký hiệu sau. Cho X là không gian Banach, với ,x y X . Ta ký hiệu 1 0 , lim (| | | |) t x y y t y y tx      〈 〉 = . Ví dụ 1.4.1. Cho X là một không gian Banach, D X là lồi đóng, bị chặn, , :f g D X  với g liên tục, tuần hoàn chu kỳ w theo biến thứ nhất và sao cho: (i) 1( ( , )) ( ) ( )f t B k t Ba a với mọi tập B D và ( , ) ( , ),g t x g t y x y   〈 〉 2 2( ) | |k t x y với mọi ,x y D . 32 (ii) f g là liên tục đều, | ( , ) | | ( , ) |f t x g t x M  trên D và 1 0 lim ( ( ( , ) ( , )), ) 0x f t x g t x D l l r l       trên D (1.9) (iii) 1 1 2 ([0, ])k k L w  và 1 2 0 ( ( ) ( )) 0k k t k t dt w    Đặt 0f f g  . Ta biết rằng bài toán giá trị đầu của phương trình vi phân: 0( , ) (0) v f t v v x D      (1.10) có một nghiệm trên [0, ]J w , (xem [6], Theorem 2). Ta muốn tìm nghiệm tuần hoàn chu kỳ w của 0( , )v f t v  , tức là điểm bất động của ánh xạ đa trị - Poincaré : 2 \DP Dw   . Dễ dàng thấy rằng ( ( )) ( ) kP B e Bwa a  với mọi B D . Do đó ta dễ dàng tìm một tập hợp compact, lồi C D sao cho ( )P C Cw  và C chứa tất cả các điểm bất động của Pw . Ta cũng biết rằng Pw là nửa liên tục trên và P xw là compact với mọi x D , nhưng P xw có thể không lồi. Do vậy ta không thể áp dụng Định lý 1.4.2 (b) và trong thực tế là ta không thể tìm một nghiệm tuần hoàn chu kỳ w với các giả thiết đã cho ở trên. Bởi vậy ta giả sử thêm điều kiện là: (iv) D    và không mất tính tổng quát, giả sử 0 D  . Bây giờ, chú ý rằng (1.9) tương đương với: , , | * | 1t J x D x    và 0*( ) sup *( ) *( ( , )) 0 D x x x y x f t x   (1.11) Vì (0, )B Dd  với một 0d  nào đó, (1.11) dẫn đến 0f f Ie e  thỏa mãn (1.11) với vế phải *( ( , ))x f t xe ed  . Giả sử rằng ( , )v f t ve  có một nghiệm ve tuần hoàn chu kỳ w với mỗi 0e  . Vì 0ne  khi đó ta có các hàm tuần hoàn chu kỳ ,w nn v ve sao cho: 33 ({ (0) : 1}) ({ ( ) : 1}) ({ (0) : 1})kn n nv n v n e v na a w a      Do vậy { (0)}nv là compact tương đối, và cho nên dễ dàng để thấy rằng { }nv có một dãy con hội tụ đều, giới hạn của dãy con đó là một nghiệm tuần hoàn chu kỳ w của 0( , )v f t v  . Bởi vì g Ie và f thỏa mãn điều kiện giống như g và f . Do đó không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết rằng: , , | * | 1t J x D x    và 0*( ) sup *( ) *( ( , )) D x x x y x f t x m   (1.12) trong đó 0m  độc lập với t và x . Sự cải thiện này của (1.11) có một sự thuận lợi rằng (1.11) cũng sẽ đúng với mọi ánh xạ gần với 0f . Đặc biệt xét (0, ]nd m với 0nd  mở rộng 0f lên J X và sự mở rộng xấp xỉ bởi ánh xạ Lipschitz địa phương :nf J X X  sao cho 0| ( , ) ( , ) |n nf t x f t x d  trên J D . Vì nf thỏa mãn (1.11), bài toán ( , )n nv f t v  và (0)v x D  có duy nhất một nghiệm trên D phụ thuộc một cách liên tục theo x . Do vậy ánh xạ tương ứng Poincaré :nP D D là liên tục nhưng nó không cần là ánh xạ bất biến Pw compact lồi từ tập C vào trong chính nó. Do đó, xét ánh xạ co :R X C và chú ý rằng :nRP C C có một điểm bất động nx bởi Định lý Schauder. Bởi vì C compact, ta có thể giả sử 0nx x C . Hơn nữa ta có các hàm nv sao cho: 0( , ) ( , )n n n n nv f t v f t v y    với | ( ) | 0n ny t d  trên J . 0(0)n nv x x  và ( )n n nP x v w . Một lần nữa dễ dàng thấy rằng { }nv có một dãy con { }knv hội tụ đều đến v là nghiệm của 0( , )v f t v  và 0(0)v x . Đặc biệt, 0( ) ( )knv v P x Cww w   và do đó ta có: ( ) ( ) ( ) k k k kn n n n x RP x Rv Rv vw w w    . 34 Điều này có nghĩa 0 0x P xw . Do vậy bài toán 0( , ) (0) v f t v v x D      có nghiệm tuần hoàn chu kỳ w . 35 Chương 2 HÀM CHỌN ĐO ĐƯỢC 2.1 Sự tồn tại của hàm chọn đo được 2.1.1 Khái niệm ánh xạ đa trị đo được Trong Ví dụ 1.1.5 ta đã thấy rằng có một sự cần thiết cho những kết quả về các hàm chọn đo được, và ta cũng mong muốn chúng tồn tại dưới một số giả thiết tương đối yếu. Trong mục này ta sẽ nghiên cứu khái niệm, sự tồn tại và một số tính chất hàm chọn đo được của ánh xạ đa trị. Trước hết ta cần nhắc lại một số khái niệm liên quan đến nội dung này. Một cặp ( , ) A được gọi là không gian đo được nếu  là một tập hợp và A là một s - đại số các tập con của  , tức là A là một tập con của 2 sao cho: i)   A ii) \A A   A A iii) iA  A với mọi 1i  1 ii A  A . Cho không gian mêtric ( , )d , khi đó s - đại số nhỏ nhất chứa tất cả các tập mở của  gọi là s - đại số Borel của  , ký hiệu là ( ).B Tập ( )A  B gọi là tập Borel trong  . Một tập Fs là giao đếm được 1 nn U   của các tập mở nU . Một tập Gd là hợp đếm được 1 nn F   của các tập đóng nF Trong trường hợp đặc biệt n   ta cũng có s - đại số ( )nL của tất cả các tập con Lesbegue - đo được của n và với ( )n  L ta có ( ) {M L : ( )}nM  L là - đại số của tất cả các tập con Lesbegue - đo được của  . Ta cũng nhắc lại rằng ( )L là - đại số nhỏ nhất chứa ( )B và các tập dạng { :A A B  với ( )B  B sao cho ( ) 0}n Bm  , trong đó nm là một độ đo Lesbegue - chiều. Ta có một số kết quả sau đây: s s n 36 • Nếu [ , ] nJ a b   thì 1 ( ) ( )nn i iiJ b am   • Tập nM   có độ đo không tức là ( ) 0n Mm  khi và chỉ khi với mọi 0e  cho trước đều tồn tại không quá đếm được các khoảng iJ sao cho ii M J  và ( )n ii Jm e . • Hợp không quá đếm được các tập có độ đo không cũng là một tập có độ đo không. Tức là  ( ) 0, 0i ii IM i I Mm m      với I không quá đếm được. • Cho hai không gian đo được ( , )D A và ( , ) B , một ánh xạ đơn trị :f D   được gọi là ( )A,B - đo được nếu 1( )f B  A với mọi B B . • Nếu :nf D   là đo được và ( ) ( )nf x f x trên D thì f cũng đo được và 1 1 1 ( ) lim ( )pp nf M f M       nếu M đóng và { : ( , ) 1 }.pM x x M pr    Cho  là một không gian mêtric và ( ) B B . Để kiểm tra tính đo được của f ta cần kiểm tra rằng 1( )f V  A với mọi tập mở V B hoặc một điều kiện tương đương là 1( )f M  A với mọi tập đóng M B . Như vậy ta có được tập hợp 1{ : ( ) }W f W   A là một s - đại số chứa tất cả các tập mở, và bởi vậy ta có 1{ : ( ) }W f W   B A , vì B là nhỏ nhất với thuộc tính này. Đặc biệt ( )nD  L và ,m   ánh xạ : mf D   được gọi là Lesbegue - đo được nếu f là ( ( ), ( ))mD L B - đo được, tức là nếu 1( )f V là Lesbegue - đo được với mọi tập mở V . Nói riêng, nếu 1m  thì ta chỉ cần phải kiểm tra rằng { : ( ) } ( )x D f x r D   L với mỗi r   , bởi vì điều này sẽ dẫn đến { : ( )x D f x  1} ( ), ([ , )) ( )r D f a b D L L và do vậy 1( )f V L với mỗi tập mở V   . Bây giờ với những khái niệm và những kết quả đã được nhắc lại ở trên, ta sẽ bắt đầu xét tính đo được của các ánh xạ đa trị. ( )D 37 Định nghĩa 2.1.1. Cho ( , )D A là không gian đo được, ( , )d là một không gian mêtric và ánh xạ đa trị : 2 \F D   . Khi đó ta nói: a) F đo được nếu 1( )F V  A với mọi tập mở V  . b) F đo được yếu nếu 1( )F A  A với mọi tập đóng A . Chú ý Định nghĩa 2.1.1 nói chung không có sự mô tả đơn giản giống trong trường hợp ánh xạ đơn trị, bởi vì họ 1{ : ( ) }W F W   M A không cần phải là một s - đại số và chú ý rằng ta chỉ có 1\ ( ) { : }D F W x D Fx W       1( \ )F W   { : ( \ ) }x D Fx W     . Tuy nhiên điều này vẫn còn có ích để xem xét ánh xạ đa trị F sao cho thỏa mãn 1( )F M  A với mọi tập M đóng hoặc 1( )F V  A với mọi V mở. Mệnh đề 2.1.1. Cho ( , )D A là một không gian đo được, ( , )d là một không gian mêtric và ánh xạ đa trị : 2 \F D   . Khi đó ta có: a) Nếu 1( )F M  A với mọi tập đóng M  , thì 1( )F V  A với mọi tập mở V  . b) F là đo được yếu nếu và chỉ nếu hàm khoảng cách :Dj   định bởi ( ) ( , )y x y Fxj r là ( , ( ))A B - đo được với mọi y   . Chứng minh. a) Với mở ta viết V dưới dạng hợp đếm được các tập đóng như sau: V  1 ,nn M trong đó 1{ : ( ,( \ )) }nM x V x V nr     đóng. Khi đó với 1( )x F V dẫn đến Fx V   nên : .nn Fx M     Suy ra 1 1 1 ( ) ( )n nnx F M F M        . Ngược lại với 1 1 ( )nnx F M     tồn tại n sao cho 1( )nx F M   tức nFx M   nên Fx V   hay 1( ).x F V Vậy 1 1 1 ( ) ( ).nnF V F M       Do đó nếu 1( )nF M    A với mọi n thì 1( ) .F V  A V  38 b) Kết quả này hiển nhiên được suy ra từ: 1( ( , )) { : ( , ) } { : ( , ) }F B y r x D Fx B y r x D y Fx rr         . Từ đó ta thấy rằng nếu ánh xạ đa trị F là đo được yếu thì 1( ( , ))F B y r  A với mọi y   và 0r  hay { :x D ( , ) }y Fx rr   A với mọi y   và 0r  . Do vậy hàm khoảng cách :Dj   được xác định bởi ( ) ( , )y x y Fxj r là ( , ( ))A B là đo được với mọi y   .  Mệnh đề 2.1.2. Cho ( , )D A là một không gian đo được, ( , )d là một không gian mêtric và ánh xạ đa trị : 2 \F D   . Khi đó ta có: a) F đo được nếu và chỉ nếu 1( )F A  A với mọi tập đóng A . b) F đo được yếu nếu và chỉ nếu 1( )F V  A với mọi tập mở V  . c) Nếu F là đo được thì F cũng là đo được yếu. d) Nếu Fx compact với mọi x D thì F điều kiện cần và đủ để F đo được là F đo được yếu. Chứng minh. a) Ta có F đo được khi và chỉ khi 1( ) { : }F V x D Fx V     A với mọi tập mở V  . Điều này tương đương { : ( \ )}x D Fx A    A với mọi tập đóng A . Có nghĩa là { : }x D Fx A     A với mọi tập đóng A . Tức là \{ : }D x D Fx A     A với mọi tập đóng A . Bởi vì A là s - đại số nên tương đương 1( ) { : }F A x D Fx A       A với mọi tập đóng A . b) Ta có F là đo được yếu khi và chỉ khi 1( ) { : }F A x D Fx A     A với mọi tập đóng A . Điều này tương đương { : ( \V)}x D Fx    A với mọi tập mở V  . Hay { : }x D Fx V     A với mọi tập mở V  . Tương đương với \{ : }D x D Fx V     A với mọi tập mở V  . Bởi vì A là s - đại số nên 1( ) { : }F V x D Fx V       A với mọi tập mở . V  39 c) Ta có đo được suy ra 1( ) { : }F V x D Fx V     A với mọi tập mở . Dẫn đến { : ( \ ) }x