Luận văn Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần (trường hợp tán xạ điện tử - Phonon âm)

ssel,        1J x J x J x         Số hạng thứ nhất (1.23), đổi biến q q    ; k k   , ta được:           0 0 2 2 2 , 1eE eE k q kq qil t k k lq k lq k q n N n Nq q C J J e k m m k q k k i                                                        (1.24) Số hạng thứ hai, đổi biến q q    ; k k   ; k k , ta được:           0 0 2 2 2 , 1eE eE k q kq qil t k k lq k lq k q n N n Nq q C J J e k m m k q k k i                                                                    0 0 2 2 2 , 1eE eE k q kq qil t k k lq k lq k q n N n Nq q C J J e k m m k q k k i                                                         (1.25) Sè h¹ng thø ba gi÷ nguyªn. Số hạng thứ tư, đổi biến k k  , ta được:           0 0 2 2 2 , 1eE eE k q kq qil t k k lq k lq k q n N n Nq q C J J e k m m k q k k i                                                        (1.26) Số hạng thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tư trong biểu thức (1.23) lần lượt là:         2 , 1 1 k k ql q qil t k k lq k lq k q n N n N C e k J J k q k k i                                    (1.27) 22       2 , 1 k k qq qil t k k lq k lq k q n N n N C e kJ J k q k k i                                   (1.28)       2 , 1 k q kq qil t k k lq k lq k q n N n N C e kJ J k q k k i                                  (1.29)         2 , 1 1 k q kl q qil t k k lq k lq k q n N n N C e k J J k q k k i                                    (1.30) Chỉ xét phần thực hàm phức của mật độ dòng, thu được:       2 ,, 1 2 1 1 1 k k q l l k q q q k lk k q e e kn t C k n n N N m m l                                        0 0 0 0 2 2 2 2 eE eE eE eE 1                                                    l k k l k k l q q q q J J J J m m m m         sinqk q k l l t                 Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử trong bán dẫn khối được viết dưới dạng quen thuộc : [16,23,24]          0 02 2 00 0 8 8 1 sin sin ( ) T t J t E t J t E tdt Tc E c E                   (1.31) Ta thấy,   2 0 0 0 1 1 os sin sin sin sin 0 2 T T Tc t t td t t           Nếu 1l  , thì     0 0 1 sin sin os 1 os 1 0 2 T T t l tdt c l t c l t dt                 23 Nếu 1l  , thì 2 0 0 os2 1 sin 2 2 T T c t T tdt dt       , do đó trong tổng theo l thì chỉ l=1 mới có ý nghĩa. Biểu thức mật độ dòng được viết lại:         0 2 2 0 0 2 1 , eE os 2 2 1                              k q kq kq k k q e n E qe J t c t C k N n n J m m m            0 01 12 2eE eE sink k q q q J J k q k k t m m                                                (1.32) Ta có:    k q k k q k k qk n n k q n kn qn                   , khi lấy tổng theo k  do tính chất đối xứng của   k qk q n      và k kn   nên chúng triệt tiêu nhau. Đổi biến k q k     . Tiếp theo, đổi q q    , ta được:         2 2 0 0 1 1 1 , 2 os 2 1                    q k k kq k k k q e n E e J t c t C N qn J J J m m       sinqk q k k t                 (1.33) Theo tính chất hàm Bessel:      1 1 2 k k k k J x J x J x x    . Biểu thức hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh trong bán dẫn khối viết lại:          2 20 02 22 1 0,0 2 8 eE2 2 1 eE                             kqq k k k q eE qk C N qn J mc E m q m            qk q k l                (1.34) Do qN >> 1 nên 2 1 2  q qN N , biểu thức (1.31) được viết lại: 24         2 2 02 22 1,0 eE32 kqq k q kk q q C N n kJ k q k k mc E                                      (1.35) Biểu thức (1.35), là công thức tổng quát tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ trong bán dẫn khối. Xét tán xạ điện tử - phonon âm ta có: 22 02 q s q C V      ; B q s k T N q   Suy ra:         2 2 02 22 2 ,0 0 eE4 k B k q k k qs qk T n kJ k q k k mc E V                                       (1.36) Biểu thức (1.36), là công thức tổng quát tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh trong bán dẫn khối xét trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm. Tiếp theo, xét sự hấp thụ sóng điện từ cho hai trường hợp giới hạn gần ngưỡng và xa ngưỡng sóng điện từ. HÊp thô gÇn ng­ìng: Đối với quá trình này, năng lượng của trường điện từ ngoài phải thỏa mãn điều kiện: q l     ( là năng lượng trung bình chuyển động nhiệt của electron), chỉ hạn chế hấp thụ một photon (k=1), coi hàm phân bố tương ứng là hàm cân bằng, tức là: 2 0 exp 2 k B k n n mk T        ; ta được: 25         2 2 2 2 2 ,0 0 02 1 2 4 exp 2 B q k Bs q k T k mk Tc E V eE q J k q k k m                                                (1.37) Với:           2 4 2 4 0 0 02 0 0 1 2 2 2 2 2 cos cos 2 2 2 2                                                   eE q eE q eE q eE q eE q J m m m m m        Khi đó, biểu thức (1.37) được viết lại:     22 2 2 0 * 22 2 ,0 0 cos4 exp 2 2 B q k Bs eE qk T k m k T mc E V                             4 2 0 2 * cos 2 2 q eE q q m m                         (1.38) Đặt 2 2 2 1 0 , cos exp 2 2q k B k q qk A mk T m m                              (1.39) Áp dụng công thức giải tích: cos cos cos sin sin cos       , ta được:  2 1 4 0 0 0 sin exp os 24 2 2 q B mm k q A d k dk q c dq m k T k qk                             Đặt osx c  , và sử dụng tính chất hàm Delta:   00 0 0 1 0 ; b a khi a x b x x dx khi x a x b          Thu được: 26  1 1 1 2 q mq x dx k kq                       khi   1 1 2 q mq k kq            2 2 2 1 2 0 2 exp 12 2q B m k A k k m dk m k T                  Đặt 2t k , suy ra k t và 1 2 dk dt t  ;  2 qa m     ; 2 Bb m k T 2 /1 4 0 24 t bmA t ate dt     ; áp dụng công thức:    1n n n    ;    1 0 nxn e x dx     ; đặt 1/2x y , suy ra 2dx ydy  3 1 14 exp 12 2 2 B q q q B B m k T A K k T k T                           (1.40) Xét số hạng thứ hai của (1.38): 2 2 2 4 2 , cos exp 2 2 qq k B k q qk A q mk T m m                           Sử dụng công thức: cos cos cos sin sin cos       , thu được:     23/2 4 22 / 2 24 4 0 60 10 2 B k qk Tt b B q B m m k T A t at e dt e k b k T                        Đặt A1 và A2 vào biểu thức tính hệ số hấp thụ (1.38), ta được:     2 0 1*2 0 0 8 ( ) 2 2( ) qB q Bs k T m eE k m k Tc E V                                 26 2 2 20 2 07 64 exp 2 2160 qB q B B e n k T k k E k T k Tc                        (1.41) 27 Hấp thụ xa ngưỡng: Đối với quá trình này, năng lượng của trường điện từ ngoài phải thỏa mãn điều kiện: q l     suy ra q k , do đó: 2 2k q k q q q k k m                  và hệ số hấp thụ phi tuyến trường hợp này có dạng:    2 22 02 22 1,0 eE32 2k kq q qkk q q q C N n kJ k m mc E                               (1.42) Vì  q N >> 1, nên: B q q k T N    ; 2 2 0 q q s C V         ; 0k k n n  là mật độ điện tử. Biểu thức (1.42), được viết lại:     3 2 0 2 10 64 1 2 2 qB k k e n k T k F k k k mc E                       (1.43) Ở đây, q      ;  2 20 3   e E m   ;    2k kF x J x và  là hàm bậc thang, thỏa mãn: 1qk           khi qk     và 0qk           khi qk     . Như vậy, từ hàm phân bố điện tử không cân bằng, tìm được mật độ dòng của điện tử trong bán dẫn khối. Từ kết quả này, thu được biểu thức của hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh trong bán dẫn khối. Biểu thức hệ số hấp thụ sóng điện từ không những phụ thuộc phi tuyến vào cường độ điện trường biến điệu  0  E  , nhiệt độ T của hệ, tần số  của sóng điện từ mà còn phụ thuộc vào thời gian. 28 CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CHO HỆ SỐ HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH BIẾN ĐIỆU THEO BIÊN ĐỘ BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN (TRƯỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON ÂM) 2.1.Hamiltonian tương tác của hệ điện tử-phonon trong siêu mạng hợp phần Siêu mạng hợp phần là loại vật liệu bán dẫn có cấu trúc điện tử chuẩn hai chiều. Do đó, phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp phần bị lượng tử hóa. Biểu thức Hamiltonian tương tác của hệ điện tử-phonon trong siêu mạng hợp phần khi có mặt trường sóng điện từ ngoài có dạng:   , , , n n k n k q q q n k q e H k A t a a b b c                             , ' ', , , ', n n zq n k q n k q q q n n k C I q a a b b                  (2.1) + k  ; q  là trạng thái của điện tử trước và sau tán xạ; +  k  là năng lượng của điện tử. + q  : Tần số phonon âm. + , , ;      n k n k a a : Toán tử sinh, hủy điện tử ở trạng thái ,   n k .     , ', ', ' ', ' , , ' , ', ' , ', '; ; ; ; ; 0                              n nn p n p n k n k k k n k n k n k n k a a a a a a a a     0 sinE t E t    29 + q b , q b : Toán tử sinh hủy phonon ở trạng thái q  . ' ' , ' ' ' ; ; ; ; ; 0                                q q q q q q q q q q b b b b b b b b +   k : Xung lượng của điện tử trong mặt phẳng vuông góc với trục của siêu mạng hợp phần. +  A t  là thế vector của trường điện từ xác định bởi biểu thức: 1 21 2 1 ( ) ( ) sin( ) sin( ) A t E t e t e t c t             (2.2) 2 201 21 2 1 1 2 22( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( )2 e E t e t e t t t               0 02 21 2 1 22 [ sin( ) sin( )] sin( ) sin( )2 2 e e t t t t           0 1 2 1 2( ) | |2sin os 2 2 2 e t t c                      1 2 1 2 0 0 ( ) | | sin os os( )sin( ) 2 2 t t e c e c t t                      Do: ∆Ω=|β1-β2| <<Ω nên cos(∆Ωt) biến đổi cực chậm so với sin(Ωt), do đó ta có thể coi cos(∆Ωt) như một hằng số khi sin(Ωt) thay đổi hay lấy tích phân theo t. Như vậy, để thuận tiện tính toán sau này, ta chuyển: 00 0os( ) os( ) ( )e c t e c E        0 0( ) ( ) os( )E t E c t     0 ( ) : ( ) os( ) E c Suyra A t c t       (2.3) + q C là hằng số tương tác điện tử-phonon, phụ thuộc vào loại cơ chế tán xạ. 30 22 02 q s q C V      (2.4) Trong đó: OV : Thể tích chuẩn hóa ( chọn 1OV  )  : Hằng số điện.  : Mật độ tinh thể. s : Vận tốc truyền âm. +  , 'n n zI q là thừa số dạng điện tử trong siêu mạng hợp phần[11,12], có dạng:        , ' ' z 0 exp iq dN n n z n nI q z z z dz    (2.5) với  n z là hàm sóng của trạng thái thứ n trong hố thế; d là chu kỳ siêu mạng; Nd là số chu kỳ siêu mạng hợp phần. + Phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp phần có dạng :   2 2 n //osk 2          n n n k k c d m   (2.6) n là các mức năng lượng trong hố thế biệt lập; n là độ rộng mini vùng. 2.2. Phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng hợp phần Tương tự như cách làm đối với bán dẫn khối, để xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng hợp phần chúng tôi sử dụng phương trình động lượng tử tổng quát cho toán tử số hạt (hàm phân bố điện tử) , , ,n k n k n k t n a a       :[3] 31 , , , , , , n k n k n kt n k n k t a a n i i a a H t t                      (2.7) ở đây t  là trung bình thống kê của toán tử  ;  w t Tr  , ( w là toán tử ma trận mật độ). Đặt biểu thức Hamiltonian (2.1) vào (2.7). Các số hạng có trong vế phải (2.7), lần lượt được tính như sau: Tính 3 số hạng trong vế phải của (2.7) ta có: Số hạng thứ nhất:  ', , ', ' ', ' ', ' 1 , '                           nn k n k n k n k n k t e sh a a k A t a a c  Ta có:  ', , ', ' ', ' ', ' , '                          nn k n k n k n k n k e a a k A t a a c   ' , , ', ' ', ' ', ' ' ,                          n n k n k n k n k n k e k A t a a a a c   ' , , ', ' ', ' ', ' ', ' , , ', ' '                                     n n k n k n k n k n k n k n k n k n k e k A t a a a a a a a a c   ' , ' ',, ' ', ' ' , ,, , ', ' ', ' ', ' , ', ' ' ( ) ( )                                            n nn n nk k n k k k nknk nk n k n k n k nk n k e k At a a a a a a a a c        '' , ', ', ' , ' ', ' , , ', ', ' ' 0                                   n n nn k n k k k n k n k k kn n n k e k A t a a a a c      Vậy số hạng thứ nhất:   22 2 2 2 ' / /2, , ', , ', ' , cos 0 2 2                                   n nn k n k n k n k n k n e a a k d k A t a a m L m c  (2.8) Số hạng thứ hai: , , 2 , 0 n k n k q q q q sh a a b b                  (do a và b là hai toán tử độc lập) (2.9) 32 Số hạng thứ ba:     ', ' , , ', , , ', 3 ,                         n k q n kn n z q q q t qn k n k n n k sh a a C I q a a b b Ta có:      , ' , ', , ', , , ', ', , n n z n n zn k n k q n k q n k q q q q n n k n k a a C I q a a b b C I q                                        , ', ', , ', , , ',n k n k q q n k q n k q n k q n k q n k n k q qa a b a a b a a b a a b                                              , , ', , , , ', , ', , , , , ' ', , , , ', n k n k q q n k n k q q n k q n k q n nq n k q n k q n k C I F F F F                                             Trong đó,   , , , , 1 21 21 21 2 , , ,n k n k q n k n k q t F t a b      . Thay các số hạng tính được vào (2.6), ta được phương trình:    , , , ,1 21 2 1 2 21 21 / / / /, , cos cos n k n k q n n nn k n k q F t i k d k d t                          1 3, , , , 3 21 21 1 1 11 21 2 3 1 1 2 , , , , n k n k q n nq n k q n k q q q tn q e i k k A t F t C I a a b b b m c                           2 3 1 31 2 1 1 1, , ,n n n k n k q q q q tI a a b b b              (2.10) Trước hết ta đi giải phương trình vi phân thuần nhất sau:   1 21 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 0 , , , , 0 1 2// //, , , , , , ( ) (cos cos ) ( ) ( ) n k n k q n n nn k n k q n k n k q F t i t e k d k d k k A t F t m c                               (2.11) 33 Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt 1 21 2, , , , ln ( ) 0tn p n p qF t      , ta dễ dàng tính được nghiệm của phương trình thuần nhất trên có dạng:     1 21 2 1 2 11 2 2 0 , , , , // // 1 1, , 2 ( ) i exp cos cos ( ) n k n k q t n n nn k n k q F t e k d k d k k At dt m c                                 (2.12) Để giải phương trình vi phân không thuần nhất trên ta dùng phương pháp biến thiên hằng số. Đặt:   1 2 1 21 2 1 2 0 , , , , , , , , ( ) ( ) n k n k q n k n k q F t M t F t      (2.13) Suy ra: 1 2 1 21 2 1 2 1 21 2 0 , , , , , , , ,0 , , , , ( ) ( )( ) ( ) ( ) n k n k q n k n k q n k n k q F t F tM t i F t i M t i t t t                     (2.14) Thay (2.13) vào (2.10), thay (2.13), (2.12) vào (2.14) và đồng nhất số hạng của (2.10) và (2.14) ta được kết quả sau:    1 4 2 32 1 24 2 1 311 1 1 1 1 1 4 31 1 , ,, , , , , , ( ) i ( ) ( )                                       n n z n n zq n k q n k q q q q n k n k q q q qt tn q n q Mt C I q a a b b b C I q a a b b b t    1 2 1 21 2 1// // 2 1 1, , i exp cos cos ( ) t n n nn k n k q e k d k d k k A t dt m c                              Suy ra:    1 4 2 32 1 24 2 1 311 1 1 1 1 1 2 24 31 1 , ,, , , , , , i ( ) ( ) ( )                                        t n n z n n zq n k q n k q q q q n k n k q q q q t tn q n q M t C I q a a b b b C I q a a b b b     1 1 2 1 21 2 1// // 2 2, , i exp cos cos ( ) t n n nn k n k q e k d k d k k A t dt m c                              (2.15) Thay kết quả tìm được vào (2.14) ta được kết quả sau: 34    1 4 2 31 2 1 21 2 2 4 2 1 311 1 1 1 1 1 2 24 31 1 , ,, , , , , , , , , , i ( ) ( ) ( )                                         t n n z n n zn k n k q q n k q n k q q q q n k n k q q q q t tn q n q F t C I q a a b b b C I q a a b b b      1 2 1 21 2 2 1// // 2 2 1 1 2, , i exp cos cos ( ) t n n nn k n k q t ie k d k d t t k k A t dt dt m c                            (2.16) Thay (2.16) vào (2.7) ta được:  ' ' 441 1 1 1' 2 4 1 , 22 , ,, , ,, ( ) 1 ( ) ( )                              t n k z zq q n k q q n k q q qn n n n tn qn q n t C I q dt C I q a a b b b t  '3 31 1 1 1 2 3 1 , ,, , ( )                    n n zq n k q q q qn k q tn q C I q a a b b b    ' 2 ' // // 2 1 1,, i exp cos cos ( ) t n n nn k qn k q t ie k d k d t t q A t dt m c                                 ' '4 4 31 31 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 31 1 , , , ,, , , , ( ) ( )                                               n n z zq n k q q q q q n k q q n k q q qn k q n n t tn q n q C I q a a b b b C I q a a b b b    ' 2 ' // // 2 1 1, , i exp cos cos ( ) t n n nn k qn k q t ie k d k d t t q A t dt m c                                   ' '4 4 31 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 31 1 , , , ,, , , , ( ) ( )                                          n n z zq n k q q q q q n k n k q q q q qn k q n n t tn q n q C I q a a b b b C I q a a b b b    ' 2 ' // // 2 1 1, , i exp cos cos ( ) t n n nn k qn k q t ie k d k d t t q A t dt m c                                  ' '34 341 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 31 1 ,, , ,, , , , ( ) ( )                                                z n n zq n k n k q q q q q q n k q q q qn n n k qt tn q n q C I q a a b b b C I q a a b b b 35    ' 2 ' // // 2 1 1,, i exp cos cos ( ) t n n nn k qn k q t ie k d k d t t q A t dt m c                              (2.17) Đối với số hạng thứ nhất và thứ ba của (2.17) ta đổi chỉ số 1q q    , đối với số hạng thứ hai và thứ tư của (2.17) ta đổi chỉ số 1q q   và ' 3 4( , ) ( , )n n n n ta được:    ' ' ' ' 2 2 2 2 , 22 , ,, , , , ( ) 1 ( )                                            t n k zq n k n k q q q q q qn n n k q n k q t tn q n t C I q dt a a b b b a a b b b t    ' 2 ' // // 2 1 1,, i exp cos cos ( ) t n n nn k qn k q t ie k d k d t t q A t dt m c                                 ' ' 2 2 , , , ,                                        n k n k q q q q q qn k q n k q t t a a b b b a a b b b    ' 2 ' // // 2 1 1,, i exp cos cos ( ) t n n nn k qn k q t ie k d k d t t q A t dt m c                                  2 2 , , , ,                                        n k q n k q q q q n k n k q q q t t a a b b b a a b b b    ' 2 ' // // 2 1 1, , i exp cos cos ( ) t n n nn k qn k q t ie k d k d t t q A t dt m c                                  ' ' 2 2 , ,, ,                                        q q q n k n k q q qn k q n k q t t a a b b b a a b b b    ' 2 ' // // 2 1 1, , i exp cos cos ( ) t n n nn k qn k q t ie k d k d t t q A t dt m c                              (2.18) 36 Toán tử số hạt của điện tử: 2 2, , , ( )       n k n k n k t n t a a ' ' ' 2 2, , , ( )                n k q n k q n k q t n t a a Toán tử số hạt của phonon: q q q t N b b     1 q q q t N b b      Do tính đối xứng mạng tinh thể nên q q    và q q      Bỏ qua số hạng chứa q q t b b  và q q t b b   Khi đó phương trình (2.18) được viết lại dưới dạng:  ' ' ' 2 2 , 2 2 22 ,, , , ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1                       t n k zq n k q qn n n k q n q n t C I q dt n t N n t N t    ' 2 ' // // 2 1 1,, i exp cos cos ( ) t n n nn k qn k q t ie k d k d t t q A t dt m c                                    ' ' 2 2 2, , ' / / // 2 1 1,, ( ) 1 ( ) * i *exp cos cos ( ) n k q qn k q t n n nn k qn k q t n t N n t N ie k d k d t t q A t dt m c                                                  ' ' 2 2 2,, ' / / // 2 1 1, , ( ) ( ) 1 * i *exp cos cos ( ) q n k qn k q t n n nn k qn k q t n t N n t N ie k d k d t t q A t dt m c